Tài liệu Hai bộ tuyển tập phương trình và hệ phương trình đặc sắc có đáp án

DIỄN ĐÀN TOÁN THPT w. k2 pi. ne t www.k2pi.net ww PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ ÔN THI ĐẠI HỌC 2014 Hà Nội, tháng 1 năm 2014 Lời nói đầu 1 Tuyển tập các bài toán pi. ne t Mục lục 3 4 Từ câu 1 đến câu 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Từ câu 21 đến câu 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Từ câu 41 đến câu 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.4 Từ câu 61 đến câu 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.5 Từ câu 81 đến câu 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1.6 Từ câu 101 đến câu 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1.7 Từ câu 121 đến câu 140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 1.8 Từ câu 141 đến câu 160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 1.9 Từ câu 161 đến câu 180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 1.10 Từ câu 181 đến câu 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 w. k2 1.1 ww 1.11 Từ câu 201 đến câu 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 1.12 Từ câu 221 đến câu 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 1.13 Từ câu 241 đến câu 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 1.14 Từ câu 261 đến câu 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 2 Bài tập tự luyện www.k2pi.net 144 Trang 2 pi. ne t Lời nói đầu Phương trình vô tỷ là dạng toán thường xuất hiện trong đề thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng. Dù nhiều khi nó không trực tiếp xuất hiện mà ẩn đằng sau những hệ phương trình, bất phương trình. Đây là câu phân loại học sinh rất tốt. Ta cũng biết rằng với sự sáng tạo không ngừng của những người học toán. Phương trình vô tỷ xuất hiện rất nhiều trên các diễn đàn, trên Google với những hình thức, ý tưởng mới mẻ và đặc sắc Topic Phương trình vô tỷ ôn thi Đại học 2014 do anh Phạm Kim Chung lập ra nhằm là nơi trao đổi, w. k2 thảo luận các bài toán phương trình vô tỷ phục vụ cho việc ôn thi Đại học. Nó đã rất thành công khi rất nhiều bài toán đặc sắc được đưa ra thảo luận. Xin cảm ơn các thành viên đã tham gia thảo luận, đã đưa ra những bài toán đặc sắc cùng những lời giải ấn tượng Bản tổng hợp chia làm 2 phần chính, phần 1 là tuyển tập các bài toán cùng những lời giải, phần 2 là những bài tập rèn luyện cho bạn đọc. Bố cục của bản tuyển tập được trình bày rất công phu và khiến chúng ta cảm tưởng như đọc một cuốn sách vậy. Bạn đọc hoàn toàn có thể kích vào đường dẫn trong Mục lục để nhảy đến nơi cần xem. Quá thuận lợi phải không ? Tuyển tập được hoàn thành và ra mắt vào những này cuối tháng 1 năm 2014, tức là những ngày cuối của năm Quý Tỵ. Năm mới, năm Giáp Ngọ đang đến rất gần. Xin mạn phép thay mặt BQT diễn đàn k2pi, chúc anh chị em trên diễn đàn cùng bạn đọc một năm mới an khang thịnh vượng, vạn sự như ý, cùng đón một cái Tết ww thật ấm áp bên gia đình. Người tổng hợp Nguyễn Minh Tuấn (Popeye) Sinh viên K62CLC Khoa Toán Tin - Đại Học Sư