Tài liệu Hàm lyapunov lồi phân tứ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ************* ĐOÀN THỊ HÀ HÀM LYAPUNOV LỒI PHÂN THỨ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ************* ĐOÀN THỊ HÀ HÀM LYAPUNOV LỒI PHÂN THỨ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS. HOÀNG THẾ TUẤN HÀ NỘI – 2018 Líi c£m ìn Tr¶n thüc t¸ khæng câ sü th nh cæng n o m  khæng g­n li·n vîi nhúng sü hé trñ, gióp ï dò ½t hay nhi·u, dò trüc ti¸p hay gi¡n ti¸p cõa ng÷íi kh¡c. Trong suèt thíi gian tø khi b­t ¦u håc tªp ð gi£ng ÷íng ¤i håc ¸n nay, em ¢ nhªn ÷ñc r§t nhi·u sü quan t¥m, gióp ï cõa quþ Th¦y Cæ, gia ¼nh v  b¤n b±. Vîi láng bi¸t ìn s¥u s­c nh§t em xin ch¥n th nh c¡m ìn TS. Ho ng Th¸ Tu§n ¢ tªn t¥m h÷îng d¨n, ch¿ b£o cho em khæng ch¿ nhúng ki¸n thùc v· chuy¶n mæn m  cán c£ v· cuëc sèng. º em th¶m y¶u con ÷íng m¼nh ¢ chån v  vúng tin hìn tr¶n nhúng ch°ng ÷íng ph½a tr÷îc. Em xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y cæ trong tê Gi£i t½ch v  c¡c th¦y cæ trong khoa To¡n, Ban chõ nhi»m khoa To¡n ¢ t¤o i·u ki»n cho em ÷ñc håc tªp trong suèt thíi gian vøa qua. Em xin c¡m ìn ban l¢nh ¤o Vi»n To¡n håc, pháng X¡c su§t thèng k¶ ¢ t¤o i·u ki»n cho em ho n th nh b i khâa luªn n y. Cuèi còng em k½nh chóc quþ Th¦y, Cæ dçi d o sùc khäe v  th nh cæng trong sü nghi»p cao quþ. H  Nëi, ng y 07 th¡ng 05 n«m 2018 Sinh vi¶n o n Thà H  Líi cam oan B i khâa luªn v· · t i "H m Lyapunov lçi ph¥n thù" ÷ñc ho n th nh sau qu¡ tr¼nh håc häi, nghi¶n cùu cõa b£n th¥n em vîi sü h÷îng d¨n nhi»t t¼nh cõa TS. Ho ng Th¸ Tu§n pháng x¡c xu§t thèng k¶ Vi»n To¡n håc. Trong b i khâa luªn cõa m¼nh em câ tham kh£o mët sè nëi dung, k¸t qu£ cõa mët b i b¡o ngo i n÷îc v  mët sè t i li»u tham kh£o kh¡c. Em xin cam oan ¥y l  b i khâa luªn cõa m¼nh, khæng sao ch²p b§t k¼ b i khâa luªn n o kh¡c. Em xin chàu ho n to n tr¡ch nhi»m vîi líi cam oan cõa m¼nh. H  Nëi, ng y 07 th¡ng 05 n«m 2018 Sinh vi¶n o n Thà H  Möc löc Líi nâi ¦u 1 1 Ph²p t½nh vi t½ch ph¥n ph¥n thù. 4 1.1 T½ch ph¥n ph¥n thù. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 ¤o h m ph¥n thù. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ph¥n thù. . . . . . . . . . . . . . 