Tài liệu Idean nguyên tố đối liên kết và đồng điều địa phương

MỤC LỤC Bảng các kí hiệu toán học thường dùng trong luận văn...............................ii MỞ ĐẦU ......................................................................................................... iii Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN.................................................................1 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết và đối ngẫu Matlis ........................................1 1.2 Môđun compăc tuyến tính và đồng điều địa phương...........................4 Chương 2: IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG ................................................................................................19 2.1 Iđêan nguyên tố đối liên kết ...............................................................19 2.2 Iđêan nguyên tố đối liên kết và môđun đồng điều địa phương ..........39 KẾT LUẬN .....................................................................................................48 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................49 MỤC LỤC ii Bảng các ký hiệu toán học thường dùng trong luận văn  lim M : giới hạn ngược của hệ ngược các môđun Mt t ←− t  M : giới hạn thuận của hệ thuận các môđun Mt lim −→ t t ΛI (M ) : đầy đủ I − adic của môđun M c M : đầy đủ m −adic của môđun M b R : vành đầy đủ m −adic của vành địa phương (R, m) ΛI : hàm tử làm đầy I − adic LIi : hàm tử dẫn xuất trái thứ i của ΛI HIi (M ) : môđun đối đồng điều địa phương thứ i của môđun M theo iđêan I HiI (M ) : môđun đồng điều địa phương thứ i của môđun M theo iđêan I E(R/ m) : bao nội xạ của R/ m D(M ) : đối ngẫu Matlis của môđun M L(M ) : tổng tất cả các môđun con Artin của môđun M Spec(R) : tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành R CoassR (M ) : tập tất cả các iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun M AssR (M ) : tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết với môđun M M ax(R) : tập tất cả các iđêan tối đại của vành R V (p) : tập tất cả các iđêan nguyên tố chứa p MỞ ĐẦU Lý thuyết đối đồng điều địa phương của A. Grothendieck đóng một vai trò quan trọng trong hình học đại số và đại số giao hoán. Sau đó lý thuyết đồng điều địa phương, được xem như đối ngẫu với đối đồng điều địa phương, được nhiều nhà toán học nghiên cứu như: Matlis (1974), Greenlees - May (1992), Alonso Tarrío, López, Tang (1994), Lipman (1999),.... Tuy nhiên kết quả rất hạn chế và chủ yếu nghiên cứu trên lớp môđun artin vì giới hạn ngược lim không khớp phải trên phạm trù ←− các môđun. Năm 1999 - 2000, Nguyễn Tự Cường và Trần Tuấn Nam đã phát triển lý thuyết đồng điều địa phương trên các môđun compăc tuyến tính là lớp môđun rất rộng, chứa cả lớp môđun artin và chứa cả lớp môđun hữu hạn nếu vành R đầy đủ. Và bằng đối ngẫu Matlis, các tác giả đã thu được một số kết quả đối với môđun đối đồng điều địa phương. Khái niệm về iđêan nguyên tố đối liên kết đã được nhiều nhà toán học nghiên cứu đến như Chamless (1981), Zöschinger (1988), Yassemi (1995),..., đến năm 2000, Nguyễn Tự Cường và Trần Tuấn Nam đã nghiên cứu các iđêan nghiên tố đối liên kết với các môđun compăc tuyến tính. Trong [27], Yassemi đã định nghĩa iđêan nguyên tố đối liên kết như sau: iii MỞ ĐẦU iv Một R−môđun L được gọi là cocyclic nếu L là một môđun con của E(R/ m) với m ∈ M ax(R). Cho M là một R−môđun. Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là nguyên tố đối liên kết với M nếu có một ảnh đồng cấu cocyclic L của M sao cho p = AnnR (L). Tập các iđêan nguyên tố đối liên kết với M được kí hiệu là CoassR (M ) hoặc Coass(M ). M được gọi là p −đối nguyên sơ nếu CoassR (M ) = {p}. Luận văn này tiếp tục nghiên cứu các iđêan nguyên tố đối liên kết, tìm điều kiện hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun đồng điều địa phương HiI (M ) của môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc M . Luận văn gồm hai chương Chương 1: Kiến thức cơ bản. Phần này ôn lại các kiến thức cơ bản về đối ngẫu Matlis, giới hạn thuận lim, giới hạn ngược lim, môđun com−→ ←− păc tuyến tính, môđun đối đồng điều địa phương HIi (M ), môđun đồng điều địa phương HiI (M ), cùng một số tính chất quan trọng cần thiết cho chương 2. Chương 2: Iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun đồng điều địa phương. Chương này nghiên cứu các tính chất của iđêan nguyên tố đối liên kết và sự hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun đồng điều địa phương HiI (M ). Phần đầu tiên của chương này dành cho việc nghiên cứu các tính chất của iđêan nguyên tố đối liên kết trên phạm trù các môđun, cụ thể như xây dựng mối liên hệ giữa các iđêan nguyên tố đối liên kết với các iđêan nguyên tố liên kết MỞ ĐẦU v Bổ đề 2.1.5: Cho M là một R−môđun. Các khẳng định sau là tương đương (i) p ∈ CoassR (M ). (ii) Tồn tại m ∈ M ax(R) ∩ V (p) sao cho p ∈ AssR (D(M )). Bổ đề 2.1.6: Cho M là một R−môđun. Nếu p ∈ Ass(M ) thì p ∈ Coass(D(M )) với mọi m ∈ M ax(R) ∩ V (p). Đối với các dãy khớp ngắn, tập các iđêan nguyên tố đối liên kết có một số tính chất sau Bổ đề 2.1.8: Cho một dãy khớp ngắn các R−môđun 0 −→ M 0 −→ M −→ M ” −→ 0. Khi đó CoassR (M ”) ⊆ CoassR (M ) ⊆ CoassR (M 0 ) ∪ CoassR (M ”). Mệnh đề 2.1.27: Cho một dãy khớp các R−môđun 0 −→ N −→ M −→ K −→ 0. Khi đó, nếu K là một R−môđun hữu hạn thì CoassR (M ) = CoassR (N ) ∪ CoassM (K) Phần thứ hai là nghiên cứu các iđêan nguyên tố đối liên kết với các môđun compăc tuyên tính, cho ta được một số kết quả quan trọng, cụ thể như sau: Mệnh đề 2.1.29: Cho M là một R−môđun compăc tuyến tính I−tách. Nếu có một phần tử x ∈ I sao cho CoassR (M/xM ) là hữu hạn thì CoassR (M ) hữu hạn. MỞ ĐẦU vi Hệ quả 2.1.32: Nếu M là R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc, thì tập hợp CoassR (M ) hữu hạn. Phần thứ ba là nghiên cứu các điều kiện để tập các iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun đồng điều địa phương của môđun compăc tuyến tính nữa rời rạc là hữu hạn. Định lý 2.2.3: Cho M là một R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc và i là một số nguyên không âm. Tập các nguyên tố đối liên kết với R−môđun đồng điều địa phương HiI (M ) hữu hạn khi R−môđun HjI (M ) hữu hạn với mọi j < i Định lý 2.2.4: Cho M là một R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc và i là một số nguyên không âm. Tập các nguyên tố đối liên kết với R−môđun đồng điều địa phương HiI (M ) hữu hạn khi I ⊆ Rad(AnnR (HjI (M ))), ∀j < i. Phần cuối, bằng đối ngẫu Matlis ta mở rộng được một số tính chất hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết với môđun đối đồng điều địa phương. Hệ quả 2.2.6: Cho (R, m) là một vành địa phương đầy đủ với tôpô m −adic và M là một R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc. Cho i là một số nguyên không âm. Tập các nguyên tố liên kết với môđun đối đồng điều địa phương HIi (M ) là hữu hạn khi I ⊆ Rad(AnnR (HIj (M ))), ∀j < i. Hệ quả 2.2.8: Cho M là một R−môđun hữu hạn trên một vành địa phương (R, m) và i là một số nguyên không âm. Tập các nguyên tố liên MỞ ĐẦU vii kết của môđun đối đồng điệu địa phương HIi (M ) là hữu hạn khi môđun HIj (M ) là hữu hạn với mọi j t sao cho nếu r, r0 > t0 , thì frt (Mr ) = fr0 t (Mr0 ). Chúng ta có tiêu chuẩn sau đây về tính khớp của giới hạn ngược: Bổ đề 1.2.5. (xem [7, 2.2]) Cho dãy khớp ngắn các hệ ngược của các R−môđun 0 −→ {Mt } −→ {Nt } −→ {Pt } −→ 0. CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 7 (i) Nếu {Nt } thỏa mãn tiêu chuẩn ML, thì {Pt } cũng thỏa ML. (ii) Nếu {Mt } thỏa mãn tiêu chuẩn ML, thì dãy sau đây khớp 0 −→ lim ←− Mt −→ lim ←− Nt −→ lim ←− Pt −→ 0. t t t Cho F là một hàm tử hiệp biến cộng tính trên phạm trù các R−môđun. Hàm tử dẫn xuất trái thứ i Li F của F được xác định như sau: với mỗi môđun M , Li F (M ) là môđun đồng điều thứ i của phức F (P∗ ), trong đó P∗ là giải thức xạ ảnh của M . Nếu F là hàm tử khớp phải, thì Li F = F . Cho I là một iđêan của R. Họ toàn cấu chính tắc M/I t+1 M → M/I t M, t ∈ N cảm sinh ra một hệ ngược các R−môđun {M/I t M }. Đầy đủ I−adic của t M là môđun ΛI (M ) = lim ←− M/I M . Khi đó hàm tử làm đầy I−adic ΛI t là hiệp biến, cộng tính trên phạm trù các R−môđun. Để ý rằng M/I t M ∼ = R/I t ⊗R M. Vì hàm tử tenxơ ⊗ không khớp trái và hàm tử giới hạn ngược lim ←− không t khớp phải, nên hàm tử làm đầy I−adic không khớp trái cũng không khớp phải. Gọi LIi là hàm tử dẫn xuất trái thứ i của ΛI , Khi đó LIi cũng là hàm tử hiệp biến, cộng tính. Đặc biết LI0 là hàm tử khớp phải, nhưng nói chung LI0 6= ΛI , vì hàm tử ΛI không khớp phải. Cho dãy khớp ngắn f g 0 −→ N −→ F −→ M −→ 0 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 8 với F là môđun tự do. Ta có dãy khớp sau bằng cách nhân tenxơ với R−môđun R/I t ft gt N/I t N −→ F/I t F −→ M/I t M −→ 0 Lấy giới hạn ngược ta thu được dãy sau ΛI (f ) ΛI (g) ΛI (N ) −→ ΛI (F ) −→ ΛI (M ) −→ 0. Dãy này thỏa mãn điều kiện ImΛI (f ) ⊆ kerΛI (g), nhưng không nhất thiết là khớp. Để ý rằng kergt = Imft ∼ = f (N )/(f (N ) ∩ I t F ), tức là hệ ngược {kergt } thỏa điều kiện ML vì các đồng cấu