Tài liệu Khai thác các ứng dụng từ 1 bài toán lớp 8

  • Số trang: 14 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 155 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 20012 tài liệu

Mô tả:

Khai thác các ứng dụng từ 1 bài toán lớp 8
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 PhÇn I: giíi thiÖu ®Ò tµi: A.Lý do chän ®Ò tµi: “Gi¶i to¸n lµ mét nghÖ thuËt thùc hµnh;gièng nh− b¬i léi,tr−ît tuyÕt,hay ch¬i ®µn …”V× vËy ®Ó cã kü n¨ng gi¶i bµi tËp ph¶i qua qu¸ tr×nh luyÖn tËp .Tuy r»ng,kh«ng ph¶i lµ cø gi¶i bµi tËp lµ cã kü n¨ng.ViÖc luyÖn tËp sÏ cã hiÖu qu¶,nÕu nh− biÕt khÐo lÐo khai th¸c tõ mét bµi tËp sang mét lo¹t bµi tËp t−¬ng tù,nh»m vËn dông mét tÝnh chÊt nµo ®ã,nh»m rÌn luyÖn mét ph−¬ng ph¸p chøng minh nµo ®ã. Thùc tiÔn cho thÊy häc sinh th−êng häc to¸n kh«ng chó ý ®Õn ph−¬ng ph¸p gi¶i nªn khi gÆp nh÷ng bµi to¸n cã sö dông ph−¬ng ph¸p t−¬ng tù gÆp nhiÒu lóng tóng. VËy kh«ng ngoµi t©m huyÕt víi c¸c em häc sinh,niÒm ®am mª dµnh cho bé m«n to¸n häc vµ sù mong muèn n©ng cao chÊt l−îng –t«i ®Q tiÕn hµnh häc tËp tÝch luü so¹n ra ®Ò tµi nµy”….” B.nhiÖm vô: +C¬ së lý luËn cña ®Ò tµi: viÖc khai th¸c bµi tËp to¸n cã ý nghÜa hay kh«ng? +VËn dông lý luËn vµo thùc tiÔn: khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 C.Ph−¬ng ph¸p nghiªn cøu: +ph−¬ng ph¸p nghiªn cøu thùc tiÔn,lý thuyÕt +ph−¬ng ph¸p tæng kÕt kinh nghiÖm +ph−¬ng ph¸p thùc nghiÖm s− ph¹m D.Giíi h¹n ®Ò tµi vµ môc ®Ých nghiªn cøu: -Giíi h¹n ®Ò tµi khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8:¸p dông ®Ó d¹y häc sinh líp 6,7,8 -Môc ®Ých ®Ò tµi:Phôc vô cho c«ng t¸c båi d−ìng c¸c khèi 6,7,8 vµ lµm tµi liÖu tù häc cho c¸c em gióp c¸c em t×m cho m×nh ph−¬ng ph¸p häc tËp tÝch cùc. PhÇn 2: néi dung A.C¬ së lý luËn cña ®Ò tµi: Gi¶i bµi tËp to¸n lµ qu¸ tr×nh suy luËn,nh»m kh¸m ph¸ ra quan hÖ l«gic gi÷a c¸i ®Q cho (gi¶ thiÕt) víi c¸i ph¶i t×m (.kÕt luËn).Nh−ng c¸c quy t¾c suy luËn,còng nh− c¸c ph−¬ng ph¸p chøng minh ch−a ®−îc d¹y t−êng minh.Do ®ã,häc sinh th−êng gÆp nhiÒu khã kh¨n khi gi¶i bµi tËp.Thùc tiÔn d¹y häc còng cho thÊy:HS kh¸ giái th−êng ®óc kÕt nh÷ng tri thøc,ph−¬ng ph¸p cÇn thiÕt cho m×nh b»ng con ®−êng kinh nghiÖm;cßnHS trung b×nh ,yÕu, kÐm gÆp nhiÒu lóng tóng.§Ó cã kÜ n¨ng gi¶i bµi tËp ph¶i qua qu¸ tr×nh luyÖn tËp.Tuy r»ng,kh«ng ph¶i cø gi¶i nhiÒu bµi tËp lµ cã nhiÒu kÜ n¨ng.ViÖc luyªn tËp sÏ cã nhiÒu hiÖu qu¶,nÕu nh− biÕt khÐo lÐo khai th¸c tõ mét bµi tËp sang mét lo¹t bµi tËp t−¬ng tù,nh»m vËn dông Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 1 Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 mét tÝnh chÊt nµo ®ã,nh»m rÌn luyÖn mét ph−¬ng ph¸p chøng minh nµo®ã. Quan s¸t ®Æc ®iÓm bµi to¸n,kh¸i qu¸t ®Æc ®iÓm ®Ò môc lµ v« cïng quan träng,song quan träng h¬n lµ sù kh¸i qu¸t h−íng suy nghÜ vµ ph−¬ng ph¸p gi¶i.Sù thùc lµ khi gi¶i bµi tËp th× kh«ng chØ lµ gi¶i mét vÊn ®Ò cô thÓ mµ lµ gi¶i ®Ò bµi trong mét lo¹t vÊn ®Ò nµo ®ã.Do ®ã h−íng suy