13 2 ¤o h m ph¥n thù cõa h m Lyapunov lçi 2.1 17 ×îc l÷ñng ¤o h m ph¥n thù cõa c¡c h m lçi: Tr÷íng hñp trìn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Ph²p x§p x¿ mët h m bà ch°n o ÷ñc. . . . . . . . . . 22 2.3 ×îc l÷ñng ¤o h m ph¥n thù cõa h m lçi: Tr÷íng hñp têng qu¡t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 H» ëng lüc ph¥n thù i·u khiºn ÷ñc. 25 29 3.1 Nhúng kh¡i ni»m v  k¸t qu£ cì b£n. . . . . . . . . . . 29 3.2 Thi¸t k¸ i·u kiºn x§p x¿. . . . . . . . . . . . . . . . . 32 K¸t luªn 36 T i li»u tham kh£o 38 ii o n Thà H  Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc BƒNG K HI›U K½ hi»u T¶n gåi R Tªp sè thüc Rn Khæng gian Euclide thüc n chi·u C Tªp hñp c¡c sè phùc |z| Gi¡ trà tuy»t èi(module)cõa sè thüc (phùc) z k·k Chu©n cõa mët v²c tì ho°c ma trªn L1 [a, b] Khæng gian c¡c h m kh£ t½ch tr¶n o¤n [a, b] Lip0 (X, Rk ) Khæng gian c¡c h m li¶n töc Lipschitz C([a, b]; X) Khæng gian c¡c h m nhªn gi¡ trà trong X li¶n töc tr¶n [a, b] α C§p cõa ¤o h m ph¥n thù dαe Sè nguy¶n nhä nh§t lîn hìn ho°c b¬ng α Iαα+ To¡n tû t½ch ph¥n ph¥n thù RiemannLiouville c§p α Dαα+ To¡n tû ¤o h m ph¥n thù RiemannLiouville c§p α C To¡n tû ¤o h m ph¥n thù Caputo c§p α Dαα+ Γ(z) H m Gamma ∆V (·) Gradient cõa h m V (·) x(j) (α) ¤o h m c§p j cõa h m x t¤i α. 1 Líi nâi ¦u Ph²p t½nh vit½ch ph¥n l  mët cæng cö lþ t÷ðng º mæ t£ c¡c qu¡ tr¼nh ti¸n hâa. Thæng th÷íng, méi qu¡ tr¼nh ti¸n hâa ÷ñc biºu di¹n bði c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng. B¬ng vi»c nghi¶n cùu (ành t½nh ho°c ành l÷ñng) nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh, ng÷íi ta câ thº bi¸t tr¤ng th¡i hi»n thíi công nh÷ dü o¡n ÷ñc d¡ng i»u ð qu¡ khù hay t÷ìng lai cõa qu¡ tr¼nh â. Tuy nhi¶n, c¡c hi»n t÷ñng hay g°p trong cuëc sèng câ t½nh ch§t phö thuëc v o làch sû. èi vîi c¡c hi»n t÷ñng n y, vi»c ngo¤i suy d¡ng i»u cõa nâ t¤i mët thíi iºm t÷ìng lai tø qu¡ khù phö thuëc c£ v o quan s¡t àa ph÷ìng l¨n to n bë qu¡ khù. Hìn núa, sü phö thuëc nâi chung công khæng gièng nhau ð t§t c£ c¡c thíi iºm. Nhúng thüc t¸ vøa n¶u d¨n tîi nhu c¦u x¥y düng mët lþ thuy¸t têng qu¡t cho c¡c to¡n tû vi ph¥n sinh ra nghi»m khæng câ t½nh ch§t àa ph÷ìng. Mët trong c¡c lþ thuy¸t nh÷ vªy ¢ ÷ñc x¥y düng l  gi£i t½ch ph¥n