Tài liệu Lý thuyết xác suất và thống kê kế toán

BÀI GIẢNG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN Nguyễn Đình Ái Th 8 / 2019 1 Chương I BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA CÁC BIẾN CỐ I. BIẾN CỐ Trong thực tế ta thường gặp những hành động mà các kết quả không thể xác định trước được, chẳng hạn như làm một thí nghiệm hay quan sát một hiện tượng nào đó. Ta gọi những hành động mà các kết quả không thể xác định trước là các phép thử (hay phép thử ngẫu nhiên). Ta gọi mỗi kết quả ( kết cục hay trường hợp) xãy ra hoặc có thể xãy ra sau phép thử là một biến cố (hay biến cố ngẫu nhiên). Các biến cố đơn giản nhất là các biến cố sơ cấp. Biến cố không thể xảy ra khi phép thử được thực hiện gọi là biến cố không thể,ký hiệu biến cố . Biến cố luôn xảy ra khi phép thử được thực hiên gọi là biến cố chắc chắn, ký hiệu biến cố Ω. Ví dụ 1. Thực hiện phép thử: quan sát tình hình hoạt động của một dây chuyền máy móc. Ta có các biến cố: dây chuyền hoạt động tốt, biến cố: dây chuyền hỏng. Ví dụ 2. Thực hiện phép thử: gieo con xúc sắc và quan sát số nốt xuất hiện trên mặt của con xúc sắc. (+)Các biến cố xuất hiện mặt 1, xuất hiện mặt 2, xuất hiện mặt 3, xuất hiện mặt 4, xuất hiện mặt 5, xuất hiện mặt 6 là các biến cố đơn giản nhất. Đây là các biến cố sơ cấp. (+)Biến cố xuất hiện mặt lẻ là biến cố xuất hiện mặt 1, 3 hoặc 5. Ta có thể ký hiệu biến cố { 1, 3, 5}. (+)Biến cố xuất hiện mặt chẳn là biến cố xuất hiện mặt 2, 4 hoặc 6. Ta có thể ký hiệu biến cố { 2, 4, 6 }. (+)Biến cố xuất hiện một trong các mặt 1, 2, 3, 4, 5 hoặc 6 ( có thể ký hiệu biến cố { 1, 2, 3, 4, 5, 6} ) là biến cố chắc chắn (biến cố ). (+)Biến cố xuất hiện mặt 7 là biến cố không thể (biến cố ). Ví dụ 3. Thực hiện phép thử: kiểm tra 3 sản phẩm. Biến cố có không quá 3 sản phẩm tốt là biến cố chắc chắn (biến cố ) Biến cố có 4 phế phẩm là biến cố không thể ( biến cố ). Biến cố có 2 sản phẩm tốt là một biến cố ngẫu nhiên. Ví dụ 4. Thực hiện phép thử: đo nhiệt độ ngoài trời. Sự kiện nhiệt độ ngoài trời đo được 20oC là một biến cố… II.XÁC XUẤT CỦA CÁC BIẾN CỐ. Ta có thể hình dung Xác suất của một biến cố là một trị số p([0,1]) biểu thị khả năng xảy ra biến cố đó khi thực hiện phép thử; p càng gần 0, khả năng xãy ra biến cố càng nhỏ; p càng gần 1, khả năng xãy ra biến cố càng lớn. 2.1 Định nghĩa cổ điển về xác suất Xét phép thử có chỉ hữu hạn biến cố (sơ cấp) đồng khả năng. m Ta định nghĩa xác suất của biến cố A là trị số P(A) = A n trong đó, mA là số trường hợp thuận lợi cho biến cố A; n: là số trường hợp đồng khả năng. Ví dụ. Trong 1 kho hàng có 10.000 sản phẩm với 500 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ kho.Tìm xác suất để sản phẩm là phế phẩm.  Số trường hợp đồng khả năng n = 10.000. 2 Số trường hợp thuận lợi mA = 500. Xác suất để sản phẩm đó là phế phẩm: P(A) = 500/10000 =5% (= tỉ lệ phế phẩm trong kho) Nhận xét. Xác suất để một phần tử ngẫu nhiên của tổng thể có tính chất nào đó sẽ bằng tỉ lệ có tính chất đó của tổng thể. Chẳng hạn, (tỉ lệ người trong thành phố mắc bệnh cúm là 15%)  (Xác suất để 1người ngẫu nhiên trong thành phố mắc cúm là 15%). (Xác suất để sinh viên ngẫu nhiên của trường giỏi Anh văn là 25%) (Tỉ lệ giỏi Anh văn của sinh viên trong trường là 25%). Ví dụ. Tung một con xúc sắc cân đối và đồng chất. Tìm xác suất để a)Được mặt lẻ b)Được mặt 4 hoặc 5. Số trường hợp đồng khả năng là 6. a) A: biến cố được mặt lẻ. m 3 P( A)  A  = 0,5 n 6 b)B : biến cố được mặt 4 hoặc 5. m 2 1 P( B)  B   = 0,3333 n 6 3 b. Tính chất Nếu A là biến cố bất kỳ thì 0  P  A   1 . Xác suất biến cố chắc chắn là P() = 1; Xác suất biến cố không thể là P()=0. Khi chọn ngẫu nhiên k phần tử từ một tập hợp gồm n phần tử, để tính số trường hợp có thể xảy ra khi thực hiện phép thử và số trường hợp thuận lợi ta thường sử dụng các khái niệm tổ hợp, chỉnh hợp, … Nhắc lại. Quy tắc nhân Nếu đối tượng A được chọn bằng n cách và sau mỗi lần chọn A ta lại có m cách chọn đối tượng B. Khi đó, ta có