Tài liệu Khoá luận tốt nghiệp toán Mở đầu về hệ động lực

TRƯ ỜNG ĐẠI HỌC s ư PH Ạ M HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN L Ê T H Ị K IM D U N G MỞ ĐẦU VỀ HỆ ĐỘNG Lực K H Ó A L U Ậ N T Ố T N G H IỆ P Đ Ạ I H Ọ C C h u y ê n n g à n h : G iả i tíc h Người hướng dẫn khoa học Ts. B ù i K iê n C ư ờ n g H à N ộ i - 2015 LỜI C Ả M ƠN Em xin chân thành cảm ơn T hầy giáo Bùi Kiên Cường đã tận tình hiíớng dẫn, giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện khóa luận. Em xin chân thành cảm ơn các thầy, các cô trong tổ giải tích-khoa Toán, trường Dại học sư phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ cm hoàn thành khóa luận này. Em xin chân thành cảm Ơ11 gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện thuân lợi cho em trong quá trình thực hiện khóa luận. E m xin chân thành cảm ơn. Hà Nội, tháng 05 nam 2015 Sinh viên Lê T h ị K im D u n g LỜI C A M Đ O A N Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của T hầy giáo Bùi Kiên Cường khóa luận "M ở đ ầ u về h ệ đ ộ n g lực" được hoàn thành không trùng với bất kỳ đề tài nào khác. Trong quá trình hoàn thành khóa luận, em đã thừ a kế những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên Lê T h ị K im D u n g M ục lục M ở đầu C h ư ơ n g 1. M Ỡ Đ Ầ U H Ệ Đ Ộ N G L ự c 1 . 1 . Dịnh nghĩa của hộ động lực ... 1 1 1 K h ô n g gian tr ạ n g th á i 1 . 1 . 2 . thời gian 1.1.3. T oán tử tiến hóa 1.1.4. Đ ịn h n g h ĩa c ủ a hệ động lực 1 . 2 . Quỹ đạo và đường cong pha 1.3. Tập hợp bất biến 1.3.1. Đ ịnh n g h ĩa và các lớp 1.3.2. T ín h ổn đ ịn h c ủ a tậ p b ấ t biến C h ư ơ n g 2. P h ư ơ n g t r ì n h vi p h â n và h ệ đ ộ n g lực 2 . 1 . Mô tả các ví dụ bằng phương trình vi phân ... 2 1 1 V í d ụ 1.1 2 . 1 . 2 . V í d ụ 1.2 2.1.3. V í d ụ 1.3 2 . 2 . Anh xạ Poincaré ... 2 2 1 Á n h x ạ tr ư ợ t t.heo thời gian ... 2 2 2 Á n h xạ P oinca ré và sự ổn địn h c ủ a chu tr ìn h K hóa luận tố t nghiệp Lê T h ị K i m D ung M Ở ĐẦU 1. Lí d o c h ọ n đ ề tà i Cũng như môn khoa khác, phương trình vi phân xuất hiện trên cơ sở phát triển khoa học, kĩ th u ật và những yêu cầu đòi hỏi của thực tế. Những bài toán cơ học và vật lí dẫn đến sự nghiên cứu của các phương trình vi phân tương ứng. Với mong muốn được đi sâu tìm hiểu về bộ môn này. Trong phạm vi của m ột khoá luận tốt nghiệp cùng sự hướng dẫn của thầy giáo - TS. Bùi Kiên Cường, em xin trình bày hiểu biết của mình về đề tài "Mở đầu về hệ động lực". 2. M ụ c đ íc h n g h iê n cứ u Quá trình thực hiện đề tài đã giúp em bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về phương trình vi phân đặc biệt là tìm hiểu sâu hơn về Hộ động lực. 3. N h iệ m v ụ n g h iê n cứ u Đề tài nghiên cứu nhằm đi sâu khai thác ứng dụng của phương trình vi phân trong vật lí, đặc biệt là "hệ động lực" 4. P h ư ơ n g p h á p n g h iê n cứ u Đề tài được hoàn thành dựa trên sự kết hợp các phương pháp: nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá. 5. C ấ u t r ú c k h o á lu ậ n Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo thì khoá luận bao gồm 2 chương: Chương 1: Mở đầu về hệ động lực Chương 2 : Phương trình vi phân và hệ động lực 1 C hương 1 MỞ ĐẦU HỆ Đ Ộ N G • • Lực • Trong