Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
H - B T - PH
NG TRÌNH
TRONG CÁC Đ THI THỬ NĂM 2016
Bài 1: Gi i h ph
3 x y 1 x 3 2 y 2 9 x 5
ng trình:
.
3
3
2
2
x y 12 x 3 y 3 y 6 x 7
L n
– THPT ANH S N
L i gi i tham kh o
x 3
Điều Kiện :
y 1
Phương trình thứ tương đương với ( x 2)3 ( y 1)3 y x 1 (3)
Thay
v|o phương trình thứ nhất ta được
3 x x 2 x3 2 x 2 5 x 3 điều kiện 2 x 3
3 x x 2 x3 2 x 2 5 x 3 3 x x 2 3 x3 2 x 2 5 x 6
2( (3 x)( x 2) 2)
x3 2 x 2 5 x 6
3 x x 2 3
2( x 2 x 2)
( x 1)( x 2)( x 3)
( 3 x x 2 3)( (3 x)( x 2) 2)
2( x 2 x 2)
( x 2 x 2)( x 3)
( 3 x x 2 3)( (3 x)( x 2) 2)
2
( x 2 x 2)(
( x 3)) 0
( 3 x x 2 3)( (3 x)( x 2) 2)
2
( x 3) 0
Do điều kiện 2 x 3 nên
( 3 x x 2 3)( (3 x)( x 2) 2)
Suy ra x2 x 2 0 x 1; x 2 thoả mãn điều kiện.
Khi x 1 y 0 TMĐK
Khi x 2 y 3 TMĐK
V y hệ đã cho có hai nghiệm -1;0), (2;3)
Bài 2: Gi i ph
ng trình x3 x 2 x 2 1 x 6 .
L n
– THPT B C YÊN THÀNH
L i gi i tham kh o
ĐK x 0 . Nh n thấy
y không l| nghiệm của hệ phương trình. Xét x 0 .
1 1 1
1 (1) Xét hàm số f t t t t 2 1
Từ phương trình thứ ta có 2 y 2 y 4 y 2 1
2
x x x
2
1
t
1
có f ' t 1 t 2 1
0 nên h|m số đồng bi n. V y 1 f 2 y f 2 y .
x
x
t 2 1
Xét h|m số f t t t t 2 1 có f ' t 1 t 2 1
1 f 2 y
t2
t 2 1
0 nên h|m số đồng bi n. V y
1
1
f 2y .
x
x
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 1
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
x x 2 x 1 x 6
Thay v|o phương trình
3
2
V tr{i của phương trình l| h|m đồng bi n trên 0; nên có nghiệm duy nhất
1
x 1 v| hệ phương trình có nghiệm 1; .
2
2x 2 y 2 x 3( xy 1) 2 y
ng trình:
2
2
9
3 2 x y 3 4 5x 2 x y 9
Bài 3: Gi i h ph
x, y .
L n 1– THPT B O TH NG S
L i gi i tham kh o
2 x y 0
ĐK :
4
x 5
Bi n đổi phương trình thứ nhất của hệ ta có
2x 2 y 2 x 3( xy 1) 2 y x y 1 2x y 3 0 y x 1
Với y x 1 thay v|o phương trình thứ hai ta được phương trình sau
2
2
9
3 x 1 3 4 5x x 10
2 x 10 6 x 1 4 5x 9 9 3 x 1 3 4 5x x 1 4 5x
x 1 4 5x 3 9 x 1 9 4 5x 4x 41 0
4
( Do x 1; nên 9 x 1 9 4 5x 4x 41 0 )
5
x 1 4 5x 3 0
x 1 4 5x 3 2 x 1. 4 5x 4 4x
x 1 0
x 1
x 1. 4 5x 2 x 1 0
x 0
4 5x 2 x 1
Với x 0 y 1; x 1 y 2
Đối chi u với điều kiện v| thay lại hệ phương trình ban đầu ta thấy hệ đã cho có nghiệm
( x; y) (0; 1);( x; y) (1; 2)
Bài 4: Gi i ph
ng trình:
x
1
x2
x
3
2x
2 3 2x
1
3
1
.
L n 1 – THPT BÌNH MINH
L i gi i tham kh o
Điều kiện x
1, x
13
x x6
( x 2)( x 1 2)
1
3
3
2x 1 3
2x 1 3
3
(2 x 1) 2 x 1 ( x 1) x 1 x 1
Pt x 1 2
2
H|m số f (t ) t 3 t đồng bi n trên
x= không l| nghiệm
do đó phương trình 3 2 x 1 x 1
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 2
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
x 1/ 2
x 1/ 2
3 2
2
3
(2 x 1) ( x 1)
x x x 0
x 1/ 2
1 5
1 5 x 0, x 2
x 0, x
2
V y phương trình có nghiệm S
Bài 5: Gi i h ph
{0,
1
5
2
}
32 x5 5 y 2 y ( y 4) y 2 2 x
ng trình:
x, y .
