Tài liệu Khoá luận tốt nghiệp toán Địa phương hóa của vành và module

TRƯỜNG ĐẠI HỌC su' PHẠM HÀ NỘI 2 KHỎA t o á n ’ ĐỎ THỊ HƯỜNG ĐỊA PHƯƠNG HÓA CỦA VÀNH VÀ MODULE KHÓA LUẬN TÓT NGHIỆP ĐẠI • • • HỌC • C huyên ngành: Đ ại số N gư ờ i hư ớn g dẫn khoa học Th. HÀ NỘI - 2015 s Đỗ V ăn K iên LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán, các thầy cô trong tổ Đại số, những người tận tình dạy dỗ, giúp đỡ em trong bốn năm học vừa qua. Cũng như đã tạo điều kiện cho em trong quá trình hoàn thành khóa luận. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Đỗ Văn Kiên, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ đạo và đóng gióp nhiều ý kiến quý báu trong thời gian em thực hiện khóa luận này. Hà Nội, ngày...tháng...năm 2015 Sinh Viên Đỗ Thị Hường LỜI CAM ĐOAN Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Bên cạnh đó, em cũng được sự quan tâm tạo điều kiện của các thầy cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Đỗ Văn Kiên. Trong quá trình nghiên cứu hoàn thành khóa luận em có tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo Em xin cam đoan kết quả của đề tài “ Địa phương hóa của vành và module” không có sự trùng lặp cũng như sao chép kết quả của các đề tài khác. Neu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Hà Nội, ngày...tháng...năm 2015 Sinh Viên Đỗ Thị Hường MỤC LỤC MỞ DẦU.......................................................................................................1 1. Lý do chọn đề tà i..................................................................................1 2. Mục đích nghiên c ứ u ............................................................................1 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứ u.......................................................1 4. Nhiệm vụ nghiên cứu............................................................................1 5. Phương pháp nghiên CÚ01..................................................................... 1 6. Cấu trúc của khóa lu ận ........................................................................ 1 Chương 1. KIẾN THỨC c ơ BẢN VỀ VÀNH.......................................... 3 1.1. Vành và các tính chất cơ bản............................................................. 3 1.2. Vành con và các tính chất cơ bản..................................................... 4 1.3. Miền nguyên và trường...................................................................... 4 1.4. Ideal.....................................................................................................5 1.5. Vành thương và đồng cấu vành.........................................................6 1.6. Module...............................................................................................10 1.7. Module con và các tính chất cơ b ả n ................................................ 11 1.8. Tổng trực tiếp, tích trực tiếp, hạng tử trục tiếp của các module ..11 1.9. Đồng cấu module.............................................................................. 12 1.10. Quan hệ thứ tự và tập sắp thứ tự.................................................. 13 Chương 2: ĐỊA PHƯƠNG HÓA CỦA VÀNH.......................................15 2.1. Địa phương hóa của vành.................................................................15 2.2. Phổ của vành R / I ........................................................................... 24 2.3. Phổ của vành S ' * R .......................................................................... 