Tài liệu Một số bài toán về giới hạn của dãy số truy hồi

SỞ SỞ GD&ĐT GD&ĐT VĨNH VĨNH PHÚC PHÚC TRƢỜNG THPT TAM DƢƠNG TRƢỜNG THPT TAM DƢƠNG II II BÁO BÁO CÁO CÁO KẾT KẾT QUẢ QUẢ NGHIÊN NGHIÊN CỨU, CỨU, ỨNG ỨNG DỤNG DỤNG SÁNG SÁNG KIẾN KIẾN Tên Tên sángsáng kiến:kiến: MỘT MỘT SỐ SỐ BÀI BÀI TOÁN TOÁN VỀVỀ KHOẢNG CÁCH GIAN GIỚI HẠN CỦATRONG DÃY SỐKHÔNG TRUY HỒI. Tác giả Phùng Thế Bằng Tácsáng giả kiến: sáng kiến: Phùng Thế Bằng Mã sáng kiến : 08.52. Mã sáng kiến : 08.52.01 Tam dƣơng năm 2018 Vĩnh phúc, năm 2019 1 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. Lời giới thiệu. 1.1. Lí do chọn sáng kiến. Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến giới hạn của dãy số là một những mảng kiến thức hay và khó, đặc biệt khi bài toán chưa cho công thức số hạng tổng quát của dãy. Một trong những kiểu dãy số như vậy chính là dãy cho bởi hệ thức truy hồi. Đây là một dạng bài toán khó, đòi hỏi nhiều kĩ thuật; bài toán này thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, quốc gia và quốc tế. Trong quá trình giảng dạy chương trình toán lớp 11 và bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi đã tìm tòi đúc kết và rút ra được một số kỹ thuật tìm giới hạn của các bài toán dạng này. Với mong muốn cung cấp một công cụ gần gũi hơn cho học sinh, đề tài “Một số bài toán về giới hạn của dãy số truy hồi ” sẽ cho ta một phương pháp để giải quyết được một phần nào đó vấn đề đặt ra đối với các dãy số cho bởi hệ thức truy hồi. Hi vọng đề tài sẽ cung cấp cho học sinh những kiến thức bổ ích và cũng là tài liệu tham khảo tốt cho bạn bè, đồng nghiệp. 1.2. Mục đích nghiên cứu. Xây dựng phương pháp giải một số dạng bài toán liên quan tính giới hạn của dãy số được cho bởi công thức truy hồi. 2. Tên sáng kiến: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TRUY HỒI. 3. Tác giả sáng kiến. - Họ và tên: Phùng Thế Bằng - Địa chỉ: Trường THPT Tam Dương II - Tam Dương - Vĩnh Phúc. - Số điện thoại: 0912 911 921 - Email: [email protected] 4. Chủ đầu tƣ tạo ra sáng kiến: Phùng Thế Bằng 2 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: - Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng cho học sinh khối 11 ôn thi HSG, thi THPT QG. - Phạm vi nghiên cứu thuộc Chương III, IV của bộ môn Toán Đại số và Giải tích 11. 6. Ngày sáng kiến đƣợc áp dụng lần đầu: 10/3/2017 7. Mô tả bản chất của sáng kiến: Phần 1: THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Trong nhiều năm giảng dạy tôi nhận thấy học sinh còn gặp nhiều khó khăn trong giải các bài tập liên quan đến giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi, đặc biệt là những bài toán ở mức độ vận dụng và vận dụng cao. Trong sách giáo khoa, sách bài tập các dạng toán này không nhiều nhưng nó thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi. Các tài liệu tham khảo, loại bài tập này khá đa dạng nhưng sử dụng nhiều bằng phương pháp sai phân, khá xa lạ với học sinh phổ thông. 