3
(
y
2
1)
2
x
1
8
x
13(
y
2)
82
x
29
L n – THPT B H
L i gi i tham kh o
1
Đặt đk x , y 2
2
+) (1) (2 x)5 2 x ( y 2 4 y) y 2 5 y 2 (2 x)5 2 x
5
y 2 y 2(3)
Xét h|m số f (t ) t 5 t , f '(t ) 5t 4 1 0, x R , suy ra h|m số f t liên tục trên R. Từ
f (2 x) f ( y 2) 2 x y 2 Thay 2 x
Thay 2 x y 2( x 0) v|o
y 2( x 0) v|o
ta có
được
được
(2 x 1) 2 x 1 8 x 3 52 x 2 82 x 29
(2 x 1) 2 x 1 (2 x 1)(4 x 2 24 x 29) (2 x 1)
2 x 1 4 x 2 24 x 29 0
1
x
2
2
2 x 1 4 x 24 x 29 0(4)
1
Với x . Ta có y=3
2
(4) ( 2 x 1 2) (4 x 2 24 x 27) 0
2x 3
(2 x 3)(2 x 9) 0
2x 1 2
x 3 / 2
1
(2 x 9) 0(5)
2 x 1 2
3
Với x . Ta có y=11 Xét (5). Đặt t 2 x 1 0 2 x t 2 1 . Thay vao
2
1 29
t 3 2t 10 21 0 (t 3)(t 2 t 7) 0 . Tìm được t
.
2
Xét . Đặt t 2 x 1 0 2 x t 2 1 . Thay vao
được
t 3 2t 10 21 0 (t 3)(t 2 t 7) 0 . Tìm được t
Từ đó tìm được x
được
1 29
.
2
13 29
103 13 29
,y
4
2
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 3
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
x3 y 3 3x 2 3 y 2 24 x 24 y 52 0
ng trình: x 2
.
2
y 1
4
L n 1 – THPT CAM RANH
L i gi i tham kh o
Bài 6: Gi i h ph
2 x 2
Đk
.
1 y 1
Đặt t y 2 . Bi n đổi phương trình đầu về dạng. x3 3x2 24x t 3 3t 2 24t
Xét h|m số f x x3 3x 2 24 x liên tục trên 2; 2
Chứng minh được x=t=y+
x 2
x y 2
x y 2
y 0
Hệ pt được vi t lại x 2
y
0
2
x 6 / 5
y 1
y 4 / 5
4
y 4 / 5
K T LU N
x 3 - 6x 2 + 13x = y 3 + y + 10
ng trình:
3
2
2x + y + 5 - 3 - x - y = x - 3x - 10y + 6
L n
L i gi i tham kh o
Bài 7: Gi i h ph
.
– THPT CAM RANH
XÉT PT(1):
x 3 6x 2 13x y3 y 10 x 2 ( x 2) y 3 y (*)
3
Xét h|m số f t t 3 t . Ta có f ' t 3t 2 1 0t
Do đó * y x 2 . Thay y x 2 v|o
ta được
3x 3 5 2 x x 3 3x 2 10 x 26
5
ĐK : x 1 )
2
3x 3 3 1 5 2 x x3 3 x 2 10 x 24
3 x 2
2 x 2
3x 3 3 1 5 2 x
f t đồng bi n trên
x 2 x 2 x 12
x 2
3
2
x 2 x 12 (3)
3x 3 3 1 5 2 x
5
vô nghiệm vì với x 1 thì x2 x 12 0 .
2
x
2
Hệ có nghiệm duy nhất
y 0
PT
Bài 8: Gi i b t ph
ng trình:
x3
3 x1 x 3
2 9x
.
x
L n 1– THPT CAO LÃNH 2
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 4
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
L i gi i tham kh o
Điều kiện 1 x 9; x 0
(1)
x 2 3x 2 9 x x 3 3 x 1
x x 3 3 x1
0
( x 3)2 9( x 1) 2 9 x x 3 3 x 1
x x 3 3 x1
x 3 3
x1 x 33 x1 2 9 x
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
x x 3 3 x1
0
0
x 1 x 1 3 2 1 9 x
x 33 x1 2 9 x
0
0
x
x
x8
x1
x8
2
00x8
0
x x 1 3 1 9 x
x
K t hợp điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình l| 0 x 8
Bài 9: Gi i b t ph
ng trình: x2 + x – 1 (x + 2) x 2 2 x 2
L n 1 – THPT chuyên LÊ QÚY ĐÔN - KH
L i gi i tham kh o
TA CÓ : x2 2x – 7 + (x + 2)(3 x 2 x 2 ) 0 (x2 2x – 7)
2
( x 1) 1 x 1 x 1 nên :
Vì:
2
( x 1)2 1 ( x 1)
3 x 2 2 x 2
( x 1)2 1 ( x 1)
3 x 2 2 x 2
0.
> 0 , x.
x2 – 2x – 7 0 x 1 2 2 1 + 2 2 x
V y bất pt có t p nghiệm: S = (;1 2 2 ] [1 + 2 2 ;+)
Bài 10: Gi i b t ph
ng trình: x3 x 2 2 3 3x 2 ..
