Tài liệu Khoá luận tốt nghiệp Đa thức và ứng dụng trong các bài toán đại số sơ cấp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC su ' PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN PHẠM QUỲNH THƠ ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ s ơ CÁP KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP • • ĐẠI • HỌC • Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thị Kiều Nga HÀ NỘI, 2015 LỜI CẢM ƠN Trong quá trình làm khóa luận, em đã nhận được sự giúp đỡ và chỉ bảo rất tận tình của TS. Nguyễn Thị Kiều Nga. Em xin chân thành cảm ơn và bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô. Em cũng xin cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong Khoa Toán, các thầy cô trong tổ Đại số và Thư viện Trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất giúp em hoàn thành khóa luận này. Hà Nội, thảng 5 năm 2015 Sinh viên Phạm Quỳnh Thơ LỜI CAM ĐOAN Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thị Kiều Nga cùng với sự cố gắng của bản thân. Trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận em có tham khảo một số tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo). Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này là kết quả nghiên cứu của bản thân em, không trùng với kết quả của tác giả nào khác. Neu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. MỤC LỤC Trang MỎ ĐẦU 3 Chưong 1. Kiến thửc chuẩn bị 4 1.1. Xây dựng vành đa thức một ẩn 4 1.2. Phép chia có dư 5 1.3. Nghiệm của đa thức 5 1.3.1. Nghiệm bội 6 1.3.2. Định lý Bezout 6 1.3.3. Biểu diễn đa thức thông qua các nghiệm của nó 6 1.3.4. Nghiệm của đa thức với hệ số nguyên 6 1.4. Công thức Viete, lược đồ Hoocner 7 1.4.1. Công thức Viete 7 1.4.2. Lược đồ Hoocner 8 1.5. Đa thức đồng dư 8 1.6. Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn 9 1.7. Đa thức đối xứng 10 1.7.1. Định nghĩa đa thức đối xứng 10 1.7.2. Ví dụ các đa thức đối xứng sau gọi là đa thức đối xứng cơ bản 10 1.7.3. Đưa đa thức đối xứng về đa thức của các đa thứcđối xúng cơ bản 10 Chương 2. ứng dụng của đa thức một ấn 11 2.1. Chứng minh đẳng thức 11 2.2. Bài toán chia hết 13 2.3. ứng dụng định lý Viete 15 2.3.1. Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức đốixứng Kgiữa các nghiệm 15 2.3.2. Dạng 2: Tìm miền giá trị của tham số đểcác nghiệm của phương trình f (x,m) = 0 thỏa mãn điều kiện Knào đó 18 2.3.3. Dạng 3: Tìm mối quan hệ giữa các hệ số củamột sốphương trình bậc 3, bậc 4 khi biết mối quan hệ giữa các nghiệmvà ngược lại 21 2.4. Phân tích đa thức thành nhân tử 24 Chương 3. ứng dụng của đa thức nhiều ấn 28 3.1. Chứng minh đẳng thức 28 3.2. Chứng minh bất đẳng thức 32 3.3. Phân tích đa thức nhiều ẩn thành nhân tử 36 3.4. Giải hệ phương trình 40 3.5. Trục căn thức ở mẫu 43 3.6. Giải phương trình căn thức 45 3.7. Tìm nghiệm nguyên của phương trình đối xứng 48 KẾT LUẬN 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 MỞ ĐẦU Trong nhà trường phổ thông, môn toán giữ một vị trí