Mô tả:
LUYỆN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
TÀI LIỆU THPT HAY
LUYỆN THI PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC
I. Phöông trình baäc hai ñoái vôùi moät haøm soá löông giaùc:
Phöông trình daïng : a.f2(x) + b.f(x) + c = 0 , trong ñoù f(x) laø haøm soá löôïng giaùc.
Vaø a, b, c laø caùc heä soá a 0.
Caùch giaûi: + Ñaë t = f(x) ( neáu f(x) laø sinx hoaëc cosx thì
t 1)
+ Giaûi phöông trình at2 + bt + c = 0 vaø choïn t thoaû maõn ñieàu kieän.
Ví dụ Giaûi phöông trình :
2 cos 4 x 6co s2 x 1 3cos 2x
0 (1)
cos x
2
c) 3cosx 2 3(1 cosx).cot x
(3)
+ Giaûi phöông trình f(x) = t.
1 cos x(2 cos x 1) 2 sin x
(2)
1
1 cos x
6
6
2
d) sin x cos x 2cos x 1
(4)
sin 3x cos3 x
e) Tìm caùc nghieäm treân khoaûng 0; cuûa phöông trình : 7
cosx 4 cos 2 x (5)
2sin 2 x 1
a)
b)
HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ:
m .
2
2
(1) 2 2 cos 2 x 1 3(1 cos 2 x 1 3 cos 2 x 0
a) +Đk x
k
x
cos 2 x 1
k
2
Họ x
thỏa ĐK khi k = 2h x h
2 cos2 2 x 3 cos 2 x 1 0
1
cos 2 x
2
x k
2
6
Vậy (1) có 3 họ nghiệm là: x h ; x k ; h, k Z .
6
b) + ĐK : cos x 1 x m2
2
2
(2) 1 2 cos x cos x 2 sin x 1 cos x 2(1 sin x) 2 sin x 0
2 sin 2 x 2 sin x 2 0 sin x
2
2
sin x 2 (loại)
x k 2
2
4
sin x
sin
2
4
x 5 k 2
4
c) +ĐK : x m
cos2 x
cos2 x
3
cos
2
x
2
3
(
1
cos
x
)
(3) 3 cos 2 x 2 3(1 cos x)
sin 2 x
1 cos2 x
3 cos2 x
3 cos x 2
6 cos2 x cos x 2 0
1 cos x
1
x 3 k 2
cos x 2
(Thỏa các ĐK)
2
2
x arccos( ) k 2
cos x
3
3
d) +Biến đổi: sin
6
x cos6 x sin 2 x (cos2 x)3
3
3
3
1
(sin 2 x cos 2 x)3 3sin 2 x cos 2 x(sin 2 x cos 2 x) 1 sin 2 2 x cos 2 2 x
4
4
4
LUYỆN THI ĐẠI HỌC PT LƯỢNG GIÁC
Page 1
TÀI LIỆU THPT HAY
3
1
cos2 2 x cos 2 x 3 cos2 2 x 4 cos 2 x 1 0
4
4
cos 2 x 1
x k
cos 2 x 1
x 1 arccos 1 k 2
3
2
3
(4)
e)Giải PT(5):
5
x
m2
1
12
+ĐK : sinx
2
x m2
12
+Ta có
sin 3x cos 3x 3 sin x 4 sin 3 x 4 cos3 x 3 cos x 3(sin x cos x) 4(sin x cos x)(1 sin x cos x)
(sin x cos x)(4 sin x cos x 1) (sin x cos x)(2 sin 2 x 1)
sin 3 x cos 3 x
sin x cos x
2 sin 2 x 1
2
(5) 7(sin x cos x cos x) 4 cos 2 x 7 sin x 4 (1 2 sin x)
1
2 sin 2 x 7 sin x 3 0 sin x sin x 3 (loại)
2
x k 2
1
6
sin x
2
x 5 k 2
6
*Chọn nghiệm trên khoảng 0; ta được hai nghiệm của phương trình là:
5
x
; x
6
6
BAØI TAÄP TÖÔNG TÖÏ :
Giaûi phöông trình :
4sin 2 2 x 6sin 2 x 9 3cos 2 x
0
a)
cos x
cos x 2sinx 3 2 2cos 2 x 1
1
1 sin 2 x
17
8
8
2
cos 2 2 x
c) 5sinx 2 3(1 sinx).tan x
d) sin x cos x
16
cos3x sin 3x
e)Tìm caùc nghieäm treân khoaûng 0; 2 cuûa phöông trình : 5 sinx
3 cos 2 x
1 2sin 2 x
b)
II. Phöông trình baäc nhaát theo sin vaø coâsin cuøng moät cung:
Phöông trình daïng : asinx + bcosx = c , vôùi a.b 0
+ Ñieàu kieän phöông trình coù nghieäm : a2 + b2 c2.