L n 1 – THPT chuyên NGUYỄN HU
L i gi i tham kh o
x3 x 2 2 3 3 x 2
x3 3 x 2 2 3 3 x 2 2 x
3 x 2 x3
3
x 3x 2 2
3
2
3x 2 x 3 3x 2 x 2
2
x3 3 x 2 1
0
2
2
3
3
3x 2 x 3x 2 x
2
x3 3 x 2 0 1
0, x
2
2
3
3
3
x
2
x
3
x
2
x
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 5
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
x 1
x 2
V y t p nghiệm của bất phương trình l| 1 .
x 3 y3 3x 2 3x 6y 4 0
ng trình:
.
3
y
x
y
x
2
3
7
13
3
1
L n – THPT CHUYÊN NGUYỄN HU
L i gi i tham kh o
Bài 11: Gi i h ph
ta có x3 3 x y 1 3 y 1
3
Từ phương trình
Xét h|m số f t t 3 3t , f t 3t 2 3
f t 0 với mọi t suy ra h|m số f t đồng bi n trên
.
f x f y 1 x y 1 Th x y 1 v|o phương trình
Th x y 1 v|o phương trình
x 1
2 x 3 3 7 x 6 3 x 1
ta được
ta được
3
Ta có x 1 không l| nghiệm phương trình. Từ đó
3 x
2x 3 3 7 x 6
x 1
3 x
Xét h|m số g x 2 x 3 3 7 x 6
x 1
3
TXĐ D \ 1
2
1
7
6
g x
2 x 3 33 7 x 6 2 x 12
3
3
g x 0 ; x 1, g không x{c định.
2
2
3
H|m số đồng bi n trên từng khoảng ;1 và 1; .
2
Ta có g 1 0; g 3 0 . Từ đó phương trình g x 0 có đúng hai nghiệm x 1 và
x 3.
V y hệ phương trình có hai nghiệm 1; 2 và 3; 2 .
Bài 12: Gi i h ph
xy ( x 1) x 3 y 2 x y
ng trình:
.
2
2
3
y
2
9
x
3
4
y
2
1
x
x
1
0
L n 1 – THPT CHUYÊN S N LA
L i gi i tham kh o
y x
Bi n đổi PT (1) x y x y 1 0
2
2
y x 1
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 6
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
3x 2 9 x 2 3 4 x 2
ta được 2 x 1
x = y th v|o PT
Xét f (t ) t
2 x 1
1 x x2 1 0
3 2 (3 x) 2 (3 x) 2 3
f 2 x 1 f 3 x
t 2 3 2 có f '(t ) 0, t.
f l| h|m số đồng bi n nên 2 x 1 3x x
2
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
y x2 1
Th vào (2) 3( x 2 1) 2 9 x 2 3 4 x 2 1 2
1
1
y
y x2 1
5
5
1 x x2 1 0
V tr{i luôn dương, PT vô nghiệm.
1
5
V y hệ có nghiệm duy nhất: ;
Bài 13: Gi i h ph
1
.
5
x
2
x x 1 y 2 x 1 y 1
ng trình:
3x 2 8 x 3 4 x 1 y 1
x, y .
L n 1 – THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC
L i gi i tham kh o
x 1
Điều kiện
y 1
x3 x 2 x
y 2
1
x 1
3
x 1 y 1
x3 x x 1
x 1
x 1
y 2 y 1
3
x
x
y 1 .
y
1
x 1
x 1
có f t 3t 2 1 0t
Xét h|m số f t t 3 t trên
x
f
f
x 1
y 1
2 x 1 x 2 x 1
2
Ta co y
2
suy ra f(t) đông biên trên
. Nên
x
y 1 . Thay vao (2) ta được 3x 2 8 x 3 4 x x 1 .
x 1
x 1
2
x 3 2 3
x 6x 3 0
2 x 1 x 1
1
5 2 13
x
x
2 x 1 1 3 x
3
9
9 x 2 10 x 3 0
x2
1
x 1
43 3
5 2 13
41 7 13
y
. Vơi x
.
9
72
2
C{c nghiệm n|y đều thỏa mãn điều kiện .
5 2 13 41 7 13
43 3
;
Hệ phương trinh co hai nghiệm x; y 3 2 3;
& x; y
.
2
9
72
Vơi x 3 2 3 y
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 7
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
3
3
2
2
x y 8 x 8 y 3x 3 y
Bài 14: Gi i h ph ng trình: 2
.
3
2
5 x 5 y 10 y 7 2 y 6 x 2 x 13 y 6 x 32
L n – THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC
L i gi i tham kh o
x 2 0
x 2
Điều kiện :
y 7 0
y 7
3
3
Từ phương trình 1 ta có x 1 5 x 1 y 1 5 y 1
3
Thay 4 vào 2 ta được pt: 5 x 2 5 x 10 x 7 2 x 6 x 2 x3 13x 2 6 x 32 5
x 2
5x2 5x 10
x 7 3 2x 6
Xét hàm số f t t 3 5t , trên t p
.
