Tài liệu Khoá luận tốt nghiệp Ứng dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân để giải các bài toán về xác suất

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2 KHÒA t o á n T R ỊN H T H Ị PH A ỨNG DỤNG QUY TẮC CỘNG, QUY TẮC NHÂN ĐẺ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ XÁC SUẤT KHÓA LUẬN • TÓT NGHIỆP • ĐẠI • HỌC • C huyên ngành: Đ ạỉ số N guòi hướng dẫn khoa học Th.s NGUYỄN THỊ BÌNH Hà Nội - 2014 LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp được hoàn thành tại Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Có được bản khóa luận tốt nghiệp này em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán, đặc biệt là ThS. Nguyễn Thị Bình đã trực tiếp hướng dẫn và giúp đỡ em trong quá trình học tập và nghiên cứu để em có thể hoàn thành đề tài này. Với mong muốn viết được một bản khóa luận đầy đủ, phong phú và hữu ích cho người đọc em đã rất cố gắng nhưng do lượng thời gian và kinh nghiệm bản thân còn hạn chế nên không thể tránh khỏi sai sót và chưa hoàn thiện. Rất mong được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc để đề tài được hoàn chỉnh và phát triển hơn nữa. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 14 thảng 4 năm 2015 Sinh viên Trịnh Thị Pha LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp "ứng dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân để giải các bài toán xác suất" được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của cô giáo Nguyễn Thị Bình. Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là trung thực và không trùng lặp vói các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong khóa luận đã được ghi rõ nguồn gốc. Hà Nội, ngày 14 tháng 4 năm 2015 Sinh viên Trịnh Thị Pha MỤC LỤC PHẦN I: MỞ Đ Ầ U ........................................................................................1 1. Lý do chọn đề tà i.................................................................................... 1 2. Mục đích yêu cầu....................................................................................2 3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu............................................................ 2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu............................................................................. 2 5.Phương pháp nghiên cứu........................................................................ 2 PHẦN II: NỘI D UNG..................................................................................3 CHƯƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC c ơ S Ở ............................................. 3 1.1. Quy tắc đếm cơ bản............................................................................. 3 1.1.1 Quy tắc cộng...................................................................................3 1.1.2 Quy tắc nhân..................................................................................5 1.2. Hoán vị................................................................................................. 9 1.3. Tổ hợp.................................................................................................13 ỉ . 3.1.