Tài liệu Giáo trình giải tích 2

TS. VŨ GIA TÊ (Chủ biên) GIÁO TRÌNH Giải tích ĩ NHÀ XUẤT BẢN THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG MỤC LỤC Lời nói đ ầ u ...........................................................................................................3 CHƯƠNG 1. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM số NHĨÈU BIÉN SÓ...... 11 1.1. Các khái niệm chung........................................................................11 1.1.1. Không gian n chiều.................................................................... 11 1.1.2. Định nghĩa hàm nhiều biến s ố .................................................14 1.1.3. Miền xác định của hàm nhiều biến s ố ................................... 14 1.1.4. Ý nghĩa hình học của hàm hai biến s ố ................................... 16 1.1.5. Giới hạn của hàm số nhiều biến s ố .........................................19 1.1.6. Sự liên tục của hàm số nhiều biến s ố ...................................... 22 1.2. Đạo hàm và vi phân......................................................................... 24 1.2.1. Đạo hàm riêng.............................................................................24 1.2.2. Vi phân toàn p h ầ n ......................................................................26 1.2.3. Đạo hàm riêng cấp c a o ............................................................. 31 1.2.4. Vi phân cấp cao...........................................................................33 1.2.5. Đạo hàm riêng của hàm số h ợ p ........................................ . 34 1.2.6. Vi phân của hàm h ợ p ................................................................ 37 1.2.7. Đạo hàm của hàm số ẩ n ............................................................ 38 1.2.8. Đạo hàm theo hướng Građiên..................................................44 1.3. Công thức Taylor..............................................................................48 1.4. Cực trị của hàm nhiều b iế n ...........................................................49 1.4.1. Cực t r ị .......................................................................................... 49 1.4.2. Cưc tri có điều kiên.................................................................... 53 1.4.3. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhấi cua hàm số trong miền đónsi.........................................................................60 Tóm tắt nội d u n g .............................................................................................. 63 Bài tập .............................................................................................................. 68 CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN BỘI.....................................................................74 2.1. Tích phân phụ thuộc tham số....................................................... 74 2.1.1. Tích phân-xác định phụ thuộc tham s ố .................................74 2.1.2. Tích phân suy rộnạ phụ thuộc tham s ố .................................80 2.2. Tích phân bội hai (Tích phân k é p ) ............................................ 86 2.2.1. Bài toán mở đ ầ u .........................................................................86 2.2.2. Định nghĩa tích phân k é p ......................................................... 88 2.2.3. Điều kiện kha tíc h ..................................................................... 89 2.2.4. Tính chất của tích phân k é p ...................................................89 2.3. Tính tích phân k é p ..........................................................................90 2.3.1. Công thức tính tích phân kép trong tọa độ Đ ề -c á c.......... 90 2.3.2. Công thức tính tích phân kép trong tọa độ c ự c ................. 