Tài liệu Lý thuyết và bài tập toán 10 – chương 3 phương trình và hệ phương trình

Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH 1. Phương trình một ẩn f(x) = g(x) (1) · x0 là một nghiệm của (1) nếu "f(x0) = g(x0)" là một mệnh đề đúng. · Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó. · Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định của phương trình. Chú ý: + Khi tìm ĐKXĐ của phương trình, ta thường gặp các trường hợp sau: 1 – Nếu trong phương trình có chứa biểu thức thì cần điều kiện P(x) ¹ 0. P( x ) – Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P( x ) thì cần điều kiện P(x) ³ 0. + Các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ các giao điểm của đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = g(x). 2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả Cho hai phương trình f1(x) = g1(x) (1) có tập nghiệm S1 và f2(x) = g2(x) (2) có tập nghiệm S2. · (1) Û (2) khi và chỉ khi S1 = S2. · (1) Þ (2) khi và chỉ khi S1 Ì S2. 3. Phép biến đổi tương đương · Nếu một phép biến đổi phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của nó thì ta được một phương trình tương đương. Ta thường sử dụng các phép biến đổi sau: – Cộng hai vế của phương trình với cùng một biểu thức. – Nhân hai vế của phương trình với một biểu thức có giá trị khác 0. · Khi bình phương hai vế của một phương trình, nói chung ta được một phương trình hệ quả. Khi đó ta phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: 5 5 1 1 a) 3 x + = 12 + b) 5 x + = 15 + x-4 x-4 x +3 x +3 1 1 2 2 c) x 2 = 9d) 3 x + = 15 + x -1 x -1 x -5 x -5 Bài 2. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: Bài 1. a) 1 + 1 - x = x - 2 c) e) Bài 3. a) c) b) x +1 = 2 - x x +1 = x +1 d) x - 1 = 1 - x x 3 f) x 2 - 1 - x = x - 2 + 3 = x -1 x -1 Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: x - 3( x 2 - 3 x + 2) = 0 x x -2 = 1 x -2 - x -2 b) d) x + 1( x 2 - x - 2) = 0 x2 - 4 x +1 Trang 14 = x+3 x +1 + x +1 Trần Sĩ Tùng Bài 4. a) c) Bài 5. a) c) Phương trình bậc nhất – bậc hai Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: x - 2 = x +1 b) x + 1 = x - 2 2 x -1 = x + 2 d) x - 2 = 2 x - 1 Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: x x x -2 x -2 b) = = x -1 x -1 x -1 x -1 x x x -1 1- x d) = = 2- x 2-x x -2 x -2 Bài 6. a) II. PHƯƠNG TRÌNH ax + b = 0 ax + b = 0 Hệ số (1) có nghiệm duy nhất x = - a¹0 a=0 (1) Kết luận b¹0 b=0 b a (1) vô nghiệm (1) nghiệm đúng với mọi x Chú ý: Khi a ¹ 0 thì (1) đgl phương trình bậc nhất một ẩn. Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m: a) (m 2 + 2) x - 2 m = x - 3 b) m( x - m ) = x + m - 2 b) m( x - m + 3) = m( x - 2) + 6 d) m2 ( x - 1) + m = x (3m - 2) e) (m 2 - m ) x = 2 x + m 2 - 1 f) (m + 1)2 x = (2 m + 5) x + 2 + m Bài 2. Giải và biện luận các phương trình sau theo các tham số a, b, c: x-a x-b a) -b = - a (a, b ¹ 0) b) (ab + 2) x + a = 2b + (b + 2a) x a b x + ab x + bc x + b2 c) + + = 3b (a, b, c ¹ -1) a +1 c +1 b +1 x -b-c x-c-a x -a-b d) + + = 3 (a, b, c ¹ 0) a b c Bài 3. Trong các phương trình sau, tìm giá trị của tham số để phương trình: i) Có nghiệm duy nhất ii) Vô nghiệm iii) Nghiệm đúng với mọi x Î R. a) (m - 2) x = n - 1 b) (m 2 + 2 m - 3) x = m - 1 c) (mx + 2)( x + 1) = (mx + m 2 ) x d) (m 2 - m ) x = 2 x + m 2 - 1 Bài 4. a) Trang 15 Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) 1. Cách giải ax2 + bx + c = 0 D = b2 - 4 ac (a ¹ 0) (1) Kết luận D>0 (1) có 2 nghiệm phân biệt x1,2 = D=0 (1) có nghiệm kép x = - D<0 (1) vô nghiệm -b ± D 2a b 2a c . a c – Nếu a – b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = –1 và x = - . a b – Nếu b chẵn thì ta có thể dùng công thức thu gọn với b¢ = . 