+ Caùch giaûi :
-Chia 2 veá phöông trình cho
- Ñaët
cos
a
a b
2
2
a 2 b2 ta ñöôïc :
sin
b
a b2
2
Ví duï : Giaûi phöông trình : a) 4 cos 2 x
3
c) sin 2x cos 2x cos x sin x 0
LUYỆN THI ĐẠI HỌC PT LƯỢNG GIÁC
asinx
a 2 b2
vaø ñaët
sin
b cos x
a 2 b2
c
a 2 b2
3 sin 6 x 2 cos 4 x 3 cos 2 x
c
a 2 b2
ta coù phöông trình: sin( x ) sin
b) 8sinx
d) 9 sin x 3 cos x 3sin 2x cos 2x 8
3
1
cosx sinx
Page 2
TÀI LIỆU THPT HAY
e) 2cos x cos 2 x sinx 0
f) sin x cos x sinx cosx
3
h)
3
3
g) 4 (sin
4
x cos 4 x) 3 sin 4 x 2
3(sin 3x cos x) cos3x sin x
HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ:
(a)
4 cos3 2 x 3 cos 2 x 3 sin 6 x 2 cos 4 x
1
3
cos 6 x
sin 6 x cos 4 x cos 6 x cos 4 x .
2
2
3
sin x 0
m
b)+ ĐK :
m Z
sin 2 x 0 x
2
cos x 0
cos 6 x 3 sin 6 x 2 cos 4 x
+ (b) 4 sin 2 x sin x
(c)
3 sin x cos x 2(cos x cos3x) 3 sin x cos x
1
3
cos x
sin x cos3x cos x cos3x
2
2
3
(2 sin x cos x sin x) 2 cos2 x cos x 1 0 sin x (2 cos x 1) (2 cos x 1)(cos x 1) 0
1
(2 cos x 1)(sin x cos x 1) 0 cos x 2 sin( x ) 1
2
4
2
(d) 9 sin x 6 sin x cos x 3 cos x 2 cos x 9 0
3 sin x(3 2 cos x) (2 cos x 3)(cos x 3) 0
(2 cos x 3)(cos x 3 sin x 3) 0 cos x 3 sin x 3 0
1
3
3
cos x
sin x
cos cos x sin sin x sin
10
10
10
1
3
cos(x ) cos ; cos
; sin
10
10
2
3
2
2
(e) 2 cos x 2 cos x 1 sin x 0 2 cos x(cos x 1) (1 sin x) 0
2(1 sin x)(1 sin x)(cos x 1) (1 sin x) 0 (1 sin x) 2(1 sin x)(1 cos x) 1 0
(1 sin x)(2sin x 2 cos x sin 2 x 1) 0 (1 sin x) 2(sin x cos x) (sin x cos x) 2 0
1 sin x 0
(1 sin x)(sin x cos x)(sin x cos x 2) 0
sin x cos x 0
(f) (sin x cos x)(1 sin x cos x) sin x cos x sin x cos x sin x cos x(sin x cos x) sin x cos x
2 cos x sin x cos x(sin x cos x) 0 cos x(2 sin 2 x sin x cos x) 0
1 cos 2 x 1
cos x(2
sin 2 x) 0 cos x(3 cos 2 x sin 2 x) 0 cos x 0
2
2
1
1
3 1
4
4
2
g)+ Biến đổi : sin x cos x 1 sin 2 x 1 (1 cos 4 x ) cos 4 x
2
4
4 4
1
3
1
+ (g) 3 cos 4 x 3 sin 4 x 2 cos 4 x
sin 4 x
2
2
2
2
cos 4 x cos
3(sin 3x cos x) cos3x sin x
3
3
(h)
3 sin 3x cos3x sin x 3 cos x
LUYỆN THI ĐẠI HỌC PT LƯỢNG GIÁC
3
1
1
3
sin 3x cos3x sin x
cos x
2
2
2
2
Page 3
TÀI LIỆU THPT HAY
sin 3x sin x
6
3
BAØI TAÄP TÖÔNG TÖÏ : Giaûi phöông trình :
3
1
3) sinx 4cos x sin 2x 2cos 2 x 1
sin x cosx
2
3
4) sin 2 x 2sin x 1 4 sin xcosx cos 2 x 2sin x cos 2 x
5) 2sin x cos 2 x cosx 0
3
3
6
6
6) sin x cos x sinx cosx
7) 8 sin x cos x 3 3 sin 4 x 2 8) 3(cos3x sin x) sin 3x cos x
1) 3 sin 3 x
3 cos 9 x 2 cos 3x 4 sin 3 3x
2)
8cosx
III. Phöông trình ñaúng caáp thuaàn nhaát theo sin vaø coâsin cuøng moät cung:
1) Phöông trình ñaúng caáp thuaàn nhaát baäc hai theo sin vaø coâsin cuøng moät cung:
Phöông trình coù daïng : asin2x + bsinxcosx + ccos2x + d = 0. (1)
Caùch giaûi 1: (Dùng công thức hạ bậc đưa về PT bậc nhất theo sin và côsin cùng cung)
(1)
1 cos 2 x b
1 cos 2 x
sin 2 x c
d 0
2
2
2
b sin 2 x (c a ) cos 2 x (2d a c ) .
a
Caùch giaûi 2: (Đưa về PT bậc hai đối với hàm tanx)
Xeùt hai tröôøng hôïp :
+ Neáu x =
+ Neáu x
2
k ; k Z coù laø nghieäm phöông trình hay khoâng.
