Tài liệu Một số phép biến đổi trong toán ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM KHOA TOÁN-TIN.  KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI TRONG TOÁN ỨNG DỤNG GVHD: TS NGUYỄN VĂN ĐÔNG. SVTD: HUỲNH LÊ THANH TÙNG. MSSV: K33101256 KHÓA HỌC: 2007-2012. TP.HCM, THÁNG 5 NĂM 2012. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM KHOA TOÁN-TIN.  KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI TRONG TOÁN ỨNG DỤNG CHUYÊN NGÀNH: GIẢI TÍCH GVHD: TS.NGUYỄN VĂN ĐÔNG SVTH: HUỲNH LÊ THANH TÙNG MSSV: K33101256 KHÓA HỌC: 2007-2012 TP.HCM, THÁNG 5 NĂM 2012. PHẦN MỞ ĐẦU Nhiều bài toán trong thực tiễn cuối cùng được dựa trên sự phản hồi của một hệ thống đối với tín hiệu nhập là hàm hình sin. Điều thuận tiện nằm ở chỗ là khi hệ tuyến tính được điều khiển bởi một hàm Aeiωt sự phản hồi của nó có cùng dạng. Điều này cho phép chúng ta biểu diễn một hàm biến thực F(t) đã cho như một chồng chất các hàm hình sin. Giải tích Fourrier, thể hiện qua chuỗi Fourrier và phép biến đổi Fourrier, nghiên cứu sự phân tích một hàm thành các hàm hình sin này. Khi hàm F là hàm tuần hoàn, có chu kì L, và thoả điều kiện liên tục nhất định, ta có sự phân tích thích hợp hàm F qua chuỗi Fourier ∞ F (t ) = ∑ce n = −∞ với hệ số được xác định bởi ìnπ t / L n , L /2 1 cn = F (t )e-ìn2π t / L dt. L − L∫/2 Phép biến đổi Fourier nhanh là một thuật toán có hiệu quả dùng để xấp xỉ các hệ số này. Nếu F là không tuần hoàn nhưng |F| là khả tích (và các điều kiện liên tục được thỏa) thì sự phân tích có dạng ∞ F (t ) = ∫ G(ω )e iωt dω , −∞ trong đó G là phép biến đổi Fourier của F, xác định bởi ∞ 1 − iωt G (ω ) = ∫ F (t )e dt. 2π −∞ Phép lấy đạo hàm “trực tiếp” (nghĩa là, đạo hàm theo từng số hạng hoặc dưới dấu tích phân) của cả hai biểu diễn trên có thể được xem xét trong nhiều tình huống, và vì phép lấy đạo hàm này chung quy chỉ là phép nhân với iω, nên việc giải một số phương trình vi phân thường được đơn giản hóa bàng việc sử dụng giải tích Fourier. Các phép biến đổi khác, đặc biệt là phép biến đổi Laplace, phép z- biến đổi- được phát triển với cùng một đối tượng: sự phân tích các hàm tùy ý thành chồng chất các dạng cơ bản nhằm có sự thuận tiện cho một công việc phân tích đặc biệt. Khi xử lý điều kiện ban đầu và các tình huống nhất thời thật tiện lợi nếu ta dùng phép biến đổi Laplace của F ∞ L { F } ( s ) = ∫ F (t )e − st dt. 0 Phép biến đổi Laplace có thể đồng nhất với phép biến đổi Fourier của một hàm số mà “bật lên” tại t = 0 [ nghĩa là, F(t)=0 khi t<0], với iω được thay thế bởi s. Tác dụng của điều kiện ban đầu được thể hiện trong công thức các đạo hàm F ( n ) (t ) : (n) L { F= } (s) s n L {F } (s) − s n−1F (0) − s n−2 F ′(0) − ... − F (n−1) (0) nên phép biến đổi Laplace là công cụ thích hợp cho việc giải bài toán giá trị ban đầu. Một tiện ích khác của phép biến đổi Laplace là khả năng của nó trong việc xử lý những hàm không khả tích nhất định. Có công thức nghịch đảo để phục hồi F(t) từ L{F}(s), nhưng dùng các bảng biến đổi Laplace thường tiện lợi hơn. Phép z-biến đổi là công cụ đóng vai trò của phép biến đổi Fourier/Laplace trong các trường hợp mà tập dữ liệu là rời rạc. Nó có liên hệ với lý thuyết về chuỗi Laurent, mà nhiều tính chất của nó được suy ra từ lý thuyết này. Một phép biến đổi, tên là phép biến đổi Hilbert, liên hệ mật thiết với các phép biến đổi khác cả về lý thuyết lẫn ứng dụng mặc dù nó không nhằm vào đối tượng đặc biệt nào của sự phân tích hàm Khi các điểm bất thường của các tích phân Cauchy xuyên qua chu tuyến của chúng, dáng điệu của các tích phân này bị gián đoạn với những bước nhảy được dự đoán bởi các công thức Sokhotskyi-Plemelj. Trong trường hợp chu tuyến là đường thẳng thực ta có công thức biến đổi Hilbert, liên kết phần thực và phần ảo của hàm dưới dấu tích phân. Trong toán học việc áp dụng các phép biến đổi vào các họ những hàm số khác nhau mang lại những thuận lợi về mặt tính toán. Lĩnh vực áp dụng của các phép biến đổi ta nghiên cứu ở đây có thể vượt ra ngoài lớp các hàm chỉnh hình nhưng chúng ta tự hạn chế trong lớp hàm này vì nó sẽ giúp ta đưa ra các tính chất chủ yếu rõ ràng hơn. Một số kết quả khác được phát biểu bỏ qua chứng minh vì chúng vượt quá giới hạn này Nội dung chính của