Tài liệu Khoá luận tốt nghiệp toán Ứng dụng thặng dư logarit để tìm số không điểm của hàm giải tích

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA t o á n TRƯƠNG THỊ TUYẾT HẠNH ỨNG DỤNG THẶNG Dư LOGARIT ĐỂ TÌM S ố KHÔNG ĐIỂM CỦA HÀM GIẢI TÍCH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Ngưòi hướng dẫn khoa học ThS. NGUYỄN QUỐC TUAN LÒI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ThS. Nguyễn Quốc Tuấn - Người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đố tôi để tôi hoàn thành bài khóa luận của mình. Thầy không chỉ dạy cho tôi kiến thức mà còn rèn cho tôi tính cẩn thận, tỉ mỉ và chính xác. Hơn nữa, tôi đã học được rất nhiều ứng dụng công nghệ thông tin vào Toán học từ thầy. Thầy đã dạy cho tôi biết rằng khi làm bất cứ việc gì đều phải dành hết tâm huyết thì mới hoàn thành tốt được công việc. Với những lời dạy quý giá đó, tôi sẽ luôn ghi nhớ và cố gắng thực hiện. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô trong tổ Giải tích và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành tốt bài khóa luận này. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên tôi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, Ngày 14 tháng 5 năm 2015 Sinh viên Trương Thị Tuyết Hạnh LÒI CAM ĐOAN Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân tôi dưới sự hướng dẫn tận tình của ThS. Nguyễn Quốc Tuấn. Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này tôi đã tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo. Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài “ứng dụng Thặng dư logarit đ ể tìm số không điểm của hàm giải tích” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác. Hà Nội, Ngày 14 tháng 5 năm 2015 Sinh viên Trương Thị Tuyết Hạnh Mục lục Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 1 . 1 . Hàm biên phức 1 . 1 . 1 . Đ ị n h n g h ĩ a h à m b iế n p h ứ c ........................................................................................................................ 7 1.1.2. T ín h liến tuc v à liên tuc đ ê u l . ................................................................................................................... 7 1.2 . Chuỗi hàm 1.3. Tích phân ]làm giải tích .......................... .......................... 8 11 1.3.1. K h á i n i ệ m h à m g iải tíchỊ................... ....................................................................................................... 11 1.3.2. Đ ị n h lý C a u c h y c h o m i ê n đ ơ n liên ....................................... 11 1.3.3. Đ ị n h lý C a u c h y c h o m i ê n đ a liên ............................................................................. 12 1.3.4. S ự tồ n tại c ủ a n g u y ê n h à m ..................................................................................................................... 13 1.4. Chuỗi Taylor .... 14 1.4.1. Đ ị n h lý T ay lo r .............. 14 1.4.2. Đ ị n h lý d u y n h ấ t .............. 15 1.5. Chuỗi Laurent .... 