Phạm Hà Nội www.k2pi.net Trang 3 pi. ne t Chương 1 Tuyển tập các bài toán 1.1 Từ câu 1 đến câu 20 ♥ Bài 1 ♥ Giải phương trình sau : Lời giải 3x − 1 =0 3 − 2x2 + 2 − x w. k2 2x − 3 + √ r 3 3 ≤x≤ . Điều kiện − 2 2 Có dạng phân thức thử nghĩ đến nhân liên hợp xem sao? r Phương trình được viết lại dưới dạng √  √ (3x − 1) 3 − 2x2 − 2 + x 3 − 2x2 + x − 2 2x − 3 + = 0 ⇔ 2x − 3 + =0 −3x2 + 4x − 1 1−x p p ⇔ 3 − 2x2 − 2x2 + 6x − 5 = 0 ⇔ 3 − 2x2 = 2x2 − 6x + 5 ww Nhẩm được nghiệm x0 = 1 nên ta cứ bình phương phương trình một cách bình thường    2x2 − 6x + 5 ≥ 0  2x2 − 6x + 5 ≥ 0 ⇔ ⇔ ⇔x=1
 4x4 − 24x3 + 58x2 − 60x + 22 = 0  (x − 1)2 4x2 − 16x + 22 = 0 Đối chiếu thấy nghiệm thỏa mãn. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. Lời  giải  3 − 2x2 ≥ 0 Đk: p  3 − 2x2 6= 2 − x r ⇔− 3 ≤x≤ 2 r  3 2 Nhận thấy + Nếu biến đổi tương đương ( quy đồng mẫu rồi bình phương ta sẽ thu được phương trình bậc cao, và khá dài. www.k2pi.net Trang 4 5 1.1 Từ câu 1 đến câu 20 Vậy ta hãy nghĩ đến cách khác) phương án này cũng không đặt nhiều hy vọng. pi. ne t + Nếu đạt ẩn phụ, trong phương trình không có các nhóm số hạng giống hoặc biểu diễn qua nhau dẽ dàng vậy + Do chứa mẫu có căn và nhìn khá phức tạp, ta thử nghĩ đến việc nhân liên hợp để làm đơn giản cái mẫu, cụ thể như sau (và thấy mọi chuyễn dường dễ thở ) " r như r # p 3 3 Do 3 − 2x2 > x − 2 với mọi x ∈ − nên ta có: ; 2 2 √  (3x − 1) 3 − 2x2 − 2 + x pt ⇔ 3 − 2x = 3 −√ 2x2 − x2 + 4x − 4 3 − 2x2 − 2 + x (3x − 1) ⇔ 3 − 2x = (3x − 1) (1 − x) p 2 ⇔ 2x − 6x + 5 = 3 − 2x2 Đến đây hơi bí, đầu tiên ta thử bình phương xem sao. ( Nếu không được có thể nghĩ đến việc đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại II, phân tích các vế thành một bình phương....) w. k2 Bình  phương ta được:   2x2 − 6x + 5 ≥ 0  2x2 − 6x + 5 ≥ 0 ⇔ ⇔ ⇔x=1
 4x4 − 24x3 + 58x2 − 60x + 22 = 0  (x − 1)2 4x2 − 16x + 22x = 0 Kết hợp điều kiện bài toán ta có x = 1 là nghiệm của phương trình.  ♥ Bài 2 ♥ Giải phương trình sau : √ (2x − 5) 2x + 3 = Lời giải  2 x+1 3 r 2 x−1 3 5 Đk căn có nghĩa và 2 vế cùng dấu là x ≥ . 2 s  
1 2 1 Khi đó : P t ⇔ 2x − 5 = (2x + 3) x − 1 ⇔ (2x − 5)2 = 4x2 − 9 3 3 27 ww ⇔ 104x2 − 540x + 684 = 0 ⇔ x = 3(n)V x = 57 (l). 26 Vậy Pt có 1 nghiệm x = 3.  ♥ Bài 3 ♥ Giải phương trình sau : 17x + 1 √ = 2x − 3 3 − 2x2 + 2 − x Lời giải www.k2pi.net Trang 5 6 Chương 1. Tuyển tập các bài toán Hình thức giống bài 1 nhưng ta lại không nhân liên hợp được nên cứ quy đồng xem sao? Viết lại phương trình dưới dạng Đặt u = p 3 − 2x2 pi. ne t 2x2 + 10x + 7 = (2x − 3) p 3 − 2x2 ⇒ 2x2 = 3 − u2 và phương trình trở thành 3 − u2 + 10x + 7 = (2x − 3) u ⇔ u2 + (2x − 3) u − 10x − 10 = 0 Coi đây là phương trình bậc hai với ẩn là u và tham số là x ta được ∆u = (2x − 3)2 + 4 (10x + 10) = 4x2 − 28x + 49 = (2x − 7)2 3 − 2x + 2x − 7 = −2  u= 2 Suy ra  . Do u ≥ 0 nên chỉ nhận nghiệm 3 − 2x − 2x + 7 u= = 5 − 2x 2   x≤ 5 p 2 2 u = 5 − 2x ⇔ 3 − 2x = 5 − 2x ⇔  3 − 2x2 = 4x2 − 20x + 25   w. k2 (vô nghiệm). Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. ♥ Bài 4 ♥ Giải phương trình sau : 8x2 + 3x + 4x2 + x − 2
