Tài liệu Lý thuyết bậc topo trên đa tạp compact định hướng được

LYÙ THUYEÁT BAÄC TOÂPOÂ TREÂN ÑA TAÏP COMPACT ÑÒNH HÖÔÙNG ÑÖÔÏC Nguyeãn Quoác Höng - Phan Hoà Anh Thö - Voõ Nguyeãn Thuûy Tieân June 26, 2009 2 Muïc luïc 1 Moät 1.1 1.2 1.3 1.4 soá kieán thöùc cô sôû Khaùi nieäm vaø moät soá tính chaát veà ña taïp . . Giaù trò chính qui . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ñònh lyù veà phaân loaïi ña taïp 1-chieàu . . . . . . Pheùp ñoàng luaân vaø pheùp hôïp luaân . . . . . . . 2 Ña taïp ñònh höôùng ñöôïc 2.1 Ñònh höôùng treân khoâng gian 2.2 Ñònh höôùng treân ña taïp . . . 2.3 Ñònh höôùng treân ña taïp tích 2.4 Ñònh höôùng treân bieân . . . . 3 Xaây 3.1 3.2 3.3 3.4 vectô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . döïng baäc toâpoâ treân ña taïp Ñònh nghóa baäc toâpoâ treân ña taïp . . . . . . . . . . . Baäc toâpoâ baát bieán vôùi pheùp ñoàng luaân . . . . . . . Baäc toâpoâ baát bieán vôùi söï löïa choïn giaù trò chính qui Keát luaän . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 ÖÙng duïng cuûa Baäc Topo treân ña taïp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 . 7 . 7 . 8 . . . . . 11 11 11 12 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 21 22 26 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3 4 MUÏC LUÏC PHAÀN 1 Moät soá kieán thöùc cô sôû 1.1 Khaùi nieäm vaø moät soá tính chaát veà ña taïp Meänh ñeà 1. Tích cuûa moät ña taïp khoâng coù bieân X vaø moät ña taïp coù bieân Y laø moät ña taïp coù bieân. Hôn nöõa: ∂(X × Y ) = X × ∂Y , dim(X × Y ) = dim X + dim Y vaø T (X × Y )(x0 ,y0 ) = T (X)x0 × T (Y )y0 , vôùi moïi (x0, y0 ) ∈ X × Y . Chöùng minh Xeùt X laø ña taïp khoâng coù bieân m chieàu trong Rk , Y laø ña taïp coù bieân n chieàu trong Rl . (i) Chöùng minh X × Y laø ña taïp m + n Laáy ñieåm (x0 , y0) ∈ X × Y , ta chöùng minh (x0, y0 ) coù moät laân caän vi ñoàng phoâi vôùi taäp môû trong H m+n 1 Vì x0 ∈ X neân x0 coù laân caän Ux0 vi ñoàng phoâi vôùi taäp môû Uϕ(x trong Rm qua 0) aùnh xaï ϕ. 1 ϕ : Ux0 → Uϕ(x 0) xaï ψ. 1 Vì y0 ∈ Y neân y0 coù laân caän Vy0 vi ñoàng phoâi vôùi taäp môû Vψ(y trong Hn qua aùnh 0) 1 ψ : Vy0 → Vψ(y 0) 1 1 Maø: Uϕ(x × Vψ(y ⊂ Rm × Hn = Hm+n neân (x0, y0 ) coù laân caän Ux0 × Vy0 vi ñoàng 0) 0) 1 1 phoâi vôùi taäp môû Uϕ(x × Vψ(y cuûa Hm+n qua aùnh xaï 0) 0) 1 1 Φ = ϕ × ψ : Ux0 × Vy0 → Uϕ(x × Vψ(y 0) 0) (x, y) 7→ (ϕ(x), ψ(y)) Roõ raøng ϕ × ψ laø vi ñoàng phoâi vôùi aùnh xaï ngöôïc laø Φ−1 (x, y) = (ϕ−1 (x), ψ −1 (y)). Do ñoù,X × Y laø ña taïp m + n (ii) ∂(X × Y ) = X × ∂Y Theo ñònh nghóa, ∂(X × Y ) laø caùc ñieåm töông öùng vôùi caùc ñieåm treân ∂H m+n qua pheùp tham soá hoaù naøo ñoù. Nhö vaäy: 5 6 PHAÀN 1. MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC CÔ SÔÛ n h  io 1 1 m+n ∂(X × Y ) = (x, y) ∈ Ux0 × Vy0 | (ϕ(x), ψ(y)) ∈ Uϕ(x0 ) × Vψ(y0 ) ∩ ∂H (x0 ,y0 )∈X×Y n o S 1 n = (x, y) ∈ U × V |ψ(y) ∈ V ∩ ∂H x y 0 0 (x0 ,y0 )∈X×Y ψ(y0 ) n o S 1 n = (x, y)|x ∈ U , y ∈ V , ψ(y) ∈ V ∩ ∂H x0 y0 x0 ∈X,y0 ∈Y ψ(y0 ) S (∗) = {(x, y)|x ∈ X, y ∈ ∂Y } = X × ∂Y Trong ñoù ta caàn chöùng toû ñaúng thöùc (*). Ta ñaõ bieát: [  1 ∩ ∂Hn ∂Y = y ∈ Vy0 |ψ(y) ∈ Vψ(y 0) y0 ∈Y Ñaët A= [ x0 ∈X,y0∈Y  1 (x, y)|x ∈ Ux0 , y ∈ Vy0 , ψ(y) ∈ Vψ(y ∩ ∂Hn 0) B = {(x, y)|x ∈ X, y ∈ ∂Y } Ta seõ chöùng minh A=B. Laáy (x, y) ∈ A nhö vaäy toàn