5x
4
2
5x 10
Đ/K
x 2 2 x3 2 x 2 5 x 10 5
, f t 3t 2 5 0, t
hàm số f t đồng bi n trên
3 : f x 1 f y 1 x y
x 7 3 2 x 6 x 2 2 x3 2 x 2 5 x 10 5
Từ
5 x 2 5 x 10
2x 6
2
x 2
x 2 x 5
x2 2
x7 3
4
x 2
y 2 x; y 2;2 thỏa mãn đ/k
5 x 2 5 x 10 2 x 6
5 x 2 5 x 10
2x 6
0
5
2
x7 3
x2 2
5 x 2 5 x 10
2x 6
4
y 2 x; y 2;2
x 2 5 0 x 2
x 2
x2 2
x7 3
đ/k
1
1
1
1
5 x 2 5 x 10
2x 6
0 pt n|y vô nghiệm
x 7 3 5 0,x2 x 2 2 2
0,x2
0,x 2
0,x 2
V y hệ phương trình có một nghiệm duy nhất
Bài 15: Gi i b t ph
thỏa mãn
ng trình:
x; y 2; 2
x2 2
6 x 2x 4 2 x 2
2
1
.
2
L n 3 – THPT chuyên VĨNH PHÚC
L i gi i tham kh o
Điều kiện : x 2
Do đó bất phương trình 2
x 2 2 6 x2 2 x 4 2 x 2
2 x 2 2 x 12 x 2 6 x 2
Ta có
2
6 x 2x 4 2 x 2
2
2 x2 2 x 4
6 x2 2 x 4 2 x 2
1
0, x 2 Do đó bất phương trình
x 2 2 6 x2 2 x 4 2 x 2
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 8
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
Nh n xét x 2 không là nghiệm của bất phương trình
t 1
2 2t 0
t2
2 2t 12 6t 2
2
2
2
2 t 2 0
4 8t 4t 12 6t
Khi
2 2
x 2
chia
hai
v
bất
x
x
12 6
x2
x2
2
phương
2 . Đặt t
trinh
1
cho
x2 0
ta
được
x
thì bất phương trình 2 được
x2
2
x 0
x
. xĐặt
t 2
2 2
2 2 3 .
x2
x 4 x 8 0
ất phương trình
đượ
Bất phương trình có nghiệm duy nhất x 2 2 3 .
Bài 16: Gi i h ph
x 1 97 y 2 y 1 97 x 2 97( x 2 y 2 )
ng trình:
( x, y ). .
27 x 8 y 97
L n
– THPT CHUYÊN H
LONG
L i gi i tham kh o
Điều kiện 0 x , y
1
97
1
1 1
1
Thay ( x; y) bằng một trong c{c cặp số (0; 0), 0;
'0 ,
;
,
vào (1), (2) ta
97
97
97
97
1
thấy c{c cặp n|y đều không l| nghiệm. Do đó 0 x , y
97
1
nên 0 a, b 1 . Khi đó
trở th|nh
Đặt 97 x a, 97 y b . Do 0 x , y
97
a 1 b b 1 a a2 b2 a a 1 b2 b b 1 a2 0
a
b
( a 2 b 2 1)
2
b 1 a2
a 1 b
1
2
2
2
2
.
0 a b 1 . Suy ra x y
97
Với c{c số dương a1 , a2 , b1 , b2 , ta có a1b1 a2 b2 a12 a22 . b12 b22 . Đẳng thức xảy ra khi v| chỉ
khi a1b2 a2b1 . Th t v y,
a1b1 a2 b2 a12 a22 . b12 b22 a1b1 a2 b2 a12 a22 . b12 b22 a1b2 a2 b1 0
2
Do đó 27 x 8 y 97 9 x 4 y 97
Đẳng thức xảy ra khi x = y v| x 2 y 2
97 x 2 y 2 97 (do x 2 y 2
2
1
)
97
1
Đối chi u với điều kiện ta được nghiệm của hệ
97
9 4
pt đã cho l| x; y ;
97 97
9 4
Đối chi u với điều kiện ta được nghiệm của hệ pt đã cho l| x; y ;
97 97
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 9
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
Bài 17: Gi i h ph
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
2x x 2 3y 2 7
ng trình:
.
2
2
x 6xy y 5x 3y
L n 1 – THPT CHUYÊN LONG AN
L i gi i tham kh o
uv
x
x y u
2 . Ta có hệ phương trình
Đặt
x y v y u v
2
Lấy
nh}n với − rồi cộng với
ta được
u3 v3 7(1)
2
2
2u 4u v v(2)
u3 6u2 12u 8 v3 3v2 3v 1 0 u 2 v 1 0
3
3
u 1 v . Thay vào phương trình (2), ta được: v2 v 2 0
Thay v|o phương trình , ta được v2 v 2 0
v 1
1 3
+ v 1 suy ra u = 2. Suy ra x, y ,
2 2
v 2
1 3
+ v 1 suy ra u = 2. Suy ra x, y ,
2 2
1 3
+ v 2 suy ra u = − . Suy ra x, y ,
2 2
Bài 18: Gi i h ph
x 3 y 3 3 y 2 3x 6 y 4 0
ng trình:
.