99 2.4. Tích phân bội ba (Tích phân 3 l ó p ) ....................................... 106 2.4.1. Bài toán mở đầu: rinh khối lượng vật t h ể .......................106 2.4.2. Định nghĩa tích phân bội b a .................................................. 107 2.5. Tính tích phân bội b a ................................................................... 108 2.5.1. Công thức tính tích phân bội ba trong tọa độ Đ e -c á c .... 108 2.5.2. Công thức tính tích phân bội ba trong tọa độ tr ụ ............ 114 2.5.3. Công ihức tỉnh tích phân bội ba trong tọa độ c ầ u ...........117 2.6. Một vài ứng dụng co học của tích phân b ộ i...........................121 2.6.1. Tính khối lư ợ n g ....................................................................... 121 2.6.2, Xác định trọnẹ t â m ................................................................ 122 2.6.3. Mô men quán tín h ...................................................................123 Tóm tắt nội dimọ, .................................................................................................. 131 Bài tập .............................................................................................................138 CHƯƠNG 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN M Ặ T ...............142 3.1. Tích phân đưÒTig loại m ộ t .......................................................... 142 3.1.1. Định nghĩa tích phân đường loại m ộ t ................................. 142 3.1.2. Công thức tính tích phân đường loại m ộ t......................... 144 3.2. Tích phân đưòng loại h a i.............................................................150 3.2.1. Bài toán mở đầu: Tính công của lực biến đ ổ i....................150 3.2.2. Định nghĩa tích phân đường loại h a i ................................... 151 3.2.3. Công thức tính tích phân đường loại h a i .......................... 153 3.3. Công thức Grin (Green).............................................................156 3.4. Định lý bốn mệnh đề tương đưoTig........................................ 162 3.5. Tích phân mặt loại m ột.............................................................. 170 3.5.1. Định nghĩa tích phân mặt loại m ộ t ....................................170 3.5.2. Công thức tính tích phân mặt loại m ộ t .............................171 3.6. Tích phân mặt loại h a i................................................................. 176 3.6.1. Mặt định hướng........................................................................ 176 3.6.2. Định nghĩa tích phân mặt loại h a i................................. 178 3.6.3. Công thức tính tích phân mặt loại h a i............................. 181 3.7. Công thức S to k es......................................................................... 185 3.8. Công thức Gauss - O strogradski............................................190 Tóm tắt nội d u n g ......................................................................................... 196 B ài tậ p ...............................................................................................................201 CHƯƠNG 4. LÝ T H I YÉT I R IỈÒ N C ...................................................... 207 4.1. Các đặc trưng của truòng vôh ư ó n g .........................................207 4.1.1. Mặt m ứ c ......................................>......................................... 207 4.1.2. Građiên (Gradient).................................................................. 208 4.2. Các đặc trưng của trưòng véc to'.............................................. 