Định nghĩa tố hợp........................................................................ 13 1.3.2. Các ví dụ....................................................................................... 15 1.4. Hoán vị lặp......................................................................................... 18 1.4.1 Hoán vị của tập hợp có các phần tử khác nhau........................18 1.4.2 Hoán vị của tập hợp có các phần tửđồng nhất hay phần tử không phân biệt..................................................................................... 19 1.5. Hoán vị vòng tròn.............................................................................. 21 1.5.1. Khái niệm hoán vị vòng tròn......................................................21 7.5.2. Các ví dụ......................................................................................24 CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG QUY TẮC ĐẾM c ơ BẢN ĐẺ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ XÁC SUẤT.......................................................................27 2.1. Một số bài toán sử dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân................ 27 2.1. l.Sử dụng quy tắc nhân đế thực hiện bài toán............................. 27 2.1.2.Sử dụng quy tắc cộng đế thực hiện bài toán..............................28 2.1.3. Các dạng toán thường gặp........................................................ 30 2.2. Các vỉ dụ và bài tập......................................................................... 37 2.2.1. Các vỉ dụ......................................................................................37 2.2.2. Bài tập áp dụng.......................................................................... 38 KẾT LUẬN.................................................................................................. 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................... 43 PHẢN I: MỞ ĐÀU 1. Lý do chọn đề tài Toán xác suất là một ngành toán học có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ, kinh tế...V ì vậy lí thuyết xác suất đã được đưa vào chương trình toán lớp 11 nhằm cung cấp cho học sinh THPT những kiến thức cơ bản về ngành toán học quan trọng này. Đe có thể học tốt toán xác suất học sinh phải nắm vững các khái niệm và các công thức cơ bản của xác suất đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán về tính xác su ất. Nhưng đa số học sinh chỉ biết giải bài toán xác suất trong một số kiểu bài tập quen thuộc mà chưa biết sử dụng linh hoạt các quy tắc cộng, quy tắc nhân đế giải các bài tập về xác suất. Tôi đã đi tìm hiểu các tài liệu Toán học về cách giải các bài toán xác suất và sau khi đọc được một số tài liệu Toán học của Singapore nói về chuyên đề này, tôi đã đầu tư thời gian học tập và nghiên cứu. Một mặt là giúp học sinh hiểu được bản chất của vấn đề và không còn lúng túng trong việc giải các bài toán xác suất. Mặt khác sau khi nghiên cứu tôi sẽ có thêm một phương pháp giải các bài toán về xác suất. Hơn nữa tôi hy vọng rằng những nghiên cứu nhỏ của tôi có thể giúp thấy được phần nào thực tế việc đưa ứng dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân vào giải các bài toán xác suất trong chương trình sách giáo khoa sắp