HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRINH
Thực Hành Giải Toán
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP
Đề tài:
Danh sách nhóm 6:
1. Nguyễn Đinh Công Danh
2. Ngô Quốc Huy
3. Nguyễn Thị Minh Khôi
4. Đỗ Thành Nhơn
5. Phạm Thị Kim Tuyến
(cho điểm như nhau)
GVHD
SVTH
Lớp
Năm học
: Lê Xuân Trường
: Nhóm 6
: Toán 2006A
: 2008 - 2009
Đồng Tháp, ngày 15 tháng 05 năm 2009
1
Thực Hành Giải Toán
MỤC LỤC
MỤC LỤC .......................................................................................................... 2
Phần I: ................................................................................................................. 3
A. HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN ................................................................ 3
I. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:............................................................. 3
II.Hệ phương trình bậc cao hai ẩn :............................................................. 7
B. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BA ẨN ................................................................ 24
I. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn ............................................................ 24
II. Hệ phương trình 3 ẩn bậc cao: ............................................................. 26
Phần II: ............................................................................................................. 29
A. KHÁI NIỆM ............................................................................................ 29
I.
Khái niệm bất phương trình một ẩn:.................................................. 29
II. Khái niệm hệ bất phương trình một ẩn, hai ẩn: ................................. 29
B. PHÂN LOẠI VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG
TRÌNH. ......................................................................................................... 29
I.
Hệ bất phương trình một ẩn: .............................................................. 29
II. Hệ bất phương trình hai ẩn: ............................................................... 39
C.Giải bài toán bằng cách đưa về hệ bất phương trình một ẩn: ................... 46
Tài liệu tham khảo: ........................................................................................... 49
2
Thực Hành Giải Toán
Phần I:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A. HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN
I. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
1. Định nghĩa:
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:
ax by c 0
a' x b' y c' 0
,
a'
a
0
2
b' 2 0
2
b
2
2. Phương pháp giải:
Áp dụng phép biến đổi tương đương như quy tắc cộng đại số và phép
-
thế mà ta đã học.
Dùng định thức.
-
a ' 2 b' 2 0
ax by c 0
Giải hệ phương trình:
, 2
2
a' x b' y c' 0 a b 0
B1: Tính các biểu thức:
D
a b
ab'a ' b
a ' b'
Dx
c b
cb 'c' b
c ' b'
Dy
a c
ac'a ' c
a ' c'
B2: Xét các trường hợp :
Nếu D 0 , hệ có nghiệm duy nhất x; y trong đó x
Nếu D = 0; ta xét đến Dx , Dy
Nếu Dx 0 hoặc Dy 0 hệ vô nghiệm
3
Dy
Dx
;y
D
D
Thực Hành Giải Toán
Nếu Dx = 0 và Dy = 0. Hệ có vô số nghiệm, tập nghiệm của hệ là tập
nghiệm của phương trình ax by c 0 .
3. Bài tập áp dụng:
Ví dụ 1:
5 x 4 y 3
7 x 9 y 8
Giải hệ phương trình:
Giải:
B1: Tính các biểu thức : D
Dx
3 4
5
8 9
Dy
5 3
19
7 8
5 4
17
7 9
B2: Nhận thấy rằng D = -17 0 nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Dx Dy 5 19
;
;
D D 17 17
Ví dụ 2:
Giải và biện luận hệ phương trình:
mx y 4 m
2 x m 1y m
Giải:
B1: Tính các biểu thức:
D
m
1
m 2 m 2 m 1m 2
2 m 1
Dx
4m
1
2
m 2 4m 4 m 2
m
m 1
Dy
m 4m
m 2 2m 8 m 4m 2
2
m
B2: Ta xét các trường hợp sau:
4
Thực Hành Giải Toán
m 1
. Khi đó, hệ phương trình có duy nhất nghiệm là:
D0
m
2
Dy m 2 m 4
;
D
D
m 1 m 1
x; y Dx ;
m 1
. Với m 1 thì Dx = -9 0 (Hệ vô nghiệm). Với
D0
m 2
m 2 thì Dx Dy = 0 nên hệ có vô số nghiệm
x; y và được tính theo
x R
y 2 2x
4. Ứng dụng:
Ứng dụng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn để xác định vị trí tương đối của
hai đường thẳng trong mặt phẳng. Cho hai đường thẳng (d1) và (d2) có phương
trình tổng quát:
(d1): A1x + B1y + C1 = 0;
(d2): A2x + B2y + C2 = 0;
Tùy theo giá trị của tham số hãy xác định vị trí tương đối của (d1) và (d2).
