http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
HÌNH KHÔNG GIAN THỂ TÍCH
TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO FULL
Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt
HÌNH KHÔNG GIAN THỂ TÍCH
ÔN TẬP 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 – 10
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho ABC vuông ở A . Ta có:
2
2
2
a) Định lý Pitago : BC AB AC
2
A
2
b) BA BH .BC ; CA CH .CB
c
c) AB. AC BC. AH
1
1
1
2
2
AH
AB
AC 2
e) BC 2 AM
b
c
b
c
f) sin B , cos B , tan B , cot B
a
a
c
b
B
d)
g) b a.sin B a.cos C , c a.sin C a.cos B, a
b
H
M a
C
b
b
sin B cos C
b c.tan B c.cot C
2. Hệ thức lượng trong tam giác thường
Định lý hàm số côsin: a 2 b 2 c 2 2bc.cos A
a
b
c
Định lý hàm số sin:
2R
sin A sin B sin C
3. Các công thức tính diện tích
a) Công thức tính diện tích tam giác
S
abc
1
1
a.ha a.b sin C
pr
2
2
4R
Đặc biệt:
ABC vuông ở A : S
p p a p b p c với p
a b c
2
1
AB. AC
2
ABC đều cạnh ABC : S
a2 3
4
b) Diện tích hình vuông: S cạnh x cạnh
c) Diện tích hình chữ nhật: S dài x rộng
1
d) Diện tích hình thoi: S (chéo dài x chéo ngắn)
2
BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
1
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
1
(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao
2
f) Diện tích hình bình hành: S đáy x chiều cao
g) Diện tích hình tròn: S R 2
e) Diện tích hình thang: S
ÔN TẬP 2: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11
A. QUAN HỆ SONG SONG
§1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
1. Định nghĩa
Đường thẳng và mặt phẳng gọi là a P a P
song song với nhau nếu chúng
không có điểm nào chung.
a
(P)
2.Các định lý:
Định lý 1: Nếu đường thẳng a
a
b a a
b
không nằm trên mặt phẳng và
song song với một đường thẳng
nào đó nằm trên
a
b
α
thì a song
song với .
Định lý 2: Nếu đường thẳng a
a P
b
a (Q)
P Q b
song song với mặt phẳng P thì
mọi mặt phẳng Q chứa a mà
cắt
P
Q
P Q b
b
P a
Q a
b
P
thì cắt theo giao tuyến
song song với a .
Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng cắt
nhau cùng song song với một
đường thẳng thì giao tuyến của
chúng cũng song song với đường
thẳng đó.
a
a
Q
a
b
P
a
§2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
1. Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là song
song với nhau nếu chúng không có
điểm nào chung.
P Q P Q
P
Q
BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
2
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
2. Các định lý:
Định lý 1: Nếu mặt phẳng
P
chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau
và cùng song song với mặt phẳng
Q
thì
P và Q
song song
với nhau.
Định lý 2: Nếu một đường thẳng
nằm một trong hai mặt phẳng song
song thì song song với mặt phẳng
kia.
Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng P
Q song song thì mọi mặt
phẳng R đã cắt P thì phải cắt
Q và các giao tuyến của chúng
và
a, b P
a b I
a
Q, b
P
Q
Q
P
a
b I
Q
P Q a Q
a P
a
P
Q
P Q
R P a a
R Q b
R
b
a
P
b
Q
song song.
B. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
§1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
1. Định nghĩa:
Một đường thẳng được gọi là a P a c, c P
vuông góc với một mặt phẳng nếu
nó vuông góc với mọi đường thẳng
nằm trên mặt phẳng đó.
P
2. Các định lý:
Định lý 1: Nếu đường thẳng d
vuông góc với hai đường thẳng cắt
nhau a và b cùng nằm trong mặt
phẳng
P
thì đường thẳng d
góc với mặt phẳng P và đường
thẳng b nằm trong
c
d a , d b
a , b P d P
a b
d
b
P
vuông góc với mặt phẳng P .
