Tài liệu Khoá luận tốt nghiệp toán Xây dựng hàm giải tích với tập không điểm là tập không có điểm tụ cho trước

B ộ G IÁ O D Ụ C V À Đ À O T Ạ O TRƯ ỜNG ĐẠI HỌC s ư PH ẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN X Â Y D ự N G H À M G IẢ I T ÍC H V Ớ I T Ậ P K H Ô N G Đ IE M LÀ T Ậ P K H Ô N G CÓ Đ IỂ M T Ụ C H O T R Ư Ớ C N gười hướng d ẫn : T hS . N guyễn Q uốc T uấn Cơ quan công tác : Khoa Toán,Trường ĐHSPHN 2 H ọ v à t ê n s in h v iên : V ũ T h ị Y ến Lớp : K 37c X u â n H ò a - N g à y 14 t h á n g 5 n ă m 2015 LỜI C Ả M Ơ N Tôi xin bày tỏ lòng biết ƠI1 sâu sắc tới thầy giáo T h S . N g u y ễ n Q u ố c T u ấ n Người thầy đã t.ận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi để tôi lioàn thành bài khóa luận của mình. Đồng thời tôi xin cliâĩi thành cảm ƠĨ1 các thầy cô trong t.ố Giải t.ích và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành tố t bài khóa luận này. Trong khuôn khổ có hạn của một bài khóa luận, do điều kiện thời gian, do trình độ có hạn và cũng là lần đầu ticn nghicn cứu khoa học cho ncn không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định. Vì vậ3', tôi kính mong nhận đưực những góp ý của các thầy cô và các bạn. T ôi x in c h â n t h à n h c ả m ơ n ! Hà Nội, Ngày l ị tháng 5 năm 2015 Sinh viên VŨ TH Ị YẾN LỜI C A M Đ O A N Khóa luận này là kết quả nghicn cứu của bản thân tôi dưới sự hướng dẫn tận tình của T h S . N g u y ễ n Q u ố c T u ấ n . Trong khi nghiên cứu hoàn thành dề tài nghiên cứu Iiày tôi đã tham khảo mọt số tài liệu đã ghi trong pliần tài liệu tham khảo. Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài “Xây dựng hàm giải tích với tập không điểm là tập không có điểm tụ cho trước” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác. Hà Nội, Ngày l ị tháng 5 năm 2015 Sinh vicn V ũ T h ị Y ến M ục lục M ở đ ầ u ................................................................................................................................... 1 C h ư ơ n g 1. K iế n th ứ c c h u ẩ n b ị ................................................................................. 3 1.1. Số phức và dãy số p h ứ c ......................................................................................... 3 1.1.1. s ố p h ứ c ............................................................................................................................................................................ 3 1.1.2. D ãy và chuỗi số p h ứ c ................................................................................................................................................. 5 1.2. Tôpô trcn m ặt phẳng p h ứ c .................................................................................... 6 1.2.1. C ác k h á i niệm cơ b ả n ................................................................................................................................................. G 1.2.2. T ậ p bị c h ặ n và tậ p c o m p a c t.................................................................................................................................... 8 1.2.3. G iả k h o ả n g cách g iữ a h ai tậ p h ợ p ....................................................................................................................... 