n.m cách chọn A và B Tổ hợp. Tổ hợp chập k của n phần tử ( k  n ) là một nhóm không thứ tự gồm k phần tử khác nhau chọn từ n phần tử đã cho. Số tổ hợp chập k từ n phần tử là n! Cnk  k ! n  k  ! Chỉnh hợp Chỉnh hợp chập k của n phần tử ( k  n ) là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử khác nhau chọn từ n phần tử đã cho. n! Số chỉnh hợp đó là Ank  (n  k )! Ví dụ 1. Một túi đựng 10 quả cầu, trong đó có 6 quả màu xanh và 4 quả màu vàng. Lấy ngẫu nhiên (không hoàn lại) từ túi ra 3 quả cầu. Tính xác suất để có 2 quả cầu xanh trong 3 quả cầu lấy ra từ túi. Gọi A là biến cố có 2 quả cầu màu xanh trong 3 quả cầu lấy ra. Số trường hợp đồng khả năng (số nhóm không thứ tự gồm 3 quả lấy từ 10 quả) n  C103  120 6 xanh 4 vàng 3 Số trường hợp thuận lợi cho A (là số nhóm không thứ tự gồm 3 quả, trong đó có 2 quả xanh lấy từ 6 quả xanh và 1 quả vàng lấy từ 4 quả vàng) mA  C62 .C41  60 . 60 Vậy P  A    0.5 . 120 Ví dụ 2. Gieo đồng thời 3 con xúc sắc được chế tạo cân đối, đồng chất. Tính xác suất để xãy ra biến cố A : tổng số nốt xuất hiện của 3 con xúc sắc là 4. Trường hợp các con xúc sắc thứ 1, 2, 3 có số nốt trên các mặt lần lượt a, b, c được ký hiệu là bộ ba (a, b, c) ( với a, b, c là các số  {1, 2, 3, 4, 5, 6}). Số trường hợp đồng khả năng là n  63  216 Các bộ ba có tổng bằng 4 lần lượt là: (1,1,2), (1,2,1), (2,1,1) Suy ra số trường hợp thuận lợi cho biến cố A là mA = 3. 3 1  Vậy P( A)  =0,0139 216 72 Ví dụ 3. Trước cổng trường Đại học có 3 quán cơm chất lượng ngang nhau. Ba sinh viên A, B, C độc lập với nhau chọn một quán để ăn trưa. Tính xác suất để: a)3 sinh viên cùng vào một quán; b)2 sinh viên cùng vào một quán, còn người kia thì vào quán khác. Ta đánh số ba quán cơm là 1, 2,3. Trường hợp A, B, C chọn các quán cơm a, b, c được ký hiệu là bộ ba (a, b, c) ( với a, b, c {1, 2, 3}). Số trường hợp đồng khả năng là n  33  27 . Gọi A là biến cố 3 sinh viên cùng vào một quán. Các trường hợp thuận lợi cho A là (1,1,1), (2,2,2) và (3,3,3). 3 1 Vậy P( A)   = 0,1111 27 9 Gọi B là biến cố 2 sinh viên cùng vào một quán, còn sinh viên kia thì vào quán khác. Các trường hợp thuận lợi cho B là: (1,1,2) và 2 hoán vị khác của nó; (1,1,3) và 2 hoán vị khác của nó; (2,2,1) và 2 hoán vị khác của nó; (2,2,3) và 2 hoán vị khác của nó; (3,3,1) và 2 hoán vị khác của nó; (3,3,2) và 2 hoán vị khác của nó; Số trường hợp thuận lợi cho B là 6.3=18. 18 2 Vậy P( B)   = 0,6667 27 3 Ví dụ 4. Một người gọi điện thoại quên mất hai số cuối của số điện thoại cần gọi và chỉ nhớ là hai số đó khác nhau. Tìm xác suất để quay ngẫu nhiên một lần thì trúng ngay số điện thoại đó. Gọi A là biến cố người đó gọi đúng số điện thoại cần gọi ở lần đầu. Số trường hợp đồng khả năng (bằng số trường hợp lấy theo thứ tự hai chữ số khác nhau trong 10 chữ số 0, 1, 2,…, 9) bằng 10×9, và số trường hợp thuận lợi cho A bằng 1. 1 Vậy P( A)   0, 0111 . 10  9 Ví dụ 5. Từ bộ bài gồm 52 con bài, rút ngẫu nhiên ra 5 con bài. Tìm xác suất để xãy ra biến cố C là có 2 con màu đỏ, 3 con màu đen trong 5 con rút ra. 4 5 Số trường hợp đồng khả năng n = C52 . Trong bộ bài có 26 con bài màu đỏ và 26 con bài màu đen. 2 3 Suy ra số trường hợp thuận lợi cho C là mC = C26 .C26 2  P(C) = 3 C26 .C26 5 C52 =0,3251 Nhận xét. Hạn chế của định nghĩa xác suất dạng cổ điển là chỉ xét cho các phép thử thỏa 2 yêu cầu i)Số lượng các biến cố sơ cấp là hữu hạn. ii)Các biến cố sơ cấp phải đồng khả năng. Đó là yêu cầu mà nhiều phép thử không thỏa.Chẳng hạn với phép thử là tung một con xúc sắc không cân đối và không đồng chất, các biến cố sơ cấp xuất hiện mặt 1, 2, 3, 4, 5, 6 là không đồng khả năng. 2.2.