Tài liệu Giáo trình giải tích 1

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ B ư u CHÍNH VIỄN thông TS. VŨ GIA TÊ (Chủ biên) GIÁO TRÌNH G iả i i í c h 1 NHÀ XUẤT BẢN THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG MỤC LỤC Lời nói đ á u ........................................................................................................3 C H I)O N G 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SÓ .............................................. 11 1.1. Số th ự c.............................................................................................. 12 1.1.1. Các tính chất cơ ban cuatập số thực................................. 12 1.1.2. Tập số thực mơ rộnạ........................................................... 17 1.1.3. Các khoảng số th ự c ............................................................ 17 1.1.4. Giá trị tuyệt đối cua số thực.............................................. 18 1.1.5. Khoảng cách thôna thưOTg trong fR.................................. 18 1.2. Số p h ứ c .............................................................................................19 1.2.1. Định nghĩa và các dạng số phức..........................................19 1.2.2. Các phép toán trên lập c .................................................... 21 1.2.3. Áp dụna, số phức vào livợng g iá c ....................................... 29 1.3. Dãy số t h ự c .................................................................................... 32 1.3.1. Các khái niệm cơ bán vè dãv số thực................................ 32 1.3.2. Tính chất của dãv sổ hội tụ..................................................33 1.3.3. Tính đơn diệu cua dãv s ố ....................................................40 1.3.4. Dãy c o n ..................................................................................46 1.3.5. Nguyên lý Cauchy................................................................48 Tóm tắt nội dung ...................................................................................49 Bài tập chương 1 .................................................................................... 54 CHƯƠNG 2: HÀM s ố MỘT BIẺN s ố ..............................................59 2.1. Các khái niệm CO' bản về hàm s ố ............................................ 59 2.1.1. Các đinh nehĩa cơ bản..........................................................59 2.1.2. Các hàm số thông đụna........................................................64 2.1.3. Hàm số sơ cấp....................................................................... 75 2.2. Giói hạn của hàm s ố ..................................................................... 76 2.2.1. Khái niệm về ciới hạn..........................................................76 2.2.2. Tính chất cua hàm có giới h ạ n ........................................... 77 2.2.3. Các giới hạn đáng n h ớ .........................................................86 2.3. Đại lưọTíg vô cùng bé (VCB) và đại lưọng vô cùng lón (V C L )...................................................................... 89 2.3.1. Đại lượng V C B ..................................................................... 89 2.3.2. Đại ỉượng V C L ..................................................................... 91 2.4. Sự liên tục của hàm s ố .................................................................93 2.4.1. Các khái niệm cơ bán............................................................ 93 2.4.2. Các phép toán đại số cứa hàm số liên tụ c ..........................95 2.4.3. Tính chất cùa hàm số liên tục Irên một đ o ạ n .................... 