KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
LỜI CẢM ƠN
Em xin được gửi lời cảm ơn tói các Giảng viên khoa Toán trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2, đã giúp đỡ em trong quá trình học tập tại trường và tạo
điều kiện cho em hoàn thành bản khóa luận tốt nghiệp.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Th.s Phạm Lương Bằng
đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành
khóa luận này.
Trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế.
Em xin cảm ơn đã nhận những ý kiến đóng góp quý báu của thầy cô và các
bạn để bản khóa luận của em được hoàn thiện như hiện tại.
Em xỉn chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Sinh viên
Đào Thị Phượng
Sinh viên thực hiện: Đào Thị Phượng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của Th.s Phạm Lương Bằng, khóa
luận của em với đề tài “Phương pháp giải hệ phương trình và một số cách
sáng tạo ra đề toán m ới” được hoàn thành không trùng với bất kì đề tài nào
khác. Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Sinh viên
Đào Thị Phượng
Sinh viên thực hiện: Đào Thị Phượng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐÀU
1
Chương 1 PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ PHÂN LOẠI HỆ PHƯƠNG
TRÌNH
3
1.1 Một số phương pháp giải hệ phương trình
4
1.1.1 Phương pháp cộng, phương pháp thế...................................... 4
1.1.2 Phương pháp biến đổi đẳng thức............................................. 11
1.1.3 Phương pháp đặt ẩn phụ........................................................... 12
1. Phép đặt u —x + y , v —x —y ................................................ 12
2. Phépđătu = - —-,v = ——- ................................................ 14
Jt + 1
y +1
3. Phép đặt u = x + —,v = y + — .............................................
*
J
1
1
4. Phép đặt U - X + —,v = y + —.............................................
y
x
5.
Một số phép đặt ẩn phụ khác...................................
1.1.4 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm s ố ............................
1.1.5 Phương pháp hình học..............................................................
1.1.6 Phương pháp bất đẳng thức......................................................
1.2 Phân loại hệ phương trình
1.2.1 Hệ phương trình đối xứng........................................................
1. Hệ đối xứng loại một đối với X vày ................................
15
16
17
19
23
24
26
26
26
2. Hệ đối xứng loại hai đối với X vày ................................ 29
1.2.2 Hệ có yếu tố đẳng cấp..............................................................
1. Hệ có chứa một phương trình đẳng cấp bậc 2 .....................
2. Hệ có hai phương trình bán đẳng cấp bậc 2 ......................
3. Hệ đẳng cấp bậc 2 ...............................................................
4. Hệ đẳng cấp bộ phận...........................................................
1.2.3 Hệ sinh bởi các phân thức hữu tỉ.............................................
1.2.4 Hệ bậc hai tổng quát..................................................................
1.2.5 Hệ lặp ba ẩn...............................................................................
1.2.6 Một số hệ không mẫu mực.......................................................
34
34
35
36
40
48
51
53
59
Sinh viên thực hiện: Đào Thị Phượng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Chương 2 MỘT SỐ CÁCH SÁNG TÁC RA ĐỀ TOÁN MỚI
2.1 Sáng tác các bài toán về hệ phương trình giải bằng phương pháp
cộng, phương pháp thế.........................................................................
2.2 Sáng tác các bài toán về hệ phương trình giải bằng phương pháp
biến đổi đẳng thức................................................................................
2.3 Sáng tác các bài toán về hệ phương trình giải bằng phương pháp
đặt ẩn phụ .........................................................................................
2.4 Sáng tác các bài toán về hệ phương trình đối xứng.........................
2.4.1 Sáng tác các bài toán về hệ đối xứng loại 1.........................
2.4.2 Sáng tác các bài toán về hệ đối xứng loại 2 .........................
2.5 Sáng tác các bài toán về hệ có yếu tố đẳng cấp................................
2.6 Sáng tác các bài toán về hệ bậc hai tổng quát..................................
2.7 Sáng tác các bài toán về hệ lặp ba ẩn..................................................
2.8 Xây dựng một số lớp hàm để sáng tác bài toán mới về mối liên hệ
giữa hệ phương trình và dãy số...........................................................