3 7 y 13 3( x 1)
y
2
x
3
L n 1 – THPT CHUYÊN NGUYỄN HU
L i gi i tham kh o
3
2
3
ta có x 3x ( y 1)3 3( y 1)
Điều kiện x
Từ pt
f (t) 0 với mọi t suy ra h|m số đồng
Xét h|m số f (t ) t 3 3t ; f (t ) 3t 2 3 0, t
bi n trên
f (t) 0 với mọi t suy ra h|m số đồng bi n trên
Mà f ( x) f ( y 1) nên x y 1
Th x y 1 v|o pt
ta được ( x 1)
Ta có x 1 không l| nghiệm của pt
Xét h|m số g( x) 2 x 3 3 7 x 6
2x 3 3 7 x 6 3( x 1) (3)
. Từ đó
3( x 1)
x 1
2x 3 3 7 x 6
3( x 1)
x 1
3
T p x{c định D ; \1
2
1
7
6
g( x)
2
2 x 3 3 3 (7 x 6)2 ( x 1)
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 10
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
3
3
g( x) 0, x ; x 1, g không x{c định.
2
2
3
H|m số đồng bi n trên từng khoảng ;1 và 1; . Ta có g( 1) 0; g(3) 0 . Từ đó pt
2
g( x) 0 có đúng hai nghiệm x 1 và x 3.
Ta có g( 1) 0; g(3) 0 . Từ đó pt g( x) 0 có đúng hai nghiệm x 1 và x 3.
V y hệ phương trình có hai nghiệm (1; 2) và (3; 2)
Bài 19: Gi i b t ph
1
ng trình:
x 1
2
1
3x 5
2
2
x 2 1
2
.
L n 1 – THPT ĐA PHÚC
+ Đặt t = x2 – , bpt trở th|nh
L i gi i tham kh o
1
1
2
ĐK t với đk trên, bpt tương đương
t 3
3t 1
t 1
1
1
) 2 . Theo Cô-si ta có:
t 3
3t 1
1 2t
11
2t
t
.
2 3t 1 2 2 3t 1
3t 1
t
t t 1 1 t
t 1
.
t 1 t 3 2 t 1 t 3
1
1 t 1 1 1
t 1
t 3
.
t 1 3t 1 2 t 1 3t 1
3t 1
1
1 2
11
2
.
VT 2t 0.
2 t 3 2 2 t 3
t 3
( t 1)(
1 2t
11
2t
t
.
2 3t 1 2 2 3t 1
3t 1
1
1 t 1 1 1
t 1
.
t 1 3t 1 2 t 1 3t 1
3t 1
VT 2t 0.
+ Thay ẩn x được x2 2 x (; 2] [ 2; ) T (; 2] [ 2; ).
Bài 20: Gi i ph
ng trình: 32 x 16 x 9 x 9 2 x 1 2 0 .
4
2
L n
– THPT ĐA PHÚC
L i gi i tham kh o
1
, phương trình đã cho tương đương
2
32 x 4 32 x 2 16 x 2 16 x 7 x 7 9 9 2 x 1 0
Điều kiện x
32 x 2 x 2 1 16 x x 1 7( x 1) 9 1 2 x 1 0
32 x 2 x 1 ( x 1) 16 x x 1 7( x 1)
9 2 2x
1 2x 1
18
x 1 32 x 2 ( x 1) 16 x 7
0
1 2x 1
18
x 1 32 x3 32 x 2 16 x 7
0 (*)
1 2x 1
0
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 11
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
Ta có
32
3
32 x 8 4
1
32
8 32 x 3 32 x 2 16 x 7 27
x 32 x 2
2
4
16
16 x 2 8
18
18
1 2x 1 1
1 2x 1
18
32 x 3 32 x 2 16 x 7
9 0.
1 2x 1
V y (*) x 1 .
K t lu n: Phương trình có nghiệm x = .
Bài 21: Gi i h ph
2
x 3 xy x y y 5 y 4
ng trình:
.
2
4
y
x
2
y
1
x
1
L n 1 – THPT PH ỚC BÌNH
L i gi i tham kh o
xy x y 2 y 0
Đk 4 y 2 x 2 0
. Ta có (1) x y 3
y 1 0
x y y 1 4( y 1) 0
Đặt u x y , v y 1 ( u 0, v 0 )
Khi đó
u v
Với u v ta có x 2 y 1, thay vào (2)
trở th|nh u 2 3uv 4v2 0
u 4v(vn)
ta được :
4 y2 2 y 3 y 1 2 y
Với u v ta có x 2 y 1, thay v|o
4 y 2 2 y 3 2 y 1
y 1 1 0
2
y 2
2
4 y 2 y 3 2 y 1
( vì
2
4 y 2 y 3 2 y 1
2
ta được :
4 y2 2 y 3 y 1 2 y
2 y 2
4 y2 2 y 3 2 y 1
y2
0
y 1 1
1
0 y2
y 1 1
1
0y 1 )
y 1 1
Với y 2 thì x 5 . Đối chi u điều kiện ta được nghiệm của hệ PT l| 5; 2
Bài 22: Gi i b t ph
ng trình:
x 1
x2 x 2 3 2 x 1
.
