Tài liệu Một số bài tập số học áp dụng cho học sinh lớp 6

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THCS KIM LONG BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Một số bài tập Số học áp dụng cho học sinh lớp 6 Tác giả sáng kiến: Nguyễn Thị Diễm Hằng BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. Lời giới thiệu Trong quá trình học tập của học sinh ở trường phổ thông, đòi hỏi tư duy tích cực của học sinh. Để giúp các em học tập môn toán có kết quả tốt, có rất Tam nămkhông 2019 chỉ giúp học sinh nắm bắt nhiều tài liệu sách báo đề cập tới.Dương, Giáo viên 0 kiến thức, mà điều cần thiết là giúp học sinh có các phương pháp học tập phù hợp chủ động nắm bắt kiến thức. Chương trình toán rất rộng, các em được lĩnh hội nhiều kiến thức, các kiến thức lại có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Do vậy khi học, các em không những nắm chắc lý thuyết cơ bản, mà còn phải biết tự diễn đạt theo ý hiểu của mình, từ đó biết vận dụng để giải từng loại toán. Qua cách giải các bài toán rút ra phương pháp chung để giải mỗi dạng bài, trên cơ sở đó tìm ra các lời giải khác hay hơn, ngắn gọn hơn. Để học tốt cần phải phát triển năng lực tư duy, năng lực giải quyết vấn đề và tính sáng tạo cho học sinh. Các năng lực này có thể quy gọn về năng lực giải quyết vấn đề. Khả năng giáo dục của môn Toán rất to lớn, nó có khả năng phát triển tư duy lôgíc, khái quát hoá, phân tích tổng hợp, so sánh dự đoán, chứng minh và bác bỏ. Nó còn có vai trò rèn luyện phương pháp suy nghĩ, suy luận,… Ở bậc trung học cơ sở bộ môn Số học là một bộ phận rất cần thiết của môn toán nhằm mục đích phát triển cho học sinh đầy đủ các yếu tố nêu trên. Môn Toán là môn học giúp học sinh phát triển năng lực, trí tuệ. Đối với học sinh lớp 6 các kỹ năng phân tích, tổng hợp còn nhiều hạn chế. Đối với kiến thức số học ở chương trình Toán lớp 6 và toàn bộ cấp học, nếu các em không nắm được các phương pháp giải toán cơ bản thì các bài tập khó mà được giải quyết. Chuyên đề này giúp học sinh phương pháp suy luận, phương pháp giải quyết vấn đề có căn cứ khoa học toàn diện và chính xác, góp phần giáo dục ý chí và đức tính tốt như cần cù, nhẫn nại, vượt khó cho học sinh - Thông qua quá trình giảng dạy môn toán lớp 6 đồng thời qua quá trình kiểm tra đánh giá sự tiếp thu của học sinh và sự vận dụng kiến thức để giải bài toán Số học tôi nhận thấy học sinh vận dụng các kiến thức toán học trong phần giải bài toán số học còn nhiều hạn chế và thiếu sót. - Chính những điều này đã thôi thúc tôi suy nghĩ và viết chuyên đề: “Một số bài tập Số học áp dụng cho học sinh lớp 6”. Chuyên đề này giúp cho học sinh dễ nắm bắt kiến thức một cách chặt chẽ, có lôgic, có hệ thống và làm cho các em say mê học Toán. Các dạng toán số học ở lớp 6 rất đa dạng và phong phú, trong chuyên đề này xin đề cập tới 2 dạng toán thường gặp trong chương trình lớp 6 đó là: + Dạng toán tính tổng của dãy số có quy luật. + Dạng toán về số nguyên tố. 1 Qua việc áp dụng đề tài tôi thấy học sinh làm bài tập Toán học sinh giải nhanh, đúng và chính xác hơn. Học sinh có hứng thú và không còn sợ khi học các dạng toán này. 2. Tên sáng kiến: Một số bài tập Số học áp dụng cho học sinh lớp 6 3. Tác giả sáng kiến: - Họ và tên: Nguyễn Thị Diễm Hằng - Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THCS Kim Long - Tam Dương Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0974 047 360 E_mail: [email protected] 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Nguyễn Thị Diễm Hằng - Trường THCS Kim Long - Tam Dương - Vĩnh Phúc 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: - Giải quyết bài toán về tổng của dãy số viết theo quy luật, các bài toán về số nguyên tố - Dùng làm tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi; - Dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên, học sinh bậc THCS. 