Tài liệu Giáo trình độ đo tích phân lưu hành nội bộ

B ộ GIẢO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGÂN HÀNG PHÁT TRIỂN CHÂU Á MOET ADB Dự ÁN PHÁT TRIỂN GIÁO VIÊN THPT & TCCN - TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRÀN VÀN ÂN - KIÈU PHƯƠNG CHI GIÁO TRÌNH Độ ĐO-TÍCH PHÂN ệ (Lưu hành nội bộ) H À N Ọ l-2 0 1 3 M Ụ C LỤC M ở đầu 7 1 Lý th u y ế t đ ộ đ o 9 1 Đ ại số c ác t ậ p h ự p c o n ............................................................................................... 9 H ư ứ n g d ẫ n t ự h ọ c .......................................................................................................... 9 1.1 Đ ạ i số , ơ - đ ạ i s ố ............................................................................................... 10 1.2 íT-đại số B o r e l ................................................................................................... 12 ......................................................................................................................................... 12 D ộ đ o t r ẽ n đ ạ i số c ác t ậ p h ợ p c o n .......................................................................... 13 H ư ớiig d à n t ự l i ọ c .......................................................................................................... 13 2.1 K h á i u iệ n i và v í d ụ ....................................................................................... 14 2.2 T íiili c h ấ t c ủ a đ ộ đ o ................................................................................ 16 ......................................................................................................................................... 18 B à i tậ p 2 B ài tậ p 3 T h á c tr i ể n đ ộ đ o .......................................................................................................... 19 H ư ớ n g d ẫ n t ự h ọ c .......................................................................................................... 19 3.1 D ộ đ o n g o ài v à độ đ o n g o à i sin h bởi m ộ t đ ộ đ o ............................ 20 3.2 T ầ p đ o đ ư ợ c th e o C a r a t h é o d o r y ............................................................. 22 3.3 T h á c tr i ể n đ ộ đ o ........................................................................................... 25 ......................................................................................................................................... 27 Dộ đ o L e b e sg u e tr ẽ n R * ........................................................................................... 29 lỉư ớ iig d ẫ n t ự h ọ c .......................................................................................................... 29 4.1 D ộ đ o L c b e sg u e tr ẽ n R ............................................................................... 29 4.2 D ộ đ o L e b e sg u e tr ô n 37 B ài tậ p 4 ............................................................................ B ài tậ p 5 .................................................................................................................................. .Ỉ8 Mì H àm đo d ư ợ c ........................................................................ H ướng d ẫ n tự h ọ c ............................................................................................................... w 5.1 K h ái niệm h à m đo đ ư ợ c .......................................................................... -U 5.2 T ín h c h ấ t c ủ a hàiii đ o đ ư ợ c .................................................................. 43 5.3 C ấu trú c c ủ a hàin do đ ư ự c ...................................................................... 48 5.4 Hội tụ th e o độ đ o ........................................................................................ 51 5.5 H ai đ ịn h lý về c ấ u trú c h àm đo đ ư ợ c ................................................ 54 .................................................................................................................................. 55 B ài tậ p 2 T íc h p h â n L e b c sg u e 1 2 T ích p h â n R iem anu và n hữ iig h ạ n chế c ủ a n ó ............................................ r>8 H ướng d ẫ n tự h ọ c ..................................................................................................... 58 1.1 T íc h pliâii R ieinaiin trẽ n g ian đóng, bị ch ặn tro n g R ” ................ 