Định lý 3: (Ba đường vuông góc)
Cho đường thẳng a không vuông
a
a
a P , b P
b ab a '
P . Khi đó,
BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
3
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
điều kiện cần và đủ để b vuông góc
với a là b vuông góc với hình
chiếu a ' của a trên P .
§2.HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
1. Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 0.
2. Các định lý:
Định lý 1: Nếu một mặt phẳng a P
Q P
chứa một đường thẳng vuông góc
a Q
với một mặt phẳng khác thì hai mặt
Q
a
phẳng đó vuông góc với nhau.
P
Định lý 2: Nếu hai mặt phẳng P
và Q vuông góc với nhau thì bất
cứ đường thẳng a nào nằm trong
P Q
P Q d a Q
a P , a d
P , vuông góc với giao tuyến của
P và Q đều vuông góc với
mặt phẳng Q .
Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng P P Q
A P
và Q vuông góc với nhau và A
a P
là một điểm trong P thì đường A a
a Q
thẳng a đi qua điểm A và vuông
góc với Q sẽ nằm trong P
Định lý 4: Nếu hai mặt phẳng cắt
nhau và cùng vuông góc với mặt
phẳng thứ ba thì giao tuyến của
chúng vuông góc với mặt phẳng
thứ ba.
P
a
Q
d
P
a
A
Q
P Q a
P R a R
Q R
P
Q
a
R
§3.KHOẢNG CÁCH
BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
4
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng, đến 1
mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc
đến mặt phẳng P ) là khoảng cách giữa hai điểm M
O
O
và H , trong đó H là hình chiếu của điểm M trên
đường thẳng a ( hoặc trên mặt phẳng P )
H
a
P
H
d O; a OH ; d O; P OH
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
song song:
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng P
O
a
song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó
của a đến mặt phẳng P .
H
P
d a; P OH
3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này
đến mặt phẳng kia.
d
O
P
P; Q OH
H
Q
4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng
đó.
a
d a; b AB
A
b
B
§4.GÓC
1. Góc giữa hai đường thẳng a và b
là góc giữa hai đường thẳng a ' và b ' cùng đi qua một
điểm và lần lượt cùng phương với a và b .
a
a'
b'
b
BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
5
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
2. Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với
a
mặt phẳng P
là góc giữa a và hình chiếu a ' của nó trên mặt phẳng
P .
Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng P thì ta
a'
P
nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng P
là 90 .
3. Góc giữa hai mặt phẳng
là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai
mặt phẳng đó.
Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt
phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm
b
a
Q
P
4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của đa
giác
H
trong mặt phẳng
P
a
b
Q
P
S
và S ' là diện tích
hình chiếu H ' của H trên mặt phẳng P ' thì:
S ' S cos
C
A
trong đó là góc giữa hai mặt phẳng P và P ' .
B
ÔN TẬP 3: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12
A. CÁC CÔNG THỨC THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN:
1. Thể tích khối lăng trụ:
V S .h
Trong đó:
S : Diện tích đa giác đáy.
h : Đường cao của hình lăng trụ.
a) Thể tích khối hộp chữ nhật:
A'
D'
V a.b.c
với a , b, c là ba kích thước
C'
B'
A
B
BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
D
C
6
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
b) Thể tích khối lập phương:
V a3
với a là độ dài cạnh
A'
D'
C'
B'
A
D
B
C
2. Thể tích khối chóp:
Trong đó:
1
V S .h
3
S : Diện tích đa giác đáy.
h : Đường cao của hình chóp.
3. Tỉ số thể tích tứ diện:
Hai khối chóp S . ABC và S .MNP có chung đỉnh S
và các góc ở đỉnh S . Khi đó:
VS .MNP SM SN SP
.
.
VS . ABC
SA SB SC
S
M
P
N
C
A
B
4. Thể tích khối chóp cụt:
h
V
B B ' BB '
3
Trong đó:
B , B ' : Diện tích hai đáy.