chương này, chúng ta giới thiệu m ột số th u ật ngữ và khái niệm cơ bản. Đầu tiên là định nghĩa hệ động lực và đưa ra m ột số ví dụ bao gồm cả biểu trưng động lực học, sau đó chúng ta giới thiệu các khái niệm về quỹ đạo, tập b ất biến và sự ổn định của nó. Cuối cùng, chúng ta thảo luận tại sao hộ phương trình vi phân có thể xác định các hộ động lực trong cả không gian hữu hạn và vô hạn chiều 1.1. Đ ịn h n g h ĩa c ủ a hệ đ ộn g lực Khái niệm của hệ động lực là sự hình thức hóa toán học của các khái niệm về một quá trình đơn định của khoa học. Trạng thái tương lai và quá khứ của nhiều ngành vật lý, hóa học, sinh học, sinh thái, kinh tế và thậm chí cả hệ thống xã hội có thể được dự đoán đến một mức độ nhất định bằng cách biết tình trạng hiện tại của Ĩ1Ó và các luật điều chỉnh sự phát triển của Ĩ1Ó. Miễn là các luật này không thay đổi theo thời gian, 2 Khóa luận tốt nghiệp Lê T h ị K im Dung dáng điệu của hệ như vậy được coi là hoàn toàn xác định bởi trạng thái ban đầu của nó. Như vậy, khái niệm của hệ động lực bao gồm tập hợp các trạng thái có thể của nó (không gia trạng thái) và luật của sự phát triển của trạng thái theo thời gian. Chúng ta hãy thảo luận về những thành phần riêng biệt và sau đó đưa ra một định nghĩa chính thức của hệ động lực 1.1.1. K h ô n g g ia n t r ạ n g th á i Tất cả các trạng thái có thể có của m ột hệ động lực được đặc trưng bởi các điểm của một tập X nào đó. Tập này được gọi là không gian trạng thái của hệ. Trên thực tế, sự diễn tả của một điểm X G X phải có đủ không chỉ mô tả các vị trí hiện tại của hệ m à còn để xác định quá trình phát triển của nó. Thường, không gian trạng thái được gọi là một không gian pha, theo truyền thống từ cơ học cổ điển. V í d ụ 1.1. (con lắc) Trạng thái của một con lắc lý tưởng được đặc trưng hoàn toàn bởi việc xác định sự dịch chuyển góc của nó (mod 27r) so với vị trí thẳng đứng và vận tốc góc ộ tương ứng (Hình 1.1). Nhận thấy rằng góc (f là không đủ để xác định trạng thái tương lai của con lắc. Do đó, với hệ cơ học đơn giản này, không gian trạng thái là X — s 1 X M1, trong đó s [ là đường tròn đơn vị được tham số hóa bởi góc, và M1 là trục số thực tương ứng của tập tấ t cả các vận tốc có thể. Khi đó tập X có thể được coi là một đa tạp trơn 2 chiều (hình trụ) trong 3 Khóa luận tốt nghiệp Lê T h ị K im Dung m H ì n h 1.1: C on lắc cổ điển V í d ụ 1.2. (hệ cơ h ọ c tố n g q u á t) Trong cơ học cổ điển, trạng thái của hệ bị cô lập (không phụ thuộc) với bậc tự do s đặc trưng bởi véc tơ thực 2 s chiều: Trong đó (Ịị là hệ tọa độ suy rộng, Pi là động lượng suy rộng tương ứng. Do đó, trong trường hợp này X = IR2'S . Nếu hệ tọa độ k là tuần hoàn X = sk X M2s-fc. Trong trường hợp của con lắc s = k = 1, Qi = (p, chúng ta có thể lấy Pi = (£> V í d ụ 1.3. (hệ lư ợ n g tử ) Trong cơ học lượng tử, trạng thái của hệ với 2 trạng thái có thể quan sát được đặc trưng bởi vcc tơ Trong đó, (lị, i = 1,2 là số thực gọi là biên độ thỏa m ãn điều kiện Iữi| + I<3-2 1 — 1- Xác suất tìm thấy hệ ở trạng thái thứ i là bằng Vi = 4 Khóa luận tốt nghiệp Lê T h ị K im Dung V í d ụ 1.4. (b iểu tr ư n g đ ộ n g lực học) Xét tập hợp ÍI 2 gồm tấ t cả dãy song-vô hạn của 2 kí tự { 1 , 2 }. Một điềm u € X là dãy LJ — {..., CJ_2, CƯ_1, CƯQ, CƯ1, CƯ2, •••} , Trong đó, íJj E {1,2}. Chú ý rằng vị trí không trong mỗi dãy phải được chỉ ra. Chẳng hạn, có 2 dãy phân biệt tuần hoàn có thể được viết như V = 1 , 2 , 1 , 2 , 1 , 2 ,...