hết sức quan trọng. Nó giúp học sinh học tốt các môn học khác, là công cụ của nhiều ngành khoa học và cũng là công cụ để hoạt động trong đời sống thực tế. Môn toán có tiềm năng to lớn trong việc khai thác và phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện các thao tác và phẩm chất tư duy. Đại số là một bộ phận lớn của toán học, trong đó đa thức là một khái niệm cơ bản và quan trọng được sử dụng nhiều không những trong đại số mà còn trong giải tích, toán cao cấp và toán ứng dụng. Tuy nhiên cho đến nay, vấn đề đa thức và ứng dụng của nó trong việc giải các bài toán sơ cấp mới chỉ được trình bày sơ lược, chưa được phân loại và hệ thống một cách chi tiết. Tài liệu về đa thức còn ít, chưa được hệ thống theo dạng toán cũng như phương pháp giải, cho nên việc nghiên cứu về đa thức còn gặp nhiều khó khăn. Với lý do trên, cùng với lòng say mê nghiên cứu và được sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của TS. Nguyễn Thị Kiều Nga em đã mạnh dạn chọn đề tài: “Đa thức và ứng dụng trong giải các bài toán đại số sơ cấp” để làm khóa luận tốt nghiệp, nhằm phân loại, hệ thống một số bài toán về đa thức và các ứng dụng của nó trong môn toán ở nhà trường phổ thông. Nội dung khóa luận được chia làm 3 chương. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Chương 2. ứng dụng của đa thức một ấn Chương 3. ứng dụng của đa thức nhiều ẩn Do thời gian có hạn và năng lực bản thân còn hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi sai sót. Em rất mong được sự góp ý của các thầy cô và các bạn. Em xin chân thành cảm ơn ỉ 3 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẪN BỊ 1.1. Xây dựng vành đa thức một ấn Cho A là vành giao hoán có đơn vị (ký hiệu là 1). Khi đó: P = Ị(a0,a],***,an,“ *)/ai eA ,aị =0 hầu hết, V ie N ị, cùng với hai phép toán: - Phép cộng: (a0.ap-’s^n’’ ••) + (b0, b „ - , b n, - ) = (a0 + b0,a,+ b„3o (a0’a p* ’*’an’*••) + (b0,b „ " -,b n,"- II 'TT Ò o - Phép nhân: với ck = z a ibj,k = 0 ,l,-" ,n ," i+j=k lập thành một vành giao hoán có đơn vị 1= (1,0,0,- •-,0,- ••). Ta gọi p là vành đa thức, mỗi phần tử thuộc p gọi là một đa thức. Xét ánh xạ: f : A —» p al->(a,0,•••,(),•••). là một đơn cấu vành. Do vậy, ta đồng nhất a G A với phần tử: f (a) = (a,0,---,0, '" Ị s P . Khi đó, A là vành con của p. Ký hiệu: Khi đó: x = (0,1,0,•••,(),•••), X2 =(0,0,1,0,•••,(),•••), x3= (0>0,0,l>0 , - >0>- ) , xn = 0,-,0,1,0,-,<),•• V n Do đó, mỗi phần tử a e P: CL (a0,ap***,3.^,* * Do âị = 0 hầu hết nên tồn tại n E N sao cho 4 a n+l a n+2 *" 0 Vì thế a = (a0,ap---,an,0,---) í Khi đó: a = a0(l,0,---) + a, (0,1,0,-••) + ••• + an 0,-,0,1,0,V n = a0 +a,x H-----i-anx Thay cho p viết A[x] và gọi là vành đa thức của ẩn X, lấy hệ tử trong A. Mỗi phần tử thuộc A[x] gọi là đa thức của ẩn X được ký hiệu là: 1.2. Phép chia có dư Cho A[x] là vành đa thức, A là một trường, f (x ),g (x ) là hai đa thức của vành A [x],g(x) ^ 0 Khi đó, tồn tại duy nhất q(x); r(x) e A[x] sao cho: f(x ) = g (x )-q (x ) + r(x) Neu r ( x ) ^ 0 thì deg r(x )< d eg g(x). Đa thức q(x)được gọi là thương và r(x)được gọi là dư của phép chia f (x)cho g ( x ) . Nếu r(x) = 0 thì f ( x ):g (x ) trong A[x]. 