2 2. Định lí Vi–et Chú ý: – Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = 1 và x = Hai số x1 , x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 khi và chỉ khi chúng thoả mãn các hệ thức S = x1 + x2 = - b c và P = x1 x2 = . a a VẤN ĐỀ 1: Giải và biện luận phương trình ax 2 + bx + c = 0 Để giải và biện luận phương trình ax 2 + bx + c = 0 ta cần xét các trường hợp có thể xảy ra của hệ số a: – Nếu a = 0 thì trở về giải và biện luận phương trình bx + c = 0 . – Nếu a ¹ 0 thì mới xét các trường hợp của D như trên. Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau: a) x 2 + 5 x + 3m - 1 = 0 b) 2 x 2 + 12 x - 15m = 0 c) x 2 - 2(m - 1) x + m 2 = 0 d) (m + 1) x 2 - 2(m - 1) x + m - 2 = 0 e) (m - 1) x 2 + (2 - m) x - 1 = 0 f) mx 2 - 2(m + 3) x + m + 1 = 0 Bài 2. Cho biết một nghiệm của phương trình. Tìm nghiệm còn lại: 3 a) x 2 - mx + m + 1 = 0; x = b) 2 x 2 - 3m 2 x + m = 0; x = 1 2 c) (m + 1) x 2 - 2(m - 1) x + m - 2 = 0; x = 2 Bài 3. a) Trang 16 d) x 2 - 2(m - 1) x + m 2 - 3m = 0; x = 0 Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc nhất – bậc hai VẤN ĐỀ 2: Dấu của nghiệm số của phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) (1) ìD ³ 0 · (1) có hai nghiệm cùng dấu Û í îP > 0 ìD ³ 0 ìD ³ 0 ï ï · (1) có hai nghiệm dương Û íP > 0 · (1) có hai nghiệm âm Û íP > 0 ïîS > 0 ïîS < 0 Chú ý: Trong các trường hợp trên nếu yêu cầu hai nghiệm phân biệt thì D > 0. · (1) có hai nghiệm trái dấu Û P < 0 Bài 1. Xác định m để phương trình: i) có hai nghiệm trái dấu iii) có hai nghiệm dương phân biệt ii) có hai nghiệm âm phân biệt a) x 2 + 5 x + 3m - 1 = 0 b) 2 x 2 + 12 x - 15m = 0 c) x 2 - 2(m - 1) x + m 2 = 0 d) (m + 1) x 2 - 2(m - 1) x + m - 2 = 0 e) (m - 1) x 2 + (2 - m) x - 1 = 0 f) mx 2 - 2(m + 3) x + m + 1 = 0 g) x 2 - 4 x + m + 1 = 0 h) (m + 1) x 2 + 2(m + 4) x + m + 1 = 0 Bài 2. a) VẤN ĐỀ 3: Một số bài tập áp dụng định lí Vi–et 1. Biểu thức đối xứng của các nghiệm số b c Ta sử dụng công thức S = x1 + x2 = - ; P = x1 x2 = để biểu diễn các biểu thức đối a a xứng của các nghiệm x1, x2 theo S và P. Ví dụ: x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 - 2 x1x2 = S 2 - 2 P x13 + x23 = ( x1 + x2 ) éë( x1 + x2 )2 - 3 x1 x2 ùû = S (S 2 - 3P ) 2. Hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số Để tìm hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số ta tìm: b c S = x1 + x2 = - ; P = x1 x2 = (S, P có chứa tham số m). a a Khử tham số m giữa S và P ta tìm được hệ thức giữa x1 và x2. 3. Lập phương trình bậc hai Nếu phương trình bậc hai có các nghiệm u và v thì phương trình bậc hai có dạng: x 2 - Sx + P = 0 , trong đó S = u + v, P = uv. Bài 1. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính: A = x12 + x22 ; B = x13 + x23 ; C = x14 + x24 ; D = x1 - x2 ; E = (2 x1 + x2 )(2 x2 + x1 ) a) x 2 - x - 5 = 0 b) 2 x 2 - 3 x - 7 = 0 c) 3 x 2 + 10 x + 3 = 0 d) x 2 - 2 x - 15 = 0 e) 2 x 2 - 5 x + 2 = 0 f) Trang 17 3x 2 + 5x - 2 = 0 Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng Bài 2. Cho phương trình: (m + 1) x 2 - 2(m - 1) x + m - 2 = 0 (*). Xác định m để: a) (*) có hai nghiệm phân biệt. b) (*) có một nghiệm bằng 2. Tính nghiệm kia. c) Tổng bình phương các nghiệm bằng 2. Bài 3. Cho phương trình: x 2 - 2(2 m + 1) x + 3 + 4 m = 0 (*). a) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2. b) Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m. c) Tính theo m, biểu thức A = x13 + x23 . d) Tìm m để (*) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia. e) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là x12 , x22 . 2 2 1± 2 7 d) m = 6 HD: a) m ³ b) x1 + x2 - x1 x2 = -1 c) A = (2 + 4m )(16 m 2 + 4m - 5) e) x 2 - 2(8m 2 + 8m - 1) x + (3 + 4m )2 = 0 Bài 4. Cho phương trình: x 2 - 2(m - 1) x + m 2 - 3m = 0 (*). a) Tìm m để (*) có nghiệm x = 0. Tính nghiệm còn lại. b) Khi (*) có hai nghiệm x1, x2 . Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m. c) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2 thoả: x12 + x22 = 8 . HD: a) m = 3; m = 4 b) ( x1 + x2 )2 - 2( x1 + x2 ) - 4 x1 x2 - 8 = 0 c) m = –1; m = 2. Bài 5. Cho phương trình: x 2 - (m 2 - 3m) x + m 3 = 0 . a) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng bình phương nghiệm kia. b) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 1. Tính nghiệm còn lại. HD: a) m = 0; m = 1 b) x2 = 1; x2 = 5 2 - 7; x2 = -5 2 - 7 . Bài 6. (nâng cao) Cho phương trình: 2 x 2 + 2 x sin a = 2 x + cos2 a (a là tham số). a) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi a. b) Tìm a để tổng bình phương các nghiệm của phương trình đạt GTLN, GTNN. Bài 7. Cho phương trình: a) Trang 18 Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc nhất – bậc hai IV. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1. Định nghĩa và tính chất ìA khi A ³ 0 · A =í khi A < 0 î- A · A ³ 0, "A 2 · A.B = A . B · A = A2 · A + B = A + B Û A.B ³ 0 · A - B = A + B Û A.B £ 0 · A + B = A - B Û A.B £ 0 · A - B = A - B Û A.B ³ 0 2. Cách giải Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách: – Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ. – Bình phương hai vế. – Đặt ẩn phụ. éì f ( x) ³ 0 C1 ê í C2 ì g( x ) ³ 0 f ( x ) = g( x ) ï î · Dạng 1: f ( x ) = g( x ) Û ê Û íé f ( x ) = g( x ) ê íì f ( x ) < 0 ïîêë f ( x ) = - g( x ) êë î- f ( x ) = g( x ) · Dạng 2: C1 2 2 f ( x ) = g( x ) Û [ f ( x )] = [ g( x )] C2 é f ( x ) = g( x ) Ûê ë f ( x ) = - g( x ) · Dạng 3: a f ( x ) + b g( x ) = h( x ) Đối với phương trình có dạng này ta thường dùng phương pháp khoảng để giải. Bài 1. Giải các phương trình sau: a) 2 x - 1 = x + 3 x2 + 6 x + 9 = 2 x - 1 g) x - 1 - x + 2 x + 3 = 2 x + 4 Bài 2. Giải các phương trình sau: a) 4 x + 7 = 4 x + 7 d) d) x 2 - 2 x - 3 = x 2 + 2 x + 3 Bài 3. Giải các phương trình sau: a) x 2 - 2 x + x - 1 - 1 = 0 b) 4 x + 7 = 2 x + 5 c) x 2 - 3 x + 2 = 0 e) x 2 - 4 x - 5 = 4 x - 17 f) 4 x - 17 = x 2 - 4 x - 5 h) x - 1 + x + 2 + x - 3 = 14 i) x - 1 + 2 - x = 2 x b) 2 x - 3 = 3 - 2 x c) x - 1 + 2 x + 1 = 3 x e) 2 x - 5 + 2 x 2 - 7 x + 5 = 0 f) x + 3 + 7 - x = 10 b) x 2 - 2 x - 5 