Phương pháp chung
Thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Thiết lập hệ phương trình tạo bởi (d1) và (d2) là:
A1x B1 y C1 0
A x B1y = - C1
1
A 2 x B2 y C 2 0
A 2 x B2 y = - C 2
Bước 2. Bằng việc biện luận (I) ta có được vị trí tương đối của (d1) và (d2) cụ
thể là:
d2 .
Nếu(I) vô nghiệm (d1 )
Nếu (I) có nghiệm duy nhất d1 d 2 M
Nếu (I) có vô số nghiệm d1 d 2 .
Ví dụ:
5
Dx Dy
,
.
D D
Thực Hành Giải Toán
Cho a2 + b2 > 0 và hai đường thẳng (d1) và (d2) có phương trình:
(d1): (a – b)x + y = 1 và (d2): (a2 – b2)x + ay = b.
a.
Xác định giao điểm của (d1) và (d2).
b.
Tìm điều kiện với a, b để giao điểm đó thuộc trục hoành.
Giải:
a.
Xét hệ phương trình tạo bởi (d1) và (d2) có dạng:
a b x y 1
2 2
a b x ay b
Ta có D = b2 – ab, Dx = a – b, Dy = ab – a2.
Vậy, suy ra:
d1 d2 I D 0 b2 ab 0,
Khi đó giao điểm I có tọa độ I , .
b b
1 a
b.
Điểm I Ox.
b 2 ab 0
a 0
a
0
b 0.
b
Tìm tham số m để hai phương trình bậc hai có nghiệm chung.
Ví dụ :
Với giá trị nào của m thì 2 phương trình sau có nghiệm chung:
2x2 + mx – 1 = 0 và mx2 – x + 2 = 0.
Giải:
Các phương trình trên có nghiệm chung hệ sau có nghiệm:
2 x 2 mx 1 0
2
mx x 2 0
Đặt x2 = y ta được hệ:
6
Thực Hành Giải Toán
mx 2 y 1
x my 2
Ta có: D = - m2 – 2; Dx = - m – 4; Dy = 2m – 1.
Vì D ≠ 0, m, hệ có nghiệm duy nhất x
m4
1 2m
và y = 2
2
m 2
m 2
Do x2 = y nên ta phải có:
1 2m
m4
2
= 2
m 2
m 2
3
m + 6m + 7 = 0
m = -1.
2
Vậy với m = -1 hai phương trình có nghiệm chung x = 1.
II.Hệ phương trình bậc cao hai ẩn :
1.Định nghĩa
Là hệ gồm hai phương trình hai ẩn trong đó có ít nhất một phương trình có bậc
lớn hơn 1.
2.Các dạng phương trình thường gặp
a)
Hệ phương trình đối xứng loại một:
Trong mỗi phương trình khi thay thế x bởi y hoặc y bởi x thì phương trình
không thay đổi.
Phương pháp:
Đặt S x y và P xy
+ Tìm S , P
+ Khi đó x, y là nghiệm của phương trình X 2 SX P 0
Chú ý:
Nếu trong hệ xuất hiện x y thì đặt t y và đặt S x t , P xt
Ngoài phương pháp chung để giải hệ đối xứng loại I được trình bài ở trên,
trong nhiều trường hợp ta còn sử dụng các phương pháp:
7
Thực Hành Giải Toán
1.