A'
B'
C'
A
B
h : Chiều cao.
C
Chú ý:
1/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d a 2 ,
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d a 3 ,
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có ba kích thước a , b, c là d a 2 b 2 c 2 ,
a 3
2
3/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều,
hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h
BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
7
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
PHÂN DẠNG BÀI TẬP
A. LOẠI 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ
1. Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy
Ví dụ 1. Cho ( H ) là khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a . Thể tích của ( H ) bằng:
A.
a3
.
2
B.
a3 3
.
2
C.
a3 3
.
4
D.
a3 2
.
3
Hướng dẫn giải:
a3 3
V S SBC . AA '
4
A'
C'
B'
C
A
B
Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có AA a , tam giác ABC đều cạnh a . Tính theo a thể tích của
khối lăng trụ ABC. ABC .
a3 3
a3 3
.
B. VABC . ABC
.
12
8
Hướng dẫn giải:
A. VABC . ABC
S ABC
C. VABC . ABC
a2 3
a3 3
, h AA ' a V S ABC .h
4
4
a3 3
.
4
A
D. VABC . ABC
a3
.
6
B
C
B'
A'
C'
Ví dụ 3. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông, BA BC a , AA a 2 . Tính theo
a thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC .
2.a 3
A. VABC . ABC
.
B. VABC . ABC
3
Hướng dẫn giải:
2.a 3
.
2
C. VABC . ABC
BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
2.a 3
.
4
D. VABC . ABC
a3
.
3
8
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
V
1
a3 2
AB.BC. AA '
2
2
B'
C'
A'
C
B
A
Ví dụ 4. Lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC 2a, AB a . Mặt bên
́
BB’C’C là hình vuông. Khi đó thể tıch lăng trụ là:
A.
a3 3
.
3
B. a 3 2 .
C. 2a3 3 .
Hướng dẫn giải:
Ta có: BB ' C ' C là hình vuông
h BB 2a
AC BC 2 AB 2 a 3
D. a 3 3 .
B'
C'
A'
1
a2 3
AB. AC
2
2
.S ABC a3 3
VABC . A’ B’C ’ BB
S ABC
C
B
A
Ví dụ 5. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC. A ' B ' C ' là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh BC a 2
và biết A ' B 3a . Tính thể tích khối lăng trụ.
A. a3 .
B. a3 2 .
Hướng dẫn giải:
ABC vuông cân tại A nên AB AC a
ABC. A ' B ' C ' là lăng trụ đứng
AA ' AB
AA '
D. 2a 3 .
C. a3 3 .
A'
C'
B'
A ' B 2 AB 2 2 a 2
V B.h S ABC . AA ' a 3 2
C
A
B
BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
9
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Ví dụ 6. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC. A ' B ' C ' là tam giác đều cạnh a 4 và biết diện tích tam giác
A ' BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
A.
8 2
.
3
B.
8
.
3
C. 8 2 .
Hướng dẫn giải:
Gọi I là trung điểm BC .Ta có:
ABC đều nên
D. 8 .
A'
AB 3
2 3; AI BC A ' I BC
2
2S
1
S A ' BC BC. A ' I A ' I A ' BC 4
2
BC
AA ' ABC AA ' AI
C'
AI
AA '
B'
C
A
A ' I 2 AI 2 2
I
VABC . A ' B 'C ' S ABC . AA ' 8 3
B
Ví dụ 7. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a . Tính thể tích
khối lăng trụ này.
A. 9a3 .
B. 9 .
Hướng dẫn giải:
C. 3a3 .
ABCD. A ' B ' C ' D ' là lăng trụ đứng nên BD BD '2 DD '2 3a
3a
ABCD là hình vuông AB
2
D. 3 .
A'
B'
C'
2
9a
Suy ra B S ABCD
4
V B.h S ABCD . AA ' 9a 3
D'
A
B
D
C
Ví dụ 8. Cho hình hộp đứng ABCD. ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác AAC vuông cân và
AC a . Tính theo a thể tích của khối hộp ABCD. ABCD .
a3 2
a3 2
. B. VABCD . ABC D
.