} , với CƯQ = 1 cho một dãy và CƯQ = 2 cho dãy còn lại. Không gian íĩ 2 sẽ đóng một vai trò quan trọng trong những gì tiếp theo. Đôi khi, rất hữu ích việc đồng nhất hai dãy chỉ khác nhau bởi chỉ bằng m ột phép dịch chuyển điểm gốc. Những dãy như vậy được gọi là tương đương. Lớp các dãy tương đương tạo thành một tập, kí hiệu bởi íì2. Hai dãy tuần hoàn đã đề cập ở trên biểu diễn cùng m ột điểm trong Trong tấ t cả các ví dụ trên, không gian trạng thái có m ột cấu trúc tự nhiên nhất định, cho phép so sánh giữa các trạng thái khác nhau. Cụ thể hơn, khoảng cách p giữa hai trạng thái được xác định hoàn toàn, làm thành tập hợp các không gian rnêtric. Trong các ví dụ về cơ học các không gian trạng thái là các không gian véc tơ thực M" hữu hạn n chiều hay là m ột đa tạp con trong không gian này. Chuẩn Euclide có thể sử dụng để đo khoảng cách giữa hai trạng 5 Khóa luận tốt nghiệp Lê T h ị K im Dung thái được tham số hóa bởi các điểm x, y € Mn, tức là n p ( x ,y ) = II® - í/ll = ự { x - ỹ,X - ỹ) = , 5 ] (Xi - ViỶ \ Í=1 (1.1) trong đó, (•, •) là tích vô hướng chuẩn tắc trong R n , n {.X , y ) = X T • y = ^ 2 X , • 'ỊJ, i—1 Khoảng cách giữa hai trạng thái ĩp, (f của hệ lượng tử từ Ví dụ 1.3 có thể được xác định bằng cách sử dụng tích vô hướng chuẩn tắc trong c n, n {’>!>, 0 và t < 0 được gọi là khả nghịch. Trong những hệ như vậy, trạng thái ban đầu Xq không chỉ h o à n to à n x ác đ ịn h các trạ n g th á i tương lai của h ệ m à CÒĨ1 xác định dáng điệu trong quá khứ. Tuy nhicn, th ật là hữu ích khi xcm xét hệ động lực, m à dáng điệu của hệ đông lực trong tương lai với t > 0 là hoàn toàn xác định bởi trạng thái ban đầu £ 0 tại t = 0 , nhưng lịch sử với t < 0 không thể tái tạo được. Một hệ động lực như vậy được mô tả bởi toán tử tiến hoá xác định cho miền t > 0 (tức là, cho t G K+ hoặc z +). Trong trường hợp liên tục theo thời gian, họ gọi là nửa dòng. Nó cũng có thể là ifịx ữ chỉ được xác định m ột cách địa phương theo thời gian, chẳng hạn 0 < t < t0, khi đó t0 phụ thuộc vào x 0 € X . Một ví dụ quan trọng của những dáng điệu đó là sự “bùng nổ”, khi đó hệ liên tục theo thời gian trong X = R 71 đạt đến vô hạn trong một thời gian, tức là II^Xoll ~^ +oo, cho t —¥ oo Toán tử tiến hóa có hai đặc tính tự nhiên, 11Ó phản xạ tấ t định đặc trưng của hình dạng hệ động lực. Trước hết, text(D s .0) (f° = id , Với id là ánh xạ đồng nhất trên X, ỉd x — X với mọi X € X . Thuộc tính (DS.O) suy ra hệ không thay đổi trạng thái của nó là “tự p h át”. Thuộc tính thứ hai của toán tử tiến hóa là: t e x t ( D s . 