tói. Với mong muốn ấy tôi chọn đề tài: “ứng dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân đễ giải các bài toán về xác suất Nội dung đề tài gồm: Chương 1. Một số kiến thức cơ sở. Chương 2. ứng dụng quy tắc đếm cơ bản để giải các bài toán xác suất. 1 2. Mục đích yêu cầu Giúp học sinh nắm vững các khái niệm và các quy tắc cơ bản của xác suất đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán về tính xác suất. Tự học, bồi dưỡng nâng cao chuyên môn nghiệp vụ. 3. Đối tượng, phạm vi nghỉên cứu Đối tượng nghiên cứu: Quy tắc cộng, quy tắc nhân và cách giải các bài toán về xác suất. Phạm vi nghiên cứu: Mở rộng thêm các kiến thức cơ bản về xác suất trong chương trình SGK môn Toán lớp 11. 4. Nhiệm yụ nghiên cún. a) Hệ thống các kiến thức cơ bản về xác suất. b) Hướng dẫn học sinh ứng dụng nguyên lý đếm vào giải các bài toán về xác suất . 5.Phưong pháp nghiên cún Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp. 2 PHÀN II: NỘI DƯNG CHƯƠNG I: MỘT SỐ KIÉN THỨC c o SỞ 1.1. Quy tắc đếm cơ bản. 1.1.1 Quy tắc cộng 1.1.1.1. Khái niệm quy tắc cộng Giả sử một công việc có thế được hoàn thành bằng cách thực hiện một trong hai phương án A hoặc B. ■ Neu phương án A có a cách t h ự c hiện. ■ Neu phương án B có b cách thực hiện. Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi một trong hai phương án A hoặc B là a+b. Chú ỷ . Phương án A và phương án B loại trừ lẫn nhau. Neu thực hiện phương án A sẽ loại trừ khả năng thực hiện phương án B và ngược lại. (Phương án A và phương án B không thể xảy ra cùng một lúc ). Vỉ dụ: Giả sử cần chọn hoặc là một học sinh nam của khối 12 hoặc một học sinh nữ của khối 11 làm đại biểu cho một trường THPT. Hỏi có bao nhiêu cách chọn vị đại biểu này nếu khối 12 có 81 học sinh nam và khối 11 có 72 học sinh nữ? Giải: Ta gọi: ■ Việc thứ nhất là việc chọn một học sinh nam của khối 12, nó có thể làm bằng 81 cách. ■ Việc thứ hai là việc chọn một học sinh nữ của khối 11, nó có thế làm bằng 72 cách. Theo quy tắc cộng ta có: 81 + 7 2 = 153 cách chọn vị đại biếu này. 3 Quy tắc cộng dạng tổng quát: Giả sử các công việc Ti, T2, ... , Tm có thể làm tương ứng bằng nb n2, . . nmcách và giả sử không có hai việc nào làm đồng thời. Khi đó số cách làm một trong m việc đó là: П] + n2 +...+ nm . 7.7.7.2. Ví dụ Ví dụ 1: Từ các số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có những chữ số khác nhau. Giải: Từ các số 1, 2, 3 có thể lập được: ■ Ba số khác nhau có một chữ số là: 1, 2, 3. Trong trường hợp nàycó3 cách lập. ■ Sáu số khác nhau mỗi số có 2 chữ số là: 12, 13, 21, 23, 31, 32. Trong trường họp này có 6 cách lập. ■ Sáu số khác nhau mỗi số có ba chữ số là: 123, 132, 213, 231,312, 321. Trong trường hợp này có 6 cách lập. Các cách lập trên đôi một không trùng nhau. Vậy theo quy tắc cộng, ta có: 3 + 6 + 6 = 15 cách lập những số khác nhau có những chữ số khác nhau từ các chữ số 1, 2,3. Ví dụ 2: Một sinh viên có thế chọn bài thực hành máy tính từ một trong ba danh sách tương ứng có 23, 15 và 19 bài. Có bao nhiêu cách chọn bài thực hành? Giải: Ta nhận thấy: ■ Có 23 cách chọn bài th ự c hành từ danh sách thứ nhất. ■ Có 15 cách chọn bài thực hành từ danh sách thứ hai. 4 ■ Có 19 cách chọn bài thực hành từ danh sách thứ ba. Vì vậy có: 23 + 15 + 19 = 57 cách Vỉ dụ 3: Đi từ thành phố X đến thành phố Y một khách du lịch có thể đi bằng đường bộ hoặc đường biển. Du lịch bằng đường bộ, ông lựa chọn 1 trong 4 tuyến đường khác nhau: Ít, 12,13,14. Du lịch bằng đường biển, ông lựa chọn 1 trong 3 tuyến đường biển khác nhau:si, s2, s3. 