thù. Mët trong nhúng b i to¡n quan trång cõa b i to¡n ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ph¥n thù l  l½ thuy¸t ành t½nh. Trong â ng÷íi ta muèn nghi¶n cùu d¡ng i»u nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ph¥n thù. Mët v§n · quan trång kh¡c l  thi¸t k¸ i·u khiºn nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh n y. 2 o n Thà H  Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Câ hai ph÷ìng ph¡p th÷íng ÷ñc sû döng trong nghi¶n cùu l½ thuy¸t ành t½nh nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ph¥n thù: 1. Ph÷ìng ph¡p tuy¸n t½nh hâa. 2. Ph÷ìng ph¡p h m Lyapunov. Trong khi l½ thuy¸t ên ành tuy¸n t½nh hâa ÷ñc nghi¶n cùu t÷ìng èi chi ti¸t th¼ ph÷ìng ph¡p l½ thuy¸t h m Lyapunov cán ð sì khai. Nguy¶n nh¥n l  v¼ ¤o h m ph¥n thù khæng câ þ ngh¾a h¼nh håc cö thº ¤o h m ph¥n thù cõa h m ¥m khæng k²o theo t½nh suy gi£m cõa h m n y theo thíi gian. Mët khâ kh«n kh¡c l  quy t­c t½nh ¤o h m cõa h m hñp cê iºn khæng cán óng cho ¤o h m ph¥n thù. º kh­c phöc nhúng h¤n ch¸ nâi tr¶n g¦n ¥y t¡c gi£ M.I. Gomoyunov ¢ ÷a ra mët c¡ch ¡nh gi¡ cho ¤o h m ph¥n thù cõa c¡c h m lçi, thæng qua ¡nh gi¡ n y ng÷íi ta câ thº thi¸t lªp c¡c h m ùng vi¶n Lyapunov º gi£i quy¸t v§n · ÷îc l÷ñng nghi»m trong b i to¡n nghi¶n cùu t½nh ên ành v  thi¸t k¸ i·u khiºn. Nëi dung cõa luªn v«n n y l  ph¥n t½ch chi ti¸t c¡c k¸t qu£ trong b i b¡o nâi tr¶n. Nëi dung b i khâa luªn gçm: 1. Ph²p t½nh vit½ch ph¥n ph¥n thù. 2. ¤o h m ph¥n thù cõa h m Lyapunov lçi. 3. H» ëng lüc ph¥n thù i·u khiºn ÷ñc. 3 Ch÷ìng 1 Ph²p t½nh vi t½ch ph¥n ph¥n thù. Nëi dung trong ch÷ìng n y l  giîi thi»u têng quan v· ph÷ìng tr¼nh ph¥n thù, giîi thi»u nhúng n²t cì b£n v· vi t½ch ph¥n ph¥n thù. Gçm c¡c nëi dung v· T½ch ph¥n ph¥n thù. ¤o h m ph¥n thù. Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ph¥n thù. 1.1 T½ch ph¥n ph¥n thù. Möc n y ÷ñc d nh º giîi thi»u sì l÷ñc v· kh¡i ni»m t½ch ph¥n ph¥n thù. Hiºu theo mët ngh¾a n o â, t½ch ph¥n ph¥n thù l  mët mð rëng tü nhi¶n cõa kh¡i ni»m t½ch ph¥n l°p thæng th÷íng. Cö thº, cho α > 0 v  [a, b] ⊂ R, chóng ta ành ngh¾a t½ch ph¥n ph¥n thù RiemannLiouville c§p α cõa h m x : [a, b] → R l  1 Iaα+ x(t) := Γ(α) Z a 4 t x(τ ) dτ (t − τ )1−α o n Thà H  Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc vîi t ∈ [a, b], ð ¥y h m Gamma Γ : (0, ∞) → R>0 câ biºu di¹n Z Γ(α) := ∞ tα−1 exp(−t)dt. 0 Rã r ng, trong ành ngh¾a tr¶n n¸u x kh£ t½ch tr¶n o¤n [a, b], tùc l  Z b |x(t)|dt < ∞, th¼ t½ch ph¥n ph¥n thù RiemannLiouville c§p α cõa a x tçn t¤i h¦u kh­p nìi tr¶n [a, b]. Hìn núa, ch½nh b£n th¥n to¡n tû t½ch ph¥n n y công l  mët h m kh£ t½ch. Nhªn x²t n y l  nëi dung cõa bê · sau ¥y. Bê · 1.1. Gi£ sû x : [a, b] → R l  mët h m kh£ t½ch tr¶n [a, b]. Khi â, t½ch ph¥n Iaα+ x(t) tçn t¤i h¦u h¸t t ∈ [a, b]. Hìn núa, Iaα+ x(t) công l  mët h m thuëc lîp L1 [a, b]. Chùng minh. Ta vi¸t t½ch ph¥n d÷îi d¤ng: Z t α−1 (t − τ ) Z φ1 (u) = φ1 (t − τ )φ2 (τ )dτ x(τ )dτ = α+ ð ¥y +∞ −∞   un−1 ,  0, v  φ2 (u) =   x(u),  0, 0 0 sao cho b§t k¼ ϕ(· ) ∈ Lp([a, b], Rk ) v  t, τ ∈ [a, b], chóng ta câ b§t ¯ng thùc d÷îi ¥y: k(Iaα+ ϕ)(t) − (Iaα+ ϕ)(τ )k ≤ Hp kϕ(· )kp |t − τ | ð ¥y 1 p α−1 p = 0 n¸u p = ∞. °c bi»t (Iaα+ ϕ)(·) ∈ C([a, b], Rk ) vîi måi ϕ(· ) ∈ Lp ([a, b], R). (A.3) To¡n tû Iaα + : Lp ([a, b], Rk ) → C([a, b], Rk ) l  tuy¸n t½nh v  compact, ngh¾a l  Iaα+ bi¸n c¡c tªp bà ch°n trong Lp ([a, b], Rk ) th nh c¡c tªp compact t÷ìng èi trong C([a, b], Rk ). Nâi ri¶ng, Iaα+ l  to¡n tû li¶n töc. (A.4) N¸u ϕ(·) ∈ Lip0([a, b], Rk ), th¼ (Iaα ϕ)(· ) ∈ Lip0([a, b], Rk ). Chùng minh. K¸t qu£ (A.1) v  (A.2) ÷ñc chùng minh trong [23, Theorem 3.6, Remark 3.3]. T½nh ch§t (A.3) ÷ñc suy ra tø (A.2) v  + ành lþ Arzela-Ascoli xem trong [9, Ch.I,§5, Theorem 4]. Chùng minh (A.4) câ thº t¼m trong [23, Theorem 3.1]. º k¸t thóc möc n y, chóng ta giîi thi»u mët phi¶n b£n ph¥n thù cõa B§t ¯ng GronwallBellman v  t½ch ph¥n ph¥n ph¥n thù cõa mët h m cì b£n. 6 o n Thà H  Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Bê · 1.2. Cho  ≥ 0, v  h m sè x(· ) ∈ C([0, T ], Rk ) thäa m¢n b§t ¯ng thùc: t Z λ |x(t)| ≤  + Γ(α) 0 |x(τ )| dτ (t − τ )1−α vîi t ∈ [0, T ]. Khi â, ∀t ∈ [0, T ] |x(t)| ≤ Eα (λtα ) ≤ Eα (λT α ) ð ¥y Eα (· ) l  h m MittagLeffler mët tham sè ÷ñc ành ngh¾a bði Eα (z) := ∞ X k=0 zk , Γ(k + 1) ∀z ∈ R. Chùng minh. Cho ω > 0 v  giîi thi»u h m Φ vîi Φ(t) := (+ω)Eα (λtα ). H m Φ n y ÷ñc xem l  nghi»m cõa b i to¡n Daα+ Φ(t) = λΦ(t) vîi Φ(0) =  + ω . Ngay lªp tùc ta th§y r¬ng Φ thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh λ Φ(x) =  + ω + Γ(α) Z t (t − τ )α−1 Φ(τ )dτ. 0 Vîi gi£ thi¸t cõa h m x, ta câ: |x(t)| ≤  <  + ω = Φ(0). Ta câ |x(t)| < Φ(t) vîi måi t ∈ [0, ρ] vîi ρ > 0. º chùng minh i·u n y óng tr¶n [0, T ], ¦u ti¶n chóng ta gi£ sû ng÷ñc l¤i v  k½ hi»u t0 l  sè nhä nh§t vîi t½nh ch§t |x(t0 )| = Φ(t0 ). Khi â cho 0 ≤ t ≤ t0 7 o n Thà H  Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc chóng ta câ |x(t)| ≤ Φ(t) v  do â Z t0 λ |x(t0 )| ≤ + (t0 − τ )α−1 |x(τ )|dτ Γ(α) 0 Z t0 λ (t0 − τ )α−1 |Φ(τ )|dτ ≤ + Γ(α) 0 Z t0 λ < + λ + (t0 − τ )α−1 |Φ(τ )|dτ = Φ(t0 ). Γ(α) 0 i·u n y khæng óng vîi sü lüa chån t0 cõa chóng ta. Do â gi£ thi¸t sai v  ta câ ÷ñc |x(t)| < Φ(t) = ( + ω)Eα (λtα ) vîi måi t ∈ [0.T ]. Cho ω −→ 0 chóng ta câ i·u c¦n ph£i chùng minh. T½ch ph¥n ph¥n thù cõa mët sè h m cì b£n: V½ dö 1.1.1. Cho x(t) = (t − a)β , ð ¥y β > −1 v  t > a. Vîi b§t k¼ α > 0, chóng ta câ Iaα+ x(t) = Γ(β + 1) (t − a)(α+β) Γ(α + β + 1) vîi måi t > α. Chùng minh. Theo l½ thuy¸t Fubini. B¬ng ph²p thay êi thù tü cõa 8 o n Thà H  Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc ph²p l§y t½ch ph¥n k²p. Ta câ: Z t 1 Iaα+ x(t) = (τ − a)β (t − τ )α−1 dτ Γ(α) a Z 1 1 α+β (t − a) = sβ (1 − s)α−1 ds Γ(α) 0 Γ(β + 1) = (t − a)(α+β) Γ(α + β + 1) Ta câ i·u c¦n chùng minh. 1.2 ¤o h m ph¥n thù. Còng vîi kh¡i ni»m t½ch ph¥n ph¥n thù, ¤o h m ph¥n thù l  mët trong hai kh¡i ni»m quan trång cõa ph²p t½nh vit½ch ph¥n ph¥n thù. Câ nhi·u kh¡i ni»m ¤o h m ph¥n thù ¢ ÷ñc x¥y düng. Tuy nhi¶n, ¤o h m RiemannLiouville v  ¤o h m Caputo ÷ñc dòng rëng r¢i hìn c£. Sau ¥y chóng ta nh­c l¤i ành ngh¾a cõa hai lo¤i ¤o h m n y. Cho tr÷îc mët sè thüc d÷ìng α v  mët kho£ng [a, b] ⊂ R. Ng÷íi ta ành ngh¾a ¤o h m ph¥n thù Riemann-Liouville c§p α cõa h m x : [a, b] → R l  Daα+ x(t) := Dm Iam−α x(t), + t ∈ (a, b], ð ¥y m := dαe l  sè nguy¶n nhä nh§t lîn hìn ho°c b¬ng α v  Dm = dm dtm l  ¤o h m thæng th÷íng c§p m. Trong khi â, ¤o h m ph¥n thù Caputo c§p α cõa h m x(t) ÷ñc 9 o n Thà H  Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc ành ngh¾a l  C Daα+ x(t) := Iam−α Dm x(t), + t ∈ (a, b]. èi vîi mët