nghÜ vµ ph−¬ng ph¸p gi¶i bµi tËp còng nhÊt ®Þnh cã mét ý nghÜa chung nµo ®ã.NÕu ta chó ý tõ ®ã mµ kh¸i qu¸t ®−îc h−íng suy nghÜ vµ c¸ch gi¶i cña vÊn ®Ò nµo ®ã lµ g× th× ta sÏ cã thÓ dïng nã ®Ó chØ ®¹o gi¶i vÊn ®Ò cïng lo¹i vµ sÏ më réng ra.Nhµ to¸n häc §Òc¸c nãi rÊt ®óng r»ng: “Mçi vÊn ®Ò mµ t«i gi¶i quyÕt ®Òu sÏ trë thµnh vÝ dô mÉu mùc dïng ®Ó gi¶i quyÕt vÊn ®Ò kh¸c”.Do ®ã sau khi gi¶i mét bµi to¸n nªn chó ý khai th¸c h−íng suy nghÜ vµ c¸ch gi¶i. B.VËn dông lý luËn vµo thùc tiÔn: xÐt bµi to¸n 28 trang 21 s¸ch bµi tËp to¸n 8 –tËp 1: a.Chøng minh: 1 1 1 − = x x + 1 x( x + 1) (1) b.§è: §è em tÝnh nhÈm ®−îc tæng sau: 1 1 1 1 1 + + + + x( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5) 1 1 1 x +1− x = -H−íng dÉn:a.BiÕn ®æi vÕ tr¸i thµnh vÕ ph¶i : − = x x + 1 x( x + 1) x( x + 1) b.XÐt ®Æc ®iÓm ®¼ng thøc ë c©u a:VP cã mÉu lµ 1tÝch 2biÓu thøc c¸ch nhau 1;1 1 1 1 − = .T−¬ng tù víi ®Æc ®iÓm nh− VP ë c©u a;ta cã: x x + 1 x( x + 1) 1 1 1 1 1 1 + + + + + = x( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5) x + 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − + − + − + = x x +1 x +1 x + 2 x + 2 x + 3 x + 3 x + 4 x + 4 x + 5 x + 5 x chÝnh lµ tö th× cã -C¸ch ph¸t biÓu kh¸c cña bµi to¸n: a.ViÕt ph©n thøc 1 thµnh hiÖu cña hai ph©n thøc cã tö bµng 1 x( x + 1) b.VËn dông kÕt qu¶ c©u a,hQy rót gän biÓu thøc sau: 1 1 1 1 1 1 + + + + + x( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5) x + 5 I.khai th¸c øng dông bµi 28 trong tÝnh to¸n;trong to¸n rót gän;to¸n chøng minh ®¼ng thøc: Tõ(1),nÕu thay x=1 th× ta cã c¸c bµi to¸n sau: Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 2 Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 Bµi1:TÝnh: 1 2 a. + 1 1 1 1 1 + + + + ..... + 2 .3 3 .4 4 .5 5 .6 99.100 H−íng dÉn: 1 1 1 1 1 1 = + + + + + ..... + 2 2 .3 3 .4 4 .5 5 .6 99.100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 99 + − + − + − + ... + − = 1− = 2 2 3 3 4 4 5 99 100 100 100 1 2 1 1 1 + + ...... + víi n ≥ 1 2 .3 3 .4 n(n + 1) 1 n = H−íng dÉn:t−¬ng tù c©u a;ta cã kÕt qu¶ lµ:1n +1 n +1 + Tõ ®ã cã bµi to¸n tæng qu¸t :b.TÝnh tæng + *)NhËn xÐt ®Æc ®iÓm mÉu c¸c ph©n thøc ®Ó tõ ®ã ta cã c¸c d¹ng bµi to¸n kh¸c:c¸c h¹ng tö trong tæng trªn ®Òu lµ nh÷ng ph©n thøc cã d¹ng:mÉu lµ mét tÝch 2nh©n tö c¸ch nhau 1 ®¬n vÞ chÝnh b»ng tö.VËy mÉu lµ tÝch 2nh©n tö c¸ch nhau 2 hay 3 hay 4…th× gi¶i bµi to¸n nh− thÕ nµo?ch¼ng h¹n: Bµi2:TÝnh tæng: a. 1 1 1 1 + + + .... + 1 .3 3 .5 5 .7 2005.2007 b. 1 1 1 1 + + + .... + víi n ≥ 0 2.5 5.8 8.11 (3n + 2)(3n + 5) H−íng dÉn:a.ViÕt mçi h¹ng tö trong tæng d−íi d¹ng hiÖu 2ph©n thøc: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ( − ); = ( − ); = ( − );...... = ( − ) .VËy 1 .3 2 1 3 3 .5 2 3 5 5 .7 2 5 7 2005.2007 2 2005 2007 1 1 1 1 + + + .... + = 1 .3 3 .5 5 .7 2005.2007 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1003 ( − + − + − + .... + − ) = (1 − )= 2 1 3 3 5 5 7 2005 2007 2 2007 2007 b.Ph−¬ng