taïi (x0 , y0) ∈ X × Y sao cho x ∈ Ux0 , y ∈ Vy0 , ψ(y) ∈ 1 Vψ(y0 ) ∩ ∂Hn . Suy ra x ∈ X vaø y ∈ ∂Y . Ngöôïc laïi, cho (x, y) ∈ B ta coù [  1 x ∈ Ux vaø y ∈ y ∈ Vy0 |ψ(y) ∈ Vϕ(y ∩ ∂Hn 0) y0 ∈Y 1 Vaäy toàn taïi y0 sao cho y ∈ Vy0 , ψ(y) ∈ Vψ(y ∩ ∂Hn 0) Ta suy ra (x, y) ∈ A. Toùm laïi ta coù ∂(X × Y ) = X × ∂Y (iii) T (X × Y )(x0 ,y0 ) = T (X)x0 × T (Y )y0 , vôùi moïi (x0, y0) ∈ X × Y Theo treân ta coù, T (X × Y )(x0,y0 ) = dΦ(ϕ(x0 ),ψ(y0 )) (Hm+n )   dϕϕ(x0 ) 0 = (Hm+n ) 0 dψψ(x0 ) = dϕϕ(x0 ) (Rm ) × dψψ(x0 ) (Hn ) = T (X)x0 × T (Y )y0  Chöùng minh hoaøn toaøn töông töï, ta coù keát quaû sau Meänh ñeà 2. Tích cuûa moät ña taïp coù bieân X vaø moät ña taïp khoâng coù bieân Y laø moät ña taïp coù bieân. Hôn nöõa: ∂(X × Y ) = ∂X × Y , dim(X × Y ) = dim X + dim Y vaø T (X × Y )(x0 ,y0 ) = T (X)x0 × T (Y )y0 , vôùi moïi (x0 , y0) ∈ X × Y . 7 1.2. GIAÙ TRÒ CHÍNH QUI 1.2 Giaù trò chính qui Meänh ñeà 3. Cho M, N laø caùc ña taïp khoâng coù bieân m chieàu. AÙnh xaï f : M → N laø haøm trôn vaø y laø giaù tròï chính quy cuûa f. Khi aáy {x ∈ M : f(x) = y} = f−1 (y) rôøi raïc. Ngoaøi ra neáu M laø compact thì f −1 (y) höõu haïn Chöùng minh Ta giaû söû y ∈ f(M). Khi aáy f −1 (y) 6= ∅ laáy x ∈ f −1 (y), töùc laø x laø ñieåm chính quy. Khi ñoù, theo ñònh lyù haøm ngöôïc thì coù moät laän caän cuûa x maø f song aùnh. Do ñoù, f −1 (y) rôøi raïc. Khi M laø compact, thì f −1 (y) compact ( vì f −1 (y) ñoùng trong M). Khi ñoù, neáu f −1 (y) voâ haän giaù trò thì coù x0 ∈ f −1 (y) laø ñieåm tuï, ñieàu naøy khoâng theå (vì f −1 (y) rôøi raïc ). Do ñoù, f −1 (y) höõu haïn.  Cho Y, Z laø ña taïp baát kyø ( coù bieân hoaëc khoâng coù bieân ) vaø dim(Y ) ≥ dim(Z). Cho f : Y → Z laø haøm trôn. Ta ñaët S(f) laø taäp hôïp caùc giaù trò chính qui cuûa f. Ñònh lyù 1 (Sard). S(f) truø maät trong Z Chöùng minh Chi tieát xem trong [2], Corollary, page 11.  1.3 Ñònh lyù veà phaân loaïi ña taïp 1-chieàu Ñònh lyù 2 (Phaân loaïi ña taïp 1-chieàu). Cho M laø ña taïp 1-chieàu lieân thoâng, chæ coù 4 khaû naêng xaûy ra: (i) neáu M laø ña taïp 1-chieàu compact, khoâng coù bieân thì vi ñoàng phoâi vôùi S1 (ii) neáu M laø ña taïp 1-chieàu compact, coù bieân thì vi ñoàng phoâi vôùi [0,1] (iii) neáu M laø ña taïp 1-chieàu khoâng compact, khoâng coù bieân thì vi ñoàng phoâi vôùi (0,1) (iv) coøn khoâng thì M laø ña taïp 1-chieàu khoâng compact, coù bieân luùc naøy M vi ñoàng phoâi vôùi (0,1] Chöùng minh Chi tieát xem trong "Topology from the Differentiable viewpoint" cuûa John W.Milnor ( page 55,56 & 57 )  Löu yù 1. Neáu M laø ña taïp baát kyø thì noù seõ laø hoäi nhöõng ña taïp lieân thoâng coù chieàu laø dim(M). Do ñoù,M laø ña taïp 1-chieàu baát kyø thì M seõ vi ñoàng phoâi T , trong ñoù T laø hoäi cuûa nhöõng S 1 , [0,1], [0,1), (0,1). 8 PHAÀN 1. MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC CÔ SÔÛ 1.4 Pheùp ñoàng luaân vaø pheùp hôïp luaân Ñònh nghóa 1. (Pheùp ñoàng luaân) Cho X ⊂ Rk , Y ⊂ Rn vaø 2 aùnh xaï trôn f, g töø X vaøo Y. Ta noùi f vaø g laø 2 aùnh xaï ñoàng luaân ( kyù hieäu f ∼ g) neáu toàn taïi haøm trôn F: F : [0, 1] × X → Y vaø F (0, x) = f(x), F (1, x) = g(x) vôùi moïi x ∈ X. Luùc ñoù, haøm F ñöôïc goïi laø moät pheùp ñoàng luaân giöõa f vaø g. Ñònh nghóa 2. (Pheùp hôïp luaân) Cho X ⊂ Rk , Y ⊂ Rn vaø hai vi ñoàng