luận văn trình bày một số đặc điểm của các phép biến đổi nêu trên bao gồm 5 chương Chương 0: Các kiến thức chuẩn bị Chương 1: Phép biến đổi Fourier Chương 2 Phép biến đổi Laplace Chương 3 Phép z- biến đổi Chương 4 Tích phân Cauchy và phép biến đổi Hilbert Kỳ bảo vệ khóa luận tốt nghiệp này là bước đi cuối trên con đường đại học, để đạt được thành quả như ngày hôm nay, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa toán tin trường đại học sư phạm TP.HCM đã tận tình truyền đạt cho em những kiến thức trong suốt khóa học. Qua hơn 4 năm theo học, thầy cô đã tận tình truyền đạt cho em những kiến thức thiết thực làm hành trang cho em vững tin hơn khi bước vào nghề. Em xin bày tỏ chân thành đến thầy Nguyễn Văn Đông đã nhiệt tình hướng dẫn, tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiệp của mình. Qua thời gian dịch thuật tài liệu toán bằng tiếng anh đã giúp em tăng cường thêm vốn từ vựng chuyên ngành toán vốn còn thiếu sót của mình, từ đó giúp em tích lũy thêm những kiến thức mới có tính thời đại của toán học, để có được điều đó là nhờ sự tận tình hướng dẫn của thầy Nguyễn Văn Đông đã hướng dẫn em tận tình, bố cục lại một bài luận văn cho em để làm sao chi tiết súc tích hơn ngắn gọn hơn. Trong quá trình làm khóa luận tốt nghiệp này mặc dù em đã cố gắng rất nhiều nhưng do bước đầu làm quen với phương pháp làm khóa luận nên chắc hẳn không tránh khỏi thiếu sót, em rất mong nhận được sự đóng góp quý báu của quý thầy cô ở Khoa để em nhận thức được một cách sâu sắc hơn về bài luận văn và giúp em hàn gắn những những kiến thức còn thiếu sót, trang bị thêm cho em những kiến thức mới để giúp em hiểu về những ứng dụng của nó trong cuộc sống. Thành phố Hồ Chí Minh mùa tốt nghiệp tháng 5 năm 2012 Sinh viên thực hiện HUỲNH LÊ THANH TÙNG CHƯƠNG 0 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 0.1 Hàm chỉnh hình tuần hoàn Định nghĩa 0.1 Giả sử a, b ∈  hoặc a = −∞ , b = ∞ . Tập hợp 2π z   < b Tω (a, b) :=  z ∈  : a < Im ω   được gọi là một dải xác định bởi ω , a, b . Ac-gu-men của ω xác định hướng của dải (xem hình 0.1)  2π  Im  z = 2  1+ i  Im z = 1 π 4 0 −2 π  2π  Im  z = 0  1+ i  0 Im z = −1 ω= 2π , a = −1. b = 1 1 + i, a = 0, b = 2 ω= Hình vẽ 0.1 Chẳng hạn ta có Tω (−∞, b) , b ∈  là một nửa mặt phẳng mở, Tω (−∞, ∞) =  Mệnh đề 0.2 Ánh xạ h : T1 (a, b) → Ae− b ,e− a (0) , z  w = e 2π iz là một ánh xạ song chỉnh hình, ở đây Ae− b ,e− a (0) ký hiệu hình vành khăn tâm O bán kính trong là e − a , bán kính ngoài là e−b Trường hợp đặc biệt h(T1 (a, ∞)) = {w ∈  : 0 < w < e } , h() =  \ {0} −a Định nghĩa 0.3 Hàm f được gọi là tuần hoàn với chu kỳ ω , hoặc được gọi là ω tuần hoàn trong G nếu f (z + ω) = f ( z ) với mọi z ∈ G Tổng quát hơn f ( z + nω ) = f ( z ) với mọi z ∈ G , mọi n ∈  Định lý 0.4 Với mọi hàm chỉnh hình 1- 1 tuần hoàn f trên G = T1 (a, b) có đúng một hàm chỉnh hình F trên hình vành khăn A := Ae− b ,e− a (0) sao cho f ( z ) = F (e 2π iz ) với mọi z ∈G 0.2 Định lý khai triển Laurent Cho r , R ∈  ∪ {∞} với 0 ≤ r < R . Tập con mở Ar , R ( z0 ) := { z ∈  : r < z − zo < R} được gọi là hình vành khăn tâm z0 , bán kính trong r và bán kính ngoài R. Khi R < ∞ thì A0, R ( z0 ) = B ( z0 , R ) \ { z0 } là một đĩa thủng và A0,∞ (0) là  \ {0} . Định lý 0.5 (Định lý khai triển Laurent) Nếu f là hàm chỉnh hình trong hình vành khăn A = Ar , R ( z0 ) thì f được khai triển trong A thành chuỗi duy nhất có dạng f ( z= ) +∞ +∞ ∑ ak ( z − zo )k + ∑ bk ( z − zo )− k ( r < z − zo < R ) (0.1) = k 0= k 1 Chuỗi này hội tụ chuẩn tắc trong A về f. Hơn nữa, 1 f (η ) 1 f (η ) ak = dη , bk = dη (0.2) k +1 ∫ ∫   2π i Sρ (η − zo ) 2π i Sρ (η − zo )− k +1 với mọi r < ρ < R , . k ∈  +∞ ∑ c (z − z ) Chuỗi hàm dạng (0.1) đôi khi còn được viết dưới dạng k = −∞ ck = k o k , với 1 f (η ) dη , k = 0, ±1, ±2,... và được gọi là chuỗi Laurent theo lũy thừa của z∫  2π i Sρ (η − zo )k +1 z0 hay chuỗi Laurent tại z0 . Lưu ý rằng khi f chỉnh hình trên đĩa z − z0 < R thì các hệ số bk cho bởi (0.2) bằng 0 nên khi đó ta có (0.1) là khai triển Taylor của f. Định lý 0.6 Nếu các hệ số cn của chuỗi +∞ ∑ c (z − z ) k = −∞ 0 ≤ lim n c− n = r < R = n →∞ k o 1 k (0.3) thỏa mãn ≤∞ lim n cn n →∞ thì chuỗi (0.3) hội tụ chuẩn tắc trong hình vành khăn A = Ar , R ( z0 ) về hàm f là hàm chỉnh hình trong hình vành khăn A . Các hệ số của chuỗi (0.3) này được xác định bởi công thức 1 f (η ) cn = dη , n = 0, ±1 ,… ∫  2π i Sρ (η − zo )n +1 với r < ρ < R . Chuỗi (0.3) không hội tụ tại bất kỳ điểm nào thuộc  \ A . 