2
k ; k Z , chia hai veá phöông trình cho cos2x ta ñöôïc:
atan2x + btanx + c + d(1 + tan2x) = 0
(a + d)tan2x + btanx + c + d = 0.
Ví duï : Giaûi phöông trình
1) cos2x -
3 sin2x = 1 + sin2x
2)4sin2x – 3sinxcosx +
3 4 cos2x =
3) 10cos2x – 5sinxcosx + 3sin2x = 4
HƯỚNG DẪN :
(1)
cos2 x sin 2 x 3 sin 2 x 1 cos 2 x 3 sin 2x 1
1
3
1
cos 2 x
sin 2 x cos 2 x cos
2
2
2
3
3
2) +Xét cosx = 0 thì sin x 1 nghiệm đúng phương trình (2).
2
+Xét
cos x 0 . Chia hai vế PT(2) cho cos2 x và thay
Vậy (2) có nghiệm x
2
k .
1
1 tan 2 x và đặt ăn phụ t = tanx :
cos2 x
3
tan x tan x k
3
6
6
k ; x k ; k Z
Vậy PT (2) có hai họ nghiệm là : x
2
6
5
3
(3) 5(1 cos 2 x ) sin 2 x (1 cos 2 x ) 3
2
2
7 cos 2x 5 sin 2x 7
Ta có :
4t 2 3t 3 4 4(1 t 2 ) t
BAØI TAÄP TÖÔNG TÖÏ:
1)
3sin2x - 5 3 sinxcosx – 6cos2x = 0
2)sin2x + (1
3)sin x cos x 3cos 2 x 0
2) Phöông trình ñaúng caáp thuaàn nhaát baäc cao theo sin vaø coâsin cuøng moät cung:
Đây là loại phương trình được mở rộng từ PT đẳng cấp bậc hai dựa trên cơ sở sau:
LUYỆN THI ĐẠI HỌC PT LƯỢNG GIÁC
Page 4
TÀI LIỆU THPT HAY
+ Một biểu thức theo sinx hoặc cosx có bậc k có thể biến đổi thành một biểu thức theo sinx và cosx có bậc k + 2n nhờ đẳng
thức : sin x cos x 1 . ( k , n N )
2
2
Chẳng hạn : sinx (bậc 1) = sinx. (sin x cos x) sin x sin x cos x (bậc 3).
2
2
3
2
Hoặc sinx = sinx. (sin x cos x) sin x 2 sin x cos x sin x cos x (bậc 5).
+ Chú ý : i) Số 0 không có bậc. Một hằng số khác 0 có bậc là 0.
ii) Xác định bậc của mỗi hạng tử trong PTLG chứa sin và côsin là khi chúng đã cùng một cung ( ví dụ với cung
3x thì sin3x có bậc 1, với cung 1x thì sin3x có bậc 3)
Từ những ý tưởng trên ta có thể nêu định nghĩa về PTLG đẳng cấp bậc n theo sin và côsin của cùng một cung như sau:
“ PT đẳng cấp bậc n theo sinx và cosx là PT có bậc các hạng tử hơn, kém nhau 2k, k N ”
Cách giải 1: ( tương tự đẳng cấp bậc 2)
(Cách giải này thường phát hiện được cách giải ngay từ ban đầu và có thuật toán,
nhưng nhược điểm dài hơn cách giải thứ hai)
+Bước 1: Xét cosx = 0 có nghiệm đúng PT không. (nếu đúng ghi nhận kết quả)
2
2
2
5
3
2
4
k
+Bước 2: -Xét cosx 0. Chia hai vế PT cho cos x và thay
n
k
1
2
1 tan x .
2
cos x
-Đặt ẩn phụ t = tanx và thu gọn thì được PT đa thức bậc n theo t.
-Giải tìm nghiệm t = t0 rồi giải PT tanx = t0 để tìm x.
Cách giải 2 : (Biến đổi về PT tích theo sin và côsin)
( Cách giải này thường ngắn gọn nhưng không định hướng được kết quả biến đổi. Đòi hỏi kỷ năng phân tích đa thức thành
nhân tử của mỗi học sinh).Không có thuật toán như cách 1. Sau đây là một số ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình: tan x sin x cos x cos x (1)
Giải cách 1:
2
m .
2
2
3
+(1) sin x sin x cos x cos x (*) (đẳng cấp bậc 3).