26 Chương 3: ĐỊA PHƯƠNG HÓA CỦA MODULE..................................35 3.1. Tích ten-xơ........................................................................................ 35 3.2. Dãy khớp........................................................................................... 44 3.3 Địa phương hóa của module............................................................. 45 KẾT LUẬN.................................................................................................. 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................... 52 MỞ DẦU 1. Lý do chọn đề tài Đại số là một ngành rất quan trọng của Toán học . Kiến thức Đại số rất phong phú, trừu tượng và được xây dựng, phát triển từ những kiến thức cơ sở của cấu trúc đại số: nhóm, vành, trường... Đại số giao hoán là một phần quan trọng của Đại số. Các khái niệm Phổ của các vành và S~lR là những khái niệm trọng tâm cho việc ứng dụng lý thuyết vành giao hoán vào đại số hình học. Từ niềm yêu thích của bản thân với bộ môn này, cùng với sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo Đỗ Văn Kiên em mạnh dạn thực hiện khóa luận tốt nghiệp với tiêu đề: “ Địa phưong hóa của vành và module” 2. Mục đích nghiên cứu Cung cấp kiến thức về địa phương hóa của vành và module 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu +) Đối tượng: Các kiến thức cơ bản về địa phương hóa của vành, địa phương hóa của module. Đặc biệt là phổ của vành và phổ của vành S~]R. +) Phạm vi: Nội dung kiến thức trong phạm vi của đại số giao hoán. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu về địa phương hóa của vành, đặc biệt là phổ của vành S~lR. 5. Phương pháp nghiên cửu +) Phân tích tài liệu có liên quan +) Tống hợp kinh nghiệm của bản thân. 6. Cấu trúc của khóa luận 1 Chương 1: Kiến thức cơ bản về vành Chương 2: Địa phương hóa của vành Chương 3: Địa phương hóa của module. 2 Chương 1. KIẾN THỨC c ơ BẢN VÊ VÀNH Trong phần này sẽ trình bày lại một số kiến thức về vành và các tính chất cơ bản về vành, miền nguyên và trường, ideal, module, quan hệ thứ tự và tập sắp thứ tự. 1.1. Vành và các tính chất cơ bản Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một tập khác rỗng, trên X trang bị hai phép toán hai ngôi, kí hiệu là (+) và (.) gọi là phép cộng và phép nhân. X được gọi là vành nếu thỏa mãn các điều kiện sau i) X cùng với phép toán cộng là nhóm Abel ii) X cùng với phép toán nhân là nửa nhóm iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức là với mọix, ỵ,z e X ta có x ( y + {) = xy + XZVÌL (;y + z )x = yx + £x. Chú ý 1.1.2. +) Vành X được gọi là vành có đơn vị nếu X là một vị nhóm nhân; +) Vành X được gọi là vành giao hoán nếu phép nhân có tính chất giao hoán; +) Vành X được gọi là vành giao hoán có đơn vị nếu X là vị nhóm nhân giao hoán; +) Phần từ đơn vị của phép cộng kí hiệu là 0; +) Phần tủ’ đơn vị của phép nhân (nếu có), kí hiệu là 1; +) Ở trong khóa luận này luôn quy ước vành được hiểu là vành giao hoán có đơn vị 1. Định nghĩa 1.1.3 (Đặc số của vành). Cho X là một vành, nếu tồn tại số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho n. 1 = 0 thì ta nói rằng X có đặc số là n , ngược lại ta nói X có đặc số bằng 0. Đặc số của X kí hiệu là CharX . 3 Định lý 1.1.4. Mọi x , ỵ , z £ X , n e z ta có +) x 0 = 0; +) (n.x).y = n.{x.y) = x.(n.yy, +) ( x - y ) . z = x z - y z . Định nghĩa 1.1.5 (Tập con nhân đóng). Cho R là vành, tập con s của R được gọi là tập con nhân đóng nếu thỏa mãn i)l 6 5 . ii) Với mọi x ,ỵ thì xỵ G. s . 1.2. Vành con và các tính chất CO’ bản Định nghĩa 1.2.1. Giả sử X là một vành, A là một bộ phận ổn định với hai phép toán trong X , nghĩa làvới mọi X, ỵ e A thì x + J G A,x.