0.3 Hàm điều hòa - Bài toán Dirichlet trên đĩa Định nghĩa 0.7 Cho U là tập con mở của  . Hàm f : U →  được gọi là hàm điều ∂2 f ∂2 f hòa nếu f ∈ C (U ) và ∆= f + = 0 trên U . ∂x 2 ∂y 2 2 Định lý 0.8 Nếu hàm= f ( z ) u ( x, y ) + iv( x, y ) là hàm chỉnh hình trong tập mở khác rỗng D của  thì u , v là những hàm điều hòa Khi đó u, v được gọi là liên hợp điều hòa của nhau Định lý 0.9 Cho G là một miền đơn liên. Nếu u điều hòa trên G thì tồn tại f chỉnh hình trên G sao cho u = Ref. Hơn nữa, các hàm f như vậy chỉ sai khác nhau một hằng số. Định nghĩa 0.10 Cho miền G ⊂  và ϕ : ∂G →  là hàm liên tục. Bài toán Dirichlet đặt ra là tìm một hàm điều hoà f trên G sao cho lim = f ( z ) ϕ (ω ) ∀ω ∈ ∂G . z →ω Định lý 0.11 ( Định lý duy nhất) Với các giả thiết đã cho trong định nghĩa trên và miền G bị chặn thì có không quá một hàm f thoả mãn bài toán Dirichlet. Định nghĩa 0.12 a) Hàm P : B(0,1) × ∂B(0,1) →  xác định bởi:  ζ + z  1− z P(= z , ζ ) Re  = z <= 1, ζ 1)  2 ( ζ − z  ζ − z được gọi là nhân Poisson. b) Nếu ∆ =B(ω , ρ ) và ϕ : ∂∆ →  là hàm liên tục thì ta gọi hàm P∆ϕ : ∆ →  xác 2 1 định bởi: P∆ϕ ( z ) = 2π 2π  z −ω ∫ P  0  , eiθ ϕ (ω + ρ eiθ )dθ ( z ∈ ∆) là tích phân Poisson. ρ  Định lý 0.13 (Định lý sự tồn tại nghiệm) Với các giả thiết nêu trong định nghĩa trên cho trường hợp = ω 0,= ρ 1,= E B(0,1) ta có: a. PEϕ là hàm điều hoà trên E . b. Nếu ω0 ∈ ∂E thì lim PEϕ ( z ) = ϕ (ω0 ) . z →ω0 Hơn nữa f = PEϕ là nghiệm bài toán Dirichlet trên E . Định lý 0.14 (Công thức tích phân Poisson đối với nửa mặt phẳng) Nếu f = φ + iψ là hàm chỉnh hình trên miền chứa trục thực và nửa mặt phẳng trên và f(z) bị chặn trên miền đó thì các giá trị của hàm điều hòa φ trong nửa mặt phẳng trên được cho theo các giá trị của nó trên trục thực bởi +∞ y φ (ξ , 0)dξ = φ ( x, y ) ( y > 0) ∫ π −∞ (ξ − x )2 + y 2 0.4 Sử dụng thặng dư tính tích phân Xét những đường cong Jordan đóng C0 , C1 ,..., C p với các tính chất sau đây IntC0 ⊃ IntC j ; j =1,...,p , IntC j ∩ IntCk = ∅ nếu j ≠ k p thì IntC0 \  IntC j được gọi là một compact Jordan xác định bởi C0 , C1 ,..., C p (xem hình j =1 0.2) . Nếu ta chỉ có một đường cong C0 thì Int C0 cũng được gọi là compact Jordan xác định bởi C0 . C0 K C1 Hình vẽ 0.2 C2 Với K là một compact Jordan như trên ta đặt ∂K + = C0+ + C1− + ... + C p− , Định lý 0.15 (Định lý thặng dư trên một compact Jordan) Cho f chỉnh hình trên một lân cận mở Ω của compact Jordan K trừ một số điểm a1 ,..., am ∈ K . Khi đó ta có : m ∫ ∂K + f ( z )dz = 2iπ ∑ r e s[ f , a j ] 1 c Định nghĩa 0.16 Với mọi hàm f liên tục trên ( −∞, +∞ ) giới hạn lim ∫ f ( x)dx được c →∞ gọi là giá trị chính (Cauchy) của tích phân f trên ( −∞, +∞ ) ký hiệu là +∞ −c c p.v. ∫ f ( x)dx := lim ∫ f ( x)dx c →∞ −∞ +∞ Nhận xét rằng nếu tồn tại ∫ +∞ f ( x)dx thì −∞ ∫ −∞ −c +∞ f ( x)dx = p.v. ∫ f ( x)dx −∞ Bổ đề 0.17 Nếu f có một cực điểm đơn tại z = c và Tr là cung tròn (hình vẽ 0.3) được Tr : z = c + reiθ xác định bởi (θ1 ≤ θ ≤ θ 2 ) , lim ∫ f ( z )= dz i (θ 2 − θ1 ) res[ f , c] thì r → 0+ Tr Suy ra với nửa đường tròn định hướng âm S r (hình vẽ 0.4) ta có lim r → 0+ Tr ∫ f ( z )dz = −iπ res[ f , c] Sr r Sr θ 2 − θ1 c -ρ c-r c c+r ρ Hình 0.4 Hình 0.3 Bổ đề 0.18 (Bổ đề Jordan) Cho f là hàm chỉnh hình trong nửa mặt phẳng trên {Imz > 0} trừ một số hữu hạn điểm bất thường a1 ,..., an . Gọi γ = {=z Reit , t ∈ [0, π ]} . Giả sử R lim µ R = 0 ,với µ R = max f ( z ) . Khi đó với mọi số thực dương α ta có z∈γ R R →∞ lim ∫ eiα z f ( z )dz = 0 R →∞ Ví dụ 0.19 Hàm γR +∞ eix dx x −∞ Tính I = p.v. ∫ eix liên tục trên toàn trục thực ngoại trừ x = 0. Do đó x ρ ix  − r eix  e I lim  ∫ dx + ∫ dx  =  ρ →∞  x x r  r → 0+  − ρ eiz có một cực điểm đơn tại gốc nhưng chỉnh hình ở các điểm khác. z Xét đường cong đóng bao gồm ρ eiθ ,θ ∈ [ 0, π ] , S r− : z = c − reiθ , θ ∈ [ 0, π ] (hình vẽ 0.5) [− ρ , −r ],[r , ρ ] , Cρ+ : z = Xét hàm f ( z ) := Cρ+ Sr −ρ -r ρ r Hình 0.5 Vì không có điểm bất thường nằm trong đường cong đóng này ta có ρ  −r  eiz  ∫ + ∫ + ∫ + ∫  dz =0  − ρ S − r C+  z r ρ   ρ ix − r ix iz e e e eiz dx dx dz + = − − nghĩa là ∫ x ∫r x ∫ z ∫ z dz −ρ S− C+ r Vì lim max ρ →∞ z∈Cρ ρ eiz 1 dz = 0 = 0 nên theo bổ đề 0.18 (Bổ đề Jordan) lim ∫ ρ →∞ + z z C ρ Theo bổ đề 0.17 có lim+ e  e −iπ res  , 0  = −iπ dz = z − z   S +∞ ix r →0 ∫ iz iz r e I p= dx iπ  = .v. ∫ x −∞ Vậy 0.5 Phép biến đổi Mobius Định nghĩa 0.20 Ánh xạ xác định bởi ω ( z ) = az + b a , ad-bc ≠ 0 với ω (∞) = , cz + d c d c ω (− ) = ∞ được gọi là hàm phân tuyến tính (còn được gọi là ánh xạ Mobius) từ  ∞ đến ∞ Định lý 0.21 Ánh xạ Mobius a) là một song ánh giữa  ∞ và  ∞ b) bảo toàn đường tròn trong  ∞ c) bảo toàn tính đối xứng của các điểm qua đường tròn trong  ∞ Ví dụ 0.22 Tìm ánh xạ Mobius biến hình tròn đơn vị z < 1 thành hình tròn đơn vị ω < 1 sao cho z = z0 biến thành tâm của hình tròn ω < 1 Giải: Giả sử ω = ω ( z ) là phép biến đổi cần tìm, ω ( zo ) = 0 với zo < 1 . Bởi vì zo và 1 1 đối xứng nhau qua đường tròn z = 1 nên theo định lý 0.21 có ω ( ) = ∞ . Hàm cần tìm zo zo z − zo z − zo z − zo có dạng . ω ( z ) A= Azo= B = 1 1 1 z z z z − − o o z− zo Lấy z sao cho z = 1 thì ω ( z ) = 1 . Viết z = eiϕ có eiϕ − zo eiϕ − zo 1 B= = B = B zo eiϕ − 1 eiϕ zo − e − iϕ nghĩa là B = eiα , suy ra ω ( z ) = eiα z − zo trong đó α ∈  được chọn tùy ý.  z zo − 1 CHƯƠNG 1 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER Nhiều bài toán về kĩ thuật cuối cùng được dựa trên sự phản hồi (response) của một hệ thống đối với một phần nhập (input) là hàm hình sin. Một cách tự nhiên, tất cả những tham số trong tình huống như vậy là thực, và những mô hình có thể được phân tích bằng cách dùng kĩ thuật đối với biến thực. Tuy nhiên, việc sử dụng những biến phức có thể làm cho việc tính toán đơn giản hơn nhiều và giúp ta có sự hiểu biết sâu sắc hơn về vai trò của những tham số khác nhau. Phần nhập có dạng Aeiωt có các công dụng sau 1. Tính cô đọng của ký hiệu: Một biểu thức thực như α cos(ωt + φ ) + β sin(ωt +ψ ) có thể được biểu diễn đơn giản là Re( Aeiωt ) 2. Việc lấy đạo hàm phần nhập này chung quy chỉ là phép nhân với iω 3. Phần phản hồi đều đặn của hệ thống đối với phần nhập này sẽ có cùng dạng, Beiωt với B là một hằng số phức Vì các lý do trên sẽ rất có ích nếu hàm phần nhập tổng quát F (t ) có thể được biểu diễn là một tổng các hàm hình sin. Khi đó ta có thể xác định phần xuất bằng cách tìm phần phản hồi đối với mỗi thành phần hình sin (vốn làm cho bài toán dễ dàng hơn), sau đó cộng các phản hồi này lại với nhau ( nhắc lại rằng sự chồng chất nghiệm là được phép đối với hệ tuyến tính) Giải tích Fourrier, thể hiện thông qua chuỗi Fourrier và phép biến đổi Fourrier, nhằm cho sự phân tích một hàm thành các hàm hình sin này. Mục 1.1 dành trình bày về chuỗi Fourier, mục 1.2 trình bày về phép biến đổi Fourrier 1.1. Chuỗi Fourier (Phép biến đổi Fourier hữu hạn) Mục tiêu chính của mục này là thiết lập sự biểu diễn một hàm biến thực nhận giá trị phức F(t) như là tổng các hàm hình sin dạng eiωt , khi F(t) là hàm tuần hoàn có chu kỳ L, nghĩa là F = (t ) F (t + L) với mọi t. Trong phần 1.1.1 ta chỉ ra rằng nếu F(t) được biểu diễn ở dạng chuỗi các hàm hình sin mà sự hội tụ của chuỗi là đều thì chuỗi này phải là chuỗi Fourier. Trong phần 1.1.2 ta xác định một điều kiện đặc biệt mà chuỗi Fourier của F sẽ hội tụ đến F , nêu một kĩ thuật tìm chuỗi Fourier bằng khai triển Laurent, nêu một chứng minh công thức Poisson đối với hàm số điều hòa trên đĩa đơn vị qua cách tiếp cận bằng kĩ thuật chuỗi Fourier Phần 1.1.3 trích dẫn một vài kết quả về sự hội tụ tổng quát hơn của chuỗi Fourier nằm ngoài lý thuyết hàm chỉnh hình (định lý 1.4, 1.6, 1.7). Vận dụng lý thuyết này chúng ta nêu một số ví dụ cách tìm chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn và sử dụng chuỗi Fourier giải bài toán phương trình vi phân tuyến tính. 1.1.1 Giả sử L = 2π . Chúng ta cần tìm các số phức cn sao cho: F (t ) = ∞ ∑ce n = −∞ int (1.1) n Giả sử chuỗi trong (1.1) hội tụ đều đến F(t) khi −π ≤ t ≤ π và do đó đúng với mọi t. Cho số nguyên m cố định chúng ta có thể nhân hai vế (1.1) với e − imt để được F (t )e − imt = ∞ ∑ce n = −∞ n i ( n−m )t , (1.2) lại hội tụ đều, từ đó F (t )e − imt là hàm liên tục và có thể được lấy tích phân