Phương pháp thế: bởi rất nhiều hệ đối xứng là hệ “ Hệ gồm một phương
trình bậc hai và một phương trình bậc nhất của hai ẩn”.
2.
Phương pháp đồ thị.
3.
Phương pháp điều kiện cần và đủ: được áp dụng cho hệ với yêu cầu
“tìm giá trị của tham số để hệ có nghiệm duy nhất”. Khi đó ta thực hiện các
bước:
Bước 1. Điều kiện cần
Nhận xét rằng nếu hệ có nghiệm (x0, y0) thì (y0, x0) cũng là nghiệm của
hệ, do đó hệ có nghiệm duy nhất khi: x0 = y0.
Thay x0 = y0 ta được giá trị tham số. Đó chính là điều kiện cần để hệ có
nghiệm duy nhất.
Bước 2. Điều kiện đủ.
4.
Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki.
5.
Nhận xét về miền nghiệm.
Ví dụ 1:
Giải hệ phương trình:
Giải:
Hệ phương trình được viết lại
Đặt S = x + y, P = xy
Khi đó với:
x, y là nghiệm của phương trình:
8
Thực Hành Giải Toán
Với
là nghiệm phương trình:
Vậy hệ phương trình có bốn cặp nghiệm
Ví dụ 2:
x xy y m 1
2
2
x y xy m
Cho hệ phương trình:
a. Giải hệ khi m = 2
b. Tìm m để hệ có ít nhất một nghiệm thoã: x > 0, y > 0.
Giải:
Đặt S = x + y, P = xy.
Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với hệ:
S P m 1
SP m
z1 1
(*)
S, P là hai nghiệm của phương trình: z 2 (m 1) z m 0
z2 m
a. Với m = 2 thế vào (*) ta được:
x y 1
(I )
xy
2
.
x y 2
( II )
xy 1
- Hệ (I) vô nghiệm.
- hệ (II) có nghiệm x = y =1.
b. Để hệ có nghiệm x, y > 0 :
9
Thực Hành Giải Toán
1 4m
S 2 4P
1
0m
m0
S 0
4
m 2 4
P0
m2
m 0
Ví dụ 3:
x 2 y 2 x y 2
.
xy x y 1
Giải hệ phương trình
Giải:
Nhận thấy trong hệ có x y , ta đặt t y . Hệ thành:
2
x2 t 2 x t 2
x t 2 xt x t 2
xt x t 1
xt x t 1
S 2 2 P S 2
S 1 S 4
Đặt S x t , P xt . Hệ thành:
P 0 P 5
P S 1
S 1
.
P 0
Khi đó x, t là nghiệm của phương trình:
x 0
x 0
2
X 0
t 1 y 1
X X 0 1
x 1 x 1
X 2 1
t 0
y 0
S 4
.
P 5
Khi đó x, t là nghiệm của phương trình: X 2 4 X 5 0
x 1 x 1
t
5
X 1
y 5
.
x 5
x 5
X 5
t 1
y 1
Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm: 0;1; 1;0; 1;5; 5;1
10
Thực Hành Giải Toán
Ví dụ 4:
x2 y 2 m
x y 6
Cho hệ phương trình:
Giải:
Ta có thể giải bằng phương pháp điều kiện cần và đủ như sau:
Điều kiện cần: Nhận xét rằng nếu hệ có nghiệm (x0, y0) thì (y0, x0) cũng là
nghiệm của hệ, do đó hệ có nghiệm duy nhất khi: x0 = y0.
Khi đó:
2 x02 m
m 18
(I)
2 x0 6
Đó chính là điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất.
Điều kiện đủ: Với m = 18, ta được:
x 2 y 2 18
x y 6
x y 3 là nghiệm duy nhất.
xy 9
x y 6
(I)
Vậy, với m = 18 hệ có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 5.