62
62
68
69
70
70
73
77
79
82
85
2.8.1
Lớp hàm / ( x ) = ỵ3* rnJC....................................................... 85
nx + p
2.8.2
Lớp hàm / ( * ) = * ™ *....................................................... 88
nx + p
4
2.9 Sử dụng căn bậc n của số phức để sáng tác hệ phương trình...........
2.9.1 Sáng tác các hệ phương trình bằng cách lũy thừa một số
phức cho trước........................................................................
2.9.2 Sáng tác các hệ phương trình từ 2 số phức cho trước..........
2.10 Sử dụng khai triển Nhị thức Niu tơn để sáng tác một số hệ phương
trình không mẫu mực...........................................................................
89
90
93
95
Kết luận
98
Tài liêu
m tham khảo
99
Sinh viên thực hiện: Đào Thị Phượng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
M Ở ĐẦU
1. Lí do chon
đề tài
■
Như chúng ta đã biết, hệ phương trình có rất nhiều dạng, rất nhiều
phương pháp giải khác nhau. Và điều quan ttọng nhất là nó rất thường gặp
trong các đề thi của các cuộc thi giỏi toán cũng như các kỳ thi tuyển sinh Đại
học, và còn theo xu hướng khó dần lên. Trước tình hình đó, các giáo viên
không chỉ nắm được các dạng và cách giải hệ phương trình mà còn phải biết
cách xây dựng nên những đề toán mới để làm tài liệu giảng dạy.
Học sinh học toán xong làm bài tập. Vậy các bài tập đó ở đâu mà ra? Ai
là người đàu tiên nghĩ ra các bài tập đó? Nghĩ như thế nào? Ngay cả nhiều
giáo viên cũng chỉ biết sưu tầm các bài tập có trong sách giáo khoa, sách tham
khảo, hay là ở một tài liệu nào đó ừên mạng, chưa biết sáng tác ra các đề bài
tập. Như vậy việc sáng tác ra một đề toán mói là vô cùng quan ttọng.
Với mong muốn tìm hiểu về phương pháp sáng tác, quy trình xây dựng nên
một hệ phương trình, em đã chọn đề tài:
“Phương pháp giải hệ phương trình và một số cách sáng tạo ra đề toán m ới”
Khóa luận gồm 2 chương:
Chương 1: Phương pháp giải và phân loại hệ phương trình.
Chương 2: Một sổ cách sáng tạo ra đề toán mới.
2. Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về các phương pháp giải hệ phương trình và một số cách để
xây dựng nên một đề toán mới.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về hệ phương trình và các phương pháp giải.
4. Phương pháp nghiên cứu
Tham khảo tài liệu, sách báo, ữa mạng tìm thêm thông tin, phân tích và
tổng họp kiến thức, xin ý kiến định hướng của người hướng dẫn.
1
Sinh viên thực hiện: Đào Thị Phượng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
5. Dự kiến đóng góp của đề tài
Trình bày song song hai vấn đề: Phương pháp sáng tác các đề toán và
Các phương pháp giải cũng như phân loại các dạng toán về hệ phương trình.
Điểm mói lạ ở đề tài này đó chính là cách thức chúng ta suy nghĩ để tìm ra lòi
giải của một bài toán, cũng như là quy trình sáng tác ra một đề toán mới.
2
Sinh viên thực hiện: Đào Thị Phượng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
C h ư ơn g 1
P H Ư Ơ N G P H Á P G IẢ I VÀ P H Â N L O Ạ I H Ệ P H Ư Ơ N G T R ÌN H
Trong chương này ta sẽ trình bày các phương pháp giải cũng như phân loại
các dạng toán về hệ phương trình. Có một số bài toán với lời giải cụ thể.
❖ LÝ THUYẾT Cơ SỞ
• Hệ phương trình.
Phương trình f [ x l,x2,...
Miền
xác
I
(1)
định của phương trình (1)
V(jCpjt2,...
là tập
làm cho hàm /(xpjc2,...
D1a TO
sao
cho
có nghĩa.
