Tài liệu Lý thuyết và bài tập toán 10 – chương 6 lượng giác – góc, cung, công thức

Lượng giác Trần Sĩ Tùng cos a = x = OH sin a = y = OK sin a tan a = = AT cos a cos a cot a = = BS sin a sin I. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác 1. Định nghĩa các giá trị lượng giác Cho (OA, OM ) = a . Giả sử M ( x; y) . tang CHƯƠNG VI GÓC – CUNG LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC B K æ ö p ç a ¹ + kp ÷ è 2 ø T cotang S M a H O (a ¹ kp ) A cosin Nhận xét: · "a , - 1 £ cos a £ 1; - 1 £ sin a £ 1 · tana xác định khi a ¹ p + kp , k Î Z 2 · cota xác định khi a ¹ kp , k Î Z · sin(a + k 2p ) = sin a · tan(a + kp ) = tan a cos(a + k 2p ) = cos a cot(a + kp ) = cot a 2. Dấu của các giá trị lượng giác Phần tư Giá trị lượng giác cosa sina tana cota I II III IV + + + + – + – – – – + + + – – – 3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt 0 00 p 6 300 p 4 p 3 p 2 2p 3 3p 4 p 3p 2 2p 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600 3 2 2 2 0 –1 0 –1 0 1 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 tan 0 3 3 1 3 3 1 3 3 cot 0 Trang 56 - 1 2 - 2 2 - 3 –1 3 3 –1 - 0 0 0 Trần Sĩ Tùng Lượng giác 4. Hệ thức cơ bản: sin 2a + cos2a = 1 ; tana .cota = 1 ; 1 + tan 2 a = 1 cos2 a 5. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt Góc đối nhau Góc bù nhau cos(-a ) = cos a sin(p - a ) = sin a sin(-a ) = - sin a cos(p - a ) = - cos a tan(-a ) = - tan a tan(p - a ) = - tan a cot(-a ) = - cot a cot(p - a ) = - cot a Góc hơn kém p ; 1 + cot 2 a = 1 sin 2 a Góc phụ nhau æp ö sin ç - a ÷ = cos a è2 ø æp ö cos ç - a ÷ = sin a è2 ø æp ö tan ç - a ÷ = cot a è2 ø æp ö cot ç - a ÷ = tan a è2 ø Góc hơn kém p 2 sin(p + a ) = - sin a æp ö sin ç + a ÷ = cos a è2 ø cos(p + a ) = - cos a æp ö cos ç + a ÷ = - sin a è2 ø tan(p + a ) = tan a æp ö tan ç + a ÷ = - cot a è2 ø cot(p + a ) = cot a æp ö cot ç + a ÷ = - tan a è2 ø II. Công thức lượng giác 1. Công thức cộng sin(a + b) = sin a. cos b + sin b.cos a sin(a - b) = sin a.cos b - sin b.cos a cos(a + b) = cos a. cos b - sin a.sin b cos(a - b) = cos a. cos b + sin a.sin b Hệ quả: tan a + tan b 1 - tan a.tan b tan a - tan b tan(a - b) = 1 + tan a.tan b tan(a + b) = æp ö 1 + tan a tan ç + a ÷ = , è4 ø 1 - tan a æp ö 1 - tan a tan ç - a ÷ = è4 ø 1 + tan a 2. Công thức nhân đôi sin 2a = 2 sin a .cos a cos 2a = cos2 a - sin 2 a = 2 cos2 a - 1 = 1 - 2 sin 2 a tan 2a = 2 tan a 1 - tan 2 a ; Trang 57 cot 2 a - 1 cot 2a = 2 cot a Lượng giác Trần Sĩ Tùng Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*) 1 - cos 2a 2 1 + cos 2a 2 cos a = 2 1 - cos 2a 2 tan a = 1 + cos 2a sin 3a = 3sin a - 4sin3 a cos 3a = 4 cos3 a - 3cos a 3tan a - tan3 a tan 3a = 1 - 3 tan 2 a sin 2 a = 3. Công thức biến đổi tổng thành tích sin(a + b) cos a.cos b sin(a - b) tan a - tan b = cos a.cos b sin(a + b) cot a + cot b = sin a.sin b sin(b - a) cot a - cot b = sin a.sin b a+b a-b . cos 2 2 a+b a-b cos a - cos b = - 2 sin .sin 2 2 a+b a-b sin a + sin b = 2sin .cos 2 2 a+b a-b sin a - sin b = 2 cos .sin 2 2 cos a + cos b = 2 cos tan a + tan b = æ æ pö pö sin a + cos a = 2.sin ç a + ÷ = 2.cos ç a - ÷ 4ø 4ø è è æ æ pö pö sin a - cosa = 2 sin ç a - ÷ = - 2 cos ça + ÷ è 4ø è 4ø 4. Công thức biến đổi tích thành tổng 1 é cos(a - b) + cos(a + b)ùû 2ë 1 sin a.sin b = éë cos(a - b) - cos(a + b)ùû 2 1 sin a. cos b = éësin(a - b) + sin(a + b) ùû 2 cos a.cos b = Trang 58 Trần Sĩ Tùng Lượng giác VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm nhọn của cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các GTLG. Bài 1. Xác định dấu của các biểu thức sau: 21p 7 4p p 4p 9p d) D = cos .sin .tan .cot 5 3 3 5 b) B = sin 2150.tan a) A = sin 500.cos(-300 0 ) c) C = cot æ 2p ö 3p .sin ç ÷ 5 è 3 ø Bài 2. Cho 00 < a < 90 0 . Xét dấu của các biểu thức sau: a) A = sin(a + 90 0 ) b) B = cos(a - 450 ) c) C = cos(270 0 - a ) d) D = cos(2a + 90 0 ) p . Xét dấu của các biểu thức sau: 2 b) B = tan(a - p ) a) A = cos(a + p ) æ æ 2p ö 3p ö c) C = sin ç a + d) D = cos ç a ÷ ÷ è 5 ø è 8 ø Bài 4. Cho tam giác ABC. Xét dấu của các biểu thức sau: a) A = sin A + sin B + sin C b) B = sin A.sin B.sin C A B C A B C c) C = cos .cos . cos d) D = tan + tan + tan 2 2 2 2 2 2 Bài 3. Cho 0 < a < Bài 5. a) VẤN ĐỀ 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung) Ta sử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một góc, để từ giá trị lượng giác đã biết suy ra các giá trị lượng giác chưa biết. I. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại 1. Cho biết sina, tính cosa, tana, cota · Từ sin 2 a + cos2 a = 1 Þ cos a = ± 1 - sin 2 a . – Nếu a thuộc góc phần tư I hoặc IV thì cos a = 1 - sin 2 a . – Nếu a thuộc góc phần tư II hoặc III thì cos a = - 1 - sin 2 a . sin a 1 · Tính tan a = ; cot a = . cos a tan a 2. Cho biết cosa, tính sina, tana, cota · Từ sin 2 a + cos2 a = 1 Þ sin a = ± 1 - cos2 a . – Nếu a thuộc góc phần tư I hoặc II thì sin a = 1 - cos2 a . – Nếu a thuộc góc phần tư III hoặc IV thì sin a = - 1 - cos2 a . sin a 1 · Tính tan a = ; cot a = . cos a tan a Trang 59 Lượng giác Trần Sĩ Tùng 3. Cho biết tana, tính sina, cosa, cota 1 · Tính cot a = . tan a 1 1 · Từ = 1 + tan 2 a Þ cos a = ± . 