209 4.2. ]. Đường d ò n g ...........................................................................209 4.2.2. Thông ỉu’ợri£ của trirờne \'éc t ơ ............................................ 210 4.2.3. Đive (Divergence. độ phân kỷ)............................................. 210 4.2.4. Hoàn l ư u ....................................................................................211 4.2.5. Rôta (Rotation. véc tơ xoáy)..................................................212 4.3. Một số trường đặc biệt................................................................. 213 4.3.1. Trường t h ế ................................................................................213 4.3.2. Trường ố n g .............................................................................. 216 4.3.3. Trường điều hoà.......................................................................219 4.3.4. Toán tử Haminton....................................................................222 4.4. Hệ tọa độ cong trực g ia o .............................................................. 223 4.4.1. Định nghĩa hệ tọa độ cong trực g ia o .................................... 223 4.4.2. Liên hệ giữa tọa độ Đề-các và hệ tọa độ cong trực g ia o ......................................................................224 4.4.3. Các đặc trưng CLÌa tnrờng trong hệ tọa độ cong trực g ia o .......................................................................... 225 Tóm tắt nội d u n g ........................................................................................... 230 Bải tậ p ..............................................................................................................232 CHƯƠNG 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN............................................... 235 5.1, PhưoTig trình vi phân cấp 1.........................................................236 5 . 1. 1. C’ác khái n iệ m c a b a n ...................................................................... 237 5.1.2. Các P T V P cấp iTiột thưcrníí o ặ p ............................................... 239 5.2. Khái quát về phưoìig trình vi phân cấp h a i.......................... 252 5.2.1. Các khái niệm cơ ban............................................................. 252 5.2.2. Các p r v p cấp hai aiain cấp đ ư ợ c ....................................... 253 5.3. P hu on g trình vi phân tuyến tính cấp h a i............................... 256 5.3.1. Tính chai nghiệm cua PTVP tuNốn tính thuần n h ấ t.......258 5.3.2. Tính chấl nghiệm cua PTVP tu\'ến tính khône thuần nhất.................................................................................263 5.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số hằng s ố .............................................................. 267 5.4.1. Các dạna nghiệm cua phương trinh vi phân tuyến tính thuần n h ấ t ............................................................. 267 5.4.2. Phươna pháp tìm nahiệm riêna cua PTVP tuyên tính khônti thuân n h âi.................................................269 5.5. Hệ phưong trình vi phân cấp một............................................ 280 5.5.1. Các khái niệm cơ ban............................................................. 280 5.5.2. Phương pháp tích p h â n .......................................................... 281 5.6. Hệ phưong trình vi phân tuyến tính cấp niột có hệ số hang số ............................................................................. 286 5.6.1. Dịnh nghía.................................................................................286 5.6.2. PhưcTng pháp tìm níihiệm...................................................... 