3 Phần 2. NỘI DUNG A. CƠ SỞ LÍ THUYẾT. I. Dãy số. 1. Định nghĩa. a) Mỗi hàm số u xác định trên tập số tự nhiên được gọi là dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số) u: n Đặt u n u n un và gọi là số hạng tổng quát của dãy số un . b) Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3, …,m}, với m ∈ ℕ*, được gọi là dãy số hữu hạn. c) Dãy số cho bằng công thức truy hồi, tức là: + Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu). + Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu diễn số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng đứng trước nó). Ví dụ: Dãy Fibonaxi được xác định bởi u1 u2 1 un un un 1 2 n 3 2. Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn. - Dãy số un được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có un un 1. - Dãy số un được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có un un 1. - Dãy số un được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho: n , un M. - Dãy số un được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho: n , un m. - Dãy số un được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại số M và m sao cho : n 3. Giới hạn của dãy số. 4 ,m un M. a) Dãy số có giới hạn 0. - Ta nói rằng dãy số un có giới hạn 0 nếu với mọi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. Khi đó ta viết : lim un 0 hoặc lim un 0 hoặc un 0 Định lí 1: Cho hai dãy số un và vn 0 thì lim un vn với mọi n và lim vn Nếu un 1 thì lim q n Định lí 2: Nếu q 0. b) Dãy số có giới hạn hữu hạn. - Ta nói rằng dãy số un có giới hạn là số thực L nếu lim un số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn. Định lí 3: Giả sử lim un A, limvn lim un lim un .vn lim A vn un vn L 0. Khi đó L hoặc un ⟶𝐿. Dãy số có giới hạn là một L hoặc lim un ta viết : lim un 0. B và c là một hằng số. Khi đó: B ; lim un AB . ; lim cun A (Nếu B B A vn B cA 0) Định lí 4:(Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn) Cấp số nhân vô hạn u1, u1q, u1q 2, ..., u1q n ,... có công bội q với q 1 gọi là một cấp số nhân lùi vô hạn. Khi đó S u1 u1q u1q 2 ... u1q n c. Dãy số có giới hạn vô cực. - Ta nói rằng dãy số un có giới hạn là ... u1 1 q nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó. Khi đó ta viết : Lim un hoặc lim un hay un - Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều bé hơn số âm đó. Khi đó ta viết: Lim un hoặc