15 1.5.1. Đ ị n h lý L a u r e n t .............. 15 1.5.2. Đ i ể m b â t th ư ờ n g c ủ a h à m giải tích ............ 16 .... 18 ...... ...... 21 1.6 . Khái niệm thặng dư và các định lý cơ bản của thặng dư 1.6.1. Đ ị n h n g h ĩ a v à c á c h tín h 1.6.2. C á c đ ị n h lý cơ b ả n vê t h ặ n g dư 18 Chương 2. ứ n g dụng Thặng dư logarit để tìm số không điểm của hàm giai ’ ỉ tíchl...............................! . . . ............... . . .................. ........................ 22 22 2 . 1. Thặng dư logarit 2. 1. 1. K h ô n g đ iể m c ủ a h à m giải t í c h ............................................................................................................ 22 2. 1.2. C ự c đ iê m c ủ a h à m giải t í c h ................................................................................................................... 22 2.1.3. T h ặ n g d ư l o g a r i t ........................................................................................................................................... 23 2.2. Mối liên hệ của cực điểm, không điểm của hàm giải tích 2.3. Sô không điếm của tống hai hàm giải tích 2.4. Nguyên lý bảo toàn miên 2.5. Tính chât của dãy các hàm giải tích hội tụ đều trên tập compact 2 .6 . M ột sồ ví d ụ .......................................................................................... 3 25 25 26 27 28 MỞ ĐẦU Giải tích phức, hay còn gọi là lý thuyết hàm biến phức là một nhánh của toán học nghiên cứu các hệ hàm số một hay nhiều biến và các biến số đều là số phức (các ánh xạ giữa C" và ư n). Giải tích phức là một trong những ngành cổ điển của toán học, bắt nguồn từ khoảng thể kỷ 19 và thậm chí có thể là trước đó. M ột số nhà toán học nổi tiếng nghiên cứu lĩnh vực này như Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass và nhiều nhà toán học khác ở đầu thế kỷ 20. Khi đó, hàm phức được nghiên cứu là một hàm trong đó đối số và hàm số nhận giá trị phức. Chính xác hơn, hàm phức là hàm mà tập xác định Q. là tập con của mặt phẳng phức và tập giá trị cũng là tập con của mặt phẳng phức. Với một hàm phức tùy ý, cả đối số và hàm số có thể tách thành phần thực và phần ảo: z = x + iỵ va w = f ( z ) = u(z) + iv(z), trong đó x ,y e M và u(z), v(z) là các hàm thực. Nói cách khác, các thành phần của hàm f(z ): u = u( x, y) và V = v(*,;y) có thể hiểu như các hàm thực của hai biến thực Jt và y. Các khái niệm cơ bản của giải tích phức thường được nghiên cứu dựa trên mở rộng các hàm thực sơ cấp (ví dụ như: hàm mũ, hàm logarit và các hàm lượng giác) lên miền phức. Năm 1890, bài báo "Oeuvres Completes" của Cauchy được công bố, trong đó nghiên cứu tích phân hàm biến phức mà ta hay gọi là tích phân Cauchy. Công thức tích phân Cauchy cho hàm biến phức / mà có đạo hàm tại điểm Zo thì nó có đạo hàm mọi cấp tại điểm đó. Công thức tích phân Cauchy và các hệ quả của nó là những kết quả rất quan trọng và nhiều ứng dụng trong Lý thuyết hàm biến phức. Từ kết quả đó, người ta thấy rằng hàm / có thể khai