8 1.2.4. D ư ờ n g và m iền tro n g m ặ t p h ẳ n g p h ứ c ............................................................................................................... 9 1.3. Hàm số biến số p h ứ c ............................................................................................. 11 1.3.1. Ilà m b iến p h ứ c ........................................................................................................................................................... 11 1.3.2. C h u ỗ i h à m ................................................................................................................................................................... 13 1.4. Hàm giải t íc h .......................................................................................................... 1.4.1. K h á i niệm h àm giải t í c h ........................................................................................................................................ 17 17 C h ư ơ n g 2 . X â y d ự n g h à m giải tíc h với t ậ p k h ô n g đ iể m là t ậ p k h ô n g có đ iể m t ụ cho t r ư ớ c ........................................................................................................... 2.1. Điểm bất, thường, không điểm của hàm giải tách........................................... 20 20 2.1.1. D iểm b ấ t th ư ờ n g c ủ a h àm g iải t í c h ................................................................................................................. 20 2.1.2. K h ô n g diểrn c ủ a h àm giải t í c h ............................................................................................................................ 21 2.1.3. H àm nguy ô n và h à m p h â n h ì n h .......................................................................................................................... 21 2.2. Tích vô hạn ............................................................................................................ 3 23 2.3. Xây dựng hàm giải tích với tập không điểm là tập không có điểm t.ụ cho trước 26 2.4. Định lý M ittag - L effler....................................................................................... 28 T ài liệu th a m k h ả o ......................................................................................................... 31 M Ở ĐẦU Vào thế kỉ XVI, số pliức được pliát. minh dựa trên việc giải các phương trình đại số. Người đầu tiên đưa ra định nghĩa về số phức là nhà toán học người Italia, R. Bombelli (1526 -1573), ông viết nó trong các công trình đại số của ông năm 1572 tại Bologne, lúc đó số phức được gọi là số "không thể có" hoặc "số ảo". Nó được công bố ít, lâu trước khi ông m ất. Trong khi nghiên cứu phương trình bậc ba, ông đã định nghĩa các số phức và đưa ra căn bậc hai của —1. Năm 1746, nhà toán học người Pháp, J. D ’Alembert. (1717 - 1783) đã xác định được dạng tổng quát của số phức "a + bi", đồng thời chấp nhận nguyên lý tồn tại n nghiệm của một phương trình bậc 77. Sau đó, nhà toán học người Thụy Sĩ, L. Euler (1707 - 1783) đã đưa ra ký hiệu "i" để chỉ căn bậc liai của —1. Cho đến năm 1801, nhà toán hục người Đức, Johann C. F. Gauss (1777 - 1855) đã dùng lại ký hiệu này và từ đó kí hiệu V ' được sử dụng phổ bien cho đốn nay. số pliức đóng vai trò cực kì quan trọng trong việc giải quyết các bài toán mà với phương pháp trên tập số thực thông thường tỏ ra không hiệu quả. Như vậy, số phức dần dần có mặt, trong đại số, lượng giác, hình học và giải tích. Người đầu t.iên nghiên cứu về số không điểm của hàm nguyên hình là nhà t.oán học người Đức, K. W eierstrass (1815 - 1897). v ấ n dề đó được ông nghiên cứu trong luận án "Zur Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen" tại Royal Academy of Sciences, năm 1876. Mở 1’ộng hơn, M ittag-Leffler nghiên cứu bài toán về số không điểm của hàm phân hình. Từ năm 1876 đến năm 1877, Ông đã trao đổi với W eierstrass về vấn đề trên qua thư. Cuối cùng, Mitt.ag-Leffler đã lioàn thành bài toán trên và đăng trong bài báo "Om den analytiska fram ställningen af eil funktion af rat.ionel karakter med en godtyđđigt. vald grânspunkt." xuất bản năm 1877. Năm 1882, G. Mittag-Lcfflcr xuất bản bài báo "Fullstälidig analytisk frarnställning af hvarje entyđig rnonogen funktion, hvars singulära Ställen utgöra eil värdemängd af första slaget". Trong bài báo đó, Ong đã nghiên cứu đầy đủ về vấn đề không điểm của hàm phân hình, từ đó chúng ta có thể xây dựng được hàm phân hình với tập không điểm là tập không có điểm tụ cho trước. Bằng sự ham học hỏi, tìm tòi của một sinh vicn Sư phạm chuycn ngành Toán và trong khuôn khổ của ruột, bài khóa luận tố t nghiệp, đồng thòi nhận được sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy Nguyễn Quốc Tuấn tôi dã chọn đề tài 1 "X ây d ự n g h à m g iải tíc h với t ậ p k h ô n g đ iể m là t ậ p k h ô n g có đ iể m t ụ ch o trư ớ c " đổ hoàn thành khóa học của mình. Hy vọng đề tài này sẽ đcm lại nhiều kiến thức bổ ích cho bản tliân và nhiều thú vị cho độc giả. Cấu trúc của đề tài được bố cục thành hai chương: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Chương 2. Xây dựng hàrri giải t.ích với tập không điểm là tập không có điểm tụ cho trước. Chương 1 giới thiệu về hàm giải tích và các tính chất, cơ bản của hàm giải tích. Bao gồm: Giới thiệu về số phức, dăy số phức, tôpô trên m ặt phẳng phức và các tính chất của chúng; giới thiệu về hàm số biến số phức, nghicn cứu về chuỗi hàm, các điều kiện để một chuỗi hàm hội tụ, hội tụ đều hay hội tụ tuyệt đối; giới thiệu về địnli nghĩa hàm giải tích và một số t.íĩih chất dáng nhớ của hàm này. Chương 2 giới thiệu về vấn đề được lựa chọn nghicn cứu sâu về hàm giải tích: “Hàm giải t.ích với tập không điểm”. Bao gồm : Các khái niệm điểm bất thường của hàm giải tích, không điểm của hàm giải tích, hàm nguyên và hàm phân hình; tích vô hạn của hàm giải tách. Xây dựng hàm giải tách với tập không điểm là t,ập không có điểm tụ cho trước thông qua các định lỷ phân tích W eierstrass, định lý Mittag-Leffler. Tuy đã có nhiều cố gắng, song do hạn chế về thời gian và năng lực bản thân ncn đề cương không trán h kliỏi những sai sót, rất mong được sự quan tâm , góp ý của thầy cô và các bạn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, Ngày 1 4 tháng 5 năm 2015 2 Chương 1 K iến thức chuẩn bị 1.1. Số phức và dãy số phức 1 .1 .1 . Số p h ứ c Ta biết rằng trường số thực M. nliận được bằng cách làm "đầy" trường hữu tỷ Q. Việc làm đầy xuất phát từ sự nghiên cứu các phương trình đại