Tài liệu Hình học vi phân

ĐOÀN QUỲNH HÌNH HỌC VI PHÂN V - 0 (Ợ NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DUC - 2000 - r ề ^ ----G D -00 194/165-00 Mà số : 7K279M0 LÒI N Ó I Đ Ầ U Giáo trĩnh Hĩnh học vi phản này là một giáo trĩnh v'ê hình học vi phản cổ điển (lí thuyết vầ dường vă mặt trong không gian Euclid hai, ba cỉiiều), đồng thời là một mó đâu của lí thuyết đa tạp khả vi và dạ tạp Riemann. Chương Ị nhìn lại phép tinh giải tích trên một tộtp mỏ trong không gian Eucíid dưới quan diểni ứng dụng nó vào nghiên cứu hình học, nhăn mạnh đạo hàm của hàm sổ theo một vectơ tiếp xúc, ảnh xạ tiếp xúc cùa một ảnh xạ khả vi, trường vectơ và dạng vi phân (vả có để ý phần nào tách bạch cáu trúc afin và cáu trúc kỉĩông gian vectơ của E" vói Chương l ĩ trình bày li thuyết dường trong chương l ĩ l trink bày li thuyết ĩìiật trong E^. Do là những kiến thức thường được trang bi cho sinh viên các khoa Thán " Lỷ các trường Đại học sư phạm, Đại học khoa học tụ nềiién vầ ỏ một mức dộ nhát dinh cho sinh viền các trường Dại học kỉ thuật. Trong hai chương này có nêu những địnỉĩ nghia tương đổi cần thận vầ dường, m ặt uà có bước dàu giới thiệu các khái niệm da tạp con m ột chiêu, hai chiều trong E". (Tuy nhiên, giáo trình không d ặ t nặng vào nghiên cứu chi tiết các ván đê liên quan dến ”kỉ d ị ” của đường, mặt, v.v...). Chương r v đe cãp ềiìnỉi học nội bộ của một mặt trong (các khải niệm v'ê mặt trong E'^ bát biến qua vi pkôi dàng cự giữa các mặt đó) và niỏ rộng ra it nhiầu cho da tạp Riemann hai cỉiiều, chủ yếu dè cập dến cung trác dịa, độ cong Gauss và chương dược kết thúc bằng định lí Gauss-Bonnet. Dể dơn giàn tính toán. các vấn dề dược trình bày trong trường mục tiêu tiếp xúc trực chuẩn với việc sử dụng dạng vi phân. Trong chương này cố nêu ví dụ dáng đ ể ý (dặc biệt đối với sinh viên các trường Đại học sư phạm) là mô hình Poincaré cùa hình học Lobatchevski phàng. Một giáo trình giản yếu vầ lí thuyết đường và m ặt trong có thể coi gồm chương I (trình bày đơn giản, coi là ôn tập vẽ "Giải tích”), chương //, ỈU va một phằn chương IV Chương V giói thiệu da tạp khả vi và đ a tạp Riemann. Phản này dành cho sinh viên muốn mô rộng tầm hiểu biết. CỚ€ ván đè được đè cập là mỏ rộng, làm chính xác các khải niệm dã được trình bày trong các chương trưóc. Tuy có nhiầu tính chát (đặc biệt trong phần ”đa tạp khả vi'*)đã không được chứng minh d'ăy dù nhưng sách dã có gàng nêu được ý nghỉa của ván đề ưà cố nhiầu ví dụ cụ thể. Trong phần ”đa tạp Riemann"y phủn lón các kết quả chính đầu được chứng minh và chủ yếu đè cộp đến cung trác địa, ánh xạ mủ Exp, trường ưacobi, độ cong tiết diện của đa tạp Riemann và da tạp Riemann có dộ cong tiết diện hàng. So sảnh vói giảo trình Hình học ui phân đá được xuát bản năm 1989 của cũng tác giả (và cùng Nhà xuát bản Giáo dục), sách này có nhiều thay đổi : thêm hản một chương V, thêm nhiêu lời hướng dản giải bài tập, một số điêu dã dược dơn giản hóa, chính xác hóa, sáp xép ỉạỉ. Tầc giả hy vọng sách này giúp ích cho giáo viên, sinh ưiên các khoa Toán - Lý các trường Dại học sư phạm, Đại học khoa học tự nhiên, các trường Đại học kỉ thuật và cà các giáo viển các trường Cao đàng sư phạm, cảc trường Trung học Phổ thông. Tảc giả chăn thành cùni on PTS Trăn Phưong Dung dă biẽn tập, dồng thời đá giúp tác già khắc phục nhiều sơ suát trong bién soạn giáo trình này. Tháng 6/1999 T ác giả PHÉP TÍNH GlẤl TÍCH TRONG KHÔNG GIAN EUCLID E” VÀ HÌNH HỌC VI PHÂN CỦA E" Chưưng một §1. ĐẠ O H À M C Ủ A H À M V E C T O Phấn này chủ yếu nhác lại một số điéu đơn sơ vế đạo hàm của hàm vectơ đã được trình bày trong các giáo trỉnh "Giải tích", và nói về một số kí hiệu được dùng trong sách. 1.1. vectơ E" là không gian Euclid n chiểu. Tích vô hướng của hai ^ được kí hiệu là a ^ chuẩn của a được kí hiệu là 1« 11» — a . a = a . E" là không gian Euclid n chiéu tức là không gian afin liên kết với không gian vectơ Euclid n chiểu E". Khoảng cách giữa hai điểm p, q thuộc là IIpq II. Mục tiêu afin trong là họ (O, 6 p 02, . e^), o G E" là gốc tọa độ, (6 p e^, e^) là một cơ sở của E". Điểm p G E" cd tọa độ (x*, x^, x") đổi với mục tiêu đó cd nghĩa ià n Op = ^ x'eị. Các hàm số X*, x^, x" trên E" đó gọi là các i=1 hàm tọa dô. Cung kí hiệu mục tỉôu (hẹ tọa độ) afìn đố là Ox*x^...x". Khi cơ sờ (ep 02, là trực chuẩn, tức (i, j = 1, 2, Xì) thì ta được hệ tọa độ Descartes vuống góc. Khi đd nếu p có tọa độ (x^, x^, x^), q có tọa độ (y^, y^, y'^) thì khoảng cách p, q là Sau khi chọn một hệ tọa độ Descartes vuông góc trong E" thỉ cd th ể đổng nhất vói với công thức khoảng cách vừa viết. u là một tập hợp tùy ý (sau đây thường là một tập con 1 .2 . của hay R^), thì ánh xạ X : u ^ E" là một hàm vectơ (xác định trên u, giá trị trong E'^). Chọn một cơ sở (ep của thỉ cho X tương đương với cho n hàm sô x' Khi u = J là một khoảng trong R, cho hàm vectơ X : J t —> Xịt) thỉ đạo hàm của X tại t (nếu có) là Ai-h-0 n Nếu X(t) = ^ x'(t) 6ị (trong một cơ sở (6 p e^, . . , e^) nào đó 1 ! của E^) thỉ x*(t) = ^ (x')’(t)ej. Nếu X khả vi (tức có đạo hàm X’) 1 thì X là hàm hằng khi và chỉ khi X’(t) = 0, Vt G J (cũng viết ? = õ). 1.3. Với các hàm vectơ X, Y xác định trên tập ư, giá trị trong E^, với hàm số

