Tài liệu He thong ly thuyet mon toan lop 12 cho hoc sinh trung binh kha

GV : Thân Thị Hạnh Truy cập website www.tailieupro.com nhậnĐẠO thêm HÀM nhiều tài liệu hơn Chuyên đề 1: ỨNG DỤNGđểCỦA http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ VẤN ĐỀ 1: SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Nếu f / (x) > 0, x  (a;b) thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) Nếu f / (x) < 0, x  (a;b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) @ Điều kiện cần: Nếu hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) thì f / (x)  0 x  (a;b) Nếu hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) thì f / (x)  0 x  (a;b) (trong điều kiện đủ nếu đạo hàm bằng 0 tại hữu hạn điểm thuộc khoảng (a;b) thì kết luận vẫn đúng) @ Phƣơng pháp tìm các khoảng đồng biến_nghịch biến của một hàm số 1. Tìm tập xác định của hàm số 2. Tính f '(x) .Tìm các điểm xi ( i = 1,2,…,n) mà tại đó f '(x) = 0 hoặc f '(x) không xác định. 3. Lập bảng xét dấu của f '(x) 4. Sử dụng điều kiện đủ để kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến. VẤN ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ @ Nếu qua điểm x 0 mà f (x ) đổi dấu thì x 0 là điểm cực trị @ Điều kiên đủ: http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ @ Để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x x 0 thì f (x 0 ) 0 f (x 0 ) 0 CHÚ Ý: f (x ) đổi dấu từ dƣơng sang âm khi qua điểm x @ Để hàm số đạt cực đại tại điểm x x 0 thì f (x 0 ) 0 f (x 0 ) 0 x0 CHÚ Ý: f (x ) đổi dấu từ âm sang dƣơng khi qua điểm x x 0 @ Qui tắc tìm cực trị của một hàm số Quy tắc 1 Quy tắc 2 1) Tìm tập xác định. 1) Tìm tập xác định. 2) Tính f '(x). Giải f '(x) 0 2) Tính f '(x) . Giải f '(x) = 0 tìm nghiệm xi 3) Lập bảng biến thiên. Kết luận 3) Tính f ''(x) và f ''(x i ). Kết luận. http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ VẤN ĐỀ 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT_GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Trên đoạn [ a; b] Trên khoảng ( a; b ) 1) Hàm số liên tục trên đoạn [a;b] 1) Tính f '(x). Giải pt f '(x) = 0 2) Tính f '(x). Giải f '(x) 0 tìm nghiệm 2) Lập bảng biến thiên 3) Dựa vảo BBT để kết luận : x (a ;b ) i 3) Tính f(a), f(b), f(xi) 4) Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có max f (x) M , min f (x) m max f (x) (a;b) y CD , min f (x) (a;b) y CT [a;b] [a;b] VẤN ĐỀ 4: ĐƢỜNG TIỆM CẬN + Nếu lim f (x) x y 0 hoặc lim f (x) x y0 Thì y = y0 là tiệm cận ngang của (C): y = f(x) LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 Cảm quí giáo đã choluyện ra đờithi những liệu tuyệt11, vời 12 <3 Toánơnthầy Đạt viên - chuyên Đại tài học Toán Page 1 GV : Thân Thị Hạnh Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn + Nếu lim f (x) hoặc lim f (x) thì x = x0 là tiệm cận đứng của (C): y = f(x). http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ x x0 x x0 VẤN ĐỀ 5: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN & VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 1. Tập xác định của hàm số 2. Sự biến thiên  Tìm giới hạn  tiệm cận (nếu có)  Tính đạo hàm y’. Giải phương trình y’ = 0  Lập bảng biến thiên  Kết luận về đồng biến - nghịch biến và cực trị. 3. Đồ thị: Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (nếu dễ), tìm thêm vài điểm đặc biệt rồi vẽ đồ thị Dạng của đồ thị hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d ( a ≠ 0 ) a>0 A<0 Ph.trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt. Ph.trình y’ = 0 Có nghiệm kép. http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ Ph.trình y’ = 0 vô nghiệm. Chú ý: Đồ thị hàm bậc 3 đối xứng qua điểm uốn I ( x0 ; y0 ), với x0 là nghiệm pt y   0 và y0  f ( x0 ). Dạng của đồ thị hàm trùng phƣơng y = ax4 + bx2 + c ( a ≠ 0 ) a>0 a<0 Ph.trình