lim un hay un Định lí 5: Nếu lim un thì lim 5 1 un 0 II. Các dãy số đặc biệt. 1. Cấp số cộng. u1 a) Định nghĩa: Dãy số un xác định bởi a un un 1 d, n ( a, d là hai số thực cho trước) được gọi là cấp số cộng. Trong đó: a là số hạng đầu tiên, d là công sai. Đặc biệt khi d 0 thì un là dãy số trong đó tất cả các số hạng đều bằng nhau và gọi là dãy số không đổi. b) Các tính chất: Tính chất 1: Ba số un , un 1, un là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng un 2 nếu: un un un 2 1 2 Tính chất 2: Số hạng thứ n của cấp số cộng un được cho bởi công thức: un u1 n 1 d, n 2 Tính chất 3: Tổng của n số hạng đầu tiên (kí hiệu là S n ) của cấp số cộng un được cho bởi công thức: Sn u1 u2 ... n u 2 1 un n 2u 2 1 un n 1d 2. Cấp số nhân. a) Định nghĩa: Dãy số un xác định bởi u1 a un 1 unq , n ( a, q là hai số thực cho trước) được gọi là cấp số nhân. Trong đó: a là số hạng đầu tiên, q là công bội. b) Các tính chất: Tính chất 1: Ba số un , un 1, un 2 là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân un nếu: un2 un .un 1 2 Tính chất 2: Số hạng thứ n của cấp số nhân un được cho bởi công thức: u1.q n un 6 1 Tính chất 3: Tổng của n số hạng đầu tiên (kí hiệu là S n ) của cấp số nhân un với công bội q 1 được cho bởi công thức: Sn u1 u2 1 qn u1. 1 q un ... 3. Một số tổng đặc biệt. Với mọi số tự nhiên n ta luôn có: n n 1 a) 1 2 3 ... n 2 n n b) 12 22 32 ... n 2 c) 13 23 33 ... 1 2n 6 n2 n n3 1 1 2 4 B. NỘI DUNG. 1. Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách xác định công thức tổng quát (CTTQ) của dãy. DẠNG 1: Cho dãy số un biết hằng số. Ta chỉ xét với trường hợp q u1 a un 1, q qun 1 0, d d, n 1 , trong đó q, d là các 0 vì nếu xảy ra dấu bằng ở một trong ba trường hợp này thì dãy đã cho là CSC, hoặc dãy không đổi, hoặc CSN. Ta sẽ đưa dãy này về một CSN, bằng cách đặt un vn c , thay vào hệ thức truy hồi của dãy ta có: vn 1 c q vn Ta chọn c sao cho q 1c c d d vn c 0 qvn 1 d 1 q q 1c , khi đó vn 1 d qvn nên vn là một CSN. Ví dụ 1: Cho dãy số un xác định như sau: Tính lim un . Giải: 7 u1 un 1 2020 1 u 2019 n 2018, n 1 Đặt un vn 2018 1 1 2019 1 v 2019 n vn 2019 1 v1.q n 1 1. 2019 1 vn 2019 2019 , ta có: u1 Ta có: 3un Đặt un vn 1 u2 n 1 1 2019 un 1 2 v 3 n un 1 1 3 2 1 3 vn 1 u1 3un n 1 2019 . Do đó lim un 2 2un 1 1, n vậy vn Suy ra Sn v1 un 1 vn 1 3 1 vn 1 . Khi đó: 2 v , n 3 n 1 n 1 suy ra un v2 1 .... vn vn 2 3 1 2 3 n 1 Vậy l imSn =lim 1 Giải: 2 1 un . 3 3 Suy ra dãy số vn là một CSN lùi vô hạn với công bội q 2 1. 3 2019 . un . Tính lim Sn ... 