ỵ G A .Một bộ phận ổn định A của X A là một vành con của X nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh trên A là một vành. Định lý 1.2.2 .Cho X là một vành, A là một bộ phận khác rỗng của X . Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương i) A là một vành con của X . ii) Với mọi X, ỵ e A suy ra x + ỵ G A,xỵ G A , - x G A. iii) Với mọi x ,ỵ e A suy ra X - y <=A,xỵ e A. 1.3. Miền nguyên và trường Định nghĩa 1.3.1 (Ước của không). Cho a G X , a ^ 0 , a được gọi là ước của không nếu tồn tại b e X , b ^ 0 sao cho a.b = 0 . Định nghĩa 1.3.2 (Miền nguyên). Cho X là vành có nhiều hon một phần tử . X được gọi là miền nguyên nếu nó không có ước của 0. Định nghĩa 1.3.3 (Trường). Một miền nguyên trong đó mọi phần tử khác không đều khả nghịch trong vị nhóm nhân được gọi là một trường. 4 Như vậy, nếuX là trường thì ( ^ \ . ) là nhóm Abel với X* = X \{0}. Nhận xét 1.3.4. Đặc số của một miền nguyên hoặc bằng 0, hoặc là một số nguyên tố. 1.4. Ideal Định nghĩa 1.4.1. Cho X là một vành, / là tập con của X ./ được gọi ideal của X khi nó thỏa mãn các điều kiện sau i) / Ф 0 . ii) Với mọi a ,b G Ỉ thì a + b e ĩ . iii) Với mọi a e ỉ , r G X thì r.a e / . Định lý 1.4.2, Cho X là vành, / c ! , / ^ 0 . Các điều kiện sau đây tương đương i) / là ideal của X . ii) Với mọi a,b G /,x G X thì a - b e I , a.x (EI . Định lý 1.4.3. i) Giao của tất cả các ideal của X là một ideal của X . ii) Cho X là vành, / là ideal của X . Neu 1G/ thì x = ĩ . Định nghĩa 1.4.4 (Ideal nguyên tố). Cho R là vành, ideal I của R được gọi là ideal nguyên tố nếu i) I * R . ii) Neu x.y G / thì x e ỉ hoặc y G / Ví dụ 1 . 4 . 5 . là vành giao hoán thì о, рЪ là các ideal nguyên tố của Z,/7 e p Định nghĩa 1.4.6 ( Ideal cực đại). Ideal I của vành R được gọi là ideal cực đại nếu thỏa mãn hai điều kiện sau i ) 1ФЯ. ii) Không tồn tại ideal в của R chứa / mà / ф в , в Ф R . Hay nói 5 một cách khác / là phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm trong tập các ideal thực sự của R . Ví dụ 1.4.7.(z,+,.) là vành giao hoán thì pL là ideal cực đại, với p là số nguyên tố. Định nghĩa 1.4.8 (Ideal mở rộng). Cho R ,s là các vành và / : R —» s là một đồng cấu vành. Cho / là ideal của R, ideal f ( ỉ ) s của s sinh bởi / ( / ) được gọi là mở rộng của / trong s thường được kí hiệu là ư . Định nghĩa 1.4.9 ( Ideal co rút). Cho R ,s là các vành và / : R —»s là một đồng cấu vành. J Cho là ideal của s thì /~ ' ( / ) := Ịr G R I / ( r ) G / Ị là ideal của R được gọi là ideal co rút của J trong R , thường được kí hiệu bởi J c. Định nghĩa 1.4.10 (ideal sinh bởi một tập). Cho u là tập con của vành X . Giao của tất cả các ideal của X chứa u là một ideal chứa u và được gọi là ideal sinh bởi tập u . Ký hiệu ( u ). Nhận xét 1.4.11. + ( u ) là ideal nhỏ nhất của X chứa u . + Nếu u là tập con hữu hạn của X thì ta nói I = ( u ) là ideal hữu hạn sinh của X + Nếu ơ = 0 thì (ơ ) = (0) = {0} . 1.5. Vành thưong và đồng cấu vành Định nghĩa 1.5.1. Cho A là ideal của v ànhx . Khi đó nhóm thương = { j + A I x e X Ị cùng với hai phép toán 6 (x + A) + (y + A) = x+ > ’+ A (jt + л )( у + л ) = ху + А lập thành một vành gọi là vành thương của X theo ideal A . Nhận xét 1.5.2. +) Do X là vành giao hoán nên cũng là vành giao hoán. +) Do X là vành có đơn vị là 1 nên cũng là vành có đơn vị 1+ A X / ,= {x +0 \ x e X } = X +) ỵ/ x = { x + X \ x s X } = {X} Ví dụ 1.5.3. Ta có rỉl» là ideal của z ,(n e Z ) nên có vành thương = {0 + wZ,...,H —l + /zZỊ Định lý 1.5.4. Cho R là vành, I là ideal của R . Khi đó +) Neu J là ideal của R sao cho J Z3 / thì là ideal của vành