triển được thành chuỗi lũy thừa có tâm tại điểm Zo- Trái lại, nếu hàm / không giải tích tại điểm Zo thì hàm / vẫn có thể khai triển được thành một chuỗi khác mà 4 ta gọi là chuỗi Laurent. Năm 1843, chuỗi Laurent lần đầu tiên được xuất bản bởi Pierre Alphonse Laurent và sau này chuỗi đó được đặt tên theo tên của ông. Cũng có thông tin Karl Weierstrass mới là người phát hiện ra chuỗi đó đầu tiên. Tuy nhiên, bài báo của ông được viết vào năm 1841 đã không được công bố cho đến khi ông qua đời. Khái niệm chuỗi Laurent sẽ dẫn đến khái niệm thặng dư. Ngược lại, với lý thuyết thặng dư chúng ta có thể thực hiện các tính toán trong các bài toán ứng dụng. Khái niệm về thặng dư logarit đã được nhiều người đưa ra vào nửa cuối thế kỉ 20 do nhu cầu phát triển việc thực hiện tính toán các bài toán ứng dụng. Khi nghiên cứu về ứng dụng trong giải tích toán học, thặng dư logarit cho ta một công cụ để tìm số cực điểm và không điểm của một hàm trên một miền nào đó. Vào thời gian này, các nhà khoa học đã tìm ra mối liên hệ của cực điểm và không điểm của hàm giải tích, đó chính là nguyên lý Argument (xem Ịl5lỊ). Đồng thời, các nhà khoa học cũng nghiên cứu được cách tìm số không điểm của tổng hai hàm giải tích (Định lý Rouché) (xem 0 ) . Năm 1962, định lý Rouché được chứng minh một cách rõ ràng bởi Estermann (xem 10). Đến năm 1982, Challener và Rubel cũng đã chứng minh được định lý ngược của định lý Rouché (xem [Hl)- Định Hurwitz được đặt tên theo tên nhà toán học A dolf Hurwitz đã đưa ra tính chất của dãy các hàm giải tích hội tụ đều trên tập compact. Như vậy, thặng dư logarit là một ứng dụng không những đóng vai trò quan trọng trong giải tích mà còn ngày càng phát triển rộng rãi trong Toán học. Với khóa luận này tôi nghiên cứu đề tài “ ứ n g dụng T h ặn g dư logarit đ ể tìm số không điểm của hàm giải tích” . Nội dung nghiên cứu của tôi tuy không phải là những kết quả mới được tìm thấy, nhưng với tinh thần hoc hỏi, tìm tòi kiến thức mới, hi vọng đề tài này sẽ đem lại nhiều kiến thức bổ ích cho bản thân và nhiều thú vị cho độc giả. Vì vậy, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo ThS.Nguyễn Quốc Tuấn và sau một thời gian nghiên cứu, tôi trình bày khóa luận với nội dung gồm hai chương: Chương 1 trình bày những kiến thức cơ bản của lý thuyết hàm giải tích một biến phức, đó là khái niệm và các tính chất của hàm giải tích, lý thuyết tích phân Cauchy, lý thuyết chuỗi và thặng dư. Chương 2 trình bày lý thuyết thặng dư logarit; mối liên hệ của cực điểm, không điểm của hàm giải tích; tìm số không điểm của hàm số trong một miền; nguyên lý bảo toàn miền và tính chất của dãy các hàm giải tích hội tụ đều trên tập compact. Đồng thời, từ lý thuyết Thặng dư logarit đã trình bày, áp dụng 5 tìm số không điểm của hàm giải tích. Tuy đã có nhiều cố gắng, song do hạn chế về thời gian và năng lực bản thân nên khóa luận không tránh khỏi những sai sót, rất mong được sự quan tâm, góp ý của thầy cô và các bạn. Tôi xin chân thành cảm ơn! 6 