Tài liệu Khắc phục một số sai lầm cho học sinh khi giải bài toán tích phân

PHẦN I: MỞ ĐẦU I - LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. - Trong chương trình toán trung học phổ thông, mà cụ thể là môn giải tích lớp 12, các em học sinh đã được tiếp cận với những bài toán tính tích phân và được tiếp cận với một vài cách giải thông thường đối với những bài toán tích phân cơ bản đơn giản. Tuy nhiên với khả năng nhận thức của các em học sinh thì đây cũng là một vấn đề khó chỉ có số ít các em biết phương pháp giải nhưng trình bày còn lủng củng chưa được gọn gàng, sáng sủa đặc biệt còn mắc một số sai lầm trong khi giải toán về tính tích phân. Tại sao lại như vậy? - Lý do chính ở đây là: Trong chương trình sách giáo khoa giải tích lớp 12 hiện hành phần kiến thức về tính tích phân với thời lượng rất là ít giới thiệu sơ lược và đưa ra cách giải còn khó hiểu và dễ mắc sai lầm, phần bài tập đưa ra sau bài học cũng rất hạn chế nên giáo viên không thể đưa ra được nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ năng giải cho học sinh . Mặt khác khả năng nhận thức của đa số học sinh chậm mà để tính một bài toán tích phân đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư duy ở mức độ cao và phải có năng lực biến đổi toán học nhanh nhẹn và kĩ năng thuần thục - Các bài toán về tính tích phân có ý nghĩa rất quan trọng đối với học sinh ở bậc học này .Để giải các bài toán tích phân, người làm toán phải sử dụng các phép biến đổi tích phân , phải biến đổi và sử dụng khá nhiều các công thức trong bảng nguyên hàm từ các dạng đơn giản cho đến các dạng phức tạp .Bởi vậy , có thể nói các bài toán tính tích phân ở lớp 12 tạo ra khả năng giúp học sinh có điều kiện rèn luyện kỹ năng biến đổi tích phân và sử dụng thành thục bảng nguyên hàm. Về mặt tư tưởng bài toán tích phân giúp học sinh thêm gần gũi với kiến thức thực tế của đời sống xã hội , rèn luyện nếp nghĩ khoa học , luôn mong muốn những công việc đạt hiệu quả cao nhất , tốt nhất . Tóm lại các bài toán tích phân ở chương trình toán lớp 12 là các bài toán tổng hợp các kiến thứcvà kỹ năng tính toán rèn khả năng tư duy cho học sinh , nó có một vai trò quan trọng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi Bồi dưỡng cho học sinh thi vào các trường đại học, cao đẳng, THCN. Chúng ta đã biết rất nhiều năm gần đây trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông , đề thi đại học , cao đẳng, THCN của các năm bài toán tích phân hầu như không thể thiếu nhưng đối với học sinh THPT bài toán tích phân là một trong những bài toán khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa, các tính chất , các phương pháp tính của tích phân. Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là: tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của tích phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần mà rất ít học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay không? phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương đương không? vì thế trong quá trình tính tích phân học sinh thường mắc phải những sai lầm dẫn đến lời giải sai qua thực tế giảng dạy nhiều năm tôi nhận thấy rất rõ yếu điểm này của học sinh vì vậy tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến : “ Khắc phục một số sai lầm cho