y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt. http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ Ph.trình y’ = 0 có một nghiệm . Chú ý: Đồ thị hàm trùng phương đối xứng qua Oy ax Dạng của đồ thị hàm số y cx D = ad – bc > 0 b (c d 0, ad bc 0) D = ad – bc < 0 LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 Cảm quí giáo đã choluyện ra đờithi những liệu tuyệt11, vời 12 <3 Toánơnthầy Đạt viên - chuyên Đại tài học Toán Page 2 GV : Thân Thị Hạnh Truy ycập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều ytài liệu hơn http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ x O O x Chú ý: Đồ thị hàm b1/b1 đối xứng qua giao điểm của 2 đường tiệm cận VẤN ĐỀ 6: SỰ TƢƠNG GIAO CỦA HAI ĐƢỜNG CONG Cho hai đường cong (C1): y = f (x) và (C2): y = g (x) . Ph.trình: f (x) = g (x) (*) gọi là ph.trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2). Số nghiệm ph.trình (*) chính là số giao điểm của (C1 ) và (C2). BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PH.TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ Dùng đồ thị ( C ) của hàm số y = f(x), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình F (x,m ) = 0 B1)Biến đổi ph.trình F(x,m ) = 0 f (x)=g(m) (*) B2)Pt (*) là ph.trình hoành độ giao điểm của (C): y = f (x) và đ.thẳng d: y = g (m) Số nghiệm ph.trình đã cho chính là số giao điểm của (C) và d. B3)Dựa vào đồ thị (C) để biện luận (Lưu ý các giá trị cực trị ( nếu có) của hàm số). Chuyên đề 2: HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT VẤN ĐỀ 1: CÔNG THỨC LUỸ THỪA-LÔGARIT http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ LŨY THỪA 0 a =1 n a a a .a 1 an a a a a a khi a 1 khi 0 a a a a b a b . a .b ab m n an am 1 Căn bậc n n a.b n a .n b ; n a n b n a n n am m m n a a mn a http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ b LOGARIT * Định nghĩa: Cho a, b 0; a 1 : loga b a b * Tính chất: loga 1 0; loga a 1; loga a ; a loga b b * Quy tắc tính: loga b1.b2 loga b1 loga b2 loga b1 b2 loga b1 loga b2 LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 Cảm quí giáo đã choluyện ra đờithi những liệu tuyệt11, vời 12 <3 Toánơnthầy Đạt viên - chuyên Đại tài học Toán Page 3 GV : Thân Thị Hạnh Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ loga b loga b loga b 1 loga b * Công thức đổi cơ số: loga c logb c loga b 1 loga b logb a hay loga b. logb c loga c hay loga b. logb a 1; Khi cơ số a = 10 thì log10 b (logarit thập phân) thường được viết là log b hay lg b Khi cơ số a = e thì loge b (logarit tự nhiên) được viết là ln b VẤN ĐỀ 2: KHẢO SÁT HÀM SỐ MŨ-HÀM SỐ LUỸ THỪA HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ y Đặc điểm y x ( ax ( 0 tùy ý) 1) y Chú ý: 0 : ax a loga x ( 0 a 1) 0, x Z * : có nghĩa với + mọi x. Tập xác định Điều kiện của x để hs có nghĩa: a Z : có nghĩa với + x có nghĩa có nghĩa với x x 0 0. Z : có nghĩa với x 0 + http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ Đạo hàm x ' 0 Sự biến thiên Đồ thị Hàm số đb trên (0; ) .x 1 ax 0 Hàm số nb trên (0; ) Luôn qua điểm 1;1 . a ' 1 a x . ln a 0 Hàm số đb trên D a loga x 1 Hàm số nb trên D Nằm hoàn toàn phía trên trục hoành và luôn qua hai điểm A(0;1) và B(1; a ) . a 1 Hàm số đb trên D 1 ' x . ln a 0 a 1 Hàm số nb trên D Nằm hoàn toàn phía bên phải trục tung và luôn qua hai điểm A(1; 0) và B(a;1) . LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 Cảm quí giáo đã choluyện ra đờithi những liệu tuyệt11, vời 12 <3 Toánơnthầy Đạt viên - chuyên Đại tài học Toán Page 4 GV : Thân Thị Hạnh TruyHÀM cập website www.tailieupro.com nhận thêm nhiều tài liệu hơn VẤN ĐỀ 3: ĐẠO CỦA HÀM SỐ MŨ-HÀMđể SỐ LUỸ THỪA http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM Đạo hàm của hàm số sơ cấp thƣờng gặp x , 1 1 .x ' x u 