phoâi f, g töø X vaøo Y. Ta noùi f vaø g laø 2 aùnh xaï hôïp luaân neáu toàn taïi moät pheùp ñoàng luaân F : [0, 1] × X → Y giöõa f vaø g sao cho vôùi moïi t ∈ [0, 1], aùnh xaï x → F (t, x) laø moät vi ñoàng phoâi töø X vaøo Y. Luùc ñoù, haøm F ñöôïc goïi laø moät pheùp hôïp luaân giöõa f vaø g. Meänh ñeà 4. Quan heä ñoàng luaân vaø quan heä hôïp luaân laø caùc quan heä töông ñöông treân taäp hôïp taát caû caùc aùnh xaï töø X vaøo Y. Chöùng minh 1/ Chöùng minh quan heä ñoàng luaân laø quan heä töông ñöông. Ta coù f ∼ f vì toàn taïi pheùp ñoàâng luaân F giöõa f vaø f laø: F : [0, 1] × X → Y (t, x) 7→ f(x) Quan heä ñoàng luaân coù tính ñoái xöùng. Thaät vaäy, cho f ∼ g qua pheùp ñoàng luaân F . Khi ñoù, aùnh xaï G(t, x) = F (1 − t, x) laø pheùp ñoàng luaân giöõa g vaø f. Cuoái cuøng ta chöùng minh quan heä ñoàng luaân coù tính baéc caàu. Cho f∼g qua pheùp ñoàng luaân F , g∼h qua pheùp ñoàng luaân G. Ta seõ tìm pheùp ñoàng luaân K giöõa f vaø h. Ñaët ϕ(x) =  e− x neáu x > 0 0 neáu x ≤ 0. 1 ϕ(x − 31 ) ψ(x) = ϕ(x − 31 ) + ϕ( 23 − x) Khi ñoù ψ : R → [0, 1] laø haøm trôn vaø  0 neáu 0 ≤ t ≤ 13 ψ(x) = 1 neáu 23 ≤ t ≤ 1 9 1.4. PHEÙP ÑOÀNG LUAÂN VAØ PHEÙP HÔÏP LUAÂN Ñaët: F1 : [0, 21 ] × X F1(t, x) G1 : [ 12 , 1] × X G1 (t, x) → = → = Y F (ψ(2t), x) Y G(ψ(2t − 1), x) Khi ñoù F1, G1 laø caùc haøm trôn vaø: F1(t, x) =   f(x) neáu 0 ≤ t ≤ 1 6 g(x) neáu 1 3 ≤t≤ 1 2   g(x) neáu 1 2 ≤t≤ 2 3 5 6 ≤t≤1  G1 (t, x) =  Baây giôø ñaët: K(t, x) = h(x) neáu   F1(t, x) neáu 0 ≤ t ≤  G1 (t, x) neáu 1 2 1 2 ≤t≤1 Ta seõ chöùng minh K chính laø pheùp ñoàng luaân giöõa f vaø h. Roõ raøng K(0, x) = f(x) vaø K(1, x) = h(x) Vaán ñeà coøn laïi laø chöùng minh K trôn. Laáy (t0 , x0) ∈ [0, 1] × X. Ta seõ chöùng minh K trôn taïi (t0, x0 ) * Neáu (t0, x0) ∈ [0, 21 ) × X: ( coøn (t0, x0 ) ∈ ( 21 , 1] × X laø töông töï ) Vì F1 trôn taïi (t0 , x0) neân F1 coù moät môû roäng trôn F 2, F2 xaùc ñònh treân moät taäp môû cuûa R × Rk chöùa (t0 , x0) . Ta kyù hieäu  taäp môû naøy laø (a, b) × U , vôùi U môû trong Rk , t0 ∈ (a, b) neân a < t0 < b . Ñaët c = min 21 , b , ta coù (a, c) × U laø taäp hôïp môû trong R × Rk chöùa (t0 , x0) Khi aáy F2|((a,c)×U )∩([0,1]×X) = F1|((a,c)×U )∩([0,1]×X) = K Do ñoù , K trôn taïi (t0, x0 ). * Neáu (t0, x0) ∈ { 21 } × X : Treân mieàn ( 13 , 23 ) × X ta coù K(t,x) = g(x). Vì g trôn treân X , ta suy ra K (t,x) trôn treân ( 13 , 23 ) × X . Vaäy K trôn taïi (t0 , x0) . Toùm laïi f ∼ h qua pheùp ñoàng luaân K. Vaäy quan heä ñoàng luaân laø moät quan heä töông ñöông. 2/ Chöùng minh quan heä hôïp luaân laø quan heä töông ñöông : deã thaáy  10 PHAÀN 1. MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC CÔ SÔÛ Meänh ñeà 5. Cho h laø aùnh xaï trôn töø X vaøo Y, f vaø g laø caùc aùnh xaï trôn töø Y vaøo Z, neáu f ∼ g thì ta cuõng coù (f ◦ h) ∼ (g ◦ h) Chöùng minh Goïi F : [0, 1] × Y → Z laø pheùp ñoàng luaân giöõa f vaø g, khi ñoù G : [0, 1] × X → Z , G(t, x) = F (t, h(x)) chính laø pheùp ñoàng luaân giöõa (f ◦ h) vaø (g ◦ h) .  