59 1.2 T íc h p h â n R iem an n tr ẽ n các tậ p con bị c h ặn tro n g liC 1.3 M ộ t số h ạii chế c ủ a tíc h p h âii R ie m a n n ............................................. G7 T ích p h â u c ủ a hàm (lơii g iản do đưực không â i n ......................................... (iS H ướng d ẫii tự h ọ c .................................................................................................... (58 2 .1 Đ ịn h n g h ĩa V?1 ví d u .................................................................................... 68 2.2 T ín h c h ấ t của tích p h â n h àm đờn g iản đo dược khỗng â m . . 70 ................................................................................................................................. 73 T ích p h ả n c ủ a h à m đo được khõng â m .......................................................... 74 H ưđng d ẳii t ự h ọ c .................................................................................................... 74 3.1 Đ ịnli n g h ĩa và ví d ụ .................................................................................... 74 3.2 T ín h c h ấ t c ủ a lích ph&n h à m đo được không â a i).......................... 77 ................................................................................................................................. 80 T ích p h a n c ủ a h ầ m đo đ ư ợ c ............................................................................... 80 H ướng d ẫ n t ự h ọ c .................................................................................................... 80 4.1 Đ ịiìh n g h ĩa và VI d ụ .................................................................................... 81 4.2 T íiìh c h ấ t c ủ a tích p h â n h àm đo đ ư ợ c ................................................ 82 B ài tậ p 3 B ài tậ p 4 58 . . . . Bài tậ p 5 6 ................................................................................................................................ 91 Q u a n hệ g iữ a d ạ o hàm và tích p h â n tro n g R ............................................... 92 H ưđng d ảií t ự h ọ c ..................................................................................................... 92 5.1 Hìun có biến p h â n bị c h ậ n ............................................................. 92 5.2 T n ii lại Iiguyổii hàm ............................................................................... 94 Mối q u a n hệ giừ a t íd ỉ pliâii R ieinaiiii v à ticli p h â n L e b e s g u e ............... 97 H ướng đ ẫ n t ự h ọ c ..................................................................................................... 98 6.1 M ối q u a ii hệ giữ a tích p liãỉi R iem an ii và tíc h p h ã n Lebesgue trô n gian đón g bị chặn A c R ” 6.2 B ài tậ p 3 ......................................................... trổ ii |a . + o o ) ................................................................................................. 99 ................................................................................................................................ 101 103 H ướng d ẳ ii t ự h ọ c ..................................................................................................... 103 1.1 M ộ t số kién th ứ c b ổ trợ ........................................................................ 104 1.2 P h â n h o ạch đơn v ị ................................................................................... 107 ................................................................................................................................ 110 U ịnli lý biểu diẽii K ie s z ........................................................................................... Ill HưOiig u ẫ íi t ự h ụ c ..................................................................................................... 111 2.1 Đ ịn h lý biểu diSn R ie s z ............................................................................ Ill 2.2 T ín lí c h ỉn h q u y c ủ a đ ọ đo B o r t ỉ l .......................................................... 119 ................................................................................................................................ 122 Độ đ o H a a r ................................................................................................................ 