2 cos2 a 1 + tan a – Nếu a thuộc góc phần tư I hoặc IV thì cos a = 1 2 . 1 + tan a 1 – Nếu a thuộc góc phần tư II hoặc III thì cos a = . 1 + tan 2 a · Tính sin a = tan a . cos a . 4. Cho biết cota, tính sina, cosa, tana 1 · Tính tan a = . cot a 1 1 · Từ = 1 + cot 2 a Þ sin a = ± . 2 sin 2 a 1 + cot a 1 – Nếu a thuộc góc phần tư I hoặc II thì sin a = . 2 1 + cot a 1 – Nếu a thuộc góc phần tư III hoặc IV thì sin a = . 1 + cot 2 a II. Cho biết một giá trị lượng giác, tính giá trị của một biểu thức · Cách 1: Từ GTLG đã biết, tính các GTLG có trong biểu thức, rồi thay vào biểu thức. · Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG đã biết III. Tính giá trị một biểu thức lượng giác khi biết tổng – hiệu các GTLG Ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi: A2 + B 2 = ( A + B)2 - 2 AB A 4 + B 4 = ( A 2 + B 2 )2 - 2 A 2 B 2 A3 + B3 = ( A + B)( A2 - AB + B2 ) A3 - B3 = ( A - B)( A2 + AB + B2 ) IV. Tính giá trị của biểu thức bằng cách giải phương trình · Đặt t = sin 2 x, 0 £ t £ 1 Þ cos2 x = t . Thế vào giả thiết, tìm được t. Biểu diễn biểu thức cần tính theo t và thay giá trị của t vào để tính. · Thiết lập phương trình bậc hai: t 2 - St + P = 0 với S = x + y; P = xy . Từ đó tìm x, y. Bài 1. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với: 4 a) cos a = , 2700 < a < 360 0 5 c) e) g) Bài 2. b) cos a = 2 ,- p 0. Chứng minh: + = . 3 3 a b a+b a b (a + b)3 Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau: a) (1 - sin 2 x ) cot 2 x + 1 - cot 2 x c) e) g) b) (tan x + cot x )2 - (tan x - cot x )2 cos2 x + cos2 x .cot 2 x 2 2 d) ( x .sin a - y. cos a)2 + ( x .cos a + y.sin a)2 2 sin x + sin x .tan x sin 2 x - tan 2 x f) cos2 a - cot 2 x sin 2 x - cos2 x + cos 4 x cos2 x - sin 2 x + sin 4 x 1 + cos x 1 - cos x sin 2 x (1 + cot x ) + cos2 x (1 + tan x ) h) ; x Î (0, p ) 1 - cos x 1 + cos x æ p pö æ p 3p ö 1 + sin x 1 - sin x + ; x Îç - ; ÷ k) cos x - tan 2 x - sin 2 x ; x Îç ; ÷ 1 - sin x 1 + sin x è 2 2ø è2 2 ø Bài 5. Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x: i) a) 3(sin 4 x + cos 4 x ) - 2(sin 6 x + cos6 x ) ĐS: 1 b) 3(sin 8 x - cos8 x ) + 4(cos6 x - 2sin 6 x ) + 6 sin 4 x ĐS: 1 c) (sin 4 x + cos 4 x - 1)(tan 2 x + cot 2 x + 2) ĐS: –2 d) cos2 x .cot 2 x + 3cos2 x - cot 2 x + 2 sin 2 x ĐS: 2 4 e) 4 sin x + 3 cos x - 1 6 6 ĐS: 4 sin x + cos x + 3 cos x - 1 Trang 63 2 3 Lượng giác f) g) Trần Sĩ Tùng tan 2 x - cos2 x + cot 2 x - sin 2 x sin 2 x sin 6 x + cos6 x - 1 4 ĐS: 2 cos2 