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 8/2017 7. Mô tả bản chất của sáng kiến 7.1. Về nội dung của sáng kiến * Thực trạng, khó khăn của học sinh khi giải các dạng toán này - Ban đầu học sinh khi giải bài tập chưa có quy trình, các em trình bày lời giải bài toán theo một cách nhớ máy móc, khi gặp bài toán khác tương tự hoặc tổng quát hơn không ít học sinh lúng túng , không biết bắt đầu từ đâu và không biết xoay sở ra sao do một số nguyên nhân sau: - Tuy đã được làm quen và trình bày cách giải một bài toán song việc trang bị cho các em quy trình giải một bài toán, các phương pháp suy luận thường gặp trong toán học và để bao quát hết các dạng thì không nhiều, không có sức thuyết phục để lôi kéo sự hăng say học tập của học sinh. - Khả năng tự tìm tòi, chủ động lựa chọn phương pháp giải hay cho một bài toán ở học sinh còn hạn chế. * Giải pháp tháo gỡ khó khăn cho học sinh khi thực hiện: 2 Trang bị cho học sinh các phương pháp giải một bài toán, các bước giải một bài toán, các phương pháp suy luận thường gặp trong giải toán từ dễ đến khó để gây hứng thú cho học sinh. Trang bị cho học sinh những kiến thức có liên quan tới các phương pháp này trên cơ sở kiến thức môn Toán được học ở lớp 6, 7 bậc THCS. Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán, xây dựng chương trình giải, thực hiện chương trình giải, tìm bài toán tương tự, khai thác bài toán … Hướng dẫn và yêu cầu học sinh giải một bài toán bằng cả nhiều cách, giúp học sinh thấy được ưu, nhược điểm của từng phương pháp cho từng loại bài. Từ đó học sinh thấy tầm quan trọng của việc phân loại bài tập và lựa chọn phương pháp giải nào phù hợp nhất cho từng trường hợp. Phân loại, hướng dẫn cách nhận biết từng loại bài tập và lựa chọn cách giải nhanh nhất, hay nhất. Hướng dẫn học sinh giải bài toán dưới dạng các ví dụ cụ thể. Cụ thể: PHẦN I. CÁC BƯỚC GIẢI MỘT BÀI TOÁN SỐ HỌC Để giải một bài toán ngoài việc nắm vững kiến thức cơ bản còn cần phải có phương pháp suy nghĩ khoa học cùng với những kinh nghiệm cá nhân tích lũy được trong quá trình học tập, rèn luyện. Trong môn toán ở trường THCS có rất nhiều bài toán chưa có thuật giải. Đối với những bài toán ấy giáo viên cần hướng dẫn dẫn học sinh cách suy nghĩ, tìm tòi lời giải. Điều đó đòi hỏi người giáo viên phải có chuyên môn, kinh nghiệm sư phạm và phương pháp đúng đắn. Đồng thời đây là cơ hội để giáo viên trang bị cho học sinh một số phương pháp giải toán, phương pháp toán học hóa - nhằm rèn luyện và phát triển ở họ năng lực tư duy khoa học. Biết đề ra cho học sinh đúng lúc, đúng chỗ những câu hỏi gợi ý sâu sắc sẽ phát huy năng lực sáng tạo và hứng thú học tập cho học sinh. Phương pháp tìm tòi lời giải một bài toán thường được tiến hành theo bốn bước sau: - Tìm hiểu đế toán - Xây dựng chương trình giải - Thực hiện chương trình giải. - Kiểm tra nghiên cứu lời giải. 1. Tìm hiểu đề