ph¸p lµm t−¬ng tù nh− c©u a. 1 1 1 1 = ( − ) nªn ta cã: (3n + 2)(3n + 5) 3 3n + 2 3n + 5 1 1 1 1 + + + .... + = 2.5 5.8 8.11 (3n + 2)(3n + 5) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n +1 ( − + − + − + ... + − )= ( − )= 3 2 5 5 8 8 11 3n + 2 3n + 5 3 2 3n + 5 3n + 5 XÐt h¹ng tö tæng qu¸t: +T−¬ng tù nh− vËy cã thÓ ®Ò xuÊt mét lo¹t bµi to¸n cïng lo¹i vµ gi¶i quyÕt víi cïng ph−¬ng ph¸p. *)Chó ý ®Õn ®Æc ®iÓm tö vµ mÉu c¸c ph©n thøc ta cã bµi to¸n tæng qu¸t h¬n:tö lµ mét sè(biÓu thøc) bÊt kú,mÉu lµ tÝch cña 2 sè(biÓu thøc) c¸ch ®Òu nhau th× gi¶i quyÕt bµi to¸n nh− thÕ nµo?ch¼ng h¹n: Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 3 Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 Bµi3:TÝnh tæng: 5 5 5 5 5 + + + + .... + 2.4 4.6 6.8 8.10 98.100 n n n n + + + ...... b. víi a 2 − a1 = a 3 − a 2 = a 4 − a 3 = ...... = a k +1 − a k =b a1a 2 a 2 a 3 a 3 a 4 a k a k +1 a. H−íng dÉn:a.Ph−¬ng ph¸p lµm:viÕt c¸c h¹ng tö trong tæng d−íi d¹ng hiÖu(t−¬ng 5 5 1 1 5 5 1 1 5 5 1 1 5 5 1 1 ) do ®ã: = ( − ); = ( − ); = ( − );....; = ( − 2 .4 2 2 4 4 .6 2 4 6 6 .8 2 6 8 98.100 2 98 100 5 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1 1 1 1 = ( − + − + − + .... + − )= + + + + .... + 2.4 4.6 6.8 8.10 98.100 2 2 4 4 6 6 8 98 100 5 1 1 49 = ( − )= 2 2 100 20 tù bµi 2) b.Ph−¬ng ph¸p lµm t−¬ng tù c©u a.§©y chÝnh lµ bµi to¸n tæng qu¸t rót ra tõ c¸c bµi to¸n trªn.VËy ta xÐt c¸c tr−êng hîp sau: +Tr−êng hîp 1:NÕu a 2 − a1 = a 3 − a 2 = a 4 − a 3 = ...... = a k +1 − a k =n Bµi to¸n nµy gi¶i ®−îc dÔ dµng theo c¸ch ph©n tÝch cña bµi 1 v× khi ®ã: n 1 1 = − a 1a 2 a 1 a 2 ………………………. n 1 1 = − a k a k +1 a k a k +1 1 1 n n n n + + + ...... = − a1 .a 2 a 2 .a 3 a 3 .a 4 a k .a k +1 a k a k +1 +Tr−êng hîp 2:NÕu a 2 − a1 = a 3 − a 2 = a 4 − a 3 = ...... = a k +1 − a k = b ≠ n n n n n n b b b b + + + ...... Ta cã = ( + + + .... + ) a1 .a 2 a 2 .a 3 a 3 .a 4 a k .a k +1 b a1 .a 2 a 2 .a 3 a 3 .a 4 a k .a k +1 Céng tõng vÕ ta cã: Bµi to¸n nµy thùc chÊt ®Q ®−a vÒ d¹ng bµi 2;bµi3.Do ®ã ta cã kÕt qu¶ lµ n 1 1 ( − ) b a k a k +1 -NÕu mÉu lµ tÝch cña 3 sè tù nhiªn c¸ch ®Òu nhau th× sao?Tõ ®ã ta cã c¸c bµi to¸n khã h¬n : 1 1 1 1 + + + .... + víi 1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n − 1).n.(n + 1) 1 1 1 1 B= + + + .... + víi n ∈ N ; n ≥ 2 1.3.5 3.5.7 5.7.9 (2n − 1)(2n + 1)(2n + 3) Bµi4:TÝnh tæng :A= n≥1 ,n ∈ N H−íng dÉn: Ph−¬ng ph¸p gi¶i t−¬ng tù nh− c¸c bµi trªn:viÕt c¸c h¹ng tö d−íi d¹ng hiÖu. Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 4 Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 2 1 1 = − Do ®ã ta cã: (n − 1)n(n + 1) (n − 1).n n.(n + 1) NhËn xÐt: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + ... + − )= ( − ) 2 1.2 2.3 2.3 3.4 (n − 1).n n.(n + 1) 2 2 n.