thương R/ i +) Mỗi ideal 3 của ^ /j đều có dạng với J là ideal của R thỏa mãn J ^ ĩ . +) Nếu J ị,J 2 là các ideal của R sao cho J l, J 2 ^ ỉ .Thì =3 Ỵ j khi và chi khi y, ID J 2 Định nghĩa 1.5.5. Cho X , Y là hai vành. Ánh xạ / :X —> Y gọi là đồng cấu vành nếu với mọi x , y e X . Ta có f {x+y) =f{x) +f ( y) /( * y ) = / ( * ) • / Ы 7 Hơn nữa +) / gọi là đơn cấu nếu / là đồng cấu vành và / là đơn ánh. +) / gọi là toàn cấu nếu / là đồng cấu vành và / là toàn ánh. +) / gọi là đẳng cấu nếu / là đơn cấu và / cũng là toàn cấu. +) Cho hai vành X , Y ta nói X đẳng cấu với Y nếu tồn tại một đẳng cấu vành f :X —>Y. Định lý 1.5.6. Ta có các khẳng định sau i) Tích của hai đồng cấu vành( nếu có) là một đồng cấu vành. ii) Cho / :X —> Y là đồng cấu vành, trong đó X là một trường thì / là đồng cấu không hoặc đơn cấu. iii) Cho / : X —» Y là một đồng cấu vành. +) Neu / có nghịch đảo trái, tức là tồn tại một đồng cấu vành g : X —» Y sao cho g . f = \x thì / là đơn cấu. +) Nếu / có nghịch đảo phải tức là tồn tại một đồng cấu vành g :X —>Y sao cho f . g = ly t h ì/ là toàn cấu. +) Neu / có nghịch đảo trái và nghịch đảo phải thì / là đẳng cấu. iv) Cho / : X —» Y là đồng cấu vành, Á là một vành con của X , в là ideal của Y thì +) / ( a) là một vành con của Y. +) / " ' (ß ) là một ideal của X . Đặc biệt: Cho / : X —> Y là đồng cấu vành. Hạt nhân của / , kí hiệu là K e r f , Kerf = Ị* e X I / (*) = 0yỊ . Ảnh của đồng cấu / , kí hiệu Im / = / ( x ) = { /( * ) e Y Ix e X j . 8 Khi đó +) X là vành nên Im / là vành con của Y . +) {0y} là ideal của Y nên Kerf là ideal của X . Vậy +) / là đơn cấu khi và chỉ khi Kexf = Ị0XI . +) / là toàn cấu khi và chỉ khi Im / = Y . Định lý 1.5.7. Cho đồng cấu vành / : X —» F , A, B tương ứng ideal của X , Y sao cho f ( A ) ^ B . Khi đó tồn là các tạiduynhất đồng cấu X —L nghĩa là f p A = p Bf với PA : X —» , PB:Y —> là hai toàn cấu chính tắc. Đặc biệt: Nếu A = Kerf, Z? = |OyỊ thì 0 1“ ^ ’ khi đó ta có biểu đồ sau giao hoán X f >Y nghĩa là f p = f với /7: X —> Xỵ - £ ý• là toàn câu chính tăc. Nếu / là toàn cấu vành thì - r f =Y . :erf Hơn nữa / là đơn cấu và Im / = I m / . 9 Hệ quả 1.5.8 ( 1) Cho f : X —>Y là đồng cấu vành thì ' . y. = Im / . (2) Nếu / : X —» Y là toàn cấu vành thì ' r j =Y . (3) Cho A,B là hai ideal của X thỏa mãn B (4) Nếu B,c là các ideal của X thì ^ + zd A , khi đó n Q • 1.6. Module Do ban đầu ta đã mặc định vành được hiếu là vành giao hoán, có đon vị nên ở đây ta chỉ định nghĩa module trái. Đó cũng chính là định nghĩa module. Định nghĩa 1.6.1. Cho R là vành có đơn vị, một nhóm Abel cộng M được gọi là một R - module , hay còn gọi là module trên R nếu tồn tại một ánh xạ gọi là phép nhân với vô hướng R x M —>M ( a , x ) I—> OCX sao cho các điều kiện sau thỏa mãn i) ( a + Ị3)x = a x + P x . ii) a ( x + y) = a x + ay. iii) (<2/?)x = <2(/?x). iv) 1.X = X( tính chất Ưnitar). Với các phần tử tùy ý a , p e /? và x,ỵ gM . Nhận xét 1.6.2. Neu R là một trường thì R- module là một không gian vectơ trên R hay R - không gian vectơ. 10 1.7. Module con và các tính chất cơ bản Định nghĩa 1.7.1. Cho M là R- module, N œM , N gọi là R- module con của module M nếu N \ầ R- module với hai phép toán cảm sinh. Định lý 1.7.2. Cho M là R - module, N œM . Khi đó các điều kiện sau là tương đương i) N Va R - module con của M . ii) Với mọi x,ỵ <=N , a <=R suy ra x + y G N , a x /),«, 11 với(*/)/e/ ’(^i)ie/ e ĩ ~[Mị,a e/?.K hi đó r r ^ i /e/ \ầ R- module và gọi /e/ là tích trực tiếp của họ module {M.y . Định nghĩa 1.8.2 ( Tổng trục tiếp). Đặt®Mị = {(x ). :x = 0 hầu hết}. Khi đó cùng với phép cộng và nhân vô hướng như trên là R- module và gọi là tổng trực tiếp của họ các module { M .y . Định lý 1.8.3. Cho M là R -module và A, B là các module con của M . Khi đó,M = A © B khi và chỉ khi M = A + B , A r ì B = Ịo}. Định nghĩa 1.8.4 (Hạng tử trục tiếp). Cho N là module con của R module M . Ta nói N là hạng tử trục tiếp của M khi và chỉ khi tồn tại một module con p của M sao cho M = /V © p . Khi đó, ta cũng nói p là một module con phụ thuộc của N trong M . 