1. Du lịch bằng đường bộ và du lịch bằng đường biển là những phương án loại trừ lẫn nhau. Vì nếu ông ấy du lịch bằng đường bộ ông ấy không thể cùng lúc du lịch bằng đường biển và ngược lại. Vì thế, số cách đi du lịch từ thành phố X đến thành phố Y bằng đường bộ hoặc đường biển là: 4+3 =7. 1.1.2 Quy tắc nhân 1.1.2.1. Khái niệm quy tắc nhân Giả sử một công việc có thể được hoàn thành bởi hai công đoạn A và B, công đoạn A và công đoạn B là độc lập. Neu công đoạn A có a cách thực hiện và công đoạn B có b cách thực hiện thì số cách hoàn thành công việc bằng cách thực hiện công 5 đoạn A và công đoạn B liên tiếp là: a.b Vỉ dụ 1: Người ta có thế ghi nhãn cho những chiếc ghế trong một giảng đường bằng một chữ cái và một số nguyên dương không vượt quá 100. Bằng cách như vậy, nhiều nhất có bao nhiêu chiếc ghế có thể được ghi nhãn khác nhau? Giải: Thủ tục ghi nhãn cho một chiếc ghế gồm haiviệc: ■ Gắn một trong 26 chữ cái. ■ Và sau đó gắn một trong 100 số nguyên dương. Quy tắc nhân chỉ ra rằng có: 26.100=2600 cách khác nhau để gắn nhãn cho một chiếc ghế Như vậy, nhiều nhất ta có thể gắn nhãn cho 2600 chiếc ghế. Ví dụ 2: Trong một trung tâm máy tính có 32 chiếc máy vi tính. Mỗi máy có 24 cống. Hỏi có bao nhiêu cống khác nhau trong trung tâm này? Giải: Thủ tục chọn cống gồm có hai việc, việc chọn máy và sau đó chọn cống của chiếc máy này. ■ ■ Có 32 cách chọn máy. Có 24 cách chọn cổng bất kể máy nào được chọn. Quy tắc nhân cho thấy có 32.24=768 cổng. Vỉ dụ 3: Đi từ thành phố X đến thành phố Y khách du lịch phải đi qua thành phố M. Du lịch từ thành phố X đến thành phố M , ông lựa chọn 1 trong 4 tuyến đường bộ khác nhau: li, 12 , 13 , 14 . Du lịch từ thành phố M đến thành phố Y ông lựa chọn 1 trong 3 tuyến đ ư ờ n g b i ế n k h á c n h a u : Si, s 2, S3. 6 Il u Du lịch từ thành phố X đến thành phố M và du lịch từ thành phố M tới thành phố Y là các hoạt động độc lập. Neu chúng ta giả định rằng việc lựa chọn du lịch bằng 1 trong 4 tuyến đường bộ không ảnh hưởng đến việc lựa chọn đi lại bằng bất kì 1 trong 3 tuyến đường biển và ngược lại. Do vậy, số cách đi du lịch từ thành phố X đến thành phố Y bằng đường bộ và đường biển là: 3.4 = 12. Quy tắc nhân dạng tỗng quát: Giả sử đế hoàn thành một nhiệm vụ H cần thực hiện к công việc nhỏ là Н], H2, ... , Hk trong đó: Hi có thế làm bằng П] cách. H2 có thể làm bằng n2cách, sau khi hoàn thành Н]. Hk có thể thực hiện bằng nk cách, sau khi hoàn thành công việc Hk_i. Khi đó để thực hiện công việc H sẽ có п].п2...