(n + 1) 4 1 1 = − NhËn xÐt: Do ®ã ta cã: (2n − 1)(2n + 1)(2n + 3) (2n − 1)(2n + 1) (2n + 1)(2n + 3) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + ... + − ) B= ( − + − + − 4 1.3 3.5 3.5 5.7 5.7 7.9 (2n − 1)(2n + 1) (2n + 1)(2n + 3) 1 1 1 ) = ( − 4 3 (2n + 1)(2n + 3) A= ( 1 1 b −a *)NhËn xÐt: Tõ (1) ta cã ®¼ng thøc tæng qu¸t h¬n: − = víi a ≠ 0; b ≠ 0 th× a b a.b viÖc ¸p dông ng−îc c«ng thøc trªn trong thùc tÕ ®−îc sö dông rÊt nhiÒu. Ch¼ng h¹n víi bµi to¸n sau: Bµi 5: Cho biÕt a,b,c lµ c¸c sè thùc kh¸c nhau.Chøng minh: b−c c−a a−b 2 2 2 + + = + + (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b) a − b b − c c − a H−íng dÉn:§èi víi ®Ò nµy nÕu dïng c¸ch hoµ ®ång mÉu sè vÕ tr¸i ®Ó chøng minh th× qu¸ tr×nh tÝnh phøc t¹p.Cã c¸ch g× ng¾n gän kh«ng?Quan s¸t c¸c sè h¹ng ë vÕ tr¸i ta thÊy tö sè võa ®óng b»ng hiÖu cña 2 thõa sè ë mÉu sè: b-c=(a-c)-(a-b);c-a=(b-a)-(b-c);a-b=(c-b)-(c-a).§iÒu ®ã gîi cho ta nhí ®Õn dïng b−a 1 1 b−c 1 1 = − tøc = − . Do ®ã: a.b a b (a − b)(a − c) a − b a − c b−c c−a a−b 1 1 1 1 1 1 + + = − + − + − = (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b) a − b a − c b − c b − a c − a c − b 1 1 1 1 1 1 2 2 2 + + + + + = + + (§PCM) a−b c−a b−c a−b c−a b−c a−b b−c c−a *)Chó ý ®Õn mÉu: nÕu ta thay x.(x+1)= x 2 + x ; (x+1)(x+2)= x 2 + 3x + 2 ;….ta sÏ cã ng−îc c«ng thøc c¸c bµi to¸n luyÖn cho häc sinh kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: Bµi6:Rót gän c¸c biªñ thøc sau: 1 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 + 2 x + x x + 3x + 2 x + 5x + 6 x + 7x + 12 x + 9x + 20 1 1 1 1 b. N= 2 + 2 + 2 + 2 x − 5x + 6 x − 7x + 12 x − 9x + 20 x − 11x + 30 a. M= 2 H−íng dÉn:a.§Ó rót gän M cÇn ph©n tÝch c¸c mÉu thµnh nh©n tö Ta cã: x 2 +x = x(x+1); x 2 + 3x + 2 = x 2 + x + 2x + 2 = (x+1)(x+2); x 2 + 5x + 6 = x 2 + 2x + 3x + 6 = (x+2)(x+3); x 2 + 7x + 12 = x 2 + 3x + 4x + 12 =(x+3)(x+4); x 2 + 9x + 20 = x 2 + 4x + 5x + 20 =(x+4)(x+5) Do ®ã: Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 5 Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 1 1 1 1 1 + + + + (x + 1)x (x + 1)(x + 2) (x + 2)(x + 3) (x + 3)(x + 4) (x + 4)(x + 5) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − + − + − + − + − x x +1 x +1 x + 2 x + 2 x + 3 x + 3 x + 4 x + 4 x + 5 1 1 5 = − = x x + 5 x(x + 5) M= b.T−¬ng tù ta cã: 1 1 1 1 + + + (x − 2)(x − 3) (x − 3)(x − 4) (x − 4)(x − 5) (x − 5)(x − 6) 1 1 1 1 1 1 1 1 = − + − + − + − x −2 x −3 x −3 x −4 x −4 x −5 x −5 x −6 1 1 −4 = − = x − 2 x − 6 (x − 2)(x − 6) N= Bµi 7: Rót gän: a a a a 1 + 2 + 2 + 2 + 2 2 2 x + a.x x + 3a.x + 2a x + 5.a.x + 6a x + 7.a.x + 12a x + 4a a a a a 1 b.H= 2 + 2 + 2 + .. + 2 + 2 2 2 x + ax x + 3ax + 2a x + 5ax + 6a x + 19ax + 90a x + 10a a.K= 2 H−íng dÉn: a a a a 1 + + + + x(x + a) (x + a)(x + 2a) (x + 2a)(x + 3a) (x + 3a)(x + 4a) x + 4a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − + − + − + − + x x + a x + a x + 2a x + 2a x + 3a x + 3a x + 4a x + 4a 1 = x a a a a 1 b.H= + + + + x(x + a) (x + a)(x + 2a) (x + 2a)(x + 3a) (x + 3a)(x + 4a) x + 4a 1 a 1 + ... + + x + 5a (x + 9a)(x + 10a) x + 10a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 H== − + − + − + − + x x + a x + a x + 2a x + 2a x + 3a x + 3a x + 4a x + 4a 1 1 1 1 + ... + − + x + 5a x + 9a x + 10a x + 10a 1 H= x 2x + 1 1 1 *)XÐt biÓu thøc sau: (x + 1)2 − x 2 = 2x + 1 nªn ta cã: 2 = 2 − 2 x .