1 1 2 u x 1 ' x ' ' .u ' u' u2 u' ' cos x 1 .u ' u 2 x sin x Đạo hàm của hàm số hợp u = u(x) 2 u ' sin u u '. cos u http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ cos x ' cos x 1 cot u 2 sin x ' ' ex eu ' u '. sin u u' ' tan u 2 ' cot x cos u 1 ' tan x ex sin x cos2 u u' ' sin 2 u u '.e u http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ ax ' ln x a x . ln a 1 ' loga x au ln u x ' ' 1 u '.a u . ln a loga u x . ln a u' ' u ' u' u . ln a VẤN ĐỀ 4: PHƢƠNG TRÌNH , BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ_LOGARIT PHƢƠNG TRÌNH MŨ_LOGARIT a. Phƣơng trình mũ cơ bản : ax = b a. Phƣơng trình lôgarit cơ bản: loga x = b b > 0 : Pt có nghiệm duy nhất x log a b Pt luôn có nghiệm duy nhất x a b b ≤ 0 : Phương trình vô nghiệm. LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 Cảm quí giáo đã choluyện ra đờithi những liệu tuyệt11, vời 12 <3 Toánơnthầy Đạt viên - chuyên Đại tài học Toán Page 5 GV : Thân Thị Hạnh Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn b. Phƣơng trình mũ đơn giản b. Phƣơng trình logarit đơn giản + Đưa về cùng cơ số: + Đưa về cùng cơ số: f (x) g(x) f (x) a a f (x) g(x) http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ log a f (x) log a g(x) 0 g(x) 0 f (x) g(x) + Đặt ẩn phụ: + Đặt ẩn phụ: x Đặt t a (đk t> 0), biến đổi phương trình mũ Đặt t log a x đưa về phương trình ẩn t thành phương trình đại số theo t Giải phương trình theo t Giải phương trình theo t và chọn t > 0 Tìm x từ t log a x x at x Tìm x từ a t x log a t + Lôgarit hóa: Lôgarit 2 vế của pt cùng 1 cơ số + Mũ hóa: Mũ 2 vế của pt cùng 1 cơ số c. Bất phương trình mũ, bất phương trình lôgarit: Cơ số Bất phương trình mũ Bất phương trình lôgarit f (x) g(x) a>1 log a f (x) log a g(x) f (x) g(x) a a f (x) g(x) 00 thì ph.trình có 2 nghiệm thực phân biệt x1,2  + Nếu =0 thì ph.trình có 1 nghiệm thực x   + Nếu < 0 thì ph.trình có 2 nghiệm phức phân biệt x 1,2  b 2a b  i  2a Chú ý: trên tập số phức C mọi ph.trình bậc hai đều có nghiệm (không nhất thiết phân biệt) Chuyên đề 5: ĐA DIỆN-MẶT CẦU-MẶT NÓN- MẶT TRỤ KHỐI ĐA DIỆN KHỐI CHÓP KHỐI LĂNG TRỤ V  B.h Trong đó: B,B’ là diện tích đáy và h là chiều cao. ○Thể tích của khối hộp chữ nhật. V = abc ( a, b, c là 3 kích thước) ○ Thể tích của khối lập phương. V = a3 KHỐI CHÓP CỤT http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ h B V 1 V  (B  B ' BB ').h 3 1 B.h 3 http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ h h B B NÓN S xq   .R.l MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN TRỤ S tp  S xq  S day 1 R 2h ( R: bán kính đáy, l : độ dài đường 3 sinh, h : đường cao) V S xq  2R.l S tp  S xq  2S day V  R 2 h CẦU S  4 R 2 4 V  R 3 3 Hình LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 Cảm quí giáo đã choluyện ra đờithi những liệu tuyệt11, vời 12 <3 Toánơnthầy Đạt viên - chuyên Đại tài học Toán Page 9 GV : Thân Thị Hạnh Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ S B O R A h R A B O B' 2 h R 2 O' 2 A' MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN NẮM Tam giác ABC vuông tại A Tam giác ABC vuông cân tại A Pitago BC 2  AB2  AC 2 1 1 1   2 2 AH AB AC 2 BC AH 2  BH.CH ; AM  2 2 2 AB  AB.BH ; AC  AC.CH 1 1 S  AB.AC  BC.AH 2 2 Tam giác ABC đều AB=AC=BC AB=AC B̂  Cˆ  450 ˆ B ˆ  Cˆ  60 0 A 3 2 http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ AH  AB AH  AB 2 2 1 AB 2 S  BC.AH  2 2 1 S  AB.AC.sin A 2 Hình chữ nhật ABCD BD 2  AB2  AD 2 1 AB 2 3 BC.AH  2 4 1 S  AB.AC.sin A 2 S Hình vuông ABCD Hình thang ABCD  AD  BC  AC  BD  AB 2 S  AH 2 S  AB.AD 2 S  AB   CHUYÊN ĐỀ 6: PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN VẤN ĐỀ 1: CÁC CÔNG THỨC TOẠ ĐỘ CẦN NẮM TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM & VECTƠ Vectơ * M là trung điểm của