97 2.4.4. Tính liên tục đ ề u ....................................................................99 Tóm tắt nội d u n g ................................................................................101 Bài tập chương 2 .....................................;......................................... 113 CHƯƠNG 3: PHÉP TÍNH VI PHẢN HÀM MỘT BĨÉN SÓ .... 119 3.1. Đạo hàm của hàm s ố .............................................................. 119 3.1.1. Đạo hàm tại một điềm...................................................... 119 3.1.2. Các phép tính đại số của các hàm số khả vi tại một đ iể m ....................................................................... 125 3.1.3. Đạo hàm trên một khoảng (ánh xạ đạo hàm)................127 3.1.4. Đạo hàm của các hàm số thông d ụ n g ............................129 3.2. Vi phân của hàm s ố .................................................................. 136 3.2.1. Định nghĩa vi phân tại một đ iề m ..................................... 136 3.2.2. Vi phân trên một khoang................................................... 138 3.3. Đạo hàm và vi phân cấp cao.................................................... 139 3.3.1. Đạo hàm cấp c a o ................................................................ 139 3.3.2. Vi phân cấp c a o .................................................................. 142 3.3.3. Lớp của một hàm s ố ...........................................................143 3.4. Các định lý về giá trị trung bình......................................... 149 3.4.1. Định lý Phéc ma (Permat)................................................149 3.4.2. Định lý Rôn (Rolle)..........................................................151 3.4.3. Định lý số gia hữu h ạ n ..................................................... 152 3.4.4. Định lý số gia hữu hạn suv rộng (định lý Cô si (Cauchv)).................................................... 154 3.5. ủ n g dụng các định lý về giá trị trung bình......................... 158 3.5.1. Công thức Taylo (Taylor). công thức Maclôranh (M'claurin)....................................158 3.5.2. Qui tấc Lôpitan (L’Hospital).............................................162 3.6. Sự biến thiên của hàm s ố ..........................................................167 3.6.1. Tính đon điệu của hàm khá v i .......................................... 167 3.6.2. Điều kiện hàm số đạt cực trị.............................................169 3.7. Bài toán tìm giá trị lón nhất, giá trị bé nhất.....................171 3.7.1. Hàm liên tục trên đoạn kín [a,b]....................................... 172 3.7.2. Hàm liên tục trên khoảng mở, khoảng vô h ạ n ................172 3.8. Hàm l ồ i ...........................................................................................173 3.8.1. Khái niệm về hàm lồi, hàm lõm và điểm u ố n ............... 173 3.8.2. Điều kiện hàm lồ i............................................................... 176 3.9. Tiệm cận của đưòng cong........................................................... 179 3.9.1, Khái niệm chung vẽ tiệm c ậ n ............................................. 179 3.9.2. Phân loại và cách tìm tiệm c ậ n ........................................... 180 3.10. Bài toán khảo sát hàm s ố .......................................................... 182 3.10.1. Đườna cong trone tọa độ Đe các..................................... 182 3.10.2. Đườne, cono cho bơi phirưníi trình tham số ...................186 3.10.3. Đường cong trona tọa độ cực............................................191 Tóm tắt nội d u n g ..................................................................................... 