Tài liệu Một số nguyên lý biến phân và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN XUÂN TRUNG MỘT SỐ NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN XUÂN TRUNG MỘT SỐ NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Hoàng Ngọc Tuấn Hà Nội, 2017 Lời cảm ơn Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Hoàng Ngọc Tuấn giảng viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành luận văn này. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán, các thầy cô phòng Sau đại học và các thầy cô của Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại Trường. Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp. Hà Nội, tháng 6 năm 2017 Tác giả Nguyễn Xuân Trung Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Một số nguyên lý biến phân và ứng dụng" được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Hoàng Ngọc Tuấn và nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác. Trong khi nghiên cứu và viết luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Tôi cũng xin cam đoan các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, tháng 06 năm 2017 Tác giả Nguyễn Xuân Trung Mục lục Phần mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Một số nguyên lý biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Nguyên lý biến phân Ekeland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Dạng hình học của nguyên lý biến phân Ekeland . . . . . . . . . . 12 1.3. Nguyên lý biến phân Borwein-Preiss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4. Nguyên lý biến phân Deville-Godefroy-Zizler . . . . . . . . . . . . . 21 Chương 2. Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1. Nguyên lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2. Định lý ánh xạ mở và Định lý Graves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3. Sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình và bất phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4. Nguyên lý biến phân Borwein-Preiss và dưới vi phân . . . . . . 42 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Các kí hiệu d(x, y) Khoảng cách giữa hai phần tử x và y {xn }∞ n=1 Dãy số thực hoặc phức C1 Tập tất cả các hàm khả vi liên tục B (a, r) hoặc Br (a) Hình cầu mở tâm a bán kính r B (a, r) hoặc B r (a) Hình cầu đóng tâm a bán kính r BX Hình cầu đơn vị đóng trong X x Chuẩn của x bd(S) Biên của S conv(S) Bao lồi của S diam(S) Đường kính của S supp(φ) Giá của hàm φ, {x ∈ X : φ(x) = 0} f (x) Gradient (Đạo hàm) của f tại x inf f Cận dưới đúng của f trên X sup f Cận trên đúng của f trên X X X domf Miền hữu hiệu của f epif Trên đồ thị của hàm f graphF Đồ thị của F ιS Hàm chỉ của tập S ∂F f (x) Dưới vi phân Fréchet của f tại x ∂V F f (x) Dưới vi phân Fréchet nhớt của f tại x Phần mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Một hàm nửa liên tục dưới trên một tập không compact có thể không đạt được cực tiểu. Nguyên lý biến phân khẳng định rằng, đối với hàm nhận giá trị vô cùng, nửa liên tục dưới và bị chặn dưới, người ta có thể thêm vào một sự thay đổi nhỏ (làm nhiễu) để nhận được một giá trị cực tiểu. Nguyên lý biến phân cho phép chúng ta áp dụng các kỹ thuật biến phân với hàm nửa liên tục dưới, nhận giá trị vô cùng, một cách có hệ thống và do đó mở rộng đáng kể sức mạnh của kỹ thuật biến phân. Những nguyên lý biến phân cung cấp