122 H ướng d ẫ n t ự h ọ c ..................................................................................................... 123 3.1 BỔ trợ về nhóm t ô p õ ............................................................................... 123 3.2 Độ đo H a a r ................................................................................................. 127 ................................................................................................................................ 135 Bfti tậ p 3 103 K h õ n g giait c o m p ắc đ ịa phươtỉg v à ph&ii h o ạch đơn v ị .............................. B ài tậ p 2 98 M ối q u a n họ giữ a tích p h a n R io raan n v à tích p h â n Lobcsguc Đ ộ đ o B o rc ld ư ơ n g tr ổ n k h õ n g g ia n tõ p ổ c o m p ắ c đ ịa p h ư đ n g 1 Bài tệ p 4 . K h ô n g g ia n ư 13G 1 H àin lồi và các b ấ t đ ả n g th ứ c bổ 1 | 5 ........................................................ riO Hưđrig d ẫ n t ự h ọ c ....................................................................................................... 1.1 H à n i l ồ i ............................................................................................................. 1.2 B ấ t đ ả iig th ứ c b ổ t r Ợ ................................... .......................................... I3N .................................................................................................................................... 1-ỉl K hông giaii Z.'’( / i ) ....................................................................................................... 1-11 Bài tậ p 2 H ướng d ẫii t ự h ọ c ....................................................................................................... 2.1 K h ô n g giari ........................................................................................ l ‘í l 2.2 X ấp x ỉ bởi h à m liên t ụ c .............................................................................. 146 .................................................................................................................................... 148 B ài tậ p H ưứng d ẫ n Ôn tậ p .............................................................................................................. 150 H ư ớ n g d ẳ n g iả i b à i t ậ p 151 T à i liệ u t h a m k h ả o 168 C h ỉ số 1C9 MỞ Đ Ầ U H ọc p h ầ ii D ộ đ o - T í c h phÃii là hục p h ầ n b ắ t b u ộ c tro n g chương trìn h k h u n g đào tạ o trìn h độ đ ạ i h ọ c n g à n h Sư p h ạ m toAĩi h ọ c . V iệc triể n k h a i đ à o tạ o đ ạ i học th e o liộ t.liống tín ch ì đ ã tạ o đ iề u kiện cho sinh v iê n p h á t h u y k liả n a n g tự học, t ự n g h iên cứii. do đ ó th ờ i lư ợ ng h ọ c t ậ p trê n lớp được g iâ n i b đ t k h á n h iề u . T u y n h iên các giáo trìiili được v iế t trư ớ c đ â y chủ yếu p h ụ c v ụ cho đ à o tạ o th e o h ìiứ i th ứ c lúôu chế, c h ư a đ ặ t Iiặng m ục tiê u là hư ớ n g đ ẫ n sin h v iên t ự h ọ c . t ự n g h iên c ứ u đ ể chiếm lĩn h tri th ứ c , liỡn n ữ a m ộ t sé giáo trìn h nội d u n g k iến th ứ c đ ư ợ c v iế t còn n ặ n g tín h liàn lâm . c h ư a có p h ầ n hư ớ n g d ẫ n t ự h ọ c v à n h iề u v í d ụ c ụ th ể m in h lioạ, hướug d ẫ u giải các b ài t ậ p c h ư a đư ợ c n h iều . N hiều tà i liệu cùn trìỉỉh b à y kìiái Iiiệ in độ du và tíc h p h â ii r ấ t tổ n g q u á t, cétch tr ìn h bày h iộ n đ ạ i n h ằ m m ụ c tiê u p h ụ c v ụ cho các trìn h bày về s a u c ủ a G iả i tíc h h à m h iện đ ạ i. Đ ối tư ợ n g p h ụ c v ụ rộ n g v ầ hướ ng tới d à n h cho sin h viỗn c ác lớp cử n h ă iỉ tè i n&ng. ch ư ơ n g tr ìn h ti@n tiế n , học viSn cao học và nghiỗri c ứ u sin h . D o đó, m ộ t bộ p h ậ n k h ô n g n h ỏ s in h v iên r ấ t khó sử d ụ n g các tà i liệu tr ê n cho việc t ự học. Vì vậy. việc b iẽ n so ạ n g iáo tr ìn h D ộ đ o -T íc li p h â n mới đễ p h ụ c v ụ cho công tá c đ à o tạ o th e o h ìn h th ứ c h ọ c ch ế tín ch ĩ là r ấ t cần th iế t. T ro n g ch ư ơ n g tr ìn h k h u n g đ à o tạ o Ih e o h ệ th ố n g tín chì c ủ a n h iề u trư ờ n g có đ à o ta o eiáo viẽn to á ji. liọc p h ầ ii Do đ o - Tíoh phÃn crt lượng 3 tín chì, vđi nội d u n g chù yếu là các k h á i niộm v à tín h c h ố t c ù a đ ọ đ o v à tíc h p h â n . K hi b iên so ạn giáo trin h n&y c h ú u g tố i d ă cố g ấ n g tiế p cậii c ác g iáo tr ìn h h iệ n có về đ ộ đ o , tích ph&iỉ, các nội đ u u g h iệ n đ ạ i, c ậ p n h ậ t về đ ộ đ o v à tíc h p h â n vđi m ụ c tiẽ u n h ằ m p h ụ c v ụ việc đào tạ o th e o hệ th ố n g tín chỉ. Đối tư ợ iig h ư ớ n g tđ i c ù a g iáo tr ìn h gồm các sin h viẽiỉ nãin th ứ b a k h o a T b á ii c ác trư ờ n g đ ạ i b ọ c sư p h ạ m . N goài ra , cu ố n sách n à y cố tliế làm giỂio tr ìn h và sácli th a m k h ảo cho siiih v iên k h o a T o án các trư ờ n g đại học k h o a học t ự nliiỗn, học viOu s a u đ ại h ọ c v à nghiGn cứ u s in h chuyCn Qgàiih G ỉài tích . H ạii ch é c ù a giáci tr ìn h cố th ề th ấ y là c b ư a đ ư a vào đ ư ự c n h iè u nộ i d u iig mới v à chuyên s â u , g iú p sin h viên tìn i h iể u c ác k iến th ứ c v à k é t q ủ a c ộ p n h ậ t p h ụ c vụ cho các nghiSn c ứ u S&U h ơ n tro n g lĩn h vự c nay. Vỉ đ iề u k iệ n s6 tra n g n ẽ n m ộ t số chứtig m in h c ủ a lu ộ t số k ế t q ủ a chúiig tố i p ìiải lược b ỏ v à d à iứ i cho đ ộ c g iả x em như Iihửng b ài tậ p . Đ ể tiế p th u tố t giáo trìiili này đòi hỏi người h ọ c p h ả i đư ợ c t r a n g bị tố t cốc kiến th ứ c giải tích cổ đ iể n , đ ại số tu y ế n tín li, đ ại Bố đ ạ i cư ơ ng, cốc k i í n th ứ c về tô p ô đ ại cươiig- N goài việc n á m v ữ n g các kiéii th ứ c trẽ n , đòi liỏi lìgười h ọ f p h ả i c 6 t ư d u y su y luộii trừ ii tư ợ ng v à n ắm vững p h ư ơ n g p h á p tiê n đề. Với ý đó giáo trin h được b ố cục gồm 1 chưongC hương 1 tr ìn h bày lý tlm y ế t độ đo, đây là m ộ t lỉội d u n g q u a n trọ u g , đ ồ n g th ờ i cũng là cơ sỏ đ é xây d ự n g tícli p h â n L ebesgue ở C h ư ơ n g 2. D ã có a h iề u g iá o triiilt và tà i liệu th a m k h ảo trìn li bày v-ấii đ ề này, tro n g tà i liệu này ch ú n g tô i tr ìn h b à y dộ đo trê n đ ại số, h ìn h th à n h k h ái niệm độ đo Ltíbesgue n hờ q u á tr ìn h th á c tr i ẻ n độ đo, trìn h bày khái n iệm hàin đo được và x é t các tín li c liấ t c ù a nó. C hương 2 triiib bày lý thuyết tích phâii Lebesgue tlieo lược đồ: tích phân hàni đơn giản, đo được không â n i, tíc h pliÃii hãiji đo đư ợ c k h ô n g âm , tíc h p h â ii h à m đ o đư ợ c b ấ t kỳ th e o phư ơ ng p h á p k in h điển m à các tá c g iả n h ư R udiri, H oàiig T uy. N g u y ễn Đanli và N guyễn H o à iig ,-.. đ ã trìn h bày tro n g các cu ố n sác h c ủ a họ. C hư ơag 3 tr ìn h b à y kién th ứ c cơ sd về đ ộ đo B orel c h ín h q u y tr ẽ n k h ô n g g ia n tõ p o coinpẳc d ịa phưong. C hương 4 trìn li bày những vấỉi đề q u an trọng củ a kliôiig giaỉi ư . Nội du iỉg Chưdng 1 và Chương 2 c h ứ a đự n g lihữiig k iến cơ b ảii cầii th iế t vè lý th u y ế t đ ộ đo v à tíc h p h â n nhKm cu n g cấp cho sinỉi viên nfim th ứ ba. Nội (lung Chương 3 v à 4 chứft đ ự n g n hữ ng kiến th ứ c n â n g cao vè lý th u y ế t đ ộ đ o và tíc h p h â ii đ ể các s in h v iên k h á giỏi và học viẽn s a u đ ạ ị học th a iii k h ảo Iihàin tiế p oậiỉ với các lĩn h vực k h á c c ủ a g iài tíc h hiện đ ại. C ác nội duitg trỗti đ ư ợ c cliủ yỗu được trìiiỉỉ bày d ự a trê n tà i iiệu Ị 1UJ c ủ a R udin. C ác vấn dề trìn h bày tro n g tà i liệu này có th ẻ là k h ó đối với sin h v iên có tr i n h độ tru n g b ìn h tr â xuống. C ác tá c g iả đ ã cố gắiig trìn h bày chi tiế t v à từ n g bước, từ dễ đếii khó các nội d u n g trê u a h ầiii tạ o đ iều k iện cho sin h v iên v à học viSn s a u rđại học tliuậỉỉ lợi tro n g q u á trìn h học t ậ p tlieo h ệ th ố n g till cliì. C ác tá c g iả x in c h â n t h à n h c ả m ơ n B an đ iề u h à n h D ự á n P h á t t r i ể n G iáo viiên T r u n g Học p h ổ th ô n g v à T ru n g c â p c h u y ê n n g h iệ p , G S .T S K H . N g u y ễ n M ạ n h H ù n g . T S . L ê Đ ìn h Đ ịn h , P G S .T S . K h u ấ t V àn N in h , P G S .T S . P h ạ m K h á c B a n , P G S .T S. T ạ Q u a n g H ả i, P G S .T S . Đ in h H u y H o à n g đ ã đọc k ỷ b ả n th ả o v à cứio n h iề u ý k iế n q u ý b á u đ ể giáo tr i n h được h o à n c h ỉn h h ờ n . M ặc d ù c h ú n g tô i (đã d à n h n h iề u th ờ i g ia n v à sức lực cho g iá o tr ìn h n à y , s o n g s ự th iế u s ó t ỉ à k h ô n g tlhể t r á n h khỏi. C ác tá c g iả r ấ t m ong n h ậ n được s ự góp ý c ủ a b ạ n đọc v à đ ồ n g nghiệpi. C á c tá c g iả TRẰN VAN ẢN, KIỀU PHƯONG CHI 9 ________________ D ộ đo-T ích phãn CHƯƠNG 1 LÝ T H U Y Ế T Đ Ộ ĐO Nliư t a đ ã b iế t k h á i n iệm tíc h p h â ri x á c đ ịn ỉi, tíc h p h â n tr ẽ n m iền đ ó n g bị ch ận có liên hệ c h ặ t chỗ với k h á i Iiiệm độ d à i đ o ạ n th ả n g , d iệ n tíc h c ù a