toán Để giải được một bài toán trước hết phải hiểu rõ đề bài và ham thích giải bài toán đó. Để hiểu rõ đề toán, trước hết phải đọc kỹ đề toán sao cho thấy được 3 toàn bộ bài toán càng rõ ràng càng tốt, tránh vội vàng đi ngay vào các chi tiết. Bắt đầu đi sâu nghiên cứu đề toán, trước hết phải phân tích bài toán, tách ra những yếu tố chính cuả bài toán. Nếu là bài toán chứng minh thì yếu tố chính là giả thiết và kết luận. Nếu là bài toán tìm tòi thì yếu tố chính là ẩn (cái chưa biết). Có những bài toán cần đưa vào các kí hiệu. Kí hiệu: Dùng kí hiệu có thể ghi lại các đối tượng và các mối quan hệ giữa chúng một cách ngắn gọn, dễ nhớ, dễ quan sát. Kí hiệu thích hợp giúp ta nhanh chóng hiểu được đề toán. Mỗi kí hiệu phải có nội dung và dễ nhớ, tránh nhầm lẫn hoặc hiểu nước đôi. Thứ tự và quan hệ giữa các kí hiệu phải giúp ta liên tưởng đến các đại lượng tương ứng. 2. Xây dựng chương trình giải Tìm tòi lời giải là một bước quan trọng trong hoạt động giải toán. Khi xây dựng chương trình giải cần lưu ý: + Sử dụng các bài toán đã giải: Việc tìm ra con đường đi đúng khi giải một bài toán sẽ khá thuận lợi nếu ta nhớ lại được một bài toán tương tự. Có thể có nhiều bài toán liên quan xong cần lựa chọn một hoặc một số bài thực sự có lợi cho bài toán cần giải. + Biến đổi bài toán: Chẳng hạn, cần chứng minh: m3 - m chia hết cho 6 với mọi số nguyên m. Ta biến đổi bài toán bằng cách phân tích m3 - m = m(m - 1)(m + 1) Đến đây ta nhớ lại rằng m-1; m; và m+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 và cho 2. Từ đó việc chứng minh không còn khó khăn gì nữa. + Phân tích bài toán thành các bài toán đơn giản hơn Một bài toán, đặc biệt là bài toán khó thường được phân tích thành các bài toán đơn giản. Hãy thử nghĩ đến các bài toán liên quan mà dễ hơn không? Hãy thử phát biểu bài toán dưới dạng khác. Có thể thêm vào yếu tố phụ nào khác không?... 3. Thực hiện chương trình giải: Sau khi đã tìm ra lời giải thì tiến hành thực hiện chương trình giải. Cần lựa chọn cách giải ngắn gọn, dễ hiểu, dễ nhớ, ít sai lầm và chặt chẽ nhất. 4. Kiểm tra và nghiên cứu lời giải: 4 Đây là một bước cần thiết mà trên thực tế ít người thực hiện nó. Trong khi thực hiên, rất có thể ta đã mắc phải sai lầm. Việc kiểm tra lại sẽ giúp ta sửa được những sai lầm đó. Mặt khác khi nghiên cứu lại lời giải có thể ta sẽ tìm được một cách giải khác tốt hơn… Khai thác bài toán: Có thể thêm vào hoặc thay đổi một số yếu tố để biến đổi bài toán thành một bài toán mới. PHẦN II MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC ÁP DỤNG CHO HỌC SINH LỚP 6 - Các dạng toán số học ở lớp 6 rất đa dạng và phong phú, trong chuyên đề này xin đề cập tới 2 dạng toán thường gặp trong chương trình lớp 6 đó là: + Dạng toán tính tổng của dãy số có quy luật. + Dạng toán về số nguyên tố. 1. Dạng 1: Tính tổng dãy số có quy luật: Bài toán 1: Tính tổng sau A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210 B = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + ... + 3100 Giải : 2A = 2 + 22 + 23 + ... + 210 + 211 . Khi đó: 2A - A = 211 - 1 3B = 3 + 32 + 33 + ... + 3100 + 3101. Khi đó: 3B -B = 2B = 3101- 1 . 3101  1 Vậy B = 2 Ta nghĩ tới bài toán tổng quát là : Tính tổng S = 1 + a + a2 + a3 + ... + an , a thuộc N , a > 1 và n thuộc N Nhân 2 vế của S với a ta có aS = a + a 2 + a3 + a4 + ... + an + an+1 rồi trừ cho S ta được : aS - S = ( a - 1)S = an+1 - 1 . VËy : 1 + a + a2 + a3 + ... + an = a n1  1 a 1 Ta có công thức : an+1 - 1 = ( a- 1)( 1 + a + a2 + a3 + ... + an) . Tương tự ta có bài tập áp dụng : 1. Tính các tổng sau: a ) A 1  7  7 2  7 3  ...  