24
48
Hướng dẫn giải:
A. VABCD . ABC D
C. VABCD . ABC D
BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
a3 2
.
16
D. VABCD . ABC D
a3 2
.
8
10
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
A ' C a AC AA '
a
a
AB
2
2
A
a3 2
V S ABCD . AA '
8
D
C
B
D'
A'
B'
C'
Ví dụ 9. Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 60 . Đường chéo lớn của đáy
bằng đường chéo nhỏ của hình hộp. Tính thể tích hình hộp .
a3 6
A.
.
2
a3 3
B.
.
2
Hướng dẫn giải:
a3 6
C.
.
6
Ta có tam giác ABD đều nên BD a và S ABCD 2 S ABD
a2 3
2
Theo đề bài BD ' AC a 3
DD ' BD '2 BD 2 a 2 V S ABCD .DD '
a3 3
D.
.
6
A'
D'
B'
a
3
C'
6
2
A
D
B
C
Ví dụ 10. Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44cm , người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông cạnh
12cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật không có nắp. Tính thể tích cái hộp này.
A. 1200cm3 .
B. 1600cm3 .
C. 2400cm3 .
Hướng dẫn giải:
Theo đề bài, ta có: AA ' BB ' CC ' DD ' 12cm
A'
nên ABCD là hình vuông.
AB 44 cm 24 cm 20 cm; h 12 cm
B'
V S ABCD .h 4800cm3
D. 4800cm3 .
D'
C'
A
B
D
C
2. Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
11
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Ví dụ 1. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , BA BC a , AB hợp
với mặt đáy một góc 60 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC .
a3 3
.
B. VABC . ABC a 3 3 .
2
Hướng dẫn giải:
A. VABC . ABC
C. VABC . ABC a 3 .
D. VABC . ABC 5a 3 2 .
A'
AA ' ABC AA ', ABC A ' B, AB ABA ' 60
C'
1
a3 3
AA ' AB.tan 60 a 3 V . AB.BC. AA '
2
2
B'
C
A
B
Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác cân tại C , góc giữa BC và ABBA bằng
60 , AB AA a . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC .
15.a 3
18.a 3
. B. VABC . ABC
.
4
4
Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của A ' B ' .
C ' M ABB ' AC
A. VABC . ABC
C. VABC . ABC
15a 3
.
4
D. VABC . ABC
18a 3
.
4
C'
A'
M
BC ', ABB ' A ' BC ', BM MBC ' 60
B'
a 15
2
2
a 15
a 3 15
V S A ' B 'C ' . AA '
4
4
MC ' BB '2 MB '2 . tan 60
S A ' B 'C '
C
A
B
Ví dụ 3. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AC a , ACB 60 , góc giữa
BC và mặt phẳng AAC C bằng 30. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC .
A. VABC . ABC a 3 6 .
B. VABC . ABC a 3 3 .
C. VABC . ABC 2 2 a 3 .
D. VABC . ABC a 3 5 .
Hướng dẫn giải:
BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
12
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
AC a AB a 3, BC 2a
C'
B'
AB AA ' C ' C
A'
BC ', AA ' C ' C BC ', AC ' AC ' B 30
AC ' 3a CC ' AC '2 AC 2 2a 2
V
1
AB. AC.CC ' a 3 6
2
C
B
A
Ví dụ 4. Cho lăng trụ đứng ABCD. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo BD của
lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 30. Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD. ABCD .
a3 3
a3 2
. B. VABCD . ABC D
.
3
2
Hướng dẫn giải:
DD ' ABCD
A. VABCD . ABC D
C. VABCD . ABC D
D. Kết quả khác.
A
BD '; ABCD BD ', BD DBD ' 30
a3 6
3
D
C
B
a 6
DD ' BD.tan 30
3
V S ABCD .DD '
a3 6
.