học sinh khi giải bài toán tích phân” nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm nêu trên từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài toán tích phân nói riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung. II- MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU - Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy lớp 12 ở trường trung học phổ thông , cùng với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy. Tôi đã mạnh dạn làm đề tài này để khắc phục các hạn chế trên - Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh lớp 12 một số phương pháp tổng quát và một số kỹ năng cơ bản giúp học sinh nắm được các kiến thức cơ bản về bài toán tính tích phân. Học sinh thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, không mắc sai lầm khi biến đổi, lựa chọn đúng phương pháp cho phù hợp nhất để lời giải được ngắn gọn nhất. Hy vọng đề tài này sẽ giúp các em học sinh lớp 12 có một cái nhìn toàn diện cũng như phương pháp giải một lớp các bài toán về tính tích phân . III- NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Xuất phát từ lý do chọn đề tài, sáng kiến kinh nghiệm thực hiện nhiệm vụ: Giúp cho giáo viên trực tiếp giảng dạy thực hiện tốt nhiệm vụ và nâng cao chất lượng giáo dục, giúp học sinh hình thành tư duy logic kỹ năng phân tích để đi đến một hướng giải đúng và thích hợp khi gặp bài toán tính tích phân,từ dạng phức tạp đưa về dạng đơn giản, chọn đúng phương pháp cho phù hợp nhất và giải được một cách dễ dàng. Muốn vậy giáo viên phải hướng cho học sinh biết các dạng toán và tìm phương pháp giải đơn giản và ngắn gọn nhất. - Yêu cầu của sáng kiến kinh nghiệm: Nội dung giải pháp rõ ràng không rườm rà lôgíc phù hợp với đối tượng học sinh lớp 12 trung học phổ thông , có sáng tạo đổi mới. Giới thiệu được các cách giải đơn giản và ngắn gọn nhất,đưa ra được giải pháp và một số ví dụ minh hoạ. - Đề tài được sử dụng để giảng dạy và bồi dưỡng cho các em học sinh khối 12 hệ trung học phổ thông. Trong đề tài này tôi đã đưa ra và giải quyết một số dạng bài toán thường gặp tương ứng các bài tập tự luyện. Sau mỗi bài toán tác giả đều có những cách giải giúp bạn đọc chọn cho mình những phương pháp giải tối ưu nhất, để có được những lời giải gọn gàng và chính xác IV- ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU : - Tính tích phân - Thực nghiệm với học sinh lớp 12A7,A8,A9 V- PHẠM VI NGHIÊN CỨU : - Nội dung chỉ ra một số sai lầm mà học sinh hay mắc phải khi giải bài toán tính tích phân và cách khắc phục những sai lầm đó VI- PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Phương pháp: - Nghiên cứu lý luận chung. - Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học . - Tổng hợp so sánh , đúc rút kinh nghiệm. Cách thực hiện: - Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn - Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy. - Thông qua việc giảng dạy trực tiếp lớp 12A7,A8,A9 trong năm học 20142015 - Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học sinh vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán. - Thực nghiệm sư phạm PHẦN II: NỘI DUNG Tên đề tài: KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM CHO HỌC SINH KHI GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN I- QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI , KHẢO SÁT THỰC TẾ : 1. Qua việc khảo sát ,thực tế ở một số lớp 12 như lớp 12A7,12A8,12A9,trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy: a, Thiếu tài liệu nghiêm trọng Về đa số học sinh đã có sách giáo khoa nhưng sách tham khảo và bồi dưỡng thêm về bài tập tính tích phân là rất ít,có một số em còn chưa mua sách giáo khoa, do hiểu chưa hết được tầm quan trọng của việc đọc sách cũng như việc giải thêm các bài toán ở sách tham khảo ,bởi vậy cũng rất khó cho người giáo viên trực tiếp giảng dạy cũng vì lẽ đó mà đối với giáo viên trực tiếp giảng dạy khôi,lớp 12 mà không sưu tầm cá sách tham khảo để bồi dưỡng thêm về kiến thức cũng như tìm hiểu về phương pháp để truyền đạt tới học sinh kiến thức một cách trơn chu, dễ hiểu thì học sính sẽ luôn coi bài toán tính tích phân là một dạng toán trừu tượng và khó hiểu. b, Sự hiểu biết còn hạn chế: - Phần bài tập về tính tích phân là trừu tượng đối với học sinh, một số học sinh có lực học trung bình còn lúng túng khi lựa chọn một phương pháp để giải một bài toán tích phân.có thể lựa chọn đúng phương pháp rồi thì lại trình bày rất dài và lủng củng - Đa số học sinh lớp 12 A7,A8,A9 là con em nông thôn, gia đình còn vất vả trong cuộc sống nên các em chưa được quan tâm nhiều, chư được đầu tư tốt trong việc mua trêm sách hay dành lượng thời gian thỏa đáng cho học toán bởi vậy mà sự hiểu biết của các em còn nhiều hạn chế. 2. Số liệu điều tra: Về tình hình sử dụng sách giáo khoa và các tài liệu phục vụ cho việc giải bài toán tích phân theo điều tra như sau: Lớp Sĩ số 12A7 12A8 12A9 38 40 42 Sách giáo khoa Số lượng Tỉ lệ 32 84% 35 87% 36 86% Tài liệu tham khảo Số lượng Tỉ lệ 05 13% 04 10% 07 17% II/ NỘI DUNG ĐỀ TÀI. A. Một số sai lầm của học sinh khi tính tích phân Bài tập minh hoạ: 2 Bài 1: Tính tích phân: I = dx (x  1) 2 2 2 * Sai lầm thường gặp: I = dx  2  2 (x  1) 2 = d ( x  1) 1 ( x  1) =- x  1 2 2 2  2 1 4 =- 3 -1 = - 3 * Nguyên nhân sai lầm : Hàm số y = tục trên   1 ( x  1) 2 2;2 không xác định tại x= -1    2;2 suy ra hàm số không liên nên không sử dụng được công thức newtơn – leibnitz như cách giải trên. * Lời giải đúng Hàm số y = tục trên   1 ( x  1) 2 2;2 không xác định tại x= -1    2;2 suy ra hàm số không liên do đó tích phân trên không tồn tại. * Chú ý đối với học sinh: b Khi tính  f ( x)dx cần chú ý xem hàm số y=f(x) có liên tục trên  a; b không? a nếu có thì áp dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho còn nếu không thì kết luận ngay tích phân này không tồn tại. * Một số bài tập tương tự: Tính các tích phân sau: 5 (x  dx 4) 4 . 3 2 1 2 1/ 0 2/ x( x  1) dx . 2  2 3/  14 dx 0 cos x 1  x 3 .e x  x 2 dx x3 1 4/   Bài 2 :Tính tích phân: I = dx 1  sin x 0 * Sai lầm thường gặp: Đặt t = tan  x 2 thì dx = 2dt dx 1  sin x = (1  t ) = 2(t  1) d(t+1) = 2 2   I= do tan dx  0 1  sin x  2 =  2 x tan  1 2  0 = 2dt 1 2 ; 1  t 1  sin x 2 t 1 1 t2 = (1  t ) 2 +c  2 2  tan  1 tan 0  1 2 không xác định nên tích phân trên không tồn tại *Nguyên nhân sai lầm: x x Đặt t = tan 2 x  0;   tại x =  thì tan 2 không có nghĩa. * Lời giải đúng: I= dx  0 1  sin x x  d    dx 2 4 x    tg       x  2 4 0 1  cos x   0 cos 2    2  2 4   = * Chú ý đối với học sinh:  0  = tg 4    tg   2 .  