7 2007 b) B 1  4  42  43  ...  4100 2. Chứng minh rằng: a) 1414 - 1 chia hết cho 3 b) 20092009 - 1 chia hết cho 2008 5 Bài toán 2: Tính các tổng sau a) A = 1 + 32 + 34 + 36+ 38 + ... + 3100 b) B = 7 + 73 + 75 + 77 + 79 + ... + 799 Giải : a) A = 1 + 32 + 34 + 36+ 38 + ... + 3100 Vấn đề đặt ra là nhân hai vế của A với số nào để khi trừ cho A thì một loạt các lũy thừa bị triệt tiêu?. Ta thấy các số mũ liền nhau cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 32 , rồi trừ cho A ta được : 32A = 32 + 34 + 36+ 38 + ... + 3100 +3102 A = 1 + 32 + 34 + 36+ 38 + ... + 3100  32A – A = 3102 - 1 . Hay A( 32 - 1) = 3102 - 1 . Vậy A = ( 3102 -1): 8 Từ kết quả này suy ra 3102 - 1 chia hết cho 8 b) Tương tự như trên ta nhân hai vế của B với 72 rồi trừ cho B , ta được : B = ( 7101 - 7) : 48 Tương tự như trên ta cũng suy ra 7101 – 7 chia hết cho 48 7100- 1 chia hết cho 48 Tương tự ta có bài tập: Chứng minh rằng A = 2 + 22 + 23 + 24 + …+ 260 chia hết cho 21 và 15 B = 1 + 3 + 32 + 33 + 34+ … + 311 chia hết cho 52 C = 5 + 52 + 53 + 54 + …+ 512 chia hết cho 30 và 31 Bài toán 3: Tính tổng Sn =1+3+5 +... + (2n -1 ) Thử trực tiếp ta thấy : S1 = 1 S2 = 1 + 3 =22 S3 = 1+ 3+ 5 = 9 = 32 ... ... ... Ta dự đoán Sn = n2 Với n = 1;2;3 ta thấy kết quả đúng Giả sử với n = k ( k  1) ta có Sk = k2 (2) Ta cần phải chứng minh Sk + 1 = ( k +1 )2 ( 3) Thật vậy cộng 2 vế của ( 2) với 2k +1 ta có 6 1+3+5 +... + (2k – 1) + ( 2k +1) = k2 + (2k +1) vì k2 + ( 2k +1) = ( k +1) 2 nên ta có (3) tức là Sk+1 = ( k +1)2 Theo nguyên lý quy nạp bài toán được chứng minh Vậy Sn = 1+ 3 = 5 + ... + ( 2n -1) = n2 Tương tự ta có thể chứng minh các kết quả sau đây bằng phương pháp quy nạp toán học . n(n  1) 2 n ( n  1)(2n  1) 2, 12 + 22 + ..... + n2 = 6 1, 1 + 2+3 + .... + n =  n(n  1)  2  2 3, 13+23 + ..... + n3 =   * Một số dãy số dễ dàng tính được a) 1 +3 + 5+…… + 2k+1 b) 2+ 4 + 6 +…. + 2k c) a + (a + k) + (a + 2k) + … + (a + nk) k là hằng số * Sử dụng phương pháp dự đoán và quy nạp: Trong một số trường hợp khi gặp bài toán tính tổng hữu hạn Sn = a1 + a2 + .... an (1) Bằng cách nào đó ta biết được kết quả (dự đoán, hoặc bài toán chứng minh khi đã cho biết kết quả) thì ta nên sử dụng phương pháp này và hầu như thế nào cũng chứng minh được . Bài toán 4: Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 Phân tích: Khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng là 1. Nhân 2 vế của A với 3 lần khoảng cách này ta được : 3A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10) = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + 5.6.(7 - 4) + 6.7.(8 - 5) + 7.8.(9 - 6) + 8.9.(10 - 7) + 9.10.(11 - 8) = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - … + 8.9.10 - 8.9.10 + 9.10.11 = 9.10.11 = 990. A = 990/3 = 330 Ta chú ý tới đáp số 990 = 9.10.11, trong đó 9.10 là số hạng cuối cùng của A và 11 là số tự nhiên kề sau của 10, tạo thành tích ba số tự nhiên liên tiếp. Từ đó ta có kết quả tổng quát sau: 7 A  1.2  2.3      n  1  .n  n  1  .n.  n  1  3 Tương tự ta có bài tập Tính tổng A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99 * Khai thác bài toán 4 Trong bài toán 4 các thừa số