3
D'
A'
B'
C'
Ví dụ 5. Cho hình hộp đứng ABCD. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và BAD 60o . Biết AB hợp
với đáy ABCD một góc 30. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABCD. ABCD .
a3
.
B. VABCD . ABC D a 3 5 .
2
Hướng dẫn giải:
A. VABCD . ABC D
C. VABCD. ABCD a 3 .
BB ' ABCD
D. VABCD . ABC D
A
AB ', ABCD AB ', AB BAB ' 30
a 3
BB ' AB.tan 30
3
V S ABCD .BB ' 2 S ABD .BB '
D'
A'
B'
BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
D
C
B
a3
2
a3 3
.
2
C'
13
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Ví dụ 6. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD. ABCD có cạnh đáy bằng a , góc giữa AC ' và mặt phẳng BCC B
bằng 30. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABCD. ABCD .
A. VABC . ABC 2a 3 .
B. VABC . ABC 2a 3 .
C. VABC . ABC
Hướng dẫn giải:
AB BCC ' B '
2a 3
.
2
D. VABC . ABC a 3 .
A
AC ', BCC ' B ' AC ', BC ' AC ' B 30
D
C
B
BC ' AB.cot 30 a 3
BB ' BC '2 B ' C '2 a 2
D'
A'
V S ABCD .BB ' a 3 2
B'
C'
Ví dụ 7. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD. ABCD có cạnh đáy bằng a , đường chéo AC ' tạo với mặt bên
BCC B một góc 0 45o . Khi đó, thể tích khối lăng trụ bằng:
B. a 3 cot 2 .
A. a 3 cot 2 1 .
C. a 3 cot 2 1 .
Hướng dẫn giải:
AB BCC ' B '
D. a 3 tan 2 1 .
A
AC ', BCC ' B ' AC ', BC ' AC ' B
D
C
B
BC ' AB.cot BB ' a cot 2 1
D'
A'
V S ABCD .BB ' a 3 cot 2 1
B'
C'
3. Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc giữa hai mặt phẳng
Ví dụ 1. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , BA BC a , AB hợp
với mặt đáy một góc 60 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC .
a3 3
.
B. VABC . ABC a 3 3 .
2
Hướng dẫn giải:
A. VABC . ABC
C. VABC . ABC a 3 .
BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
D. VABC . ABC 5a 3 2 .
14
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
C'
A'
AA ' ABC AA ', ABC A ' B, AB ABA ' 60
1
a3 3
AA ' AB.tan 60 a 3 V . AB.BC. AA '
2
2
B'
C
A
B
Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A , AC 2a, CAB 120, góc giữa
ABC và mặt phẳng ABC bằng 45 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.ABC .
A. VABC . ABC a 3 3 .
B. VABC . ABC 3a 3 3 .
C. VABC . ABC 3a 3 .
Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của BC .
AM AC.cos 60 a
A'
C'
B'
AC 2 AB 2 2 AB. AC.cos120 2a 3
BC
D. VABC . ABC 2 a 3 3 .
A ' M BC , AM BC
A ' BC , ABC A ' M , AM AMA ' 45
AA ' AM a V
C
A
M
1
BC. AM . AA ' a 3 3
2
B
Ví dụ 3. Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a . Mặt phẳng AB ' C ' tạo với mặt đáy
0
góc 60 . Tính theo a thể tích lăng trụ ABC. A ' B ' C ' .
A. V
a3 3
.
2
B. V
3a3 3
.
4
C. V
Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm B ' C '
A ' M B 'C '
600
A' M
S A ' B ' C '
a3 3
.
8
D. V
A
C
AB ' C ', A ' B ' C ' AM , A ' M AMA '
a 3
3a
; AA ' A ' M .tan AMA '
2
2
2
3
3a 3
a 3
V SABC . AA '
4
8
3a3 3
.
8
B
C'
A'
M
B'
BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
15
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Ví dụ 4. Cho lăng trụ tam giác đều ABC. ABC có cạnh đáy bằng a . Góc giữa hai mặt phẳng ABC và
ABC bằng 30. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ
a3 3
a3 3
.