Định nghĩa xác suất theo thống kê. Xét A là biến cố của một phép thử ngẫu nhiên. Ta lặp lại phép thử này n lần độc lập. Khi đó: Số lần A xuất hiện biến cố A trong n phép thử được gọi là tần số xuất hiện A. Tỉ số A n được gọi là tần suất fn(A) xuất hiện A trong n phép thử. Tồn tại số thực p [0,1] để trong thực tế, khi số phép thử n đủ lớn, ta có tần suất fn(A) p và tần suất fn(A) càng gần p nếu số phép thử n đạt mức càng lớn. Ta gọi số thực p đó là xác suất xãy ra biến cố A. Ví dụ. Từ định nghĩa cổ điển, ta suy ra xác suất xuất hiện mặt sấp khi tung đồng xu cân đối và đồng chất là p = 0,5. Để nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi tung đồng xu, người ta tiến hành tung đồng xu nhiều lần và thu được kết quả sau: Người làm Số lần tung Số lần được Tần suất thí nghiệm mặt sấp Buyffon 4040 2048 0.5069 Pearson 12000 6019 0.5016 Pearson 24000 12012 0.5005 Từ thí nghiệm trên ta thấy khi số phép thử đủ lớn, tần suất xuất hiện mặt sấp xấp xỉ p = 0,5 và khi số phép thử càng lớn, tần suất xuất hiện mặt sấp càng gần p = 0,5. Vậy xét trong ví dụ này, định nghĩa xác suất theo thống kê là phù hợp với thực tế. Ví dụ. Khi thống kê ngẫu nhiên chẳng hạn khoảng 1000 lần bắn trong số nhiều lần bắn của một xạ thủ và có khoảng 800 viên trúng đích, có thể nói xác suất xạ thủ đó bắn trúng bia khoảng 80%. Nhận xét. Định nghĩa xác suất dạng thống kê chỉ cho ta giá trị xấp xỉ của xác suất. Và độ chính xác của sự xấp xỉ nói chung phụ thuộc vào mức độ đủ lớn của số lần thực hiện phép thử. 2.3.Xác suất hình học Giả sử có một miền  .Ta đưa ra các định nghĩa sau:  Cả miền  được xem như là biến cố chắc chắn.  Mỗi điểm của miền được xem như một biến cố sơ cấp.  Mỗi miền con A (  ) được xem như một biến cố ngẫu nhiên.  Tập rỗng không có điểm nào là biến cố không thể. 5 Bây giờ ta cho một chất điểm rơi ngẫu nhiên vào trong miền  . Nếu chất điểm rơi trúng vào biến cố nào thì xem như biến cố đó xảy ra. Một cách tự nhiên, ta định nghĩa xác suất của một biến cố bằng tỉ lệ diện tích biến cố đó và diện tích miền  . dt ( A) P( A)  dt () dt ( B) Nhận xét. +Xét các biến cố sơ cấp B. Ta có P( B)  0. dt () Tuy nhiên, khi một chất điểm rơi vào trong miền  thì chất điểm đó vẫn có thể rơi vào trúng điểm B, tức là B vẫn có thể xảy ra. Như vậy,tồn tại các biến cố có xác suất bằng 0 và vẩn có thể xảy ra. dt ( B ) dt ()  dt ( B) +Xét biến cố đối lập với B ở trên là B , ta có P( B )    1. dt () dt () Khả năng điểm đó không rơi vào B (tức là rơi vào điểm B) vẫn tồn tại. Do đó tồn tại các biến cố có xác suất bằng 1 và vẫn có thể không xảy ra. Ví dụ 1. Có hai người bạn thỏa thuận hẹn gặp nhau ở một địa điểm nào đó trong khoảng từ 0h đến 1h. Giả sử mỗi người đến địa điểm một cách ngẫu nhiên và lúc đến của mỗi người không ảnh hưởng đến lúc đến của người kia. Người đến trước sẽ đợi người kia trong 1/3 giờ. Nếu người kia không đến thì anh ta bỏ đi. Tìm xác suất để hai ngươi bạn đó gặp nhau. Gọi x, y lần lượt là thời điểm đến của hai người bạn và A là biến cố hai người đó gặp nhau.  x, y [0, 1], coi (x, y) là biến cố hai người bạn thứ 1 và thứ 2 đến điểm hẹn lần lượt tại thời điểm x, y. Ta có thể biểu diễn các biến cố ở dạng tập hợp như sau: Biến cố chắc chắn   {( x, y )  R 2 / 0  x, y  1} y Biến cố họ gặp nhau A  ( x, y )  R 2 / 0  x, y  1; x  y  1/ 3 1 dt() = 1; dt(A) = 1 2×[(2/3)×(2/3)/2]=5/9 A dt ( A) 5 1/3 Vậy P( A)   . 0 1/3 1 x dt () 9 Ví dụ 2. Cho phương trình bậc 2 là x2 +2bx +c = 0 với các hệ số b, c được chọn ngẫu nhiên trong [0, 1]. Tìm xác suất xãy ra biến cố: phương trình với các hệ số được chọn là giải được. Biến cố chọn hệ số b và c cụ thể được ký hiệu là (b, c). Ta có biến cố chắc chắn  = { (b, c) : 0 ≤ b, c ≤ 1}. Gọi A là biến cố phương trình với c cặp hệ số (b, c) được chọn là giải được. A = { (b, c)  R2 / b2  c ≥ 0 và 0 ≤ b, c≤ 1}. 