m iền đ ó n g bị chận. Vì vậy đ ể m ở rộ n g khái niệni tíc h p h â n người t a th ấ y rằ n g c ầ n p h ả i raỏ rộng, "ch;iih xốc h o á " cốc k h á i n iệm n h ư “độ dèd’’. đ iệ n tíc h ”, . . . D iề u n à y d ả ii tớ i v iệc hình tlià iih k h á i n iệ m đ ộ đo. Lý th u y ế t đ ộ đo g ắ n liền với tẽ n tu ổ i c ủ a các n h à to á n hục E. B orel, H. L eb esg u e, c . C a ia tlỉé o d o ry . C hương n à y d à n h cho việc trìn h bày lý th u y ế t đ ộ đ o tr ê n đ ạ i số, phươ ng p h á p th ác triể n đ ộ đ o lẽn m ộ t ơ -đ ạ ị số b àỉig c á c h sử d ụ n g đ ộ đ o n g o ài th e o C a ra th é o d o ry v à khái n iệm h à m đ o được. P h ầ n cuối c ủ a chư ơng đ ư ợ c d à n h cho việc tìm h iề u về c ấ u trú c c ủ a h à m đ o đư ợ c đ ể làm cơ sỏ c h o việc đ ịn h Iig lỉĩa tíc b p h â n L eb esg u e ở ''h ư íiig sau . T ro n g cliương n à y khi nói đ é n họ t ậ p t a hiỏu là m ộ t họ Iihữiig tậ p con c ù a m ộ t t ậ p h ợ p X n à o đ ó cho trư ớ c. Dể tié p th u được nội d u n g c ủ a Chương, sin h v iẽn c ầ n có k iến th ứ c cd b ả n về lý th u v ế t tậ p h ợ p và T ồ p ô đ ạ i cương. TVước m ỗ i nội d u n g c ụ th ể đ ề u c 6 h ư đ n g d ẫ n tự học dưới d ạ iig c&u hỏi. H ệ th ố n g c ă u hỏi n à y cũ n g có th ể đ ư ợ c 8ử d ụ n g đ ể m ố i sin h vi 6 ỉ. tự kiểm t r a iiau khi h ụ c các nội d u iig này. 1 D ại số các tậ p hợp con Hướng d ẫ n t ự học 1. T rình b à y k h á i n iệm đại số v à nSu v í d ụ m in h hoạ. 2 . '!Vìnli bày đ iề u kiện tư ơ n g đươ ug vđi đ ịn li n g h ĩa đ ại số. 3. '!Vình b à y k h á i n iệm ơ - đ ạ i s6 và n ẽ u v í d ụ m in h hoạ. TRẢN VÀN ẢN. KIÈU PHƯONG CHI 10 Dở tÌo -T ir h phán 4. Trìiili bày đ iề u kiện tư d n g đươ ng với địnỉi n g h ĩa cT-đạĩ số. õ. T rìuli t)ày inéi q u a n iiỌ giữ a cáe kliái niệm ’.ỉại số v à i7 -đ ại số. 6 - G iao c ù a m ộ t họ các đ ại số {ơ-đại số) có là đ ại số (ơ -đ ạ i số) hay k h ố n g ? 7- Trìiili bày kliái niệm đ ạ i số (ơ -đ ạ i số) ^ { C ) sinli bởi h ọ c . 8 . Trìiilỉ bày k h á i uiệm ơ -đ ạ i số Borel và tập Borel. 9. G iải các b ài tậ p cuối inục. 1.1 Đ ại số, ơ-đại số 1 .1 .1 D ị n h n g h ĩ a . C ho tậ p hỢp X v à họ A khốc rỗ n g các tậ p con c ù a X . 1) Họ Á được gọi là m ộ t đại số trẽ n X nếu nó tlio ả n iã a c ác đ iều k iện s a u (<4i) ộ ^ Ả . (.42 ) N ếu .4 € ^ th ì /4^ = X \ /1 e A (.4 3 ) N ếu A , B € Ả th ì A D B & A . 2) Hụ A Jư ợ c gụi là m ộ t ơ -ứ ậ i số trê u X nếu nó th o ả inãii các đ iều k iệ u sau (^ ả ( ơ - ^ 2 ) N ếu A ^ Ả t h i A^ = X \ ả €. A . (<7--4 3 ) N ếu A , ^ Á với i = 1 . 2 , . . . th ì [ j A i € A . i=l 1 .1 .2 N h ậ n x é t . M ỗi ơ -đ ạ i -Số là m ộ t đ ại sỗ. T h ậ t vậy, vì A là ơ -đ ạ i số, ự) € .4 nCn chọn An = ậ vứi m ọi 71 ^ 3. nhờ tiê u liề {ơ -.Aị ) t a có ( ^ 3 ). 1 .1 .3 V í d ụ . 1) C ác họ A i = { 0 , x } và Ả 2 = V ( X ) { V { X ) là họ t ấ t c ả các U p cou c ù a tậ p -V) là các đ ạ i số. 2) Họ A t ấ t c ả các tậ p con h ữ u h ạ n c ủ a X là đ ạ i số khi v à ch ỉ khi X là t t p hữii hạn. 3) C ác h ọ = {0, X } v à Ả 2 = V ị X ) là các ơ -đ ạ i số. T ừ đ ịn h ng ìiĩa tr ê u t a suy r a các tín h c h ấ t sau Cí'm đ ạ i số v à £T-đại số. TR Ầ N VAN ÂN, KIÈU PHƯƠNG t'HI Dộ đo-T ich phăv 11 1 .1 .4 Đ ị n h lý . Họ A các tập a m cAĨa tâp X là m ộ t đại sổ trên X khi và c h i khi A' € ^ tkoả ĩìiăn h a i diềv kiẻn sau, 1 , N ế u A . I Ỉ £ A thì A n n ^ A . 2. N ế u A . B € A l h i A \ D ^ Ả . Chứng m inh. c ầ n . G iả s ử A là in ộ t đ ại số. N hờ đ iè u kiện ( /I 2) c ủ a đệũ số, vì ậ € A . t a su y r a X = <ộ‘ e Ả . Lại VI A . B ^ A , nên A ' , đ6 t n c ó A C \ B = € A . S u y r a A'^D & A . Từ e Ả vh A \ B = A n B'' e A . u Dủ. Vì X € ^ và v4 th ỏ a raâii các đ iồ u kiộn (a) v à (b) nõn t a c 6 0 = X \ -Y € A e Ả n ế u A 6 A - T ừ đ ó t a suy r a n ế u A . B € A . th ì .4‘‘ ^ Á , và ta có u i? = (.4'" n y e A ^ A . D o ồỗ Vậy Ả là m ộ t đ ạ i số. 1 .1 .5 Đ ị n h lý . Họ Ả các tập con của tập X làm ộ t ơ 'đ ạ i số □ trên X khi vồ chi khi .V 6 A t’à thoả m á n hai điều kiện sau 1. N ế u rớ i i = 1 , 2 , . , . íAì n i=l 6 A, 2. Néĩi A , B ^ A t h ì A \ D ^ A . C h’i tig v ũ n h . c ồ n . G iâ sử A là m ộ t ơ -đ ạ i số. N liù đ iề u k iệu (Ơ-.42 ) c ủ a ơ -đ ạ i số. € <4, t a suy ĩ ă X = vì ộ'^ G A . H ơn n ữ a n ế u A i € Ay th ì t a có với m ỗi 1 = 1 . 2 ....... S u y r a ỊJ /4® 6 Ả . T ừ đó t a có n “ ( u G -4. Lại vì A .B e ^ 1=1 1= 1 i=l và B ‘ e v4. iiSn Iihờ N h ậ n x é t 1.1.2 và M ện h đ ề 1.1.4 t a có /1 \ 2? = / l n Ễ Dủ- T ư ơ n g tự ch ứ n g m in h c ủ a D ịnh lý 1.1.4. 