B. VABC . ABC
.
8
4
Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của BC .
A ' M BC , AM BC
A. VABC . ABC
C. VABC . ABC
ABC. ABC .
a3
.
2
D. VABC . ABC
A'
a3 3
.
2
C'
B'
A ' BC , ABC A ' M , AM A ' MA 30
a
a3 3
AA ' AM .tan 30 V S ABC . AA '
2
8
C
A
M
B
Ví dụ 5. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B , BC a , mặt phẳng
A ' BC tạo với đáy một góc 30 và tam giác
A ' BC có diện tích bằng a 2 3 . Tính thể tích khối lăng
trụ ABC. A ' B ' C ' .
A.
a
3
3
8
.
B.
3a 3 3
.
4
C.
3a 3 3
.
8
Hướng dẫn giải:
BC AB
BC A ' B
BC AA '
BC AB ABC
BC A ' B A ' BC
BC ABC A ' BC
3a 3 3
.
2
A'
C'
B'
ABC, A ' BC AB, A ' B ABA '
2
S A ' BC
D.
2.S A ' BC 2.a 3
1
2a 3
A ' B.BC A ' B
BC
a
2
C
A
B
AB A ' B.cos ABA ' 2a 3.cos 300 3a; AA ' A ' B.sin ABA ' 2a 3.sin 300 a 3
VABC . A ' B 'C '
1
1
3a 3 3
B.h S ABC . AA ' . AB.BC. AA ' .3a.a.a 3
2
2
2
BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
16
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Ví dụ 6. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD. ABCD có cạnh đáy bằng a , mặt phẳng BC ' D hợp với đáy
ABCD một góc 60 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ
a3 6
a3 3
. B. VABCD . ABC D
.
6
2
Hướng dẫn giải:
Gọi I là trung điểm của BD .
AC BD, C ' I BD
BC ' D ABCD BD
A. VABCD . ABC D
C. VABCD . ABC D
ABCD. ABCD .
a3 6
.
2
D. Kết quả khác.
A'
D'
B'
C'
BC ' D; ABCD AC , C ' I CIC ' 60
1
a 2
a 6
CC ' CI .tan 60
AC
2
2
2
a3 6
V S ABCD .CC '
2
A
CI
D
I
B
C
0
Ví dụ 7. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' . Mặt phẳng A ' BC hợp với đáy ABCD một góc 60 ,
A ' C hợp với đáy ABCD một góc 300 và AA ' a 3 . Tính theo a thể tích khối hộp.
A. V 2a 3 6 .
B. V
2a 3 6
.
3
Hướng dẫn giải:
AA ' ABCD
A'
300 A ' C , ABCD A ' C , AC A ' CA
60
AB
BC
0
A ' BC , ABCD A ' B, AB A ' BA
AA '
tan A ' BA
a; AC
3
D. V a .
C. V 2a3 2 .
AA '
tan A ' CA
C'
B'
3a
D'
A
AC 2 AB 2 2a 2; S ABCD AB.BC 2a 2 2
VABCD . A ' B ' C ' D ' S ABCD . AA ' 2a 3 6
D
B
C
4. Dạng 4: Khối lăng trụ xiên
Ví dụ 1. Cho lăng trụ ABC. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Biết cạnh bên bằng a 3 và hợp với
đáy ABC một góc 60 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC .
a3 3
3a 3 3
.
B. VABC . ABC
.
8
8
Hướng dẫn giải:
A. VABC . ABC
C. VABC . ABC
BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
5a 3 3
.
8
D. Đáp án khác.
17
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Kẻ A ' H ABC
B'
C'
AA ', ABC AA ', AH A ' AH 60
A'
3a
3a 3 3
A ' H AA '.sin 60
V S ABC . A ' H
2
8
B
C
H
A
Ví dụ 2. Cho lăng trụ ABC. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , điểm A ' cách đều ba điểm A, B, C .