√ x+4=4 Lời giải √
2
√ Pt ⇔ x + 4 + 4x2 + x − 2 x + 4 + 8x2 + 2x − 8 = 0,(1)
2 ∆√x+4 = 4x2 + x − 6  √ x+4+2=0 (V N )  (1) ⇔   √ x + 4 + 4x2 + x − 4 = 0 √
2 √ ⇔ x + 4 − x + 4 − 4x2 − 2x = 0, (2) ww ∆√x+4 = (4x + 1)2  √ x + 4 = −2x   (2) ⇔  √ x + 4 = 2x + 1  1− √ 65  x= 8  ⇔ ... ⇔   √  −3 + 57 x= 8  Lời giải ĐK: x ≥ −4 √ √ Phương trình viết thành: 2(4x2 + x − 2) + x + (4x2 + x − 2) x + 4 = 0 ⇔ (4x2 + x − 2)(2 + x + 4) + x = 0 (1) Nếu x = 0 ta thấy không thỏa mãn pt=> x = 0 không là nghiệm www.k2pi.net Trang 6 7 1.1 Từ câu 1 đến câu 20 ♥ Bài 5 ♥ Giải phương trình sau : pi. ne t √ x(4x2 + x − 2) √ + x = 0 ⇔ (4x2 + x − 2) = 2 − 4 + x ⇔ Xét x 6= 0 phương trình (1) tương đương với: − 2− x+4 √ √ ( x + 4)2 − x + 4 − 4x2 − 2x = 0(2) √ 2 2 Đặt t = x + 4 ≥ 0 thì (2) thành:  t − t − 4x − 2x = 0 ⇔ (t + 2x)(t + 2x − 1) = 0 √  2x ≥ 0 √ 1 + 65 Với t = 2x ⇒ x + 4 = 2x ⇔ ⇔x=  8 4x2 − x − 4 = 0  √  1 − 2x ≥ 0 √ 5 − 73 Với t = 1 − 2x ⇒ x + 4 = 1 − 2x ⇔ ⇒x= (TMĐK)   8 4x2 − 5x − 3 = 0 √ √ x−3 1 √ =√ 2x − 1 − 1 x+3− x−3 Lời giải ĐK: x ≥ 3 Phương trình đã cho tương đương với: p p √ √ x2 − 9 − (x − 3) = 2x − 1 − 1 ⇔ x2 − 9 − 2x − 1 − (x − 4) = 0 (1) w. k2 Nhận xét: Nhận thấy pt có nghiệm là x = 5 và x = 4 ta nghĩ đến cách tạo ra nhân tử chung là (x − 4)(x − 5) tuy nhiên muốn tạo ra nhân tử này thì thêm bớt nó rất lẻ. Do vậy ta làm như sau: x2 − 2x − 8 x+2 (1) ⇔ √ − (x − 4) = 0 ⇔ (x − 4)( √ − 1) = 0 √ √ 2 2 x − 9 + 2x − 1 x − 9 + 2x − 1 TH1: x = 4 thỏa mãn đk bài toán=>x = 4 là một nghiệm của pt p √ TH2: Quy đồng ta được: x2 − 9 + 2x − 1 = x + 2(2) p Đêm (1) cộng (2) ta được: x2 − 9 = x − 1 ⇔ x2 − 9 = x2 − 2x − 1 ⇔ x = 5 (TMĐK) Vậy pt có 2 nghiệm là x = 4; x = 5  ♥ Bài 6 ♥ Giải phương trình sau : ww 6x3 + 15x2 + x + 1 = 3x2 + 9x + 1
p x2 − x + 1 Lời giải Đặt u = p x2 − x + 1 khi đó phương trình trở thành
u2 − 3x2 + 9x + 1 u + 6x3 + 14x2 + 2x = 0 Coi đây là phương trình bậc hai với ẩn là u và tham số là x ta được ∆u = 3x2 + 9x + 1
2

2 − 4 6x3 + 14x2 + 2x = 3x2 + 5x + 1 3x2 + 9x + 1 + 3x2 + 5x + 1 u = = 3x2 + 7x + 1  2 Suy ra  . 3x2 + 9x + 1 − 3x2 − 5x − 1 u= = 2x 2  www.k2pi.net Trang 7 Chương 1. Tuyển tập các bài toán  √  x≥0 p −1 + 13 2 Với u = 2x ⇔ x − x + 1 = 2x ⇔ ⇔x= .  x2 − x + 1 = 4x2 6   3x2 + 7x + 1 ≥ 0 p . Với u = 3x2 + 7x + 1 ⇔ x2 − x + 1 = 3x2 + 7x + 1 ⇔
 3x 3x3 + 14x2 + 18x + 5 = 0     3x2 + 7x + 1 ≥ 0 x=0   √ .  ⇔ ⇔
5 3 + 5 2  3x + 9x + 3 = 0  3x x + x = − 3 2 ( √ √ ) 1 + 13 3+ 5 .  Vậy phương trình có ba nghiệm là x ∈ − ; 0; − 6 2 ♥ Bài 7 ♥ Giải phương trình sau : √ √ (x − 3) 1 + x + x 4 − x = 2x − 3 Lời giải ĐK: −1 ≤ x ≤ 4 w. k2 PT đã cho tương đương với: √ √ (x − 3)( 1 + x − 1) + x( 4 − x − 1) = 0 (x − 3)x x(x − 3) ⇔√ −√ =0 1+x+1 4−x+1 x(x − 3) = 0(1) ⇔√ √ 1 + x + 1 = 4 − x + 1(2) Từ (1) ta có x = 0 hoặc x = 3 3 Từ (2) ta có x = 2 Lời giải pi. ne t 8  ww Đk −1 ≤ x ≤ 4 √ Đặt u = x + 1 ⇒ u2 = 1 + x √ v=  4 − x ⇒ v2 = 4 − x  u2 + v 2 = 5 (1) có hệ 3 3 2 u − v − 4u + 4v = 2u − 5 (2)