Nghiệm của (1) là một bộ số (x10,jC2,. -
thỏa mãn (1). Tập nghiệm
của phương trình (1) là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình (1).
Hệ phương trình là một hệ có từ hai phương trình trở lên, và số phương trình
trong hệ là một số hữu hạn.
Giải hệ phương trình tức là ta đi tìm tập nghiệm của hệ đó.
• Miền xác định
/
l ( *
p
*
2
V
'
'■
Giả sử hệ phương trình là '
( 1
)
*
1
(2)
I
(m)
J
Gọi Dl,D2...
D = Dl P\
n ...n
lần lượt là các miền xác định của (1), (2),...,(m) thì
là miền xác định của hệ phương trình (/).
• Tập nghiệm của hệ phương trình
Gọi SlfS2,...
5 =5^
n ...n
lần lượt là các tập nghiệm của (1), (2),...,(m) thi
là tập nghiệm của hệ phương trình (7).
• Hệ phương trình tương đương,
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
3
Sinh viên thực hiện: Đào Thị Phượng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
1.1 MỘT
■ SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ• PHƯƠNG TRÌNH.
1.1.1 Phương pháp cộng, phương pháp thế.
Đây là phương pháp cơ bản nhất. Từ bài học đầu tiên về hệ phương trình,
sách giáo khoa đã giói thiệu phương pháp này. Và bất cứ một tài liệu nào viết
về hệ phương trình thì phương pháp này luôn được đề cập đến. Do vậy, sau
đây ta sẽ đi sâu hơn vào việc phân tích kĩ thuật giải một số bài toán khó.
Bài toán 1. Giải hệ phương trình
X2 + 2xy + 2 y 2 + 3x - 0
(1 )
xy + y 2 +3 y +1 = 0
(2)
Giải. Lấy phương trình (1) cộng với phương trình (2) nhân 2, ta được
X2 + 4 xy + 4 ỵ 2 + 3x + 6y + 2 = 0
<=>
+ 2 j ) 2 + 3(;t + 2 j ) + 2 = 0<=>(x + 2y + l)(;t + 2 y + 2) = 0
(.X+ 2 j + 1) = 0
(x + 2 j + 2 ) = 0
• Nếu Jt + 2 j + l = 0 th ì
X
——2 y - 1, thay vào (2) ta được
,
r y = 1 + -v/2 => X - -3 - 2yfĩ
- y 2 + 2y + ỉ = 0 « .
7:
y = 1 —V 2
JC= —3 + 2v2
Nếu jc + 2 j + 2 = 0 th ìjc = - 2 y - 2 , thay vào (2) ta được
y=
- y 2+ J + 1 = 0 < »
y=
1+*JS
2
1 -4 5
x = —3 —V5
X = —3 + V5
Hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm
(- 3 -2 V 2 ; l + ^ ) , ( - 3 + 2 > /2 ; l- V 2 ) /- 3 + >/5;1^
’
Lưu ý. Tại sao lại lấy phương trình (1) cộng với phương trình (2) nhân 2? Ý
tưởng là ta sẽ biến đổi để đưa về phương trình bậc hai theo mx + ny .Đ ể làm
điều đó ta nhân phương trình (1) với a và phương trình (2) với p rồi cộng lại
a ị x 2 + 2xy + 2 y 2 + 3x) + p ị x y + y 2 + 3 y + 1) = 0
X2 + 1— + 2
Va
+ 3a x + ^ y \+ ß = 0
a )
4
Sinh viên thực hiện: Đào Thị Phượng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Ta càn chọn a và ß sao cho
xy + ' Ề + 2
V«
J
X2 +
X +
V
\2
ß
„
— y
a J
ß _ + tß^:
2 y ĩ2
ß + 2^ y. ■
— + 2 xy + ( —
l2z ____
= x 22l. + r,
2.—xy
a
a
V«
y
)
Đồng nhất hệ số ta được
Ế
a ^ = 2Jr
a _ ß ~ _ a n.
<^> — = 2<^> ß = 2a
l +1=t
a
„a
a
Để cho đơn giản, ta chọn a - 1 và ß = 2.