4  Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là một hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên  a; b . *Một số bài tập tương tự: Tính các tích phân sau:  1/ dx sin x 0  dx 2/ 1  cos x 0 4 Bài 3: Tính I =  x 2  6x  9 dx 0 * Sai lầm thường gặp: 4 I= 4  x  3 2 2       x  3 dx  x  3 d x  3  dx =   4  x 2  6x  9 0 0 2 0 4 0 1 9    4 2 2 * Nguyên nhân sai lầm: Phép biến đổi  x  3 2 x  3 với x   0;4 là không tương đương. * Lời giải đúng: 4 I=  x 2  6x  9 dx 0 4 =   x  3 2 0 =-  x  3 2 2 4 3 dx x  3 d  x  3   x  3 d  x  3   x  3 d  x  3 0 3 0 4  0  x  3 2 2 4 3 3 9 1   5 2 2 * Chú ý đối với học sinh: 2n  f  x   2n b 2n I =   f  x 2n a  n 1, n  N   f  x b   f  x  dx ta phải xét dấu hàm số f(x) trên  a; b rồi dùng tính a chất tích phân tách I thành tổng các phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối. Một số bài tập tương tự:  1/ I =  1 sin 2 x dx ; 0 3 2/ I =  x3  2x 2  x dx 1   2 2 x  dx 0 2 3/ I =    x  2 x  cot g 2 x  2 dx 1 2  3 4/ I = 2  tg  6 0 Bài 4: Tính I = x 2 1 dx  2x  2 * Sai lầm thường gặp: 0 I= d  x  1  x  1 1 2 1 arctan x  1 0 1 arctan1  arctan 0   4 * Nguyên nhân sai lầm : Học sinh không học khái niệm arctanx trong sách giáo khoa hiện thời * Lời giải đúng: Đặt x+1 = tant  dx 1  tan 2 t dt với x=-1 thì t = 0 với x = 0 thì t = Khi đó I =  4 4 1  tan t dt   0  2 tan t  1  4 dt t 0  4 0   4 * Chú ý đối với học sinh: Các khái niệm arcsinx , arctanx không trình bày trong sách giáo khoa hiện thời. Học sinh có thể đọc thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một sách tham khảo, vì các sách này viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000). Từ năm 2000 đến nay do các khái niệm này không có trong sách giáo khoa nên học sinh không được áp dụng phương pháp này nữa. Vì vậy khi gặp tích phân b dạng 1 1  x 2 ta dùng phương pháp đổi biến số đặt t = tanx hoặc t = cotx ; dx a b 1  1 x2 a dx thì đặt x = sint hoặc x = cost *Một số bài tập tương tự: 8 1/ I =  4 x 2  16 dx x 1 2x 3  2x  3 dx  x2 1 0 2/ I = 1 3/ I = 3 x 3 dx  1 0 x8 Bài 5: Tính :I = 1 4 x3  1 0 x2 dx *Suy luận sai lầm: Đặt x= sint , dx = costdt x3  1 x2 sin 3 t dx  dt cos t Đổi cận: với x = 0 thì t = 0 với x= 1 4 thì t = ? * Nguyên nhân sai lầm: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa 1 x2 thì thường đặt x = sint nhưng đối với tích phân này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận cụ thể với x = được chính xác t = ? * Lời giải đúng: 1 4 không tìm Đặt t = x  dt = 1 x2 1 x2 dx  tdt  xdx Đổi cận: với x = 0 thì t = 1; với x = 1 4 1 4 3 I = x 0 15 4 1 x 2 = dx 15 4  1  t tdt  t  1  t dt  t  2 1 15 4 thì t = 2  1 t3 3    1 15 4  15 15 15  2 33 15 2      192  3 192 3  4 * Chú ý đối với học sinh: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa 1 x2 thì thường đặt x = sint hoặc gặp tích phân của hàm số có chứa 1+x 2 thì đặt x = tgt nhưng cần chú ý đến cận của tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì mới làm được theo phương pháp này còn nếu không thì phải nghĩ đếnphương pháp khác. *Một số bài tập tương tự: 7 2 x3 1/ tính I =  1 x2 0 2/tính I = dx x 1 dx x2 1 1 Bài 6: tính I = x2  1 dx  4 1  x 1 1  1 1  2 1 2 x  x    2 1 2 1 1 1  x x    x2 x  1 * Sai lầm thường mắc: I = 1 x 1    dx  2 1   dx x2   Đặt t = x+  dt  1   Đổi cận với x = -1 thì t = -2 ; với x=1 thì