từ(2) (u − v) u2 + uv + v 2 − 4 (u − v) = (u − v) (u + v) ⇐⇒ u = v ∨ u2 + uv + v 2 − 4 − u − v = 0(∗) lại có (u + v)2 = 5 + 2uv phương trình (*) thành (u + v)2 − 2 (u + v) − 3 = 0 ⇐⇒ u + v = 3 3 khi u=v ⇐⇒ x = nhận 2 khi u = 3 − v thế (1) ta có v = 1 ∨ v = 2 ⇐⇒ x = 3 ∨ x = 0 3 vậy có 3 nghiệm x = 0, x = 3, x = 2 www.k2pi.net  Trang 8 9 1.1 Từ câu 1 đến câu 20 ♥ Bài 8 ♥ Giải phương trình sau : p p x2 − 2x + 4 = (x − 1) x2 + 4x + 7 Lời giải pi. ne t (x + 2) Phương trình đã cho tương đương với    (x + 2) (x − 1) ≥ 0  (x + 2) (x − 1) ≥ 0 ⇔ ⇔

 3(x + 2)2 = 3(x − 1)2  (x + 2)2 x2 − 2x + 4 = (x − 1)2 x2 + 4x + 7 Hệ phương trình cuối vô nghiệm. Vậy phương trình vô nghiệm. Lời giải  Thấy căn thử đặt xem sao, không ngờ nó ngon thật thầy ơi Đặt p p x2 − 2x + 4 = a; x2 + 4x + 7 = b (a; b > 0) Ta có: b2 − a2 + 9 6 b2 − a2 − 9 •x − 1 = 6 w. k2 •x + 2 = Khi đó phương trình đã cho trở thành:    2  b2 − a2 + 9 b − a2 − 9 a= b 6 6

⇔ b2 − a2 + 9 a = b2 − a2 − 9 b ⇔ (a + b) (a − 3 − b) (a + 3 − b) = 0 ww p p •a − 3 = b ⇔ x2 − 2x + 4 = x2 + 4x + 7 + 3 p ⇒ x2 + 4x + 7 = −x − 2    x≤2  x≤2 ⇒ ⇔  x2 + 4x + 7 = x2 − 4x + 4  7 = 4(V L) p p •a + 3 = b ⇔ x2 − 2x + 4 + 3 = x2 + 4x + 7   x≥1 p ⇒ x2 − 2x + 4 = x − 1 ⇒  4 = 1(V L) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm ♥ Bài 9 ♥ Giải phương trình sau : www.k2pi.net  √ (2 2x − 1 + x + 1)2 − 9x2 + 15 = 22x Trang 9 10 Chương 1. Tuyển tập các bài toán Lời giải pi. ne t 1 Điều kiện x ≥ . 2 Cứ rút gọn phương trình xem ta được gì? 2x2 + 3x − 3 = (x + 1) √ 2x − 1 Nhẩm được nghiệm x = 1 nên bình phươnghai vế ta được   2x2 + 3x − 3 ≥ 0  2x2 + 3x − 3 ≥ 0 ⇔ ⇔x=1

 2x2 + 3x − 3 2 = (x + 1)2 (2x − 1)  (x − 1) 2x3 + 7x2 + 4x − 5 = 0 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. P/s: Phương trình bậc ba chứng minh vô nghiệm trong điều kiện đó, hơi tắt chút các bạn hoàn thiện giúp mình Lời giải Điều kiện: x≥ Phương trình đã cho tương đương: 1 2 Đặt căn tiếp nào! Đặt Ta có: w. k2 √
2 2 2x − 1 + x + 1 = (x + 3) (9x − 5) √ 2x − 1 = a (a ≥ 0) a2 + 3 2 a2 + 7 •x + 3 = 2 9a2 − 1 •9x − 5 = 2 •x + 1 = Khi đó phương trình đã cho trở thành: ww  2  2  2  a2 + 3 a +7 9a − 1 2a + = 2 2 2


2 2 2 2 ⇔ a + 4a + 3 = a + 7 9a − 1 
a=1 ⇔ −8 (a − 1) a3 + 5a + 2 = 0 ⇔  a3 + 5a + 2 = 0 √ •a = 1 ⇔ 2x − 1 = 1 ⇒ 2x − 1 = 1 ⇒ x = 1 •a3 + 5a + 2 = 0 Dễ thấy a > 0 nên a3 + 5a + 2 > 0 Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất x = 1 www.k2pi.net  Trang 10 11 1.1 Từ câu 1 đến câu 20 √ x3 + 22x2 − 11x − (6x2 + 12x − 6) 2x − 1 = 0 Lời giải Điều kiện: pi. ne t ♥ Bài 10 ♥ Giải phương trình sau : x≥ Phương trình đã cho được viết lại thành: 1 2 √ x3 + 22x2 − 11x = (6x2 + 12x − 6) 2x − 1 Bình phương 2 vế lên xem sao Khi đó, ta được:

(x − 1)2 x2 − 18x + 9 x2 − 8x + 4 = 0   x=1 x=1   √ 2  x=9±6 2 ⇔ ⇔ x − 18x + 9 = 0   √ x2 − 8x + 4 = 0 x=4±2 3 Lời giải w. k2 Đối chiếu với điều kiện Vậy phương trình đã cho có nghiệm:  x=1  √  x=9±6 2  √ x=4±2 3  ww 1 Điều kiện x ≥ . 2 Nhận thấy x0 = 1 là nghiệm của phương trình nên thực hiện nhân liên hợp ta được
√
x3 + 16x2 − 23x + 6 − 6 x2 + 2x − 1 2x − 1 − 1 = 0.