AB: a  (x a ;y a ;z a )  a  x a i  y a j  z a k.  x  xB y A  y B z A  z B  M A ; ;  2 2 2   0  (0;0;0) (vec tơ không) http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ * G là trọng tâm tam giác ABC  x  xB  xC y A  y B  y C z A  z B  z C  G A ; ;  3 3 3   AB  (x B  x A ; y B  y A ; z B  z A ) (sau – trước) Độ dài AB  (x B  x A ) 2  (y B  y A ) 2  (z B  z A ) 2 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ Trong không gian Oxyz cho a xa a b (x a ; y a ; z a ) xb ya yb ; za zb a x 2 a y 2 a z 2 a Nhân vectơ với 1số (kq là 1vectơ cùng hướng nếu k>0 và ngược hướng nếu k<0) b (x b ; y b ; z b ) a b (x a xb ; y a yb; za zb ) a b (x a xb ; y a yb; za zb ) Tích có hướng(kq là 1 vectơ vuông góc với cả 2 vectơ thành phần) LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 Cảm quí giáo đã choluyện ra đờithi những liệu tuyệt11, vời 12 <3 Toánơnthầy Đạt viên - chuyên Đại tài học Toán Page 10 GV : Thân Thị Hạnh Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn y a z a z a xa xa y a R a, b ; ; Ứng dụng: chứng minh 2 vectơ cùng phương y b z b z b xb xb y b Với b 0, a cùng phƣơng b Ứng dụng: chứng minh 2 vec tơ cùng phương x kx , y ky , z kz a kb http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ k .a (kx a ;ky a ;kz a ), k a b Tích vô hướng: a.b a b xa xb a yayb b a cp b zazb a, b 0 (sgk HH12 nâng cao) Ứng dụng: tính diện tích tam giác 1 S ABC AB, AC Góc giữa 2 vec tơ a 0 , b 0 2 Ứng dụng: tính thể tích tứ diện ABCD xa xb y a y b z a z b a.b cos(a, b) 1 VABCD AB, AC .AD x a2 y a2 z a2 . x b2 y b2 z b2 a.b 6 @Tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(x;y;z) trên các trục và mặt phẳng tọa độ Hình chiếu Hình chiếu Hình chiếu Hình chiếu Hình chiếu Hình chiếu trên Ox trên Oy trên Oz trên (Oxy) trên (Oyz) trên (Oxz) M1(x ; 0 ; 0) M2(0 ; y ; 0) M3(0 ; 0 ; z) M4(x ; y ; 0) M5(0 ; y ; z) M6(x ; 0 ; z) ( khi chiếu vuông góc một điểm lên trục nào(mp tọa độ nào) thì tọa độ hình chiếu của nó chỉ còn thành phần tương ứng với trục đó(mp tọa độ đó)) @Tọa độ điểm đối xứng của điểm M(x;y;z) qua các trục, mặt phẳng tọa độ, gốc tọa độ Đối xứng Đối xứng Đối xứng Đối xứng Đối xứng Đối xứng Đối xứng qua Ox qua Oy qua Oz qua (Oxy) qua (Oyz) qua (Oxz) qua O M1(x; -y; - M2(-x; y; - M3(-x; -y; M4(x; y; M5(-x; y; M6(x; -y; M7(-x; -y; z) z) z) z) z) z) z) @ Chứng minh A, B, C không thẳng hàng (hay là 3 đỉnh của 1 tam giác) Ứng dụng: a b a.b 0 http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ o A, B, C không thẳng hàng   AB, AC   0 B o Hoặc viết ptts đ.thẳng BC, kiểm tra thấy A không thuộc BC (tức là khi thay tọa độ của A vào ph.trình đường BC thấy không thỏa) @ Chứng minh A, B, C, D không đồng phẳng (hay là 4 đỉnh của 1 tứ diện) A o A, B, C, D không đồng phẳng   AB, AC  .AD  0 o Hoặc viết pttq của mp (BCD) D B Kiểm tra thấy A không thuộc mp (BCD). (tức là thay tọa độ điểm C A vào ph.trình mp (BCD) thấy không thỏa ) VẤN ĐỀ 2: PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A C http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ MẶT PHẲNG @ Phƣơng trình tổng quát của mp (P): Ax By Cz D 0 trong đó A 2 B2 C2 0 @ Công thức viết pttq mp (P) khi biết 1 điểm thuộc M 0 x 0 ; y 0 ; z 0 và 1 vectơ pháp tuyến n A;B;C là A x x0 B y y0 C z z0 0 (*) (Chú ý: vectơ pháp tuyến có thể tìm từ tích có hướng của 2 vec tơ không cùng phương với mặt phẳng) @ Phƣơng trình các mp tọa độ Mp Oxy Mp Oxz Mp Oyz z=0 y=0 x=0 @ Một số trƣờng hợp đặc biệt của mặt phẳng LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 Cảm quí giáo đã choluyện ra đờithi những liệu tuyệt11, vời 12 <3 Toánơnthầy Đạt viên - chuyên Đại tài học Toán Page 11 GV : Thân Thị Hạnh cập website www.tailieupro.com để=nhận - Phương trình Truy mặt phẳng qua gốc toạ độ là Ax+By+Cz 0 thêm