theo từng số hạng. Lấy tích phân (1.2) trên [ −π , π ] ta có π ∫π F (t )e − imt dt = π ∞ ∑c ∫e π n = −∞ − i ( n−m )t n dt , (1.3) −  ei ( n − m ) t π  = 0, khi n ≠ m i ( n−m )t i ( n − m) −π e dt =  ∫−π  π khi n m π, = t −π 2= π Tuy nhiên, do π 1 cm = 2π ta có ∫π F (t )e − imt dt , (1.4) − khi chuỗi (1.1) hội tụ đều. Ta đưa ra khái niệm chuỗi Fourrier của hàm F Định nghĩa 1.1 Nếu F có chu kì 2π và khả tích trên [ −π , π ] , chuỗi hình thức ∞ ∑ce n = −∞ n int với hệ số cho bởi (1.4) được gọi là chuỗi Fourier của F; các số cn được gọi là hệ số Fourier của F. Tổng quát hơn, nếu F(t) có chu kì L, chuỗi Fourier là chuỗi ∞ ∑ce n = −∞ n in2π t / L với hệ số L /2 1 F (t ).e − in2π t / L dt L − L∫/2 Chúng ta vừa chỉ ra rằng nếu F(t) được biểu diễn ở dạng chuỗi (1.1) mà sự hội tụ của chuỗi là đều thì chuỗi này phải là chuỗi Fourier. 1.1.2 Bây giờ chúng ta hãy xác định xem dưới những điều kiện nào của F chuỗi Fourier sẽ hội tụ đến F. Ta xét một trường hợp đặc biệt sau Giả sử f(z) là hàm chỉnh hình trên hình vành khăn A chứa đường tròn đơn vị. Khi đó f có thể biểu diễn bởi chuỗi Laurent: Fourier cn = ∞ f ( z ) = ∑ an z n (z ∈ A) (1.5) −∞ Chúng ta quan tâm đặc biệt đến giá trị của f trên đường tròn đơn vị mà trên đó chuỗi hội tụ đều. Biểu diễn tham số của đường tròn này cho bởi z = eit , −π ≤ t ≤ π , kí hiệu F (t ) := f (eit ) và viết lại chuỗi (1.5) như là chuỗi Laurent F (t ) = ∞ ∑ae n = −∞ int (1.6) n Nhận xét rằng hàm F(t) có chu kì 2π , và (1.6) là sự phân tích của F thành chuỗi hình sin hội tụ đều. Vì thế (1.6) là chuỗi Fourier của F(t). Hệ số trong (1.5) được cho bời: 1 f (ξ ) an = . ∫ n +1 d ξ 2π i z =1 ξ Bằng cách tham số hóa ta có π = an phù hợp với (1.4). 1 1 = f (eit )e − it ( n +1)ieit dt ∫ 2π i −π 2π π ∫π F (t )e − − int dt Chúng ta vừa chỉ ra rằng chuỗi Fourier của một hàm số F hội tụ đều đến F trong những trường hợp mà giá trị của F(t) trùng với giá trị của một hàm chỉnh hình f(z) với z = eit . Ta nêu và chứng minh sau đây một định lý khái quát hơn Định lý 1.2 Cho f là hàm chỉnh hình và ω - tuần hoàn trên dải G = Tω (a, b) . Khi đó f có thể được khai triển thành chuỗi Fourier duy nhất f ( z) = 2π i ∞ ∑ceω n = −∞ nz n (1.7) hội tụ chuẩn tắc về f trong G. (Sự hội tụ là đều trong mọi dải con Tω (a ', b ') của Tω (a, b) với a < a ' < b ' < b ). Ngoài ra, với mọi điểm d ∈ G ta có 2π i − nς 1 ω ( ) cn f e d ς , n ∈  (1.8) ς = ∫ ω [ d ; d +ω ] Chứng minh Ta chỉ cần xét trường hợp ω = 1 . Theo định lý 0.4 có duy nhất một hàm chỉnh hình F trên A := {w ∈  : e − a < w < e − b } sao cho f ( z ) = F (e 2π iz ) . Hàm F có khai triển Laurent trong A là F ( w) = ∞ ∑cw n = −∞ n n 1 F (ς )ς − n −1d ς , n ∈  2π i ∫S trong đó S là đường tròn tâm O nằm trong A. Điều này khẳng định sự tồn tại của khai triển (1.7). Các khẳng định tính duy nhất và tính hội tụ chuẩn tắc nêu ở đây suy ra từ tính duy nhất và tính hội tụ chuẩn tắc của chuỗi Laurent (định lý 0.5). 1 Giả sử đọan [d ; d + 1] được tham số hóa bởi ς (t ) = d+ t , t ∈ [0; 2π ] và đường tròn S được 2π tham số hóa bởi= ς (t ) qeit , t ∈ [0; 2π ] với= q : e 2π id ∈ A . Ta có với = cn 2π −n 1 = cn = f (ς (t )) ( qeit ) dt ∫ 2π 0 ∫ f (ς )e −2π inς d ς [ d , d +1] Do đó (1.8) đúng  Ví dụ sau đây nêu kĩ thuật tìm chuỗi Fourier bằng cách khai triển Laurent Ví dụ 1: Tìm chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn F (t ) = e 2cos t Giải: Đầu tiên chúng ta phải tìm một hàm chỉnh hình f(z) mà trùng với giá trị của hàm 1 ( z+ ) eit + e − it z nên = F(t) khi z thuộc đường tròn đơn vị. Do cos t = F (t ) e= : f ( z ) khi z = eit 2 Vì thế chuỗi Fourier của F có thể nhận được từ chuỗi Laurent cho f. Ta có 1 1 ( z+ )  ∞ z m  ∞ z − l  z z z e= e= .e  ∑  ∑  m !  l 0 l !  =  m 0= và ta có thể nhân các số hạng của các chuỗi này. Số hạng liên quan tới z n trong kết quả nhận zm z −l được từ tổng của các tích của các số hạng với mà m − l =n . Do đó l! m! e  1  z+   z = ∞ n n = −∞ Như vậy chuỗi Fourier của F là:  1  F (t ) = với cn =   ∞ ∑ce n = −∞ ∞ 1 ∑ z  ∑ m! . ( m − n )!  int n 1 ∑ m!