1 b2 c = 0 1 31 b 1  Và dt(A) =  b 2db  3 3 0 0 A dt(A) 1 Vậy P(A) =  O 1 b dt() 3 III.CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT. Cho A và B là các biến cố trong cùng phép thử. 6 Hợp của hai biến cố A và B ( ký hiệu là A  B hoặc A  B ) là biến cố mà nó xãy ra khi và chỉ khi A xãy ra hay B xảy ra. Tích của hai biến cố A và B (ký hiệu là A.B hoặc A  B ) là biến cố mà nó xảy ra khi và chỉ khi A xãy ra và B xãy ra. Biến cố đối của biến cố A là biến cố A mà nó xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra. Ví dụ. Xét phép thử: quan sát hai xạ thủ cùng bắn vào một bia . Gọi A là biến cố “xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia” và B là biến cố “xạ thủ thứ hai bắn trúng bia”. Gọi C là biến cố “ bia trúng đạn”. NX. C xãy ra  A xãy ra hay là B xãy ra. Do đó C  A  B . Ta có A là biến cố “xạ thủ thứ nhất bắn trật” và B là biến cố “xạ thủ thứ hai bắn trật”. C là biến cố “ bia không trúng đạn”. NX. C xãy ra  A xãy ra và B xãy ra. Do đó C  A.B Hợp các biến cố A1, A2,…, An là biến cố A mà nó xảy ra khi và chỉ khi xãy ra biến cố Ai nào đó của hệ biến cố A1, A2,…, An.. Ký hiệu A  A1  A2  ...  An Tích các biến cố A1,A2,…,An là biến cố A mà nó xảy ra khi và chỉ khi tất cả các biến cố A1, A2,…,An đều xảy ra. Ký hiệu A  A1 . A2 ... An 3.1 Công thức cộng xác suất Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu chúng không thể cùng xảy ra trong một phép thử. Khi đó AB là biến cố không thể (AB = ). Ví dụ. Xét lai ví dụ ở trên. Ta có A và A là 2 biến cố xung khắc nhau. A và C là 2 biến cố xung khắc nhau. Hai biến cố đối lập thì xung khắc nhau nhưng ngược lại thì chưa chắc. Ví dụ. Thực hiện kiểm tra 5 sản phẩm. Biến cố “có 1 phế phẩm” và biến cố ”có 2 phế phẩm” là hai biến cố xung khắc nhau. Định lý. Nếu A và B là hai biến cố bất kỳ thì P(A  B) = P(A) + P(B)  P(A.B) Chấp nhận Hệ quả. i)Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì P(A  B) = P(A) + P(B) ii) P  A   1  P  A Chứng minh. i)Nhận xét rằng AB là biến cố không thể  P(AB) = 0  đpcm ii)Ta có P(A  A)  P()  1 . Nhận xét rằng A và A là xung khắc. Suy ra P(A  A)  P(A)  P(A)  1  đpcm Công thức cộng xác suất mở rộng. 7 P(A  B  C) = P(A) + P(B) + P(C)  P(AB)  P(AC)  P(BC) +P(ABC) Nếu A, B và C xung khắc nhau từng đôi thì P(A  B  C) = P(A) + P(B) + P(C) Chấp nhận. Ví dụ1 Một hộp có 10 sản phẩm (trong đó có 2 phế phẩm).Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 6 sản phẩm.Tính xác suất để có ít nhất 1 phế phẩm trong 6 sản phẩm lấy ra. Gọi A là biến cố có ít nhất 1 phế phẩm trong 6 sản phẩm lấy ra.  A là biến cố không có phế phẩm nào trong 6 sản phẩm lấy ra. C6 2 13 Ta có P( A ) = 86   P(A) = 1P( A ) = = 0,8667 15 C10 15 Ví dụ2. Một kiện hàng có 15 sản phẩm, trong đó có 10 chính phẩm và 5 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm từ kiện hàng. Tìm xác suất để trong 3 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 chính phẩm. Gọi A là biến cố trong 3 sản phẩm lấy ra có ít nhất một chính phẩm. C1: Gọi Ai là biến cố có i chính phẩm trong 3 sản phẩm lấy ra( 0  i  3 ), ta có A= A1A2 A3 và hệ biến cố A1, A2 , A3 xung khắc từng đôi. 10 chính phẩm 5 phế phẩm C1 .C 2 C 2 .C1 C 3 Suy ra P( A)  P( A1 )  P( A2 )  P( A3 )  10 3 5  10 3 5  103 =0,978 C15 C15 C15 C2: Ta có A là biến cố không có chính phẩm nào trong 3 sản phẩm lấy ra. Khi đó, C3 P( A)  1  P( A)  1  53  0, 978 . C15 Ví dụ3. Theo khảo sát tổ chức y tế WHO trong một vùng dân cư, tỉ lệ người mắc bệnh tim là 9%, bệnh huyết áp là 12% và mắc cả hai bệnh là 7%. Chọn ngẫu nhiên một người trong vùng. Tính xác suất để người đó không mắc bệnh nào trong 2 bệnh (không mắc bệnh tim và không mắc huyết áp). Giả sử vùng dân cư khoảng 100.000 người. Số người không mắc bệnh nào trong 2 bệnh khoảng chừng bao nhiêu ? Gọi A là biến cố người đó mắc bệnh tim và B là biến cố người đó mắc bệnh huyết áp. Ta có P  A   0, 09 , P  B   0,12 , P  AB   0, 07 . N:biến cố người đó không mắc bệnh nào trong 2 bệnh. Ta có N : biến cố người đó mắc bệnh tim hay bệnh huyết áp  P  N   P  A  B   P  A   P  B   P  AB  = 0.09 + 0.12  0.07 = 0.14 Vậy P  N   1  P  N   1  0.14  0.86 .  Tỉ lệ người không mắc bệnh nào trong 2 bệnh là 86%. Số người không mắc bệnh nào trong 2 bệnh khoảng 86.000 người. Ví dụ 4. 8 Biết trong lớp 100 học sinh có 20 em giỏi môn toán và 25 em giỏi Ngoại ngữ, trong đó có 10 em giỏi cả Toán lẫn Ngoại ngữ. Quy định giỏi ít nhất một môn thì được thưởng. Chọn ngẫu nhiên một em trong lớp. Tính xác suất để em đó được thưởng. Suy ra tỉ lệ học sinh được thưởng của lớp.  