286 Tóm tắt nội d u n g ........................................................................................... 292 Bài tậ p ..............................................................................................................299 • Đáp sổ và gợ i ý ..............................................................................................305 H ướng dẫn tra cứ u........................................................................................ 321 Tài liệu tham k h ả o ........................................................................................326 Chương 1 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐ NHIỀU BIẾN số Phép tính vi phân hàm số nhiều biến sổ là sự mở rộng một cách tự nhiên và cần thiết cùa phép tính vi phân hàm số một biến số. Các bài toán thực tế thường xuất hiện sự phụ thuộc một biến số vào hai biến số hoặc nhiều hơn, chẳng hạn nhiệt độ T cùa một chất lỏng biến đổi theo độ sâu z và thời gian t theo công thức T = e^'z, nhiệt lượng tỏa ra trên dây dẫn phụ thuộc vào điện trở của dây. cường độ của dòng và thời gian dẫn điện theo công thức ợ = 0 ,2 4 /? /“/ , v.v... Vỉ vậy, khảo sát hàm số nhiều biến số vừa mane tinh tống quái vừa mang tính thực tiễn. Đe học tốt chưong này. ngoài việc nắm vững các phép tính đạo hàm của hàm một biến số. rmười học phải có các kiến thức về hình học không gian (xem [ 2 ]). 1.1. CÁC K H Á I NIỆM CHUNG 1.1.1. Không gian n chiều 1. Ta đã biết mỗi điểm trong không gian 3 chiều được đặc trưng hoàn toàn bởi bộ 3 số (x, y, z) được gọi là 3 tọa độ Đe-các: X là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ. Tổng quát như sau: Mỗi bộ có thứ tự n số thực ( X | , X 2 , . . . , X „ ) được gọi là một điểm n chiều. Kí hiệu M (X |,X ,.....nghĩa là điểm n Ctiáo írình Giai lich 2 12______________ chiều M c ó c á c tọa d ộ .Y| . . \ 2 ........- V„ , T ậ p c a c ( ỉ i c n i M ( - V | . V , ........A', , ) dược gọi là không gian ơ c lii (Euclicie) n cliiều va kí hiệu là ÍR 2. Cho MCVị.A,......v„) e ỈR", N( 1'|. r...... ) e IR". Nẹười ta gọi k h o ả n g c á c h g i ữ a M và N . đ ư ợ c kí hiệu b(VÌ d( VI. N ) \ àlinh tho o côníỉ thứ c:í/(A f, N ) - ự( V| - ,V| Ý + ..... + (^v,, - r„ )■’ = V/ 1 Tương tự nhu ir(ìn2 R . ỈR“ . ÍR' la Iihậii dưọc bãt dăno thức lam g i á c t r o n g ÍR". l ức ỉà vói 3 d iê m A, B. C’ bầl k ỷ tr o i m fR" ta có: d ( A . C ) < d { A . B ) + d ( B. C) 3 . C h o M o ( . v[ ’ . : v " ...........x j ; ) G R " v à T ậ p Q p ( M f ) ) ~ 1 A / e ỈR": d { M . M <<; > 0 , ị^) < ::^ị d ư ợ c íiọ i là í - - l â n c ậ n h o ặ c l â n c ậ n b á n k i n h c CLia M(| h o ặ c h ì n h c â u m o ' l â m M(| b á n k í n h 8 (hình l.la ). 4 . C h o E c IR". E)iôm M e £ ' g ọ i là d i ê m i r o i m c u a [•: n ế u cỏ ; Q ,.(/V /)c E. (3 /;> 0 ) Đ i ể m N e IR '\gọ i ỉà đ i ê m h i ê n cu:i 1’ HÒLI b ấ t kv ’ Q , . ( / V / ) d c u c h ứ a những điểm thuộc 1- và đièni khôni4 llíLiộc T ậ p E g ọ i là ni(y IICU ni ọi đi è ni c u a nó d ề u là đ i ế m I r o r m , g ọ i là đóng nếu nó chứa iìiọi dièm bỉèn cua IIÓ. ỉ ập các diênì bicn cua H kí hiệu ÕE. Tập rí o!'viriiz (hao dóne cua 1 ) cUrọ'c kí hiệu là E và có £ = £ U ỡ £ ( h ì n h l. ia). 5. Tập E gọi !à bị chặn hav eiứi nội nếu như 3R > 0 : E c CỈ/^(0). 6. Tập E gọi là lièn thôni4 nếu mồi cặp diêm M |. Mt trong E đều được nối với nhau bời một đườnR cong lièn lục nào đỏ nằm trọn troníĩ Chicơng ỉ. Phép íính vi phân Ììctni sỏ Iilìiéu biên S('i 13 E. Tập liên thôno E gọi là dưn liên ncu nó bị íĩiói hạiì bơi một mặt kín (một dường cong kín trong fR“;một mặl cone kín trongÍR’ ) (hình l.la), Tập liên thông E aọi là đa liên nếu nó bị gii.vi hạn bới từ hai mặt kín trơ ỉên rời nhau từng đôi một (hình 1. ỉ b). 