1) (pt+s = ip1 o (fs. Khóa luận tốt nghiệp Lê T h ị K im Dung Nó CÓ nghĩa là: ^ sx = (p* ( ự x ) Với mọi X G X và í, s € T, sao cho cả hai vế của phương trình cuối được xác định. Về cơ bản, tính chất (D S.l) phát biểu rằng kết quả của sự tiến hóa của hệ trong quá trình X t + s đơn vị thời gian, bắt đầu tại m ột điểm € X cũng giống như nếu hệ thống lần đầu tiên được phép thay đổi từ trạng thái X chỉ s đơn vị thời gian và sau đó phát triển tiếp t đơn vị thời gian đến trạng thái kết thúc (fsx (nhìn Hình 1.2). Tính chất này có nghĩa là các luật điều chỉnh hình dạng của hệ không thay đổi theo thời gian: Hộ thống là "hộ Otônôm ” Với các hệ thống khả nghịch, toán tử tiến hóa ipf' đáp ứng tính chất (D S.l) cho t và 5 cả âm lẫn không âm. Trong hệ thống như vậy, các toán tử íp~t là khả nghịch của (ipf) 1 = (f~t, tức là (p~f o (pf = id. Hệ động H ì n h 1.2: T o án t ử tiến h óa lực gián đoạn theo thời gian với số nguyên t là hoàn toàn xây dựng bằng cách xác định chỉ một ảnh xạ / = ip1, gọi là “ánh xạ một - thời gian”. T hật vậy, sử dụng (D S.l), chúng ta được (p2 = (p1 o (p1 = f o / = / 2, 9 Khóa luận tốt nghiệp Lê T h ị K im Dung trong đó, / 2 là sự lặp thứ hai của ánh xạ / . Tương tự, (fk = f k với mọi k > 0. Nếu hệ gián đoạn theo th ờ i gian là khả nghịch, phương trình ở trên đúng cho cả k < 0 , ỏ đó /° = ỉd. Cuối cùng, chúng ta hãy chỉ ra rằng, đối với nhiều hệ, iplx là hàm số liên tục của X G X , và nếu f 6 R 1, nó cũng là liên tục trong thời gian, ở đây sự liên tục được cho là được xác định đối với m êtric hoặc chuẩn tương ứng trong X . Hơn nữa, nhiều hộ xác định trcn hoặc trên đa tạp trơn trong Mn, sao cho iptx là trơn như là m ột hàm của (.T, t). Những hộ như vậy được gọi là hộ động lực trơn. 1.1.4. Đ ịn h n g h ĩa c ủ a h ệ đ ộ n g lực Bây giờ chúng ta đưa ra định nghĩa chính xác về hệ động lực Đ ịn h n g h ĩa 1.1. Hệ động lực là bộ ba gồm {T, x , ^ } , trong đó T là tập thời gian, X là không gian trạng thái, và (p* : X —>X là một họ toán tử tiến hóa được tham số hóa bởi t G T và thỏa mãn tính chất (DS.O) và (DS.l) Cho hai ví dụ minh họa định nghĩa: V í d ụ 1.5. (hệ tu y ế n t ín h 2 ch iều ) Xét không gian 2 chiều X = R 2 và phcp biến đổi tuyến tính không suy biến trcn X cho bởi m a trận phụ thuộc vào t E M1: Ị e xt \ 0 0 ^ e trong đó, À,/i ^ 0 là các số thực. Hiển nhiên, nó xác định m ột hệ động lực liên tục theo thời gian trên X . Hệ thống này là khả nghịch và được 10 Khóa luận tốt nghiệp Lê T hị K i m Dung định nghĩa cho tấ t cả cặp (x ,t). Ánh xạ ípl là liên tục (và trơn) đối với £, cũng như đối với t. V í d ụ 1.6. (b iểu tr ư n g đ ộ n g lực học) Lấy không gian X — fỉ2 của tấ t cả chuỗi vô hạn hai kí hiệu {1,2} giới thiệu trong Ví dụ 1.4 Xem xct m ột ánh xạ ơ : X —¥ X , m à biến đổi chuỗi UJ — {..., CƯ_2, CƯ_1, CƯO, •••} € X thành chuỗi 9 — ơ (x) , 0 = {..., 9 - 2, Ớ_1, ỚQ, ỚI, Ớ2, ...} G X , trong đó, ỡk — Uỉk+Iì k G z Ánh xạ ơ chỉ thay đổi các chuỗi bằng phép dịch chuyển m ột vị trí tọa độ sang bên trái. Nó được gọi là ánh xạ trượt. Anh xạ trượt định nghĩa một hệ động lực gián đoạn theo thời gian trcn X , (fk — ơh, đó là khả nghịch. Chú ý rằng hai chuỗi 0 và UJ là tương đương nhau nếu và chỉ nếu 9 = ơ k° (lj) với ko G z . 