Bài toán 2. Giải hệ phương trình
2
2
1
X +y = 5
(1)
4x2 + 3.X- — = -j(3;*: + l)
(2)
Hướns dẫn. Nhân phương trình (2) với 2 rồi cộng với phương trình (1).
Bài toán 3. Giải hệ phương trình
X4 + 2(3y + ì ) x 2 + (5y2 + 4y + 11)X - y 2 + lOy + 2 = 0
(1 )
ỵ 3 +(jc —2)y + X 2 + X + 2 = 0
(2)
Giải. Khi 3>= - l thì (2) trở thành JC2 +3 = 0, vô nghiệm. Vậy hệ không có
nghiệm dạng ( x ; - l ) , do đó có thể giả sử ỵ + l * 0 . Nhân phương trình (2) với
y + 1, rồi lấy phương trình (1) trừ phương trình vừa nhận được, ta có
(x + ;y)(* —y + 2)(jt2 —2x + y 2 + 3 y + 5) = 0
Với x = - y , thay vào (2) được ( 3; + 2) ( j - 1)2 = 0 <=> 3; e {-2,1}.
Với x - y - 2 , thay vào (2) được ( 3; - 1)2(y + 4 ) = 0
;y e {—4, 1}.
Dễ thấy X2 - 2 x + y 2 + 3y + 5 = ( x - i ý + ị y 2 + 3y + 4-)> 0 . Thử lại ta thấy hệ
có nghiệm (x; y) = (-l;l), (2; -2 ), (-6 ;4 ).
5
Sinh viên thực hiện: Đào Thị Phượng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Lưu ý. Đây là bài toán khó, để có được lời giải ngắn gọn như trên ta phải
phân tích, tìm lời giải như sau.
Bước L Tìm nshỉêm của hê. Nếu biết được nghiệm thì ý tưởng của ta sẽ
rõ ràng hơn nhiều. Lần lượt thử * = -2,-1,0,1,2,3,-•• ta tìm được hai nghiệm
của hệ là (jc;j) = (-1;1),(2;-2).
Bước 2. Tìm quan hệ tuyến tính giữa hai nghiệm này. Dễ thấy đó là
y = —x hay x = —y .
Bước 3. Thay vào
hê
và
p h â n t í c h t h à n h n h â n tử.
Ta thay
X
bởi —y hoặc
y bởi - X (tùy trường hợp xem cách nào có lợi), với bài này ta thay y = —x
vào hai phương trình của hệ và thu được.
X4 +
<
2(-3jc + 1) X 2 + (5jc2 — 4 x
+ l ì ^ x — X 2 — 10jc +
2=0
-X3- ( x - 2 ) x + x2+X + 2 - 0
ịịx + l f ( x - l ) ( x - 2 ) = 0
\ ( x + 1)2( x - 2 ) = 0
Việc phân tích trên là không khó vì ta đã biết trước nghiệm x = —l,x = 2.
Bước 4. Lựa chọn biểu thức thích họp. Như thế, so với phương trình thứ
nhất vừa nhận được thì phương trình thứ hai thiếu đi một biểu thức là x - l ,
nhưng chú ý rằng biểu thức này cũng tương đương với - y - l . Ta sẽ chọn một
trong hai biểu thức này để nhân vào. Rõ ràng nếu chọn -_ y -l thì việc nhân
với (2) sẽ tạo ra một đa thức có chứa y4 đồng bậc vói X4 ở phương trình (1).
Vậy ta sẽ nhân phương trình sau cho - y - 1.
Bài toán 4. Giải hệ phương trình
\ x - y ) 2+ x + y = y 2
( 1)
JC4 - Ax2y + 3x2 = - y 2
(2)
Hướng dẫn. Xét x = 0 và x - 2 đều là nghiệm của hệ. Với *^ {0 ,2 } ta xét
biểu thức (l)[x (x - 2 )] + ( 2).
Bài toán 5. Giải hệ phương trình
2x2ỵ + 3xy - 4x2 + 9 ỵ
(1)
7 y + 6 = 2x2 + 9x
(2)
6
Sinh viên thực hiện: Đào Thị Phượng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
4jc2
, ...