nhiều tài liệu hơn - Phương trình mặt phẳng qua ba điểm A(a ; 0; 0), B(0;b; 0),C (0; 0; c), với abc 0 là http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ x y z a b c 1 @ Tính khoảng cách: từ điểm M 0 x 0 ; y 0 ; z 0 đến mặt phẳng (P): Ax Ax 0 d M0 , P By 0 A2 Cz 0 B2 By Cz D 0 D C2 @ Vị trí tƣơng đối giữa 2 mặt phẳng (P): A1x B1y C1z D1 0 và (Q): A 2 x B 2 y C2 z D2 0 VTPT của (P) là VTPT của (Q) là D1=kD2 (P) cắt (Q) (P) // (Q) Lƣu ý: (P) (P) (Q) (Q) http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ a1 b1 c1 d1    a2 b2 c2 d 2 thì (P) song song (Q) a1 b1 c1 d1 thì (P) trùng với (Q    a2 b2 c2 d 2 CÁC DẠNG TOÁN VIẾT PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THƢỜNG GẶP: DẠNG TOÁN Dạng 1: Viết ph.trình mp đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng CÁCH GIẢI o A  (P) (hoặc B, hoặc C) ; VTPT là nP P A B C n P =  AB, AC    http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ Dạng 2 : Viết ph.trình mp(P) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và song song với mp (Q):Ax+By+Cz+D=0. Cách 1: P M0 nQ Q Dạng 3: Viết ph.trình mp(P) đi qua điểm A  x A ; y A ; z A  và vuông góc với đ.thẳng d: o M 0  (P) ; VTPT là n P = n Q = (A;B;C) Cách 2: o Vì (P) // (Q) nên ph.trình (P) có dạng: Ax+By+Cz+D’=0 M 0  (P) . Thế tọa độ M 0 vào pt (P) tìm D’ o A  (P) ; VTCP của d cũng là VTPT của mp (P): n P = u d = (a; b; c) LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 Cảm quí giáo đã choluyện ra đờithi những liệu tuyệt11, vời 12 <3 Toánơnthầy Đạt viên - chuyên Đại tài học Toán Page 12 GV : Thân Thị Hạnh  x  x 0  a.t   y  y 0  b.t  z  z  c.t 0  Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ Dạng 4: Viết ph.trình mp trung trực của đoạn AB với I A A  x A ; yA ; zA  o Gọi I là trung điểm của AB, ta có  x  xB y A  y B z A  z B  I A ; ;   (P) 2 2 2   VTPT là n P = AB B P B  x B ; yB ; zB  Dạng 5: Viết ph.trình mp (P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại M 0  x 0 ; y 0 ; z 0  o Tìm tâm I của mặt cầu (S) o M 0  (P) ; VTPT là M 0 I (hay IM 0 ) I (p): Mặt phẳng tiếp diện M0 P Dạng 6: Viết ph.trình mp (P) qua 2 điểm phân biệt A, B và song song với o A  (P) (hoặc là B); VTPT n P =  u d , AB    d http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ nP B  x  x 0  a.t  đ.thẳng d  y  y 0  b.t  z  z  c.t 0  Dạng 7: Viết ph.trình mp(P) qua 2 điểm phân biệt A, B và vuông góc với mp (Q):Ax+By+Cz+D=0. P A ud o A  (P) (hoặc là B); VTPT n nP nQ AB nQ =  n Q , AB    o Thay vào pt (*) B Q P P A http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ VẤN ĐỀ 3: PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG ĐƢỜNG THẲNG @ Đƣờng thẳng d đi qua điểm M 0 x 0 ; y 0 ; z 0 và có 1 vectơ chỉ phƣơng u = (x u ; y u ; z u )  x  x0  xut  có ph.trình tham số  y  y 0  y u t z  z  z t 0 u  t  R @ Phƣơng trình các trục tọa độ Trục Ox x  t; y  0; z  0 (*) và ph.trình chính tắc x  x0 xu  y  y0 yu Trục Oy Trục Oz x  0; y  t; z  0 x  0; y  0; z  t  z  z0 zu @ Vị trí tƣơng đối của 2 đ.thẳng LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 Cảm quí giáo đã choluyện ra đờithi những liệu tuyệt11, vời 12 <3 Toánơnthầy Đạt viên - chuyên Đại tài học Toán Page 13 GV : Thân Thị Hạnh Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu/ hơn/ / x  x 0  x u t x  x0  x u t   Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng d  y  y 0  y u t (t  R ) và d’  y  y 0/  y u/ t / (t /  R) z  z  z t  / / / 0 u  z  z0  z u t http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ VTCP của d là , VTCP của d’ là d trùng d’ , d // d’  xo  a1t  xo'  a1' t '  XÉT HỆ PHƢƠNG TRÌNH :  yo  a2t  yo'  a2' t '  ' '  z 0  a3 t  z o  a 3 t ' Quan hệ giữa u và u ' Hpt (I) Hệ {d,d’} VN Hệ {d,d’} có nghiệm duy I d chéo d’ d cắt d’ (I) Vị trí giữa d và d’ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ Cùng phƣơng Không cùng phƣơng Có nghiệm d d' Vô nghiệm d //d’ Có nghiệm duy I d cắt d’ Vô nghiệm d và d’ chéo nhau Một số bài toán thƣờng gặp về phƣơng trình đƣờng thẳng DẠNG CÁCH GIẢI Dạng 1: Viết ph.trình đ.thẳng d đi qua 2 điểm o A  d (hoặc B) ; VTCP u = AB . A(xA;yA;zA) B(xB;yB;zB) o Thế vào phương trình (*) Có thể dùng pt: d A B x  xA y  yA z  zA   xB  x A y B  y A z B  z A Dạng 2: Viết ph.trình đ.thẳng d đi qua điểm o M 0  d ; VTCP / / x  x 0  x u t u d = u d ' = (x u/ ; y u/ ; z u/ ) .  M0(x0;y0 ;z0) và song song với đ.thẳng d ' :  y  y 0/  y u/ t o Thế vào phương trình (*)  (Nếu d song song với trục tọa độ thì có / /  z  z 0  z u t thể dùng vectơ đơn vị làm VTCP cho d) d Dạng 3: Viết ph.trình đ.thẳng o M 0  d ; VTPT của (P) cũng là M0 d đi qua 1 điểm M0(x0 ;y0 ;z0) nP VTCP của d n P  u d = (A;B;C) và vuông góc với mặt phẳng o Thế vào phương trình (*) (P): Ax+By+Cz+D=0 P http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 Cảm quí giáo đã choluyện ra đờithi những liệu tuyệt11, vời 12 <3 Toánơnthầy Đạt viên - chuyên Đại tài học Toán Page 14 GV : Thân Thị Hạnh Truy cập website www.tailieupro.com để nhận liệuMhơn Dạng 4: Viết ph.trình đ.thẳng o Viếtthêm pttq nhiều mp (P)tàiqua 0 và vuông góc d' ud' d qua điểm M0, vuông góc và với d’ d M0 cắt d’ o Xác định M  d /  (P) (giải hpt M P {d’,(P)}) o Viết ptts của d qua 2 điểm M0, M d' Dạng 5: Viết ph.trình đ.thẳng o Viết pttq mp (Q) qua M0 và song song M d qua điểm M0, song song với mp (P) d M Q mp (P) và cắt đ.thẳng d’ o Tìm M  d /  (Q) o Viết ptts của d qua 2 điểm M0, M P http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ 0 MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN GIỮA ĐƢỜNG THẲNG & MẶT PHẲNG @ Vị trí tƣơng đối của đƣờng thẳng và mặt phẳng x  x 0  x u t  Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d  y  y 0  y u t và mặt phẳng (P):Ax + By + Cz +D =0 z  z  z t 0 u  Xét phương trình A  x 0  x u t   B  y 0  y u t   C  z 0  z u t   D  0 (*) (t là ẩn) Nếu (*) vô nghiệm thì d // (P) Nếu (*) có đúng 1 nghiệm t = t0 thì d cắt (P) tại 1 điểm là Nếu (*) có vô số nghiệm thì d  (P) http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ M 0  x0  xu t 0 ; y 0  y u t 0 ; z 0  z u t 0  MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN GIỮA ĐƢỜNG THẲNG & MẶT PHẲNG Dạng 1 : Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M trên mp (P) o Viết ptts của đ.thẳng d qua M và vuông góc mp (P) o Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (P), H là giao điểm của d d và (P). Giải hpt   (P) tìm H Giải nhanh : Trong không gian Oxyz cho mp(  ) : Ax + By + Cz + D = 0. Hình chiếu H ( x; y; z ) của điểm M ( xM ; yM ; zM ) lên mặt http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ phẳng (  ) được xác định theo công thức : d M P  x  x M  A .k   A.x M  B.y M  C.z M  D   y  y M  B.k Với k     A 2  B2  C 2    z  z  C.k M  H M' (Nếu M’ là điểm đối xứng với M qua (P) thì H là trung điểm của MM’, áp dụng công thức tọa độ trung điểm ta tìm tọa độ của M’) Giải nhanh : Trong không gian Oxyz cho mp(  ) : Ax + By + Cz + D = 0. Tọ độ của Điểm M ( x; y; z ) đối xứng vói M ( xM ; yM ; zM ) qua mặt phẳng (  ) được xác định theo công thức : LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 Cảm quí giáo đã choluyện ra đờithi những liệu tuyệt11, vời 12 <3 Toánơnthầy Đạt viên - chuyên Đại tài học Toán Page 15 GV : Thân Thị Hạnh Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn  x  x M  2A .k   A.x M  B.y M  C.z M  D   y  y M  2B.k Với k     A 2  B2  C 2    z  z  2C.k M  http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ Dạng 2: Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M trên đ.thẳng