2un 1 1 v . Nên vn là một 2019 n 1 . Do đó Ví dụ 2: Cho dãy số (un) xác định bởi Đặt Sn vn 2018 1 và v1 2019 CSN có công bội q vn un 2 3 3 n n 8 2 và v1 3 n 1 1, n 1 n 2 3 n 2 3 3 n n. 1 . Do u1 DẠNG 2: Cho dãy số un biết là các hằng số và q + Nếu q 0;c a0 un qun 1 cn d, n 1 , trong đó q, c, d 0 1 , từ hệ thức truy hồi ta có: u1 a 0 u2 u1 c.1 d u 3 u2 c.2 d .................... un un c. n 1 d 1 Cộng vế với vế các hệ thức trên ta được: un a0 c.1 c.2 c. n ... 1 , khi đó ta đặt un + Nếu q qvn 1 Chú ý: Nếu un 1 a n 1 vn 1 qvn d a c d 1 q qun 1 vn vn Ta xác định a sao cho qa Khi đó vn n 1 c 1d 1 2 n 1d en f an, khi đó: q vn a 0 cn n a0 an cn a c n qa a c 1 q d . . Đây chính là dạng 1. cn 2 dn e hoặc un qun 1 cn 3 dn 2 thì cũng làm tương tự như trên. Ví dụ 3: Cho dãy số un được xác định bởi Hãy tính lim un n2 Giải: Ta có: u1 5 u2 u1 3.1 2 u 3 u2 3.2 2 .................... un un 1 3. n 1 2 Cộng vế với vế các hệ thức trên ta được: 9 u1 un 5 1 un 3n 2 n 1 . un 5 31 Do đó, lim 2 un lim n2 n ... 3n 2n 1 2 7n 2n 2 3n n 1 2n 2 3 14 1 7 lim Ví dụ 4: Cho dãy số un được xác định bởi 1 n 2 7 14 n2 u1 3n 2 7n 2 14 3 2 11 un 10un 1 Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy và tính lim un 1 9n n 1 . n 2018n Giải: Đặt un vn v1 1 9n 1 10 10 vn vn n 1 10 và công bội q đó ta có lim un n vn n , ta có: n 1 9n DẠNG 3: Cho dãy số un biết các hằng số và q + Nếu q 0;c 1 10vn 1 10.10n 10 , do vậy vn 10n lim 2018n 2018n vn un 10n 1 un n . Từ 0 a0 rc n qun 1 10n n 5 lim 1009 u1 vn là một CSN có n 1 , trong đó q, c là 0 u1 un a0 1 un rc n n u1 u2 a0 u1 1 , ta có thể làm như sau: rc u 3 u2 rc 2 .................... un un 1 rc n 1 Cộng vế với vế các hệ thức trên ta được: un + Nếu c3 ... 1 , ta đặt un c vn acn , thay vào hệ thức truy hồi ta có r c 10 1 1 c2 a0 q q cn cr 1 c n a0 1 c vn 1 acn 1 ac n q vn xác định a sao cho r a q rc n c vn r a 0 c cn r qvn 1 q a q , khi đó vn c . Ta qvn 1 vn là một CSN. + Nếu q u1 c un a0 qun 1 n rq , n Thay vào hệ thức truy hồi ta được: q n 1vn 1 q q nvn 1 q n .vn . , khi đó ta đặt un rq n vn 1 vn r q vn là CSC. u1 Ví dụ 5: Cho dãy số un được xác định bởi un 2019 1 2 un 1 n n . 1 Hãy tìm lim un Giải: Ta có: u1 2019 1 2 2 1 u 3 u2 2 .................... u2 u1 un un 1 1 2 n 1 Cộng vế với vế các hệ thức trên ta được: un 2019 1 2 1 2 Do vậy lim un 2 1 2 lim 2020 3 ... 1 2 1 2 n 1 2019 1 2020 1 2 2020 un 3n 1 n 1 Ví dụ 6: Cho dãy số un được xác định bởi Hãy tìm lim 1 . 2 n 1 1 2 1 11 u1 un 8 1 2un 3n n 1 . 1 2 n 1 Giải: Đặt un vn 3n vn 3 2 2 vn 3n n 1 3 1 un 3n 5 và công bội q đầu v1 Do đó lim un 3n vn 2vn 1 5.2n vn 2 5.2n 1 lim 3n 1 3n , thay vào hệ thức truy hồi ta có: vn 3n 1 u1 5.2n un 5 2 lim . 6 3 1 DẠNG 4: Cho dãy số un biết vn là một CSN với số hạng n 1 3 1 3n. 1 . 