1.9. Đồng cấu module Định nghĩa 1.9.1. Cho M , N là các R - module, ánh xạ f : M ^ N được gọi là một đồng cấu module hay R- đồng cấu (còn gọi là ánh xạ tuyến tính) nếu / thỏa mãn hai tính chất sau i) f ( x + y) = f ( x ) + f ( y ) v ớ i mọi x , y e M ii) f ( a x ) = a f ( x ) v ở i mọi a G R,Vx GM +) Neu một đồng cấu / là một đơn ánh, toàn ánh, song ánh thì nó tương ứng được gọi là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu; +) Neu / ( M ) = {o^} thì / được gọi là đồng cấu không và thường được viết là 6 ; +) Kerf = / _l (o) được gọi là hạt nhân (hạch)của / . Im / = / ( M ) được gọi là ảnh của / . 12 Cok er / = y được gọi là đối hạch của / . Coirnf = ỷ được gọi là đối ảnh của / . +) Một đồng cấu tù' M vào M được gọi là một tự đồng cấu của M . +) Hai R - module M và N được gọi là đẳng cấu, viết là M = N , nếu tồn tại một đắng cấu R - module từ M đến N . Nhận xét 1.9.2. Cho R - đồng cấu f :M —>N . Khi đó / là đồng cấu không khi và chỉ khi Kerf = M và / là một toàn cấu khi và chỉ khi Im / = yv . Định lý 1.9.3. Cho M , N là các R - module, ánh xạ / \M —» N là đồng cấu module khi và chỉ khi f ( a x + P y ) = a f ( x ) + P f ( y ) , với mọi x ,ỵ G M ,a ,j 3 G R . Ví dụ 1.9.4. +) Cho M ,N là R - module, ánh xạ 6 \ M - ^ N X I—> 0 là đồng cấu module. +) Cho M là R - module thì ánh xạ đồng nhất id: M —» M X I—» X là đẳng cấu module. 1.10. Quan hệ thử tự và tập sắp thứ tự Định nghĩa 1.10.1. Cho V là một tập khác rỗng. Một quan hệ hai ngôi (<)được gọi là quan hệ thứ tự trên V nếu thỏa mãn 3 điều kiện i) Phản xạ: Tức với mọi u gV,m3/ e S :t(rs'—sr') = 0. Khi đó ~ là một quan hệ tương đương trên tập R X s . Chứng minh. Thật vậy +) Với mọi ( r , s ) e R x S , do s^0 nên 3teS ta luôn có t(rs —sr^ = t.0 = 0 suy ra ( r ,s ) ~ ( r ,s ) , suy ra ~ có tính chất phản xạ. +) Với mọi ( r ,s ) ,( r ',s ') e / ? x S mà ( r ,s ) ~ ( r ',s ') suy ra tồn tại t e S sao cho r ( r s '- s r ') = 0 suy ra / ( r 's - s ' r ) = 0 suy ra ( / ,s ) , suy ra ~ có tính chất đối xứng. +) Với mọi mà ( r ,s ) ~ ( r ',s ') suy ra tồn tại s^,s2 g S thỏa mãn 5j(r5'-sr') = 0 vàs2(rY '-s'r" ) = 0 suy ra (1), và s2r's" = s2s'r" (2) Nhân cả hai vế của (2) với SịS ta có srs.s2.r'.s" = srs.s2.s'.r" <=> svs.r\ s7.s " = srs.s2.s'.r" <£=>srr.s'.s2.s" = srs.s2.s'.r" 15 và о SịS1s2(rs”- s r n) = 0 Đặt t = sls's2 Gs suy ra t(rs"-sr") = 0, suy ra (r ,s )~ (r",s"), suy ra ~ có tính chất bắc cầu. Vậy ~ là một quan hệ tương đương trên tập R x S . Ký hiệu S~'R = ^ X ^/^ = Ị - : = ( r ,s ) lr e / ? , s e s | . Trên tập S~lR trang bị hai quy tắc (+) và (.) như sau r b rt + bs —I— —-------- . s t st r b rb s t st Khi đó hai quy tắc trên là các phép toán. Thật vậy, giả sử rằng r , r \ b , b ' e R ' , s , s \ t , t ' e S sao cho rr' vb b' - = — và —= — s s' t ì ' suy ra tồn tại u,v G s sao cho ( r s '- sr')u= 0 (bt'-tb')v = 0 nhân đẳng thức thứ nhất với vtt ' và dẳng thức hai với uss1 rồi cộng lại chúng ta được w v[s7'(/t + bs) —st(r't'+b's'ỹị = 0 . Do uv G s nên rt + bs _ r't'+b's' st s't' Tương tự, có thế chúng minh với phép nhân. Khi đó phép (+) và (.) là phép toán hai ngôi trên S~]R và S~'R cùng 16