2x2 + 9 x - 6
,
„
Giải. (1) => y - — Y~—--------------------------------- , từ (2) ta có y = -- -------. Suy ra
2x + 3 x- 9
4x2
2x2 + 9 x - 6
2x2 + 3 x - 9
7
<=>2&X2 = ị2 x 2 + 9x - 6}ị2x2 + 3x - 9 )
<=>(JC+ 2)(2x - 1)(2jc2 + 9 x - 2l ) = 0
1
2
-9 + 3 ^ 3
4
O J C = - 2 v x = - v x = -------------------
2x2 + 9 x - 6
-16
• Khi
X
= - 2 , ta có
• Khi
X
1
,
2 x 2+9 x - 6 -1
= —, ta có y = ------_-------- = — .
2
7
7
y -
T^I •
9 ± 3^/33
2 r*
„ 2x 2 + 9 jc -6
• Khi X = ---- — ----- => 2x + 9x —27 = 0 =>------ _ -------- = 3.
4
7
r
Vậy hệ phương trình đã cho có bôn nghiệm là
( x’, y ) =
-
2
;-
1.-1
2;7
;3
Lưu ý. Bài này có thể còn nhiều biến đổi đơn giản hơn nhưng rõ ràng cách rút
y ra rồi thay vào một phương trình như trên là tự nhiên hơn cả.
Bài toán 6. Giải hệ phương trình
»
Hướns dẫn. Thay
X2 + X
2x-ì
\x2 - 2xy + x + J = 0
( 1)
IJC4 —4 X 2 y + 3x2 + y 2 = 0
(2)
. A
1
x = —vào (1)ta thấy YÔ lí. Giả sử
2
1
.
* — thì từ (1) suy ra
2
?
, sau đó thay vào (2) ta được 1 phương trình với ân X .
X
Bài toán 7. Giải hệ phương trình
X 4 + 2 x 3y - 2 x 2y 2 -
12x y 3 + 8y4 +1 = 0
(1 )
(2)
2x3y + y 4 = ỉ
7
Sinh viên thực hiện: Đào Thị Phượng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Hướng dẫn. Thay (2) vào (1) ta được phương trình ịx 2 + 2xy - 3y 2) = 0.
Bài toán 8. Giải hệ phương trình
2yj2x + y = 3 —2x —y
(1)
yjx + 6 + ^Jl -y = 4
(2)
Hướns dẫn. Tìm điều kiện.
Ta có
(1)
2x + y + 2^2x + y - 3 = 0
yj2x + y = 1
■yj2x + y = -3 (loại)
Bài toán 9. Giải hệ phương trình
+ y2=0
(1)
*Jl + X2 + x
(2)
+ 2\jx2 + 1 + J 2 =3
Hướng dẫn. Tìm điều kiện.
Ta có
(1)<^>x+ yịyịl + x2 - jcj + y 2 = 0 o - + y + yjl + x2 - x = 0
c
\
X
Xét (2) - 2 X (3) = - + y
\y
J
\
X
.. + y
yy
J
(3)
c
3= 0
1
Bài toán 10. Giải hệ phương trình
y 2 Vx _
+Z -_ iii + 2
yfx X
y
y ụ x2 + l - Ì } = yl3x2+3
Giải. Điều kiện X > 0, y ^ 0. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương
y*Jx + y 2 =2xyfx + 2xy <=> y 2 + y ịyfx - 2xj - 2xyfx =0
Xem đây là phương trình bậc hai theo biến y , ta có
Áx =ị~Jx -2x^j + Sxyịx = X + 4xy[x + 4x2 = ịyfx + 2x ) > 0 ,V x > 0
Do đó phương trình này có hai nghiệm là
8
Sinh viên thực hiện: Đào Thị Phượng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
ị2x - V *) - (yfx + 2х\
\ 2 х - л / х \ + (-s/x + 2x\
У = ---------- --------------- = -yjx, у = ----------- --------------- - = 2x
2
2
• Nếu у = - л [ х, thay vào phương trình ứiứ hai của hệ ta được
-V ^ỊV x 2 + l - l j = V3jc2 + 3
(*)
Dễ ứiấy -yfx Ụ x 2 +1 - 1 j < о < л/зл:2 +3 nên (*) YÔnghiệm.