số với hệ số hữu tỷ và giới hạn của dãy các số hữu tỷ. Tuy nhicn trường R vẫn không đầy đủ, bởi vì ngay cả phương trình đơn giản X2 + 1 = 0 ( 1.1) cũng không có nghiệm trong M. Còn trong giải tích nếu chỉ giới hạn trong M người ta không thể giải thích được vì sao hàm /( * ) = 7~T” 1 + x2 z không thể khai triển được thành chuỗi lũy thừ a trên toàn bộ đường thẳng. Với lý do trên, ta phải đi tìm kiếm trường cho tối thiểu phương trình nếu các phép toán trên X2 c nào đó chứa R như một. t.rường CO Ĩ1 sao + 1 = 0 có nghiệm, ơ đây, ta nói R là trường con của c K được cảm sinh bởi các phép toán trên c. Ta có R c c liên c chứa tấ t cả các phần tử có dạng a + bi] a,b EM. Hay xét tập c các cặp số thực 2 = (a,b), c = {(a,b) : a,b G K}. Sau đó đưa vào quan hệ bằng nhau và các phép toán sao cho với chúng c trở thành một trường chứa R như một trường con (qua phcp đồng nhất nào đó). Các phcp toán này được dẫn dắt từ các phép toán của trường R với chú ý i2 — —ì. Ta có: 3 i. Quan hộ bằng nhau (a, b) — (c, d) a = c và ỉ) — d. ii. Phcp cộng (a, b) + (c, d) = (a + c, b + (1). iii. Phép nhân (a, b ) . (c, d) Đ ịn h n g h ĩa 1.1. Tộ,p hợp c = (ac —bd, ad + b c ) . với quan hệ bằng nhau, phép cộng vò, nhân xác định như trên lập thành m ột trường gọi là trường các số phức, còn mọi phần tử của là số phức. Số ỉ Gc gọi là đơn vị ảo của c được gọi c. Bỏi vì (a, b) = (a, ü) + (ü, b) = a + b (Ü, 1) = a + bi nên mọi số phức z £ c ta viết duy Iihất dưới dạng z = a + bi, a, b £ R, được gọi là dạng đại số của số phức 2, các số thực a, b lần lượt được gọi là phần thực và phần ảo của 2, kí hiệu a = Rcz,b = Imz. Khi đó, z — a — ib G c được gụi là số phức liên hợp của số phức z. Với mỗi số z = X + iy € c ta đặt \z\ — y jX2 + ỊJ2 — \J z.z và gọi là môdiưi của 2. Dặt r = |z|, - = COS - = siní^o, 0 < ífo < 2 ĩ ĩ . số thực ipo thỏa m ãn dạng lượng giác (1.2) sau đây dược gọi là argum ent chính của 2, kí hiệu là argz. z = \z\ (cosipo + ỉ sin (f0), 0 < ự>0 < 2tĩ. ( 1. 2 ) Rõ rang đối với mọi argument, ip của z tồn tại số nguyên k sao cho ip = arg z + 2kiĩ. Tập hợp A rg z — {argz + 2kn : k — 0; ±1; ± 2; . . . }được gọi là argument, của 2. Với khái niệm môđun và argum ent của số phức 2 Ỷ 0, khi đó, số phức z viết dưới dạng (1.3) sau được gụi là dạng lượng giác của z. z = \z \ (cos

■ 0 khi n —У 00. Điều này có nghĩa là Ve > 0, 3ne, Vn > n £ : \zn — z\ < £. Do Zn = x n + iynì z = x + iy , nên zn —> z khi và chỉ khi x n —> X và yn —>• y. Như vậy, tất. cả những gì đã biết về sự hội tụ trong M. có thể chuyển tương ứng sang c . Chẳng hạn, ta có: ỉ. Nếu zn —y z thì \zn \ —> \z\ . ỉỉ. Nếu zn —> 2, 0Jn —> ÙJ, thì: —У ZU)] z / , s — (co 0). ỈU. Dãy {zn} hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy, tức là Ve > 0, 3ne, Vn, m > n e : Izn — zin\ < £. iv. Mọi dãy {zn} bị chặn trong с (nghĩa là: Slip \zn \ < oo) có một dãy con hội t,ụ. n>l V. Dãy { z n} —>• 2 khi và chỉ khi R,ezn —>• R e 2 và 1гпг„ —> Im 2. 