trong mỗi hạng tử hơn kém nhau 1 hay cách nhau 1 đơn vị. Thay đổi khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi hạng tử ta có bài toán sau. 1 . Tính: A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99 Giải 6A = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + … + 97.99.6 = 1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 - 1) + 5.7(9 - 3) + … + 97.99(101 - 95) = 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + … + 97.99.101 - 95.97.99 = 1.3.5 + 3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + …+ 97.99.101 - 95.97.99 = 3 + 97.99.101 1  97.33.101  A = 161 651 2 Trong bài toán 4 ta nhân A với 3 (a = 3) . Trong bài toán 1 ta nhân A với 6 (a = 6). Ta có thể nhận thấy để làm xuất hiện các hạng tử đối nhau ta nhân A với 3 lần khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi hạng tử. 3k n(n + k) = n(n + k)(r + 2k) - (n - k) n (n + k) Thay đổi số các thừa số trong tích ta có bài toán 2 2. Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + … + 98.99.100 Giải: 4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 + … + 98.99.100.4 = 1.2.3.4 + 2.3.4(5 - 1) + 3.4.5(6 - 2) + … + 98.99.100(101 - 97) =1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4 + 3.4.5.6 - 2.3.4.5 +… +98.99.100.101 97.98.99.100 = 98.99.100.101  A = 98.99.25.101 = 24 497 550 Thay đổi khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi hạng tử ở bài 3 ta có bài toán: 3. Tính: A = 1.3.5 + 3.5.7 + … + 5.7.9 + … + 95.97.99 8 Giải: 8A = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + … + 95.97.99.8 = 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) +…+ 95.97.99(101 - 93) = 1.3.5.7+15 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + 5.7.9.11 - 3.5.7.9 + … +95.97.99.101 93.95.97.99 = 15 + 95.97.99.101 15  95.97.99.101 A 11 517 600 8 Trong bài 3 ta nhân A với 4 (bốn lần khoảng cách). Trong bài 4 ta nhân A n với 8 (bốn lần khoảng cách). Như vậy để giải bài toán dạng  n(n  k )(n  2k ) ta n 1 nhân với 4k (4 lần khoảng cách) sau đó tách 4kn(n + k)(n + 2k) = n(n + k)(n + 2k)(n + 3k)- (n - k)(n +k)n(n + 2k) Bài toán 5: Tính A = 12 + 32 + 52 + … + 992 Giải: A = 1 + 3(2 + 1) + 5(2 + 3) + 7(2 + 5) + … + 99(2 + 97) = 1 + 2.3 + 1.3 + 2.5 + 3.5 + 2.7 + 5.7 + … + 2.99 + 97.99 = 1 + 2(3 + 5 + 7 + … + 99) + (1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99) = 1 + 4998 + 161651 = 166650 Như vậy để tính tổng trong bài toán 5 ta tìm cách phân tích và biến đổi nó thành 2 bài toán quen thuộc đã biết đó là bài tính tổng: 3 + 5 + 7 + … + 99 và tổng 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99 đã biết cách giải Tương tự ta có bài tập Tính A = 1.22 + 2.32 + 3.42 + … + 99.1002 Giải : Để tính tổng trên ta tìm cách phân tích và biến đổi nó thành 2 bài toán quen thuộc đã biết như sau A = 1.2.(3 - 1) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 - 1) + … + 99.100.