1 1
x
y
4
x y
(I )
Giải hệ phương trình:
x2 y2 1 1 4
x2 y 2
Giải:
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
2
1 1
1 1
4 4 x y 4 x 2 y 2 2 2 4.4
x y
x
y
2
2
Vậy hệ (I) tương đương với khả năng bất đẳng thức xảy ra dấu “=”.
x = y =
1 1
= 1.
x y
Vậy nghiệm của hệ là: x = y= 1.
11
Thực Hành Giải Toán
x 2 y 2 1 (1)
Ví dụ 6 : Giải hệ phương trình : 3 3
x y 1 (2)
Giải :
3
2
x 1 x x
3
x3 y 3 x 2 y 2 1 (3)
2
y
1
y
y
Ta có : (1)
Từ phương trình (2) ta suy ra : bất đẳng thức (3) xảy ra dấu ‘=’.
x 0
3
2
x x
y 1
3
2
x 1
y y
y 0
b)
Hệ phương trình đối xứng loại hai:
-
Nhận dạng: Nếu thay thế đồng thời x bởi y và y bởi x thì phương trình
thứ nhất biến thành phương trình thứ hai và ngược lại phương trình II biến
thành phương trình I.
-
Phương pháp:
B1: Trừ vế và biến đổi về x y f x, y 0
B2: Xét x y 0
Xét f x, y 0 có 3 cách
C1: Cộng hai vế phương trình trên và giải với f x, y 0
C2: Dùng phương pháp thế
C3: Chứng minh f x, y 0 vô nghiệm
Ngoài phương pháp chung để giải hệ đối xứng loại hai được trình bày ở trên,
trong nhiều trường hợp ta còn sử dụng các phương pháp:
1.
Phương pháp đồ thị.
2.
Phương pháp điều kiện cần và đủ: được áp dụng rất tốt cho hệ với yêu
cầu “tìm giá trị của tham số để hệ có nghiệm duy nhất”. Khi đó ta thực hiện
theo các bước:
Bước 1. Điều kiện cần
12
Thực Hành Giải Toán
Nhận xét rằng nếu hệ có nghiệm (x0, y0) thì (y0, x0) cũng là nghiệm của
hệ, do đó hệ có nghiệm duy nhất khi: x0 = y0.
Thay x0 = y0 vào một phương trình của hệ và tìm điều kiện của tham số
để hệ phương trình đó có nghiệm duy nhất, khi đó ta được giá trị của tham số.
Đó chính là điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất.
Bước 2. Điều kiện đủ
x 2 2 x 3 y 1
Ví dụ 1: 2
y 3 y 2 x2
Trừ vế theo vế (1) – (2) ta được :
B1: x y x y 1 0
x y 0
x y
x 0 x 5
2
y 0 y 5
x 3x 2 y
x 5x 0
B2: Với x y = 0 . Ta có hệ
2
x y 1 0
y x 1
x 1 x 2
2
2
y
2
x
3
x
2
y
x
3
x
2
y
y 1
Với x y 1 0
Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm: S 0;0; 5;5; 1;2; 2;1
Ví dụ 2:
y 2 x3 4 x 2 8 x
Giải hệ phương trình : 2
3
2
x y 4 y 8y
Giải
(1) – (2) ta được:
x3 y 3 3( x 2 y 2 ) 8( x y ) 0.
( x y )( x 2 y 2 xy 3 x y 8) 0(*)
x – y = 0. Thế vào hệ ta được:
x = y = 0.
( x 2 y 2 xy 3 x y 8) 0(**)
Cách 1: Cộng hai vế (1) và (2) ta được:
x3 y 3 5( x 2 y 2 ) 8( x y ) 0.
13
Thực Hành Giải Toán
Kết hợp với (**) và giải hệ đối xứng loại I.
Cách 2: (**) x 2 y 3 x y 2 3 y 8 0
3 y 2 12 y 13 0.
(**) vô nghiệm.
Vậy hệ có 1 nghiệm x = y = 0.