5 Đ ịn h n g h ĩa 1.2. Cho dãy số phức { u,n} € с . Biểu thức hình thức oo ỉlị + Щ + • • • + un + • • • = 'y ^ un n= 1 (1-7) được gọi lò, chuỗi số phức với số hạng tong quát ì,à un. Đặt: s1= Ui, S ‘2 — и 1 + и,2, >Sn — U1 + lt‘2 + • • • + un, s Khi đó, S n dược gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi (1.7). Nếu tồn tại lim S n — Ỷ 00 X—ỳOO thì chuỗi (1.7) được gọi là chuỗi hội tụ và s được gọi là tổng của nó. Khi đó, ta viết oo s ^ ^un. n= 1 Chuỗi không hội tụ được gọi là chuỗi phân kỳ. Đ ịn h lý 1.1. Giả sử chuỗi (1.7) hội tụ tuyệt đối. Khi đó: i. Chuỗi (1.7) là hội tụ; oo ii. Nếu õ : N —Ï N là một song ánh thì chuỗi ^ Щ{п) hội tụ và n= 1 oo oo ^ ^ LLn. n=1 ^ ^ ^ổ(n) Tỉ=l 1.2. T ôpô trên m ặt p h an g phức 1 .2 .1 . C á c k h á i n iệ m cơ b ả n Vì mặt. phẳng phức С có thể đồng nhất, với R 2 qua ánh xạ 2 I—у (Re 2, Im 2) liên tôpô của mặt. phẳng phức с chính là tôpô của R 2. Vì vậy, ở đây ta chỉ nhắc lại và nói thêm một. số điều cần thiết dưới ngôn ngữ số phức. 6 Trước hết lân cận của một điểm a G с là tập bất kỳ bao hàm hình tròn D (a ,r) tâm a, bán kính r > 0. D (a, r) = {z e С : \z - a\ < r} . Đặc biệt D (a ,r) là một lân cận của a và được gụi là r lân cận. Rõ 1’àng: i. Nếu u là lân cận của a G с thì mọi tập hợp bao hàm и là lân cận của a. ii. Giao hữu hạn và hợp của một họ bất kỳ các lân cận của a là lân cận của a. iii. Nếu u là lân cận của а thì tồn tại lân cận V của а sao cho V là lân cận của mọi z e v vầV Cư. Tập G ' c C gụi là mở nếu G là lân cận của mọi điểm của nó. Hiển nhiên 0 và с là c á c tậ p II1Ở, h ợ p c ủ a m ộ t h ọ b ấ t k ỳ v à g ia o c ủ a m ột. h ọ h ữ u h ạ n c á c t ậ p II1Ở là t ậ p n iở . Từ định nghĩa suy ra hình tròn D(tt, /■) là tập mỏ với mọi a G с và mọi r > 0. Tập F С С được gụi là đóng nếu phàn bù của nó = с \ F là mở. Từ tính chất của các tập mở suy ra ngay tập hợp của một số hữu hạn và giao của họ bất kỳ các tập đóng là tập đóng. Cho X С С, khi đó ta có một số khái niệm sau: i. Điểm z° G X gọi là điổm trong của X neu X là lân cận của Zq. Nói cách khác, tồn tại £ > Ü, để D (zũ,e) с X . Tập tấ t cả các điểm trong của X được gụi là phần trong 0 của X và kí hiệu là int. X hay X . ii. Điểm Zq gọi là điểm tụ của X nếu mọi lân cận и của Zq chứa ít, nhất một điểm của X khác Z(J. Tập tấ t cả các điểm tụ của X gụi là tập dẫn xuất (thứ 1) của X v ầ ký hiệu là X ' . iii. Điểm Zq gọi là điểm cô lập của X nến tồn tại một lân cận ư của z0 chứa duy nhất điểm zq thuộc X . iv. Điểm z0 hoặc là điổm tụ hoặc là điểm cô lập của X được gọi chung là điổm dính của X . Đặt. X — tập các điểm dính của X . Rõ ràng X là tập đóng khi và chỉ khi X — X và X là tập đóng nhỏ nhất, chứa X . Vì vậy X được gọi là bao đóng của X . V. Tập X là tập đóng nếu mọi dãy trong X hội tụ thì giới hạn của nó thuộc X . vi. Điểm z° gụi là điểm biên của X nếu и п X Ф 0 và и п (C \X ) Ф 0 với mọi lân cận ư của z°. Tập lấl cả các điổin bien của X kí liiộu là ÕX. Hiổn iihiOii дХ = Х \ Х . 7 1.2.2. T ậ p bị c h ặ n và t ậ p c o m p a c t Tập X С с gọi là bị chặn neu tồn tại R > Ü sao cho \z\ < R ,V z G X . Tập X được gọi là cornpact nếu mọi dãy trong X có chứa ruột dãy con hội tụ tới một điểm thuộc X . Dễ dàng kiểm tra lại các khẳng định sau: i. Giao của một họ b ất kỳ và hợp của một họ hữu hạn các tập compact là compact. ii. Tập compact là tập đóng và bị cliặn. iii. Mọi tập con dóng của một. tập compact, là compact. Định lý 1.2 sau là hệ quă trực tiếp của việc đồng nhất, с với R 2 và từ hệ thức \z\2 = |R e z |2 + |I n iz |2 với z e c . Đ ịn h lý 1.2. Giả sử X i D x 2 D ■■■ D x n D ■■■ là m ột dãy giảm các tập compact, khác rỗng của c . Khỉ đó, oo П Xn Ф 0 . n=l Đ ịn h lý 1.3. Giả sử X là tập compact trong c . Khi đó, đối với mọi r > 0, tồn tại m ột số hữu hạn các hình tròn tâm thuộc X bán kính r phủ X . Đ ịn h lý 1.4 (Heine-Borel). Giả sử X ỉà tập con của c . Các điều kiện sau ỉà tương đương: г. X là compact; гг. Mọi phủ 'mở của X chứa m ột phủ con hữu hạn; ỉỉỉ. X đóng và, bị chặn; ơ dây, ta nhớ lại rằng một phủ IIIở của X là một họ các tập II1Ở {G ị}i&ĩ t.rong с sao cho X С u Gị. Ta nói phủ mở {Gị] £l chứa một phủ con hữu hạn nếu tồn tại iGl il, i‘2 , ■.. , i n sao cho X с Gị! и • • • и Gịn. 1.2.3. G iả k h o ả n g c á ch g iữ a h a i t ậ p h ợ p Giả sử A và В là các tập con của с . Ta gọi số d (Л, В ) := inf {\a — b\ : a e A ,b e B } 8 là giả khoảng cách giữa A và B. Viết, d(a, B) khi A = a. Rõ ràng rằng: i. d { A ,B ) = d {B ,A ). ii. Nếu A n D — 0 thì (Z(Ấ, D) — 0. Tuy nhiên điều ngược lạinói chung không đúng. Đ ịn h lý 1.5. Giả sử A và B lò, CẢC tẬp đóng khác rỗngtrong c và m ột trong chúng là compact. Khi đó: i. Tồn tại a G A ,b G B để d (A , B) = \a — b \. ii. Nếu A n B — 0 thì d (A , B ) > 0. 1.2.4. Đ ư ờ n g v à m iề n tr o n g m ặ t p h a n g p h ứ c . Giả sử íf (t ) và ĩỊj (t ) là các hàm giá trị thực liên tục trên đoạn [a,b] (a< b). Khi đó, phương trình z = z (t,) = (f (t) + iìỊj (t) ,a < t < b cho biểu diễn tliam số của đường cong liên tục L = 2([a, b]) trong c . Đường cong được gụi là trơn nếu nó có biểu diễn tham số z (t.) = íp (t ) + i(p (t ) sao cho và ĩp là các hàm có đạo hàm licn tục với \ 0 tồn tại CÁC điểm, 20, Zi, . . . , zn G L sao cho với Zj+l G D (Zj, r ) . Một đường cong L có điổm đầu và điổm cuối trùng nhau được gọi là đường cong kín. Đường cong không có điểm tự cắt, tức là không tồn tại ti, t-2 G (a, b) để ip ( t i ) + # (t’l ) = < p {t’2 ) + # ih) v à i f ( t ỵ ) + iĩjj (íx ) Ỷ 9 («') + # («') được gọi là đường cong Jordan. Đường cong Jordan kín còn được gọi là chu tuyên. Tập ũ c c được gụi là m ột miền nếu nó thỏa m ãn hai điều kiện: 9 i. Q là tập mở. là liên thông, tức là với hai điểm tùy ý a, b G ii. điểm tồn tại đường cong L c Q có đ ầ u là a v à đ iể m c u ố i là b. Giả sử 7 là một. chu tuyến trong c . Địnli lý Jordan nói rằng m ặt phang 7 chia mặt. phẳng c thành hai miền. Một trong hai miền đó là bị chặn (không chứa oo) ký hiệu là íỉ7 hay và gọi là miền trong giới hạn bởi 7. Miền còn lại viết, là Q~ là miền ngoài giới hạn bỏi 7 . Hiển nhiên d ữ — 7 . Ta quy ước chiều dương của d ữ là chiều mà đi dọc t.heo dữ miền fì7+ luôn nằm VC bcn trái. Mũi ten trong hình 1.1 chỉ chiều dương của dQ. Khi có phân biệt đến chiều, ta viết. ỠQ+ là biên của Q với chiều dương CÒĨ1 d ũ ~ là biên của Q lấy theo chiều ngược lại. Miền Q được gọi là miền đơn liên nếu với mọi chu tuyến 7 c Q ta đều có fì7 c Q. Nếu tồn tại các chu tityến «ao cho các miền Q7l , Q72, . . . không bao hàm trong Q ta nói Q là miến đa licn. Ta nhận thấy rằng nếu bổ sung vào dQ các đường l ị ,l 2, . . . thì miền thu được sẽ là miền đơn liên. Hình 1.1: Hình 1.2: 10 1.3. H àm số b iến số phức 1.3.1. H à m b iế n p h ứ c Đ ịn h n g h ĩa 1.3. Giả sử íỉ с с là một tập tùy ý cho trước, m ột hàm biến ỹỉiức trên Q với giá trị phức ÌÀ m,ột ánh xạ f : Q