• Nếu y = 2x, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được
2xị j j x2 +1 —ĩj = *j3x2 +3 <=>^Ịx2 + \ { 2 х —^ъ^ —2х
(1)
\Jx2 +1 =
(2)
Ị- (do X = — không thỏa mãn (1))
2х-у/з
2
Trên (0;+oo), xét hai hàm số /( j t ) = v * 2 + l,g ( * ) = —
r . Ta có
2x- y / 3
JC
v * 2+ l
nghịch biến trên mỗi khoảng
mãn (2) nên đây là nghiệm duy nhât của (2) trên
í
R ì
9r
/------2x
I------0;— , ta có — —* Ị- < 0 <
3(«3 - U2V +
2 U2V - 2 u v 2 +
u v 2 - V3 ) + M3 -
3«2V+ 3u v 2 -
V3 +
140 = 0
<=>u3 - V 3 + 3 5 = 0
Tương tự, thay vào (2), ta được
ịu + v)2 + 5 ( « - v ) 2 + 2 j l ± z . j l z z + 5 . j i ± l + i 3.^ z z = 0
4
4
2
2
2
2
<=>ÌOu2 + 10v2 + 2ị u2 —V2) + ÌOu + lOv + 26 u —26v = 0
<=> 3u2 + 2v2 + 9u —4v = 0
Ta có
w3 = v 3- 35
(3)
3w2 + 9 m = —2v2 + 4v
(4)
Nhân (4) với 3 rồi cộng với (3), ta có
u + 9 u + 2 1 u = v —6v + 2 4 v - 3 5
o ( m i 3 ) 3 = ( v - 2 ) 3o ỉ í = v - 5
Thay vào (3) ta được
(v - 5)3 - V3 + 35 = 0
V2 - 5v + 6 = 0
Ve {2,3}
• Với V= 2 ta có u = - 3 , dẫn tói 1* ^ ^ o ( x ; y ) = ^ ^
\x - y =2
V 2
\x + y = - 2
• Với V= 3, suy ra M= - 2 , ta có ^
l* -y = 3
^
2y
.
. r\ _5A
(x; j ) =
2 ’ 2,
1
Kết luận: Hệ có hai nghiệm là (X', j ) =
2
’
2
2
5a
’
2
Lưu ý. Vì sao ta lại nhân (4) với 3 rồi cộng vói (3)? Ta có
u3 + ẫ (3 u2 + 9u) = V3 - 3 5 + ầ ( - 2 v 2 + 4v)
u3 + 3Ầu2 + 9ẪU - V3 - 2ĂV2 + 4ÃV - 35
10
(5)
Si/iA Vỉ'éw thực hiện: Đào Thị Phượng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Ta càn chọn Ả sao cho (5) có dạng
{u
-
a f =
(v -
b f <=> w3
- 3 au2 +
3 a 2u
- a3 = V3 - 3 bv2 + 3 b2v -
b3
(6)
-3a = 3Ẵ
a=-3
3
1
II
-Q
C
O
1
So sánh (6) và (5) suy ra
3a2 = 9Ă
b=2
3b2 =4Ă
Ă=3
a3- b 3= - 35
1.1.2 Phưontg pháp biến đỗi đẳng thức.
Nhiều bài hệ phương trình tuy nhìn phức tạp nhưng có thể giải bằng những
đẳng thức đơn giản. Mấu chốt giải những bài toán dạng này là ta phải nhìn ra
quan hệ giữa các ẩn số, từ đó lập nên những hằng đẳng thức thích hợp. Một số
đẳng thức có thể không quen thuộc, nên phương pháp này đòi hỏi kinh
nghiệm và sự tinh ý.