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi sử dụng các kí hiệu Q. là tập con của tập số phức c , d£l là biên của miền £1, Ỵ là chu tuyến trơn từng khúc nằm trong Q.. 1.1. Hàm biến phức 1.1.1. Định nghĩa hàm biến phức Đ ịnh nghĩa 1.1.1 (xem [QỊ]). Giả sử ũ. là một tập tùy ý cho trước, một ánh xạ / từ Q. vào c được gọi là một hàm biến phức. Kí hiệu /:£ 2 ^ C Z'-> (ữ = f ( z ) , trong đó Q. gọi là tập xác định, f ( z ) được gọi là tập giá trị. 1.1.2. Tính liên tục và liên tục đều Cho ù) = f ( z ) xác định trên tập tùy ý Q, z E n , zo là điểm tụ của £2. Ta nói hàm f ( z ) khi z dần đến zo có giới hạn lim f ( z ) = CI,CI e c , z— >-Zo nếu Ve > 0 ,3 5 = ỗ(e,zo) sao cho Vz G n v à o < \z —zo\ < ỏ thì \ f ( z ) - a \ < £. Nếu lim f ( z ) = f(zo) thì ta nói / liên tục tại ZQ. Nghĩa là, Z^Zo Ve > 0 ,3 5 = ổ(zo,z) > 0 sao cho 7 V z G Í l ,|z - z o | < ổ thì |/ ( z ) - / ( z o ) | <£■ Nếu Zo là điểm cô lập cuả Q thì quy ước / liên tục tại ZQ. Nếu hàm số / liên tục trên tập Q thì ta nói / liên tục tại mọi điểm thuộc Q. Ta nói hàm / liên tục đều trên tập £2, nếu Ve > 0,3Ỗ = ô( e) > 0 sao cho Vzi,z2 e ũ . m ầ \zỉ - z 2\ < ỏ thì \ f{ z2) - f { z ] ) \ < £. N hận xét 1.1.1. Nếu / liên tục đều trên Q. thì liên tục trên £1. Đ ịnh lý 1.1.1 (xem (О). Nếu / liên tục trên tập compact к с с thì / liên tục đều trên К . Đ inh lý 1.1.2 (xem Щ ). Nếu / liên tục trên tập compact к с с thì hàm z —>• \ f ( z) \ đạt cận trên đúng và cận dưới đúng trên K, tức là tồn tại a, b G к để |/ ( a ) | = s u p /(z ) và \f(b)\ = inf |/ ( z ) |. Z E K z e k Đ ịnh lý 1.1.3 (xem ß j ) . Nếu / liên tục trên tập compact к с с thì / (А") с с là compact. 1.2. Chuỗi hàm Đ ịnh nghĩa 1.2.1 (xem Щ ). Giả sử {fn}, z G £2 là một dãy hàm phức xác định trên Г2. Tổng vô hạn / i (z) + / 2 (2 ) H-----, kí hiệu là 00 £ /„ (z ), 11=1 (1.2.1) được gọi là chuỗi hàm trên £2. Nếu đặt đối với mỗi n > 1 s n{z) = ỵ , f k ( z ) , z e £1, k=\ ta nhận được dãy hàm {s/z} trên £2. Dãy hàm này được gọi là dãy các tổng riêng của chuỗi hàm ị \ .2.1Ị). Hơn nữa, s n(z) được gọi là tổng riêng thứ n. 8 Chuỗi hàm (Ịl.2.11) được gọi là hội tụ hay khả tổng nếu dãy { s n} hội tụ. Nếu dãy {Sn} hội tụ đều thì chuỗi d1.2.1 Ị) được gọi là hội tụ đều. Hàm f ( z ) = lim s n(z), z e £1 n— y°° được gọi là tổng của d1.2.1 Ị) và viết oo oo / = £ ỉn hay f ị z ) = £ fn(z), z e fí. n=\ n=\ Giả sử chuỗi (Ị1.2.1Ị) hội tụ và / là tổng của nó. Với mọi n > 1, đặt co Rn{z) = f { z ) - S n{ z ) = fk(z),ze£l. k=n+ 1 Khi đó, {/?n} là một dãy hàm trên ũ. và được gọi là dãy các phần dư của chuỗi (Ị1.2.1Ị), hơn nữa Rn được gọi là phần dư thứ n. Rõ ràng chuỗi (Ị1 -2.1Ị) hội tụ nếu và chỉ nếu dãy { Rn} hội tụ tới không, chuỗi (Ị1.2.1Ị) hội tụ đều nếu và chỉ nếu dãy { Rn} hội tụ đều tới không. Vì vậy: i. Chuỗi (Ị1.2.1D hội tụ nếu và chỉ nếu Vz G > 0 , 3 N = N ( e ìz ) ìy n > N : |/?n(z)| < e. ii. Chuỗi ị \ .2.1Ị) hội tụ đều nếu Ve > 0 , 3 N = N { e ) , \ / n > N , \ / z e £ l : |/?n(z)| < e. Cũng như đối với hàm