PHAÀN 2 Ña taïp ñònh höôùng ñöôïc 2.1 Ñònh höôùng treân khoâng gian vectô Tieáp theo, ta seõ laøm roõ khaùi nieäm ñònh höôùng treân ña taïp tích. Tröôùc heát, ta nhaéc laïi ñònh höôùng treân khoâng gian vectô vaø ñònh höôùng treân ña taïp. Cho V laø moät khoâng gian vectô höõu haïn chieàu, β vaø β 0 laø hai cô sôû cuûa V. Ta noùi β vaø β 0 cuøng ñònh höôùng neáu ma traän chuyeån cô sôû töø β sang β 0 coù ñònh thöùc döông. Ngöôïc laïi, ta noùi β vaø β 0 ngöôïc ñònh höôùng neáu ma traän chuyeån cô sôû töø β sang β 0 coù ñònh thöùc aâm. Nhö vaäy, quan heä " cuøng ñònh höôùng " laø moät quan heä töông ñöông treân taäp hôïp caùc cô sôû cuûa V vaø phaân hoaïch taäp hôïp naøy thaønh hai lôùp töông ñöông. Moät ñònh höôùng cho V laø moät caùch gaùn daáu (+1) cho caùc phaàn töû thuoäc moät lôùp töông ñöông vaø gaùn daáu (−1) cho caùc phaàn töû thuoäc lôùp coøn laïi. Nhö vaäy, khi V ñaõ ñöôïc ñònh höôùng thì moät cô sôû β baát kyø cuûa V seõ coù sign(β) = 1 hoaëc sign(β) = −1. Hôn nöõa, ñeå ñònh höôùng cho V, ta chæ caàn choïn moät cô sôû β naøo ñoù cuûa V vaø ñaët sign(β) = 1; sau ñoù, gaùn daáu 1 cho caùc cô sôû cuøng ñònh höôùng vôùi β, gaùn daáu laø −1 cho caùc cô sôû ngöôïc höôùng vôùi β. Xeùt V, W laø hai khoâng gian vector ñöôïc ñònh höôùng. Cho A : V → W laø moät ñaúng caáu. Khi ñoù,neáu β vaø β 0 cuøng thuoäc moät lôùp töông ñöông treân V thì 2 cô sôû , Aβ vaø Aβ 0 töông öùng cuõng thuoäc cuøng lôùp töông ñöông treân W. Nhö vaäy, vôùi moïi cô sôû β cuûa V, Aβ luoân luoân cuøng daáu hoaëc luoân luoân ngöôïc daáu vôùi β, ta noùi A baûo toaøn ñònh höôùng hoaëc ñaûo ngöôïc ñònh höôùng. Neáu A baûo toaøn ñònh höôùng, ñaët sign(A) = 1, neáu A ñaûo ngöôïc ñònh höôùng, ñaët sign(A) = −1. 2.2 Ñònh höôùng treân ña taïp Cho X laø moät ña taïp m chieàu ( coù bieân hoaëc khoâng coù bieân ) , ta nhaéc laïi ñònh nghóa ñònh höôùng treân ña taïp. Moät ñònh höôùng cuûa ña taïp X laø moät caùch löïa choïn ñònh höôùng cho taát caû caùc khoâng gian tieáp xuùc T Xx (x thuoäc X ) sao cho : taïi moãi ñieåm x ∈ X , toàn taïi moät laân caän ñöôïc tham soá hoùa bôûi aùnh xaï ϕ : U → X vaø vôùi moïi u ∈ U , dϕ u : Rm → T Xϕ(u) mang ñònh höôùng döông cuûa Rm thaønh ñònh höôùng döông treân T Xϕ(u) . Luùc ñoù ta goïi 11 12 PHAÀN 2. ÑA TAÏP ÑÒNH HÖÔÙNG ÑÖÔÏC ϕ laø tham soá hoùa baûo toaøn ñònh höôùng. Ña taïp X goïi laø "ñònh höôùng ñöôïc" neáu coù theå xaùc ñònh treân X moät ñònh höôùng nhö ñònh nghóa treân. 2.3 Ñònh höôùng treân ña taïp tích Baây giôø ta xeùt khaùi nieäm ñònh höôùng treân tích caùc ña taïp. Cho X laø ña taïp m chieàu, Y laø ña taïp n chieàu, moät trong hai ña taïp laø ña taïp coù bieân. Khi ñoù X × Y laø ña taïp m + n chieàu coù bieân theo meänh ñeà 1 Hôn nöõa, qua caùch chöùng minh trong meänh ñeà 1, ta coù khoâng gian tieáp xuùc taïi ñieåm (x,y) laø: T (X × Y )(x,y) = T Xx × T Yy Neáu X vaø Y laø laø caùc ña taïp ñònh höôùng ñöôïc thì X × Y cuõng ñònh höôùng ñöôïc nhö sau: Cho α = (v1, ..., vm) laø cô sôû cuûa T X x , β = (w1, ..., wn) laø cô sôû cuûa T Y y vaø kyù hieäu (α × 0, 0 × β) laø cô sôû {(v1, 0), ..., (vm, 0), (0, w1 ), ..., (0, wn)}cuûa T (X × Y )(x,y) . ta xaùc ñònh ñònh höôùng cho T (X × Y )(x,y) nhö sau: sign(α × 0, 0 × β) = sign(α)sign(β) (2.1) Tröôùc heát ta chöùng minh raèng ñònh höôùng nhö treân khoâng phuï thuoäc vaøo vieäc choïn cô sôû α, β . Xeùt α1, β1 laø hai cô sôû khaùc cuûa X vaø Y , ta seõ chæ ra raèng sign(α × 0, 0 × β) = sign(α1 × 0, 0 × β1) khi vaø chæ khi ma traän chuyeån cô sôû töø (α × 0, 0 × β) sang (α1 × 0, 0 × β1 ) coù ñònh thöùc döông. Ñaët (α1 × 0, 0 × β1) = (a1 × 0, a2 × 0, ...am × 0, 0 × b1, ..., 0 × bn ) (α × 0, 0 × β) = (c1 × 0, c2 × 0..., cm × 0, 0 × d1 , ..., 0 × dn ) aj × 0 = γ1j (c1 × 0) + ... + γmj (cm × 0) + δ1j (0 × d1 ) + ... + δnj (0 × dn ) (2.2) 0 × bj = ξ1j (c1 × 0) + ... + ξmj (cm × 0) + ε1j (0 × d1 ) + ... + εnj (0 × dn ) (2.3) Nhö vaäy, ma traän chuyeån cöû töø (α × 0, 0 × β) sang (α1 × 0, 0 × β1) laø :   A B P = C D trong ñoù A, B, C, D laø caùc ma traän khoái: A = (γij )1≤i≤m,1≤j≤m B = (ξij )1≤i≤m,1≤j≤n C = (δij )1≤i≤n,1≤j≤m D = (εij )1≤i≤n,1≤j≤n 2.3. ÑÒNH HÖÔÙNG TREÂN ÑA TAÏP TÍCH 13 Hôn nöõa, do (2) , (3) ta coù aj = m X γij ci , ∀j = 1..., m i=1 Suy ra ma traän chuyeån cô sôû töø α qua α 1 laø A 0= n X δij di , ∀j = 1..., m i=1 Suy ra C = 0 vì caùc di , j = i, ..., n chính laø caùc vectô cuûa cô sôû β. 0= m X ξij ci , ∀j = 1..., n i=1 Suy ra B = 0 vì caùc ci laø caùc vectô cuûa cô sôû α bj = n X εij di , ∀j = 1..., n i=1 Suy ra ma traän chuyeån cô sôû töø β qua β 1 laø D . Töø ñoù ta coù: detP = detA.detD . Maët khaùc , sign(α × 0, 0 × β) = sign(α1 × 0, 0 × β1) khi vaø chæ khi sign(α)sign(β) = sign(α1 )signn (β1 ) Ñieàu naøy töông ñöông :  sign(α)sign(α1 ) > 0, sign(β)sign(β1) > 0 hoaëc sign(α)sign(α1 ) < 0, sign(β)sign(β1) < 0 töùc laø :  detA > 0, detD > 0 hoaëc detA < 0, detD < 0 hay det P > 0 Vaäy sign(α1 × 0, 0 × β1) = sign(α × 0, 0 × β) khi vaø chæ khi (a1 × 0, 0 × β1 ) vaø (α × 0, 0 × β) cuøng ñònh höôùng . Nhö vaäy caùch ñònh höôùng cho T (X × Y )(x,y) nhö (1) khoâng phuï thuoäc caùch choïn cô sôû α, β ; Tieáp theo ta caàn kieåm chöùng raèng caùch ñònh höôùng cho töøng khoâng gian tieáp xuùc nhö (1) thaät söï laø moät ñònh höôùng cho ña taïp X × Y . Thaät vaäy , qua quaù trình chöùng minh X × Y laø ña taïp , ta thaáy moãi ñieåm (x, y) ∈ X × Y coù moät tham soá hoùa laø : φ= ϕ×ψ : U ×V → X ×Y (u, v) → (ϕ(u), ψ(v)) φ (0, 0) = (x, y) 14 PHAÀN 2. ÑA TAÏP ÑÒNH HÖÔÙNG ÑÖÔÏC Trong ñoù ϕ : U → X laø tham soá hoùa baûo toaøn ñònh höôùng cuûa ña taïp X taïi x , ψ : V → Y laø tham soá hoùa baûo toaøn ñònh höôùng cuûa ña taïp Y taïi y , U ∈ R m , V ∈ Rn . Xeùt (u,v) laø ñieåm baát kyø treân U × V , ta seõ chöùng minh dφ(u, v) : Rm+n → T (X × Y )(ϕ(u),ψ(v)) = T Xϕ(u) × T Yψ(v) baûo toaøn ñònh höôùng döông cuûa Rm+n . Goïi e = (e1 , e2, ..., em) laø cô sôû chính taéc cuûa R m f = (f1 , f2, ..., fn) laø cô sôû chính taéc cuûa R n Khi ñoù (e × 0, 0 × f) laø cô sôû chính taéc cuûa R m+n Goïi α laø aûnh cuûa cô sôû e qua aùnh xaï dϕ(u) , ta coù α cuõng laø moät cô sôû cuûa T Xϕ(u) , α = (dϕ(u)(e1), dϕ(u)(e2) . . . , (dϕ(u)(em )) . Töông töï β laø aûnh cuûa f qua dψ(v), β = (dψ(v)(f1), dψ(v)(f2) . . . , dψ(v)(fn)). Vì ϕ vaø ψ baûo toaøn ñònh höôùng neân sign(α) = 1, sign(β) = 1 Maët khaùc , vôùi (a,b) ∈ Rm × Rn = Rm+n φ((u, v) + t(a, b)) − φ(u, v) t φ(u + ta, v + tb) − φ(u, v) = limt→0 t   ϕ(u + ta) − ϕ(u) ψ(v + tb) − ψ(v) = limt→0 , t t = (dϕ(u)(a), dψ(v)(b)) dφ(u, v)(a, b) = limt→0 Vaäy dφ(u, v)(ei, 0) = (dϕ(u)(ei ), 0), i = 1, ..., m dφ(u, v)(0, fj ) = (0, dψ(u)(fj )), j = 1, ..., n Ta suy ra aûnh cuûa cô sôû (e × 0, 0 × f) qua aùnh xaï dφ(u, v) laø (α × 0, 0 × β).Theo (1), sign(α × 0, 0 × β) = 1 . Vaäy dϕ(u, v) baûo toaøn ñònh höôùng döông cuûa Rm+n . 