198 Bài tập chương J .....................................................................................205 C HUƠNG 4: TÍCH PHÂN XÁC Đ Ị N H ...............................................215 4.1. Khái niệm về tích phân xác đ ịn h ............................................215 4.1.1. Định nahĩa tích phân xác đ ị n h ............................................215 4.1.2. Điều kiện tồn tại.....................................................................218 4.1.3. Lớp các hàm khả t í c h ............................................................221 4.1.4. Các tính chấl cua tích phân xác đ ị n h ................................ 222 4.1.5. Công thức Ncwton - L eibnil/.............................................226 4.2. Hai phương pháp CO' bản tính tích phân xác đ ị n h .......... 233 4.2.1. Phép đôi biến......................................................................... 233 4.2.2. Phép lích phân lừna p h ầ n ................................................... 234 4.3. Phưong pháp tính tích phân bất đ ịn h ................................... 240 4.3.1. Tính chất cơ bản. Bang các nguyên hàm thường d ù n g ..........................................................................240 4.3.2. Mai phương pháp cơ bản tính tích phân bất đ ị n h ........242 4.3.3. Cách tính tích phân hất định của các hàm hữu l i ........245 4.3.4. Tính nguvên hàm các phân thức hữu tỉ đối với một số hàm thông d ụ n g ............................................... 248 4.4. Một sổ ứng dụng cùa tích phânxác đ ịn h ................................254 4.4.1. 'ĩính tliộn tích hình phãniỊ....................................................255 4.4.2. Tính dụ dài đưcrng cone p h á n g .......................................... 258 4.4.3. Tính tliè tích \ ậi t h ê ..............................................................261 4.4.4. Tính diện tích mặt tròn xoa'-’...............................................265 4.5. Tích phàn suy r ộ n g .....................................................................267 4.5.1. Tích phân SLI\' rộns \ ứi cận vôh ạ n ................................. 267 4.5.2. Tích phân su\' rộng \ới hàm dưới dấu tích phân có cực điêm .........................................................277 Tóm tắt nội dĩiiiíĩ....................................................................................285 Bài tập chương -/................................................................................... 298 CH Ư Ơ N G 5: LÝ THIÍYÉT CHƯỎI.................................................... 308 5.1. Chuỗi s ố ......................................................................................... 308 5.1.1. Các khái niệm chung............................................................ 308 5.1.2. Chuỗi số duxrng..................................................................... 313 5.1.3. Chuồi đan d ấ u ....................................................................... 322 5.1.4. Chuồi có số hạna, mang dấubất k ỳ ..................................... 323 5.2. Chuỗi h àn i......................................................................................326 5.2.1. Các khái niệm chuna về chuồi h à m ................................. 326 5.2.2. Sự hội tụ đều của chuỗi h á m ............................................. 328 5.3. Chuỗi lũy thừa..............................................................................336 5.3.1. Các khái niệm chuna về chuồi lũy t h ừ a .......................... 336 5.3.2. Khai triên một số hàm thành chuỗi lũy t h ừ a ..................346 5.4. Chuỗi P ourier...............................................................................357 5.4.1. Các khái niệm chung............................................................357 5.4.2. Điều kiện đủ đề hàm sổ khai iriẻn thành chuồi Pourier..............................................................362 5.4.3. Khíii I.riòn thành chuỗi 1'Ourier cua mội hàm sổ bấl kv........................................................ 367 5.5. Tích phân Poiirier............................................................... 