cảm sinh là toàn cấu. Theo bổ đề 1.2.5(ii), ΛI (g) là toàn cấu. Vì thế LI0 (M ) ∼ = ΛI (F )/ImΛI (f ) và ΛI (M ) ∼ = ΛI (F )/kerΛI (g). Như vậy ta có toàn cấu tự nhiên ϕM : LI0 (M ) → ΛI (M ). ϕM nói chung không phải là đẳng cấu. Bổ đề 1.2.6. (xem [7, 2.3]) Cho M là một R−môđun và I là một iđêan của R. Giả sử rằng hệ {I t M } là dừng, nghĩa là, tồn tại một số nguyên dương n sao cho I t M = I n M với mọi t > n. Khi đó toàn cấu tự nhiên ϕM : LI0 (M ) −→ ΛI (M ) là một đẳng cấu. CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 9 Bổ đề 1.2.7. (xem [7, 2.4]) Nếu M là R−môđun Artin, thì toàn cấu tự nhiên ϕM : LI0 (M ) −→ ΛI (M ) là một đẳng cấu. Bổ đề 1.2.8. (xem [7, 2.5]) Cho M là R−môđun. Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương: (i) IM = M. (ii) LI0 (M ) = 0. (iii) ΛI (M ) = 0. Môđun compăc tuyến tính Định nghĩa 1.2.9. Cho M là một R-môđun. M được gọi là tôpô tuyến tính nếu M có một cơ sở M các lân cận của phần tử 0 bao gồm các môđun con. M được gọi là Hausdorff nếu giao của tất cả các lân cận của phần tử 0 bằng 0. Một R-môđun tôpô tuyến tính Hausdorff M được gọi là compăc tuyến tính nếu F là một họ các phủ đóng (nghĩa là các phủ của các môđun con đóng) trong M mà có tính giao hữu hạn, thì các phủ trong F có giao khác 0. Rõ ràng R-môđun Artin là compăc tuyến tính và rời rạc. Nếu (R,m) là một vành đầy đủ thì R-môđun hữu hạn cũng compăc tuyến tính và rời rạc. CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 10 Chú ý 1.2.10. (xem [5, 2.2]) Cho M là một R−môđun. Nếu M là một họ các môđun con của M mà thỏa các điều kiện sau: (i) Với mọi N1 , N2 ∈ M thì có một N3 ∈ M sao cho N3 ⊆ N1 T N2 . (ii) Với mỗi phần tử x ∈ M và N ∈ M thì có một lân cận U của phần tử 0 của R sao cho U x ⊆ N , thì M là một cơ sở của một tôpô tuyến tính trên M . Bổ đề 1.2.11. (xem [5, 2.3]) (i) Cho M là một R−môđun tôpô tuyến tính Hausdorff và N là R−môđun con đóng của M . Khi đó M là compăc tuyến tính nếu và chỉ nếu N và M/N là compăc tuyến tính. (ii) Cho f : M → N là đồng cấu liên tục của các R−môđun tôpô tuyến tính Hausdorff. Nếu M là compăc tuyến tính, thì f (M ) là compăc tuyến tính và f là ánh xạ đóng. (iii) Nếu {Mi }i∈I là một họ các R−môđun compăc tuyến tính. thì Q Mi i∈I cũng là compăc tuyến tính với tôpô tích. (iv) Giới hạn ngược của một hệ ngược các R−môđun compăc tuyến tính và các đồng cấu liên tục cũng là compăc tuyến tính. Bổ đề 1.2.12. (xem [6, 2.2]) Cho M là một R−môđun compăc tuyến tính. Chúng ta có (i) M ∼ = lim ←− M/U trong đó M là cơ sở lân cận của phần tử 0 gồm các U ∈M môđun con. CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 11 (ii) Nếu N là một môđun con đóng của M và {Pi } là một họ các môđun con đóng của M sao cho với mỗi cặp Pi , Pj có một Pk ⊆ Pi ∩ Pj , thì \ (N + Pi ) = N + i \ Pi . i Bổ đề 1.2.13. (xem [5, 2.4]) Cho {Mt } là một hệ ngược các môđun compăc tuyến tính với các đồng cấu liên tục. Nếu 0 −→ {Mt } −→ {Nt } −→ {Pt } −→ 0 là dãy khớp ngắn các hệ ngược của các R−môđun thì dãy các giới hạn ngược 0 −→ lim ←− Mt −→ lim ←− Nt −→ lim ←− Pt −→ 0 t t t là khớp. Cho M là một R−môđun compăc tuyến tính và F là một R−môđun tự do với một cơ sở {ei }i∈I . Chúng ta có thể định nghĩa tôpô trên HomR (F, M ) như một tôpô tích thông qua đẳng cấu HomR (F, M ) ∼ = Q M J , trong đó M J = Mi với Mi = M với mọi i ∈ J. Khi đó i∈J HomR (F, M ) là một R−môđun compăc tuyến tính theo 1.2.11(iii). Hơn nữa, nếu h : F −→ F 0 là một đồng cấu của các môđun tự do thì nó cảm sinh đồng cấu liên tục h∗ : HomR (F 0 , M ) −→ HomR (F, M ). Cho F• : . . . −→ Fi −→ . . . −→ F1 −→ F0 −→ N −→ 0. CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 12 là một phép giải tự do của một R−môđun N . Khi đó ExtiR (N, M ) là một R−môđun tôpô tuyến tính với tôpô thương của Hom(Fi , M ). Tôpô này trên ExtiR (N, M ) được gọi là tôpô cảm sinh bởi phép giải tự do F• của N . Bổ đề 1.2.14. (xem [5, 2.5]) Nếu M là một R−môđun compăc tuyến tính và N là một R−môđun. Khi đó với mọi i > 0, ExtiR (N ; M ) cũng là R−môđun compăc tuyến tính với tôpô cảm sinh bởi một phép giải tự do của N và tôpô này độc lập với các phép giải tự do của N . Hơn nữa, nếu f : N −→ N 0 là một đồng cấu của các R−môđun, thì đồng cấu cảm sinh ExtiR (N 0 ; M ) −→ ExtiR (N ; M ) là liên tục. Cho N là một R−môđun hữu hạn sinh và F• : . . . −→ Fi −→ . . . −→ F1 −→ F0 −→ N −→ 0. là một phép giải tự do của N với các môđum tự do hữu hạn sinh. Như trên, chúng ta có thể định nghĩa đối với một môđun compăc tuyến tính M một tôpô trên T oriR (N, M ) được cảm sinh từ tôpô tích của Fi ⊗R M . Bổ đề 1.2.15. (xem [5, 2.6]) Cho N là một R−môđun hữu hạn sinh và M là một R−môđun compăc tuyến tính. Khi đó T oriR (N ; M ) là một R−môđun compăc tuyến tính với một tôpô được sinh bởi một phép giải tự do của N (bao gồm tất cả các môđun tự do hữu hạn sinh) và tôpô này độc lập với các phép giải tự do của N . Hơn nữa, nếu f : N −→ N 0 là CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 13 một đồng cấu của các R−môđun hữu hạn sinh, thì đồng cấu cảm sinh T oriR (N ; M ) −→ T oriR (N 0 ; M ) là liên tục. Bổ đề 1.2.16. (xem [5, 2.7]) Cho N là một R−môđun hữu hạn sinh và {Mt } là một hệ ngược của các R−môđun compăc tuyến tính với các đồng cấu liên tục. Khi đó với mọi i > 0, {T oriR (N ; Mt )} tạo thành một hệ ngược các môđun compăc tuyến tính với các đồng cấu liên tục. Hơn nữa, ta có R ∼ T oriR (N ; ← lim − Mt ) = lim ←− T ori (N ; Mt ) t t Định nghĩa 1.2.17. Một R−môđun tôpô tuyến tính Hausdorff M được gọi là nửa rời rạc nếu mọi môđun con của M đều đóng. Do đó một R−môđun rời rạc là nửa rời rạc. Lớp các R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc chứa tất cả các môđun Artin. Hơn nữa, nó còn chứa tất cả các môđun hữu hạn trong trường hợp R là vành địa phương đầy đủ. Kí hiệu L(M ) là tổng của tất cả các môđun con Artin của M , chúng ta có tính chất sau của các môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc. Bổ đề 1.2.18. (xem [5, 2.8]) Cho M là R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc. Khi đó L(M ) là một môđun Artin