2.4 Ñònh höôùng treân bieân Baây giôø ta nhaéc laïi khaùi nieäm " ñònh höôùng treân bieân" cuûa moät ña taïp ñaõ ñöôïc ñònh höôùng . Giaû söû X laø moät ña taïp m chieàu ñaõ ñöôïc ñònh höôùng . khi ñoù, bieân cuûa X, kyù hieäu ∂X, laø ña taïp khoâng coù bieân (m-1) chieàu. Ñeå ñònh höôùng cho ∂X, ta seõ ñònh höôùng cho moãi khoâng gian tieáp xuùc T (∂X)x , vôùi x ∈ ∂X . Tröôùc heát ta caàn noùi roõ hôn veà 15 2.4. ÑÒNH HÖÔÙNG TREÂN BIEÂN khoâng gian tieáp xuùc T (∂X)x . Goïi ϕ laø moät tham soá hoùa baûo toaøn ñònh höôùng cho laân caän V trong ña taïp X cuûa x . ϕ : U ⊂ Hm → V ⊂ X ϕ(0) = x Khi ñoù : dϕ : Rm → T Xx Ngoaøi ra, ψ = ϕ |U ∩(∂H m) laø moät vi ñoàng phoâi töø U ∩ (∂H m ) vaøo laân caän V ∩ ∂X cuûa x Ñaët W = {(x1, ..., xm−1) ∈ Rm−1 | (x1 , ..., xm−1, 0) ∈ U ∩ ∂H m } Ta coù W môû trong Rm−1 vaø vi ñoàng phoâi vôùi U ∩ ∂H m qua aùnh xaï: δ : W → U ∩ ∂H m (x1 , ..., xm−1) 7→ (x1, ..., xm−1, 0) Xeùt θ = ψ ◦ δ , khi ñoù θ : W → V ∩ ∂X vaø θ(0) = x , θ laø moät tham soá hoùa cho laân caän V ∩ ∂X treân ∂X cuûa x . Ñaïo haøm taïi 0 cuûa θ laø dθ0 : Rm−1 → T (∂X)x Vôùi u ∈ Rm−1 , dθ0 (u) = dψ0 (dδ0 (u)) = dψ0 ((u, 0)) Suy ra dθ0 (Rm−1 ) = dϕ0 (∂H m ). Theo ñònh nghóa khoâng gian tieáp xuùc ta coù : T (∂X)x = dθ0 (Rm−1 ) = dϕ0 (∂H m ) Khoâng gian T (∂X)x ñöôïc ñònh höôùng nhö sau: Goïi (b2, . . . , bm) laø cô sôû cuûa ∂H m sao cho sign(−em , b2, . . . , bn ) = 1 , vôùi em ∈ Rm , em = (0, . . . , 0, 1), ñònh höôùng treân Rm laø ñònh höôùng döông thoâng thöôøng (standard positive), . Khi ñoù T (∂X)x ñöôïc ñònh höôùng baèng caùc ñaët sign(dϕ 0 (b2 ), . . . , dϕ0 (bm )) = 1 , noùi caùch khaùc, neáu (b2 , ..., bm) laø cô sôû baát kyø cuûa ∂H m thì sign(dϕ0 (b2), . . . , dϕ0(bm )) = sign(−em, b2 , . . . , bm ) trong ñoù keát quaû beân veá phaûi xaùc ñònh theo ñònh höôùng döông thoâng thöôøng treân Rm Kieåm tra chi tieát ta seõ thaáy ñònh höôùng treân bieân cuûa ña taïp ñöôïc ñònh nghóa toát , töùc laø caùch ñònh höôùng treân T (∂Xx ) vöøa neâu khoâng phuï thuoäc vieäc choïn cô sôû (b2, . . . , bm ), khoâng phuï thuoäc ∈ tham soá hoùa ϕ vaø ñònh höôùng treân moãi T (∂X)x nhö vaäy thaät söï laø moät ñònh höôùng cho caû ña taïp ∂X. Cho X laø ña taïp m (m ≥ 2) chieàu trong Rk . Khi ñoù M = [0, 1] × X laø moät ña taïp (m+1) chieàu trong Rk+1 vôùi bieân laø X0 ∪ X1 , trong ñoù X0 = {0} × X, X1 = {1} × X . Ta thaáy X0 vaø X1 vi ñoàøng phoâi moät caùch töï nhieân vôùi X qua aùnh xaï: F : X → X0 x → (0, x) G : X → X1 x → (1, x) 16 PHAÀN 2. ÑA TAÏP ÑÒNH HÖÔÙNG ÑÖÔÏC Khi [0,1] vaø X ñöôïc ñònh höôùng, M X0 vaø X1 cuõng ñöôïc ñònh höôùng . Ta noùi X0 coù cuøng ñònh höôùng vôùi X neáu vôùi moïi x ∈ X , aùnh xaï dFx : T Xx → T X0(0,x) baûo toaøn ñònh höôùng . X0 ñöôïc goïi laø traùi ñònh höôùng vôùi X neáu ∀x ∈ X , aùnh xaï dFx ñaûo ngöôïc ñònh höôùng . Caùch hieåu hoaøn toaøn töông töï khi ta noùi X1 cuøng hoaëc traùi ñònh höôùng vôùi X. Trong phaàn tieáp theo ta seõ chöùng minh raèng trong 2 ña taïp X0 vaø X1 , coù moät ña taïp cuøng ñònh höôùng vôùi X vaø moät ña taïp traùi ñònh höôùng vôùi X. Khoâng maát tính toång quaùt , ta xeùt [0,1] ñöôïc ñònh höôùng nhö sau: Vôùi moïi t ∈ [0, 1], khoâng gian tieáp xuùc taïi t chính laø R , ta ñònh höôùng cho khoâng gian tieáp xuùc naøy baèng caùch ñaët sign(1) = 1. Chöùng minh X0 traùi ñònh höôùng vôùi X Laáy x0 ∈ X baát kyø, ta seõ chöùng minh dFx0 ñaûo