1 .1 .6 M ệ n h đ ề . 2. 1. Giao cùa m ộ t họ bất kì các đại s6 là □ m ộ t đại s6, Giao c ủ a m ộ t họ bất kì cổc ơ -đ ạ i số là m ộ i ơ - đ ạ i só. Chứng m in h . D à n h cho b ạii đọc, xem Iih ư là m ộ t bỉũ tậ p đ ơn giả!) bằiig cách kiểm tra trự c tiế p cốc đ iề u kiện c ủ a đinli n g h ĩa. □ 1 .1 .7 Đ ị n h lý . Giả s ứ C là m ộ t họ n hữ ng tập con của X . K h i đó, 1 . ^ ( C ) = n í - ^ : A ỉà đại số v ầ C c là m ộ t đại số. T a gọi ^ ( C ) là đại 3ố s in h M i họ c , nó là đ ại số n h ỏ n h ấ t (th e o q u a n h ệ b a o liàm ) tro n g t ấ t cẳ các đ ạ i số ch ứ a c . 12___________________D ộ d o - T ír h phAu TRẰN VĂN ÂN. KIỀU P l t ư ơ N G CHI 2. ^ ( C ) = ơ - đ ạ i số ỉ'à c c A } là m ộ t ơ -d ạ t số. T a gọi ^ { C ) lf> ơ -đ ạ i số sinlt bỏi họ c . IIÓ là ơ -đ ại số nhò nlỉÃt (th e o q u a n hệ b a o híini) tro n g tẤt cả các (7-đại số c h ứ a c . Chứng m inh. Á p d ụ n g M ệnli đề 1.1.6 v à tín h cliốt c ủ a q u a n liệ bao h à m . □ 1 .1 .8 N h ậ n x é t . G iả s ử ( A ',t ) là m ộ t k h õ n g g ia n tô p ô . K hi đ ó , rỉói ch u n g T khôiiịĩ là m ộ t đ ại số trô n X . T h ật vậy, x é t -Y = R vứi tc p õ tliõiig thưừ iig. K hi ilổ A = { 0 , 2 ) , B — (0 ,1 ) 6 r . T uy nhiên A \ B = [1,2) ế T. 1.2 (7-đại số B orel 1 .2 .1 Đ ị n h n g h ĩ a . G iả sử ( X .d ) là m ộ t k h ô n g g ian Iiiẽtric. T a gọi ơ -đ ạ i số là ơ -đ a i số Borf>l trê n X v à kí h iệu là B { X ) . tro n g đ ó T) : a < ỉ> .« .6 e R }. (2) Ca = {[a.b\ : (1 < í),n ,fc e R }, (3) Ca = {{a.b\ ■.a < b .a.b € R } . (4) Ci = {[a.6) : a < b .a.b 6 R}(5) Ch = { (a , + o o ) : o € R }(6) Cịị = { ( - o o . a ) : a e R }. (7) Ơ7 = {[o. + o c ) : a e R }, (8) c% = { ( - 0 0 , a] : Q € R}. 2 Đ ộ đo trên đại số các tập hỢp con Hướng d ầ n t ự học 1- T rin li b à y tậ p số th ự c m ỗ rộ n g R v à các p h é p to á ii trê n R . 2. T rìn h b ầ y khái n iệm h à m tập, h à m t ậ p khỗnq âm . liàra t ậ p cộng tinh, liàm tậ p ơ -cộ ng tín h và n ẽ u các v í d ụ m in h hoạ. 3. TYìuli bày m ối q u a n hệ g iữ a h à n i tậ p cộng tín h v à h à m tậ p ơ -cộ n g tín h . 4. T rìn h bày khái n iệm dộ đo, không ọian độ đo và cho v í d ụ m in h hoạ. 5. C ho b iế t đ ộ đ o là sự su y rộ n g c ủ a k h á i niệm q u en th u ộ c n ào ? G. T rin h bày độ đ o đếm và đ ộ đo D irac. 7. T rìiih b à y k h á i n iệm đ ộ đo hữu hạn. đ ộ đo ơ-h ữ u hạn và cho ví d ụ m iiili hoạ. 8 . TrìtUi bày diỗu kiện cầiỉ v ầ đ ủ để hỉuii tậ p k h ỗ n g &IĨÌ m là đ ộ đo. 9. T rìn h bày tín h c h ấ t c ù a độ đo c ủ a d â y tậ p hợp đơn điệu. 10. G iải các b à i tậ p cuối mục. 14___________________Dò đo-Tú-h phóri TRẦN VẨN ẢN. KIỀU PHl'ONC; CHI 2.1 K hái niệm và ví d ụ T rước liế t uliúiig tii quy ưỏc m ộ t aố pliOp tíiá n v à kí lúỌu tr ê u tậ p sồ tliự c inứ 1'ụiVK R = R u { ± 0 0 } n liư sau. 1- + 0 0 được viết gọii là 00 . 2. Với m ọi i ' € R th ì - o c < X < + 00 . 3. Với m ọi 4. 0 X( ± 00 ) = ±CX) X 0 = 0. X Ẽ R th í i ± 00 = ± o c . 5. Với m ọi I Ễ R th ì I X ( ± 0 0 ) = ± 0 0 X a’ = ■ 6. + 0 0 X ( + 00) = +0C. -0 0 X (—00) = ±00 nếu X > 0 TCX) u ế u X < 0, + 0 0 . 00 + 0 0 - 00, -(-C X 3) = 00. +0C X ( - 00 ) = —00 X ( 4- 00 ) - - 0 0 , 00 _ 7. 00 - 00 v à — khOiig (lưực đ ịn h n g h ĩa tro n g R . 00 8 . in f 0 = + 0 0 . T ro n g chư ơng này. nếu không nói gì th ê m th ì A' được h iểu là m ộ t tậ p h ợp kh/lc rỗ n g và c là m ộ t họ không rỗng các tậ p COQ c ủ a A', 2 .1 .1 D Ịllh n g h ĩ a . Ấiih ^ ■c — ' n. lỉượi: gụi lit m ột hửni n liấ t b ằn g + 0 0 hoặc bằtig - o c trê n l Ạfi Ii6u fi khũiiK lỉòiig c v k ịi khõng cùiig Iiliậii h ai g iá tr ị ± (X . T a sẽ v iố t ịiA th a y cho ạ { A ) vói niọi A € c . H àm tậ p fi đư ợ c gọi là khỗng ăm trẽ n c và k í h iệu /i > 0, n ế u ịi{ A ) ^ 0 với mọi A G c. H àm tậ p ịi : c — ►R được gọi là cộng tính hay cộng tin h hửti h ạ n Iiéu vđi bẤt kỳ .4 [, <4} € c . .4i n A ị — ộ và /1| u A ị € C t a có + M(--h)- u /I2) = H àni tậ p ụ. : c — ►R dược gọi là ơ-cộng tín h hay cộng tín h đếm đĩíợc uéu vđi bẤt kỳ -4i G c , ? = 1 , 2 , . , . , .4i n /4j í= {ý với m ọi i Ỷ j 00 00 / * ( 1 1 ■•*■> = Ìb I is ỉ 1J w4i € c t a có t=i TRẲN VAN ÂN. K l è u PỈI ƯON C CỈỈI 2 .1 .2 N l i ậ n x é t . 