x - 1 + 7 = 0 c) x 2 - 2 x - 5 x - 1 - 5 = 0 d) x 2 + 4 x + 3 x + 2 = 0 e) 4 x 2 - 4 x - 2 x - 1 - 1 = 0 f) x 2 + 6 x + x + 3 + 10 = 0 Bài 4. Giải và biện luận các phương trình sau: a) mx - 1 = 5 b) mx - x + 1 = x + 2 c) mx + 2 x - 1 = x d) 3 x + m = 2 x - 2 m e) x + m = x - m + 2 f) x - m = x + 1 Bài 5. Tìm các giá trị của tham số m sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất: a) mx - 2 = x + 4 b) Bài 6. a) Trang 19 Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng V. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN Cách giải: Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách: – Nâng luỹ thừa hai vế. – Đặt ẩn phụ. Chú ý: Khi thực hiện các phép biến đổi cần chú ý điều kiện để các căn được xác định. 2 ïì Dạng 1: f ( x ) = g( x ) Û í f ( x ) = [ g( x )] ïîg( x ) ³ 0 ì f ( x ) = g( x ) f ( x ) = g( x ) Û í î f ( x ) ³ 0 (hay g( x ) ³ 0) ìït = f ( x ), t ³ 0 af ( x ) + b f ( x ) + c = 0 Û í 2 ïîat + bt + c = 0 Dạng 2: Dạng 3: f ( x ) + g( x ) = h( x ) Dạng 4: · Đặt u = f ( x ), v = g( x ) với u, v ³ 0. · Đưa phương trình trên về hệ phương trình với hai ẩn là u và v. f ( x ) + g( x ) + Dạng 5: Đặt t = f ( x ).g( x ) = h( x ) f ( x ) + g( x ), t ³ 0 . Bài 1. Giải các phương trình sau: a) 2x - 3 = x - 3 b) 5 x + 10 = 8 - x c) x - 2 x - 5 = 4 d) x 2 + x - 12 = 8 - x e) x2 + 2 x + 4 = 2 - x f) 3 x 2 - 9 x + 1 = x - 2 h) x 2 - 3 x - 10 = x - 2 i) ( x - 3) x 2 + 4 = x 2 - 9 3x 2 - 9 x + 1 = x - 2 Bài 2. Giải các phương trình sau: g) ( x - 3)(8 - x ) + 26 = - x 2 + 11x a) x 2 - 6 x + 9 = 4 x 2 - 6 x + 6 b) c) ( x + 4)( x + 1) - 3 x 2 + 5 x + 2 = 6 d) ( x + 5)(2 - x ) = 3 x 2 + 3 x e) x 2 + x 2 + 11 = 31 Bài 3. Giải các phương trình sau: f) x 2 - 2 x + 8 - 4 (4 - x )( x + 2) = 0 a) x +1 - x -1 = 1 b) 3x + 7 - x + 1 = 2 c) x2 + 9 - x 2 - 7 = 2 d) 3x 2 + 5x + 8 - 3 x2 + 5x + 1 = 1 e) 3 1 + x + 3 1 - x = 2 f) x2 + x - 5 + x2 + 8x - 4 = 5 5 x + 7 - 3 5 x - 13 = 1 Bài 4. Giải các phương trình sau: g) 3 h) 3 9 - x +1 + 3 7 + x +1 = 4 a) x + 3 + 6 - x = 3 + ( x + 3)(6 - x ) b) 2 x + 3 + x + 1 = 3 x + 2 (2 x + 3)( x + 1) - 16 c) x - 1 + 3 - x - ( x - 1)(3 - x ) = 1 7 - x + 2 + x - (7 - x )(2 + x ) = 3 e) x + 1 + 4 - x + ( x + 1)(4 - x ) = 5 f) g) 1 + 2 x - x2 = x + 1 - x 3 d) h) 3x - 2 + x - 1 = 4 x - 9 + 2 3 x2 - 5x + 2 x + 9 - x = - x2 + 9 x + 9 Trang 20 Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc nhất – bậc hai Bài 5. Giải các phương trình sau: a) 2 x - 4 + 2 2 x - 5 + 2 x + 4 + 6 2 x - 5 = 14 b) x + 5 - 4 x +1 + x + 2 - 2 x +1 = 1 2x - 2 2x -1 - 2 2x + 3 - 4 2x -1 + 3 2x + 8 - 6 2x -1 = 4 Bài 6. Giải các phương trình sau: a) c) VI. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC Cách giải: Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta phải chú ý đến điều kiện xác định của phương trình (mẫu thức khác 0). Bài 1. Giải các phương trình sau: a) 1 + c) e) Bài 2. a) d) Bài 3. 2 10 50 = x - 2 x + 3 (2 - x )( x + 3) 2x +1 x +1 = 3x + 2 x - 2 b) x +1 x -1 2x +1 + = x + 2 x - 2 x +1 x2 - 3x + 5 = -1 x2 - 4 2 x 2 - 5 x + 2 2 x 2 + x + 15 x +3 4x - 2 = f) = 2 x -1 x-3 ( x + 1) (2 x - 1)2 Giải và biện luận các phương trình sau: mx - m + 1 mx + m - 2 x - m x -1 =3 b) =3 c) + =2 x+2 x-m x -1 x - m x +m x +3 (m + 1) x + m - 2 x x f) = e) =m = x -1 x - 2 x +3 x+m x +1 Giải và biện luận các phương trình sau: d) a) Trang 21 Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng VII. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG ax4 + bx2 + c = 0 (a ¹ 0) ìït = x 2 , t ³ 0 1. Cách giải: ax 4 + bx 2 + c = 0 (1) Û í 2 ïî at + bt + c = 0 (2) 2. Số nghiệm của phương trình trùng phương Để xác định số nghiệm của (1) ta dựa vào số nghiệm của (2) và dấu của chúng. é(2) voâ nghieäm · (1) vô nghiệm Û ê(2) coù nghieäm keùp aâm ê ë(2) coù 2 nghieäm aâm é(2) coù nghieäm keùp baèng 0 · (1) có 1 nghiệm Û ê ë(2) coù 1 nghieäm baèng 0, nghieäm coøn laïi aâm é(2) coù nghieäm keùp döông · (1) có 2 nghiệm Û ê ë(2) coù 1 nghieäm döông vaø 1 nghieäm aâm · (1) có 3 nghiệm Û (2) coù 1 nghieäm baèng 0, nghieäm coøn laïi döông · (1) có 4 nghiệm Û (2) coù 2 nghieäm döông phaân bieät 3. Một số dạng khác về phương trình bậc bốn · Dạng 1: ( x + a)( x + b)( x + c )( x + d ) = K , vôùi a + b = c + d – Đặt t = ( x + a)( x + b) Þ ( x + c )( x + d ) = t - ab + cd t 2 + (cd - ab)t - K = 0 – PT trở thành: ( x + a )4 + ( x + b )4 = K · Dạng 2: a+b a-b b-a Þ x+a =t+ , x+b=t+ 2 2 2 æ a-bö – PT trở thành: 2t 4 + 12a 2 t 2 + 2a 4 - K = 0 ç vôùi a = ÷ è 2 ø – Đặt t = x + ax 4 + bx 3 + cx 2 ± bx + a = 0 (a ¹ 0) (phương trình đối xứng) · Dạng 3: – Vì x = 0 không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho x 2 , ta được: æ æ 1 ö 1ö PT Û a ç x 2 + ÷ + b ç x ± ÷ + c = 0 (2) 2 è xø x ø è – Đặt t = x + 1æ 1ö ç hoaëc t = x - ÷ với t ³ 2 . x è xø – PT (2) trở thành: at 2 + bt + c - 2a = 0 ( t ³ 2) . Bài 1. Giải các phương trình sau: a) x 4 - 3 x 2 - 4 = 0 d) 3 x 4 + 5 x 2 - 2 = 0 Bài 2. Tìm m để phương trình: i) Vô nghiệm iv) Có 3 nghiệm b) x 4 - 5 x 2 + 4 = 0 c) x 4 + 5 x 2 + 6 = 0 e) x 4 + x 2 - 30 = 0 f) x 4 + 7 x 2 - 8 = 0 ii) Có 1 nghiệm v) Có 4 nghiệm iii) Có 2 nghiệm a) x 4 + (1 - 2m ) x 2 + m 2 - 1 = 0 b) x 4 - (3m + 4) x 2 + m 2 = 0 c) x 4 + 8mx 2 - 16m = 0 Trang 22 Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc nhất – bậc hai Bài 3. Giải các phương trình sau: a) ( x - 1)( x - 3)( x + 5)( x + 7) = 297 b) ( x + 2)( x - 3)( x + 1)( x + 6) = -36 c) x 4 + ( x - 1)4 = 97 d) ( x + 4)4 + ( x + 6)4 = 2 e) ( x + 3)4 + ( x + 5)4 = 16 f) 6 x 4 - 35 x 3 + 62 x 2 - 35 x + 6 = 0 g) x 4 + x 3 - 4 x 2 + x + 1 = 0 Bài 4. Giải các phương trình sau: a) Trang 23 Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng VIII. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ìa1 x + b1y = c1 ía x + b y = c 2 2 î 2 (a12 + b12 ¹ 0, a22 + b22 ¹ 0) Giải và biện luận: – Tính các định thức: D = a1 b1 a2 b2 Xét D D¹0 D=0 Dx ¹ 0 hoặc Dy ¹ 0 Dx = Dy = 0 , Dx = c1 b1 c2 b2 , Dy = a1 c1 a2 c2 . Kết quả æ Dy ö D Hệ có nghiệm duy nhất ç x = x ; y = ÷ è D D ø Hệ vô nghiệm Hệ có vô số nghiệm Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số. 2. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Giải các hệ phương trình sau: ì5 x - 4 y = 3 a) í b) î7 x - 9 y = 8 Bài 1. ì2 x + y = 11 í5 x - 4 y = 8 î ì3 2 ìï( 2 + 1) x + y = 2 - 1 ï 4 x + 3 y = 16 d) í e) í ïî2 x - ( 2 - 1) y = 2 2 ï 5 x - 3 y = 11 î2 5 Bài 2. Giải các hệ phương trình sau: ì1 8 ì 10 1 ïï x - y = 18 ïï x - 1 + y + 2 = 1 a) í b) í ï 5 + 4 = 51 ï 25 + 3 = 2 ïî x y ïî x - 1 y + 2 ì2 x - 6 + 3 y + 1 = 5 ì2 x + y - x - y = 9 d) í e) í î5 x - 6 - 4 y + 1 = 1 î3 x + y + 2 x - y = 17 Bài 3. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: ì ìmx + (m - 1) y = m + 1 mx + (m - 2) y = 5 a) í b) í 2 x + my = 2 î î(m + 2) x + (m + 1) y = 2 ì3 x - y = 1 c) í î6 x - 2 y = 5 ìï 3 x - y = 1 f) í ïî5x + 2 y = 3 ì 27 32 ïï 2 x - y + x + 3y = 7 c) í ï 45 - 48 = -1 ïî 2 x - y x + 3 y ì4 x + y + 3 x - y = 8 f) í î3 x + y - 5 x - y = 6 ì(m - 1) x + 2 y = 3m - 1 c) í î (m + 2) x - y = 1 - m ì(m + 1) x - 2 y = m - 1 ìmx + 2 y = m + 1 ì (m + 4) x - (m + 2) y = 4 d) í e) í f) í 2 2 m x - y = m + 2m î(2 m - 1) x + (m - 4) y = m î2 x + my = 2m + 5 î Bài 4. Trong các hệ phương trình sau hãy: i) Giải và biện luận. ii) Tìm m Î Z để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên. ì(m + 1) x - 2 y = m - 1 ì ìmx + y - 3 = 3 mx - y = 1 a) í b) í c) í 2 2 x + 4( m + 1) y = 4 m m x - y = m + 2m î î x + my - 2m + 1 = 0 î Trang 24 Trần Sĩ Tùng Bài 5. a) Bài 6. a) d) Phương trình bậc nhất – bậc hai Trong các hệ phương trình sau hãy: i) Giải và biện luận. ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức giữa x, y độc lập đối với m. ìmx + 2 y = m + 1 ì6mx + (2 - m ) y = 3 ìmx + (m - 1) y = m + 1 b) í c) í í2 x + my = 2m + 5 2 x + my = 2 î î (m - 1) x - my = 2 î Giải và biện luận các hệ phương trình sau: ìax + y = b ì y - ax = b ìax + y = a + b b) í c) í í3 x + 2 y = -5 î î2 x - 3 y = 4 îx + 2y = a ìax + by = a2 + b 2 ïìax - by = a 2 - b ì(a + b) x + (a - b) y = a e) f) í í í 2 î(2 a - b) x + (2a + b)y = b ïîbx - b y = 4b îbx + ay = 2 ab Giải các hệ phương trình sau: ì3 x + y - z = 1 ï a) í2 x - y + 2 z = 5 b) ïî x - 2 y - 3z = 0 Bài 7. ì x + 3y + 2z = 8 ï í2 x + y + z = 6 ïî3 x + y + z = 6 Bài 8. a) Trang 25 ì x - 3 y + 2 z = -7 ï c) í-2 x + 4 y + 3z = 8 ïî3 x + y - z = 5 Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng IX. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN 1. Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai · Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia. · Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn. · Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này. 2. Hệ đối xứng loại 1 ì f ( x, y) = 0 Hệ có dạng: (I) í (với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x)). îg( x , y ) = 0 (Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi). · Đặt S = x + y, P = xy. · Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn là S và P. · Giải hệ (II) ta tìm được S và P. · Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình: X 2 - SX + P = 0 . 3. Hệ đối xứng loại 2 ì f ( x, y) = 0 (1) Hệ có dạng: (I) í (2) î f ( y, x ) = 0 (Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại). · Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: ì f ( x , y ) - f ( y , x ) = 0 (3) (I) Û í (1) î f ( x, y) = 0 · Biến đổi (3) về phương trình tích: éx = y (3) Û ( x - y ).g( x , y ) = 0 Û ê . ë g( x, y) = 0 é ì f ( x , y) = 0 êíx = y · Như vậy, (I) Û ê î . ê ìí f ( x , y ) = 0 êë î g( x , y ) = 0 · Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I). 4. Hệ đẳng cấp bậc hai ìïa x 2 + b xy + c y 2 = d 1 1 . Hệ có dạng: (I) í 1 2 1 2 ïîa2 x + b2 xy + c2 y = d2 · Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0). · Khi x ¹ 0, đặt y = kx . Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y). Chú ý: – Ngoài các cách giải thông thường ta còn sử dụng phương pháp hàm số để giải (sẽ học ở lớp 12). – Với các hệ phương trình đối xứng, nếu hệ có nghiệm ( x 0 ; y0 ) thì ( y0 ; x0 ) cũng là nghiệm của hệ. Do đó nếu hệ có nghiệm duy nhất thì x0 = y0 . Trang 26 Trần Sĩ Tùng Bài 1. Phương trình bậc nhất – bậc hai Giải các hệ phương trình sau: 2 ì 2 ì 2 b) í x - xy = 24 a) í x + 4 y = 8 î x + 2y = 4 î2 x - 3 y = 1 2 ì 2 ì3 x - 4 y + 1 = 0 d) í x - 3 xy + y + 2 x + 3y - 6 = 0 e) í î xy = 3( x + y ) - 9 î2 x - y = 3 2 ì ì2 x + 3 y = 5 g) í y + x = 4 x h) í 2 2 î2 x + y - 5 = 0 î3 x - y + 2 y = 4 Bài 2. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: ìx + y = 6 ìx + y = m b) í 2 a) í 2 2 2 îx + y = m îx - y + 2x = 2 Bài 3. Giải các hệ phương trình sau: ì x + xy + y = 11 ìx + y = 4 a) í 2 b) í 2 2 2 î x + y - xy - 2( x + y ) = -31 î x + xy + y = 13 d) Bài 4. a) Bài 5. a) d) Bài 6. a) Bài 7. a) d) Bài 8. a) Bài 9. ì x y 13 3 3 3 ì 3 ï + = e) í x + x y + y = 17 íy x 6 î x + y + xy = 5 îï x + y = 6 Giải và biện luận các hệ phương trình sau: ì x + y + xy = m ìx + y = m + 1 b) í 2 í 2 2 2 2 î x y + xy = 2m - m - 3 î x + y = 3 - 2m Giải các hệ phương trình sau: ìï x 2 = 3 x + 2 y ìï x 2 - 2 y 2 = 2 x + y b) í 2 í 2 2 ïî y = 3 y + 2 x ïî y - 2 x = 2 y + x ì y2 + 2 ì y 3 y = ï ïï x - 3 y = 4 x ï x2 e) í í 2 x ïy - 3x = 4 ï3 x = x + 2 y ïî ï y2 î Giải và biện luận các hệ phương trình sau: ïì x (3 - 4 y 2 ) = m(3 - 4m 2 ) ïì x 2 = 3 x + my b) í 2 í 2 2 ïî y = 3y + mx ïî y (3 - 4 x ) = m(3 - 4m ) Giải các hệ phương trình sau: ìï x 2 - 3 xy + y 2 = -1 ìï2 x 2 - 4 xy + y 2 = -1 b) í 2 í 2 2 2 ïî3 x - xy + 3 y = 13 ïî3 x + 2 xy + 2 y = 7 ìï3 x 2 + 5 xy - 4 y 2 = 38 ìï x 2 - 2 xy + 3 y 2 = 9 e) í 2 í 2 2 2 ïî5 x - 9 xy - 3 y = 15 ïî x - 4 xy + 5 y = 5 Giải và biện luận các hệ phương trình sau: ïì x 2 + mxy + y 2 = m ïì xy - y 2 = 12 b) í 2 í 2 2 ïî x + (m - 1) xy + my = m ïî x - xy = m + 26 Giải các hệ phương trình sau: a) Trang 27 2 ì c) í( x - y ) = 49 î3 x + 4 y = 84 ì2 x + 3 y = 2 f) í î xy + x + y + 6 = 0 ì2 x - y = 5 i) í 2 2 î x + xy + y = 7 ì3 x - 2 y = 1 c) í 2 2 îx + y = m ì xy + x + y = 5 c) í 2 2 îx + y + x + y = 8 ìï x 4 + x 2 y 2 + y 4 = 481 f) í 2 2 ïî x + xy + y = 37 ì( x + 1)( y + 1) = m + 5 c) í î xy( x + y ) = 4 m ìï x 3 = 2 x + y c) í 3 ïî y = 2 y + x ì 2 1 ïï2 x = y + y f) í ï2 y 2 = x + 1 ïî x ìï xy + x 2 = m( y - 1) c) í 2 ïî xy + y = m( x - 1) ìï y 2 - 3 xy = 4 c) í 2 2 ïî x - 4 xy + y = 1 ìï3 x 2 - 8 xy + 4 y 2 = 0 f) í 2 2 ïî5 x - 7 xy - 6 y = 0 ìï x 2 - 4 xy + y 2 = m c) í 2 ïî y - 3 xy = 4 Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau: a) m2 x + 4m - 3 = x + m 2 b) (a + b)2 x + 2 a2 = 2a(a + b) + (a2 + b2 ) x c) a2 x + 2 ab = b2 x + a 2 + b2 d) a(ax + b) = 4 ax + b2 - 5 Bài 2. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: 2x + m x + m -1 m2 x b) =1 - m x = 2m + 1 x -1 x x -1 2mx - 1 m +1 c) d) x - 1 + 2 x - 3 = m - 2 x -1 = x -1 x -1 Bài 3. Giải và biện luận các phương trình sau: a) a) 2 x 2 + 12 x - 15m = 0 b) x 2 - 2(m - 1) x + m 2 = 0 d) x 2 - 2(m - 2) x + m(m - 3) = 0 b) x 2 - mx + m - 1 = 0 Bài 4. Tìm m để phương trình có một nghiệm x0. Tính nghiệm còn lại: 3 a) x 2 - mx + m + 1 = 0; x0 = b) 2 x 2 - 3m 2 x + m = 0; x 0 = 1 . 