375 5.5.1. 'rích nliàii ỉaiurier như là íỉiới hạn cuu chuỗi 1'oLirier................................................................. 375 5.5.2. Điều kiện đu cua côna thức tích phân P ourier.............376 5.5.3. Các dạnti dặc biệt cua công thức tích phân Pourier.... 376 Tóm tắt nội u u n ^ ................................................................................... 377 Bài tập chư viv, 5 ................................................................................... 387 H ư ớ n g dẫn và đáp án...........................................................................393 H ư ớ ng dẫn í ra cứ u...............................................................................419 Tài liêu íh a m k h d ỡ ...............................................................................423 Chương 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY s ố Trong nhiều vấn đề lý thuyết cũng như thực tế. người ta phải xét những đại lượng mà trong quá trình biến thiên đại lượng đó lấy những giá trị rời rạc rất gần đến một hằng số a nào đấy. Trong quá trình này, ta nhận được dãy số dần đến a hav có giới hạn là a. Thực tế, hầu hết các dãy số có giới hạn là một số a nào đó không bao giờ đạt được giá trị a, điều này trong quá trình tìm giới hạn không cần quan tâm đến. Chẳng hạn, ta xét dãy sổ } trong đó ^ . Quá trình n tăng lên n +1 mãi thì Un tăng dần về số rất gần 1. Nói rằng dãy sổ có giới hạn là 1 khi n tăng lên vô cùng. Ta xét thêm bài toán “lợi nhuận đầu tư” như sau: Giả sử có 10.000 USD đầu tư để thu lãi 8% năm. Sau 1 năm thì vổn trở thành 10.000.(1,08) = 10800 USD. Nếu lãi suất 8% được tính thành 6 tháng với lãisuất 4% thì sau 1 năm vốn trở thành 10.000.(1,04^) = 10816Ơ.SD . Nếu vẫn lãi suất 8% nhưng lãiđược nhập vốn hàng ngày thì tổng í 8 10.000 1+ ---- ----- số vốn sau 1 năm sẽnhiều hom, cụ thể là = 10832,78Ơ50 . Rõ ràng tiền tăng nhanh hơn nếu thời gian lãi nhập vốn ngắn đi. Tổng quát số vốn A đầu tư với lãi suất r% năm và lãi nhập vốn n lần trong năm, sẽ trở thành 1+ 100« ; USD . Đây là một dãy số đáng quan tâm. Giới hạn là một khái niệm khó trong toán học. Khái niệm giới hạn được cho bởi từ “gần”, để mô tả định tính. Còn định nghĩa chính xác Giáo írình Giai lích I 12 cua nó cho bởi ciiin lù' ■‘bé h(vn .v" hoặc ••lớn hơn M” để mô tả định lượng sẽ đu'ợc gi(TÌ thiệu ti'onẹ chưưne này. Khi đã hiếu được khái n i ệ m g i ớ i h ạ n t h ì sẽ d ễ dài iií h i ể u đu'Ọ'c c á c k h á i n i ệ m đ ạ o h à m . t í c h phân. Bởi vì các phép ioán đó dều xuất phát từ phép tính giói hạn. Trước khi đi dền khái niệm \'ề eiới hạn cần hiểu được vai trò ihực sự của số vô tỉ. Nhờ tính chất đầy của tập số thực mà người ta có thê biêu diễn tập số tliực Irèn trục số - uọi là irục thực và nói rằne tất cả các sổ thực lấp đầ} trục số. Nói khác đi có sự tirơng ứng 1-1 s,iừa các số thực \'à các điẽm irên trục số. Chương này cũng đề cập đến trường số phức, đó là triròne so ihực mơ rộna. Vai trò và V nghĩa của số phức về mặt lý thuyết CÙIIÍI như ửnơ dụne sau này trong kỳ thuậl. đặc biệt trong kỹ thuật điện tu là rất lớn. 1.1. SỐ T H Ụ C 1.1.1. Các tính chất cơ bản của tập số thực A. Sụ- cần thiết m ở l ộiĩỊi tập số hữu ti o Do nhu cầu đòi hoi cua cuộc sống, tập các số tự nhiên N = {(). 1. 2,...