1. N ếu (ý e c và 15 D ộ đo-Tír.h phâv là h àm tậ p CT-Cộng tíiili lioậc cộng tín h th i ịi{. nOn ị i ( B \ A ) + f i A = ịiB . Vì vậy n h ờ đ iề u kiện (D j) t a c 6 f i A ^ n B . (3). Vì ( F \ v 4 ) u > l = B . ( í ? \ / l ) n > l = ộ v ầ B \ A € A n ẽ i i M ( S \ / l ) + M = K ét liợp ịiA < + 0 0 t a có /x(B \ /4) = ị ỉ B — ịiA . □ TRẦ N VẢN ÂN, KIỀU PHƯƠNG CHI 2 .1 .5 16 D ộ đ o -T íc h phân 1) G iả sử A là m ộ t đ ại số trỗ n -V. T a x ác dịnli Làm ịẦ : Ả — * R V í dụ. cho bỏi ịi[A ) = 0. vúi inụi .4 6 .4 . K hi đ ó ịi là m ộ t J ộ đ u trê u Ả . 2) G iả sử X là tậ p b ấ t kỳ k h á c rỗ n g cho trư ớ c. Ký liiệu Ả = {0. X } và x á c dịnli h à in ụ , : Ả — » R cho bỏi ịi{ộ ) = 0 ./ i ( X ) = 1. K hi đ ó /i là m ộ t đ ộ đ o trẽ n A . 3 )(D ộ đo đếin) G iả sử -V là m ộ t tậ p hợp vô h ạ n . X ét h à in rn : V { X ) — ►[0, + c«] cho bỏi công thứ c ^1 nếu A h ữ u hạn, m (i4) = -I-C30 nếu A vũ liạii. K hi đó m là m ộ t đ ộ đo trô n V { X ) , n ó được gọi là dộ đo líéni. 4)(Đ ộ đo D irac) G iố sử o e -V. K hi đ ó h à m ổa - P ị - ^ ) — * [0, + 00 ] cho bỏi 1 nếu a € i4, Ỗ.{A) = 0 n ế u a ệ A. là m ộ t đ ộ đo trô u ■p(X), nó (Jưực gợi là ílộ Jo Dirac. 2.2 T ín h ch ất củ a độ đo 2 .2 .1 Đ ị n h lý . C iả s ứ fi : A — ►[0 , 0 0 ] ỉà m ộ t h à m tập trên đại sỗ Ả . K h i đó n ỉà m ộ t độ đo trẽn Ả khi I'à chi khi các điều kiện sau được thoả mãn. (1) M 0 ) = o, ( 2 ) N ỉ u A , A i ^ Ả với t = 1 , 2 , ___ u /4i c -4 «’á cúc Ai đôi m ộ t 1-ời n h a u thì <=1 < ịiA, <=1 (3) (T ín h cr-nửa cộng tín h ) N ế u A , Ai & A với i = \ , 2 , . .. và /4 c u í=t thi fiA ^ i=l Chứng m inh. D iề u kiện cần. G ià sừ ịí là độ đo. K hi đ ó h iền n h iên t a Ct5 (1). p (2). Lấy tu ỳ ý p € N . Vì i4i € >1. ì = 1........ p vh A là đ ại số. n ê n [ j A i ^ A i=l p D ặ t ữ i = A i với m ọi i = 1........ p v à Bp+I = -4 \ (J A i. K hi đó c&c Di ^ A vđi isi p+1 p41 ỉ = 1 . . . . .p + 1, ch ú n g đôi m ộ t rời n h a u v à /1 = ỊJ Do đ ó ta có ị i A = /i( IJ Bi) = Kì} ^ ^ ^ = 72 ^ C ho p ^ 00 t a cố ^ Z i=l 17 TRẦN VAN ÃN, KIỀU PHƯONC CHI D ộ đo* Tích pháìì (3). D ậ t B , = A i. B , = . 4 , \ . 4 , , z?3 = A i \ (.4, u . 4 í ) , B„ = A „ \ C [ j A i). ... Kìú isỉ dó vì A là d ạ i số ta c6 Bị 6 Ả . /1 n Bi € - 4 , với m ọi í > 1, các Bn đỗi m ộ t rời n h au . Bn c /4n. với m ọi n > l . / 4 c l j i 4 í = u B , . A = i j »=1 »=1 t»i ' 0© ị i A ^ ịi u \ co Vnsl / nssl (.4 n ^ ^>)* 00 00 ^ (.4 n / ì „ ) < ^ ịiB „ < n=l nsl /)t^ u kiện đủ. T h e o g iả tliiố t ạ A € [O.oo] nôn ^ ^ 0. H iếu n h iên /i(0 ) = 0. Nhờ các điồu kiộn (2) và (3). t a dò d k n g kiổm t r a được tín h ơ -cộng tírứi c ù a fi. Vậy ịi là m ột độ đu. □ B ây giờ t a kí h iệ u i4„ T để chi dây tậ p {/In} tro n g X có tín li c h ấ t A n c An+\ vứi n = 1 , 2 , . . . và .4 = (J An- T ư ơng t ự k í h iệu An i A chỉ d ă y tậ p {Ẩ„} tro n g X n sl 00 có tíiih c h ấ t Afị^{ c An với m ọi 2 .2 .2 = 1 , 2 , . . . v à /1 = pỊ A„. Đ ị n h lý . Giả sứ A ỉà m ộ t đọi số vá n là m ộ t độ đo trỂn đại số A . K hi đố 1. /véu {i4„} c A . A £ A t'à /1,. t Ả thì liiu uA „ = uA . n-^oc 2. N ế u {/4„} Q A , A ^ A , An i A và fiArụj < 00 với € N nào đó thì Um ịiA n = ụ A . fl— *cc Chứng m inh. (1). Đ ạ t B ĩ = >4i. B„ = A„ \ A „ ^\ vdi m ọi 71 > 2. Klii đố B „ € -4 vđi n = 1 , 2 , . . . , các Bn đôi m ộ t rdi n h a u v k A„ = u ỡ j , .4 = u »s] Vì /i là đọ đo trô n ịiẰn = .=1 ^n- fisj nOn ịi có tín h ơ -cộng tín h v à cộng tín h . Suy ra số v k ịiA = •=1 u - n sỉ = lim fiA„. = liin "-« é = i Vi th ế t a có lim ịiA„ = ịiA. ri—*0C (2). K hông m ấ t tm h tổ n g q u á t ta g iả sử ịiA \ < + 00. Đ ặ t B„ = A i \ An vđi n ~ 1 ,2 ....... V ì ^ là đ ại số nOn B„ ^ A vầ dỗ th ấ y B „ c B „+ 1 VỚI n = 1 ,2 ......... D ặt B = .4i \ A . K hi đó t a có Đ - .4, \ n nsl - Ũ (>li \ nsl -4„) = 0 ^n- rt=| Vì tiA ị h ữ u hạii nẽii ụ,D„ = ị i A \ - fiA„ với n — 1 , 2 , — Á p d ụ n g k h ản g định (1) cho dãy {B „ }„ t a có lim ụ,B„ = ịiB . Vậy rĩ—*00 íj.4i - f iA = f i B = lịm ịiBr, = lỊm [fiAi - /i/í„ Ị n—00 n—oc Ỹỉà#tfttaot L<^ T1M ĨMIÍ V t m in O n X Ầ '? Ả TRẰ N VẢN ÂN. KIỀU P U r O N G ( ’HI Dộ d o -T ic h phãĩi 18 T ừ đỏ, do ị i A \ h ữ u hạii, t a có liin ịiAyị = ịiA . ri —IXI o Bài tập B à i 2 .1 . G iâ sử ^ là m ột hàm tậ p cộng tín h trOn m ột họ tậ p c vh A . B e c sao cho A c B . B \ A ^ c . C iiứiig iniu h rồaig uếu ị i B liừii h ạ n th ì /1.4 liừ u h ạ n và ta c6 fi[ B \ ,4) = ụ D — ịiA . llơ ií nữ a, Iiếu B à i 2 .2 . G iả s ử ^ ^ ữ th ì ụ.A ^ ịiD. * R là m ộ t h à m t ậ p k h õ n g &I11 , cộng tín h trê n đ ại số và A . B ^ Á . C h ứ n g m in h rằ n g ịi{ A ) + ị i { B ) = ịi{ A u B ) + ^ { A n B ) . B à i 2 .3 . C h o ụ là m ộ t độ đo trôii d ạ i số Á . C ỉiứng m in h rằn g 1. Nếu ịiAi = 0 với j = 1 , 2 , . . . và u Í=1 2. N ếu A . B ^ A e v4 th ì | J /4i) = 0. i=i \'ò. ị iB - ữ th ì ịi{A u B ) = fx{A \ B ) = ịiA . B à i 2 .4 . C ho ft là m ộ t h à m tộ p k h ồ n g âm , cộng tín h trẽ n m ộ t đ ạ i số A , fi{ộ) = 0 và th o ả m ã n m ộ t tro n g cốc đ iề u kiện sau: 1. N ếu A„ £ A . A„ c -4n+i vđi i = 1 . 