(x + 1) x (x + 1) 2 a.K= Do ®ã ta cã bµi to¸n sau: Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 6 Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 Bµi8:Rót gän biÓu thøc sau: A= 3 5 2x + 1 + + ........ + 2 2 (1.2) (2.3) [x(x + 1)]2 H−íng dÉn: 2x + 1 = x .(x + 1)2 1 1 1 1 1 A= 2 − 2 + 2 − 2 + 2 − 1 2 2 3 3 1 x(x + 2) =1= 2 (x + 1) ( x + 1) 2 -NhËn xÐt: 2 1 1 − nªn ta cã: 2 x (x + 1) 2 1 1 1 + ... + 2 − 2 4 x (x + 1) 2 II.khai th¸c c¸c øng dông bµi 28 trong chøng minh bÊt ®¼ng thøc: Bµi9:Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n ≥ 1 : 1 1 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 + ... + < 2 2 2 4 6 8 (2n) 2 1 1 1 1 1 b.B = 2 + 2 + 2 + .... + < 2 3 5 7 (2 n + 1) 4 a.A = H−íng dÉn: a.NhËn xÐt: 1 1 1 1 1 1 1 1 = . 2 < . mµ = − nªn ta cã: 2 (2 n ) 4 n 4 ( n − 1).n (n − 1).n n − 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 + ... + = ( 2 + 2 + 2 + ... + 2 ) nªn 2 2 2 4 6 8 (2n) 4 1 2 3 n 1 1 1 1 1 + + + ... + ) hay A< (1 + 4 1.2 2.3 3.4 (n − 1).n 1 1 1 1 1 1 1 1 − ) hay A< (1 + 1 − + − + − + ... + 4 2 2 3 3 4 n −1 n A= 1 4 1 n 1 2 A< (1 + 1 − ) hay A < − 1 1 hay A< 4n 2 (§PCM) b.NhËn xÐt: 1 1 1 1 1 1 1 1 < ⇔ < ⇔ < ( − ) 2 2 2 2 (2n + 1) (2n + 1) − 1 (2n + 1) 2n.(2n + 2) (2n + 1) 2 2n 2n + 2 nªn ta cã: 1 1 1 1 + 2 + 2 + ... + hay 3 −1 5 −1 7 −1 (2n + 1)2 − 1 1 1 1 1 + + + ... + B< hay 4.2 4.6 6.8 2n(2n + 2) B< 2 Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 7 Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 B< 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( − + − + − + ... + − ) hay 2 2 4 4 6 6 8 2n 2n + 2 B< 1 1 1 1 1 1 ( − )⇒B < − ⇒B< 2 2 2n + 2 4 4(n + 1) 4 (§PCM) Bµi10:Chøng minh víi n nguyªn,n>1 th×: 1 1 1 1 1 A= 2 + 2 + 2 + .... + 2 < 2 − 1 2 3 n n H−íng dÉn:§Ó ¸p dông (1) cÇn sö dông ph−¬ng ph¸p lµm tréi,t−¬ng tù nh− bµi 9. -NhËn xÐt: Víi k=2;3;4;…;n ta cã: 1 1 1 1 1 < hay 2 < − (2) 2 k (k − 1).k k k −1 k LÇn l−ît cho k=2;3;4;…;n trong (2) råi céng l¹i vÕ theo vÕ ta ®−îc: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − A= 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 < 1 + − + − + ... + 1 2 3 4 n 1 2 2 3 n −1 n A<2- 1 n hay (§PCM) -Tõ bµi 10 ta cã thÓ ra bµi tËp sau: Bµi11: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n;n ≥ 2 th×: 1 1 1 1 B = 2 + 2 + 2 + .... + 2 < 1 2 3 4 n H−íng dÉn: ¸p dông kÕt qu¶ bµi 10 ta cã A<2®ã: B+1 < 2- 1 mµ B = A-1 hay A = B+1 khi n 1 1 hay B < 1- hay B < 1 (§PCM) n n Bµi12: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n; n ≥ 2 th×: 1 1 1 1 2 C = 2 + 2 + 2 + ..... + 2 < 2 3 4 n 3 H−íng dÉn:§Ó ¸p dông (1) cÇn sö dông ph−¬ng ph¸p lµm tréi.VËy vËn dông nã nh− thÕ nµo?cã gièng víi bµi 11 kh«ng?