+cosx = 0 không nghiệm đúng PT. (vì 1 0 ; vô lý)
+cosx 0, chia hai vế (*) cho cos3x được :
+ĐK: x
tan x(1 tan 2 x) tan x 1 t 3 1 t 1 tan x 1 x
4
k (t = tanx)
Giải cách 2:
(*) sin x(1 cos x) cos x sin x cos x
2
3
tan 3 x 1 tan x 1 x
3
4
3
(**)
k
Chú ý:Theo cách giải 2 đã nêu là biến đổi về PT tích nên ta có thể đưa về như sau:
(**) sin x cos x 0 (sin x cos x)(1 sin x cos x) 0 (sin x cos x)(2 sin 2 x) 0
3
3
sin x cos x 0 tan x 1 x
4
k
Ví dụ 2: Giải phương trình: cos x sin x cos x (2)
Giải cách 1:
+ cosx = 0 không nghiệm đúng (2)
3
.
(đẳng cấp bậc 3)
+ cosx 0, chia hai vế (2) cho cos3x được : 1 tan x(1 tan x) (1 tan x)
2
t (t 2 t 1) 0 t 0 tan x 0 x k
(với t = tanx )
Giải cách 2:
(2) cos x(cos x 1) sin x cos x sin x sin x 0 sin x(sin x cos x 1) 0
2
2
sin x(sin 2 x 2) 0 sin x 0 x k
Ví dụ 3: Giải phương trình:
3 sin 3 x 2 cos3 x sin 2 x cos x 2 cos x 0 (3)
(đẳng cấp bậc 3)
Giải cách 1:
+ cosx = 0 không nghiệm đúng (3)
LUYỆN THI ĐẠI HỌC PT LƯỢNG GIÁC
Page 5
TÀI LIỆU THPT HAY
+ cosx 0, chia hai vế (3) cho cos3x được :
3 tan 3 x 2 tan 2 x 2(1 tan 2 x) 3t 3 3t 2 0 3t 2 (t 3) 0
x k
t 0
tan x 0
x k
t
3
tan
x
3
3
Giải cách 2:
(3)
3 sin3 x sin 2 x cos x 2 cos x(1 cos2 x) 0
sin 2 x( 3 sin x cos x) 2 cos x sin 2 x 0 sin 2 x 3 sin x 3 cos x 0
x k
sin x 0
x k
x k
sin
x
3
cos
x
0
tan
x
3
3
Ví dụ 4 : Giaûi phöông trình 3cos4x – 4sin2xcos2x + sin4x = 0
(4) (đẳng cấp bậc 4)
Giải cách 1:
+ cosx = 0 thì sinx = 1 không nghiệm đúng ptrình . Vậy cosx 0
+ Chia hai vế (2) cho cos4x rồi đặt ẩn phụ t = tan2 x thì được:
t 2 4t 3 0 t 1 t 3
Giải cách 2:
(4) (3 cos x 3 sin x cos x) (sin x cos x sin x) 0
4
2
2
2
2
4
3 cos2 x(cos2 x sin 2 x) sin 2 x(cos2 x sin 2 x) 0
cos 2 x 0
cos 2 x(3 cos2 x sin 2 x) 0
tan x 3
6
6
2
Ví dụ 5: Giải phương trình : sin x cos x cos 2 x sin x cos x (5)
Giải cách 1:
Nếu biến đổi : sin x cos x (sin x cos x)(sin x cos x sin x cos x) =
6
6
2
2
4
4
2
2
= sin x cos x sin x cos x
4
4
2
2
Và biến đổi : cos 2 x (cos x sin x) cos x sin x 2 sin x cos x
2
2
2
2
4
4
2
2
Thì PT (5) sin x cos x sin x cos x 0 (*)
Khi đó PT (*) giải tiếp theo cách giải 1 hoặc cách giải 2 đã nêu trên là đơn giản
2
2
+ Nếu từ PT: sin x cos x (cos x sin x) sin x cos x (đẳng cấp bậc 6)
Làm theo cách giải (1) sau bước 2 đã thu gọn ta được phương trình: (Với t = tanx )
6
6
2
2
2
t 0
t 5 t 4 2t 3 t 2 t 0 4 3
2
t t 2t t 1 0 (5.1)
1 1
2 1 1
2
Khi đó PT (5.1) t t 2 2 0 t 2 t 2 0 (5.2)
t t
t t
1
2
PT (5.2) đặt ẩn phụ u t thì được PT bậc hai u u 0 u 0 u 1 .
t
Trở lại với ẩn t thì các PT này vô nghiệm.
+ Với t = 0 tan x 0 x k .
Chú ý: Khi xét cosx = 0 thì nó nghiệm đúng PT đẳng cấp bậc 6 nên:
x
2
k cũng là nghiệm PT. Kết hợp nghiệm thì được x =
k
. Phù hợp với mọi cách giải.