2 Bài 5. Trong các phương trình sau, tìm m để: i) PT có hai nghiệm trái dấu ii) PT có hai nghiệm âm phân biệt iii) PT có hai nghiệm dương phân biệt iv) PT có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả: x13 + x23 = 0 ; x12 + x22 = 3 a) x 2 - 2(m - 2) x + m(m - 3) = 0 b) x 2 + 2(m - 1) x + m 2 = 0 c) x 2 - 2(m + 1) x + m 2 - 2 = 0 d) (m + 2) x 2 - 2(m - 1) x + m - 2 = 0 e) (m + 1) x 2 + 2(m + 4) x + m + 1 = 0 f) x 2 - 4 x + m + 1 = 0 Bài 6. Trong các phương trình sau, hãy: i) Giải và biện luận phương trình. ii) Khi phương trình có hai nghiệm x1 , x2 , tìm hệ thức giữa x1 , x2 độc lập với m. a) x 2 + (m - 1) x - m = 0 c) (m + 2) x 2 - 2(m - 1) x + m - 2 = 0 Bài 7. Giải các phương trình sau: b) x 2 - 2(m - 2) x + m(m - 3) = 0 d) x 2 - 2(m + 1) x + m 2 - 2 = 0 a) x 2 + x 2 - 6 = 12 b) x 2 + x 2 + 11 = 31 c) 16 x + 17 = 8 x - 23 d) x 2 - 2 x - 8 = 3( x - 4) f) 51 - 2 x - x 2 = 1 - x h) x + 3 + 1 = 3x - 1 e) 3x 2 - 9 x + 1 + x - 2 = 0 g) ( x - 3) x 2 - 4 = x 2 - 9 Bài 8. Giải các phương trình sau: a) 4 - 3 10 - 3 x = x - 2 b) x - 5 + x + 3 = 2x + 4 c) 3x + 4 - 2 x - 1 = x + 3 d) x2 - 3x + 3 + x 2 - 3x + 6 = 3 e) x + 2 - 2 x - 3 = 3x - 5 f) 3x - 3 - 5 - x = 2 x - 4 h) x +1 -1 = x - x + 8 g) 2 x + 2 + 2 x + 1 - x + 1 = 4 Bài 9. Giải các phương trình sau: Trang 28 Trần Sĩ Tùng a) c) 4 Phương trình bậc nhất – bậc hai x + 2 x -1 - x - 2 x -1 = 2 b) x - x2 - 1 + x + x2 - 1 = 2 d) x 2 - x - x 2 - x + 13 = 7 e) x 2 + 2 x 2 - 3 x + 1 = 3 x + 4 x + 2 x -1 + x - 2 x -1 = x +3 2 f) 2 x 2 + 3 2 x 2 + x + 1 = 9 - x g) x 2 - x 2 - 2 x + 4 = 2 x - 2 h) 2 x 2 + 5 x 2 + 3 x + 5 = 23 - 6 x Bài 10. Trong các hệ phương trình sau: i) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên. ii) Khi hệ có nghiệm (x, y) , tìm hệ thức giữa x, y độc lập với m. ìmx + 2 y = m + 1 ìmx + y = 3m a) í b) í î2 x + my = 2 a - 1 î x + my = 2m + 1 ìx - 2y = 4 - m ì2 x + y = 5 c) í d) í 2 x + y = 3 m + 3 î î2 y - x = 10m + 5 Bài 11. Giải các hệ phương trình sau: ìï x 2 y + y 2 x = 30 ì x + xy + y = -1 ïì x 2 + y 2 = 5 c) a) í 2 b) í 4 í 3 3 2 2 2 4 ïî x - x y + y = 13 ïî x + y = 35 î x y + y x = -6 ì x + y + xy = 11 ïì x 3 + y 3 = 1 ïì x 2 + y 2 + xy = 7 d) í 5 e) f) í 2 í 4 2 5 2 2 4 2 2 ïî x + y = x + y ïî x + y + x y = 21 î x + y + 3( x + y ) = 28 Bài 12. Giải các hệ phương trình sau: ì 1 ì y ( x 2 + 1) = 2 x ( y 2 + 1) ï( x + y )(1 + xy ) = 5 ï ï æ a) í b) í 2 1 ö 2 1 x + y 1 + = 24 2 2 ç ï( x + y )(1 + ï ) = 49 ç x 2 y 2 ÷÷ 2 2 è ø î ïî x y ( ì 1 1 ïx + y + x + y = 4 ï c) í 1 1 ï x2 + y2 + + =4 ïî x 2 y2 ) ì x y 2 + = ï 2 2 3 ï d) í x + 1 y + 1 ï( x + y )(1 + 1 ) = 6 ïî xy ì 1 ïï xy + xy = 4 f) í ï( x + y ) æç 1 + 1 ö÷ = 5 ïî è xy ø ì2 x 2 y + y 2 x + 2 y + x = 6 xy ï e) í 1 y x ï xy + xy + x + y = 4 î Bài 13. Giải các hệ phương trình sau: ìï x 2 = 3 x + 2 y a) í 2 ïî y = 3 y + 2 x ìï x 3 = 2 x + y b) í 3 ïî y = 2 y + x ì ï2 x + y = ï e) í ï2 y + x = ïî Bài 14. Giải các hệ phương trình sau: a) ì 2 1 ïï2 x = y + y d) í ï2 y 2 = 1 + x ïî x 3 x2 3 y2 Trang 29 ìï x 3 = 3 x + 8 y c) í 3 ïî y = 3 y + 8 x ì y2 + 2 ï3 y = ï x2 f) í 2 ï3 x = x + 2 ï y2 î