x−1 ⇔ (x − 1) x2 + 17x − 6 − 6 x2 + 2x − 1 . √ = 0. 2x − 1 + 1  x=1
 ⇔ . 6 x2 + 2x − 1 2 x + 17 − 6 − √ = 0(1) 2x − 1 + 1 Ta giải phương trình (1). Quy đồng ta được
√ x2 + 17x − 6 2x − 1 = 11x2 + 7x − 6. Tiếp tục nhân liên hợp ta được
√
x2 + 17x − 6 2x − 1 − 1 = 10x2 − 10x. 
x=1 2 (x − 1) x2 + 17x − 6 √ ⇔ = 10x (x − 1) ⇔  . √

2x − 1 + 1 10x 2x − 1 + 1 = 2 x2 + 17x − 6 (2) Phương trình (2) tương đương với √ √ √
2 5x 2x − 1 = x2 + 12x − 6 ⇔ x2 − 5x. 2x − 1 + 6 2x − 1 = 0. www.k2pi.net Trang 11 12 Chương 1. Tuyển tập các bài toán √ √ √ √

x=4±2 3 x = 2 2x − 1 ⇔ ⇔ x − 2 2x − 1 x − 3 2x − 1 = 0 ⇔  √ . √ x = 3 2x − 1 x=9±6 2  pi. ne t  Đối chiếu thấy tất cả các nghiệm đều thỏa mãn. n √ o √ Vậy phương trình có 5 nghiệm x ∈ 1; 4 ± 2 3; 9 ± 6 2 . ♥ Bài 11 ♥ Giải phương trình sau : √ x+1+ Lời giải  p √ √ 4 x − 1 = x − 1 + x2 − 2x + 3 w. k2 Đk: x ≥ 1 (*) q q p √ 4 pt ⇔ 4 x − 1 + (x − 1) + 2 = (x − 1)2 + (x − 1)2 + 2 (**) √ √ 4 Xét hàm số: f (t) = t + t + 2 ( t ≥ 0 ) 1 1 + √ f0 = √ > 0 với mọi t > 0 4 3 2 t+2 4 t Vậy hàm f liên tục và đơn điệu tăng trên tập số thực t > 0   Ta có (**) ⇔ f (x − 1) = f (x − 1)2 ⇔ x − 1 = (x − 1)2 ⇔ x = 1; x = 2 Kết hợp điều kiện (*) ta có x = 1 và x = 2 là nghiệm của phương trình. ♥ Bài 12 ♥ Giải phương trình sau : Lời giải √ Đặt t = x, t ≥ 0  p √ 3x2 + 33 + 3 x = 2x + 7 p 3t4 + 33 = 2t2 − 3t + 7
2 ⇔ 3t4 + 33 = 2t2 − 3t + 7 ww Ta có P t : ⇔ t4 − 12t3 + 37t2 − 42t + 16 = 0 ⇔ (t − 1)2 (t − 2) (t − 8) = 0 Vậy Pt có 3 nghiệm : x = 1; x = 4; x = 64. ♥ Bài 13 ♥ Giải phương trình sau : www.k2pi.net  √ √ 2 (5x − 3) x + 1 + 5 (x + 1) 3 − x = 3 (5x + 1) Trang 12 13 1.1 Từ câu 1 đến câu 20 Lời giải pi. ne t Điều kiện −1 ≤ x ≤ 3. Thấysự xuất hiện của hai căn thức nên ta đặt ẩn phụ dạng hai ẩn xem sao?  u = √x + 1 , (0 ≤ u, v ≤ 2) thì ta có u2 + v 2 = 4. Đặt √  v = 3−x  2 2    5x − 3 = 3u − 2v Đồng nhất hệ số ta phân tích được . x + 1 = u2    5x + 1 = 4u2 − v 2 Khi đó phương trình đã cho trở thành

2 3u2 − 2v 2 + 5uv 2 = 3 4u2 − v 2 ⇔ 6u2 (2 − u) = v 2 (u + 3) Vậy ta có hệ phương trình    6u2 (2 − u) = v 2 (u + 3)  (2 − u)2 (2 + u)2 = v 4 ⇔  u2 + v 2 = 4  36u4 (2 − u)2 = v 4 (u + 3)2 w. k2     u2 + v 2 = 4   u2 + v 2 = 4   ⇔ ⇔ v=0   36u4 v 4 = v 4 (u + 3)2 (2 + u)2     6u2 = (u + 2) (u + 3)  ⇔ u=2 √ 5 + 145 u= 10 √ Với u = 2 ⇔ √ x + 1 = 2 ⇔ x = 3. √ √ √ 5 + 145 5 + 145 7 + 145 Với u = ⇔ x+1= ⇔x= . 10 10 ( 10 ) √ 7 + 145 . Vậy phương trình có hai nghiệm là x ∈ 3; 10  ♥ Bài 14 ♥ Giải phương trình sau : √ √ 4x2 + (2x − 5) 4x + 2 + 17 = 4x + (2x + 3) 6 − 4x Lời giải ww √ √ 4x2 + (2x − 5) 4x + 2 + 17 = 4x + (2x + 3) 6 − 4x(1) −1 3 ĐK : ≤x≤ . 2 √2 √ (1) ⇔ (2x + 3) 6 − 4x − (2x − 5) 4x + 2 = (2x − 1)2 + 16 √ √ ⇔ (2x + 3) 6 − 4x + (5 − 2x) 4x + 2 = (2x − 1)2 + 16 V T ≥ 16(∗) √ √  2 V P 2 = (2x + 3) 6 − 4x + (5 − 2x) 4x + 2 n √ √ 2  2 o V P 2 ≤ 2. (2x + 3) 6 − 4x + (5 − 2x) 4x + 2 h i