d PHƢƠNG PHÁP: Giống nhƣ Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên mp (P) o Viết pttq của mp (P) qua M và vuông góc đ.thẳng d o Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d, H là giao điểm của d M d d và (P). Giải hpt  H  (P) M' tìm H P VẤN ĐỀ 4 : GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/  GÓC: 1. Góc giữa hai đường thẳng : Góc giữa hai VTCP Cho u1 là VTCP của đường thẳng  1 và u 2 là VTCPcủa đường thẳng  2 Cos(  1 :  2 ) = /Cos( u1 ; u 2 )/ = u1 .u2 u1 . u2 2. Góc giữa hai mặt phẳng : Góc giữa hai VTPT Cho n1 là VTPT của mp   và n 2 là VTPT của mp   Cos  ;   = /Cos( n1 ; n 2 )/ = n1 .n 2 (Tích vô hướng chia tích độ dài ) http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ n1 . n 2 3.Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng : Là góc giữa làVTCP u của đường thẳng  và VTPT n của mp   Sin ;   = /Cos( u ; n )/ = u .n u.n  KHOẢNG CÁCH : LOẠI 1 : KHOẢNG CÁCH CỦA MẶT PHẲNG . 1. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng: Cho điểm M(x0;y0;z0) và mặt phẳng (  ): A.x + B.y + Cz + D = 0 LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 Cảm quí giáo đã choluyện ra đờithi những liệu tuyệt11, vời 12 <3 Toánơnthầy Đạt viên - chuyên Đại tài học Toán Page 16 GV : Thân Thị Hạnh Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn Ax 0  By 0  Cz 0  D  d(M; (  )) = http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ A2  B 2  C 2 2. Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song Cho đường thẳng    : Ax  By  Cz  D  0 , M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) là một điểm thuộc  d   ,     d  M 0 ;     Ax0  By0  Cz 0  D A2  B 2  C 2 3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song :Bằng khoảng cách từ một điểm nằm trên mặt phẳng này đến mặt phẳng còn lại Cho hai mặt phẳng song song   : Ax  By  Cz  D  0 và    : A' x  B ' y  C ' z  D '  0 , M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) là một điểm    . Khi đó d    ,      d  M 0 ;      A' x0  B ' y0  C ' z0  D ' A'2  B '2  C '2 http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ LOẠI 2 : KHOẢNG CÁCH CỦA ĐƢỜNG THẲNG . 1. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng: Khoảng cách từ điểm M  xM ; y M ; z M  đến  x  x0  at  đường thẳng  :  y  y0  bt ; M 0 ( x0 ; y0 ; z 0 )   , VTCP u  ( a ; b; c ) ; được tính bởi CT:  z  z  ct 0  d M ,  u , M 0 M    u 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song : Bằng khoảng cách từ một điểm nằm trên đường thẳng này đến đường thẳng còn lại, nghĩa là http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/     http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ d ,  '  d M 0 ,  '  u ' , M M '  0 0   u' , M0   . 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Nếu đường thẳng  đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP u  (a; b; c ) Đường thẳng  ' đi qua điểm M 0' ( x '0 ; y '0 ; z '0 ) và có VTCP u '  ( a ' ; b ' ; c ' ) thì LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 Cảm quí giáo đã choluyện ra đờithi những liệu tuyệt11, vời 12 <3 Toánơnthầy Đạt viên - chuyên Đại tài học Toán Page 17 GV : Thân Thị Hạnh Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/  u , u '  .M M '   0 0 d  ,    u , u '    ' VẤN ĐỀ 5: MẶT CẦU Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và bán kính R có phương trình là 2 2 2 Dạng 1:  x  a    y  b    z  c   R 2 Dạng 2: x 2  x 2  z 2  2Ax  2By  2Cz  D  0 với A 2  B 2  C 2  D  0 Tâm I  A; B; C  ; bán kính R  A 2  B 2  C 2  D MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƢƠNG TRÌNH MẶT CẦU 1: Nếu có dữ kiện liên quan đến bán kính hoặc tiếp xúc  Phƣơng trình mặt cầu có dạng : (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2 2: Nếu không có dữ kiện liên quan đến