}, cơ sở cùa phép dếin đã được mớ rộng sang tập các số nguyên 2 = {0,± 1. ±2,...;. Sau dó, do trong 2 không có các phần tứ mà tích với 2 hoặc 3 bang 1. nên nau'ời la dã xây dựng tập các số hữu ti, đó là tập g ồ m các S() có thê đirợc bieu diễn bưi ti số của hai số nguyên, tức là số thập phân Iiửu hạn hoặc võ liạn tuần hoàn. Nếu chi dừng lại trên tập Q thì tixMii’, Uian học uặp phai nhièu diều hạn chế. dặc hiệt là gặp khó khăn Ironu \ iệe giai thích các hiện tu'ợng của cuộc sống. Chẳng hạn, việc tínii cÌLÙmg chéo cua hinh vuông có kích thước đơn vị. Đường chéo đó là -Ịĩ không thể mô lả bởi số hữu lỉ. Thậl vậy nếu^[2 = — G Q trong đó líSCLN (m.n) = 1 thì m" = 2n‘ =>m 2p và 4p“ = 2n^=>n = 2q. í)iều này vô lí vì lúc nà}’ m. n có ước chung là 2. Chứng tỏ V 2 ể Q . Nhũ'ng số xuất hiện và được dùng thường xuyên trong giải tích như e. n cĩins không phải là số hữu tỉ. Chưcmg I: Giới hạn ciia tiãy số 13 B. Số vô tỉ Một số biểu diễn dư()'ị dạng thập phân vô hạn không tuần hoàn, hav không thể biêu diễn du\Vi dạníi li sổ của hai sổ no.uyên được gọi là số vỏ li. c. Sỗ thưc \ Tất cả các số hCru ti và số vô ti tạo thành tập họp số thực. Kí hiệu tập số thực là fR . Vậy tập số vô tí là ÍR ' Q . Người ta có Ihể xây dựna lập số thực ÍR nhờ vào một hệ suy diễn hay nói cách khác nhờ vào một hệ tiên đề. Chúna ta không trình bày ở đây mà coi rằng tập hợp sổ thực ỊR là quá quen thuộc và chỉ kiểm tra sự thoả mãn tiên đề đó. Chủng ta coi đó là các tính chất của tập hợp số thực ÍR . Tính chất 1.1; Tập ÍR là mộ! trường giao hoán với hai phép cộrìg và nhân: ('R, + , J . 1. \ / a , h e ÍR, u + b e IR. u.he IR 2. \ / a , h , c e !R, (a + h) + c = a + {h-^c). {a.h)c = u{hc) 3. \ / a , h e ÍR, a + h = h + a, ah = ha 4. IR có phần tử trung hoà đối với phép cộng là 0 và đối với phép nhân là 1. Ví/ e IR, a + 0 = 0 + a = a . a.ì = \ .a = a 5. Phép nhân có tính phân phối dối với phép cộng Ví/, h, c e ỈR. a [h 4- c) -- ah + a c , (/> + c)a = ha + ca 6. Tồn tại phần tử dối của phép cộng \fa& IR. 3(-w), í / + (-<;/) = () Tồn tại phần tử nghịch đảo của phép nhân VaG iR‘, (IR’= IR\{OỈ). 3 c í \ Tính chất 1.2; Tập ỈR đìrợc xếp thứ tụ toàn phần. Ngoài ra tập các so thực dương có íính đổng kin, nghĩa là: Giáo trình Giái tích I 14 1. V a , b e R, a < b hoặc a = h hoặc a > h . \ / a , b , c e R, a < b =:> a + c < b + c, \ / a , b e IR, C G IR^, a < b => ac a , \/x e X . Gọi tập X là bị chặn trên trong R , (bị chặn dưới) khi và chỉ khi tồn tại ít nhất một cận trên (cận dưới) của X trong IR. Người ta gọi số nhỏ nhất trong các cận trên của X trong IR (nếu có) là cận trên đúng của X trong iR, kí hiệu số đó là M* hay SupX (đọc là Suprémum của X). Gọi số lớn nhất trong các cận dưới của X trong IR (nếu có) là cận dưới đúng của X trong IR, kí hiệu số đó là m* hay l n f x (đọc là Infimum của X). Nếu M * e X thì nói rằng M* là phần tử lớn nhất của X, kí hiệu M* == SupX = MaxX. Chương 1: Giới hạn cua cỉíh' Ar5 15 Nếu m’ e X thì nói rằrm ni' kì phần từ nho nhấl cua X, kí hiệu m '= IntX -M inX . Cìọi X là bị chặn trona ÍR khi và chi khi X đồnu thời bị chặn trên và bị chặn dưới Irono ỈR . C húỷ. a. Tập R \ Q khôna đóng kín dối \ới phép cộnu và phép nhàn, chăng hạn; r— ^ \ 2 + { ~ \ l 2 ) ^ 1R\Q ± v 2 e IR\Q nhưng I ' ~ _ v'2.V2 Ể IR\Q b. Vxe IR\Q.Vv 6 O =>.v+ r e IR Q ,\7€ ÍR\Q - e R\Q M* = SupX nghĩa là: với mọi số í > 0 bé uì\ V. hao eiò cũne, tìm được tương ứng số a e X đé cỏ bấl đăng thức .\ f - í: < a . (Vê- > 0) {3a e A' => M ' - í: < ư) m* = InfX nghĩa là (Ví,- > 0) (3(2 e A' => + r > u) Nếu M là một cận Irên của tập X Ihì SupX < M Nếu m là mội cận dưỏi cua lập X Ihi Intx ỉ: ni. V í d ụ 1. 1: C h ứ n g m i n h {^ 2 + + \ í(i) ~ IR\Q Giải: Giả sử q =>/2 + \/3 + \/ó e Q=> (\/2 + V 3)’ = (í/- v ỏ )' hay + ] = 2{q + 1)V6 . dề dàng chứna miiih %/ó Ể c (tương tự như chứng m in h \Í2í ũ). T h eo chủ ý trên SLIV ra q + 1 = 0 và q" + 1 = 0. Điều này là mâu thuẫn. Vậy q Ể a v à . v > (ì\ hay X={x, X>;>'Ị suy ra ỵ = Sup(^ u B ) . b. Va e A. a < Supyí V b e B, h< SupB => V a + /) e /4 + ổ. a + Ã < Sup.4 + Supổ M ' - Sup(/Í + B) (3í/ (V í >0) e A=> a > S u p / Í - —) “ (3heB=> h > S u p B ~ - ) 17 Chươnịỉ ỉ: Giới hạn cua cìãy vó (3í/ + h e A + B-=> a + h > Sup.