3
2x 1 3
L n
– THPT PH ỚC BÌNH
L i gi i tham kh o
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 12
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
- ĐK x 1, x 13
- Khi đó:
x 1
x2 x 2 3 2 x 1
x2 x 6
x
1
2
3
3
2x 1 3
2x 1 3
1
x 2
3
x 1 2
2x 1 3
, *
- N u 2 x 1 3 0 x 13 (1)
thì (*) 2 x 1 3 2 x 1 x 1 x 1 x 1
3
Do hàm f (t ) t 3 t l| h|m đồng bi n trên
f
3
2x 1 f
, mà (*):
x 1 3 2 x 1 x 1 x3 x 2 x 0
1 5 1 5 DK(1)
Suy ra: x ;
VN
0;
2
2
- N u 3 2 x 1 3 0 1 x 13 (2)
thì (2*) 2 x 1 3 2 x 1 x 1 x 1 x 1
Do hàm f (t ) t 3 t l| h|m đồng bi n trên
f
3
2x 1 f
, mà (2*):
1
1 x 2
x 1 3 2 x 1 x 1 1 x 13
2
2
3
2 x 1 x 1
1 5
DK(2)
1 5
;
;13
Suy ra: x 1;0
x 1;0
2
2
1 5
;13
-KL: x 1;0
2
Bài 23: Gi i h ph
x 2 xy 2y 1 2y3 2y 2 x
ng trình:
.
6
x
1
y
7
4x
y
1
L n 3 – THPT PH ỚC BÌNH
L i gi i tham kh o
ĐK x 1 .
1 2y2 x 1 x y 0 y x 1 vì 2y2 x 0, x 1
Thay v|o
ta được 6 x 1 x 8 4x 2
2
x 1 3 2x 2x x 1 3
2
4x 2 13x 10 0
2x 3 x 1
x 2 y 3
3
x
2
V y nghiệm của phương trình l| ( x; y) (2;3) .
Bài 24: Gi i h ph
2 x3 4 x 2 3x 1 2 x 3 2 y 3 2 y
ng trình:
3
x 2 14 x 3 2 y 1
1
2
.
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 13
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
L n 4 – THPT PH ỚC BÌNH
L i gi i tham kh o
Ta thấy x 0 không phải l| nghiệm của hệ, chia cả hai v của
4 3 1
1 2 2 3 2 2 y 3 2 y
x x
x
3
1 1
1 1 3 2 y 3 2 y 3 2 y *
x x
Xét hàm f t t 3 t luôn đồng bi n trên
cho x3 ta được
1
3 2y
3
x
Th
v|o
ta được x 2 3 15 x 1 x 2 3 2 3 15 x 0
1
1
x 7
0
2
x 2 3 4 2 3 x 15 3 x 15
0
111
V y hệ đã cho có nghiệm x; y 7;
.
98
* 1
2 x y 6 1 y
Bài 25: Gi i h ph
ng trình:
9 1 x xy 9 y 0
2
.
L n 5 – THPT PH ỚC BÌNH
L i gi i tham kh o
x y 6 0
x 1
Đk
+ N u y 0 , để hệ có nghiệm thì 1 y 0 .
VT (1) 2 x y 6 2 5
VT (1) VP(1) hệ vô nghiệm.
VP(1) 1 y 1
+ N u y< , từ
suy ra x>
2
2
3
3
9 1 x xy 9 y 0
9
y 9 y (3)
x
x
9 2t 2
2
Xét h|m số f (t ) t 9 t , t 0; f '(t )
0t 0
9 t2
3
9
3
y x 2
(3) f
f ( y )
y
x
x
2
Th v|o pt
ta có phương trình 2
9
y 6 1 y
y2
. H|m số g ( y ) 2
9
y6
y2
đồng bi n trên ;0 h|m số h(y)=1-y nghịch bi n trên ;0 v| phương trình có ngiệm
y=- nên pt
có nghiệm duy nhất y=- . V y, hệ có nghiệm duy nhất
-3).
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 14
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
Bài 26: Gi i h ph
x
ng trình:
x2
2
x
x
y
x
y
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
x3
4
x2
2x 2
3
y
x
y
3
1
L n 1 – THPT HÙNG V
L i gi i tham kh o
x y 4 0
Điều kiện
x y 4 0
ta được
2 y x 1 th
x 1
2
Hệ có nghiệm x; y 1; 2 ,
x 6
x
2 x 3 x3 x 2 x 2
2; 2 1
Bài 27: Gi i b t ph
2
ng trình: x 2 x 6
x 1 x 2
x 1 x 2
x 1 3x 2 9x 2 .
L n – THPT HÙNG V
L i gi i tham kh o
NG – BÌNH PH ỚC
x 1 3x 2 9x 2
x 1 1 x 2 x 1 2 2x 10x 12
x 6 x 2 x 2 x 3
2x 10x 12
x2 x 6
2
NG – BÌNH PH ỚC
2 x 3 x 1 4 2 x 3 2 x 8 0
x 1
x 2
x
x 2
.
2
2
x 1 1
x 5x 6 x 2
2
x 1 2
x 2 5x 6
2 x
x 1 2
2
5x 6
x 1 1
x 2
1
x 2 5x 6
2 0
x 1 2
x 1 1
2
x 1 1
1
2
x 5x 6
0
x 1 2
x 1 1
x 1;2 3;
2
2
y 1 2 y 1 x x xy 3 y
Bài 28: Gi i h ph ng trình:
.