t=2; 2 I dt =2  2  2t 2 = ( 2 1 t 2  1 t 2 )dt =(ln t  2 -ln t  2 ) 2 2 ln t 2 t 2 2 2 = ln 2 2 2 2  ln  2 2  2 2 2 ln 2 2 2 2 1 1 2 x2  1 x  */Nguyên nhân sai lầm: là sai vì trong   1;1 chứa x = 0 nên 4 1 1 x 2 x x2 không thể chia cả tử cả mẫu cho x = 0 được * Lời giải đúng: xét hàm số F(x) = ’ F (x) = 1 2 2 ln 1 2 2 x2  x 2 1 x2  x 2 1 (ln x2  x 2 1 x2  1  4 ) x 1 x2  x 2 1 1 Do đó I = x2  1 1 x2  x 2 1 dx ln =  4 2 2 x2  x 2 1  11  x 1 1  1 ln 2  2 2 2 2 *Chú ý đối với học sinh: Khi tính tích phân cần chia cả tử cả mẫu của hàm số cho x cần để ý rằng trong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = 0 . B. Bài tập thực hành Bài tập 1: Tính các tích phân sau: 1 xdx a. x 2  1 0 1 e x dx b. e x  1 0 e c.  1 1  ln x .dx x Bài tập 2 : Tính tích phân a.  2  0 cosx .sinxdx 2 a sin 2 x  b 2 .cos 2 x b.  3  0 cosxdx 2  cos 2 x Bài tập 3: Tính tích phân : a.  2 dx sin x  2 0  2 cos 3 xdx b.  2  sin x 6  2 c. xdx 2 x sin  6 Bài tập 4: Tính các tích phân sau: 3 a. xdx  1 x 0 3 b. c.  0 3 1 x 2 a 2  0 x 2 dx 5dx a2  x2 (a  0) Bài tập có hướng dẫn lời giải Bài tập 5: Tính các tích phân sau: 1 2 a) 1 2 3  1 2  2 (1  x ) 2 dx  (1  x ) 3 dx  1 5 2 3  (1  x ) 3 5  1 2 = 1 2 3 3 10 4 ( 33 9  1)  2  2 b) sin   x  dx cos   x  0 4  4 0 0 2 2 2 2 2 1 2 1 1  1 dx     dx  c) 1 x( x  1) x 1 1 x  ln x  ln( x  1) ... ln 2. Bài tập 6: Tính các tích phân 3 a)  x2 1  x  0 3 2 dx đă ̣t u = x+1  du dx x = 0  u 1 x = 3  u 4 3  0 4 x2 3 1  x  2 u 2  2u  1 dx   du = . . .= 5 3 3 1 u2 1  1 b) x 2 dx đă ̣t x = sint  dx cos tdt 0 1  x 2  1  sin 2 t  cos t . x = 0  sint = 0  t = 0  . x = 1  sint = 1  t = 2 Khiđó  2 1  1 0 x 2 dx  cos 2 tdt  0  2 1 (1  cos 2t )dt 2 0  2 1 1  ( t  sin 2t ) 2 2 0   4 Bài tập 7: Tính các tích phân  2 a. (1  cos 2 x)dx  0 1 x3 b.  2 dx x 1 0  2 III. KẾT QUẢ THỰC HIỆN CÓ SO SÁNH ĐỐI CHỨNG 1. Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc giải những dạng tích phân như đã nêu. Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích một bài toán tích phân từ hàm số dưới dấu tích phân,cận của tích phân để lựa chọn phương pháp phù hợp trên cơ sở giáo viên đưa ra những sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong quá trình suy luận,trong các bước tính tích phân này rồi từ đó hướng các em đi đến lời giải đúng. Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài tập tích phân trong sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 và một số bài trong các đề thi tuyển sinh vào đại học,cao đẳng và trung học chuyên nghiệp của các năm trước thì các em đã thận trọng trong khi tìm và trình bày lời giải và đã giải được một lượng lớn bài tập đó. Sau những cố gắng, nỗ lực kết hợp đồng bộ những biện pháp thực hiên,đặc biệt là đổi mới phương pháp khi đi vào giảng dạy từng bài cụ thể, thực tế cho thấy kết quả thu được khá khả quan. Cụ thể là các em đó khắc phục được rất nhiều các sai sót về biến đổi tích phân và các em không còn lúng túng khi lựa chọ phương pháp phù hợp cho từng bài toàn tích phân. Nhiều em đã thể hiện được sự hứng thú học tập rõ rệt đối với môn toán học đặc biệt là giải các bài toán về tích phân, chính sự yêu thích, hứng thú học tập là động lực thúc đẩy các em tìm tòi, sáng tạo, hăng hái phát biểu xây dựng bài giúp cá em tiến bộ hơn rõ rệt. Học kì I năm học 