(101 - 1) = 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 3.4 + … + 99.100.101 - 99.100 = (1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100.101) - (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100) = 25497450 – 333300 = 25164150 9 Với cách khai thác như trên ta có thể khai thác, phát triển các bài toán trên thành rất nhiều bài toán hay mà trong quá trình giải đòi hỏi học sinh phải có sự linh hoạt, sáng tạo. Trong các bài toán trên ta có thể thay đổi số hạng cuối cùng của dãy bằng số hạng tổng quát theo quy luật của dãy. 2. Dạng 2: Bài toán về số nguyên tố, hợp số 2.1. Định nghĩa + Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước là 1 và chính nó + Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước Số tự nhiên lớn hơn 1 nếu không là số nguyên tố thì số đó là hợp số. * Nhận xét: + p là số nguyên tố  p > 1; q  p  q = 1 hoặc q = p + a là hợp số  a > 1 và  q sao cho q  a ; 1< q < a + Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất, mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều là số lẻ + Ước nhỏ nhất khác 1 của một số tự nhiên lớn hơn 1 là một số nguyên tố. + Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều có ít nhất 1 ước nguyên tố * Hệ quả: + Nếu số tự nhiên n >1 không có ước nguyên tố nào từ 2 đến căn bậc hai của n thì n là một số nguyên tố Ví dụ: Số 113 có là số nguyên tố hay không Các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng 113 là 2; 3; 5; 7 113 không chia hết cho 2 hoặc 3 hoặc 5 hoặc 7 vậy 113 là số nguyên tố 2.2 . Dạng tổng quát của một số nguyên tố Hiện nay ta chưa tìm được dạng tổng quát của một số nguyên tố Ta có thể chứng minh được: a) Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 3n + 1 hoặc 3n+1 hoặc 3n + 2; n N b) Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng 6n + 1 hoặc 6n + 5; n N 2.3. Các bài toán thường gặp Bài toán 1: Tìm số nguyên tố p, sao cho p + 2 và p + 4 cũng là số nguyên tố. Giải: Giả sử p là số nguyên tố. + Nếu p = 2 thì p + 2 = 4 và p + 4 = 6 đều không phải là số nguyên tố. + Nếu p  3 thì số nguyên tố p có 1 trong 3 dạng: 3k, 3k + 1, 3k + 2 với k  N* 10 + Nếu p = 3k  p = 3  p + 2 = 5 và p + 4 = 7 đều là các số nguyên tố. + Nếu p = 3k +1 thì p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1)  p + 2  3 và p + 2 > 3. Do đó p + 2 là hợp số. + Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2)  p + 4  3 và p + 4 > 3. Do đó p + 4 là hợp số. Vậy với p = 3 thì p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố. Tương tự ta có bài tập khác Bài 1: Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố: 1. p + 2 và p + 10. 2. p + 10 và p + 20. 3. p + 10 và p + 14. 4. p + 14 và p + 20. 5. p + 2và p + 8. 6. p + 2 và p + 14. 7. p + 4 và p + 10. 8. p + 8 và p + 10. Bài 2: Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố: p + 2, p + 8, p + 12, p + 14. p + 2, p + 6, p + 8, p + 14. p + 6, p + 8, p + 12, p + 14. p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14. Bài toán 2: Cho p và p+4 là các số nguyên tố (p >3). Chứng minh p + 8 là hợp số Hướng dẫn: - Vì p là số nguyên tố và p > 3, nên số nguyên tố p có 1 trong 2 dạng: 3k + 1, 3k + 2 với k  N*. - Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2)  p + 4  3 và p + 4 > 3. Do đó p + 4 là hợp số ( Trái với đề bài p + 4 là số nguyên tố). - Nếu p = 3k + 1 thì p + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3)  p + 8  3 và p + 8 > 3. Do đó p + 8 là hợp số. Vậy số nguyên tố p có dạng: p = 3k + 1 thì p + 8 là hợp số. Tương tự ta có bài tập khác 1. Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: p + 8 là hợp số. 11 2. Cho p và 2p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 4p + 1 là hợp số. 3. Cho p và 10p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 5p + 1 là hợp số. 4. Cho p và p + 8 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: p + 4 là hợp số. 5. Cho p và 4p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 2p + 1 là hợp số. 6. Cho p và 5p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 10p + 1 là hợp số. 7. Cho p và 8p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 8p - 1 là hợp số. 8. Cho p và 8p - 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 8p + 1 là hợp số. 9. Cho p và 8p2 - 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 8p2 + 1 là hợp số. Bài toán 3: Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp p, q, r sao cho p2 + q2 + r2 cũng là số nguyên tố. Giải: Vì p > q > r nên: p2 + q2 > 2 Do vậy p2 + q2 + r2 là số nguyên tố thì p2 + q2 + r2 phải là số lẻ => p2, q2, r2 là các số lẻ => p, q, r là các số nguyên tố lẻ. Trong ba số p, q, r phải có ít nhất 1 số chia hết cho 3 vì nếu không có số nào chia hết cho 3 thì p2, q2, r2 chia 3 đều dư 1, khi đó p2 + q2 + r2 chia hết cho 3 (mâu thuẫn)  p = 3 ( p là số nguyên tố lẻ và nhỏ nhất trong 3 số)  q = 5, r = 7 Kiểm tra: p2 + q2 + r2 = 32 + 52 + 72 = 83 là số nguyên tố (thỏa mãn) Tương tự ta có bài tập 1. Cho ba số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng trong ba số đó luôn tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 12. 2. Tìm tất cả các số nguyên tố p và q sao cho các số 7p + q và pq + 11 cũng là các số nguyên tố. Cách giải: Giả sử p là số nguyên tố. + Nếu p = 2 thì p + 2 = 4 và p + 4 = 6 đều không phải là số nguyên tố. + Nếu p  3 thì số nguyên tố p có 1 trong 3 dạng 3k, 3k + 1, 3k + 2 với k  N*. + Nếu p = 3k  p = 3  p + 2 = 5 và p + 4 = 7 đều là các số nguyên tố. + Nếu p = 3k +1 thì p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1)  p + 2  3 và p + 2 > 3. Do đó p + 2 là hợp số. 12 + Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2)  p + 4  3 và p + 4 > 3. Do đó p + 4 là hợp số. Vậy với p = 3 thì p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố. 7.2 Về khả năng áp dụng của sáng kiến: Giải pháp có thể áp dụng: - Cho đối tượng học sinh khá, học sinh giỏi bậc THCS; - Cho các cơ quan, tổ chức: các trường THCS. Qua chuyên đề tôi có một số giải pháp sau: - Trang bị cho học sinh những kiến thức có liên quan tới các phương pháp này trên cơ sở kiến thức môn Toán được học ở lớp 6 bậc THCS. - Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán, xây dựng chương trình giải, thực hiện chương trình giải, tìm bài toán tương tự, khai thác bài toán … - Hướng dẫn và yêu cầu học sinh giải một bài toán bằng cả nhiều cách, giúp học sinh thấy được ưu, nhược điểm của từng phương pháp cho từng loại bài. Từ đó học sinh thấy tầm quan trọng của việc phân loại bài tập và lựa chọn phương pháp giải nào phù hợp nhất cho từng trường hợp. - Phân loại, hướng dẫn cách nhận biết từng loại bài tập và lựa chọn cách giải nhanh nhất, hay nhất. + Học sinh nắm được quy trình giải một bài toán, các phương pháp suy luận thường gặp trong toán học; + Học sinh lựa chọn được phương pháp giải phù hợp, không nhầm lẫn trong khi giải; + Kết quả tìm ra nhanh, bài toán được giải quyết ngắn gọn dễ hiểu; + Qua thực hiện chuyên đề tôi thấy học sinh hiểu bài, có nhiều tiến bộ, các em hứng thú với nội dung; + Chuyên đề đã khắc phục được các hạn chế mà từ lâu học sinh còn thắc mắc, băn khoăn, chưa biết cách làm các dạng toán trên. 8. Những thông tin cần được bảo mật: không 9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: * Đối với các ban ngành đoàn thể: Cung cấp đủ tài liệu, tạo điều kiện về thời gian để giáo viên nâng cao trình độ chuyên môn. 13 Tạo môi trường học tập năng động, sáng tạo cho giáo viên và học sinh. * Đối với giáo viên: - Tạo môi trường học tập tốt cho học sinh. - Cần thường xuyên tự học, tự bồi dưỡng để nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ. Nắm vững các dạng toán có tính chất thuật toán và không thuật toán. - Tích cực trao đổi học hỏi đồng nghiệp, áp dụng các phương pháp đổi mới trong dạy học. - Cho học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản thành thạo các công thức cùng lời phát biểu. - Có kế hoạch tổ chức, hướng dẫn học sinh học tập ở nhà, ra bài tập và thường xuyên kiểm tra đánh giá. - Động viên khen thưởng kịp thời với những em có tiến bộ trong học tập. - Kết hợp chặt chẽ giữa gia đình, nhà trường và xã hội trong việc giáo dục học sinh. - Tạo điều kiện, động viên chia sẻ giúp đỡ khi các em gặp khó khăn. * Đối với học sinh - Chuẩn bị tốt tâm thế trước mỗi giờ học, cần cù chịu khó học hỏi kiến thức và kỹ năng toán học cơ bản. - Thực hiện đầy đủ các yêu cầu và hướng dẫn của giáo viên. - Phát huy hết khả năng sáng tạo vận dụng linh hoạt các đơn vị kiến thức. - Rèn tính tích cực trong học tập tư duy lôgic và khả năng diễn đạt vấn đề. 10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu theo các nội dung sau: 10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả: Qua chuyên đề giúp học sinh: + Hầu hết các học sinh đã biết phân loại từng dạng bài tập và lựa chọn cách giải phù hợp, giải nhanh và trình bày ngắn gọn. + Nhiều học sinh đã tiếp cận và giải các dạng bài tập khác bằng các phương pháp này và cũng đã đạt hiệu quả . Tôi thấy tinh thần học môn Toán của học sinh ngày càng sôi nổi. Tạo sự đam mê học tập cho học sinh bằng 14 cách làm cho học sinh học thì phải hiểu được bài, phải làm được bài tập, làm được nhiều bài, muốn phát minh và sáng tạo trong học tập. Kết quả cụ thể: Khảo sát 30 học sinh khá giỏi của học sinh lớp 6 trường THCS Kim Long - Tam Dương - Vĩnh Phúc Tổng số HS Giỏi Khá Trung bình Yếu Số lượng % Số lượng % Số lượng % Số lượng % 10 33,4% 15 13,2% 02 6,7% 56,7% 5 16,6% 0 0 Trước khi áp dụng 30 05 16,7% Sau khi áp dụng 30 08 26,7% 10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân: + Đề tài được áp dụng có hiệu quả trong hai năm học 2017-2018 và học kì I năm học 2018-2019 đạt được kết quả tốt; + Có thể áp dụng rộng rãi ra các trường THCS trong toàn huyện vào việc giảng dạy môn toán và bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6. + Các học sinh sau khi áp dụng chuyên đề đã biết vận dụng việc giải toán trên đã biết phân loại từng dạng bài tập và lựa chọn cách giải phù hợp, giải nhanh và trình bày ngắn gọn 11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu STT Tên tổ chức/cá nhân Địa chỉ 15 Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến 1 Học sinh học khối 6 Dùng để dạy các tiết Trường THCS Kim Long của trường THCS Kim luyện tập có phần nâng Tam Dương - Vĩnh Phúc Long cao 2 Học sinh học giỏi môn Dùng làm tài liệu bồi Toán khối 6 của Trường THCS Kim Long dưỡng học sinh giỏi trường THCS Kim Tam Dương - Vĩnh Phúc môn Toán 6 Long Kim Long, ngày 22 tháng 01 năm 2019 Thủ trưởng đơn vị Kim Long, ngày 23 tháng 01 năm 2019 Tác giả sáng kiến Đỗ Thị Minh Phượng Nguyễn Thị Diễm Hằng 16