2
2
x
y
3
y
3
x
7
L n 1 – THPT Đ NG XOÀI
L i gi i tham kh o
2
Đk y 1, x 0, y 3 x
Từ pt
ta có
1
2 y 1 x 0
y 1 x
y x 1
Suy ra, y = x + 1
Thay vào pt
ta được
x2 x 1 x2 x 1 7 3
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 15
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
Xét h|m số f ( x) x2 x 1 x2 x 1
Chứng minh h|m số đồng bi n
Ta có nghiệm duy nhất x =
V y nghiệm của hệ l|
Bài 29: Gi i h ph
ng trình:
x2
y2
x
y
2xy
x y
x2 y
1
.
L n
– THPT Đ NG XOÀI
L i gi i tham kh o
Điều kiện x y 0 .
1
2
2
0 ( x y 1)( x y x y ) 0
xy
(1) ( x y)2 1 2 xy 1
x y 1 0 (vì x y 0 nên x 2 y 2 x y 0 )
ta được 1 x 2 (1 x ) x 2 x 2 0 x 1 y 0
x 2 y 3
Thay x 1 y vào
V y hệ có
nghiệm x y =
Bài 30: Gi i h ph
, x y = –2; 3)
2y
x
ng trình:
x
3
1
5
2xy y
1
2x 2
x
5x
10y
8x
2y
2
4y (y
6
0
1)
.
L n 3 – THPT Đ NG XOÀI
L i gi i tham kh o
+ Điều kiện
x
2y
5
x
2y
x
x2
Dễ thấy x 2
y
x
2y 2
x
2y
2y 2
1
2
2x 2
x
2xy
2y 2
2x 2
8x
5
0
2y
5
4
2y
x
2y
2y
8x
2y
5
0
6
6
0
0
0
x2
y2
2xy
y2
0 vô nghiệm với x, y
R.
2x 2
6
1
5
2x 2
7x
x
8x
2y
2y
1
4
0
0
2y
x
1
5
0
y
Do đó hệ
2x
5
2xy
2
1
2y x 2
1
2xy
x
2y
x
2y
x
0
0
x
+Ta có hệ
1
5
x
6
0 (*)
x
2x 2
2y
Giải phương trình
+ Điều kiện
2x
1
1
2
x
5
7x
7
0 (*)
5
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 16
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
+ Phương trình 2x
x 4
2x 8
2x
1
3
1
5
1
(x
4
1
V y hệ có nghiệm x ; y
Bài 31: Gi i h ph
x
1)
2x 2
7x
4
(2x
1)
0
4
y
0
0
1
1
1
3
4)(2x
2
2
1
5
0
2x
2x
1
x
x
Dễ thấy
3
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
5
3
1
(2x
5
1)
x
0 nên x
2
x
4;2 .
x x2 y 2 x2 2 x y 2 3
ng trình:
x, y
3 x3 2 x y 2 x 2 y 2 2
2
1
y
x
x
2x 1
.
L n – THPT CHUYÊN QUANG TRUNG
L i gi i tham kh o
ĐK x y 2 0
Từ PT
Th v|o
tìm được x x y 2 x 2 x y 2
đưa về pt chỉ có ẩn x
3
1
1
2
2
Đưa được về h|m 1 1 1 3 1
x
x
x
x
Xét hàm f t t 3 t đồng bi n trên »từ đó được pt 1
1 3
2
1 giải được
x
x
5 1
5 1
L , x
N
2
2
ö
æ 5- 1
Nghi m ç
; ± 5 - 2÷
ø
è 2
x
x y x y 2
ng trình:
.
2
2
2
2
x y 1 3 x y
L n 1 – THPT NGUYỄN HỮU C NH
L i gi i tham kh o
Điều kiện x+y 0, x-y 0
u v 2 (u v)
u v 2 uv 4
u x y
u 2 v2 2
ta có hệ u 2 v 2 2
Đặt
v x y
uv 3
uv 3
2
2
u v 2 uv 4
(1)
(u v) 2 2uv 2
. Th
v|o
ta có
uv 3 (2)
2
Bài 32: Gi i h ph
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 17
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
uv 8 uv 9 uv 3 uv 8 uv 9 (3 uv ) 2 uv 0 .
uv 0
K t hợp
ta có
u 4, v 0 (vì u>v).
u v 4
Từ đó ta có x =2; y = . Thỏa đ/k
KL V y nghiệm của hệ l| x; y)=(2; 2)..
Bài 33: Gi i h ph
( x y )( x 2 xy y 2 3) 3( x 2 y 2 ) 2
ng trình:
.
2
4 x 2 16 3 y x 8
L n – THPT NGUYỄN HỮU C NH
L i gi i tham kh o
16
3
3
(1) ( x 1) ( y 1)3 y x 2 Thay y=x- vao
được
4( x 2)
3( x 2)
4 x 2 22 3x x 2 8
( x 2)( x 2)
22 3x 4
x22
x 2
3
4
( x 2)
0(*)
x 2 2
22 3 x 4
Xét f(x)=VT(*) trên [-2;21/3],có f’(x > nên h|m số đồng bi n. suy ra x=- l| nghiệm duy nhất
của *
KL HPT có nghiệm
, -1;-3)
ĐK x 2, y
Bài 34: Gi i h ph
x x 2 x 4
ng trình:
2
2
x y x y 44
y 1 y 3 y 5
.