пк cách. 7.7.2.2. Ví dụ Vỉ dụ 1: Có nhiều nhất bao nhiêu biển đăng ký xe ô tô nếu mỗi biển chứa một dãy ba chữ cái tiếp sau là ba chữ số (không bỏ dãy chữ nào ngay cả khi nó có ý nghĩa không đẹp). Giải: Ta nhận thấy: 7 ■ Có tất cả 26 cách chọn mỗi một trong ba chữ cái. ■ Có 10 cách chọn cho mỗi chữ số. Vì thế theo quy tắc nhân, nhiều nhất có: 26.26.26.10.10.10= 17 576 000 biển đăng ký xe. Vỉ dụ 2: Có bao nhiêu số gồm ba chữ số khác nhau có thể lập từ các chữ số 0, 2, 4, 6, 8. Giải: Số cần lập có dạng ct\d2a 3 . Ta có 4 cách chọn ab vì ai Ф 0. ứng với mỗi cách chọn ai có 4 cách chọn a2. ứng với mỗi cách chọn ab a2 có 3 cách chọn a3. Theo quy tắc nhân ta có 4.4.3 = 48 số cần lập. Ví dụ 3: 1. Cho ba tập hợp chữ cái A={a,b} В = { c, d, e, f } с = {g } Neu chọn một chữ cái bất kì từ bộ ba tập hợp thì số cách chọn là: 2 + 4 + 1 =1 (А, В và С là các tập họp loại trừ lẫn nhau, vì không có yếu tố chung). Neu một chữ cái được chọn từ một tập họp của ba tập hợp thì số lựa chọn của ba chữ cái khác nhau là: 2 . 4 .1 = 8 (А, В và С là những tập họp độc lập vì khi lựa chọn bất kì một yếu tố nào trong một tập hợp không gây ra bất kì sự hạn chế về một yếu tố bất k ì tr o n g tậ p h ọ p k h á c ). 2. Cho ba tập họp chữ cái: А = {a,b} В = { b, d, e, f } c={g} Neu chọn một chữ cái bất kì từ ba tập hợp thì số các lựa chọn ba chữ cái khác nhau không là: 2 + 4 + 1= 7 Neu chọn một chữ cái từ một tập họp trong ba tập họp thì số các lựa chọn khác nhau không là: 2 .4 . 1= 8. (A, В và С không là các tập hợp độc lập vì lựa chọn b từ tập hợp A sẽ hạn chế sự lựa chọn b từ tập hợp в ). 1.2. Hoán vị Vỉ dụ: Cho 5 đối tượng phân biệt được dán nhãn a, b, c, d, e và 5 ô trống như hình vẽ dưới đây: Chúng ta có thế sắp xếp 5 đối tượng khác nhau vào 5 ô trống bằng một số cách như sau: а b с d e а b с e d e d с b а Mỗi cách sắp xếp có thứ tự 5 đối tượng khác nhau được gọi là một hoán vị của 5 đối tượng khác nhau. Đe tìm số hoán vị của 5 đối tượng khác nhau, chúng ta xem xét nhiệm vụ sắp xếp như một hoạt động 5 bước, như sau: Ô trống đầu tiên, có thể được lấp đầy bởi bất kì 1 trong 5 đối tượng nên có 5 cách. Ô trống thứ hai, có thể được lấp đầy bởi bất kì 1 trong 4 đối tượng nên có 4 cách. Ô trống thứ ba, có thể được lấp đầy bởi bất kì 1 trong 3 đối tượng nên có 3 cách. Ô trống thứ tư, có thể được lấp đầy bởi 1 trong 2 đối tượng nên có 2 cách. Ô trống cuối cùng, có thế được lấp đầy bởi đối tượng còn lại nên có 1 cách. 9 5 4 3 2 1 Mỗi hoạt động của 5 hoạt động độc lập với nhau. Vì thế, theo nguyên tắc nhân số hoán vị là: 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5 ! Định nghĩa hoán vị: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n > 1). Mỗi cách sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là hoán vị của n phần tử đó. Kí hiệu: pn Công thức tính: pn là số hoán vị của n phần tử đó. VneN, n >1 Pn = n\ = 1 . 2 . . . — Chứng minh: Ta chứng minh công thức này dựa trên nguyên lý nhân. Xét công việc xây dựng một hoán vị của n vật ban đầu. Công việc này được chia thành các bước sau: Bước 1\ Chọn vật đứng đầu có n cách chọn (n vật đều có thể đúng đầu). Bước 2\ Chọn vật đứng thứ hai có n-1 cách chọn (do đã chọn vật đúng đầu nên bây giờ ta chỉ còn n - 1 vật ). Bước n: Chọn vật còn lại cuối cùng chỉ có một cách duy nhất. Như vậy, theo nguyên lý nhân, số cách xây dựng hoán vị cũng chính là số các hoán vị của n vật ban đầu là: n.(n-l).. .2.1 = n!. Chú v: (1) n! = n(n-l)(n-2)(n-3)...