k tại t G J thì có có công thức Taylor : 7T (At)2 - X(t) = AtX*(t) + X"(t) + . . . + phụthuộc iiên tục vào At (lán cận 0) và lim //(t, At) = 0. (suy ra từ công thức Tầylor cho các hàm tọa At "►0 độ của X). 1.5. X :J , t •—> X(t) A : I J s ► t = Ằ(s) là các hàm có đạo hàm đến cấp cấn thiết, (I và J là những khoảng trong R ), thì có : ( X o ( X o Ằ r A ) ” = >í*õ? o A), = o Ả) + n 5 c o A), v.v... mà cũng còn được viết dưới dạng d(XoA) cU ^dX ^ ^ ds ds 1 dt d^XoẰ) v.v... 8 ,dẢ , 2 )’ . d 2; ^ dX ,, 1.6. Với hàni vectơ nhiểu biến số, chẳng hạn X : ư (tập mở trong R^) —►E" (u, v) t—►X(u, v), , , 'OX iỉX cd thể nói đến đao hàm riêng — , — ^ i)n ' úw , 'O^X — —, V ímíiv ’ V.. và củng ^ có : nếu các đạo hàm riêng — , liên tục thỉ chúng bàng ^ (ÍUíiV íívíiu • 6 5 nhau. 1.7. Đối với hàm vectơ X : J —►E" t •— X(t) (J là một khoảng trong R), cd thể xét nguyên hàm z của nó (nếu có) : đó là hàm vectơ z : J —» E" mà Z’ = X. Với I = [a, b] c J (a < b), có thể xét h / X (t)dt = lim ỵ ( t . - t ị_ ,) X ( |,) (giới hạn lấy đối với mọi phân hoạch a = t < tj < < = b của đoạn [a, b], mọi Ệị E tị], khi maxítị - tj_|) dán đến 0), và dễ thầy khi X có nguyên hàm z thỉ b / X(t)dt = ^ b ) - X(a). Tầ còn cố : h h / jr(t)dt II ^ / II ịTll (t)dt BÀI TẬP 1. Cho hàm vectơ khá vi : X ; J E" t —►X(t) 9 trẽn khoảng J c R và giả sử X(t) ^ 0 với inọi t. Chứng minh ràng X(t) có phương khỏng phụ thuộc f khi và chi khi X(t), x*(t) phụ thuộc tuyến tính với mọit. E J |ỉỉií()N(i d An —► —> —> : viết X(t.) = a(t)u(t), u(t) = X(t) và để ý IIX(t)|| rằng u . u = 0]. 2. Cho hàm vectơ X : J khả vi lớp t '—> X(t) trên khoảng J c R và giả sừ X(t), x*(t.) độc lập luyến tính với mọi t. G J. a) Chứng minh rằng khi n = 3, điểu kiện cần và đủ để vectơ X(t) luòn (tức với mọi t G J) thuộc một không_gian vectơ con hai chiếu cố định của E-^ là hệ ba vectơ X(t), X'(t), x**(t) phụ thuộc tuyến tính với mọi t G J. ỊHƯÓNC. DẨN ; xét X A X’ vàđưa vể bài tập trên]. b) Xét điéu đó khi n > 3. IIiưỏNci d An : dùng tính duy nhất của nghiệm của một hệ phương trinh vi phân cấp hai theo các điéu kiện ban đẩu]. 3. Tìm hàm vectơ X : R ^ (E^ đã có hướng) thòa mãn X’ = / A X, trong đó ỉ là một hàm vectơ hằng cho trước. jjỉifÓN(i !)An : để ý rằng X’ = / A X thi X . / = hàng và | x | | hằng. Đáp : KhW ^ 0, coi (i, j, k) của thì X(t) / — aktrong cơ sỏ trực chuẩn thuận = Cje(at -f b) + c^k, trong đó Cp C2, b là hằng số tùy ý] 4. Xét hàm vectơ e : R —* e(t) — costi + sintj, ( i , j) là cơ sở trực chuẩn của E^. Hãy tiin các nguypii hàm của hàm vectci t '—►te(t). [Đáp 10 ^~ 2 ) ~ ^ ' ^2. VECTƠ TIẾP XÚC. TRƯÒNG VECTƠ. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ THEO MỘT VECTƠ TIẾP x ú c VÀ DỌC MỘT TRƯỜNG VECTO 2.1. Vectơ tiếp xúc Nhắc lại ràng không gian Euclid là một không gian aTin iiên kết với khỏng gian vectơ Euclid E^. Hai điểm p, q của E'^ xác định một vectơ a G E" mà ta viết pq = a hay q = p + a. Thường nói các phán tử của E" là các "vectơ tự do” của E^. Nhưng trong hình học, vật lí, còn cấn đến các "vectơ buộc". Cụ thể là xét tập tích T E ^ = X E". Định nghĩa. Mỗi phán tử (p, ci) G TE'^, còn viết được gọi là một vectơ tiếp xúc của (hay với) E" tại p, hay cũng nói là vectơ a đặt ("gốc”) tại p. vectơ tiếp xúc của gọi là tập (hay không gian) các ; mỗi phẩn tử của nó còn được kí hiệu là a. Với p G kí hiệu là t.ập các vectơ tiẽp xúc của tại p thì có song ánh En ("đặt gốc" tại p). Từ đó đưa được cấu trúc không gian vectơ E u c l i d t ù E " lỏn cùa vn gọi ỉà k h ô n g g io n vectơ tiốp Xỉtc tại p. u là một tập niở trong E^' thị đạt T ư = u X E" và gọi là không gian các vpctơ tk"p xúc của u. Với p E u, kí hiệu = TpE'^' và gọi nó là không gian vectơ tiếp xúc của ư tại p 11 2.2. Trường vectơ DỊnh nỵhĩa : Trường vectơ trên tập mở lỉ c là ánh xạ X : u — TU p ►X(p) sao cho với mọi p E u , X(p) G Tj^u. Người ta thường biểu diễn trường vectơ bởi hỉnh vẽ kiểu như hỉnh 1 (khi n = 2 ). Trường vectơ X : u —►TU xác định ánh xạ X : u —►E" (và ngược lại X xác định bởi X) bởi : ỉiình ì X(p) = (p, X(p)). (Do đđ, trong nhiểu sách, người ta định nghỉa trường vectơ là ánh xạ X mặc dấu vản biểu diễn nhưở hỉnh 1). Nói X khả vi lớp C^. Sau khả ui lớp nếu ánh xạ X đây thường có giả thiết trường vectơ X khả vi đến lớp cán thiết mà không nói rõ ra. Khi X là ánh xạ hàng thì trường vectơ X gọi là một trường vectơ song song (xem hỉnh 2 , trường hợp n = 2 ). Kí hiệu !F(U) là tập các hàm số khả vi trên u ; nd làm thành ỉỉình 2 một vành giao hoán cd đơn vị (đơn vị là hàm hằng, giá trị là 1). Kí hiệu Vec(ƯJ là lập các trường vectrt khả vi trên u Với X, Y G Vpc(ư), tp G ĨĨU ), định nghỉa được X + Y, Y, (/í + + V'X, y>(ự»X) = iự>ụ*)X, I X = X (1 là phán tử đơn vị của Ti V) ) với mọi X, Y E Vec(U), và mọi ự>y V' G y ( U ) (xem giáo trình Đại số). Ngoài ra với X, Y G Vec(U) còn định nghĩa được hàm số X.Y trên u , (X.Y)(p) = X(p).Y(p) và khi n = 3, đã có hướng thi xây dựng được X A Y e Vec(ư), (X A Y)(p) = X(p) A Y(p). 