các công cụ mạnh mẽ trong giải tích biến phân hiện đại. Các ứng dụng của nó bao gồm nhiều lĩnh vực trong cả lý thuyết và ứng dụng của giải tích như: tối ưu, hình học không gian Banach, giải tích không trơn, kinh tế, lý thuyết điều khiển, lý thuyết trò chơi,... Trong đề tài này, chúng ta tập trung vào hai nguyên lý biến phân và ứng dụng của nó đó là nguyên lý biến phân Ekeland và nguyên lý biến phân Borwein-Preiss. Chúng ta cũng xét một "đối tác" của nguyên lý biến phân Borwein-Preiss được đề xuất bởi Deville, Godefroy và Zizler. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về một số nguyên lý biến phân và ứng dụng của nó, dưới sự hướng dẫn của TS. Hoàng Ngọc Tuấn tôi đã chọn đề tài “Một số nguyên lý biến phân và ứng dụng” để thực 1 hiện luận văn của mình. Bố cục của luận văn bao gồm 2 chương: Chương 1 : Nghiên cứu về hai nguyên lý biến phân đó là: Nguyên lý biến phân Ekeland và nguyên lý biến phân Borwein-Preiss. Chúng ta cũng xét một "đối tác" của nguyên lý biến phân Borwein-Preiss đó là nguyên lý biến phân Deville-Godefroy-Zizler. Chương 2 : Ứng dụng các nguyên lý biến phân trong chứng minh một số định lý cơ bản của giải tích hàm, sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình và bất phương trình tuyến tính, chứng minh một số định lý cơ bản của lý thuyết tối ưu. 2. Mục đích nghiên cứu • Luận văn nghiên cứu về một số nguyên lý biến phân trong giải tích. • Ứng dụng nguyên lý biến phân trong chứng minh một số định lý cơ bản của giải tích hàm và lý thuyết tối ưu. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu • Nghiên cứu một số nguyên lý biến phân và ứng dụng của nó. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Nguyên lý biến phân Ekeland và nguyên lý biến phân Borwein-Preiss. • Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu các dạng khác nhau của một số 2 nguyên lý biến phân và ứng dụng. 5. Phương pháp nghiên cứu • Vận dụng các kiến thức, phương pháp của giải tích hàm, giải tích không trơn, lý thuyết tối ưu. . . • Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức liên quan đến các nguyên lý biến phân và ứng dụng. 6. Dự kiến đóng góp của luận văn Cố gắng xây dựng luận văn thành một tài liệu tổng quan tốt về đề tài một số nguyên lý biến phân và ứng dụng. Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi làm luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc. 3 Chương 1 Một số nguyên lý biến phân Chương này dành để hệ thống lại một số dạng của nguyên lý biến phân. Nội dung được chọn lọc từ tài liệu [2], [5]. 1.1. Nguyên lý biến phân Ekeland 1.1.1. Minh họa hình học Xét một hàm nửa liên tục dưới f bị chặn dưới trên một không gian Banach (X, . ) . Rõ ràng f có thể không đạt được cực tiểu hoặc về phương diện hình học, f có thể không có một giá siêu phẳng. Nguyên lý biến phân Ekeland cung cấp một thay thế xấp xỉ để đạt được một cực tiểu bởi khẳng định rằng, với bất kỳ ε > 0, f phải có một nón tựa có dạng f (y) − ε x − y . Điều này được minh họa bằng Hình 1.1. Chúng ta bắt đầu với một điểm z0 mà f (z0 ) < inf X f + ε và xét nón f (z0 ) − ε x − z0 . Nếu nón này không đỡ được f thì ta luôn có thể tìm được một điểm z1 ∈ S0 := x ∈ X|f (x) ≤ f (z) − ε x − z sao cho 1 f (z1 ) < inf f + [f (z0 ) − inf f ]. S0 S0 2 Nếu f (z1 )−ε x − z1 không đỡ được f thì chúng ta lặp lại bước trên. Với quá trình này hoặc tìm được một nón tựa mong muốn hoặc tạo ra một dãy các tập đóng lồng nhau (Si ) có đường kính thu nhỏ lại đến 0. Cuối 4 Hình 1.1: Nguyên lý biến phân Ekeland. Nón đỉnh: f (x0 ) − ε|x − x0 |; Nón giữa: f (x1 ) − ε|x − x1 |; Nón dưới: f (y) − ε|x − y|. cùng, f (y) − ε x − y là một nón tựa của f , trong đó {y} = ∞ i=1 Si . Lập luận này được áp dụng tương tự trong một không gian metric đầy đủ. Hơn nữa, nó cũng cung cấp một sự đánh giá hữu ích về khoảng cách giữa y và ε-cực tiểu ban đầu z0 . 