⇔ V P 2 ≤ 2 −96x2 + 96x + 104 = 2 −24(2x − 1)2 + 128 ≤ 2.128 = 256. ⇒ V P ≤ 16(∗∗) www.k2pi.net Trang 13 14 Chương 1. Tuyển tập các bài toán Từ (*) và (**) ⇒ x = 1 2  pi. ne t Lời giải 1 3 Điều kiện : − ≤ x ≤ 2 2 Phương trình đã cho tương đương với phương trình : 16x2 − 16x + 68 = 4 (4x + 2) √ √ 6 − 4x + 4 (5 − 2x) 4x + 2 √
3 6 − 4x + 4x + 2 (1)
2 √ √ t2 − 8 2 Đặt t = 6 − 4x + 4x + 2, t ≥ 0 ⇒ 16x − 16x = 12 − . Lúc đó phương trình (1) trở thành : 4
2 t2 − 8 12 − + 68 = t3 ⇔ t4 + 4t3 − 16t2 − 256 = 0 4 √ √ √ √ ⇔ t = 4 ⇔ 6 − 4x + 4x + 2 = 4 ⇔ 6 − 4x − 2 + 4x + 2 − 2 = 0 2 (1 − 2x) 2 (2x − 1) ⇔√ +√ =0 6 − 4x + 2 4x + 2 + 2  2x − 1 = 0 ⇔ √ √ 6 − 4x = 4x + 2 √ w. k2 ⇔ 16x2 − 16x + 68 = ⇔x= 1 2  ♥ Bài 15 ♥ Giải phương trình sau : p √ √ (7 − 6x) 4 + 3x + (13 + 6x) 1 − 3x = 5 −9x2 − 24x − 11 Lời giải Đầu tiên đặt: u = 2 2 u + v = 5. √ 4 + 3x; v = √ 1 − 3x thì: p u2 v 2 − 4u2 + v 2 ww P T ⇐⇒ (5 + 2v 2 )u + (5 + 2u2 )v = p ⇐⇒ (u + v)3 = 5 − u4 ⇐⇒ (5 + 2uv)3 + u4 = 5. Điều này vô lí. Vậy PT đã cho vô nghiệm ♥ Bài 16 ♥ Giải phương trình sau : www.k2pi.net  √ √ 3x − 7 + (4x − 7) 7 − x = 32 Trang 14 15 1.1 Từ câu 1 đến câu 20 Lời giải 7 ≤x≤7 3 r ! √ 14 Đặt : a = 7 − x 0 ≤ a ≤ 3 Phương trình đã cho trở thành : pi. ne t Điều kiện : p 14 − 3a2 − 4a3 + 21a − 32 = 0 Mà : p √ 14 − 3a2 ≤ 14 r 14 3 • g (a) = −4a + 21a − 32, 0 ≤ a ≤ ; 3 g 0 (a) = −12a2 + 21 √ ! √ 7 = −32 + 7 7 ⇒ −32 = g (0) ≤ g (a) ≤ g 2 √ √ Nên : f (a) + g (a) ≤ −32 + 7 7 + 14 < 0 • 0 ≤ f (a) = w. k2 Hay phương trình đã cho VN. ♥ Bài 17 ♥ Giải phương trình sau : 4x − 1 11 − 2x 15 √ + √ = 2 4x − 3 5−x Lời giải ww 4x − 1 11 − 2x 15 √ + √ = 2 4x − 3 5−x √ √ 2 1 15 ⇔ 4x − 3 + √ +2 5−x+ √ = 2 4x − 3 5−x √ √
2 1 15 ⇔ 4x − 3 + 2 5 − x + √ +√ = 5−x
2 √4x − 3 √ √ √
4x − 3 + 2 5 − x 15 ⇔ 4x − 3 + 2 5 − x + p = .(1) 2 (4x − 3)(5 − x)  √  4x − 3 + 2√5 − x = a ≥ 0 p  (4x − 3)(5 − x) = b ≥ 0 a2 − 17 ⇒ a2 − 4b = 17. ⇒ b = . 4 4a 15 (1) → a + = . −17 + a2 2 3 2 ⇔ 2a − 15a − 26a + 255 = 0 ⇔ (a − 5)(2a2 − 5a + 51) = 0 ⇔ a = 5.  √  19  4x − 3 + 2√5 − x = 5 x=  4 ⇒ ⇔ p  (4x − 3)(5 − x) = 2 x=1 www.k2pi.net Trang 15  16 Chương 1. Tuyển tập các bài toán ♥ Bài 18 ♥ Giải phương trình sau : x+ p pi. ne t  x2 − 3x + 9 = Lời giải p x2 + 2x + 10 + 1 Nhận  p thấy x = 1 không p là nghiệm của phương trình nên đưa về hệ  x2 + 2x + 10 − x2 − 3x + 9 = x − 1 p p .  x2 + 2x + 10 + x2 − 3x + 9 = 5x + 1 x−1 p 5x + 1 −x2 + 7x − (x − 1) = . Suy ra 2 x2 − 3x + 9 = x−1 x−1   (x − 1) −x2 + 7x
≥ 0 p 2 2 ⇔ 2 (x − 1) x − 3x + 9 = −x + 7x ⇔ .