biến thực ta có các tiêu chuẩn sau về sự hội tụ đều của chuỗi hàm. Đ ịnh lý 1.2.1 (Tiêu chuẩn Cauchy, xem 0 ) . Đ ể chuỗi (Ị1.2.1Ị) hội tụ đều trên ũ, điều kiện cần và đủ là Ve > 0 , 3 N ( e ) , 'in > N, V/7 > 1, Vz G n , \ fn+l{z) H----------f- fn + p(z) \ < £■ Đ ịnh lý 1.2.2 (Tiêu chuẩn Weierstrass, xem (Ó). Nếu chuỗi số dương £ an n= 1 hội tụ và tồn tại N sao cho \fn{z) \ < a n,\/z e thì chuối (Ị1.2.1D hội tụ đều. 9 > N Đ ỉnh lý 1.2.3 (xem ||3]j). Nếu chuỗi d1.2.1 Ị) hội tụ đều và ọ (z) là hàm bị chặn trên Q. thì chuỗi oo ỵ, ■oo (mâu thuẫn). oo, chuỗi £ \ n phân kỳ /1= 0 -j-o o Vậy chuỗi £ zn không hội tụ đều trong hình tròn đơn vị. /2 = 0 1.3. Tích phân hàm giải tích 1.3.1. Khái niệm hàm giải tích Đ ịnh nghĩa 1.3.1 (xem [O). Cho hàm (0 = f ( z ) xác định trên miền í ì , Zo e £1. Nếu tồn tại giới hạn ị. /(z ọ + Az) ~ / ( z 0) Az->0 Az thì ta nói hàm ù) = f ( z ) khả vi (hay có đạo hàm) tại Zo- Giới hạn đó được gọi là đạo hàm tại Zo, kí hiệu f ( z o ) hoặc (ởf (zo). Đ ịnh nghĩa 1.3.2 (xem [QỊ]). Cho hàm (ở = f ( z ) xác định trên miền £2, Zo e Nếu hàm số ú) = f ( z ) có đạo hàm tại z = Zo và tại mọi điểm trong lân cận của điểm ZQ thì f ( z ) giải tích tại Zo và ZQ là một điểm thường của f ( z ) . Đ ịnh nghĩa 1.3.3 (xem (Ù). Giả sử f ( z ) giải tích tại mỗi điểm thuộc miền Í2. Khi đó, hàm (ở = f ( z ) được gọi là giải tích trên miền Í2. 1.3.2. Định lý Cauchy cho miền đơn liên Đ ịnh lý 1.3.1 (Cauchy, xem Q ) . Nếu hàm Q, = f ( z ) giải tích trong miền đơn liên Q. thì với mọi Ỵ, ta có / f d z = 0. 7 Đ ỉnh lý 1.3.2 (xem [Ó). Giả sử Cl là miền đơn liên bị chặn, với biên do. là một chu tuyến trơn từng khúc. Khi đó, nếu f là hàm liên tục trên (] = í l u và giải tích trên Q. thì f f d z = 0. do. 11 Hình 1.1: Miền Q, biên d£ì, chu tuyến 7 1.3.3. Định lý Cauchy cho miền đa liên Bổ đề 1.3.1 (xem (Ó). Ta gọi Q là miền n - liên (hay đa liên bậc n) nếu biên của Q. gồm có chu tuyến ngoài 7 và các chu tuyến 7i, . . . , 7/1 -1 đôi một không giao nhau nằm trong Í2y. Như vậy n—1 Q. = Q . y \ u Q ĩk k= 1 và dn = 7 U 7 , U . . . U 7„ _ 1 . Chiều dương của do. như đã quy ước (xem Hình 1.2). H ình 1.2: M iền đa liên Chứng minh. Bổ sung vào biên của Q. các đường ln- \ (hình _L2), ta được miền Q. Khi đó, Q trở thành miền đơn liên với biên là L = d £ l u l \ u . . . u / n_i. 12 Bởi vì f f d z = - f f d z nên theo định lý 1.3.2 J fdz = j fdz dũ. 0. L □ Đỉnh lý 1.3.3 (xem [Ù). Nếu Q là một miền n - liên (hay đa liên bậc n), f là hàm liên tục trên Q, giải tích trên Q. thì Ị f d z = 0. do. 1.3.4. Sự tồn tại của nguyên hàm Giả sử hàm / là hàm giải tích trên miền đơn liên Q. và Z(), z là các điểm trong £1. Khi đó, tích phân z ệ(zo, z) = Ị f ( n ) d r \ Zũ không phụ thuộc vào đường cong nối Z() và z trong í ì . Thật vậy, giả sử 7i và 72 là hai đường cong tùy ý nối zo với z. Có thể coi 7i H 72 = {zq, z} bởi vì 7 i u 72 là chu tuyến trong í ì . Theo định lý 1.3.1, ta có 0= f d ĩ\ = J f dr j + Ị f d ĩ ] I 7, uy“ r. ỵ- Vì thế / f d r i = Ị fd r \. 