c. Hàm, nhu vậy được ký hiệu là иJ = f (z) , z E LU. Đ ịn h n g h ĩa 1.4. Khi Q —>с là đơn ánh, hàm f ở (1.3) đuợc qọi là đơn diệp. Có thể xảy ra trường hợp f không đơn diệp trên Q nhưng có thể chia íỉ thành các tập con ũj lớn nhất trên đó f là đơn diệp. Khi đó, mỗi Qị được gọi là m iền đơn diệp của / . Bằng cách ta viết и — и + iv, u — Re cư, V — Im cư, hàm / có thể viết dưới dạng / (z) - и ( 2 ) + iv ( z ) . Hai hàm и và V được gụi là phần thực với phần ảo của / . u{z) = Re f ( z ) = ( R e /) { z ) . V (z) = Im / (z) = (Im / ) (z) . Bằng cách đồng nhất 2 với (х,у), X — R ez, y — I m z , hàm / có thể coi như hàm của hai biến t.hực X, у và vậy t.hi liai hàm и và V cũng được coi như thế. Bây giờ ta xót. tính lien tục và lien tục đều của hàm bien phức. Đ ịn h n g h ĩa 1.5. Cho hàm f xác định, trên tập tùy î / Q c C với giá trị trong с và z0 là điểm, tụ của Q xa vô tận.số phức a G с gọi là giới hạn của hữu hạn hay là điểm hàm, f ( z ) khi z dần đ ến Zq và v i ế t lim f (z) — a 2^20 nếu với mọi lân cận V của a tồn tại lân cận и của ZQ sao cho f (z) e V với m.ọi z e Ư n Q, z Ỷ Zo­ ll N h ậ n x é t 1.1. i. Khi z0 ỉầ hữu hạn, điều trcn có nghĩa là Ve > 0, 3Ố > 0,V z G 0 < \z = zq\ < ỗ thì \f(z) - a \ < £ . ii. Khi Zq = oo, thì phát biểu vừa пси nói rằng Ve > ü, 3 R > 0, V2 G Í2, \z\ > R \ f (z) - a \ < £ . iii. Điểm Xã vô tận a = oo G с gọi lã giới hạn củ ã f ( z ) khi z —>■z0nếu Vfí > Ü, tồn tại m ộ t lấn cận ư củ а z 0 São cho I/ (z)| > R, \/z G и П Q, z Ф z0. Đ ịn h n g h ĩa 1.6. Hàm f qọi là liên tục tại z0 nếu m ột trong hai điều kiện sau đuợc thỏa mẫn: i. cho и П Điếm zq là điếm cô ỉập của Q. Nói cách khác tòn tại lân cận của ZQ (trong ũ ) sao = {z0} • ỉỉ. Nếu Zq không là điểm cô lập của Q thì lim f (z) — f ( zq) . z-> z0 Dễ thấy ỉ trong định nghĩa 1.6 tương dương với mọt t.rong haiđiều kiện sau: ỉ'. Với mọi £ > 0, tồn tại một lân cận и của z0 sao cho \ f { z ) - f ( z 0)I < £ ,\/z e ư n Q . ỉi'. Nếu {zn} С D, zn ->■ z0 thì lim / (zn) = n —too f (z0) . Khi viết / (z) = и (2) + iv ( z ) , 2 G Q dễ dàng thấy rằng / liên tục tại Zq g 0 khi và chỉ khi и và V liên tục tại Z(j. Đ ịn h n g h ĩa 1.7. Hàm f đitợc gụi ỉà liên tục trên íỉ nếu nó lỉêĩi tục tại mọi z G ũ . Tương tự như đối với hàm biến thực, nếu / (z) và q (z) là các hàm liên tục tại ZQ G ũ thì: a f (z) + ß g ( z ) , / (z) g { z ) , (g ( zq) Ф 0) liên tục tại Zq € о với mọi a , ß € с . 12 Đ ịn h n g h ĩa 1.8. Hàm f được gọi lồ, hàm liên tục đều trên Q nếu Ve > 0, 3Ố > 0, Vzi, Z-2 Ф oo, Zi, Z-2 £ o , \zi — Z‘2 1 < ố, \ f ( z 2) - f ( z i ) \ < £. Rõ ràng nếu / liên tục đều trên Q thì nó là hàm liên tục trên Q. Đ ịn h lý 1.7. Nếu f liên tục trên tập com,pact, к с с thì f liên tục đều trên к . Đ ịn h lý 1 .8 . Nếu f lỉêĩi tục trên tập compact к с с thì hàm z —у I / (z ) I đạt cận trên đúng và cẬn dưới đúng trên K , tức lồ, tồn tại a,ỉ) G к để I/ (a)\ = sup I/ (z)\ vk I/ (6)1 = i n f l f ( z ) I. z€ĩ< Đ ịn h lý 1.9. Nếu / liên tục trên tập compact к с с , tili f (К ) с с là compact. 