2014- 2015 Khá, giỏi Trung bình Yếu Học kì II năm học 2014- 2015 Khá, giỏi Trung bình Yếu Lớp Sĩ Số 12A7 12A8 12A9 số 38 40 42 lượng 09 07 12 Tỉ lệ 24% 17,5% 29% Số Tỉ lệ Số lượng 16 23 19 42% 57,5 45% lượng 13 10 11 Tỉ lệ 34% 25% 26% Số Tỉ lệ Số Tỉ lệ Số Tỉ lệ lượng 20 25 25 53% 62% 60% lượng 16 15 15 42% 38% 35% lượng 2 0 2 5% 0% 5% 2. Sau đây là bảng so sánh , đối chứng kết quả qua hai học kì 3. Sau khi thực hiện sáng kiến học sinh học tập rất tích cực và hứng thú đặc biệt là khi giải bài toán tích phân các em tính tích phân rất thận trọng và hiểu bản chất của vấn đề chứ không tính rập khuôn một cách máy móc như trước, đó là việc thể hiện việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh. Thời đại ngày nay là thời đại của công nghệ thông tin, khoa học kĩ thuật.Có nhiều vấn đề sẽ chi phối các em hơn bởi vậy mà nhiều học sinh còn ham chơi điện tử, chơi game trên internet bỏ bê việc học hành, không mặn mà với việc mua sách tham khảo, tự giải bài tập toán, tự tìm tòi cũng là điều dễ hiểu Trách nhệm nặng nề của người giáo viên giảng dạy toán ở trường phổ thông là đem tâm huyết nghề nghiệp đánh thức , khơi dậy niềm say mê, hứng thú học tập môn toán góp phần vào chiến lượcđào tạo con người – những chủ nhân tương lai của đất nước. PHẦN III : BÀI HỌC - KIẾN NGHỊ - ĐỀ XUẤT 1/ Bài học: Qua đề tài sáng kiến kinh nghiệm trên tôi thấy rằng đối với học sinh nông thôn trường THPT tôi đang dạy do môi trường học tập, do điều kiện kinh tế và nhất là do khả năng nhận thức của học sinh còn yếu do đó trong quá trình giảng dạy giáo viên nên tìm hiểu học sinh, nên chắt lọc các kiến thức, phương pháp dạy học phù hợp nhất với đối tượng học sinh thì chất lượng bộ môn được nâng lên 2/ Kiến nghị và đề xuất: Nghiên cứu, phân tích một số sai lầm của học sinh khi tính tích phân có ý nghĩa rất lớn trong quá trình dạy học vì khi áp dụng sáng kiến này sẽ giúp học sinh nhìn thấy được những điểm yếu và những hiểu biết chưa thật thấu đáo của mình về vấn đề này từ đó phát huy ở học sinh tư duy độc lập, năng lực suy nghĩ tích cực chủ động củng cố trau rồi thêm kiến thức về tính tích phân từ đó làm chủ được kiến thức, đạt được kết quả cao trong quá trình học tập và các kỳ thi tuyển sinh vào các trường đại học, cao đẳng , THCN Hiện nay nhà trường đã có một số sách tham khảo tuy nhiên chưa có một sách tham khảo nào viết về sai lầm của học sinh khi giải toán. Vì vậy nhà trường cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sách tham khảo loại này để học sinh được tìm tòi về những sai lầm thường mắc khi giải toán để các em có thể tránh được những sai lầm đó trong khi làm bài tập . - Đề nghị lãnh đạo nhà trường tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ . - Nhà trường cần tổ chức các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy. Có tủ sách lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề. - Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập. Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm trên đây trên đây là do tôi viết, nếu sai tôi xin chịu trách nhiệm Chương Mỹ,ngày 20 tháng 5 năm 2015 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Kiến thức cơ bản giải tích 12 ( Phan Văn Đức- Đỗ Quang Minh – Nguyễn Thanh Sơn – Lê Văn Trường – NXB ĐH Quốc gia thành phố HCM - 2002)