 4(x − 1)2 x2 − 3x + 9 = x2 (7 − x)2   (x − 1) −x2 + 7x
≥ 0 ⇔
⇔ x = 3.  (x − 3) x3 + x2 + 8x − 4 w. k2 ♥ Bài 19 ♥ Giải phương trình sau : √ Lời giải  23 1 1 + x= √ + 3x2 + 11 2 x−1 2x − 3 3 Điều kiện x > . 2 Nhẩm được nghiệm x0 = 2 nên thử nhân liên hợp xem sao? Viết lại phương trình dưới dạng √ 1 1 23 −√ = 3x2 − x + 11 2 x−1 2x − 3 ww   11 x−2
= (x − 2) 3x − √ √ √ ⇔√ 2 x − 1. 2x − 3 x − 1 + 2x − 3   ⇔ x=2 √ 1 11
= 3x − (1) √ √ √ 2 x − 1. 2x − 3 x − 1 + 2x − 3 Phương trình (1) dễ thấy chuyển vế ta được một hàm đơn điệu vậy cái ta cần là tìm được một nghiệm nữa của phương trình và đó chính là x = 2. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. www.k2pi.net  Trang 16 17 1.2 Từ câu 21 đến câu 40 ♥ Bài 20 ♥ Giải phương trình sau : pi. ne t √ 2−x √ = 2x − 3 − 3 x − 1 4 Lời giải √ 2−x √ = 2x − 3 − 3 x − 1 4 3 ŒK : x ≥ . 2 √ x √ x−2 =0 ⇔ 2x − 3 − 1 + − 3 x − 1 + 2 4 2 2x − 4 (x − 2)(x + 2x − 4) x − 2 ⇔√ + + =0 8A 4 2x − 3 + 1 ⇔x=2   x2 + 2x − 4 1 3 1 + + > 0; ∀x ≥ do : √ 8A 4 2 2x − 3 + 1 w. k2 1.2  Từ câu 21 đến câu 40 ♥ Bài 21 ♥ Giải phương trình sau : Lời giải √ 4x2 + 3(x2 − x) x + 1 = 2(x3 + 1) √ 4x2 + 3(x2 − x) x + 1 = 2(x3 + 1) ĐK : x ≥ −1. ww √ ⇔ 4x2 − 2x3 − 2 + 3(x2 − x) x + 1 = 0  √  ⇔ (x − 1) 3x x + 1 − 2x2 + 2x + 2 = 0  x=1 ⇔ √ 3x x + 1 = 2x2 − 2x − 2  x=1 ⇔ 4x4 − 17x3 − 13x2 + 8x + 4 = 0  x=1 ⇔ (x2 − 4x − 4)(4x2 − x − 1) = 0 www.k2pi.net  Trang 17 18 Chương 1. Tuyển tập các bài toán ♥ Bài 22 ♥ Giải phương trình sau : pi. ne t p p p x2 + 4x + 3 + x2 + x = 3x2 + 4x + 1 Lời giải đk x ≤ −3 ∨ x ≥ 0,x = −1 Phương trình thành p p p (x + 1) (x + 3) + x (x + 1) = (x + 1) (3x + 1) xét x = −1 thoả mãn x ≥ 0, phương trình thành √ √ √ x + 3 + x = 3x + 1 √ −8 + 76 ⇐⇒ 3x + 16x − 4 = 0, x ≥ 2 ⇐⇒ x = loại 3 TH: x ≤ −3 2 Lời giải Điều kiện : w. k2 phương trình thành √ √ √ −x − 3 + −x√= −3x − 1 ⇐⇒ 3x2 + 16x − 4 = 0 −8 − 76 ⇐⇒ x = 3   2    x + 4x + 3 ≥ 0 x2 + x ≥ 0    3x2 + 4x + 1 ≥ 0 ww Phương trình đã cho tương đương với : p 2 (x2 + x) (x2 + 4x + 3) = x2 − x − 2 q ⇔ 2 (x + 1)2 (x2 + 3x) = (x + 1) (x − 2)    x2 − x − 2 ≥ 0 x = −1 √  ⇔ ⇔
−8 − 76  (x + 1)2 3x2 + 16x − 4 = 0 x= 3  ♥ Bài 23 ♥ Giải phương trình sau : r x−2 x+2 + √