71 72 Định lý 1.3.4 (xem Ó ) . Giả sử f là hàm liên tục trên miền đơn liên £1 sao cho với mọi ỵ, ta có f f { z ) d z = 0. Khi đó, với mọi zo E ũ. cố định và z € £1, 7 hàm z 0(z) = / f{rị)d rị Ztì là nguyên hàm của f ( z ) trên miền £1. Hơn nữa, hàm ộ(z) giải tích trên Q. và ộ'(z) = f ( z ) với mọi z G Í2. 13 Đỉnh lý 1.3.5 (xem Q ) . Giả sử Q. là miền đơn liên, f là hàm giải tích trên ũ. và f ( z ) / 0, z 6 íl. Khi đó, tồn tại hàm g giải tích trên £2 sao cho eg(x) = /( z ) , z e n . Đinh lý 1.3.6 (Công thức tích phân Cauchy, xem [Ó). Giả sử f là hàm giải tích trên miền Í2 VÀ Z() E £2. Khỉ đó, với mọi Ỵ, Zo € c £2, ta có công thức tích phân Cauchy 1 /■ f i n ) / ( z o) = W j pJJ 77]r- z Zo ~ dr> 2KỈ r Nếu / liên tục trên ũ. và dũ. là một chu tuyến thì với mọi z G £2, ta có I [ /(7?) d ĩ] . fiZ) = ầ 2KiJ J TỊ - Z q (1.3.2) do. 1.4. Chuỗi Taylor Đ ịnh nghĩa 1.4.1 (xem 0 ) . Chuỗi hàm có dạng oo ^ c ự ỉ - ỉ o ) '1 n= 0 được gọi là chuỗi Taylor tại zo hay chuỗi lũy thừa của z — Zo1.4.1. Đ ịnh lý Taylor Đ ịnh lý 1.4.1 (xem @ ). Nếu f ( z ) là hàm giải tích trên hình tròn \z —Zo| < R thì trong hình tròn này, f ( z ) là tổng của chuỗi Taylor của nó tại zo- Cụ th ể là oo f { z ) = ỵ , Cn( z - z o ) n, \ z - z o \ < R , n= 0 ở đây các hệ số Cn được xác định một cách duy nhất theo công thức / w (zo) n\ 1 2 ni [ m J ( r i - z o ) n+' \rỊ-Zo\ = r 0< r < R 14 ■ „ 1.4.2. Định lý duy nhất Giả sử hàm f ( z ) giải tích trên miền bị chặn Q và liên tục trên £1 = о. и до.. Khi đó, theo công thức ( 1.3.2), ta có f(z) = ầ J do. Tương tự g( n) 8 { z ) = 2ầk ỉJJ (T Ị - Z) dũ. nếu g giải tích trên í ì . Khi đó ™ - M - ầ ỉ n T - T d ’i'z * a - 0 sao cho vành khăn 0 < |z —Zol < r bao hàm trong Q thì ZQ được gọi là điểm bất thường của / . Hàm / giải tích trên vành khăn 0 < \z —Zol < r không thể mỏ rộng giải tích tới ZQ, tức là không tồn tại hàm giải tích g trên hình tròn \z — Zo| < r sao cho g(z) = f ( z ) v ớ i O < \ z - z o \ < r. Giả sử / giải tích trên vành khăn 0 < \z —Zo| < r- Chỉ có thể xảy ra một trong ba khả năng sau: i. Tồn tại lim f ( z ) = a e c . Khi đó, Zo được gọi là điểm thường (điểm bất z —> Z q thường bỏ được) của / . ii. Tồn tại lim f ( z ) = 00. Khi đó, Zo được gọi là cực điểm của hàm giải tích z—>Zq /• iii. Không tồn tại lim f ( z ) (trong C). Khi đó, ZQ được gọi là điểm bất Z -> Z ữ thường cốt yếu của / . Đ ể khảo sát các xem một điểm ZQ là điểm bất thường loại nào của f ( z ) thì ta phải khai triển hàm f ( z ) thành chuỗi Laurent trong hình vành khăn 0 < \z —Zo\ < r. Ta có - | - 00 f(z)= £ C„(z-zoỴ, 16 (1.5.4) trong đó ĩp với p tùy ý, 0 < p < r. N hận xét 1.5.1 (xem [ 0 ). i. Như đối với đa thức điểm Zo được gọi là không điểm bậc m của hàm giải tích / nếu /(z o ) = . .. = / (m“ 1)|zo = 0 nhưng / (" ° ( z o ) ^ 0 . Như vậy, ZQ là không điểm bậc m của f ( z ) nếu và chỉ nếu khai triển (Ị1.5.4Ị) có dạng oo /( z ) = £ oo c*(z - Zo)k = (z - Zo)m Y, Cm+k(z - Zữ)k- k= m k= 0 ii. Trong khai triển (Ị1.5.4Ị), đặt m = i nf { k : Cỵ Ỷ 0}Khi đó a. ZQ là cực điểm nếu và chỉ nếu —oo < m < 0. Trong trường hợp này —m là bậc của cực điểm Zo. b. Zo là bất thường cốt yếu nếu và chỉ nếu m = —oo. iii. Zo là cực điểm bậc m của f ( z ) nếu và chỉ nếu nó là không điểm cấp m của hàm — . f(ì) iv. Điểm oo gọi là điểm bất thường của hàm giải tích f ( z ) trên |z| > R nếu 0 là điểm bất thường của hàm g(z) = f ^ . Như vậy, tồn tại R > 0 sao cho / giải tích trên vành khăn |z| > R và không giải tích tại của hàm / °o. Khai triển Laurent trong vành khăn 0 < |z| < — đưa tới khai triển mà ta cũng gọi là khai triển Laurent của hàm f ( z ) tại oo, trong vành khăn |z| > R oo f(z)= £ n = — oo 17 c ,tzn. (1.5.6) 0 oo Nhưng trong (Ị1.5.6Ị),chuỗi £ cnzn _________ n = làphần chính còn chuỗi £ 1 cnzn là 11= -c o phần đều. Tuy nhiên,d1.5.6Ị) cũng chính là khaitriển Laurent của / tại 0 trong vành khăn R < |z| < +°°. Phân loại tính bất thường của °o được suy tương ứng từ phân loại tính bất thường của điểm 0 đối với hàm / . Như vậy, nếu tồn tại lim f ( z ) e z— c thì z = 00 là điểm thường của hàm / , tức là / có thể mở rộng giải tích tới °o. Nếu tồn tại lim f ( z ) = 00 thì tồn tại m > 0 để cn = 0 với mọi n > m và z—>°° c m Ỷ 0- Khi đó, z = 00 được gọi là cực điểm cấp m của f ( z) . Nếu không tồn tại lim f ( z ) (trong C) thì có vô số m > 0 để c m Ỷ 0* Khi đó, oo sẽ được gọi là z— ^00 điểm bất thường cốt yếu của f ( z ) . Như vậy, z = 00 là cực điểm của mọi đa thức Ỷ const. Bậc của nó chính là bậc của đa thức. 1.6. Khái niệm thặng dư và các định lý cơ bản của thặng dư 1.6.1. Định nghĩa và cách tính Đ ịnh nghĩa 1.6.1 (xem 01). Giả sử f ( z ) là hàm giải tích trên vành khăn 0 < \z — zo| < r, Ỵ là chu tuyến bất kỳ (đặc biệt là đường tròn) vây quanh zo nằm trong vành khăn đó. Khi đó, tích phân 1 1 f{ĩ ]) drị , (1.6.7) được gọi là thặng dư của / tại ZQ' Kí hiệu res[f,Zữ\ = ^ / f ( rl ) drl ■ 7 Tích phân (Ị1.6.7Ị) không phụ thuộc vào việc chọn chu tuyến ỵ. Vì vậy, (Ị1.6.7Ị) chỉ phụ thuộc vào hàm / và điểm zo (xem (Ó). Nếu f ( z ) giải tích trên vành 18 khăn R < \z\ < 00 thì thặng dư của / tại 00 là số res[f,°°} = ^ j j f { i ì ) dr \ = Ị f (r\ )drị . Ỵ- 7 Trong đó, 7 là chu tuyến bao quanh điểm z = 0 nhưng nằm trong hình vành khăn R < \z\ < Nếu biết khaitriển Laurent của hàm / trong vành khăn 0 < \z —Zo| < r hoặc trong R< \z\ < 00 (tại ZQ = 0) thì theo định lý Laurent, ta có res[f,zo\ = ^ ~ / Ỉ M d r i = C _ 1 , 7 res[f,°°] = ^ j p Ị f ( n ) d r ị = —c _ ] . T Từ điều kiện và định nghĩa về điểm bất thường, nếu zo là điểm bất thường bỏ được của f ( z ) thì res[f,zo\ = 0. Định lý 1.6.1 (xem [51]). i. Nếu ZQ là cực điểm cấp 1 của hàm f thì r es [ f , z oị = lim (z —Zo)f(ì). z— >-Zo (1.6.8) với ọ ( z o ) Ỷ 0, V( zo) = 0 và y/ (z o ) Ỷ 0 thì ii. Nếu f ( z ) = res[f,zo} = ( L6-9) V( zo) iii. Nếu Zq là cực điểm bậc m > 1 của f thì res[f,Zữ\ = - * lim [( z - z o )" 7 ( z )] (m_1)(ra — 1)! z->z0 Ví dụ 1.2. Xét hàm f ( z ) = a) Tính res[f, 0]. Vì w _ 1 ( ^ 1 19 1 1 (1.6.10)