3 a un cun , q dun 1 n 1 , trong đó q, c là các hằng số. 1 Đặt un , thay vào hệ thức truy hồi ta có: vn c vn 1 vn d vn q 1 c 1 vn 1 q.vn d u1 a DẠNG 5: Cho dãy số un biết là các hằng số. Đặt un vn vn vn Ta xác định d un vn b q 1 q v c n 1 cun , dun d (quy về dạng 1) c n 1 , trong đó q,b, c, d , thay vào hệ thức truy hồi ta được: 1 c b c vn q d vn d vn 1 vn d q 2 1 c b c vn q d vn q b d vn . là nghiệm của phương trình: 2 c q b 0 vn c 1 q d d vn vn (quy về dạng 4) Ví dụ 7: (HSG 11 Vĩnh phúc năm 2014 - 2015) Cho dãy số  un  được xác định 2014 u1 1 u2 1 ... un 1 un , n 1,2,3,... Tính lim bởi: u1 1, un 1 . 2015n un 1 12 Giải: 1 , thay vào hệ thức truy hồi ta có: vn Đặt un 1 vn 1 vn 1 vn 1 1 vn 1 vn 1 1 u1 vn là CSC với v1 un 1 vn 1 vn 1 1 với công sai d 1 1 vn 1 n 1 .1 n 1 . Do đó n 1 1 1 1 1 ... 1 2014 u1 1 u2 1 ... un 1 1 2 n lim lim 2015n 2015n 2014.2.3....n. n 1 2014 n 1 2014 lim lim 2015n.1.2....n 2015n 2015 u1 2 Ví dụ 8: Cho dãy số un được xác định bởi . un un 1 n 1 2 un 2014 Hãy tìm lim 2n un Giải: Đặt un 1 , thay vào hệ thức truy hồi ta có: vn 1 vn 1 vn Đặt vn yn với y1 v1 q yn 2 1 vn 2 1 1 , ta có: yn 1 1 2 3 n .2 2 n Do đó lim 2 un 1 1 lim 1 vn 2 1 1 1 1 vn 1 2vn yn 1 2yn , công bội 3 n .2 2 vn 2n 3.2n 2vn 2 yn 1 1 1 2 1 1 1 un 3.2n 4 4 lim 1 3 3 n 2 2 13 1 2 1 . 1 yn là CSN u1 Ví dụ 9: Cho dãy số un được xác định bởi 3 1 un 1 n un 2 . 1 Hãy tìm lim un . Đặt un Giải: , từ hệ thức truy hồi ta có: vn vn Ta xác định 1 2 sao cho 2 1 là một CSC, với số hạng đầu y1 yn 1 2 n 1. Do vậy lim un 1 3 2 2 vn 2 1 , khi đó: vn 1 yn 1 1 0 1 1 yn 2 vn vn 2 1 1 , ta có: yn 1 vn đặt yn 1 vn yn 1 v1 1 yn 1 1 u1 1 yn 1 vn . Ta lại 1 vn 1 yn 1 1 và công sai d 2 1 n . Khi đó un vn u1 1 1 1 yn 1 , do đó 2n 2n 1 1. Ví dụ 10: Cho dãy số un xác định bởi un 1 un un 4 , n 6 1 Tìm số hạng tổng quát của un và tính lim un . Đặt un Giải: , từ hệ thức truy hồi ta có: vn vn 1 vn vn 4 6 vn 1 1 4 0 , chọn Ta xác định sao cho 2 5 5vn 1 , khi đó: vn 1 . Ta lại đặt yn vn vn 2 14 vn vn 2 yn 1 5 6 4 , ta được 4 5 . 3 5 yn 1 yn 1 yn 1 yn 1 an vn lim un yn 2 1 1 , ta có: an 3 số hạng đầu a1 do đó an 5 1 3 y1 2 2 . 15 5 2 4. 5 1 1 1 3 2 a 5 n 1 v1 un 1 1 5 u1 3.5n 2n 5n 4 2 a 5 n 1 1 3 4 n 1 1 . Tiếp tục đặt 5 an 1 2 2 . 15 5 yn 2 y 5 n 1 3 1 3 n 1 3.5n 2n 5n lim 1 2yn yn an là CSN có 2 và công bội q 15 2n 5n 3.5n 1 3 5n 4.2n . Do vậy 2n 5n n 1 2 5 n 1 BAI TẬP TỰ LUYỆN: 1. Cho dãy số (un) xác định bởi u1 un 5 2 u 3 n 1 ĐS: limSn = -18 u 3 2. Cho dãy số (un) xác định bởi 1 un 1 4un ĐS: lim un u1 ĐS: lim un 1 .Tính limun .Tính lim un 22 n un 1 un 1 1 n(n 1) , n 1 .Tính limun 2 u1 4. Cho dãy số (un) xác định bởi 1, n 1 2 3 22n 3. Cho dãy số (un) xác định bởi 6, n 1 un 1 2 ĐS: lim un 2 un 1 15 n , n 1 . Tính limun 2 , 5 u1 5. Cho dãy số un xác định bởi un 2 un 1 3un 2 , n 1 Tìm số hạng tổng quát của un và tính lim 2n.un . 