L n 3– THPT NGUYỄN HỮU C NH
L i gi i tham kh o
Xéth|m số f t t t 2 t 4 trên 0; , có
f t
1
2 t
1
1
0, t 0;
2 t 2 2 t 4
Nên (1) x x 2 x 4
Thay (*) vào (2):
Nh}n
y 5 4 y 5 2
y 3 y 2 1
với lượng liên hợp 5
y 5 x y 5 (*)
(3)
y 3 y 2 (4)
(3), (4) y 3 3 y 6
ĐS 1; 6
Bài 35: Gi i h ph
x x2 y y x 4 x3 x
ng trình:
9.
x y x 1 y( y 1)
2
L n 1– THPT HÀ HUY T P
Đk x 1; y 0
L i gi i tham kh o
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 18
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
pt(1) x x 2 y y x x 2 x x x
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
x2 y x2 x x y
x
y x
1 0
x2 y x2 x
x
L}̣p lu}̣n
x2 y x2 x
1 0 vơi x 1; y 0
Vơi x y thay vao pt(2): x x x 1
2
x x 1 2
x x 1 8 0
x ( x 1)
9
2
’ Giải pt(2’) được: x
25
25
y
6
6
25
25
y
6
6
25 25
V}̣y hpt co nghiệm ;
6 6
Giải pt(2’) được: x
Bài 36: Gi i h ph
x
2
x x 1 y 2 x 1 y 1
ng trình:
3x 2 8 x 3 4 x 1 y 1
x, y R .
L n
– THPT HÀ HUY T P
L i gi i tham kh o
x 1
Điều kiện
y 1
3
x x2 x
y 2
1
x 1
3
x 1 y 1
x3 x x 1
x 1
x 1
y 2 y 1
3
x
x
y 1 .
y
1
x 1
x 1
Xet ham sô f t t 3 t trên R có f t 3t 2 1 0t R suy ra f(t) đông biên trên R. Nên
y 1
x
x
f
y 1 . Thay vao (2) ta được 3x 2 8 x 3 4 x x 1 .
f y 1
x 1
x 1
3
Xét h|m số f t t t trên R có f t 3t 2 1 0t R suy ra f(t) đông biên trên R. Nên
x
f
f
x 1
2 x 1 x 2 x 1
2
Ta co y
2
x
y 1 . Thay vao (2) ta được 3x 2 8 x 3 4 x x 1 .
x 1
x 1
2
x 3 2 3
x 6x 3 0
2 x 1 x 1
1
5 2 13
x
2
1
1
3
x
x
x
3
9
9 x 2 10 x 3 0
x2
1
x 1
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 19
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
43 3
5 2 13
41 7 13
. Vơi x
.
y
9
72
2
C{c nghiệm n|y đều thỏa mãn điều kiện .
43 3
KL: Hệ phương trinh co hai nghiệm x; y 3 2 3;
2
5 2 13 41 7 13
& x; y
;
.
9
72
Vơi x 3 2 3 y
Bài 37: Gi i b t ph
ng trình: 1 x x2 1 x2 x 1(1 x2 x 2) .
L n – THPT ANH S N
L i gi i tham kh o
Bất phương trình đã cho tương đương
( x x2 1 x2 x 1 x2 x 2) (1 x2 x 1) 0
( x 1)(2 x 2 x 2)
x(1 x)
0
x x2 1 x2 x 1 x2 x 2 1 x2 x 1
2 x2 x 2
x
( x 1)(
)0
x x2 1 x2 x 1 x2 x 2 1 x2 x 1
2 x2 x 2
x
với A
( x 1).A 0
x x2 1 x2 x 1 x2 x 2 1 x2 x 1
2
2
x x 1 x 1
x2 x 1 x2 x 2 x x2 1
N u x 0 thì
2
x x 2 x
x2 x 1 x2 x 2 x x2 1 0 A 0
N u x> , {p dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
2
3
x2 x 1 x2 x 2
2
x2 x
x x 1 x x 2
2
2
2
2
x x2 1 x x 1 x2 1
2
2
x2 x 1 x2 x 2 x x2 1 2 x2 x 2
x
x
1
A 1
0 vì
1 x2 x 1
1 x2 x 1
Tóm lại , với mọi x ta có A> . Do đó
tương đương x 1 0 x 1 .
V y t p nghiệm của bất phương trình đã cho l| (1; ) .
Chú ý : Cách . Ph ng pháp hàm s
Đặt u x 2 x 1 u 2 x 2 x 1 th v|o bpt đã cho ta có
u 2 x 2 x x x 2 1 u (1 u 2 1)
u2 u u u2 1 x2 x x x2 1
Xét f (t ) t 2 t t t 2 1 )
f ' (t ) (t t 2 1) 2 t 2 1 0t nên h|m nghịch bi n trên R
Do đó bpt u x x 1
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 20
- Xem thêm -
.PDF 
92 
90 
53 