h m v²c tì x(t) = (x1 (t), ..., xd (t))T , ¤o h m ph¥n thù Caputo cõa x(t) ÷ñc ành ngh¾a theo tøng ph¦n nh÷ sau: C Daα+ x(t) := (C Daα+ x1 (t), ...,C Daα+ xd (t))T . Chó þ (i) N¸u α l  mët sè nguy¶n, ¤o h m ph¥n thù c§p α (theo ngh¾a RiemannLiouville ho°c Caputo) ch½nh l  ¤o h m thæng th÷íng c§p α. Trong tr÷íng hñp α = 0, chóng ta quy ÷îc Da0+ ho°c C Da0+ l  to¡n tû çng nh§t. (ii) N¸u x l  mët h m li¶n töc tuy»t èi tr¶n [a, b], th¼ c¡c ¤o h m ph¥n thù RiemannLiouville v  Caputo cõa h m n y tçn t¤i h¦u kh­p nìi tr¶n [a, b]. Gièng vîi ph²p t½nh vi-t½ch ph¥n cê iºn, ¤o h m ph¥n thù l  nghàch £o tr¡i cõa to¡n tû t½ch ph¥n ph¥n thù. (iii) Kh¡c vîi ¤o h m thæng th÷íng, ¤o h m ph¥n thù khæng câ t½nh ch§t núa nhâm, cö thº cho α1 , α2 l  c¡c h¬ng sè d÷ìng b§t k¼ v  x l  mët h m li¶n töc tuy»t èi tr¶n o¤n [a, b]. Khi â, nâi chung chóng ta câ Daα+1 Daα2+ 6= Daα+2 Daα1+ 6= Daα1+α2 , + t ∈ [a, b], xem [7, p. 30] v  [7, Remark 3.3, p. 56]. Sau ¥y chóng ta s³ nâi ¸n mèi quan h» giúa t½ch ph¥n ph¥n thù v  10 o n Thà H  Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc ¤o h m ph¥n thù: Bê · 1.3. Cho α ≥ 0. Khi â, vîi måi x ∈ L1[a, b], chóng ta câ Daα+ Iaα+ x(t) = x(t) vîi h¦u h¸t t ∈ [a, b]. Chùng minh. Tr÷íng hñp α = 0 th¼ Daα+ v  Iaα+ ·u l  c¡c to¡n tû çng nh§t. Cho α > 0. Chån m = dαe. B¬ng ành ngh¾a cõa Daα+ v  t½nh ch§t núa nhâm cõa t½ch ph¥n ph¥n thù ta câ: Iaα+ x(t) = Dm Iam+ x(t) = x(t). Daα+ Iaα+ x(t) = Dm Iam−α + Lóc n y ta câ i·u c¦n chùng minh. Tuy nhi¶n, ¤o h m ph¥n thù nâi chung khæng l  to¡n tû nghàch £o ph£i cõa t½ch ph¥n ph¥n thù. i·u n y ÷ñc ch¿ rã trong bê · d÷îi ¥y. Nh÷ng tr÷îc h¸t, chóng ta c¦n giîi thi»u kh¡i ni»m sau: vîi mët sè nguy¶n d÷ìng m cho tr÷îc, k½ hi»u AC m [a, b] l  lîp c¡c h m thüc ho°c phùc, li¶n töc tuy»t èi c§p m tr¶n o¤n [a, b], tùc l  c¡c h m kh£ vi li¶n töc tîi c§p m − 1 v  ¤o h m c§p m − 1 li¶n töc tuy»t èi tr¶n [a, b]. Giúa c¡c ¤o h m ph¥n thù RiemannLiouville v  Caputo câ quan h» sau. Bê · 1.4. Cho α > 0 v  °t m = dαe. Vîi b§t k¼ x ∈ AC m[a, b], 11 o n Thà H  Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc chóng ta câ C Daα+ x(t) = Dαα+ x(t) − m−1 X j=0 j ! (t − α) (j) x (α) j! vîi h¦u h¸t t ∈ [a, b]. Chùng