ngöôïc ñònh höôùng , Goïi ϕ laø tham soá hoùa baûo toaøn ñònh höôùng cho laân caän V cuûa x 0 trong X : ϕ : U ⊂ Rm → V ⊂ X ϕ(0) = x0 Vôùi moïi u ∈ U , dϕu : Rm → T Xϕ(u) Laáy e = (e1, e2 , ..., em) laø cô sôû chuaån taéc cuûa R m . Ñaët: αu = (dϕu ((−1)m e1), dϕu (e2), ..., dϕu(em )). Do ϕ baûo toaøn ñònh höôùng, ta coù: sign(αu ) = sign((−1)m e1 , e2, ..., em) = (−1)m (2.4) Laáy a ∈ (0, 1) , xeùt aùnh xaï: θ : [0, a) × U → [0, a) × V (t, u) → (t, ϕ(u)) Vôùi moïi (t,u)∈ [0,a)× U vaø h = (h1 , h2, ..., hm+1) ∈ Rm+1 , ta coù dθ(t,u)(h) = (h1 , ϕu (h2 , h3 , ..., hm+1)) Γ : Rm × [0, a) → [0, a) × Rm (x1, x2, ..., xm, xm+1) 7→ (xm+1 , (−1)m x1, x2, ..., xm) Khi ñoù, Γ−1 ([0, a) × U) coù daïng W × [0, a) , trong ñoù W = {(x1 , ..., xm) | ((−1)m x1, x2 , ..., xm) ∈ U} Vì U môû trong Rm , Ta coù W cuõng môû trong Rm , töø ñoù suy ra W × [0, a) môû trong ∂H m+1 . Goïi δ laø aùnh xaï haïn cheá cuûa Γ treân W × [0, a) : δ : W × [0, a) → [0, a) × U 17 2.4. ÑÒNH HÖÔÙNG TREÂN BIEÂN Vôùi moïi (w, s) ∈ W × [0, a) dδ(w,s) : Rm+1 → Rm+1 (u1, u2 , ..., um, um+1 ) 7→ (um+1 , (−1)m u1 , u2, ..., um) Ñaët ψ = θ◦δ . Roõ raøng ψ laø vi ñoàng phoâi do θ vaø δ laø caùc vi ñoàng phoâi. ψ : W × [0, a) 7→ [0, a) × V . Vôùi moïi (w, s) ∈ W × [0, a) , ñaët (t,u) = δ(w, s) khi ñoù (t, u) ∈ [0, a) × U, ta coù dψ(w,s) : Rm+1 → T M(t,ϕ(u)) = T ([0, 1])t × T Xϕ(u) Vôùi h = (h1 , ..., hm+1) ∈ Rm+1 baát kyø, ta coù: dψ(w,s) (h) = dθ(t,u) (dδ(w,s)(h1 , h2 , ..., hm, hm+1 )) = dθ(t,u) (hm+1 , (−1)m h1 , h2 , ..., hm) Vaäy dψ(w,s)(h) = (hm+1 , dϕu ((−1)m h1 , h2 , ..., hm)) (2.5) Ta seõ chöùng minh ψ laø tham soá hoùa baûo toaøn ñònh höôùng cho laân caän [0, a) × V cuûa ñieåm (0, x0 ) treân ña taïp M . Nghóa laø, vôùi moïi (w, s) ∈ w×[0, a) , ta chæ ra raèng dψ (w,s) baûo toaøn ñònh höôùng . Xeùt cô sôû chuaån taéc cuûa R m+1 : ((e1, 0), (e2, 0), ..., (em, 0), (0, ..., 0, 1)), ñaët β = (dψ(w,s) (e1, 0), dψ(w,s) (e2, 0), ..., dψ(w,s)(0, 0, ..., 0, 1)) ta chöùng minh sign(β) = 1 . Töø (2.5) suy ra: dψ(w,s) (e1, 0) = (0, dϕu ((−1)m e1)) dψ(w,s) (ei, 0) = (0, dϕu (ei )) dψ(w,s) (0, ..., 0, 1) = (1, 0, ..., 0) i = 2, ..., m Suy ra β = (0 × αu , 1 × 0) vôùi αu laø cô sôû cuûa T X ϕ(u) , 1 laø cô sôû cuûa T ([0, 1]) t . Vì trong khoâng gian T M(t,ϕ(u)) = T ([0, 1])t × T Xϕ(u) , cô sôû (0 × αu , 1 × 0) ñöôïc taïo thaønh baèng caùch dôøi vectô 1 × 0 trong cô sôû (1 × 0, 0 × α u ) veà phía sau m laàn, ta coù: sign(β) = (−1)m sign(1 × 0, 0 × αu ) Theo ñònh nghóa ñònh höôùng treân ña taïp tích vaø do (2.4) sign(β) = (−1)m sign(1).sign(αu ) = (−1)2m = 1 Vaäy ψ laø tham soá hoùa baûo toaøn ñònh höôùng . Ta coù: T X0,(0,x0) = dψ(0,0)(∂H m+1 ) 18 PHAÀN 2. ÑA TAÏP ÑÒNH HÖÔÙNG ÑÖÔÏC Xeùt moät cô sôû cuûa ∂H m+1 laø (e1 × 0, e2 × 0, ..., em × 0) . Ñaët γ = (dψ(0,0)(e1 × 0), ..., dψ(0,0)(em × 0)) . Theo ñònh nghóa ñònh höôùng treân bieân. . sign(γ) = sign((−1, 0, ..., 0), e1 × 01 , ..., em × 0) = (−1)m (−1) = −(−1)m Maø theo (2.5) , ta coù : γ = ((0, dϕ0 (−1m e1 )), (0, dϕ0 (e2)), ..., (0, dϕ0(en ))) = 0 × α0 Suy ra sign(0 × α0 ) = −(−1)m (2.6) Trôû laïi vi ñoàng phoâi F giöõa X vaø X0 ban ñaàu , ta thaáy : F : X ⊂ Rk x dFx0 : T Xx0 u = (u1, ..., uk) → 7 → → 7→ X0 ⊂ Rk+1 (0, x) T X0(0,x0) (0, u) = (0, u1, ..., uk ) Nhö vaäy, cô sôû α cuûa T Xx0 qua aùnh