Ví dụ 3:
2
2
x 2 y m(1)
Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:
2
2
x y 2 m(2)
Sử dụng phương pháp đồ thị: Gọi X1 và X2 lần lượt là tập nghiệm của (1) và
(2). Ta có:
X1 là tập các điểm trên đường tròn (C1) có:
tâmI1 (2, 0)
bánkinhR1 m
X là tập các điểm trên đường tròn (C2) có:
tâmI 2 (2, 0)
bánkinhR 2 m
Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi (C1) tiếp xúc ngoài với (C2)
I1I 2 R1 R2 2 2 2 m m 2.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi m = 2.
Ví dụ 4:
xy x 2 m( y 1)
2
xy y m( x 1)
Cho hệ phương trình:
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Giải:
Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ như sau:
Điều kiện cần: Nhận xét rằng nếu hệ có nghiệm (x0, y0) thì (y0, x0) cũng là
nghiệm của hệ, do đó hệ có nghiệm duy nhất thì x0 = y0.
14
Thực Hành Giải Toán
Khi đó:
1 2 x02 mx0 m 0.
(3)
Do x0 duy nhất nên phương trình (3) có nghiệm duy nhất
m 0
'(3) 0 m2 8m 0
m 8
Đó chính là điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất.
Điều kiện đủ
Với m = 0, hệ có dạng:
xy x 2 0
, hệ có vô số nghiệm thõa mãn y = -x (loại).
2
xy y 0
Với m = 8: hệ có dạng:
xy x 2 8( y 1)
xy x 2 8( y 1)
x y
2
xy y 8( x 1)
y 8 x
x y
2
2 x 8 x 8 0
y 8 x
72 0
x y 2 là nghiệm duy nhất.
Vậy, với m = 8 hệ có nghiệm duy nhất.
c) Hệ phương trình đẳng cấp:
Nhận dạng: Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng:
a1 x 2 b1 xy c1 y 2 d1 (1)
2
2
a2 x b2 xy c2 y d 2 (2)
-
(I)
Cách giải:
+ TH1: Xét x 0
+ TH2: Xét x 0 và đặt y tx
15
Thực Hành Giải Toán
Chú ý: Nếu hệ có một phương trình đẳng cấp và vế trái bằng 0 thì ta cũng giải
theo cách trên
3x 2 5 xy 4 y 2 31
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
9 y 2 11xy 8 x 2 62
2 3
y 4
TH1: x 0
( hệ vô nghiệm )
2
2
y
3
x 2 3 5t 4t 2 31
x 2 8 11t 9t 2 62
TH2: x 0 đặt y tx
1 t 2 t 2 0 t 1
t 2
2
t 1 y x thế vào 1 được x 2 =
1
2
x y
2
2
t 2 y 2 x thay vào (1) x 1 y 2
Ví dụ 2:
2 x 2 13xy 18 y 2 0
Giải hệ phương trình
2
2
3x 2 x y 9
Giải
Xét x = 0 suy ra phương trình vô nghiệm.
Xét x ≠ 0 đặt y = tx.
2 x 2 13tx 2 18t 2 x 2 0
18t 2 13t 2 0
2
t 9
t 1
2
Thế vào (2) ta được 4 nghiệm:
16
Thực Hành Giải Toán
27
x 13
y 6
13
x 27
19
y 6
19
x 18
13
9
y
13
x2
y 1
3. Dạng không mẫu mực:
Đối với dạng này không có phương pháp giải cụ thể. Có thể tùy trường hợp mà
sử dụng các phương pháp sau:
Phương pháp biến đổi tương đương
Phương pháp đặt ẩn phụ
Phương pháp hàm số
Phương pháp đánh giá
a) Phương pháp biến đổi tương đương.
Phương pháp này chủ yếu là sử dụng các kĩ năng biến đổi đồng nhất đặc biệt là
kĩ năng phân tích nhằm đưa một PT trong hề về dạng đơn giản rồi thế vào
phương trình đơn giản.
LOẠI 1. Trong hệ phương trình bậc nhất với ẩn x hoặc y, khi đó ta tìm cách rút
y theo x hoặc ngược lại.