2 , . . . v à \J A„ € A th ì / / ( u .4„) = n=l n sl lim ^A„. n—*oe 2. NẾu /4„ D y4„u với ỉ = 1 .2 ..,. và n n= l = (ử thì lim ịiA„ = 0. '•“ õ® C liứng m inli rà n g ụ là m ộ t độ đo trô n đ ại số A . B à i 2 .5 . G iả sử n là m ộ t liàm tậ p ơ -cộ n g tín h trOn đ ại số A . C h ứ n g m in h rằng: 1. N ếu A„ € -4. /4„ c i4„+i với ĩ' = 1 . 2 , . . . và .4 = M /1„ € n=l th ì lim ịiA n = nA. 2. N ếu A„ ^ A . A„ D A „ ^\ vổi i = 1 , 2 , . . . , A = f ] A n € Á v k ụA„n liữ t nsl h ạii với 7Ỉ0 n à o đó till lim ịiA n = Ịằ A. fl— *oc B à i 2 .6 . G iả s ử ụ. là m ộ t độ đo trẽ ỉi đ ại sé A . C liứiig iniiih rk iig n ế u An G A vớ: * = 1 ,2 ,..., A v ầ A „ ] A th ì lim ịiA n = (iA. n— *00 B à i 2 .7 . G iả sử X là m ộ t tậ p hữu h ạ n k h ác rỗng. G ọi A là họ t ấ t c ả các tệ p con của X . 19__________________ Đ ộ đo- Tích phân TRÀN VẢN ÂN, KIỀU PHƯƠNG THI 1. C h ứ n g m in h ràiig Á là m ộ t đại số. 2. Đ ạ t /i : A — ‘ R xác đ ịn h bởi __ f { x ị ) vồ = 0 với i=l / : X — » R là m ộ t áiili x ạ k h ô n g Ãm. C h ứ a g n ù n h ràiíg ịi là m ộ t đ ộ đo trẽ n A . B à i 2 .8 . G iả s ử B là m ộ t d ại số các tậ p cou c ủ a X v à /i„ . rỉ = l. 2 ___ià các độ Jo oc liữu han trẽ n B G iả s ử rà n g {At,} là m ộ t d ả y cốc số dươ ng sao cho < + 00 . __ X C hứiìg iniuh rằ n g h à in tậ p /i : B — » R x á c đ ịn h bởi ị i E ^ vđi m ọi E ẽ B là m ột độ đo h ừ u ỉiạn trẽ n B. 3 T hác triển độ đo O io A là m ộ t đ ại số trộ n tậ p hợp X và ^ là m ộ t độ đ o trê n A . Bài to á n đ ặ t ra à đây là th á c tr iể n (m ỏ rộng) độ đo ịi tr ẽ n đ ại sé A th à n h độ đo ụ ' trẽ n m ộ t íT-đại số c chứa A . M ụ c Iiày dược d à n h đ ể th ự c h iệ a ý tư d iig Iiói trê n . Hướng d ẫ n tự học 1. T rinh bày vắn t á t nội d u n g b ài toốii in ỏ rộng độ đo. 2. 'lYiiih bày tín h ơ -n ử a cộng tín h v à cho ví d ụ niiiili hoạ. 3. T rình bày k h á i niệm độ đo ng o ài và cho ví d ụ m in h hoạ. 4. Triitli bày k h á i Iiĩộm độ đ o ngoài sin h bỏi m ộ t độ đ o v à cho ví d ụ m in h hoạ. 5- TY‘;iili bày k h á i niệm tậ p /i*-đo được v à cho v í d ụ m in h hoạ. 6, TVinh bày đ ịn h lý C arath e o d o ry , k h á i niệm độ đo siu h bởi đ ộ đo ngoài v à clio ví d ụ m in h hoạ, 7. 'IVìnli bày đ ịiih lý m ở rộỉig độ đo. s, Trìnli bày k h á i niệm đ ộ đo đ ù và. cho ví d ụ m in h hoạ. Trìnli bày tín h c h ấ t c ủ a inở rộ n g tiẽ u ch u ẩn ịi' v à (T-đại số c c ác tậ p /i*-đo được. 0. Giải CỂIC b à i tậ p cuối m ục. 20___________________Độ d v -T íc h ph â n TRẰ N VÀN ẢN. KIẺU PHƯƠNC; CHI 3.1 Độ đo ngoài và độ đo ngoài sinh bởi m ộ t độ đo 3 .1 .1 Đ ị n h n g h ĩ a . H àm lặ p u : V { X ) —* R xác d ịn h trẽ n P { X ) được gọi là m ộ t độ đo ngoài trê n X n ế u th o ả m ẫ n các đ iều kiộii sau 1. u ị ộ ) = 0. 2. u{ A) > 0 với m ọi A e V ( X ) (tín h kliôiig âm ). 3. N éu /1 c u 1=1 (tín li ơ -n ử a cộng tin h ). i=i 3 .1 .2 V í d ụ . 1) D ộ đo đ ế m là in ộ t đ ộ đo ngoài. 2) Độ đo D irac là m ộ t độ đ o ngoài. D ễ đàiig kiểm t r a trự c tiế p các ví d ụ này. 3 .1 .3 N h ậ n x é t . D ộ đ o ngoài khõiig l à m ộ t đ ộ đo. Th ật vậy, vứi X = { u .t} , x é t u : P { X ) — ►R đưực x ác đ ịa h bỏi cOng th ứ c uA = • 0 n ế u A = ộ, 1 n ế u A ^ ệ. K hi đ ó d ẽ d à n g kiềm t r a đư ợ c 1'ầiig u là m ộ t (ỉộ du ngoài. T \iy lỉliiổu u k h ỏ u g ỉà đ ộ đu, vì Iiếu lấy ^ 1 = (o} và A t = {6}, tliì t a có u ị A i U / I 2 ) = 1 ^ 1 + 1 = u i A ] ) + iy{Aĩ)3 .1 .4 M ệ n h đ ề . Giả s ủ V là độ đo ngoài IrỂn X . K h i đó, u thoà m á n các điều ktện sau 1 . N ể u .4 c ( J i=l íAỉ I '/l ^ f=l cộng tín h ). 2. N ế u A c B thì u A ^ u B (tín h đ ơn đ iệu ). Chứng m inh. Suy trự c tiế p từ đ ịn h n g h ĩa , x em n h ư b ài tậ p . □ 3 .1 .5 Đ ị n h lý . (Đ ộ đ o ngoầi sin h bỏ i m ộ t độ đo) G iả sử fi là m ộ t độ đo trên đại số Ả . Vâi m ỗ i A € V { X ) ta dặt, ft*{A) = i n ỉ { f 2 l ‘A ■ A e A . ì £ N và > l c 0 / 1 , } . is ỉ t=ỉ Kh i đó (1.1)