7. M ột tập mỏ' và liên thôns D được gọi là rnicn liên thông D. Tương ứng ta cũng có miền đơn liên, miền đa liên, iniẻn đóng tùy theo tập đơn liên, tập đa liên, tập dóna. b) a) Hình /./ Ví dụ 1.1: Xét tính chấi các tập sau tronu ÍR^ ^-ị(x,v): X- + v ^ < 4 | ổ = {(1,2), (-1 ,0 ), (0.())Ị và R I Giai: A là hình tròn tâm 0 . bán kính bằne 2: dA ---- l í -V. v ) : x ' + v" = 4 Ị là đưò’ng tròn tâm o bán kính hằiig 2; /í = - 4 | là hình tròn kể cả biên. A, [R" là các tập liên Ihôníỉ; B là tập không lÌLMi thông (gồm 3 điểm ròi rạc). Giáo trình Giai í ích 2 14 A, B là các tập giới nội: ỈR' là tập không giới nội (cả mặt phẳng Oxy). A là miền đơn liên; ÍR' là miền không giới nội, 1.1.2. Định nghĩa hàm nhiều biến số Cho D c IR". Ta oọi inh xạ: /': D ^ I R hay là ...... X . , f { M ) = / ’(X|..X'2 .......là một hàm số của n biến sò xác định trên D. D được gọi là miền xác định của hàm số f: A-ị.A',...... -V,, là các biến số độc lập. còn u gọi là biến số phụ thuộc. Với định nehĩa trên, hàm số được cho là một hàm đơn trị. Sau này chúng ta còn gặp các hàm số đa trị.thường được cho dưới dạng ẩn. 1.1.3. Miền xác định của hàm nhiều biến số Người ta quy ước: Nếu cho hàm số u = f(M) mà không nói gì về miền xác định D của nó thì phai hiểu rằng miền xác định D của hàm số là tập hợp các điêm M sai') cho biêu thức f(M) có nghĩa. Miền xác định của hàm số thường là miền liên thông. Sau đây là một số ví dụ về miên xác định cúa hàm số 2 biến Ví d ụ 1.2: Tìm miền xác định của các hàm số, 3 biến số. sô sau và mô tả hình hoc các miền đó: a.I. z = y l - x ^ b . r ln(.v + y) c. ỉ / = __________y ________ 7 9 - . v^ - 2 _2 -z Giải: a. \- Miền xác định là tập các điểm (x ,v )G lR “ sao - yp' > ồ hay x" + \'“ < 1. Đó là hình tròn đóng tâm o bán cho kính Chương Ị. Phép tính vi phán hàm sỏ nhiều hiên sô 15 bàng 1 (hình 1.2a). Hình tròn đóng nàv có thc mô tả bởi hệ bất phương - 1 < .V < 1 trình: - y j \ - x~ < V < n / T - X" Hình ỉ .2 b. Miền xác định là tập các điếm (.V, v ) e ỈR“ thoả mãn: A' + v > 0 hav V > -X . Đó là nửa mặt phăng có biên là đường V - -X (hình 1.2b). Nửa mặt phẳng này được mô tả bởi hệ bất phương trình: -oo < J < +00 -X < V < +CO Giáo trình Giái tích 2 16 c. Miền xác định là tập các điêm < 9. Đó là hình cầu mở tâm (.V. V. z) e R ’ thoả mãn o bán kính bàng 3 (hình 120). Hình cầu mở này mô tả bởi hệ bất phưoTìg trình: -3 < x < 3 - 4 9 -X- 0 C hẳng hạn c ^ o (1.1) có 7 = - — (D+/Í.V +z?v). hàm số xác định trên IR^. B. E llipsoid Ellipsoid là mặt cong, phương trình chính tắc của nó có dạng (hình 1.3): ( 1.2 ) Chương I . Phép tính V! phân hàm sổ nhiều hiến sổ Đây là hàm hai biên cho dưới dạng không tưÒTio; minh (dạng ãn). Hàm số là đa trị (miền xác định cua hàm ấn là hình ellipse). Chăng hạn, coi z là b iến phụ thuộc vào X và y thì miền xác định là ellip se có / các bán truc a và b: <1 b Khi a = b = c = R t a c ó mặt cầu tâm aốc toạ độ và bíin kính là R: 2 2 2 X +_v + z = R H ình 1.3 Hình 1.4 c. P araholoíd elliptic Phương trình chính tắc của paraboloid elliplic có dạng (hình 1.4). (1.3) a b Miền xác định của hàm số trên là trình có dạng: = ứ “z Khi a = b tức là phương (1-3)’ Mặt cong có phương trình (1.3)’ được gọi là paraboloid tròn xoay. Giảo trình Giai tích 2 8 D. M ặt trụ bậc 2 1. Mặt trụ elliptic (hình 1.5) có phương trinh chính tắc: X 2 V 2 (1.4) 2. Mặt trụ hyperbolic (hình 1.6) có phương trình chính tắc: (1.5) 3. Mặt trụ parabolic (hình 1.7) có phương trình chính tẳc: = 2px E. M ặt nón bậc 2 Phương trình chính tắc của mặt nón có dạng (hình 1.8). ( 1. 6 ) Chưoĩig 7. Phép tính vi phàn hàm số nhiều biển so 7 1 X- + =0 (1.7) a 1.1.5. Giói hạn củ a hàm số nhiều biến số Khái niệm 2,iái hạn của hàm số nhiều biến số cũng được đưa về khái niệm giới hạn của hàrn một biến số. ơ đây mộl biến số đóng vai trò là khoáng cách d(M(). M) giũ'a hai điểm M() và M trong không gian ÍR". Để đcm eian trong cách viết chúno la xét trone không gian 2 chiều !R^. 