2
BAØI TAÄP TÖÔNG TÖÏ: Có thể giải lại các bài trong các ví dụ và bài tập tương tự ở phân PT đưa về PT bậc nhất theo sin và
côsin cùng một cung như :
1) sinxsin2x + sin3x = 6cos3x
2) sin3x + cos3x + 2cosx = 0
3) sinx – 4sin3x + cosx = 0
LUYỆN THI ĐẠI HỌC PT LƯỢNG GIÁC
Page 6
TÀI LIỆU THPT HAY
4) sin x cos x sinx cosx
5)
7) sin x cos x sinx cosx
8) 4 (sin
3
3
3
3
10) sin x cos x
8
8
8 sin 6 x cos6 x 3 3 sin 4 x 2 6) 3(cos3x sin x) sin 3x cos x
4
x cos x) 3 sin 4 x 2
17
cos 2 2 x
16
4
9)
3(sin 3x cos x) cos3x sin x
11) sin x cos x 2cos x 1
6
6
2
IV. Phương trình chứa tổng (hoặc hiệu) và tích của sin và côssin cùng một cung:
1) Phương trình chứa tổng và tích (còn gọi là phương trình đối xứng theo sin và côsin)
Dạng phương trình: a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c R ) (1)
2 sin x t 2
4
2
t 1
t 2 1 2 sin x cos x sin x cos x
(*)
2
t 2 1
c 0 bt 2 2at 2c b 0 (1.1) .
(1) at b.
2
Giải phương trình (1.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn t 0 2 .
Cách giải : Đặt t = sinx + cosx =
Thay giá trị t0 vào PT (*) và giải PT sin2x =
t 02 1 để tìm x.
2) Phương trình chứa hiệu và tích ( còn gọi là phương trình phản xứng)
Dạng phương trình: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c R ) (2)
2 sin x t 2
4
1 t2
t 2 1 2 sin x cos x sin x cos x
(**)
2
1 t2
c 0 bt 2 2at 2c b 0 (2.1) .
(1) at b.
2
Giải phương trình (2.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn t 0 2 .
Cách giải : Đặt t = sinx - cosx =
2
Thay giá trị t0 vào PT (**) và giải PT sin2x = 1- t 0 để tìm x.
Ví dụ 1: Giải phương trình
Ví dụ 2: Giải phương trình
Ví dụ 3: Giải phương trình
Ví dụ 4: Giải phương trình
Ví dụ 5: Giải phương trình
Ví dụ 6: Giải phương trình
sin x cos xsin 2x 12(cos x sin x) 12 cos 2x 0
(1)
8 cos 2 x 3 sin 2 x sin x 3 sin 2 x cos x 7 2 sin x (2)
4
3
2
sin x sin x 2 cos x 2 0
(3)
2
2
sin x cos x 12(sin x cos x sin 2 x) sin x cos x 12 (4)
sin 2 x sin x cos x cos x 2 sin 2 x(sin x 1) 1
(5)
(sin x cos x 1) cos 2 x cos x sin x 0
(1)
HƯỚNG DẪN CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1: (1)
sin x cos x sin 2 x 12(sin x cos x) 12 0
(1a)
sin x cos x 0
12(sin x cos x) sin 2 x 12 0 (1b)
k
(1a) x
4
LUYỆN THI ĐẠI HỌC PT LƯỢNG GIÁC
Page 7
TÀI LIỆU THPT HAY
t 1
t 2 12t 13 0
t 1 t sin x cos x
t 13
k
t 1 sin 2 x 0 x
2
k
k ; x
(k Z )
+ Vậy (1) có 2 họ nghiệm là x
4
2
Ví dụ 2: (2) cos x sin x 8(cos x sin x) 3 sin 2 x 7 0
(2a)
sin x cos x 0
8(cos x sin x) 3 sin 2 x 7 0 (2b)
(2a) x k
4
2
2
(2b) : Đặt t = cos x sin x ; ( t 2 ) t 1 sin 2 x sin 2 x 1 t
(1b)
(*)
t 2
2
(2b) 3t 8t 4 0
t , thay t = -2/3 vào (*):
2
t
3
3
1
5
x arcsin k
5
2
9
Sin2x =
9
x arcsin 5 k
2
9
Ví dụ 3: (3) (1 cos x )(sin x cos x sin x cos x 1) 0
2
x k 2
cos x 1
x k
sin
x
cos
x
sin
x
cos
x
1
0
2
Ví dụ 4: (4)
sin x cos x sin x cos x 12(sin x cos x) 12 0
sin x cos x 0
sin x cos x 12(sin x cos x) 12 0
x
4
k
x
2
Ví dụ 5: (5) sin x 1 (sin x cos x cos x) 2 sin 2 x(sin x 1) 0
2
sin x 1sin x 1 cos xsin x 1 2 sin 2 x(sin x 1) 0
sin x 1sin x cos x 2 sin 2 x 1 0
sin x 1
sin x cos x 2 sin 2 x 1 0
2
2
Ví dụ 6: (6) sin x cos x 1cos x sin x cos x sin x 0
sin x cos x 1cos x sin x cos x sin x cos x sin x 0
(cos x sin x) sin x cos x 1cos x sin x 1 0
(6a)
cos x sin x 0
(6b)
(sin x cos x 1)(cos x sin x) 1 0
k
(6a) x
4
2
2
(6b): Đặt t = sinx +cosx ( t 2 ) ; t 1 sin 2 x sin 2 x t 1 (*)
LUYỆN THI ĐẠI HỌC PT LƯỢNG GIÁC
Page 8
TÀI LIỆU THPT HAY
t 2 1
1.t 1 0 t 3 3t 2 0 (t 1)(t 2 t 2) 0
(6b)
2
t 1
k
t 1 thay vào (*) thì sin2x = 0 x
2
t 2
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
Giải các phương trình sau :
2 sin 2 x(sin x cos x 1) 2 cos x 2 .