‘! + Sup/? - ỉ-:) => = Sup/Í + Sup/i = Sup( /1 + ỉì) 1.1.2. Tập số thực mỏ rộng Người ta thêm vào tập số thực IR hai phần tử kí hiệu là - X và + oc. Tập sô thực mơ rộng đưọ'c kí hiệu là ÍR, tức là R = IRvj|-oo.+oo|. các phép toán cộne (+) và nhân (.). quan hệ thứ tự được định nghĩa như sau: 1 . V a- e ỈR ,v + ( + 00 ) = ( + o o ) + .V = +CO. X + ( - 00 ) = ( - o c ) + A' = - X 2. (+oo) + (+oc) = + 00. (-co) + ( - x ) = -00 3. V.v 6 IR*, fR* = {A' e IR. .V> 0[ x(+ ũ 0) = (+ 00) . v = +C0. . v ( - o o ) = (-OC),T = - o c Vx s IR*. IR* = {x € [R. .r < 0} 4 . x ( + o o ) = (+ c o ),v = - 00 , x ( - c o ) = (-= o ).x ' = ( + 0ũ ) ( + 0ũ) = ( - o o ) ( - o o ) = + 5. V x e I R . - c o < J < +CO. - 00 00 + 0 0 . (+ co )(-o o ) = (-o o )(+ o o ) = < -oo, + 00 < -00 + 0 0 -00 < A' < +C0. - GO< -co. + co < +00 1.1.3. Các khoảng số thực Cho a,h € IR và a < h . Trong iR có chín loại khoảng sau đây: [a,/?] = |a' e IR, ơ < -V< /lị dược gọi là đoạn hay khoảng đóng bị chặn a.h) = {x e iR, í/ 0 -X khi X < 0 B. Tính chất 1. V x e IR, |.v|=Max{x.-.v} 2. x = 0 o x = 0 3. Vx,_ye R. xy v « e N’, VX|, X,, A', e ÍR. n X. =1 1 _ 1 4. VxG IR‘, X X n + V, v « eN‘. V.Y|.x.,...A-„ e IR, 5. Vx, y e IR, X + > p/=l ‘ - ịí=l 6. Vx,v6 IR,Max(A-.>') = -(-^ + .'' + |''-.'Ì)- Min(.v, v) = -(.v + 2 7. \ / x , y e ỈR, 2 n - y|) ' . < 1.1.5. Khoảng cách thông thirÒTig trong R A. Định nghĩa: Khoảng cách trong IR được xác định nhờ ánh xạ: d: IR X IR —> IR Đó là hình ảnh trực quan về khoảng cách giữa 2 điểm X và y trên trục số thực ỈR. B. Tỉnh chất 1. £ /( a%>') = 0 <=> .v= V Chuơng I : Giới hạn cua í/ãy ,V(5 19 2. Va'. V e IR. d ( .r. v) = d[v. x) 3. Vx.>’. z 6 IR. d { x . z ) < i l { x . y ) + ci(y.z) 4. V.v.j-.r6 fR. |í/(-v..r)-í/(.r.r)| < t/(_Ị'.r) 1.2. SÓ PH Ú C Chúng ta đã biết ràng trong triàmíĩ số thực ÍR không thế phân tích thành thừa số tam thức bậc hai ax' + hx + c khi A = - 4í/c’ < 0. Tuy nhiên sẽ rất tiện lợi nếu có thể thừa số hoá tam thức nàv thành dạng a [ x - a \ x - p ) trong đó a./ỔỂ ÍR. Nhằm mục đích này, thêm vào IR một phần tử mới. được kí hiệu là i (được gọi là đơn vị áo) kết hợp với các cặp số thực (x, v) e ỈR' để tạo ra các số phức. l.l.l.Đ ịn h nghĩa và các dạng số phức A. Định nghĩa Cho (x.>’) g R", một số biểu diễn dưới dạng z = X + iy, trong đó /■ = -1 được gọi là một số phức. Tập các số phức được kí hiệu là c . X được gọi là phần thực cúa z. kí hiệu Rez = X, y là phần ảo của z, kí hiệu là Imz = y Gọi môđun cúa 7.. được kí hiệu là ị:| xác định bởi sổ thực không âm: z| = ự x ' + V" =/■>() Gọi Acgumen của z , được kí hiệu là Argz xác định bởi số thirc: Argz = e ; 6 e IR ;c o sớ = — v à s i n ỡ = 0mi Như vậy Acgumen của z sai khác nhau k l n , Ả:e Z v à ArgO không xác định. 20 Giáo trình ơìai í ích I Vậy số phức z có thể viết dưới các dạng; 1. z = X + iy gọi là dạng chính tắc hay dạng đại số của sổ phức z. ( 1 .1 ) 2. z = r (cos ớ + / sin ớ) gọi là dạng lượng giác cua số phức z. ( 1.2) B. Biểu diễn hình học của các số phử c Hình 1. ỉ Xét mặt phẳng Oxy với hệ tọa độ trực chuẩn. Ánh xạ ỹ? : c^ Oxy, nghĩa là đặt mồi s ố phức z = X + iy ứng với điểm M có tọa độ (x,y) trên mặt phẳng Oxy. Vậy Người ta gọi mặt phẳng Oxy là mặl phẳng p h ứ c .V z e là song ánh. c, ọ ( z ) gọi là ảnh của z trên Oxy. VM e Oxy,ợ?“'( M ) gọi là tọa vị cùa M, đó là số phức z e c . Ngoài ra Như vậy O M OM cũng được gọi là véctơ biếu diễn số phức z. và Ị0 x ,0 ỉv íj = Argz. Trên mặt phẳng phức Oxy ta nhận thấy: Trục Ox biểu diễn các số thực z = x e IR, trục này gọi là trục thực. Trục Oy biếu diễn các số phức dạng z = iy, y e IR (được gọi là các số ảo thuần tuý), được gọi là trục ảo.