( m − n )!. m= n Mệnh đề 1.3 Giả sử F (t ) = f (eit ) với f là hàm chỉnh hình. Khi đó ta có thể lấy đạo hàm theo từng số hạng của chuỗi Fourier của F. hạng: Chứng minh: Ta biết rằng chuỗi Laurent (1.5) có thể được đạo hàm theo từng số ∞ df ( z ) (1.9) = ∑ n.an .z n −1 dz n = −∞ df df dz df it . .ie Với z = eit , đạo hàm hàm hợp cho = = dt dz dt dz Thay vào (1.9) và đồng nhất f (eit ) với F (t ) ta có ∞ d dF (t ) f= (eit ) = ∑ nan ei ( n −1)t ieit , dt dt n = −∞ ∞ dF (t ) tức là = ∑ inan eint dt n = −∞ phù hợp với việc đạo hàm theo từng số hạng của (1.6)  Như một minh họa khác nói lên sự phong phú của cách tiếp cận này sau đây chúng ta trình bày công thức Poisson đối với hàm số điều hòa trên đĩa đơn vị. Vì tính đúng đắn của công thức được khẳng định (xem 0.10-0.13) chúng ta trình bày một cách hình thức mà không lo lắng về lý luận chặt chẽ của mỗi chi tiết. Cho một hàm số thực U (θ ) liên tục có chu kì 2π chúng ta tìm một hàm u(z) điều hòa trong miền z < 1 và tiến đến giá trị U (θ ) khi z → eiθ ; Nói một cách khác, chúng ta muốn giải bài toán Dirichlet trên đĩa đơn vị. Đầu tiên chúng ta giả sử rằng U (θ ) có một khai triển Fourier π ∞ ∞   1 inθ = = U (θ ) ∑ cn e U (φ )e − inφ dφ .einθ ,  ∑ ∫ n = −∞ n = −∞  2π −π  (ở đây ta đã sử dụng công thức (1.4)). Nếu kết hợp các số hạng đối với n và –n, ta có π π ∞ 1 1 U (θ ) = U (φ )dφ + ∑ U (φ ) ( ein (θ −φ ) + e − in (θ −φ ) )dφ ∫ ∫ 2π −π n =1 2π −π π π ∞ 1 1 ( ) 2 U φ d φ = + ∑ ∫ ∫ U (φ ) cos n(θ − φ )dφ , 2π −π n =1 2π −π Bây giờ ta sử dụng công cụ được các nhà toán học gọi là tổng Abel-Poisson để tính tổng chuỗi. Đầu tiên chúng ta giới thiệu biến tạm r để được hàm g (r , θ ) : π π 1 2 ∞ ( ) g (r , θ ) := U φ d φ + U (φ )r n cos n(θ − φ )dφ (1.10) ∑ ∫ ∫ 2π −π 2π n =1 −π ∞ 1 + 2∑ r n cos n(θ − φ ) Nhận xét rằng chuỗi (1.11) n =1 hội tụ đều theo φ khi 0 ≤ r < 1 . Vì thế nó có thể được nhân với U (φ ) và lấy tích phân theo từng số hạng. Ta có thể viết phương trình (1.10) như sau π ∞ 1   ( ) 1 2 + φ g (r ,θ ) = U r n cos n(θ − φ ) dφ , (1.12)  ∑ ∫ 2π −π n =1   Nhận xét rằng chuỗi (1.11) thật ra là phần thực của chuỗi ∞ ∞ 1 + 2∑ r n einθ e − inφ = 1 + 2∑ z n e − inφ , (1.13) n 1= n 1 = it là một chuỗi lũy thừa theo z = re . Vì chuỗi này hội tụ trong z < 1 và nó xác định một hàm chỉnh hình trong đĩa đơn vị, dẫn đến phần thực của nó (chuỗi (1.9)) là một hàm điều hòa. Vì U (φ ) là hàm thực nên ta có g (r , θ ) là phần thực của hàm chỉnh hình và vì thế g là một hàm điều hòa theo z = reiθ khi r < 1. Thay một cách hình thức r = 1 trong (1.12) ta có chuỗi Fourier của U (θ ) , do vậy chúng ta nhận được rằng chuỗi (1.12) như là nghiệm của bài toán Dirichlet, nghĩa là,= u ( z ) u= (reiθ ) g (r , θ ) là một hàm điều hòa trong miền z < 1 và tiệm cận đến U (θ ) khi z → 1 . Cuối cùng, bằng cách chứng minh đẳng thức 2 2 2 2 eiθ − reiφ ζ + z  ζ − z 1− r2 n 1 + 2∑ r cos n= (θ − φ ) Re = (1.14) = =  2 2 1 − 2r cos(θ − φ ) + r 2 ζ −z n =1 ζ − z  eiθ − reiφ ∞ và dùng (1.12) ta đi đến công thức Poisson: π U (φ ) 1− r2 u (reiθ ) = dφ ∫ 2π −π 1 − 2r cos(θ − φ ) + r 2 biểu diễn một hàm số điều hòa trong đĩa đơn vị theo “ các giá trị biên” của nó.  1.1.3 Như vậy với các giả thiết về tính chỉnh hình đẳng thức sau đúng F (t ) = ∞ ∑ce n = −∞ int (1.15) n khi π 1 (1.16) cn = F (t )e − int dt ∀n 2π −∫π Tuy nhiên không điều nào trong (1.15) hoặc (1.16) chỉ ra rằng rằng sự cần thiết của tính chỉnh hình của F. Thật vậy, các hệ số của (1.16) có thể được tính với mọi hàm khả tích F. Vậy chúng ta cần tìm hiểu tại sao tính đúng đắn của (1.15) xoay quanh tính chỉnh hình? Có định lý hội tụ tổng quát hơn nằm ngoài lý thuyết hàm chỉnh hình. Chúng ta chỉ trích dẫn một vài kết quả này mà bỏ qua chứng minh. 2 Định lý sau đây chỉ đòi hỏi tính khả tích của F , nhưng nó trả giá bằng sự hội tụ yếu hơn nhiều Định lý 1.4: Nếu tích phân π ∫π F (t ) 2 dt tồn tại, thì chuỗi Fourier xác định bởi (1.15) − và (1.16) tồn tại và hội tụ đến F theo nghĩa π lim N →∞ ∫ −π Sử dụng định lý trên ta có kết quả sau F (t ) − 2 N ∑ce n= − N n int dt = 0 Mệnh đề 1.5 Nếu F hệ số Fourier: khả tích trong [ −π , π ] thì ta có đồng nhất thức Parseval cho 2 π ∫π F (t ) dt = lim 2π 2 N →∞ − N ∑ n= − N 2 cn , (1.17) Chứng minh: Ta có π ∫ F (t ) − −π π 2 N N   int   dt F ( t ) c e F ( t ) cn e − int  dt = − − ∑ ∑ ∑ n   ∫ −N −N −N n= n= n=   −π  N cn e int N N Vì liên hợp của F (t ). ∑ cn e − int là F (t ). ∑ cn .eint vế phải trở thành: n= − N n= − N π ∫ F (t ) dt − 2 Re 2 π N ∑ ∫ cn F (t )e − int dt + −N n= −π −π π N  N − int  int   c e n   ∑ cn e  dt ∫−π  n∑ = −N −N   n=  N (1.18) Từ biểu thức hệ số Fourier (1.16), có thể viết số hạng thứ hai là −2(2π ) ∑ cn . Số hạng thứ 2 n= − N ba có thể được khai triển, nhưng chúng ta phải đổi một trong những chỉ số để tránh nhầm lẫn; khi đó số hạng này trở thành N π N ∑c ∑ c ∫e π i ( n−m )t n m −N −N n= m= − dt = 2π N ∑ c .c n n −N n= Như vậy chúng ta đã chỉ ra rằng π ∫π F (t ) − ∑ π 2 N cn e dt =∫ F (t ) dt − 2π 2 int N ∑ cn 2 −N −N n= n= −π − Theo định lý 1.4 , vế trái tiến gần 0 khi N → ∞ . Do đó π ∫π F (t ) dt − lim 2π 2 N →∞ − N ∑ n= − N cn = 0 2 Định lý hội tụ Fourrier tiếp theo sau đây có giá trị trong các áp dụng của lĩnh vực kĩ thuật, định lý xét hàm F là hàm tuần hoàn trơn từng khúc, vì trong thực tế chẳng hạn việc đóng ngắt mạch điện có thể sinh ra các hàm không liên tục, như là hàm bậc thang tuần hoàn minh họa trong hình 1.1 1 −2π −π π 0 2π -1 Hình 1.1. Hàm bậc thang tuần hoàn Sau đây ta chỉ hạn chế xét các hàm tuần hoàn F với hữu hạn sự gián đoạn trong một chu kì. Đặc biệt chúng ta giả sử rằng F có chu kì 2π và chia khoảng [ −π , π ] thành hữu hạn khoảng nhỏ bởi: −π = τ 0 < τ 1 < τ 2 < ... < τ n −1 < τ n = π Định lý 1.6 Giả sử F tuần hoàn và trơn từng khúc trong khoảng [ −π , π ] . Khi đó chuỗi Fourier của F hội tụ đến F(t) tại tất các điểm t mà F liên tục và hội tụ đến 1  F (τ j +) + F (τ j −)  tại tất cả các điểm gián đoạn τ j 2 của nó Ví dụ 2: Tính chuỗi Fourier của hàm bậc thang trong hình 1.1, và khảo sát tính hội tụ Giải: Hệ số Fourier được cho bởi 1 cn = 2π π 0 1 1 − int − int ∫−π F (t )e dt =2π −∫π ( −1)e dt + 2π Vì thế chuỗi Fourier là khi n = 0 0,  − int n ∫0 (1) e dt = i ( −1) − 1  , khi n ≠ 0 πn  π { }  ( −1)n − 1  int (1.19)  e (n ≠ 0) ∑ π n = −∞  n  Theo định lý 1.6, nó hội tụ đến +1 khi 0 < t < π , đến -1 khi −π < t < 0, và đến 0 khi t = 0 và t =π  ∞ i Khi ta sử dụng giải tích Fourier được sử dụng để giải hệ tuyến tính các phương trình vi phân, câu hỏi tự nhiên xuất hiện là liệu chuỗi Fourier có thể được đạo hàm theo từng số hạng hay không. Kết quả sau chứa đựng số lớn các trường hợp mà các kỹ sư quan tâm. Định lý 1.7 Giả sử F có khai triển Fourier F (t ) = ∞ ∑ce n = −∞ theo từng số hạng ∞ ∑ inc e n = −∞ n int n int (1.20) và chuỗi đạo hàm (1.21) hội tụ đều trên [ −π , π ] . Khi đó ∞ ∑ inc e n = −∞ int n = d ∞ cn eint ∑ dt n = −∞ Ví dụ 3: Tìm chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn t F (t ) = sin 2 5 và khảo sát tính hội tụ của chuỗi này Giải: Nhận xét rằng F có chu kì 2π . Hệ số Fourier được cho bởi π 5 1 t sin e − int dt. cn = ∫ 2π −π 2 Tích phân này có thể được tính khi sử dụng đồng nhất thức sau 5 5 1 sin 5 θ = sin θ − sin 3θ + sin 5θ 8 16 16 Với một số tính toán ta tìm được chuỗi Fourier của F(t)  240    ∞  π  (1.22) eint ∑ 2 4 6 n = −∞ 225 − 1036n + 560n − 64n Và theo định lý 1.6, nó hội đến F(t). Đạo hàm theo từng số hạng ta có  240  in    π  (1.23) eint ∑ 2 4 6 n = −∞ 225 − 1036n + 560n − 64n ∞ 2.240 ta thấy chuỗi này hội tụ đều. Vì vậy (1.23) Bằng cách so sánh với chuỗi (hội tụ) ∑ 5 n =1 64π n biểu diễn F’(t). Hơn nữa lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi (1.23) và so sánh kết quả với ∞ 2.240 ta có ∑ 4 n =1 64π n ∞ −n 2 (240 / π ) eint ∑ 2 4 6 225 1036 n 560 n 64 n − + − n = −∞ Lấy đạo hàm từng số hạng thêm hai lần nữa dẫn đến chuỗi Fourier cho F(3)(t) và F(4)(t). Thật 15 ra có thể kiểm tra được hàm F(t) là khả vi liên tục cấp 4 (Đạo hàm cấp 5 nhảy từ − đến 4 15 khi t tăng qua 0, ±2π , ±4π ,... )  + 4 F ''(t ) = ∞ Ví dụ tiếp theo minh hoạ việc sử dụng chuỗi Fourier giải bài toán phương trình vi phân tuyến tính . Ví dụ 4 Tìm một hàm số f thoả mãn phương trình vi phân d 2 f (t ) df (t ) F (t ), +2 + 2 f (t ) = 2 dt dt (1.24) ở đây F là hàm tuần hoàn “răng cưa” được mô tả bởi 2t  −1 − π , khi − π ≤ t ≤ 0, F (t ) :=  −1 + 2t , khi 0 ≤ t ≤ π  π −2π 1 π −π 2π -1 Hình 1.2. Hàm răng cưa Giải: Trước tiên ta chỉ ra cách tìm một nghiệm của một phương trình đơn giản hơn d 2 (t ) dg (t ) eiωt , (1.25) +2 + 2 g (t ) = 2 dt dt ở đây “hàm bắt buộc” ở vế phải được thay thế bằng một hàm hình sin đơn giản. Phương trình (1.25) có một nghiệm dạng