(víi bµi 11 th× ch−a ®¸nh gi¸ ®−îc 2 3 C< ).HQy xem nhËn xÐt sau: 1 4 4 1 1 1 = 2 < 2 ⇔ 2 < 2( − ) Do ®ã: 2 n 4n 4n − 1 n 2n − 1 2n + 1 1 1 1 1 1 1 − ) hay C < 2( − + − + ... + 3 5 5 7 2n − 1 2n + 1 1 3 C < 2( − 1 ) 2n + 1) hay Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 8 Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 C< 2 3 (§PCM) Bµi13: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n;n ≥ 2 ta cã: 1 1 1 1 1 D= 3 + 3 + 3 + ..... + 3 < 2 3 4 n 4 H−íng dÉn:§Ó ¸p dông (1) cÇn sö dông ph−¬ng ph¸p lµm tréi.VËy sö dông nh− thÕ nµo?HQy xem nhËn xÐt sau: 1 1 1 1 1 1 1 1 < 3 hay 3 < hay 3 < ( − ) Do ®ã ta cã: 3 k k −k k (k − 1)k(k + 1) k 2 (k − 1)k k(k + 1) D< 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + 3 + .... + 3 + − + ... + − ) hayD< ( − 2 −2 3 −3 n −n 2 1.2 2.3 2.3 3.4 (n − 1)n n.(n + 1) 3 hay 1 1 2 2 D< ( − 1 1 ) hay D < (§PCM) n(n + 1) 4 Bµi14: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n;n ≥ 3 ta cã: 1 1 1 1 1 E= 3 + 3 + 3 + .... + 3 < 3 4 5 n 12 H−íng dÉn:Ta cã: 1 1 1 1 1 1 1 1 < hay < hay < ( − ) n3 n 3 − n n3 (n − 1)n(n + 1) n3 2 (n − 1)n n(n + 1) Do ®ã : 1 1 1 1 1 1 1 − + − + ... + − ) hay E< ( 2 2.3 3.4 3.4 4.5 (n − 1)n n(n + 1) 1 1 1 ( − ) hay E < 1 (§PCM) 2 2.3 n(n + 1) 12 Bµi15:Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n;n ≥ 2 ta cã: 1 2 3 n −1 <1 H= + + + ... + 2! 3! 4! n! H−íng dÉn:Ta cã: n −1 1 1 = − Do ®ã: n! (n − 1)! n! 1 1 1 1 1 1 − hay H=1H=1- + − + ... + hay H<1 (§PCM) 2! 2! 3! (n − 1)! n! n! Bµi16:Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d−¬ng n ta cã: E< Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 9 Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 2 n + n −1 1 5 11 K= + + + ….+ <2 n! 2! 3! 4! n 2 + n − 1 n(n + 1) 1 1 1 = − = − H−íng dÉn:Ta cã: (n + 1)! (n + 1)! (n + 1)! (n − 1)! (n + 1)! Do ®ã K= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + ( − ) + ( − ) + ( − ) + ... + ( − ) hay 2! 1! 3! 2! 4! 3! 5! (n − 1)! (n + 1)! 1 1 1 1 1 1 1 + ( + + + ... + ) − ( + ... + ) hay 2! 1! 2! 3! (n + 1)! 3! (n + 1)! 1 1 1 1 1 1 1 K= + + − − hay K = 2- − VËy K < 2 (§PCM) 2! 1! 2! n! (n + 1)! n! (n + 1)! Bµi17: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d−¬ng n ta cã: 3 5 7 2n + 1 + .... + 2 <1 M= + + 4 36 144 n .(n + 1)2 K= 2n + 1 1 1 = − Do ®ã: n 2 .(n + 1)2 n 2 (n + 1)2 1 1 1 1 1 1 = 1 − M= 1 − 2 + 2 − 2 + ... + 2 − <1 (§PCM) 2 2 3 n (n + 1)2 (n + 1)2 H−íng dÉn:Ta cã: Bµi18:Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n ta cã: 1 1 1 1 9 + + .... + 2 < 2 5 13 25 n + (n + 1) 20 N= + H−íng dÉn:Ta cã: 1 1 1 1 1 1 1 = 2 < . = ( − ) 2 k + (k + 1) 2k + 2k + 1 2 k(k + 1) 2 k k + 1 2 1 1 1 1 < ( − ) 13 2 2 3 1 1 1 1 < ( − ) k=3: 25 2 3 4 ………………………. 