Bài toán 12. Giải hệ phương trình
X
+ y
= l + xy
y
= 1
y +1
v* + ly
Hướng dẫn. Điều kiện Jt ^ -1, y * -1 . Hệ ưên tuy là hệ đối xứng loại 1 nhưng
bậc khá cao, việc đưa về s - X + ỵ , p —xy có thể gặp nhiều khó khăn. Nhưng
r
w t
nêu ta biên đôi
+
(1 )
X 2 - x y + y z = 1 < ^ > -------- + ^ ^ -
y + 1 x+\
thì bài toán ữở nên đơn giản, (lưu ý ta phải chứng minh ( 1)).
Bài toán 13. Giải hệ phương trình
rx + y + xy = 3
(1)
1
r + 1
(2)
Hưởng dẫn. Ta có (1)<=>(jt + 1)(y + 1) = 4. Đặt a = x + ĩ,b = ỵ + l. Tuy nhiên
1 ,
mâu chôt của bài toán là đăt c = — đê từ ( 1 ) ta có abc - 1 , và ta đi tính
4
1+ a + ab, ì + b + bc, 1+ c + c a . Từ đó ta đi đến lòi giải.
11
Sinh viên thực hiện: Đào Thị Phượng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
\x2 + y 2 + xy - ?)
Bài toán 14. Giải hệ phương trình
ịx5 + y 5 +15xy(x+ j ) = 32
Hưởng dẫn. Ta cần tìm mối quan hệ giữa các hạng tử trong hệ. muốn vậy ta
chú ý tới hằng đẳng thức (jc+ j )5 = x 5 + y + 5 x y (jc + y )(x 2 +J9 >+ y 2Ỵ
Bài toán 15. Giải hệ phương trình
n2
-1 + —11+ - =
X y z
[,xy
(2)
z
Hưởng dẫn. Điều kiên JC^0,
/
(1):
1
yx
(1)
Ta có
\2
1V
= 4:
y
1 1 1\ 2
—+ —+ —
yx y
xy
z
Biến đổi tương đương đẳng thức trên để tìm nghiệm của hệ.
1.1.3 Phương pháp đặt ẩn phụ.
Có rất nhiều cách đặt ẩn phụ khi giải hệ phương trình. Đặt ẩn phụ theo
cách nào còn phụ thuộc vào từng hệ phương trình cụ thể. Sau đây ta sẽ nêu ra
một số phép đặt ẩn phụ cơ bản, thường gặp. Nắm được các phép đặt này ta sẽ
có định hướng tốt hơn khi giải hệ phương trình.
l.Phép đăt u = x + y,v = x —ỵ
Khi đó
u + v = 2x
u —v = 2y
u2 + v 2 = l ( x 2 +
UV-X2- y 2
m3 + v3 = 2 ( jc3 +
u3 - V3 = 2yị?)X2 +
3 j 2jc)
u4 + V4 - 2^x4 + 6 x2y 2 + y 4)
u4 —V4 —8xy (X2 + J 2)
u5 + V5 = 2xị X4 + 10jc2j 2 + 5 y A)
u5 —V5 = 2 y ( 5.X4 + 5x2ỵ 2 + J4)
2x + 2x2 —2 y 2 = 7
Bài toán 16. Giải hệ phương trình
2( x2 + y 2) = 5
12
Sinh viên thực hiện: Đào Thị Phượng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Hướns dẫn. Đặt u = x + ỵ , v = x - ỵ . Khi đó
_
u + v = 2 x ,u v = X
2
2
—y , u
2 ,
2 _r \ (
2 .