1 ĐS: un 6. Cho dãy số un 4 7 ; lim 2n.un 7.2n 2 3 u1 2 xác định bởi 2un un 1 un ĐS: lim un 1 , n 2 1 . Tính lim un 1 2. Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử dụng tính đơn điệu và bị chặn. * Cơ sở lí thuyết: Định lí : Dãy số tăng và bị chặn trên (hoặc giảm và bị chặn dưới) thì có giới hạn hữu hạn. Nhận xét : - Nếu dãy số un thỏa mãn điều kiện un lim un M , n và tồn tại giới hạn lim un thì M ; nếu dãy số un thỏa mãn điều kiện un hạn lim un thì lim un m, n và tồn tại giới m - Giả sử dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn thì lim un n lim un n 1 Áp dụng các tính chất trên, ta có thể tính được giới hạn của các dãy cho bởi hệ thức truy hồi. Sau đây ta xét một số ví dụ minh họa. u1 1 Ví dụ 1: Cho dãy số un xác định bởi un 1 un un2 1 1 n 2 . Tính lim un . Giải : Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un 0, n 1, vậy un bị chặn dưới. Xét hiệu un 1 un un un2 1 un un3 un2 16 1 0, n , vậy un giảm. Khi đó dãy đã cho tồn tại giới hạn. Ta đặt lim un a lim un a chuyển qua giới hạn hai vế của hệ thức truy hồi ta được: a Vậy lim un a, a 1 a2 a 1 0 , 0 0 Ví dụ 2: Cho dãy số un xác định bởi u1 2 un 1 u 2 n 2018 , n un 1 1 2 . Chứng minh dãy số đã cho có giới hạn và tìm giới hạn đó. Giải: Ta dễ dàng chứng minh được un 1 u 2 n Mặt khác ta lại có : un 1 0, n 1. 2018 un 1 1 .2. 2 un 1. 2018 un 1 2018 , vậy un bị chặn dưới. n , ta có : un 1 u 2 n un 1 2018 un 2018 un2 2un un 0, do vậy un là dãy bị giảm. Do un giảm và bị chặn dưới nên dãy đã cho có giới hạn. Đặt lim un a a 2018 . Chuyển qua giới hạn hệ thức truy hồi của dãy ta 1 a 2 được phương trình : a a 2018 a 2018 a a2 2018 . Vậy lim un Ví dụ 3: Cho dãy số un xác định bởi a 2018 . Do 2018 . u1 un 2018 2 1 2 un , n 1 . Tính lim un Giải: Trước hết ta sẽ chứng minh dãy số un tăng và bị chặn trên. Chứng minh dãy ( un ) tăng bằng quy nạp, tức là un 1 > un , n Khi n = 1 ta có u2 2 u1 2 2 17 2 u1 1 Giả sử uk uk , khi đó uk 1 un 1 > un , n uk 2 2 uk 2 1 uk 1 . Vậy 2 . Ta sẽ chứng minh dãy ( un ) 1 . Do đó un bị chặn dưới bởi bị chặn trên bởi 2 bằng quy nạp, thật vậy Khi n = 1 ta có u1 Giả sử uk 2 2, k 2 1 , khi đó uk uk 2 1 2 2 2. Vậy dãy số un bị chặn trên bởi 2. Do đó dãy số un có giới hạn hữu hạn, giả sử lim un a , thì a 2 2. Từ hệ thức truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có lim un Hay a Vì 2 a a2 a 2 a a a 2 un 1 2 2 . Vậy lim un 2 nên a lim 2 1 Ví dụ 4 : Cho dãy số un xác định bởi: 