1 1 1 1 < ( − ) k = n: 2 2 n + (n + 1) 2 n n +1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) hay ) hay N< + ( − Do ®ã N< + ( − + − + ... + − 5 2 2 3 3 4 n n +1 5 2 2 n +1 1 1 9 N< + hayN < (§PCM) 5 4 20 Víi k=2: Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 10 Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 III.khai th¸c c¸c øng dông bµi 28 trong gi¶i ph−¬ng tr×nh,bÊt ph−¬ng tr×nh: Bµi19:Gi¶i ph−¬ng tr×nh: a.( 1 1 1 1 1 1 + + ..... + ).x = + + ... + . 1.101 2.102 10.110 11 2.12 100.110 b.( 1 1 1 1 148 98 + + + ... + ).(x − 2) + x = x− 1.3 3.5 5.7 97.99 99 99 1 3 1 1 1 2007 + ... + = x(x + 1) 2009 6 10 2 c. + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ) + + ... + (1 − + − + ... + − 1.101 2.102 10.110 100 101 2 102 10 110 1 1 1 1 1 1 1 1 ) = (1 + + + ... + ) − ( + + ... + 100 2 3 10 100 101 102 110 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 XÐt + ) + ... + = ( − + − + ... + − 11 2.12 100.110 10 1 11 2 12 100 110 1 1 1 1 1 1 1 1 ) = (1 + + + ... + − − − ... − − ... − 10 2 3 100 11 12 100 110 1 1 1 1 1 1 = (1 + + ... + − ) Do ®ã ta cã: − − ... − 10 2 10 101 102 110 1 1 x= : = 10 10 100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b.XÐt + + + ... + = (1 − + − + − + ... + − ) 1 .3 3 .5 5 .7 97.99 2 3 3 5 5 7 97 99 1 1 49 = (1 − ) = Khi ®ã ta cã: 2 99 99 49 148 98 hay 49(x-2)+99x=148x-98 hay ( x − 2) + x = x− 99 99 99 49x+99x-148x=0 hay 0.x=0 hay x∈ R 2007 1 1 1 1 = c. + + + ... + hay x x + ( 1 ) 2009 3 6 10 2 H−íng dÉn:a.XÐt 2 2 2 2 2007 + + + ... + = 2.3 3.4 4.5 x(x + 1) 2009 1 1 1 1 1 1 1 1 2007 )= ⇔ 2( − + − + − + ... + − 2 3 3 4 4 5 x x + 1 2009 1 1 2007 2 2007 2 2 )= = ⇔ 2( − ⇔ 1⇔ ⇔ x=2008(tho¶ mQn = 2 x + 1 2009 x + 1 2009 x + 1 2009 x≠ o; x ≠ −1 ) Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 11 Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 Bµi21:Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 1 1 1 1 1 9 + + + .... + )( x − 1) + x = x − 1 .2 2 .3 3 .4 9.10 10 10 1 1 1 1 1 1 1 1 b.( ) + + + .... + )x = ( + + + ... + 1.51 2.52 3.53 10.60 1.11 2.12 3.13 50.60 1 1 1 1 1 9 H−íng dÉn:a. ( + + + .... + )( x − 1) + x = x − 1 .2 2 .3 3 .4 9.10 10 10 1 1 1 1 1 1 1 1 9 ⇔ ( 1 − + − + − + ... + − ) (x-1)+ x = x − 2 2 3 3 4 9 10 10 10 9 1 9 ⇔ ( x − 1) + x = x − ⇔ 0x=0 ⇔ x ∈ R 10 10 10 1 1 1 1 1 1 1 1 ) b. .( + + + .... + )x = ( + + + ... + 1.51 2.52 3.53 10.60 1.11 2.12 3.13 50.60 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⇔ (1 − + − + − + ... + − ) x = ( − + − + ... + − ) 50 51 2 52 3 53 10 60 10 1 11 2 12 50 60 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⇔ (1 + + + ... + − − − ... − ) x = (1 + + ... + − − − ... − ) 50 2 3 10 51 52 60 10 2 50 11 12 60 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⇔ (1 + + ... + − − − ... − ) x = (1 + + ... + − − − ... − ) 50 2 10 51 52 60 10 2 10 51 52 60 1 1 ⇔ x= : =5 10 50 a.