4
3
2
3) cos x cos x 2 sin x 2 0
5) cos 2 x (1 sin x cos x ) cos x sin x 0
2) sin x cos x
4
1)
4
1
sin 4 x sin x cos x
2
4) 3 sin x 3 sin x 8(2 cos x)
2
6) sin x 3 sin x 6 cos x 6 0
3
2
D. PHẦN BÀI TẬP NÀY ĐƯỢC BIÊN SOẠN TƯƠNG TỰ CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Baøi 1:Giaûi caùc phöông trình sau :
a)
sin 3x
4 sin 2 x
3 cos 2 x
1 2 cos x
; b) sin 2 x cos 3 x sin x cos 4 x
2
2
2
2
1 2
sin 2 x 1 0
2
1
4 sin x cos x
cos6 x sin 6 x sin 2 x cos2 x sin x cos x
0 ; g) cos x. cot 2 x
e)
cos x
sin x
2 cos x 2
c)
; d) sin 3 x cos 2 x sin x
sin 3x 4 cos 2x 3sin x 4 0
Baøi 2:Giaûi caùc phöông trình sau :
2 sin 4 x cos4 x 2 sin x cos x 3
4
4
a)
0
2 2 sin x
3
3
2
b) sin x cos x cot x cos 2 x. cos x 2 sin x cos x sin x. cos x
c) 10 cos x cos x 2 3(cos x cos 2 x). cot g x
2
2
2 cos x 32 sin x cos x sin 2x
d)
3 sin x
Baøi 3:Giaûi caùc phöông trình sau :
1
tan 2 x
2
2
; d) tan x 2 tan x cot x 2 cot x 2 0
a) 1 sin x cos x sin 2 x cos 2 x sin x cos x 0 ; b) 1 sin x cos x. cot x
3
3
c) 1 (1 sin x) cos x sin 2 x sin x(1 cos x)
2
2
2
Baøi 4 : Giaûi caùc phöông trình :
8 sin 6 x cos6 x sin x cos x
sin 2 x 1 0
4 3 sin 2 2 x
sin 6 x cos6 x sin 4 x cos4 x 2 cos 2 x
0
c)
5 cos 2 x 3
2
2
e) 1 (1 sin x) cos x sin 2 x sin x(1 cos x)
a)
; b) sin 3 x. cos 2 x sin x 0
2
; d)
2
sin x. tan x sin 2x tan x
; g) 2 cos x cos x 1 cos 7 x
2
Baøi 5 : Giaûi caùc phöông trình :
2
a) (1 sin x) cos x (1 cos x) sin x sin 2 x 1
2
2
LUYỆN THI ĐẠI HỌC PT LƯỢNG GIÁC
; b)
x
x
sin cos 3 cos x 1 2
2
2
Page 9
TÀI LIỆU THPT HAY
c) 3 cos x(1 cos 2 x) 2 sin 2 x sin x cos 2 x 0
; d)
e) 3 cos x(1 cos 2 x) 2 sin 2 x sin x cos 2 x 0
f) sin x
3
1
cos x
2
1
5
4 cos x
4
3
sin
x
2
3 cos3 x cos 2 x sin x cos2 x 3 sin 2 x cos x
Bài 6: a) Giải phương trình
1 2 cos x sin x
(1 2 cos x)(1 cos x)
3
2 cos x 2 cos3 x 3 sin 3x
b) Giải phương trình :
cos x 2
cos 2 x
3 cos3x 4 sin x cos2 x
c) Giải phương trình
3
cos x
E. CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2002-2012.
Baøi 1:Giaûi caùc phöông trình sau :
a) (KA-2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2 ) của phương trình: 5 sin x
b) (KB-2002) sin 2 3x cos2 4x sin 2 5x cos2 6x
cos 3x sin 3x
cos 2 x 3
1 2sin 2 x
c) (KD-2002) Tìm x[0;14] cos3x4cos2x+3cosx4=0
Baøi 2:Giaûi caùc phöông trình sau :
cos 2 x
1
sin 2 x sin 2 x
1 tan x
2
2 x
2
2 x
c) (KD-2003) sin . tan x cos
0
2
2 4
a) (KA-2003) cot x 1
b) (KB-2003) cot x tan x 4 sin 2 x
2
sin 2 x
Baøi 3:Giaûi caùc phöông trình sau :
a) (KB-2004) 5 sin x 2 3(1 sin x) tan x
b)(KD-2004) ( 2 cos x 1)(2 sin x cos x) sin 2 x sin x
2
c) (KA-2004) Cho
ABC khoâng tuø thoaû ñieàu kieän : cos 2 A 2 2 cos B 2 2 cosC 3 .