xaï dF x0 seõ thaønh cô sôû 0 × α cuûa T X0(0,x0) . Maø theo (2.4) vaø (2.6) , sign(α) = (−1)m , sign(0 × α) = −(−1)m . Vaäy dFx0 ñaûo ngöôïc ñònh höôùng . Toùm laïi ta ñaõ chöùng minh ñöôïc X0 traùi ñònh höôùng vôùi X . Chöùng minh X1 cuøng ñònh höôùng vôùi X: Quaù trình chöùng minh cuõng töông töï nhö treân. Laáy x0 ∈ X baát kyø , ta seõ chöùng minh dGx0 baûo toaøn ñònh höôùng. Vaãn goïi ϕ laø tham soá hoùa baûo toaøn ñònh höôùng nhö treân . Baây giôø vôùi moïi u ∈ U , ñaët α1u = (dϕu ((−1)m+1 e1), dϕu (e2), ..., dϕu(em )) . Do ϕ baûo toaøn ñònh höôùng, ta coù: sign(α1u ) = sign((−1)m+1 e1, e2 , ..., em) = (−1)m+1 Laáy b ∈ (0, 1), xeùt aùnh xaï : θ1 : (b, 1] × U → (b, 1] × V (t, u) 7→ (t, ϕ(u)) θ1(1, 0) = (1, x0) Vôùi moïi (t, u) ∈ (b, 1] × U, h = (h1 , h2 , ..., hm+1) ∈ Rm+1 , ta coù dθ1(t,u) (h) = (h1 , dϕu (h2, h3 , ..., hm+1)) Ñaët Γ1 : Rm × [0, 1 − b) → (b, 1] × Rm (x1 , x2, ..., xm, xm+1 ) 7→ (1 − xm+1 , (−1)m+1 x1, x2, ..., xm) (2.7) 2.4. ÑÒNH HÖÔÙNG TREÂN BIEÂN 19 Lyù luaän töông töï trong chöùng minh treân, ta coù Γ−1 1 ((b, 1]×U) coù daïng W1 ×[0, 1−b) vaø W1 × [0, 1 − b) môû trong ∂H m+1 . Goïi δ1 = Γ1 |W1 ×[0,1−b) , ta coù : δ1 : W1 × [0, 1 − b) −→ (b, 1] × U (x1, x2, ..., xm, xm+1 ) 7−→ (1 − xm+1 , (−1)m+1 x1 , x2, ..., xm) Vôùi (w, s) ∈ W1 × [0, 1 − b), dδ1(w,s) : Rm+1 −→ Rm+1 (u1, u2, ..., um, um+1 ) 7−→ (−um+1 (−1)m+1 u1 , u2, ..., um) Baây giôø, tieáp tuïc ñaët ψ1 = θ1 ◦ δ1 , roõ raøng ψ1 : W1 × [0, 1 − b) → (b, 1] × V , ψ1(0, 0) = (1, x0 ), ψ1 laø vi ñoàng phoâi do θ1 , δ1 laø caùc vi ñoàng phoâi. Hôn nöõa, ta seõ chöùng minh ψ1 baûo toaøn ñònh höôùng. Vôùi (w, s) ∈ W1 × [0, 1 − b) ñaët (t,u) = δ1 (w, s), nhö vaäy (t,u) ∈ (b, 1] × U , ta coù : d ψ1(w,s) : Rm+1 → T M(t,ϕ(u)) = T ([0, 1])t × T X1ϕ(u) Vôùi moïi h = (h1, h2 , ..., hm+1) ta coù: dψ1(w,s)(h) = dθ1(t,u) (dδ1(w,s)(h1 , h2, ..., hm, hm+1 )) = dθ1(t,u) (−hm+1 , (−1)m+1 h1 , h2, ..., hm) Vaäy dψ1(w,s)(h) = (−hm+1 , dϕu ((−1)m+1 h1 , h2 , ..., hm)) (2.8) Do ñoù, ta coù: dψ1(w,s)(e1 × 0) = (0, dϕu ((−1)m+1 e1)) dψ1(w,s) (ei × 0) = (0, dϕu (ei) ∀i = 2, ..., m dψ1(w,s)(0, ..., 0, 1) = (−1, 0..., 0) Vaäy neáu ñaët β1 = (dψ1(w,s) (e1 × 0), ..., dψ1(w,s)(em × 0), dψ1(w,s) (0, ..., 0, 1)) ta ñöôïc β 1 = (0 × α1u , (−1) × 0). Theo ñònh nghóa ñònh höôùng treân ña taïp tích vaø (2.7) sign(β1) = (−1)m sign((−1) × 0, 0 × α1u ) = (−1)m sign(−1).sign(α1u ) = (−1)m+1 (−1)m+1 = 1 Vì dψ1(w,s baûo toaøn ñònh höôùng döông cuûa Rm−1 vôùi moïi (w, s) ∈ W1 × [0, 1 − b) neân ψ1 laø tham soá hoùa baûo toaøn ñònh höôùng. T X1(1,x0) = dψ1(0,0)(∂H m+1 ) Xeùt moät cô sôû cuûa ∂H m+1 laø (e1 × 0, e2 × 0, ..., em × 0) . Ñaët γ1 = (dψ1(0,0)(e1 × 0), ..., dψ1(0,0)(em × 0)) 20 PHAÀN 2. ÑA TAÏP ÑÒNH HÖÔÙNG ÑÖÔÏC Theo ñònh nghóa ñònh höôùng treân bieân : sign(γ1 ) = sign((−1, 0, ..., 0), e1 × 0, ..., em × 0) = −(−1)m = (−1)m+1 Hôn nöõa , theo (2.8) ta coù: γ1 = 0 × α10. Nhö vaäy, sign(0 × α10) = (−1)m+1 (2.9) Trôû laïi vi ñoàng phoâi G giöõa X vaø X1 , ta coù : G : X → X1 x 7→ (1, x) . dGx0 : T Xx0 → T X1(1,x0) u = (u1, ..., uk ) 7→ (0, u) = (0, u1 , u2, ..., uk ) Nhö vaäy cô sôû α1 cuûa T Xx0 qua aùnh xaï dGx0 seõ thaønh cô sôû 0 × α1 cuûa T X1(1,x0) . Theo (2.7) vaø (2.9) ta suy ra dGx0 baûo toaøn ñònh höôùng. Vaäy ña taïp X 1 cuøng ñònh höôùng vôùi X.