x ĐS: 4 sin x + cos x - 1 Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh: a) sin B = sin( A + C ) c) sin A+B C = cos 2 2 b) cos( A + B) = - cos C d) cos(B - C ) = - cos( A + 2C ) e) cos( A + B - C ) = - cos 2C g) sin 3 2 A + B + 3C = cos C 2 -3 A + B + C = - sin 2 A 2 A + B - 2C 3C h) tan = cot 2 2 f) cos Bài 7. a) VẤN ĐỀ 5: Công thức cộng sin(a + b) = sin a. cos b + sin b.cos a tan a + tan b tan(a + b) = sin(a - b) = sin a.cos b - sin b.cos a 1 - tan a.tan b cos(a + b) = cos a. cos b - sin a.sin b tan a - tan b tan(a - b) = cos(a - b) = cos a. cos b + sin a.sin b 1 + tan a.tan b Hệ quả: æp ö 1 + tan a tan ç + a ÷ = , è4 ø 1 - tan a æp ö 1 - tan a tan ç - a ÷ = è4 ø 1 + tan a Bài 1. Tính các giá trị lượng giác của các góc sau: p 5p 7p ; ; 12 12 12 Bài 2. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết: æ pö 3 p a) tan ç a + ÷ khi sin a = , < a < p è 3ø 5 2 a) 150 ; 750 ; 1050 b) æp ö 12 3p b) cos ç - a ÷ khi sin a = - , < a < 2p è3 ø 13 2 1 1 c) cos(a + b). cos(a - b) khi cos a = , cos b = 3 4 ĐS: 38 - 25 3 11 (5 - 12 3) 26 119 ĐS: 144 ĐS: 8 5 , tan b = và a, b là các góc nhọn. 17 12 21 140 21 ĐS: ; ; . 221 221 220 p p e) tan a + tan b, tan a, tan b khi 0 < a, b < , a + b = và tan a.tan b = 3 - 2 2 . Từ đó 2 4 d) sin(a - b), cos(a + b), tan(a + b) khi sin a = Trang 64 Trần Sĩ Tùng Lượng giác ĐS: 2 2 - 2 ; tan a = tan b = 2 - 1, a = b = suy ra a, b . p 8 Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau: 3 2 3 ĐS: 2 a) A = sin 2 20o + sin 2 100 o + sin 2 140o ĐS: b) B = cos2 10o + cos110o + cos2 130o c) C = tan 20o.tan 80o + tan 80o.tan140o + tan140o.tan 20o o o o o o d) D = tan10 . tan 70 + tan 70 .tan130 + tan130 .tan190 o e) E = o ĐS: –3 o ĐS: –3 o cot 225 - cot 79 .cot 71 ĐS: cot 259o + cot 251o 3 2 3 ĐS: 3 f) F = cos2 75o - sin 2 75o g) G = 3 ĐS: - 1 - tan15o 1 + tan150 h) H = tan150 + cot150 ĐS: 4 HD: 400 = 60 0 - 200 ; 80 0 = 600 + 20 0 ; 50 0 = 60 0 - 10 0 ; 70 0 = 60 0 + 10 0 Bài 4. Chứng minh các hệ thức sau: a) sin( x + y).sin( x - y ) = sin 2 x - sin 2 y 2 sin( x + y ) cos( x + y ) + cos( x - y ) æ æ æ pö pö 2p c) tan x. tan ç x + ÷ + tan ç x + ÷ .tan ç x + è è è 3ø 3ø 3 b) tan x + tan y = ö æ 2p ÷ + tan ç x + ø è 3 ö ÷ .tan x = - 3 ø æ æ æ æ pö pö pö 3p ö 2 d) cos ç x - ÷ .cos ç x + ÷ + cos ç x + ÷ .cos ç x + (1 - 3) ÷= è 3ø è 4ø è 6ø è 4 ø 4 e) (cos 70o + cos 50o )(cos 230o + cos 290o ) +(cos 40o + cos160o )(cos320o + cos380o ) = 0 f) tan x .tan 3 x = tan 2 2 x - tan 2 x 1 - tan 2 2 x .tan 2 x Bài 5. Chứng minh các hệ thức sau, với điều