Gọi A là biến cố chọn được em giỏi môn Toán. B là biến cố chọn được em giỏi môn Ngoại ngữ. C là biến cố em đó được thưởng. 20 25 10 35 P(C)=P(A B)=P(A)+P(B)P(AB)  .    100 100 100 100 Suy ra tỉ lệ học sinh được thưởnglà 35%. 3.2 Công thức nhân xác suất  Xác suất có điều kiện Xét phép thử với biến cố B đã xãy ra. Xác suất của biến cố A được tính với điều kiện biến cố B đã xãy ra, ký hiệu P(A/B), được gọi là xác suất xãy ra A với điều kiện B đã xãy ra. Công thức xác suất có điều kiện P( AB) P( B) Công thức nhân xác suất  P( AB)  P ( A).P( B / A)  P ( B ).P( A / B)  A và B độc lập  P( AB)  P( A).P( B ) . P( A / B)  Ghi chú. Hai biến cố A và B là độc lập nếu việc xãy ra hay không xãy ra biến cố này không ảnh hưởng tới khả năng xãy ra biến cố kia. Công thức nhân xác suất mở rộng. P( A1 A2 ... An )  P( A1 ).P( A2 / A1 ) P( A3 / A1 A2 )....P ( An / A1 A2 ... An1 ) Nếu các biến cố A1, …, An độc lập với nhau thì P(A1…An) = P(A1)…P(An) Ví dụ 1. Một túi đựng 5 quả cầu, trong đó có 2 quả màu trắng. Lấy ngẫu nhiên từ túi ra 2 quả cầu. a)Tính xác suất để lần thứ 2 được quả cầu trắng biết rằng lần 1 lấy được quả cầu trắng. b)Tìm xác suất lấy được 2 quả cầu trắng. Gọi A là biến cố lần thứ hai lấy được quả cầu trắng B là biến cố lần thứ nhất lấy được quả cầu trắng. a)Ta cần tìm P(A/B). lần 1 lần 2 B Ta có P(A / B) =1/4 = 0,25 2 trắng 3 khác  1 trắng 3 khác 2 1 1 b)P(B.A) = P(B).P(A / B) =   = 0,1 5 4 10 Ví dụ 2. Một phân xưởng có 3 máy hoạt động độc lập. Xác suất các máy 1, 2, 3 bị hỏng trong ngày tương ứng là 0,1; 0,2 và 0,15. Tính các xác suất sau đây: a)Tìm xác suất để chỉ có một máy bị hỏng trong ngày. b) Tìm xác suất để có ít nhất một máy bị hỏng trong ngày. c)Biết chỉ có một máy hỏng. Tìm xác suất để đó là máy 2. Gọi A1 , A2 , A3 tương ứng là các biến cố máy thứ nhất, thứ hai, thứ ba bị hỏng trong ngày. a). Gọi A là biến cố có chỉ một máy bị hỏng trong ngày. 9 Ta có P( A)  P( A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3 ) x/k P( A)  P( A1 A2 A3 )  P( A1 A2 A3 )  P ( A1 A2 A3 ) dl  P  A1  P  A2  P  A3   P  A1  P  A2  P  A3   P  A1  P  A2  P  A3  = 0,1.0,8.0,85 + 0,9.0,2.0,85 + 0,9.0,8.0,15 = 0,329 b)Gọi B là biến cố “có ít nhất một máy bị hỏng trong ngày”. B là biến cố “cả ba máy đều tốt” B  A1 A2 A3 . Suy ra P  B   1  P  B   1  P  A1  P  A2  P  A3   1  0,9.0,8.0,85 =0,388. c)P( A2 / A) = P( A2 . A) P( A1. A2 . A3 ) 0,9.0, 2.0,85 =0,4650   P( A) P( A) 0,329 Ví dụ 3. Một bộ đề thi vấn đáp gồm 10 đề, trong đó có 4 đề về câu hỏi lý thuyết và 6 đề bài tập tính toán. Có 3 sinh viên lần lượt vào thi, mỗi sinh viên chỉ lấy một đề và không hoàn lại. Tìm xác suất để sinh viên vào lần 1 gặp đề bài tập và 2 sinh viên còn lại gặp đề lý thuyết. Gọi A là biến cố cần tính xác suất 6 bài tập 4 lý thuyết và A1 , A2 , A3 lần lượt là các biến cố sinh viên thứ 1 gặp đề bài tập, sinh viên thứ 2 gặp lý thuyết và thứ 3 gặp lý thuyết. Ta có 6 4 3 P( A)  P( A1 A2 A3 )  P ( A1 ).P( A2 / A1 ).P ( A3 / A1 A2 )  . .  0,1 . 10 9 8 IV.CÔNG THỨC BERNOULLI (BECNULI). Giả sử thực hiện n phép thử độc lập và xác suất xuất hiện biến cố A trong mỗi phép thử đều cùng bằng hằng số p. Ta gọi n phép thử này là n phép thử Bernoulli. Khi đó xác suất để k lần xuất hiện biến cố A trong n phép thử Bernoulli là Pk = Cnk p k q n  k , k = 0, 1,…, n, với q=1 p. Chứng minh. Thực hiện n phép thử Bernoulli và quan sát. Gọi Ai là sự kiện xãy ra biến cố A trong phép thử Bernoulli thứ i.   Và ta luôn có P(Ai) = p và P Ai = 1p = q. Bk là sự kiện có k lần biến cố A xãy ra trong n phép thử Becnoulli Bk là hợp các biến cố xung khắc nhau dạng A i1 ...Aik .A ik 1 ...Ai n , Trong đó {i1, i2, ..., ik } là tập con k phần tử khác nhau từ tập hợp gồm n số tự nhiên {1, 2, …, n} ( còn ik+1, …, in là các số còn lại ). Số lượng biến cố tích đó là số các tổ hợp {i1, i2, ..., ik } và số lượng đó là Ckn NX: Với mỗi tổ hợp {i1, …, ik }  { 1, 2, …, n}, dl           P Ai1 ...Aik .A ik 1 ...Ain  P Ai1 ...P Aik .P Aik 1 ...P Ai n k nk = p .q Do đó P(Bk) = k n k  P  Ai1 ...Aik .Aik 1 ...Ain    p q i1 ,...,i k  = i1 ,...,ik  k k n k Cn .p q Ví dụ 1. 