1.1.2. Dạng cơ bản Bây giờ chúng ta chuyển sang nghiên cứu dạng giải tích của bức tranh hình học được mô tả ở trên - Nguyên lý biến phân Ekeland và chứng minh của nó. Định lý 1.1.1. ([2], Theorem 2.1.1) (Nguyên lý biến phân Ekeland) Cho (X, d) là một không gian metric đầy đủ và cho f : X → R ∪ {+∞} là một hàm nửa liên tục dưới bị chặn dưới. Giả sử rằng ε > 0 và z ∈ X thỏa mãn f (z) < inf f + ε. X Khi đó tồn tại y ∈ X sao cho 5 (i) d(z, y) ≤ 1, (ii) f (y) + εd(z, y) ≤ f (z), và (iii) f (x) + εd(x, y) ≥ f (y), với mọi x ∈ X. Chứng minh. Ta xác định một dãy (zi ) bằng quy nạp bắt đầu với z0 := z. Giả sử rằng ta đã xác định được zi . Đặt Si := x ∈ X| f (x) + εd(x, zi ) ≤ f (zi ) và xét hai khả năng: (a) inf Si f = f (zi ). Khi đó ta xác định zi+1 := zi . (b) inf Si f < f (zi ). Ta chọn zi+1 ∈ Si sao cho 1 1 f (zi+1 ) < inf f + [f (zi ) − inf f ] = [f (zi ) + inf f ] < f (zi ). Si Si Si 2 2 (1.1) Ta chỉ ra rằng (zi ) là một dãy Cauchy. Trên thực tế, nếu (a) luôn xảy ra thì zi là cố định với i đủ lớn. Trái lại, εd(zi , zi+1 ) ≤ f (zi ) − f (zi+1 ). (1.2) Cộng (1.2) từ i đến j − 1 > i ta có εd(zi , zj ) ≤ f (zi ) − f (zj ). (1.3) Chú ý rằng dãy (f (zi )) giảm và bị chặn dưới bởi inf X f , do đó nó hội tụ. Ta có kết luận từ (1.3) rằng (zi ) là dãy Cauchy. Giả sử y := lim zi . Ta i→∞ chỉ ra rằng y thỏa mãn các kết luận của định lý. Đặt i = 0 trong (1.3) ta có εd(z, zj ) + f (zj ) ≤ f (z). (1.4) Lấy các giới hạn, khi j → ∞ thu được (ii). Vì f (z) − f (y) ≤ f (z) − inf X f < ε, từ (ii) suy ra (i). Ta còn phải chỉ ra rằng y thỏa mãn (iii). 6 Cố định i trong (1.3) và lấy giới hạn khi j → ∞ thu được y ∈ Si . Điều đó có nghĩa là ∞ y∈ Si . i=1 Mặt khác, nếu x ∈ ∞ i=1 Si thì, với mọi i = 1, 2, ..., εd(x, zi+1 ) ≤ f (zi+1 ) − f (x) ≤ f (zi+1 ) − inf f. Si (1.5) Từ (1.1) ta có f (zi+1 ) − inf Si f ≤ f (zi ) − f (zi+1 ), và ở đó limi [f(zi+1 ) − inf Si f ] = 0. Lấy giới hạn trong (1.5) khi j → ∞ ta có εd(x, y) = 0. Từ đó suy ra ∞ Si = {y} . (1.6) i=1 Lưu ý rằng dãy các tập (Si ) là lồng nhau, tức là với i bất kỳ, Si+1 ⊂ Si . Trong đó, với bất kỳ x ∈ Si+1 , f (x) + εd(x, zi+1 ) ≤ f (zi+1 ) và zi+1 ∈ Si thu được f (x) + εd(x, zi ) ≤ f (x) + εd(x, zi+1 ) + εd(zi , zi+1 ) ≤ f (zi+1 ) + εd(zi , zi+1 ) ≤ f (zi ), (1.7) có nghĩa là x ∈ Si . Bây giờ, với bất kỳ x = y, từ (1.6) suy ra x ∈ Si khi / i đủ lớn. Như vậy, f (x) + εd(x, zi ) ≥ f (zi ). Lấy giới hạn khi i → ∞ ta được (iii). 