2. u1 0 un 6 un 1 , Giải: bị chặn. Dễ thấy un 0, n n 2 . Tính lim un Trước hết ta chứng minh un minh un 3 1, n . Với n 1 thì (1) đúng. Giả sử (1) đúng với n n 1 , ta có uk k 6 1 uk 6 3 k k (do 0 1 un un un un 6 3 1, n 1 , ta có uk 3 . Với 3 , vậy (1) luôn đúng với mọi n . Ta chứng minh un đơn điệu tăng. Thật vậy n un . Ta chứng , ta có : un2 un 6 un 6 un 3 un un 2 0 un 6 un 0 a 3 . Từ hệ thức ). Vậy un tồn tại giới hạn hữu hạn. Ta đặt lim un a truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có lim un Do 0 a lim 6 un 3 lim un 1 a 6 a 3. 18 a2 a 6 0 a a 3 2 . u1 Ví dụ 5: Cho dãy số un xác định bởi: 1 2 2un un un 1 1 3 1 n , . Tính 2 lim un Giải: bị chặn. Dễ thấy un Trước hết ta chứng minh un minh un 2 1, n 1 thì (1) đúng. Giả sử (1) đúng với n n 1 , ta có uk 2 2uk 1 uk 1 3 k k 10 4 uk (do 0 1 un un 2 2un un 1 un 3 2 1, n 2 lim un 2 ), vậy (1) un un 2 un 1 0 3 ). truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có 2 2un 1 1 4a 2 lim un lim a un 1 3 a 3 a 2 . Với , ta có : un2 un 2 un 3 Vậy un tồn tại giới hạn hữu hạn. Ta đặt lim un Do 0 1 , ta có uk 2 (do uk 3 luôn đúng với mọi n . Ta chứng minh un đơn điệu tăng. Thật vậy n un . Ta chứng . Với n k 0, n a2 a a a 0 2 0 2 . Từ hệ thức a a 2 1 . 2. Nhận xét : Ta cũng có thể tính giới hạn này bằng cách sử dụng dạng 5 trong mục 1. Ví dụ 6: Cho dãy số un u1 xác định bởi: u2 un 1 2 1 . un un 1 , n 2 Chứng minh dãy số đã cho có giới hạn và tính giới hạn đó. Giải : Dễ thấy un 0, n . Ta chứng minh un 19 un 1 , (1) n . Với n 1 thì (1) đúng. Giả sử (1) đúng với n Với n k 1 , ta có uk uk 1 uk uk 1 . Do dãy tăng nên un đúng với mọi n Ta lại có un un un 1 2 un 2 k k uk 1 u1 un 1 , ta có uk uk 2 , vậy (1) luôn 1, n . 4, n Vậy un tồn tại giới hạn hữu hạn. Ta đặt lim un uk 1 . . a 1 a 4 . Từ hệ thức 0 a a 4 . 0 0, n 1 truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có lim un Do 1 lim un 1 a lim un lim un 4 a 1 a2 2 a 4a 4. Ví dụ 7: Cho dãy số un xác định bởi u1 2 un 2 2un .un 4 1 Chứng minh rằng dãy un có giới hạn và tính giới hạn đó. Giải: Trước hết ta nhận xét rằng un > 0, với mọi n, Thật vậy, ta có u1 0 . Giả sử uk 2 Từ hệ thức truy hồi suy ra 2uk .uk Do đó ta có un un 1 1 un 2 4 2un Mặt khác ta có (vì un un 2 4 2un 2, n un . un 1 1 uk 1 1 (u 2 n 4 un 2, n un 2 4 2un 2 un 2 un 2 0, k 2 4 1 , ta chứng minh uk uk 0 1 uk 2 4 2uk 0 1 0 4 ) . Theo bất đẳng thức Côsi, ta có un 1. 1 2 2 un 2 1 2 1 2 1 1 ) 2 Nên un là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 2, do đó dãy un có giới hạn hữu hạn. Giả sử lim un Và ta có un a2 4 a , khi đó 0 un 2 4 2un 1 a lim un 2 . Vậy lim un a 2 un 2 4 lim 2un 1 2 20 a a2 4 2a