1. Nói rằna dãy điềm M„(Xn- V|i) dần đến điêm Mo(xo, Yo), kí hiệu -> M(I khi t t ^ o c nêu lim = 0. Um = Xo ( 1. 8) lim v„ = Vo Cho hàm z = / ( x , v) xác định ở lân cận Mo(xo, yo) có thể trừ tại 2. Mq. Ta nói rằne hàm / ( M ) có giới hạn là / khi M(x,y) dần đến Mo(xo, yo) n ếu mọi dãy điểm đến M() ta đều có: lim / ( x „ . Người ta thường kí hiệu hav lim y„) thuộc lân cận Mo(xq, yo) dần )=/ . lim f { M ) = / (1.9) f{x,y) =l Chủ ỷ: Sử dụng ngôn ngừ "s, ỏ'" ta có định nghĩa như sau: Hàm số f(M) có giới hạn / khi Ả/ nếu; ( V í > 0 ) (3Ỏ’ > 0 ) : ũ < d { M ( ^ M ) < S ^ \ f { M ) - l \ < s ) (1.10) Chú ý: a. Trong định nghĩa trên, khi M phải hiểu là các tọa độ của M đồng thời dần đến các tọa độ của A/(). Vì vậy người ta còn có tên gọi là giới hạn bội của hàm nhiều biến. Giáo trình Giái tích 2 20 b. Tất cả các khái niệm giới hạn vô hạn, hoặc quá trình M ->co; các tính chất của hàm có siới hạn; các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đều tương tự như hàm số một biến số. 3. Giới hạn lặp: Cho hàm z = f(x,y) xác định ở lân cận M()(X() Yo), có thể trừ tại M(). Ta cố định giá trị V ^ Vo khi đó / ’(.\-.y)là hàm một biến sổ X. Giả sử tồn tại giới hạn đơn lim / (x, v) = ?(.)') Neu tồn tại lim g (> ’) = / thì ta nói rang / là giới hạn lặp của hàm .V^Vo số th eo thứ tự X —> Xq, V > ’o và kí hiệu lim lim /'( x ,> ') = / v ->y„ .v^.vo '■ ( 1 . 11 ) Sau đây ta đưa ra điều kiện đủ cho sự tồn tại giới hạn lặp. Đ ịnh lý 1.1 : Cho hàm z = f(x,y) xác định ở lân cận Mo(X(), yo). có thể trừ tại M q , thỏa mãn các điều kiện: a. Tồn tại giới hạn bội lim (^.>-)->(,v„ / ’(x,>') = / (hữu hạn hoặc vô cùng) b. Tồn tại giới hạn đơn lim / ( x . > ’) = g ( v ) Khi đó tồn lại giứi hạn lặp lim lim / =/ Ví dụ 1.3: Tìm các giới hạn: a. lim " "ĩ' V b. Giải: a. Ta có -0 < V lim c. l i m ...... lim (,v,v)-KO.O) ^^2 ^2 Chuơng I. Phép tính vi phán hàm số nhiều biến sô 21 (V ễ- > 0) (Bớ' = £•: 0< < V ( V< Ổ < ỗ) 2 Vậy X lim b. Cho M (x , v ) -> 0 ( 0 ,0 ) theo đường y = Cx, .U' sô) thì: Cx = c == const (hằng c XV lim Ox^+y- Ỉ + C^ Điều này chứng tỏ dãy giá trị hàm có giới hạn khác nhau phụ thuộc vào c. Vậv hàm không có giới hạn. c. XJ^ -0 < Tương tự a. suy ra V< lim (.v.y)^Ỉ0.0)ự^2^^,: = 0 Ví du 1.4: Tìm các giới hạn lặp ( x . y ) -> (0,0) của các hàm số sau: rí \ ./(x .v )= ^ " X , X. r í \ X - y + X ^ +y ^ b ./(x ,v ) = — + v ^ c . / ( x, v) = x s i n - x + y y Giải: XV 0 a. lim lim / (x,}^) = lim !im —r-— r- = lim =0 y“>o,v-^o V">0.V-^0X H- y V lim lim f ị x , y ) = lim lim vA A ->vA 0 .V '-»0 ^ vfì v’-^vr .v~>0 0 X XV -f y . 0 x -> 0 X ' 22 Giáo trình Giai tích 2 Tuy nhiên không tồn tại giới hạn bội lim , xy -^ (xem ví dụ (.v.V')->(0.0).v + v ,3c) v->0 lim lim f { x , y ) - lim lim ^ xx~>0 -^ 0 v~>0 ^ ^ .Y.Y->0 ->0 v->0 v -> 0 ]' = lim — X + V' ->() -V X Từ định lý 1.1. suy ra không có giới hạn bội. c. lim lim f ( x , y ) = lim lim X sin — = lim 0 = 0 _V->0 >’^0 -v-^0 y v->0 lim lim f ( x , y ) = lim lim X sin — không tồn tại v-^o v->0 Tuy nhiên .r->0 v-^0 có giới hạn y bội bằng 0 vì Asin-— < x —>0 k h i(x ,7 ) - > ( 0,0 ) 1.1.6. Sự liên tục của hàm số nhiều biến số A. Định nghĩa 1. Hàm sổ f(M) xác định trên miền D và M,, e D. 'ĩa nói rằng hàm số f(M) liên tục tại Mq nếu lim / ( M ) = / ( M q ) 2. Hàm số f(M) xác định trên miền D. Nói rằng hàm số liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm M e D . 3. Hàm số f(M) liên tục trên miền đóne D nếu nó liên tục trên miền D và liên tục tại mọi điểm N e õ D theo nghĩa: ịịm f i M ) = f { N ) , M e D .