Tính ba goùc cuûa ABC .
Baøi 4:Giaûi caùc phöông trình sau :
a) (KA-2005) cos2 3x. cos 2 x cos2 x 0
4
4
c) (KD-2005) cos x sin x cos(x
Baøi 5:Giaûi caùc phöông trình sau :
a) (KA-2006)
c) (KD-2006)
4
).sin(3 x
2 cos6 x sin 6 x sin x cos x
2 2 sin x
cos3x cos 2x cos x 1 0
4
b) (KB-2005) 1 sin x cos x sin 2x cos 2x 0
)
3
0
2
x
0 b) (KB-2006) cot x sin x(1 tan x. tan ) 4
2
Baøi 6:Giaûi caùc phöông trình sau :
a) (KA-2007) (1 sin x) cos x (1 cos x) sin x 1 sin 2 x
2
2
2
b) (KB-2007) 2 sin 2 x sin 7 x 1 sin x
2
x
x
c) (KD-2007) sin cos 3 cos x 2
2
2
Baøi 7:Giaûi caùc phöông trình sau :
LUYỆN THI ĐẠI HỌC PT LƯỢNG GIÁC
Page 10
TÀI LIỆU THPT HAY
7
4 sin
x
3
4
sin x
2
3
3
2
2
b) (KB-2008) sin x 3 cos x sin x cos x 3 sin x cos x
c) (KD-2008) 2 sin x(1 cos 2 x) sin 2 x 1 2 cos x
a) (KA-2008)
1
sin x
1
Baøi 8:Giaûi caùc phöông trình sau :
a) (KA-2009)
1 2sin x cos x
1 2sin x 1 s inx
3.
b) (KB-2009)
sin x cos x sin 2x 3 cos3x 2(cos 4x sin 3 x)
3 cos5x 2sin 3x cos 2x sin x 0 .
c) (KD-2009)
Baøi 9:Giaûi caùc phöông trình sau :
1 sin x cos2 x sin x
4
1
cos x
1 tan x
2
b)(KB- 2010) sin 2 x cos2 x cos x 2cos 2 x sinx 0
a) (KA-2010)
c) (KD- 2010) sin 2x cos2x 3sin x cos x 1 0
Baøi 10:Giaûi caùc phöông trình sau :
1 sin 2 x cos2 x
2 sin xsin2x
1 cot 2 x
b)(KB- 2011) sin 2x cos x sin x cos x cos2x sinx cos x
sin 2 x 2 cos x s inx 1
0
c) (KD- 2011)
tan x 3
a) (KA-2011)
Baøi 11:Giaûi caùc phöông trình sau :
a) (KA-2012)
3 sin 2 x cos2 x 2 cos x 1
b)(KB- 2012)
2 cosx 3 sin x cos x cos x 3 sinx+1
c) (KD- 2012)
sin 3x cos3x sinx cos x 2cos2x
ĐỀ THI CAO ĐẲNG
1. Giải phương trình sin 3x 3 cos 3x 2sin 2 x
4
2
ĐS: x k 2 , x
k
, k
3
15
5
2. Giải phương trình (1+2sinx)2cosx=1+sinx+cosx
5
ĐS: x k , x
k , k
12
12
5x
3x
3. Giải phương trình: 4cos cos 2(8sin x 1)cos x 5
2
2
5
ĐS: x k , x
k , k
12
12
4. Giải phương trình: cos 4 x 12sin 2 x 1 0
ĐS: x k , k
5. Giải phương trình: 2cos 2 x sin x sin3x
ĐS: x
2
k 2 ; x
4
k
2
(CĐ_A_B_D_2008)
(CĐ_A_B_D_2009)
(CĐ_A_B_D_2010)
(CĐ_A_B_D_2011)
(CĐ_A_B_D_2012)
k
Đề thi thử :
Giải phương trình
LUYỆN THI ĐẠI HỌC PT LƯỢNG GIÁC
Page 11
TÀI LIỆU THPT HAY
1)
cos2 x. cos x 1
2 1 sin x .
sin x cos x
sin x cos x
4
4)
6)
4
sin 2 x
2 cos x
1
2
tan x cot x
1 sin x
cos x
9)9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8
11)
sin
6
6
3)
2 cos x sin x
1
tan x cot 2 x
cot x 1
5) cos 2 x 5 2(2 - cos x )(sin x - cos x )
1
7) 2 sin
2
(x
4
) 2 sin 2 x tan x
8)2cos3x +
10) 2cos3x.cosx+ 3(1 s in2x)=2 3cos (2 x
2
2cos6x+2cos4x- 3cos2x =sin2x+ 3
13) 8
2)cosx = 8sin3 x
12)
4
3 sinx + cosx = 0
)
3 sin 2 x.2 cos x 1 2 cos3x cos 2 x 3 cos x.