( Bµi22:Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: 1 1 1 + 2 = a. 2 x + 4x + 3 x + 8x + 15 6 1 2 3 −6 + 2 + 2 = b. 2 x − 5x + 6 x − 8x + 15 x − 13x + 40 5 1 1 1 + 2 = x + 9x + 20 x + 13x + 42 18 1 1 1 1 1 + 2 + 2 + .... + 2 = d. 2 x + 3x + 2 x + 5x + 6 x + 7x + 12 x + 15x + 56 14 c. 2 H−íng dÉn: a.NhËn xÐt: x 2 +4x+3=(x+1)(x+3) x 2 +8x+15=(x+3)(x+5) §KX§:x ≠ −1;x ≠ −3;x ≠ −5 1 1 1 + = (x + 1)(x + 3) (x + 3)(x + 5) 6 1 1 1 1 1 1 − + − )= ⇔ ( 2 x +1 x + 3 x + 3 x + 5 6 PT ®Q cho ®−îc viÕt: Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 12 Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 ⇔ 1 1 1 1 ( − )= 2 x +1 x + 5 6 ⇒ 3(x + 5 − x − 1) = (x + 1)(x + 5) 2 2 ⇔ (x + 3) = 4 ⇔ x+3=4 hoÆc x+3=-4 ⇔ x=1 hoÆc x=-7 (tho¶ mQn §KX§) *)C¸c c©u b;c;d ph−¬ng ph¸p lµm hoµn toµn t−¬ng tù c©u a. Bµi 23:Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: ( 1 1 1 1 1 1 1 + + + ... + + + ... + )x < 1.51 2.52 10.60 11 2.12 3.13 50.60 H−íng dÉn:C¸ch lµm t−¬ng tù bµi 21b);chØ cã chó ý dÊu bÊt ®¼ng thøc thay cho dÊu ®¼ng thøc vµ ta cã gi¸ trÞ biÓu thøc sau lu«n d−¬ng : 1 1 1 1 1 1 1 + + + ... + − − − ... − nªn ta cã kÕt qu¶ lµ x < 5 2 3 10 51 52 60 PhÇn 3:kÕt luËn: Ph−¬ng ph¸p gi¶i bµi tËp cã hÖ thèng lµ mét yÕu tè c¬ b¶n gióp häc sinh n¾m v÷ng kiÕn thøc,gi¶i quyÕt linh ho¹t c¸c bµi tËp to¸n vµ ®¹t kÕt qu¶ cao trong häc tËp m«n to¸n.§iÒu quan träng nhÊt cÇn ®Ò cËp bµi to¸n theo nhiÒu c¸ch kh¸c nhau,nghiªn cøu kü ,kh¶o s¸t kü tõng chi tiÕt vµ kÕt hîp c¸c chi tiÕt cña bµi to¸n theo nhiÒu c¸ch ®Ó më réng cho c¸c bµi to¸n kh¸c.§ång thêi qua ®ã cã thÓ khai th¸c c¸c øng dông cña mét bµi to¸n c¬ b¶n vµo gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n cïng lo¹i. Hi väng r»ng víi mét sè vÝ dô t«i ®−a ra trong ®Ò tµi nµy gióp c¸c em häc sinh sÏ biÕt c¸ch lµm chñ ®−îc kiÕn thøc cña m×nh,thªm yªu mÕn m«n to¸n,tù tin trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ nghiªn cøu sau nµy. §©y míi chØ lµ kinh nghiÖm cña b¶n th©n t«i nªn ch¾c ch¾n cßn nhiÒu khiÕm khuyÕt,hi väng ®−îc c¸c b¹n ®ång nghiÖp quan t©m vµ gãp ý ®Ó ®Ò tµi ®−îc hoµn chØnh h¬n. *)Sau ®©y lµ mét sè bµi tËp ®Ò nghÞ: Bµi 1:TÝnh c¸c tæng sau: a. 1 1 1 1 + + + ... + 1.5 5.9 9.13 (4n − 3)(4n + 1) 1 1 1 + + ... + 4.5 5.6 (n + 3)(n + 4) 7 7 7 1 + + ... + + c. 1.8 8.15 (7n − 6)(7n + 1) 7n + 1 b. Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 13 Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 1 1 1 1 + + + ... + 2.5 5.8 8.11 (3n + 2)(3n + 5) Bµi 2:Rót gän c¸c biÓu thøc sau: 2 2 2 2 + + + a. (x + 1)(x + 2) (x + 2)(x + 3) (x + 3)(x + 4) x + 4 d. 1 1 1 1 1 + + + ... + + A 1.(2n − 1) 3.(2n − 3) 5(2n − 5) (2n − 3).3 (2n − 1).1 b. = 1 1 1 B 1 + + + ... + 3 5 2n − 1 Bµi 3:Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 1 1 1 1 149 99 + + ... + )(2x − ) + x = .x − a.( 1.2 2.3 99.100 2 50 200 1 1 1 1 + 2 + 2 = x + 3x + 2 x + 5x + 6 x + 7x + 12 6 Bµi 4:Chøng minh r»ng víi n lµ sè nguyªn d−¬ng bÊt kú th×: 1 1 1 1 A= 2 + 2 + 2 + .... + 2 <1,65 1 2 3 n b. 2 Ngµy 21 th¸ng 5 n¨m 2008 Ng−êi thùc hiÖn: Lª thÞ hiÒn Gi¸o viªn:Tr−êng THCS ThÞ TrÊn. Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 14
- Xem thêm -