minh. Xem [7, Theorem 3.1, p. 50]. T÷ìng tü nh÷ vªy èi vîi ¤o h m ph¥n thù RiemannLiouville, chóng ta công câ nhúng t½nh ch§t sau èi vîi ¤o h m ph¥n thù Caputo. Bê · 1.5. (i) Cho α ≥ 0 v  x ∈ C([a, b]; X) ð ¥y X = R ho°c X = C. Khi â, C Daα+ Iaα+ x(t) = x(t) vîi måi t ∈ [a, b]. (ii)Cho α > 0, m = dαe v  gi£ thi¸t r¬ng x ∈ AC m [a, b].Khi â, Iaα+ C Daα+ x(t) = x(t) − m−1 X j=0 (t − α)j (j) x (α) j! vîi måi t ∈ [a, b], ð ¥y x(j) (α) l  ¤o h m c§p j cõa h m x t¤i α. º k¸t thóc möc n y, chóng tæi giîi thi¶u mët sè t½nh ch§t cõa ¤o h m RiemannLiouville. T½nh ch§t 1.2.1. Cho α ∈ (0, 1). N¸u x(·) ∈ I0α (L∞([0, T ], Rk )), th¼: (B.1) Gi¡ trà (D0α )x(t) ÷ñc x¡c ành vîi måi t ∈ [0, T ] v  + + (D0α+ x)(·) ∈ L∞ ([0, T ], Rk ). 12 o n Thà H  Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc (B.2) ¯ng thùc (I0α (D0α x))(t) = x(t) ÷ñc x¡c ành vîi måi t ∈ + + [0, T ]. (B.3) Cho ϕ(·) ∈ L∞([0, T ], Rk ) v  x(t) = (I0α ϕ)(t), t ∈ [0, T ] th¼ + ϕ(t) = (D0α+ x)(t) vîi måi t ∈ [0, T ]. (B.4) Gi¡ trà (D0α x)(t) ÷ñc x¡c ành vîi måi t ∈ [0, T ] v  + 1 (D0α+ x)(t) = Γ(1 − α) ð ¥y ẋ(t) = dx(t) dt , t t Z 0 ẋ(τ ) dτ, (t − τ )α t ∈ [0, T ], (1.1) ∈ [0, T ]. (B.5) Bao h m thùc sau óng: x(·) ∈ I0α (L∞([0, T ], Rk )) v  (D0α x) ∈ + + ∞ k I01−α + (L ([0, T ], R )). Nâi ri¶ng (D0α+ x)(0) = 0. (B.1) v  (B.2) ÷ñc chùng minh trong [7, Theorem].T½nh ch§t (B.3) cho ph²p tø (B.4) thu ÷ñc tø [23, Lemma 2.1, 2.2]. T½nh ch§t (B.5) l  h» qu£ cõa (B.4). Chùng minh. T½nh ch§t 1.3 Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ph¥n thù. Cho α ∈ (0, 1) v  T > 0 , ta xem x²t b i to¡n Cauchy mð ¦u ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ph¥n thù vîi ¤o h m Caputo c§p α (C Dα x)(t) = f (t, (x(t)), t ∈ [0, T ], x ∈ Rn (1.2) vîi i·u ki»n ban ¦u: x(0) = x0 , 13 x0 ∈ Rn . (1.3) o n Thà H  Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Cho h m f : [0, T ] × Rn → Rn thäa m¢n i·u ki»n: (f.1) ∀x ∈ Rn , h m f (· , x) o ÷ñc tr¶n o¤n [0, T ]. (f.2) ∀n ≥ 0 tçn t¤i λf > 0 sao cho: kf (t, x) − f (t, y)k ≤ λf kx − yk vîi t ∈ [0, T ], x, y ∈ B(r). (f.3) Tçn t¤i Cf > 0 sao cho: kf (t, x)k ≤ (1 + kxk)Cf vîi t ∈ [0, T ], x ∈ Rn . ành ngh¾a 1.1. H m sè x : [0, T ] → Rn ÷ñc gåi l  nghi»m