Góc giữa AA ' và ABC bằng 60 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC .
3a 3 4
a3 3
.
B. VABC . ABC
.
4
2
Hướng dẫn giải:
Gọi G là trọng tâm của ABC A ' G ABC
A. VABC . ABC
C. VABC . ABC
a3 3
.
4
D. VABC . ABC
5a 3 3
.
4
B'
C'
AA ', ABC AA ', AG GAA ' 60
A ' G AG. tan 60 a V S ABC . A ' G
a3 3
4
A'
C
B
G
A
Ví dụ 3. Cho lăng trụ ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AC 2a ; cạnh bên AA 2a
. Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm cạnh AC . Tính thể tích V của
khối lăng trụ ABC. ABC .
A. V
1 3
a3
a .
B. V .
3
2
Hướng dẫn giải:
C. V a3 .
BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
D. V
2a 3
.
3
18
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Vì ABC là tam giác vuông cân tại B nên trung tuyến
BH
cũng là đường cao của nó và
1
HB HA HC AC a .
2
A'
C'
B'
A ' H A ' A2 AH 2 2a 2 a 2 a
VABC . ABC A ' H S ABC
B
A
1
A ' H BH AC a 3
2
H
C
Ví dụ 4. Cho lăng trụ ABC. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của A ' lên mặt
phẳng ABC trùng với tâm O của tam giác ABC . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ
a 3
ABC. ABC , biết khoảng cách giữa AA ' và BC là
.
4
a3 3
a3 3
.
B. VABC . ABC
.
12
4
Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của BC BC AA ' M
A. VABC . ABC
C. VABC . ABC
4a 3 3
.
5
B'
C'
Gọi H là hình chiếu của M lên AA '
a 3
HM 1
HM d AA ', BC
sin A ' AO
8
AM 2
a
A ' AO 30 A ' O AO. tan A ' AO
3
D. Kết quả khác.
A'
M
H
B
C
a3 3
V S ABC . A ' O
12
O
A
Ví dụ 5. Cho lăng trụ ABC. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của A ' trên
ABC là trung điểm của BC , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 30. Tính theo a thể tích của
khối lăng trụ ABC. ABC .
a3 3
a3 3
.
B. VABC . ABC
.
4
3
Hướng dẫn giải:
A. VABC . ABC
C. VABC . ABC
BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
a3 3
.
12
D. VABC . ABC
a3 3
.
8
19
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Gọi M là trung điểm của BC
A ' M ABC
B'
C'
AA ', ABC AA ', AM A ' AM 30
A ' M AM . tan 30
A'
a
a3 3
V S ABC . A ' M
2
8
C
B
M
A
Ví dụ 6. Cho lăng trụ ABC. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a . Hình chiếu vuông góc của A ' trên
ABC là trung điểm của AB , góc giữa mặt phẳng AAC C và mặt đáy bằng 60 . Tính theo a
thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC .
A. VABC . ABC 2 a 3 3 .
B. VABC . ABC 3a 3 3 .
C. VABC . ABC
3a 3 3
.
2
Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của AB , kẻ MH AC
A ' M ABC
D. VABC . ABC a 3 3 .
B'
C'
ACC ' A ', ABC A ' H , HM A ' HM 60
A'
2
1
1
a 3
AC.MH S ABC
2
2
2
a 3
3a
MH
A ' M MH . tan 60
2
2
3
3a 3
V S ABC . A ' M
2
S ABC a 2 3; S AMC
B
C
M
H
A
a 10
Ví dụ 7. Cho lăng trụ ABC. ABC có AA
, AC a 2, BC a, ACB 135o . Hình chiếu vuông góc của
4
lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm M của AB . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ
C
ABC. ABC .
A. VABC . ABC a 3 .
B. VABC . ABC
a3 6
.
8
C. VABC . ABC
3a 3
.
8
D. VABC . ABC 3a 3 3 .
Hướng dẫn giải:
BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
20
- Xem thêm -