2.3. Trường mục tiêu 2.3,L Định nghĩa. Trường mục tiêu (khả vi) trên tập mở u c E" là hệ n trường vectơ (khả vi) {U |, Ư 2, u^} trên u sao cho với mỗi p G u , {Uj(p), U 2(p), u^(p)} là một cơ sở của TpU. Khi đd mọi X G Vec(U) viết được một và chỉ một cách dưới dạng X = ^ y?'Uj với G ĩ ì l ] ) . Nếu Y = ^ i = I thì i = I n n (X + Y) = 2 ] (^' + ^ i = 1 v.v... i = 1 Nếu với mọi p G u , Uị(p).Uj(p) = <5jj (tức Uj(p) là một cơ sở trực chuẩn cùa T^^U), còn viết Uị.Uj = ổịj, thì trường mục tiêu {Uj} gọi là một trường mục tiêu trực chuẩn. Nếu cd hai ri trường mục tiêu {Uj}, {Vj> trên tập mở ư thi có V. = ^ j= 1 Cj G 7?ư) ; ma trận (ơj) gọi là ma trận chuyển mục tiêu ; với mọi p G u , ma trận số (C|(p)) khồng suy biến. Khi đó nếu X = 2 y>'Uj = 2 i = 1 ự'*Vị thì dẻ thây i = I j - 1 Chú ý ràng, nếu,{Uị>, {Vị} là những trường mục tiêu trựr chuẩn trẽn ư thi với mỗi p G ma trận sô (Ó(p)) là một ma trận trực giao 13 Nou niọi trường vectơ lJj của trường mục tiêu { U j } trẽn tập mở u là song song thỉ ta ndi trường m ụ c liê u đó là một trương mục tỉèỉi song song. Mỗi cơ sỏ {e|} của afín (O. Pp e^) của song E2 Ut = - sinớ(cosy>Ej + siny>E2) + COSÍ^E^ = cosớ(cosy>E| + siny^E2) + siní^E^. Vậy {Up ư „ ư^} là một trường mục tiêu nhẵn trên ư ; nd được gọi là trường mục tiêu tọa độ cáu trên \ A. Chú ý : Với mỗi p E u , các sô' (r(p), y5(p), í^(p)) xácđịnh sau đây gọi là tọa độ cáu của p đối với {O, ep 02» 63} : r(p) = II Op II , gọi p* là hỉnh chiếu vuông góc của p lên mặt phảng tọa độ Oxy thì y>(p) là số đo của gđc định hướng z.(ep Op*) (bàng rađian, xác định sai khác cộng 2 k7i, k nguyên), ớ(p) là sổ đo cùa góc định hướng Z.(Op\ Op) (bằng rađian), “ ^ < ^(p) < 2 ^ í^(p) gọi theo thứ tự là kinh độ và vỉ độ của p). 2.4. Cung tham số Dịnh ĩiỊỊhĩa. Mõi ánh xạ /* : J E" từ một khoảng J c R vào gọi là một cung tham số (hay một quỹ đạo) trong E". Lấy một điểm o cố định trong thỉ cho cung tham số /^ : J —» E^' tương đương với cho hàm vectơ bởi ^ t ) = 0 /*(t) ; ^ t ) gọi là bán kính vectơ của điểm pi t ) (đôi với gốc O). Chú ý rằng nếu hàm p có đạo hàm cấp k (k ^ 1) lại t là thì đạo hàm đò không phụ thuộc vào o nên cũng gọi là đạo hàm cáp k cùa f tạì t. Khi p khả vi lớp cũng nói p khả vi lớp ; sau đây thường chỉ xét các cung tham sô khả vi lơp (k > 1 ). Ví dụ : 1) /^ : R X là ánh xạ hàng, /^(R) = {0} , ảnh của cung tham số này là tập chi có một điểm (). 16 2) /* : R -* E", p {i) = o + tn (n là một vectơ khác 0 của E^) ; ảnh của p là đường thảng đi qua 0 với vectơ chỉ phương n. /* : R E^, p( t ) = 0 -1“ t^n (n như trên) ; ảnh của Tìó cũng là đường thẩng ndi trên. (n ^ 2), p ị t ) = o + R(cost 6 j + sin te 2) (trong 3) /* : R đó R là một sổ dương cho trước, {ep e^} là một hệ trực chuẩn trong E*^) ; ảnh của p là một đường tròn tâm o , bán kính R. 4) /* : R —> E^, p( t ) = o + ae(t) + btk, trong đó a > 0, b 0, e(t) = costi + sintj, (O, i , j , k) là một hệ tọa độ Descartes