1.3. Nghiệm của đa thức * Định nghĩa: Cho K là một vành chứa vành A. Phần tử a e K gọi là nghiệm của đa thức f (x ) e A[x] nếu và chỉ nếu f ( a ) = 0. Ta cũng có thể nói a là nghiệm của phương trình đại số f (x) = 0 trong K. Neu deg f (x) = n thì phương trình f (x) = 0 gọi là phương trình đại số bậc n (n > l ) . 5 1.3.1. Nghiệm bội Giả sử k là một số tự nhiên khác 0. Một phần tử a e A gọi là nghiệm bội bậc k của đa thức f(x )e A [x ] nếu và chỉ nếu f ( x ) : ( x - a ) k và f(x ) không chia hết cho (x - a ) k+l. 1.3.2. Định lý Bezout a) Định lý Bezout Cho vành đa thức A [x]; A là một trường; f (x) € A[x]; a e A. Khi đó, dư trong phép chia f(x ) cho ( x - a ) là f ( a ) . b) Hệ quả Cho A là một trường. Phần tử a e A l à nghiệm của đa thức f(x )e A [x ] khi và chỉ khi f (x ):(x -a ). 1.3.3. Biếu diễn đa thức thông qua các nghiệm của nó Định lý: Cho đa thức f(x ) = a0xn + a ]xn_1 H-----han_,x + a n eA [x]; ao^O tiù tồn tại trường K zdA và f(x ) có thể viết dưới dạng: f (x) = a0( x - a 1) ( x - a 2)* '* (x -a n) trong vành K[x] với a ,, a 2,---,an là những nghiệm của đa thức f(x ) trong K. 1.3.4. Nghiệm của đa thức với hệ số nguyên a) Nhận xét Với mọi f(x )e Q [x ] luôn tìm được aeQ* để f (x) = a-fị(x ); fj(x )e Z [x ]. Do đó f (x) = 0 khi và chỉ khi f,(x) = 0. Đe tìm nghiệm hữu tỉ củaf(x ) ta chuyển về tìm nghiệm hữu tỉ của đa thức với hệ số nguyên fị ( x ) . b) Định lý 1 Cho f (x) = a0xn + a 1xn~' H— + an_ịX + an eZ [x]. Nếu phân số tối giản — là nghiệm của đa thức f (x)thì: 6 p|an và q|a0. c) Định lý 2 Neu phân số tối giản — là nghiệm của đa thức với: q f(x ) = a0xn + a,x n_1 H-----ban_jX + a0 eZ [x ] thì với mọi số nguyên m ta có f (m) chia hết cho (p - m q). Trường họp đặc biệt p + q là ước của f ( - l ) , p - q là ước của f ( l ) . d) Nhận xét Neu а ф ±1 là nghiệm của f (x )e Z [x ] ; a nguyên thì: f(l) v f(-l) , - 7 và —— - đêu nguyên. 1 - a 1+ a 1.4. Công thức Viete, lược đồ Hoocner 1.4.1. Công thức Viete Cho f(x ) = a0xn + а |хп-1 H-----han_!X+an eA [x]; d eg f(x ) = n. Giả sử f (x) có n nghiệm a , , a 2,'--,a n e K với K=) A. Khi đó: f(x ) = a0( x - a , ) ( x - a 2)” - ( x - a n). Đồng nhất các hệ tử của hai đa thức. Ta có: ai Œ|I + Œ?2 + ***+ otn —---n a0 a 2 a j a 2 + a j a 3 H-----1- a n_ j a n = — a0 a ,a 2••• + «,+ ••• + a n_k+1a n_k+2••. a n = ( - l)k^ a0 a 1a 2 - - * a n = ( - l ) n — . a0 7 1.4.2. Lược đồ Hoocner Cho A là trường. Và f (x) e A[x] là đa thức bậc n. Giả sử: f ( x ) = a 0x n + a ị X " - 1 H-----------f a n - i x + a n ( oc e A ) Chia f (x) cho (x - a ) trong A[x], giả sử thương của phép chia đó là: q(x) = b0xn~' + b,xn' 2 H-----hbn_2x + bn_j, bị e A, i =0,n -1 . Nghĩa là: a0x ” + dịX”^ H----- han_ịX + an = (x - a)( b0xn~] + bxx n~2 +... + bn_2x + bn_ì + / ( « ) . Đồng nhất hệ số ta có bảng sau, gọi là lược đồ Horner. a 3o 3| bữ= a0 bị = dị + abQ an f ( a ) = an+abn_ị 1.5. Đa thức đồng dư a) Định nghĩa: Cho vành đa thức A[x], u (x ),p (x ),q (x ) e A[x] và u(x) là đa thức khác không. Ta nói rằng đa thức p(x) và q(x) là đồng dư theo môđun đa thức u(x) nếu ( p(x) -q (x )): u(x) trong vành A[x]. Kí hiệu: p(x) = q(x) (modu(x)) b) Các tính chất: Cho p (x ),q (x ),^ (x )e A [x ]. 