cõa (1.2), (1.3) n¸u x(· ) ∈ {xo } + I0α+ (L∞ ([0, T ], Rn )) v  ph÷ìng tr¼nh (1.2) óng vîi h¦u h¸t t ∈ [0, T ]. Ð ¥y x(· ) ∈ {x0 }+I0α+ (L∞ ([0, T ], Rn )) ngh¾a l  h m y(· ) ∈ I0α+ (L∞ ([0, T ], Rn )) sao cho x(t) = x0 + y(t), t ∈ [0, T ]. L÷u þ r¬ng tø (A1 ) ta câ y(0) = 0, v  do â x(0) = x0 cho h m x(· ) ∈ {x0 } + I0α+ (L∞ ([0, T ], Rn )), i·u ki»n (1.3) hiºn nhi¶n thäa m¢n. ành lþ 1.1. Cho b§t k¼ gi¡ trà ban ¦u xo ∈ Rn, tçn t¤i nghi»m duy nh§t cõa b i to¡n Cauchy (1.2), (1.3). Chùng minh. Ta câ h m sè x : [0, T ] → Rn l  nghi»m cu£ b i to¡n Cauchy (1.2), (1.3) n¸u v  ch¿ n¸u x(· ) ∈ C([0, T ], Rn ) v  thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh: 1 x(t) = xo + Γ(α) t Z 0 f (τ, x(τ )) dτ, vîi t ∈ [0, T ]. (t − τ )1−α 14 (1.4) o n Thà H  Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc K¸t qu£ â õ º chùng minh tçn t¤i v  duy nh§t cõa mët nghi»m li¶n töc cõa ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n (1.4). Cho ¡nh x¤ f : C([0, T ], Rn → C([0, T ], Rn ) ÷ñc x¡c ành bði : 1 (F x)(t) = xo + Γ(α) t Z 0 f (τ, x(τ )) dτ (t − τ )1−α vîi t ∈ [0, T ], x(· ) ∈ C([0, T ], Rn ). Chó þ ∀x(· ) ∈ C([0, T ], Rn ) do (f.1), (f.2), (f.3) h m ϕ(t) = f (t, x(t)) thäa m¢n ϕ(· ) ∈ L∞ ([0, T ], Rn ). V¼ th¸ , tø (A.1) v  (A.2) gi¡ trà (F x)(t) ÷ñc x¡c ành vîi måi t ∈ [0, T ] v  (F x)(· ) ∈ C([0, T ], Rn ). V¼ vªy c¡ch x¡c ành cõa F l  óng . Tø h m x(· ) ∈ C([0, T ], Rn ) thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n (1.4) n¸u v  ch¿ n¸u nâ l  iºm cè ành. ¦u ti¶n do (f.2) ta ch¿ ra h m F li¶n töc, thù hai sü ch°t ch³ cõa f tø (f.3) v  (A.3). Cuèi còng bði (f.3) v  Bê · 1.2, tçn t¤i r > 0 sao cho ∀x(· ) ∈ C([0, T ], Rn ) thäa m¢n kx(· )k∞ ≤ r l  hñp l». Do â: Theo lþ thuy¸t Leray-Shouher, ¡nh x¤ F câ mët iºm cè ành. T½nh duy nh§t câ thº ch¿ ra bði ti¶u chu©n èi sè düa v o (f2 ) v  bê · (1.1). Mët v i t½nh ch§t cõa nghi»m cõa b i to¡n Cauchy (1.2), (1.3). T½nh ch§t 1.3.1. Cho b§t k¼ Ro > 0, ∃R > 0 v  H > 0 sao cho tø gi¡ trà ban ¦u xo ∈ B(Ro ),nghi»m x(t) cõa b i to¡n Cauchy thäa m¢n b§t ph÷ìng tr¼nh sau: kx(t)k ≤ R, kx(t) − x(τ )k ≤ H|t − τ |α , Chùng minh. Cho R0 > 0 v  H∞ l  h¬ng sè tø 15 t, τ ∈ [0, T ]. (A.2). Cho chóng ta