vuông góc cho trước của E^. Gọi x(t), y(t), z(t) là tọa độ của điểm p{ t ) trong hệ tọa độ dó, còn viết f { t ) = (x(t), y(t), z(t)) = (acost, asint, bt). Ta luôn cd x(t)^ + y(t)^ = nên ảnh của f nàm trên mặt trụ tròn xoay trục Oz bán kính a ; ảnh của p gọi là một đường đinh ốc tròn trục Oz (hình 5) (khi b = 0, ảnh là một đường tròn tâm o mà cũng đôi khi được coi là trường hợp đặc biệt của đường đinh ốc tròn). • V i ' f(t) 0 ỉỉìn h 5 ỉỉìn h 6 5) Cho hàm số f : J R (khả vi) tré^n khoảng J c R thi có cung tham số p : J -* R^, p{{) = (t, f/*(t), là ánh xạ X : J —* TE^ mà với mọi t G J, X(t) G Rõ ràng cho X tương đương với cho hàm vectơ X ; J mà X(t) = (p{i)y X(t)) ; ndi X khả vi lớp c*^ nếu lớp và X khá vi Sau đây thường chỉ xét các trường vectơ khả vi iớp c*'' (k ^ 1). 2.5.2. Định nghĩa , p : J E", t là một cung tham sỗ' (khả vi) trong thỉ t ^ p \ t ) = (p{t)y p \ t ) ) là một trường vectơ dọc p kí hiệu là p ' . Ví dụ : Cho trường vectơ z trên tập mở u trong tỉm cung tham số p afín (O, 02j ; hãy : J -♦ u mà p' = Zof. Lấy một hệ tọa độ e^) trong E ” với tọa độ x ’, x^, x" ; viết n z = ^ y?'Eị, {Eị} là trường mục tiêu song song ứng với hệ tọa i = I độ đd, là hàm số cho trước trên u , coi là hàm số của n biến số x', x^, x^, và viết p( t ) = (xUt), x^(t), x"(t)) thì /*’ = Z./> cố nghĩa là với mọi t G J, cd (x')*(t) = y?'(x*(t), x^(t), (i = 1, 2, x^(t)), n). Vậy ta được một hệ phương trỉnh vi phân cấp niột (đối với n hàm số t t—►x‘(t) (i = 1, 2, n)). Kết quá theo lí thuyết phương trình vi phân là : khi z khả vi lớp thỉ với mỗi (x^, x^, . . ., x[Ị) G u , có khoảng J chứa 0 tro n g R và có : J —►u khả vi lớp f ( 0 ) = (xị, x ị X"). * mà p' - Znf và Chú ý : Cho cung tham sổ p : J E^, và cho trường vectơ z (khả vi) trẽn tập mở ư của E",/^(J) c ư thì là một trường 18 vectơ dọc p ; nhưng không phải mọi trường vectơ dọc p đều viết được dạng như thế (chẳng hạn khi p không đơn ánh). Coi t là thời gian thì t ►f { t ) E E" là chuyển động của một (chất) điểm trong E" và p' là trường vectơ vận tốc của chuyển động ; ỹ^(t) là vectơ vận tốc tại thời điểm t, là vectơ gia tốc tại thời điểm t của chuyển động. 2.6. Đạo hàm cúa hàm số theo một vectơ tiếp xúc 2.6.L Định nghĩa . y? : u —►R là m ột hàm số trên tập mở u c E", a E TpU. Nếu cd đạo hàm tại t = 0 của hàm số t t—♦ (p) = lim ‘ = ‘> ‘ nố nđi lên "vận tốc biến thiên" tại t = 0 của hàm sổ (p điểm thay đổi dọc quỹ đạo t p + ta. ■■» -' > Nếu (O, ep 02» độ (x*, x^, . x") khi cho -— ^ e^) là một hệ tọa độ afin của E" với tọa thì y> trở thành một hàm số của các biến số n x". Giả sử a = ^ I a^ ; khi đó Ciyy[ - Xem thêm -