10 Một người chơi bóng rỗ có khả năng ném lọt rỗ với xác suất p = 0,6. Cho anh ta ném bóng 5 lần. Tìm xác suất để trong 5 lần ném đó có a) 1 lần lọt rỗ b) 2 lần lọt rỗ c) Không lọt lần nào. d)Có ít nhất là 2 lần lọt rỗ e) Có nhiều nhất là 2 lần lọt rỗ. Coi 5 lần ném bóng như là 5 phép thử Bernoulli với (xác suất ném lọt rỗ trong mỗi phép thử là) p = 0,95. a)P(A) = P1 = C51.0, 6.0, 44 = 0,0768. b)P(B) = P2 = C52 .0, 62.0, 43 =0,0922 c)P( C) = Po = C50 .0, 60.0, 45 =0,0256 d) D : biến cố có 0 hoặc 1 lần lọt rỗ. P( D ) = Po + P1 = 0,0256 +0,0768 = 0,1024  P(D) = 1  0,1024 = 0,8976. e)P( E) = Po +P1 +P2 = 0,0256 + 0,0768 + 0,0922 = 0,1946 Ví dụ 2. Cho một lô hạt giống với tỉ lệ hạt nẩy mầm là 95%. Lấy một mẫu để kiểm tra. Để xác suất mẫu có ít nhất một hạt lép không bé hơn 0,95, cần lấy một mẫu cỡ bao nhiêu hạt? Giả sử phải lấy mẫu gồm n hạt giống. Coi việc kiểm tra n hạt là n phép thử Bernoulli với xác suất hạt nẩy mầm trong mỗi phép thử là P(A)=p=0,95. Gọi B là biến cố tất cả các hạt của mẫu đều nẩy mầm. B là biến cố mẫu có ít nhất một hạt lép. n Ta có P(B) = Cn pnq0 =0,95n  P( B ) = 1 0,95n.  1 0,95n ≥ 0,95 ln 0, 05  0,05 ≥ 0,95n  n≥  58,404. ln 0, 95 KL: Ta chọn mẫu có số hạt n ≥ 59 Ta có yêu cầu P( B ) ≥ 0,95 V. CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ. Hệ biến cố A1 , A2 ,..., An là đầy đủ nếu A1  A2 ...  An   (hợp của chúng là biến cố chắc chắn) tức là trong phép thử, chắc chắn phải xãy ra biến cố Ai nào đó của hệ. Hệ biến cố A1 , A2 ,..., An gọi là xung khắc từng đôi nếu các cặp biến cố khác nhau đều xung khắc tức là trong phép thử, chỉ có thể xãy ra không quá một biến cố của hệ. Hệ các biến cố A1 , A2 ,..., An là đầy đủ và xung khắc từng đôi nếu trong phép thử, chắc chắn phải xãy ra một và chỉ một biến cố Ai nào đó trong hệ biến cố đó. Ví dụ. Kiểm tra 3 sản phẩm, gọi A0 , A1 , A2 , A3 tương ứng là các biến cố có 0,1,2,3 sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm kiểm tra. Hệ các biến cố trên là một hệ đầy đủ và xung khắc từng đôi. Hệ quả. Nếu hệ A1 , A2 ,..., An là đầy đủ và xung khắc từng đôi thì P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1. Chứng minh. Ta có P  A1  A2 ...  An   P() =1 ( do hệ A1 , A2 ,..., An là đầy đủ). 11 Mặt khác hệ A1 , A2 ,..., An là xung khắc từng đôi nên P  A1  A2 ...  An  =P(A1)+P(A2)+…+P(An)= 1 Công thức xác suất đầy đủ. Cho hệ biến cố A1,…, An là đầy đủ và xung khắc từng đôi, B là biến cố bất kỳ trong cùng một phép thử. Khi đó, xác suất xãy ra biến cố B là: P(B) = P(A1).P(B /A1) + …+P(An).P(B / An) . Chứng minh. Nhận xét P(B) = P(A1B  A2B  …AnB). Do tính xung khắc của các biến cố AiB, ta có P(B) = P(A1B)+P(A2B)+ …+P(AnB). Dùng công thức tích xác suất, ta suy ra đpcm Ví dụ. Một cơ sở sản xuất mũ gồm có 3 tổ cùng sản xuất mũ (độc lập nhau) với tỉ lệ sản phẩm trong tổng số sản phẩm lần lượt là 20%, 30% và 50%, trong đó trong tổ 1, 2, 3 có tỉ lệ phế phẩm tương ứng là 5%, 2% và 1%. Tất cả sản phẩm làm ra được xếp chung vào một kho. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ kho. Tìm xác suất để sản phẩm đó là phế phẩm. Hỏi tỉ lệ phế phẩm của kho là bao nhiêu?  Gọi B: biến cố mũ lấy được là phế phẩm. Xác suất P(B) cũng chính là tỉ lệ phế phẩm của kho. Gọi Ai là biến cố mũ lấy ra do tổ i sản xuất (i = 1, 2, 3). Ta có hệ biến cố A1, A2, A3 là hệ đầy đủ và xung khắc từng đôi. Và P(A1) = 0,2 , P(A2) = 0,3 , P(A3) = 0,5. P(B / A1) = 0,05; P(B /A2) = 0,02; P(B /A3) = 0,01. Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có: P(B) = P(A1).P(B / A1) + P(A2).P(B /A2) + P(A3).P(B /A3) = = 0,20,05 + 0,30,02 + 0,50,01 = 0,021= 2,1% KL: Tỉ lệ phế phẩm của kho là 2,1% VI. CÔNG THỨC BAYÈS Cho hệ biến cố A1,…, An là đầy đủ và xung khắc từng đôi, B là biến cố bất kỳ trong cùng một phép thử. Giả thiết rằng B đã xảy ra. Khi đó ta có P(Ai ).P(B / Ai ) P(A i ).P(B / A i ) P(A i / B)   , với i = 1, …, n P(B) P(A1 ).P(B / A1 )  ...  