(3)(2)(l) (2) n! = n(n-l)! (3) Với n=l: 1 ! = 1(1-1)! = 0! = 1 10 Vỉ dụ 1: Cho 7 đối tượng phân biệt được dán nhãn a, b, c, d, e, f, g và 3 ô trống như sau: Chúng ta có thể sắp xếp 7 đối tượng khác nhau, lấy 3 đối tượng tại cùng một thời điểm vào trong 3 ô trống bởi một số cách như sau: a b c a e g e a g Đe tìm số hoán vị của 7 đối tượng khác nhau lấy 3 đối tượng tại một thời điểm. Chúng ta xem xét nhiệm vụ sắp xếp như một hoạt động 3 bước như sau: o đầu tiên có thế được lấp đầy bởi 1 trong 7 đối tượng nên có 7 cách. Ô thứ hai có thể được lấp đầy bởi 1 trong 6 đối tượng còn lại nên có 6 cách. Ô thứ cuối cùng có thể được lấp đầy bởi 5 đối tượng còn lại nên có 5 cách. Vỉ dụ 2: Có bao nhiêu hoán vị n phần tử, trong đó có 2 phần tử đã cho không đứng cạnh nhau. Giải: Neu a đứng ở vị trí thứ nhất thì b đứng ở vị trí thứ hai. Do vậy, a đứng ở vị trí thứ n - 1 thì b đứng ở vị trí thứ n và chúng có thể đổi vị trí cho nhau. Với mỗi cách đó có (n - 2 )! cách hoán vị các phần tử khác 11 nhau. Do đó số hoán vị a, b đứng cạnh nhau là: 2 .(n - 1 ). ( n - 2 ) ! =2. ( n - 1 )!. Vậy số hoán vị 2 phần tử đã cho không đứng cạnh nhau là: n! - 2. (n - 1)! = (n - l)L(n - 2 ) Kí hiệu: Số hoán vị của n phần tử khác nhau lấy r phần tử, kí hiệu là npr 7 7.6.5.(4.3.2.1) Рз = 7 - 6 ' 5 = ( 4 . 3 . 2 . 1) = 1Л ĩị np5 = n(n-l)(n-2)(n-3)(n-4) = n(n-l)(n-2Xn-3)(n-4)r(n-5)(n-6ì ... Ш 2 )(Щ [(n-5)(n-6) ... (3)(2)(1)] n! (n-5)! npr = n(n-l)(n-2)(n-3)... (n-r+1) п(п-1Уп-2Уп-3) ... (n-r+lXn-rìín-r-lĩl [(n-r)(n-r-l) ... (3)(2)(1)] n! ( n- r ) ! 12 Định lý: Số hoán vị của n phần tử khác nhau lấy r phần tử tại một thời điểm hoặc số hoán vị của r phần tử lấy từ n phần tử khác nhau. Khi đó, 0 1). Mỗi tập con gồm r phần tử của A được gọi là một tố hợp chập r của n phần tủ’ đã cho. Ví dự. Cho 4 đối tượng khác nhau được dán nhãn a, b, c, d. Ta có thể chọn từ 4 đối tượng khác nhau lấy 3 đối tượng cùng một thời điểm bởi một số cách như sau: { a, b, c } hoặc { a, c, d } Mỗi lựa chọn 3 đối tượng từ 4 đối tượng khác nhau được gọi là một tổ hợp của 4 đối tượng lấy ra 3 đối tượng tại một thời điểm. 4P3 = 24 hoán vị của việc chọn 3 trong 4 đối tượng khác nhau tại củng một thời điểm thể hiện bởi bảng sau:__________________________ Hoán vị Tô họp abc acb bac bca cab cba { a, b, c Ị abd adb bad bda dab dba { a, b, dỊ acd adc cad cda dac dca { a, c, d } bcd bdc cbd cdb dbc dcb { b, c, d } 13 24 lần hoán vị được tạo thành từ 4 nhóm không giống nhau: Mỗi nhóm gồm 3 ! = 6 hoán vị khác nhau với 3 đối tượng giống nhau được xem như một tổ họp từ 3 đối tượng không quan tâm đến thứ tự. 4P3 — —= 4 Vậy tô họp chập 3 của 4 là: ............... , , „ , . Chú ý: Sô tô họp chập r của n phân tử được kí hiệu bởi Co „c 5 „ Cr ( n 'Ị hoặc \ r Ị . _ 4P3 _ 4 .3 .2 3! 3! "P5 и (и -1 )(и -2 Х я -3 )(и -4 ) 5! 5! n\ 5 !(« -5 )! _ ”Pr _ n ( n - ì ) ( n - 2 ) . . . ( n - r - ì ) _ nl r\ r\ r \(n -r )\ Định lý: Tổ hợp chập r của n phần tử là một cách chọn không phân biệt thứ tự r phần tử lấy từ tập n phần tử đã cho (mỗi phần tử không được lấy lặp lại), với 0 Theo quy tăc nhân, có 30 ^ 10 40/^1 cách chọn. 30 X-'I C10. <^10 cách chọn 20 sinh viên theo yêu cầu. Vỉ dụ 2: Có 3 ghế trong một hàng. Hỏi có bao nhiêu cách để 5 cậu bé chiếm được chúng? Giải: Số cách bằng: 5P3 = 60 Vỉ dụ 3: Có bao nhiêu cách có thế sắp xếp 10 người trong một hàng 1. 7 người được chọn một lần. 15