1. Nếu p(x) = q(x)(m o d ^(x ))th ìq (x ) = p(x )(m o d ^(x )). 2. Nếu p(x) = q(x) (mod ^(x)) và p(x) = r(x) (mod £(x)) thì: p(x) = r(x )(m o d ạ(x )) 8 3. Cho các đa thức bất kỳ Pị(x), p2(x),...,p/ỉ(x),gl(X),q2(x),...,g/ỉ(x) và Wj(x),u2(x),...,u/?(x) GА[х]. Nêu Pị(X) = Ọị(x) (mod ệ(x)) với mọi i = l,n thì u x( x ) . p ị ( x ) + . . . + u n ( x ) . p n ( x ) = u x( X ) . q xU ) + . . . + u n ( x ) . q n ( x ) ( m o d £ U ) ) 4. Cho các đa thức p (x ),q (x ),r(x )e A [x ], Neu p(x) = q ( x ) (m odậ(x)) thì p (x )-r(x ) = q (x )-r(x )(m o d ặ(x )). 5. Với các đa thức p (x ),q (x ),r(x ) GА[х]. Neu p{x) + q(x) = r(x) (mod £(x)) thì p(x) = r(x) - q{x) (mod "">Л' п ' t r o n g đ ó C. e Л V й *1 y a ^ Ч Л1 2 y fll n I ” ' A /Î У-* -у*я 21 y a 22 ^2 v à (я,рй, 2,...,01Л) е К ; 1 2 Iy a m l y y - a m 2 y - a mn y f l 2 11 •••Л /2 •••~Г С И7Л 1 2 1 ” ~Л'/2 i = 1,772 (<я(.р а(.2,...,а//г) * (ау1, 0 у2,..., 0 ;и) với mọi i Фj 1.7. Đa thức đối xứng 7.7.1, Định nghĩa đa thức đối xủng Đa thức / ( i i , jc2,.. j /î) g A [ xi , j 2,...i /1] được gọi là đa thức đối xứng nếuf(jc1,jc2,..jcIJ) = /(jc. ,JC. ) với là hoán vị bất kì của Ịl,2,*",nỊ. Nói cách khác, một đa thức là đa thức đối xứng nếu nó không thay đổi khi thay đổi vai trò của biến cho nhau trong dạng khai triển của nó. 1.7.2, Ví dụ các đa thức đối xứng sau gọi là đa thức đối xứng cơ bản CTị = X ị + x 2 + ... + x n ơ 2=XìX2+XỊX3+... + Xn_lXn ơ k = XịX2..JCk + . . . + Xn_k+lXa4 í+2..JCn ơ n = X ĩX 2 - - X n 1. 7.3, Đua đa thức đối xứng về đa thức của các đa thức đối xứng cơ bản a) Định lý Cho đa thức đối xứng khác không f ( x Ị,x2,..Jcn)GA[xỊ,x2,..jcn\. Khi đó tồn tại duy nhất cách biểu diễn một đa thức dưới dạng đa thức của các đa thức đối xứng cơ bản. b) Phương pháp đưa đa thức đối xứng về đa thức của các đa thức đối xứng cơ bản - Phương pháp dựa theo hạng tử cao nhất của đa thức. - Phương pháp hệ tử bất định. 10 Chương 2 ÚNG DỤNG CỦA ĐA THỨC MỘT ẲN 2.1. Chứng minh đẳng thức 2. /. 1. Cơ sở lý luận Sử dụng nguyên lý so sánh hệ số của hai đa thức. Đe chứng minh A = в, trong đó А, в là các biểu thức. Ta làm như sau: Bước 1: Coi А, в là biểu thức của một biến Xnào đó. Bước 2: Biến đổi tương đương đưa đắng thức А = в về dạng: p(x) = ọ (x ) , trong đó p (x ), Q(x) là 2 đa thức của biến X. Bước 3: Xác định max (degP(x),deg Q (x)) = m . Khi đó sẽ chỉ ra có nhiều hơn m so ß sao cho: p(ßi ) = Q(ßi ), Vi = 1,2,- •-, n. (n > m +1) Theo nguyên lý so sánh hệ số của hai đa thức ta có: P(x) = Q (x) hay A = B. 2.1.2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1 : Chứng minh đẳng thức (a + b + c)(bc + ca + ab )-ab c = (b + c)(c + a)(a + b) với a, b, с là những số thực bất kỳ. Lời giải Ta coi một trong ba số a, b, с là an X. Giả sử coi a là an X. Đặt p(x) = (x + b + c)(bc + cx + xb) - xbc Q (x) = (b + c)(c + x)(x +b) Ta chứng minh p(x ) = Q (x ). Thật vậy, ta có: degP(x) < 2; deg Q (x) < 2 Cho X những giá trị 0, - b, - c, ta có: 11 p(0) = (b + c)bc = Q(0) p (-b ) = c (-b )2 + b2c = 0 = Q ( - b ) . P (-c ) = (b + c )-0 -(-c + b) = 0 = Q (-c). Neu hai trong những số 0, -b, -c trùng nhau thì dễ dàng kiểm tra được P(x) = Q (x). Neu những số này đôi một khác nhau thì nguyên lý so sánh hệ số đa thức suy ra P(x) = Q (x). Ví dụ 2: Chứng minh với mọi số tự nhiên n và mọi số nguyên k; 0< k < n thì C*=C"_k . Giải Ta có: (1 + x)n = C"x" + Cn^ x " '1+ ••• + c'X + c °n . V / n n Với X 0 ta có: í 1 (l + x)n = x n 1 + V *) { = xn CnJ _ +C n -1 _ L + ...+ C ' ì + c ° V n xn xn nX = C”n + C"_IX+--+ C'n x"-' + c% " n n = c " x n + c lx n~' + - " + c ^ 'x + c ; . Theo nguyên lý so sánh hệ số đa thức suy ra: c°n =C ",C 'II = c nn“',-" n ’ ’ Vậy đẳng thức c„ = C"~k, Vn G N, Vk G Z; 0 < k < n luôn đúng. 2.1.3. Bài tập áp dụng Bài 1: Neu a, b, c là những số bất kỳ, chứng minh rằng: a) a(b + c)2 + b(c + a)2 + c(a + b)2 - 4abc = (b + c)(c + a)(a + b ) . 12 b) (a2 - l)(b2 - l)(c2 - l) + (a + bc)(b + ca)(c + ab). = (abc + l)(a2 + b 2 + c2 + 2 a b c -l). Bài 2: Chứng minh rằng với mọi giá trị của X , (x -b )(x -c )(x -d ) (a -b )(a -c )(a -d ) 3 3( x - c ) ( x - d ) ( x - a ) (b -c )(b -d )(b -a ) (x -d ) (x - a ) ( x - b ) (c -d )(c -a )(c -b ) 3 (x - a ) ( x -b ) (x - c ) 3 (d -a )(d -b )(d -c ) Bài 3: Chứng minh đẳng thức a) c,'1+ c > - - + c : = 2 n-1 (nlẻ) b) c!, + c ị + --- + c ^ ' = 2"-' (n chằn) 2.2. Bài toán chia hết a) Phương pháp chung Để chứng minh hai đa thức chia hết cho nhau ta sử dụng: - Định nghĩa và tính chất của phép chia hết. - Đa thức đồng dư. - Dựa vào tính chất nghiệm. - Một số tính chất số học: sự phân bố nghiệm, bậc của đa thức,... b) Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Chứng minh đa thức x3m+ x3n+l + x 31+2chia hết cho đa thức x2+ x + l trong Q (x )(n ,m ,leN * ). Lời giải Đặt f(x ) = x3m+ x3n+1+ x 31+2 Ta có: f(x ) = x3m+ x3n+l+ x 31+2 = ( x 3"1 - 1) + ( x 3,í+1 - x) + ( x 3/+2 - X 2) + ( x 2 + X + 1) = ( x 3 — 1) f ị ( x ) + x ( x 3 - \ ) f 2( x ) + x 2( x 3 - 1)/ 3( x ) + ( x 2 + X + 1) 13 Với ^ ( i ) ,/ 2( 4 / 3(i ) g Z [ i ] Suy ra f ( x):(x2+x + 1) trong Q\x\ Ví dụ 2\ Chứng minh đa thức: x 9999 + x 8888 + x 7777 + у * 6 6 + _ + лJ I I 1 + ! c h i a h | t c h o X9 + X 8 + + X 6 + ... + X + 1 Lời giải Đăt Á — X X X +x + ... + X + 1 В = X 9999 + X 8888 + X 7777 + X 6666 +... + Jt' " 1 + 1 Khi đó: B - A = (.X 9999 - x 9) + ( X 8888 - X 8) + (Jt7777 - X 7 ) + ( x 6666 - X 6) +... + ( х 1111 - x) = X 9 [ ( X 10)999 - 1] + X s[ ( X 10)888 - 1] + X 1 [ ( X ю ) 111 - 1] + X 6 [ ( X 10)666 - 1] + ... + x[(V °)l' l - l ] Ta thấy với mọi số tự nhiên к thì: (x10)*-' = (Xю - 1 ) [х 10“'-1»+ x10(x)) =>xp =\ (mod <£>(*)) 14 Khi đó: x pa° =(xpy° =1 (modự7(x)) x pa'+] =x(xpỴ' = X (mod^(x)) x pa'-'*p-' = x p-'(xp)“ỉ"' = x p~' (moàẹ(x)) => p ( x ) = x p"° + x p°' + . . . + ỵ p‘ri’~,+p+í = ị + X + . . . + X 1’*1 = 0 ( m o d í / 7 ( x ) ) suy ra: p(x)\ọ{x) c) Bài tập vận dụng Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 2 , với mọi số thực X, y thì đa thức - nxn~x) + xn(n - 1) chia hết cho (y - x)2. Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên không âm k, m, n, 1 và Vx e M thì đa thức x4k + x4m+i + x4n+2 + X4I+3 chia hết cho X3 + X 2 + x +\ . Bài 3: Chứng minh rằng V;t € R, \/n € N* thì đa thức (1 - jc" )(x +1) - 2nxn(1 - x) - n2xn(1 - x)2 chia hết cho (1 - x ý . 2.3. ứng dụng định lý Viete 2.3.1. Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức đối xứng K giữa các nghiệm 2.3.1.1. Cơ sở lý luận - Biểu thức K sẽ đưa được về biểu thức của các đa thức đối xúng cơ bản. - Theo công thức Viete ta tính được các giá trị của đa thức đối xứng cơ bản, thay vào ta tìm được K. 2.3.1.2. Thuật toán Bước 1: Thiết lập hệ thức Viete giữa các nghiệm của phương trình để tìm các ôị. Bước 2: Biểu diễn các nghiệm của phương trình thông qua các đa thức đối xứng cơ bản. 2.3.1.3. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho xj,x2,x3là các nghiệm của phương trình: 15 X3 + px2 + qx + r = 0 Xác định: A = X^+X2+X3; B = xJ+X2+X3. Giải Theo công thức Viete có: Xj+X2+X3= -P x1x2 + x2x3+ x 1x3=q X,X2X3= - r Ta có: A = xf + X2 + X3 = (x ,+ x 2 + x 3 )2 - 2 ( x ix 2 + x 2 x 3 + x ix 3 ) = p2- 2 q Vậy A = p2 - 2q B= + X2 + X3 = (xj + x 2 ) 3 —3x]x 2 (x] + x2) + X3 = (Xị + x 2 + X3 ) 3 -3 (x j + x 2 + X 3 ) ( X j X 2 + X 2 X 3 + x ]x 3 ) + 3 x 1 x 2 x 3 = - p 3 + 3pq - 3 r. Vậy B = - p 3 + 3pq - 3r Ví dụ 2: Hãy tính diện tích tam giác mà đường cao của nó là nghiệm của phương trình: X3-ax2+ b x - c = 0 (1) Giải Gọi yI»y 2*y 3>là độ dài các c^nh °ủa tam giác. x,,x2,x 3 là độ dài các đường cao tương ứng. s là diện tích tam giác 16 Khi đó, ta có: 1 _2S sQ_= 4-yixi, i =1.3=>Xị = — 2 (*) y; Thay (*) vào (1) ta được: ^2S^3 -a ^2S^2 +b r 2S^ -c =0 V y, y Khi và chỉ khi 8S3 - 4aS2yi + 2bSyf - cyf = 0 TX1 • V 1 . 1 L- 3 n bS 2 4aS2 ns3 _ Khi và chỉ khi ỵ: - 2——y + 4 — y - 8 — = 0 c c c (2) Do đó: y với i = 1.3 là nghiệm của phương trình „3 2bS 2 , 4aS2 85 3 _ n f ( y ) = y — — y +— — y - — = 0 c c c Từ (2) theo công thức Hêrông thì: s 2 = p ( p - y l) ( p - y 2) ( p - y 3) = p-f(p) Với p = + 2 + = — là nửa chu vi. c s*z = M f í ạ ] = f W 1c ) c ' - b ‘ -8bc>) ’ => s = c4(4ab2c - b4 - 8bc2)"2 2.3. ỉ.4. Bài tập áp dụng Bài 1: Cho XJ,X 2 ,X 3 ,X 4 là các nghiệm của phương trình: X4 4- px3 + qx2 + rx + s = 0. Hãy xác định A = x f +x\ + X3 +X4; B = xf + X2 +X3 +X4; Bài 2: Cho Xj, x 2, x 3 là nghiệm của phương trình c = x^ + XỈ + x j + X4 X3 + px2 + qx + r = 0. Hãy biểu diễn thông qua p, q, r những hàm của các biến x,,x2,x 3: 17