P(A n ).P(B / A n ) Chứng minh. Theo công thức xác suất có điều kiện, ta có P(Ai B) P(Ai / B) = . P(B) Áp dụng công thức nhân xác suất và công thức xác suất đầy đủ, suy ra đpcm Ví dụ 1. 12 Hai máy tiện cùng sản xuất ra một loại trục xe đạp. Các trục xe được đóng chung vào một kiện. Năng suất của máy tiện thứ hai gấp đôi năng suất của máy tiện thứ nhất. Máy tiện thứ nhất sản xuất được 64% trục loại tốt, còn máy tiện thứ hai được 80% trục loại tốt. Lấy ngẫu nhiên từ kiện ra một trục để kiểm tra thì được trục loại tốt. Tìm xác suất để trục đó do máy tiện thứ nhất sản xuất và xác suất để trục đó do máy tiện thứ 2 sản xuất. Gọi A1 , A2 tương ứng là các biến cố trục lấy được do máy thứ nhất và máy thứ hai sản xuất Ta có hệ biến cố A1, A2 là hệ đầy đủ và xung khắc 1 2 P( A1 )  ; P( A2 )  ; và P( B / A1 )  0, 64; P( B / A2 )  0,8 3 3 Gọi B là biến cố trục đó là trục loại tốt. Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có P(B) = P(A1).P(B / A1) + P(A2).P(B / A2) 1 2 P(B) =  0,64   0,8 = 0,7467. 3 3 P( A1 ).P( B / A1 ) (1/ 3)  0, 64 Vậy P( A1 / B)    0, 2857 . P( B) 0, 7467 P ( A2 ).P( B / A2 ) (2 / 3)  0,8 P( A2 / B)    0, 7143 P( B) 0, 7467 Cách khác:P(A2/B)=1 P(A1/ B)=1 0,2857=0,7143 (NX: (A2/B) là biến cố đối của biến cố (A1/B)) Ví dụ 2. Cho tỉ lệ người dân nghiện thuốc lá ở một vùng là 30%. Biết tỉ lệ người viêm họng trong số người nghiện thuốc lá là 60% và tỉ lệ người viêm họng trong số người không hút thuốc là 40%. Chọn ngẫu nhiên một người trong vùng. a)Giả sử người đó viêm họng. Tìm xác suất để người đó nghiện thuốc. b)Giả sử người đó không viêm họng. Tìm xác suất để người đó nghiện thuốc. Gọi A1:biến cố người đó nghiện thuốc lá và A2 = A1 . Gọi B: biến cố người đó viêm họng. Ta có hệ biến cố A1 và A2 là đầy đủ và xung khắc Và P(A1) = 0,3; P(A2) = 0,7; P(B / A1) = 0,6 và P( B / A2) = 0,4. Theo công thức xác suất đầy đủ ta có P(B) = P(A1).P(B / A1) + P( A2).P(B / A2) = 0,3×0,6 + 0,7×0,4 = 0,46 P( A1.B) P ( A1 ).P( B / A1 ) 0,3  0, 6 9 a)P(A1/ B) = = = 0,3913   P( B) P( B) 0, 46 23 b)P( A1/ B ) =    P(A1 ).P  B / A1  P  B P  B P A1.B Với P( B ) = 0,54 , P(A1) = 0,3 và P( B / A1) = 1 P(B / A1) = 0,4 0,3  0, 4 2 Suy ra P( A1/ B ) =  = 0,2222 0,54 9 Ví dụ 3. Có hai hộp sản phẩm, biết rằng: Hộp 1: có 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu. Hộp 2 : có 5 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu. 13 Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm ở hộp thứ 1 bỏ vào hộp thứ 2 rồi sau đó từ hộp thứ 2 lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm thì được sản phẩm tốt. Tính xác suất để sản phẩm lấy ra từ hộp thứ 2 là sản phẩm của hộp thứ nhất bỏ vào. Gọi A1: biến cố sản phẩm lấy ra lần đầu là tốt; A2:biến cố sản phẩm lấy ra lần đầu là xấu. Hệ biến cố A1, A2 là đầy đủ và xung khắc; và P(A1) = 6/10= 0,6 ; P(A2) = 4/10 = 0,4. Gọi B: biến cố sản phẩm lấy ra từ hộp hai là sản phẩm tốt. C: biến cố sản phẩm lấy ở hộp hai là sản phẩm đã lấy ở hộp thứ nhất bỏ vào. (NX:TH: A1 xãy ra  hộp thứ hai : 6 tốt 4 xấu ; TH: A2 xãy ra  hộp thứ hai: 5 tốt 5 xấu ) Ta có P(B) = P(A1).P(B / A1) + P( A2). P(B / A2) 6 5  0, 4  = 0,36+0,2 = 0,56. 10 10 P (C.B) P ( A1.C ) P( A1 ).P(C / A1 ) Ta có P(C / B) =   P( B) P( B) P( B) = 0,6  (NX: lần 2, trong 10 sản phẩm của hộp hai chỉ có 1 sản phẩm là của hộp thứ nhất đã bỏ vào). 1 10  0,06  3 . 