kiện cho trước: a) 2 tan a = tan(a + b) khi sin b = sin a.cos(a + b) b) 2 tan a = tan(a + b) khi 3sin b = sin(2 a + b) 1 khi cos(a + b) = 2 cos(a - b) 3 1- k d) tan(a + b).tan b = khi cos(a + 2 b) = k cos a 1+ k HD: a) Chú ý: b = (a+b)–a b) Chú ý: b = (a+b)–a; 2a+b=(a+b)+a c) Khai triển giả thiết d) Chú ý: a+2b=(a+b)+a; a=(a+b)–b Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh: a) sin C = sin A.cos B + sin B.cos A sin C b) = tan A + tan B ( A, B ¹ 90 0 ) cos A.cos B c) tan a.tan b = - c) tan A + tan B + tan C = tan A.tan B. tan C ( A, B, C ¹ 90 0 ) d) cot A.cot B + cot B. cot C + cot C.cot A = 1 Trang 65 Lượng giác Trần Sĩ Tùng A B B C C A .tan + tan .tan + tan .tan = 1 2 2 2 2 2 2 A B C A B C f) cot + cot + cot = cot .cot .cot 2 2 2 2 2 2 cos C cos B g) cot B + = cot C + ( A ¹ 90o ) sin B.cos A sin C .cos A A B C A B C A B C A B C h) cos . cos .cos = sin sin cos + sin cos sin + cos sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B C A B C i) sin 2 + sin 2 + sin 2 = 1 + 2sin sin sin 2 2 2 2 2 2 æ A Bö C HD: a, b, c, d) Sử dụng (A + B) + C = 1800 e, f) Sử dụng ç + ÷ + = 90 0 è2 2ø 2 æA B Cö g) VT = VP = tanA h) Khai triển cos ç + + ÷ è2 2 2ø æA B Cö i) Khai triển sin ç + + ÷ . è2 2 2ø æB Cö A B C A B C Chú ý: Từ cos ç + ÷ = sin Þ cos .cos = sin + sin .sin è2 2ø 2 2 2 2 2 2 A B C A A B C Þ sin .cos .cos = sin 2 + sin .sin .sin 2 2 2 2 2 2 2 Bài 7. Cho tam giác A, B, C. Chứng minh: e) tan a) tan A + tan B + tan C ³ 3 3, " D ABC nhoïn. b) tan 2 A + tan 2 B + tan 2 C ³ 9, " D ABC nhoïn. c) tan 6 A + tan 6 B + tan 6 C ³ 81, " D ABC nhoïn. A B C + tan 2 + tan 2 ³ 1 2 2 2 A B C e) tan + tan + tan ³ 3 2 2 2 HD: a, b, c) Sử dụng tan A + tan B + tan C = tan A.tan B.tan C và BĐT Cô–si d) tan 2 d) Sử dụng a2 + b2 + c2 ³ ab + bc + ca A B B C C A và tan .tan + tan .tan + tan .tan = 1 2 2 2 2 2 2 2 æ A B Cö e) Khai triển ç tan + tan + tan ÷ và sử dụng câu c) è 2 2 2ø Bài 8. a) Trang 66 Trần Sĩ Tùng Lượng giác VẤN ĐỀ 6: Công thức nhân Công thức nhân đôi sin 2a = 2 sin a .cos a cos 2a = cos2 a - sin 2 a = 2 cos2 a - 1 = 1 - 2 sin 2 a tan 2a = 2 tan a 1 - tan 2 a ; cot 2a = cot 2 a - 1 2 cot a Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*) 1 - cos 2a 2 1 + cos 2a 2 cos a = 2 1 - cos 2a 2 tan a = 1 + cos 2a sin 3a = 3sin a - 4sin3 a cos 3a = 4 cos3 a - 3cos a 3tan a - tan3 a tan 3a = 1 - 3 tan 2 a sin 2 a = Bài 1. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết: a) cos 2a , sin 2a , tan 2a khi cos a = b) cos 2a , sin 2a , tan 2a khi tan a = 2 5 3p , p - Xem thêm -