Thí dụ: Giải hệ phương trình
x 2 y 1 x y 1 3x 2 4 x 1
xy x 1 x 2
17
Thực Hành Giải Toán
Giải.
Ta thấy x = 0 không thõa mãn phương trình (2).
x2 1
Với x ≠ 0 từ (2) ta có y 1
, thay vào (1) ta được
x
x2
x2 1
x2 1
2
x
3x 4 x 1
x
x
x 2 1 2 x 2 1 x 1 3 x 1
x 1 2 x 3 2 x 2 x 1 x 1 3 x 1
x 0(loai )
x 1 2 x 2 x 4 x 0 x 1
x 2
3
2
5
Hệ có hai nghiệm (x; y) là (1; -1), 2, .
2
LOẠI 2. Một phương trình trong hệ có thể đưa về dạng tích của các phương
trình bậc nhất hai ẩn.
Thí dụ: Giải hệ phương trình
2
2
xy x y x 2 y
x 2 y y x 1 2x 2 y
Giải.
Điều kiện x ≥ 1, y ≥ 0.
PT (1) x 2 xy 2 y 2 ( x y) 0
( x y)( x 2 y 1) 0
x 2 y 1 0 (điều kiện ta có x + y > 0)
⇔ x = 2y +1 thay vào phương trình (2) và biến đổi ta được
y 1
2 y 2 0 y 2 (do y≥ 0)
x = 5. Hệ có nghiệm (x; y) = (5; 2).
18
Thực Hành Giải Toán
LOẠI 3. Một PT của hệ là phương trình bậc hai theo một ẩn, chẳng hạn đó là
ẩn y. Lúc đó ta xem x là tham số và biểu diễn y được qua x bằng cách giải PT
bậc hai ẩn y.
Thí dụ: Giải hệ phương trình
y 2 (5 x 4)(4 x)
2
2
y 5 x 4 xy 16 x 8 y 16 0
Giải.
Biến đổi PT (2) về dạng
y 2 (4 x 8) y 5 x 2 16 x 16 0
Coi PT (2) là phương trình bậc hai ẩn y (tham số x) ta có
y 5x 4
' 9 x 2
y 4 x
Với y = 5x + 4, thay vào (1) được
5x 4
2
4
x
y0
5 x 4 4 x
5
x 0 y 4.
Với y = 4 – x, thay vào (1) được
4 x
2
x 4 y 0
5x 4 4 x
x 0 y 4.
4
Hệ có ba nghiệm (x; y) là (0; 4), (4; 0), ;0 .
5
b) Phương pháp đặt ẩn phụ.
Điểm quan trọng nhất trong việc giải hệ là phát hiện ẩn phụ
u f ( x, y ); v g ( x, y ) có ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện trong
một số phép biến đổi hằng đẳng thức cơ bản hoặc chia cho một biểu thức khác
0 để đưa về dạng đơn giản hơn.
Thí dụ 1: Giải hệ phương trình.
19
Thực Hành Giải Toán
x 2 1 y ( y x) 4 y
2
( x 1)( y x 2) y
Giải.
Ta thấy y = 0 không thõa phương trình (1) nên
x2 1
yx4
y
HPT đã cho 2
x 1 ( y x 2) 1
y
Đặt:
u
x2 1
,v y x 2
y
u v 2
uv 1
Giải hệ được u = v = 1 từ đó ta có hệ:
x2 1 y
x y 3
Hệ này có thể giải dễ dàng.
Hệ có hai nghiệm (x; y) là (1; 2) và (-2; 5).
Thí dụ 2: Giải hệ phương trình
3
2
2
7
2
4 xy 4( x y )
x y
1
2x
3.
x y
Giải.
Điều kiện x + y ≠ 0. Khi đó ta có
3
2
2
3( x y ) ( x y ) ( x y ) 2 7
1
x y
x y 3
x y
20
- Xem thêm -