0,56 0,56 28 0,6  P(C / B) = 14 Chương II ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ CÁC QUI LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN. 1.1 Các định nghĩa Giả sử sau phép thử, đại lượng X sẽ nhận giá trị nào đó. Nếu giá trị của đại lượng X là ngẫu nhiên, không thể xác định được trước khi thực hiện phép thử thì ta gọi X là đại lượng ngẫu nhiên (hoặc biến ngẫu nhiên ). Ví dụ. Cho phép thử là kiểm tra 3 sản phẩm để biết số phế phẩm. Gọi X là số phế phẩm. Ta có X là ĐLNN vì trước khi thực hiên phép thử, ta không xác định được giá trị của X mà chỉ biết X sẽ nhận là một trong các giá trị:0,1,2,3. Một ĐLNN được gọi là rời rạc nếu tập các giá trị mà nó nhận là tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được ( gồm các trị rời nhau). Một ĐLNN được gọi là liên tục nếu tập các giá trị mà nó nhận là một khoảng nào đó trên trục số. Ví dụ. Cho phép thử là gieo một con xúc sắc. Gọi X là số nốt xuất hiện trên con xúc sắc. Ta có X là ĐLNN rời rạc vì X chỉ có thể nhận các trị {1,2,3,4,5,6}. Ví dụ. Chiều cao của trẻ em lứa tuổi 15, khối lượng một loại hoa quả… là những ĐLNN liên tục. Ta thường ký hiệu các ĐLNN bởi các chữ X, Y, Z, … và các chữ nhỏ x, y, z, …là các giá trị mà X, Y, Z, … nhận. Ví dụ. Sau phép thử, ta có (X nhận trị 3,5).  Sau phép thử, ta có (X = 3,5).  Sau phép thử, ta có ( x = 3,5) 1.2 Qui luật phân phối xác suất của ĐLNN Để xác định một đại lượng ngẫu nhiên ta phải biết đại lượng ngẫu nhiên ấy có thể nhận giá trị nào và nó nhận giá trị ấy với xác suất tương ứng bao nhiêu. Một hệ thức hay qui tắc cho phép biểu diển mối quan hệ giữa các giá trị có thể nhận của ĐLNN với các xác suất tương ứng gọi là qui luật phân phối xác suất của ĐLNN. Để xác định một ĐLNN, ta có thể dùng: bảng phân phối xác suất, hàm phân phối xác suất hoặc hàm mật độ xác suất. 1.2.1 Bảng phân phối xác suất 15 Để xác định ĐLNN rời rạc X người ta thường dùng bảng phân phối xác suất của X có dạng: X P x1 x2 … xn p1 p2 … pn Trong đó p1 +…+pn = 1 và các pi ≥ 0 Khi đó ĐLNN X có tập giá trị là { x1, x2, …, xn } và P  X  xi   pi , i  1, n . Ví dụ 1. Một xạ thủ được phép bắn 3 viên đạn vào mục tiêu với xác suất trúng mục tiêu là 0,6. Anh ta bắn cho tới khi hết đạn hoặc trúng mục tiêu thì thôi. Gọi X là số viên đạn bắn ra. Lập bảng phân phối xác suất của X. X có thể nhận các trị 1, 2, 3. Gọi Ai là biến cố bắn trúng mục tiêu ở viên đạn thứ i ( 1  i  3 ). Ta có P( X  1)  P( A1 )  0, 6 ; P( X  2)  P ( A1. A2 )  P( A1 ).P( A2 )  0, 4  0, 6  0, 24 ; P(X=3) = P ( A1 . A2 )  P ( A1 ).P ( A2 ) = 0,4 × 0,4 = 0,16 (Tính cách khác: P( X  3)  1  P( X  1)  P ( X  2)  1  0, 6  0, 24  0,16 ) Vậy bảng phân phối xác suất của X là X P 1 0,6 2 0,24 3 0,16 Ví dụ 2. Trong hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 6 chính phẩm. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ hộp ra 2 sản phẩm.Lập bảng phân phối xác suất của số chính phẩm được lấy ra. Gọi X là số chính phẩm được lấy ra từ hộp. X là ĐLNN rời rạc, có thể nhận các trị 0, 1, 2 (6 chính phẩm 4 phế phẩm) P  X  0  C42 2  ; C102 15 P  X  1  C61C41 8  ; C102 15 P  X  2  C62 5  2 C10 15 Vậy bảng phân phối xác suất của X: X P 0 2/15 1 2 8/15 5/15 16 Ví dụ 3. Có hai chuồng gà nằm cạnh nhau. Chuồng thứ nhất có 6 gà trống và 4 gà mái. Chuồng thứ hai có 4 gà trống và 4 gà mái. Buổi tối nọ, có 2 con gà chuồng 1 bay qua chuồng 2. Người ta bắt 2 con gà chuồng 2 bỏ qua chuồng 1. Gọi X1 là số gà trống trong 2 con gà bay qua chuồng 2, X2 là số gà trống trong 2 con gà người ta bỏ lại chuồng 1. Tìm bảng phân phối xác suất của X1 và X2. Tương tự ví dụ trên suy ra bảng phân phối xác suất của ĐLNN X1 là X1 P 0 1 2/15 8/15 2 5/15 Tìm bảng phân phối xác suất của ĐLNN X2 . (NX: X1=0chuồng2 có 4trống 6mái; X1=1chuồng2 có 5trống 5mái; X1=2 chuồng2 có 6trống 4mái) P(X2 = k) = P(X1=0).P(X2=k / X1=0)+P(X1=1).P(X2=k / X1=1) +P(X1=2).P(X2=k / X1=2), k = 0, 1, 2. k 2 k k 2 k k 2 k = 2 . C4 C6  8 . C5 C5  5 . C6 C4 2 2 2 15 C10 15 C10 15 C10 2C4k C62k  8C5k C52k  5C6k C42k = 675 P(X2=0) = 140/675; P(X2=1)=368/675; P(X2=2) = 167/675. KL: Bảng phân phối xác suất của ĐLNN X2 là X2 0 1 2 P 140 368 675 675 167 675 1.2.2 Hàm phân phối xác suất Hàm phân phối dùng để xác định qui luật phân phối xác suất của cả ĐLNN rời rạc và liên tục. 17 Cho đại lượng ngẫu nhiên X. Hàm F ( x) : P( X  x) gọi là hàm phân phối(xác suất) của ĐLNN X. Ví dụ. Tìm hàm phân phối của ĐLNN X có bảng phân phối xác suất X P 0 2/15 1 8/15 2 5/15 y Ta có hàm phân phối của ĐLNN X là  0  F(x) =P(X - Xem thêm -