g (t ) = Aeiωt . Để tìm A, chúng ta thay biểu thức này vào phương trình (1.25) và có −ω 2 Aeiωt + 2iω Aeiωt + 2 Aeiωt = eiωt , Chia cho eiωt có (−ω 2 + 2iω + 2) A = 1, Giải phương trình này tìm A, ta tìm được eiωt (1.26) g (t ) = −ω 2 + 2iω + 2 là nghiệm phương trình (1.25) Tiếp theo ta khai triển hàm F(t) đã cho thành chuỗi Fourier. Dùng công thức (1.16) ta có π 0 π 1 1  2t  − int 1  2t  − int − int cn F ( t ) e dt 1 e dt = = − − +    −1 + e dt ∫ ∫ ∫ 2π −π 2π −π  2π 0  π  π  khi n = 0 0,  = 2 n  π 2 n 2 {(−1) − 1} khi n ≠ 0 ∞ 2 {(−1) n − 1} int Vì thế (1.27) F (t ) = ∑ e , π 2n2 n ≠ 0, n = −∞ theo định lý 1.6. Bây giờ chúng ta lý luận như sau: chúng ta có (1.27) biểu diễn F(t) như là một tổ hợp tuyến tính, mặc dù vô hạn, của các hàm hình sin, và có (1.26) biểu thị một nghiệm đối với một hàm hình sin đơn giản. Do tính tuyến tính, chúng ta kết luận rằng nghiệm của phương trình đã cho là tổ hợp tuyến tính của các nghiệm hình sin, nghĩa là ∞ 2 {(−1) n − 1} eint (1.28) f (t ) = ∑ π 2n2 −n 2 + 2in + 2 n ≠ 0, n = −∞ là nghiệm của (1.24). Thật vậy (1.28) thỏa mãn (1.24) theo từng số hạng. Bằng cách so sánh  8  chuỗi (1.28) với chuỗi hội tụ ∑  2 4  ta kết luận rằng chuỗi (1.28) hội tụ và nó có thể π n  được đạo hàm theo từng số hạng hai lần. Vì phương trình (1.24) không có đạo hàm cao hơn hai nên phương trình được giải  Công thức (1.14) về hệ số trong chuỗi Fourier đôi khi được xem như là phép biến đổi Fourier hữu hạn (phép biến đổi Fourier vô hạn được xem xét trong mục 1.2). Sự tính toán hiệu quả của phép biến đổi này là rất quan trọng trong ứng dụng kĩ thuật. Nhưng trong thực hành người ta thường tính tích phân bằng giá trị số vì những lý do sau: 1. F(t) có thể được biết thông qua dữ liệu được đo - không có công thức 2. Ngay cả khi một công thức được cho đối với F(t), có thể không có biểu thức dạng đóng cho tích phân không xác định. π F (t ) − int Bây giờ khi n cố định, tổng Rieman xấp xỉ tích phân ∫ e dt có dạng 2π −π t −t t −t t −t S n , N F (τ 1 )e − inτ1 1 0 + F (τ 2 )e − inτ 2 2 1 + ... + F (τ N )e − inτ N N N −1 , = 2π 2π 2π ở đây −π = t0 < t1 < t2 < ... < t N = π và t j −1 ≤ τ j ≤ t j . Ta hãy chọn phân hoạch để có N 2π j ;và chúng ta hãy chọn điểm τ j là đầu mút bên trái của N khoảng tương ứng , τ j = t j −1 . Khi đó tổng có thể viết gọn lại khoảng bằng nhau, cho t j =−π + − in ( −π + 2π j ) i 2π nj N −1 N − 2π j e S n= F (−π + ) = ∑ Aj e N , ∑ ,N N N =j 0=j 0 N −1 (1.29) 2π j einπ . Khi N tăng, tổng S n,N hội tụ đến hệ số c n ; vì vậy sai số sẽ ) N N được kiểm soát khi chọn N lớn. Dĩ nhiên, các giá trị lớn hơn của N cũng dẫn đến nhiều nỗ lực tính toán hơn. Để đánh giá chỉ một hệ số c n bằng (1.29) đòi hỏi thực hiện N phép nhân, và khi ta tính phép biến đổi Fourier với N hệ số như thế ta tính tổng cộng N2 phép nhân. Trong ứng dụng ta thường muốn lấy N đến nhiều ngàn, và thuật toán của dạng này là quá phức tạp về mặt tính toán. Tuy nhiên bằng cách nhóm số hạng một cách khéo léo trong (1.29), công việc có thể đơn giản đáng kể. Giả sử, chẳng hạn với N=16, để tính toán, S 1,16 có dạng ở đây Aj := F (−π + = S1,16 15 − i2π j Aj e 16 ∑= 15 ∑ Aj e − iπ j 8 . =j 0=j 0  − ijπ  Các giá trị số của e 8 : j = 0,1, 2,...,15 là hoàn toàn thừa (nhìn trong bảng 1.3).   Để tính toán S1,16 thật ra chỉ cần thực hiện 3 phép nhân phức S1,16 = A0 − A8 − i ( A4 − A12 ) + .924[ A1 − A7 − A9 + A15 − i ( A3 + A5 − A11 − A13 )] + .707[ A2 − A6 − A10 + A14 − i ( A2 + A6 − A10 − A14 )] + .383[ A3 − A5 − A11 + A13 − i ( A1 + A7 − A9 − A15 )] j 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 − ijπ e 8 1.000 .924 .707 .383 -.383 -.707 -.924 -1.000 -.924 -.707 -.383 .383 .707 .924 -.383i -.707i -.924i -1.000i -.924i -.707i -.383i +.383i +.707i +.924i +1.000i +.924i +.707i +.383i Bảng 1.3 Các giá trị số của {e − ijπ /8 : j = 0,1, 2,...,15} Nếu chúng ta thực hiện sự tiết kiệm giống nhau cho 16 giá trị của S n,16 , số phép nhân có thể giảm từ 162=256 đến 16x3=48 Biến đổi Fourier nhanh (FFT) là thuật toán mà thực hiện có hệ thống sự sắp xếp lại các số hạng trong tính toán (1.29). Sự xuất hiện FFT vào những năm cuối thập niên 60 thế kỷ 20 là mốc lịch sử lớn trong giải tích hiện đại và quá trình xử lý tín hiệu. Đối với giá trị của N