1.3.2. C h u ỗ i h à m Đ ịn h n g h ĩa 1.9. Cho dẫy hàm biến số phức / i , / 2, cùng xác định, trên tập tùy ý (1.8) с с . Dãy hàm, (1.8) được gọi lồ, hội tụ tại 2 E í! nếu dãy số phức { f n (2 )}00 hội tụ. Nếu dãy (1.8) hội tụ tại mọi z E Q, ta nói nó hội tụ trên n. Trong trường hợp giới hạn của dã}r là hữu hạn t.rên П, bằng cách đặt f (z) = lim f n (z) ,z e Q (1.9) n —ĩ 00 t,a nliận được hàm f : Q Đ ịn h n g h ĩa 1.10. c. Hàm f được xác định bởi công thức (1.9) gọi là hàm giới hạn của dãy ( 1.8) và viết f= Nói m ột cách cụ lim Л , n —>00 thể hơn hàm / là giới hạn của dãy hàm {f n} Vs > 0 ,3 z E Q, 3 N \ fn(z) - (e , z ) , Vn > N (£, z ) , f { z ) \ < s. 13 t.rênQ nếu Đ ịn h n g h ĩa 1.11. Cho dãy hàm {f n} trên tì- Nếu \/ e > ü, 3 N (e) sao cho \fn (z) - f {z)\ < £, Vn > N (e) và Vz e Q ta nói dãy hàm, {f n} hội tụ đều tới f trên Q. Rõ ràng mọi dã}r hội tụ đều là dãy hội tụ. Đ ịn h n g h ĩa 1.12. Cho dãy hàm, { f n} là m ột dãy hàm trên Q с c . Khi đó, “ biểu thức” hình thức oo /l + /2 + ••• + fn + ••• — In (1 .1 0 ) n —\ được qọi là chuỗi hàm trêĩi ũ . Nếu đặt đối với mỗi n > 1 n Sn {z) = ^ 2 fk {z), z e tì k= 1 t.a nhận được dãy hàm {.SVi} trên fỉ. Dãy hàm này được gọi là dãy các t.ong riêng của chuỗi hàm (1.10). Hơn nữa S n (z) gọi là tong riêng thứ 11. Đ ịn h n g h ĩa 1.13. Chuỗi hàm (1.10) gọi là hội tụ hay khả tong nếu dãy { Sn} hội tụ. Nếu dãy {-Sn} hội tụ đều thì chuỗi (1.10) gọi là hội tụ đều. Hàm f {z) = lim S n (z ) , 2 G Q n —>00 00 00 gọi là tổng của (1.10) và viết, f = fn hay f ( z ) = ỉn ( z ) , z G Q , giả sử chuỗi n= 1 n=l (1.8) hội tụ và / là tổng của nó. Với mọi n > 1, đặt 00 Rn (z) = f (z) - s n (z) = ^ 2 fk { z ) , z e íĩ. k=n+ 1 Khi đó, {fí„} là một dãy hàm t.rcn Q và gọi là dãy các phần dư của chuỗi (1.10). Hơn nữa R n gọi là phần dư thứ 11. Rõ ràng chuỗi (1.10) hội t.ụ liến và chỉ nếu dãy {R n} hội tụ tới không và chuỗi (1.10) hội tụ đều nếu và chỉ nếu dã}r {J?Tt} hội tụ đều tới không. Vì vậy: i. chuỗi (1.10) hội tụ nếu và chỉ nếu \/z G ũ ,V e > 0 , 3 N = N ( e ì z ) 14n > N : \Rn {z)\ < £. 14 ii. Chuỗi (1.10) hội tụ đều neu V£ > 0,3 N = JV(e),Vn > N,Vz G о : IRn {z) I < e. oo Đặt, \fn \ (z) — \fn (2) 1, khi đó, t.ừ chuỗi ( 1.10) có chuỗi các moduli \fn\n= 1 oo Đ ịn h n g h ĩa 1.14. Chuỗi, (1.10) được gọi lò, hội tụ tuyệt đối, nếu chuỗi \fn\ hội t'Vn= 1 Rõ ràng mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối là hội tụ. Theo tiêu chuẩn D ’alambert, hoặc Cauchy ta có thể tìm dược miền hội tụ tuyệt đối của chuỗi (1.10). T h ật vậy, xác định các giới hạn: i f (z) = lim \fn+1 ^ n^°° (nếu có), \fn {z)\ Ф (z) = lim sup ự \ f n (z)\. 7Ĩ —Уoo Khi đó, nếu (f (z) < 1 hoặc Ф (z) < 1 thì chuỗi (1.10) hội tụ tuyột đối tại z còn neu íp(z) > 1 hoặc Ф (z ) > 1 thì clmõi (1.10) phân kì tại Đ ịn h lý 1.10 (Tiêu clmẩn Cauclxy). Đe chuỗi (1.10) hội tụ đều trên Q điều kiện cần và đủ là Ve > Ü, 3N ( e ) , Vn > 7V,Vp > 1, Vz G ft, \fn+l (^) + ■• ■ + fn+p (^)l ^ n Đ ịn h lý 1.11 (Tiêu chuẩn W eierstrass). Nếu chuỗi số dương an hội tụ và, tồn tại n= 1 N sao cho l/n (^)l < a„, V2 G fì,V n > N thì ch-uỗi (1.10) hội tụ đều. Đ ịn h lý 1.12. Chuỗi (1.10) hội tụ đều và tp(z) là hàm, bị chặn trên Q thì chuỗi oo (z) fn (z) hội tụ đều . n= 1 Đ ịn h lý 1.13. Nếu chuỗi (1.10) hội tụ đều và các hàm fn liên tục trên Q thì tông f của nó củnq liên tục trên ũ . Đ ịn h lý 1.14. Giả sử chuỗi (1.10) hội tụ đều trên Q và z0 G ÕQ. Giả sử tồn tại các giới hạn hữu, hạn liin / (z) = z-> z0 ck, к — 1, 2, . . . z€íl 15