bán kính hoặc tiếp xúc http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/  Phƣơng trình mặt cầu có dạng : x2 + y2 + z2 –2ax–2by–2cz+ d= 0 Dạng Cách giải Dạng 1: (S) có tâm I (a; b; o Bán kính R  IM  (x  a)2  (y  b) 2  (z  c) 2 M M M c) và đi qua điểm M(xM; o Viết phương trình dạng 1. yM; zM)  x  xB y A  y B z A  z B  ; ; o Tâm I là trung điểm của AB  I  A  2 2 2   Dạng 2: (S) có đường kính AB với A(xA; yA; (x B  x A ) 2  (y B  y A ) 2  (z B  z A ) 2 AB  o Bán kính R  zA), B(xB; yB; zB) 2 2 o Viết phương trình dạng 1. Dạng 3: (S) có tâm I(a;b;c), tiếp xúc với mp(P) Ax+By+Cz+D=0 o Bán kính R  d  I, (P)   Aa  Bb  Cc  D A 2  B 2  C2 http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ o Viết phương trình dạng 1. Dạng 4: (S) đi qua 4 điểm o Viết phương trình mặt cầu (S) dạng 2. A, B, C, D không đồng o Lần lượt thay các điểm vào phƣơng trình mặt cầu, ta được hệ phẳng phương trình với các ẩn cần tìm là A, B, C, D. (hay (S) ngoại tiếp tứ diện o Thay A, B, C, D vào phương trình của (S) ABCD) o Nhận dạng tọa độ tâm I Dạng 5: (S) có tâm thuộc Nếu I  Ox thì I(A;0;0); I  Oy thì I(0;B;0); I  Oz thì I(0;0;C) trục tọa độ và qua 2 điểm o Thay tọa độ các điểm vào ph.trình (S) ta được hệ 2 ph.trình 2 ẩn o Giải hpt tìm 2 ẩn thay vào ph.trình (S) o Nhận dạng tọa độ tâm I Nếu I  (Oxy) thì I(A;B;0); I  (Oyz) thì I(0;B;C); I  (Oxz) thì Dạng 6: (S) có tâm thuộc I(A;0;C) mp tọa độ và qua 3 điểm o Thay tọa độ các điểm vào ph.trình (S) ta được hệ 3 ph.trình 3 ẩn o Giải hpt tìm 3 ẩn thay vào ph.trình (S) Dạng 7: Tìm tọa độ tâm I o Nếu phương trình mặt cầu dạng 1: LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 Cảm quí giáo đã choluyện ra đờithi những liệu tuyệt11, vời 12 <3 Toánơnthầy Đạt viên - chuyên Đại tài học Toán Page 18 GV : Thân Thị Hạnh www.tailieupro.com thêm nhiều tài liệu hơn và bán kính R. Truy cập website Xác định các số a, b, c,đểRnhậnTâm I(a; b; c) ; bán kính là R o Nếu phương trình mặt cầu dạng 2: So sánh hệ số x,y,z tìm A, B, C, D http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ Tâm I(A; B;C) A2 BK R B2 C2 D 1. Vị trí tƣơng đối giữa mặt phẳng và mặt cầu 2 2 2 Cho mặt phẳng   : Ax  By  Cz  D  0 và mặt cầu ( S ) :  x  a    y  b    z  c   R 2 (S) có tâm I  a; b; c  , bán kính R . Gọi d  d  I ;     A.a  B.b  C .c  D A2  B 2  C 2 . + Nếu d  R    và (S) không giao nhau. + Nếu d  R    và (S) tiếp xúc nhau tại một điểm H. (   gọi là tiếp diện của mặt cầu (S)). + Nếu d  R    và (S) cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn (C) có bán kính http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ r R 2  d 2 và có tâm H là hình chiếu vuông góc của I trên   . 2. Vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng và mặt cầu  x  x0  at  2 2 2 Cho đường thẳng thẳng  :  y  y0  bt và mặt cầu (S):  x  a    y  b    z  c   R 2  z  z  ct 0    u, M 0 I  Gọi d  d  I ,     , trong đó M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )  , u  ( a; b; c ) là VTCP của  u + Nếu d  R   và (S) không có điểm chung http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ + Nếu d  R   tiếp xúc với (S) (  là tiếp tuyến của mặt cầu (S)) + Nếu d  R   cắt (S) tại hai điểm A, B (  gọi là cát tuyến của mặt cầu (S)) 3. Vị trí tƣơng đối giữa một điểm và mặt cầu 2 2 2 Cho điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và mặt cầu (S):  x  a    y  b    z  c   R 2 , tâm I  a; b; c  , bán kính R thì MI   a  x0  2   b  y0    c  z 0  2 2 + Nếu MI  R thì điểm M nằm ngoài mặt cầu (S) + Nếu MI  R thì điểm M nằm trên mặt cầu (S) + Nếu MI  R thì điểm M nằm trong mặt cầu (S) LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 Cảm quí giáo đã choluyện ra đờithi những liệu tuyệt11, vời 12 <3 Toánơnthầy Đạt viên - chuyên Đại tài học Toán Page 19