1.2. Q u ỹ đ ạo và đư ờng cong p h a Các đối tượng hình học cơ bản liên kết với m ột hệ động lực {T, x ^ ip 1} bởi quỹ đạo của nó trong không gian trạng thái và đường cong pha quỹ đạo Đ ịn h n g h ĩa 1.2. Một quỹ đạo bắt đầu từ Xq là một tập con sắp thứ tự của không gian trạng thái X , Or (xo) = { x £ X : X = 0 với mọi t G T Số tối tiểu To có tính chất này được gọi là chu kỳ của chu trình L 0. Nếu một hệ bắt đầu tiến hóa tại một điểm Xq trên chu trình, nó sõ quay lại chính xác đến điểm này sau mỗi To đơn vị thời gian. Hệ này trưng bày dao động tuần hoàn. Trong trường hợp liên tục theo thời gian, một chu trình Lị) là một đường cong khép kín (nhìn Hình 1.4(a)) Đ ịn h n g h ĩa 1.5. Chu trình của một hệ động lục liên tục theo thời gian, trong một lân cận của nó không có những chu trình khác được gọi là chu trình giới hạn. Trong trường hợp chu trình gián đoạn theo thời gian là tập (hữu hạn) các điểm X o J { x 0) J 2{x0) , ........ J Na(x0). Trong đó f = (p1 và chu kỳ T0 = N 0 rõ ràng là m ột số nguyên (Hình 1.4(b)). Chú ý rằng mỗi điểm của tập là m ột điểm cố định của phép lặp thứ iV0 , f Ní) của ánh xạ / . Hệ từ ví dụ 13 Khóa luận tốt nghiệp Lê T hị K i m Dung (b) Ca) H ì n h 1.4: Q uỹ đạo đ ịn h kì c ủ a hệ liên tụ c theo thời gian (a) Q u ỹ đạo đ ịnh kì c ủ a hệ gián đ o ạ n theo thờ i gian (b ) 1 không CÓ chu trình. Ngược lại, biển trưng hệ động lực (Ví dụ 1.4) có một số lượng vô hạn của chu trình. Chúng ta có thể phân loại tấ t cả quỹ đạo có thế trong hệ động lực thành điểm cố định, chu trình và các phần còn lại. Đ ịn h n g h ĩa 1.6. Dường cong pha của hệ động lực là sự phân chia của không gian trạng thái thành quỹ đạo. Đường cong pha bao hàm một khối lượng lớn thông tin về hình dạng của m ột hệ động lực. Bằng cách nhìn vào đường cong pha, chúng ta có thể xác định số lượng và loại của trạng thái tiộm cận mà hộ đó dần tới khi t —> + 0 0 (và t —> —oo nếu hệ là khả nghịch). Tất nhiên không thể vẽ tấ t cả các quỹ đạo trong m ột hình vẽ minh họa. Trong thực tế, chỉ có vài quỹ đạo chủ chốt được mô tả trong biểu đồ để biểu diễn đường cong pha dưới biểu đồ (như chúng tôi đã làm trong hình 1.3). Hệ động 14 Khóa luận tốt nghiệp Lê T hị K i m Dung lực liên tục theo thời gian có thể được thể hiện như là m ột hình ảnh của dòng chảy của m ột số chất, trong đó quỹ đạo cho thấy “con đường của h ạt lỏng” như theo dòng nước. Diều này tương tự giải thích việc sử dụng của các thuật ngữ “dòng” cho toán tử tiến hóa trong trường hợp thời gian liên tục 1.3. T ập hợp b ấ t biến 1.3.1. Đ ịn h n g h ĩa v à các lớp Để phân loại các phần tử của đường cong pha, đặc biệt là trạng thái tiệm cận của hệ các định nghĩa sau đây. Đ ịn h n g h ĩa 1.7. Một tập hợp bất biến của hệ động lục {T, X, (p*} là tập con s c X sao cho Xo G s bao hàm, ự^Xo € s cho tất cả t G T Định nghĩa có nghĩa là ự t s c s với mọi t £ T. Rõ ràng, một tập bất biến s bao gồm các quỹ đạo của hệ động lực. Bất kì quỹ đạo riêng lẻ Or(.T0) là một tập bất biến. Chúng ta luôn luôn có thể giới hạn toán tử tiến hóa (p* của hộ lcn tập b ất biến s và xem xct một hộ động lực {5, T, ĩp1}, trong đó Ipf' : s —> s là ánh xạ cảm sinh bởi ipt trong s . Chúng ta sẽ sử dụng các biểu trưng ipt cho những hạn chế thay vì ĩp1. Nếu không gian trạng thái X là được cho một m êtric p, chúng ta có thể xem xét tập bất biến đóng trong X . Diểm cân bằng (điểm cố định) và chu trình là ví dụ đơn giản rõ ràng của tập bất biến đóng. Có nhiều loại tập bất biến đóng khác nhau. Một số tập bất biến đóng có chứa một số quỹ đạo của chu trình và không tuần hoàn. Chúng ta xét ví dụ Smale 15