+ V = 21X + y
Thay vào hệ ta được hệ đôi xứng loại 1 đôi với lí v à v :
2\
I
\u + V + 2uv - 7
ịu + V —5
Bài toán 17. Giải hệ phương trình
3
1
X - y
= — ----------4 y 2x
4
4
(*)
(jc2 - j 2)5+5 = 0
Giải. Điều kiện X ^ 0 và y ^ 0. Đặt u = x +
x=
= x —y . Khi đó
u+v
u —v
:— , y = -----2
2
/
X uvịu2 +V2)
x‘ - y ‘ = ( x - y ) ( x + y ) ự + y*) — V -?— L
_3___ 1
4 y 2x
3
______ 1
2ịu —v) u + v
» + 5v
2 (w2- v 2)
Thay vào hệ (*) ta được
uv(u2+ v 2)
u + 5v
r / 4 4\
— _----- = / n n\
uv[u - V ) = u + 5v
2
2{u - V ) <=> ị v
]
(wv)5 = -5
(mv)5 = -5
uvịu4 —v4) = w-(mv)5v
(3)
Nếu u = 0 thì y = - X , thế vào phương trình thứ hai của hệ thấy không thỏa
mãn. Vậy xét u^O. Từ (*) ta có
vị u4 - V4J = 1 - U4V6
1+ V = 0
w4v (l + v5) = l + v5 •Ö-
M4V= 1
T .T 1
;
1
5
n
1
-
's / p
t
> / 5
-
1
> / 5
+
l
• Khi l + v = 0 ta CO V= - l , suy ra u = ỷj5. Vậy x = ------------------ , ỵ = ---— .
• Khi M4V= l ta có
V
= —Ỵ , thay vào (tív)5 = -5 ta được
13
Sinh viên thực hiện: Đào Thị Phượng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Do dó
X =
j r g ,
2
. Các nghiệm của hệ là
’J
2
,
V f #5-1 fß +l
>(*;?) =
(x;y)=
V z
z y
- Ễ +^ r Ễ - ^
2
’
2
2 . P A é p đ ă t u = ——
V = —— X +1
y +1
Khi đó
x+l
y +1
(j: + 1) ( j + 1)
X —1
y —1
2(x-y)
U - V - - --------------— ^-7—
JC+ 1 y + l (jc + 1) ( j + 1)
_ x - ĩ y - l _ xy-(x+ j) + l
uv =
JC+ 1 J + 1 (a: + 1)(j + 1)
1 +Mv=^ z k ± z ) ± l + 1 =
2^ +2
(jc + 1) ( j + 1)
(* + l)(y + l)
1 .... _ 1
x y - ( x + y ) + l _ 2(x + y)
( x +\ ) ( y l l )
(x + l ) ( y + l)
u-v_x-y
1 —uv
X + y
Bài toán 18. Giải hệ phương trình
_
Hưởng dân. Đăt u -
X —1
x - y _ 1 - 3jc
ỉ-xy
3-x
x+ y = l-2 y
1 + xy 2 - y
y —1
— V= ------. Khi đó
JC+ 1
y +1
14
 n A Vỉ'éw
thực hiện: Đào Thị Phượng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
X — y _ u —v
l-x y
x + y
_ u v —l
u + v ’l + xy
UV +
1
3u-3
2v-2
~ u + 1 = 4 ~ 2u l z h = ~ V+ 1 = 3 ~ v
v -1
v+ 3
2 _ M 2w + 4 ’ 2 - J
u + 1
v+1
3 - JC
Ta thu được hệ
u - v
4 -2 «
u + V 2u + 4
uv —l 3 - V
UV + 1
V+ 3
2u2 +4u —2uv - 4v = 4u + 4v - 2u2 - 2uv
Iuv2 — V + 3u v
14 u 2
- 3
- 8v = 0
= 3mv + 3 - uv2 — V
ịu 2
2mv2 =6
- 2v
IMV2 = 3
1
1
3. Phép đạt u = x + —,v = y + —
X
y
Khi đó
0
9
1 .
u —X H——+ 2
u+V=
-L .,
u2+ v 2 = ( x 2 + y 2) ị \ + - ^
( jc+
ỉ
uv = xy + ---- 1xy
X
+ y
u _ y
xy
V
+4
X2 + 1
x ' y 2 +l
Bài toán 19. Giải hệ phương trình
{x+ y) 1+
xyj
=4
1 x2+ y 2 _ .
xy + ——H----- ----- - 4
xy
xy
Hướng dân. Đăt
1
u = X + — ,v =
X
1
y
+ —
y
, ta thu đươc hê
15
ịu+v-4
<
[uv - 4
Sinh viên thực hiện: Đào Thị Phượng
- Xem thêm -
.PDF 
103 
638 
122 