2 = 1 √ x−1 x+2+ x−2 Lời giải Nhân liên hợp cái mẫu đưa về √ √ √ √ √ 16 x − 2 + (x + 2)( x + 2 − x − 2)2 x − 1 = 16 x − 1 Phá tung tóe ra được √ √ √ √ √ √ √ x. x − 2 x − 1. x + 2 = x − 1(x2 + 2x − 8) + x − 2(8 − 2 x − 1 x + 2) www.k2pi.net Trang 18 19 1.2 Từ câu 21 đến câu 40 pi. ne t Trong đó x2 + 2x − 8 = (x − 2)(x + 4) nên thấy ngay x = 2 là nghiệm, cái còn lại là √ √ √ √ √ √ x. x − 1. x + 2 = x − 1. x − 2.(x + 4) + 8 − 2 x − 1 x + 2 Cáo lỗi do nhìn nhầm nên đoạn cuối nãy mình làm sai,nhưng cái phương trình trên vẫn vô nghiệm, có thể làm tạm thời như sau √ √ √ √ (x + 2) x − 1 x + 2 = 8 + (x + 4) x − 1 x − 2 bình phương 2 vế thu gọn được √ √ (x − 2)(3x + 13) = 4(x + 4) x − 1 x − 2, lại có nghiệm x = 2 √ √ cái còn lại x − 2(3x + 13) = 4(x + 4) x − 1 vô nghiệm do đk x ≥ 2 Lời giải ⇔t=0 w. k2 ĐK x ≥v2 u u 4 x−2 1 x+2 P T ⇔ t x−2 + q 2 = 1 3 x+2 + 1 x−2 1 + x+2 r x−2 , (t ≥ 0) Đặt t = x+2 PT trở thành 1 2t √ + =1 2 3t + 1 (1 + t)2 2t t2 + 2t ⇔√ = 3t2 + 1 (t + 1)2
2 t2 + 2t 4t2 = ⇔ 2 3t + 1 (t + 1)4
⇔ t3 t3 + 4t2 + 11t + 12 = 0 Vậy PT có nghiệm duy nhất x = 2 Lời giải  Tạm thời chưa nghĩ ra cách khác đành dùng cách trâu bò nhất Điều kiện x ≥ 2. Viết lại phương trình dưới dạng ww r x−2 1 + q x−1 x−2 x+2 +1 2 = 1  r x−2    u= r x − 1 , (0 ≤ u, v < 1) khi đó phương trình trở thành Đặt  x−2   v= x+2 u+ 1 =1 (v + 1)2
2 1 + v2 2 − u2 Mặt khác x = = . Vì vậy ta có hệ phương trình 1 − u2 1 − v2 www.k2pi.net  Trang 19 Chương 1. Tuyển tập các bài toán  1     u=1− 1  1 2    u=1−    (v + 1) = 1  u+   h i2 (v + 1)2 (v + 1)2

2
1
⇔ ⇔ 2 − 1 − (v+1)2 2 1 + v2 2(v + 1)4 − v 2 + 2v 2 1 + v2 2 1 + v2    2 − u2       = h i2 = =   1 − v2 1 − v2 1 − u2 1 − v2 (v + 1)4 − (v 2 + 2v)2  1− 1− 1 2 (v+1)   1  1    u=1−  u=1− 2 (v + 1)
⇔ (v + 1)2 ⇔u=v=0⇔x=2  ⇔ 2 4 + 4v 3 + 8v 2 + 8v + 2 2 1 + v   v 6 5 4 3    v + 5v + 11v + 12v = 0 = 2v 2 + 4v + 1 1 − v2 pi. ne t 20 ♥ Bài 24 ♥ Giải phương trình sau : 5x2 x2 + x + 2 x2 + x + 3 √ +
2 +
2 = 2 √ √ x+1 x2 + x + 2 x2 + x + 3 Lời giải   x2 + √x + 2
2 ≤ x2 + 1
x2 + x + 2
Theo BCS ta có: √


 x2 + x + 3 2 ≤ x2 + 1 x2 + x + 3 w. k2 5x2 2 5x2 2x2 Suy ra vế trái Pt : V T ≥ √ + 2 ≥√ − 2 +2 x+1 x +1h x+1 x +1
i √
√ 2 5x2 − x + 3 + 1 − x + 1 2 2 2 x x 5x + 5 − 2 x + 1 √ √ ⇒VT ≥ +2≥ +2 (x2 + 1) x + 1 (x2 + 1) x + 1 ⇒ V T ≥ 2 = V P. Và : V T = V P = 2 ⇔ x = 0. Vậy Pt có nghiệm duy nhất : x = 0. ♥ Bài 25 ♥ Giải phương trình sau : Lời giải  √ √ (2x − 9) x + 7 + 3x − 2 + 2x + 9 = 0 ww 2 Điều kiệnx ≥ . 3 Nhẩm được nghiệm x0 = 2 nên thử liên hợp xem sao? Phương trình được viết lại dưới dạng √

x+7−3 + 3x − 2 − 2 + 8 (x − 2) = 0   2x − 9 3 ⇔ (x − 2) √ +√ +8 =0 x+7+3 3x − 2 + 2 2x − 9 3 2 +√ + 8 > 0, ∀x ≥ nên phương trình tương đương với x = 2. Mặt khác √ 3 x+7+3 3x − 2 + 2 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. (2x − 9) www.k2pi.net √  Trang 20