1.1.3. Các dạng khác Vì ε > 0 là tùy ý nên nón tựa trong nguyên lý biến phân Ekeland có thể làm "phẳng" như mong muốn. Điều này chỉ ra rằng trong các ứng dụng một nón tựa phẳng là đủ để thay thế cho mặt phẳng tựa có thể 7 không tồn tại. Định lý sau đây có thể được suy ra dễ dàng từ Định lý 1.1.1 bởi một lập luận giải tích. Định lý 1.1.2. ([2], Theorem 2.1.2) Cho (X, d) là một không gian metric đầy đủ và cho f : X → R ∪ {+∞} là một hàm nửa liên tục dưới bị chặn dưới. Giả sử rằng ε > 0 và z ∈ X thỏa mãn f (z) < inf f + ε. X Khi đó, với mỗi λ > 0 tồn tại y sao cho (i) d(z, y) ≤ λ, ε (ii) f (y) + ( )d(z, y) ≤ f (z), và λ ε (iii) f (x) + ( )d(x, y) > f (y), với mọi x ∈ X\ {y}. λ Chứng minh. Nếu λ = 1 thì ta có Định lý 1.1.1 ở trên. Trong trường d hợp tổng quát ta thay d bằng và theo Định lý 1.1.1 ta có điều phải λ chứng minh. Hằng số λ trong Định lý 1.1.2 làm cho nó rất linh hoạt. Một sự lựa √ chọn thường xuyên là lấy λ = ε và để cân bằng các nhiễu trong (ii) và (iii). Định lý 1.1.3. ([2], Theorem 2.1.3) Cho (X, d) là một không gian metric đầy đủ và cho f : X → R ∪ {+∞} là một hàm nửa liên tục dưới bị chặn dưới. Giả sử rằng ε > 0 và z ∈ X thỏa mãn f (z) < inf f + ε. X Khi đó, tồn tại y sao cho 8 √ (i) d(z, y) ≤ (ii) f (y) + (iii) f (x) + √ ε, εd(z, y) ≤ f (z), và √ εd(x, y) > f (y), với mọi x ∈ X\ {y} . Chứng minh. Đặt λ = √ ε trong Định lý 1.1.2. Khi z trong Định lý 1.1.2 không được biết chính xác hoặc không quan trọng thì dạng yếu sau của nguyên lý biến phân Ekeland là hữu ích. Định lý 1.1.4. ([2], Theorem 2.1.4) Cho (X, d) là một không gian metric đầy đủ và cho f : X → R ∪ {+∞} là một hàm nửa liên tục dưới bị chặn dưới. Khi đó, với mỗi ε > 0, tồn tại y sao cho f (x) + √ εd(x, y) > f (y). Định lý 1.1.5. ([2], Theorem 2.2.5) (Sự tương đương với tính đầy đủ) Cho (X, d) là một không gian metric. Khi đó X là đầy đủ khi và chỉ khi với mỗi hàm nửa liên tục dưới f : X → R ∪ {+∞} bị chặn dưới và với mỗi ε > 0 tồn tại một điểm y ∈ X thỏa mãn f (y) ≤ inf f + ε, X và f (x) + εd(x, y) ≥ f (y), ∀x ∈ X. Chứng minh. Chiều thuận được suy ra từ Định lý 1.1.4. Ta sẽ chứng minh phần đảo của định lý này. Cho (xi ) là một dãy Cauchy. Khi đó, hàm f (x) := limi→∞ d(xi , x) được xác định và không âm. Do hàm khoảng cách là Lipschitz đối với x nên f liên tục. Hơn nữa, (xi ) là dãy Cauchy 9 nên ta có f (xi ) → 0 khi i → ∞ để cho inf X f = 0. Với ε ∈ (0, 1) chọn y sao cho f (y) ≤ ε và f (y) ≤ f (x) + εd(x, y), ∀x ∈ X. (1.8) Cho x = xi trong (1.8) và lấy giới hạn khi i → ∞ ta được f (y) ≤ εf (y) do đó f (y) = 0. Vậy limi→∞ xi = y. Tiếp theo chúng ta sẽ trình bày nguyên lý biến phân Ekeland đối với hàm khả vi Gâteaux trong không gian Banach. Trước hết ta nhắc lại khái niệm đạo hàm Gâteaux và đạo hàm Fréchet. Định nghĩa 1.1.1. ([5], Definition 3.4) Cho X, Y là các không gian Banach, và f : U → Y là một ánh xạ từ tập mở U vào Y , (U ⊆ X). Ánh xạ f được gọi là khả vi Gâteaux tại x ∈ U nếu f (x + td) − f (x) = Ad, ∀d ∈ X, t→0 t lim trong đó A : X → Y là một ánh xạ tuyến tính. Nếu f khả vi Gâteaux tại mọi điểm x ∈ U thì ta nói f khả vi Gâteaux trên U . Ánh xạ A ký hiệu là Df (x) (hoặc f (x)) và được gọi là đạo hàm Gâteaux của f . Ánh xạ f được gọi là khả vi Fréchet tại x ∈ U nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính B : X → Y sao cho lim h →0 f (x + h) − f (x) − Bh = 0. h Ánh xạ B ký hiệu là Df (x) (hoặc f (x)) và được gọi là đạo hàm Fréchet của f . Nếu f khả vi Fréchet tại mọi điểm x ∈ U thì ta nói f khả vi Fréchet trên U . Do đó ta có Df : U → L(X, Y ), trong đó L(X, Y ) là không gian Banach của các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y được 10 trang bị chuẩn L := sup Lx . x =1 Nếu Df liên tục trên U , thì ta nói f khả vi liên tục trên U và viết