x cos 6 x 3 3 sin 4 x 3 3cos 2 x 9sin 2 x 11
14) cos2x 2sin x 1 2sin x cos 2x
2
16) sin2x + (1 + 2cos3x)sinx - 2sin (2x+
4
0 15) 2cos5x.cos3x sin x cos8x
17) 3 (2cos2x + cosx – 2) + (3 – 2cosx)sinx = 0
)=0
x
4cos3xcosx - 2cos4x - 4cosx + tan t anx + 2
2
18)
0
2sinx - 3
19)
3 cos 2 x - sin x cos x 2sin x 1 0
20)
3 cos 2 x 2 cos x sin x 1 0
F. MỤC THAM KHẢO THÊM VỀ CÁCH GIẢI PH.TRÌNH LƯỢNG GIÁC.
* Vieäc giaûi PTLG laø vaán ñeà thöôøng gaëp trong caùc ñeà thi ñaïi hoïc .Phöông phaùp thöôøng söû duïng khi giaûi phöông trình
löôïng giaùc laø thöïc hieän moät soá pheùp bieán ñoåi löôïng giaùc thích hôïp keå caû vieäc bieán ñoåi ñaïi soá ñeå ñöa PTLG veà daïng
phöông trình löôïng giaùc cô baûn hay caùc phöông trình löôïng giaùc thöôøng gaëp hoaëc ñöa veà daïng phöông trình tích hoaëc
ñaët aån phuï ñeå ñöa veà phöông trình ñaïi soá baäc hai,baäc ba…;hoaëc ñoâi khi coøn phaûi söû duïng ñeán phöông phaùp ñaùnh giaù hai
veá cuûa phöông trình. Ñeå ñaït ñöôïc keát quaû cao trong vieäc giaûi PTLG yeâu caàu hoïc sinh caàn naém vöõng caùc yeâu caàu toái
thieåu sau ñaây :
1)Hoïc thuoäc (hoaëc thoâng qua suy luaän) caùc coâng thöùc löôïng giaùc,caùc cung, goùc coù lieân quan ñaëc bieät,giaù trò löôïng
giaùc cuûa caùc cung(goùc) ñaëc bieät.
2)Caàn naém vöõng caùch giaûi PTLG cô baûn vaø caùc tröôøng hôïp ñaëc bieät.Caùch giaûi caùc phöông trình löôïng giaùc thöôøng
gaëp .
3)Phaûi coù thoùi quen laø ñeà caäp ñeán TXÑ cuûa phöông trình (laáy ñieàu kieän) tröôùc khi tieán haønh pheùp bieán ñoåi vaø ñoái
chieáu ñieàu kieän khi coù keát quaû.
* Taïi sao ñeà caäp ñeán vieäc bieán ñoåi thích hôïp:Vì caùc ñoàng nhaát thöùc löôïng giaùc thöôøng raát ña daïng.Chaúng haïn :
-Neáu caàn bieán ñoåi cos2x thì tuyø theo ñaàu baøi ta seõ söû duïng moät trong caùc ñoàng nhaát sau:
Cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x -1 = 1-2sin2x.
Ví duï : Giaûi phöông trình :
a) cos2x = sinx- cosx → bieán ñoåi Cos2x = cos2x – sin2x
b) cos2x = cosx
→ bieán ñoåi Cos2x = 2cos2x -1
c) cos2x = sinx
→ bieán ñoåi Cos2x = 1-2sin2x
4
4
-Neáu caàn bieán ñoåi cos x-sin x thì tuyø theo ñaàu baøi ta seõ söû duïng moät trong caùc ñoàng nhaát sau:
cos4 x-sin4x = cos2x – sin2x = Cos2x = 2cos2x -1 = 1-2sin2x.
*Caàn chuù yù ñeán caùc ñoàng nhaát löôïng giaùc thöôøng gaëp khi giaûi toaùn nhö:
1 sin2x = (sinx cosx)2
Cos3x.sin3x+sin3x.cos3x =
LUYỆN THI ĐẠI HỌC PT LƯỢNG GIÁC
3
sin4x
4
Page 12
TÀI LIỆU THPT HAY
1
1 cos2 2 x 3 cos 4 x
cos4 x sin 4 x 1 sin 2 2 x
2
2
4
2
3
1 3 cos 2 x 5 3 cos 4 x
cos6 x sin 6 x 1 sin 2 2 x
4
4
8
*Caàn chuù yù ñeán caùc soá haïng coù chöùa thöøa soá (cosx+sinx) laø: cos2x ; cos 3x+sin3x ;
; cotx-tanx ;
2 sin x ….
4
LUYỆN THI ĐẠI HỌC PT LƯỢNG GIÁC
Cos4x-sin4x ; cos3x-sin3x ; 1+tanx
Page 13
- Xem thêm -
.PDF 
13 
246 
108 