là f ∈ C 1 . Nếu Df ∈ C 1 thì ta nói f khả vi liên tục cấp hai và viết là f ∈ C 2 . Ánh xạ f khả vi liên tục bậc k được ký hiệu là f ∈ C k . Từ đó thấy rằng nếu f khả vi Fréchet tại x ∈ U thì nó cũng khả vi Gâteaux tại x và hai đạo hàm này của f là giống nhau. Định lý 1.1.6. ([5], Corollary 3.5) Cho f : X → R là một hàm trên không gian Banach X và khả vi Gâteaux, nửa liên tục dưới, bị chặn dưới. Cho ε > 0 và cho x ∈ X là điểm sao cho f (x) ≤ inf f + ε. Khi đó tồn X tại điểm xε ∈ X sao cho f (xε ) ≤ f (x), x − xε ≤ 1, f (xε ) ≤ ε. Vì vậy, khi đó tồn tại một dãy cực tiểu {xn } trong X thỏa mãn f (xn ) → inf f và X f (xn ) → 0. Chứng minh. Định lý 1.1.1 cho ta điểm xε thỏa mãn hai điều kiện đầu tiên ở trên. Để chứng minh điều kiện thứ ba, không mất tính tổng quát ta xét một hướng d ∈ X tùy ý, d = 1, ta có t f (xε ), d + o(t) = f (xε + td) − f (xε ) ≥ −tε khi t → 0, trong đó đẳng thức được suy ra từ điều kiện f khả vi Gâteaux và bất đẳng thức được suy ra từ (iii) trong Định lý 1.1.1. Khi đó: f (xε ) < f (xε +td)+|t| ε ⇒ f (xε ), d +0(t) > − |t| ε ⇒ | 11 f (xε ), d | ≤ 1 f (xε ) ≤ ε. Lấy yn ∈ X sao cho f (yn ) ≤ inf f + , X n khi đó tồn tại xn sao cho ε, ∀ d = 1, ⇒ f (xn ) ≤ f (yn ) và f (xn ) ≤ 1 . n Vậy dãy {xn }∞ thỏa mãn tính chất trên. 1 1.2. Dạng hình học của nguyên lý biến phân Ekeland Tiếp theo chúng ta sẽ tìm hiểu nguyên lý biến phân Ekeland từ góc độ hình học. 1.2.1. Định lý Bishop-Phelps Cho X là một không gian Banach. Với mỗi x∗ ∈ X ∗ \ {0} và với ε > 0 ta nói rằng K(x∗ , ε) := x ∈ X : ε x∗ x ≤ x∗ , x là một nón Bishop-Phelps với x∗ và ε. Trong không gian 3 chiều ta có minh họa hình học là Hình 1.2. Định lý 1.2.1. ([2], Theorem 2.2.1) (Định lý Bishop-Phelps) Cho X là một không gian Banach và cho S là một tập con đóng của X. Giả sử rằng x∗ ∈ X ∗ là bị chặn trên S. Khi đó, với mỗi ε > 0, S có một nón K(x∗ , ε) tựa điểm y, tức là {y} = S ∩ [K(x∗ , ε) + y]. 12 Hình 1.2: Nón Bishop-Phelps. Chứng minh. Áp dụng nguyên lý biến phân Ekeland của Định lý 1.1.1 x∗ với hàm f = − ∗ + ιS là nửa liên tục dưới ta được điều phải chứng x  0 nếu x ∈ S, minh. Trong đó ιS (x) = +∞ nếu trái lại. Bức tranh hình học của Định lý Bishop-Phelps và của nguyên lý biến phân Ekeland là gần như giống nhau: nón Bishop-Phelps K(x∗ , ε) + y trong Định lý 1.2.1 đóng vai trò tương tự như nón f (y) − εd(x, y) trong Định lý 1.1.1. Ta có thể dễ dàng thu được một phiên bản không gian Banach của nguyên lý biến phân Ekeland bằng cách áp dụng Định lý Bishop-Phelps với trên đồ thị của một hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới. Nếu ta có thêm thông tin, chẳng hạn các điểm trong hoặc điểm ngoài 13 của tập đã cho, thì nón tựa có thể được thay thế bởi các tập bị chặn được xây dựng một cách tinh vi hơn. Khi đó ta có Định lý Flower-Petal hay còn được gọi là Định lý Cánh hoa. 1.2.2. Định lý Cánh hoa Cho X là một không gian Banach và cho a, b ∈ X. Ta nói rằng Pγ (a, b) := x ∈ X : γ a − x + x − b ≤ b − a là một cánh hoa liên kết với γ ∈ (0, +∞) và a, b ∈ X. Một cánh hoa thì luôn lồi và những cánh hoa thú vị được hình thành khi γ ∈ (0, 1). 1 1 Hình 1.3 vẽ các cánh hoa Pγ ((0, 0), (1, 0)) với γ = , và γ = . 3 2 Hình 1.3: Hai cánh hoa. Định lý 1.2.2. ([2], Theorem 2.2.2) (Định lý Cánh hoa) Cho X là một không gian Banach và cho S là một tập con đóng của X. Giả sử rằng 14