Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8
BUỔI 1 : HẰNG ĐẲNG THỨC
A. MỤC TIÊU:
* Củng cố và nâng cao kiến thức về phép nhân đa thức – hằng đẳng thức
* Tiếp tục rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về phép nhân đa thức – hằng đẳng thức
* Tạo hứng thú cho HS trong quá trình học nâng cao môn toán
B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
I. Nh¾c l¹i néi dung bµi häc:
1. Nh©n ®a thøc víi ®a thøc:
A( B + C + D) = AB + AC + AD
(A + B + C) (D + E) = AD + AE + BD + BE + CD + CE
2.Nh÷ng h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí:
B×nh ph¬ng mét tæng: ( A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (1)
B×nh ph¬ng mét hiÖu: ( A - B)2 = A2 - 2AB + B2 (2)
HiÖu hai b×nh ph¬ng: A2 – B2 = (A + B)(A – B) (3)
II. Bµi tËp ¸p dông:
Ho¹t ®éng cña GV
Ho¹t ®éng cña HS
HS ghi ®Ò, thùc hiÖn theo nhãm
1. Bµi 1: Rót gän biÓu thøc
HS cïng GV thùc hiÖn lêi gi¶i
a) (x + 1) (x2 + 2x + 4)
a) (x + 1) (x2 + 2x + 4) =x3 + 2x2 + 4x + x2 +
Thùc hiÖn phÐp nh©n råi rót gän
2x + 4 = x3 + 3x2 + 6x + 4
b) (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 – x + 1)
b) (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 – x + 1)
= …= x7 + x2 + 1
2
2
c) (3x + 1) – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5) c) (3x + 1)2 – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)2
= [(3x + 1) – (3x + 5)]2 = (3x + 1 – 3x –
5)2
= (- 4)2 = 16
Bµi 2: T×m x biÕt:
3(x + 2)2 + (2x – 1)2 – 7(x + 3)(x - 3) =
HS ghi ®Ò bµi
172
gi¶i theo nhãm Ýt phót
¸p dông c¸c H.®¼ng thøc (1), (2), (3)
¸p dông c¸c H.®¼ng thøc nµo ®Ó gi¶i
3(x + 2)2 + (2x – 1)2 – 7(x + 3)(x - 3) =
BiÕn ®æi, rót gän vÕ tr¸i
172
� 3(x2 + 4x + 4) + 4x2 – 4x + 1 – 7(x2 –
9) = 172 � …. � 8x = 96 � x = 12
Bµi 3:
Cho x + y = a; xy = b. tÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu
HS ghi ®Ò bµi, tiÕn hµnh bµi gi¶i
thøc sau theo a vµ b:
2
2
4
4
Ta cã x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b
x +y; x +y
x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2(xy)2
Bµi 4: chøng minh r»ng
3
2
2
3
4
4
= (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 - 4a2b + 2b2
a) (x + y)(x – x y + xy – y ) = x – y
b) NÕu: (a + b)2 = 2(a2 + b2) th×: a = b
Tõ (a + b)2 = 2(a2 + b2) suy ra ®iÒu g×?
c) NÕu: x + y + z = 0 vµ
xy + yz + zx = 0 th× x = y = z
Tõ : x + y + z = 0 � (x + y + z)2 =?
Tõ ®o ta cã ®iÒu g×?
d) cho a + b + c = 0 vµ a2 + b2 + c2 = 2
HS ghi ®Ò, tiÕn hµnh gi¶i cïng víi GV
a)VT = (x + y)(x3 – x2y + xy2 – y3)
= x4 – x3y + x2y2 – xy3 +x3y - x2y2 + xy3y4
= x4 – y4 = VP (®pcm)
b) Tõ (a + b)2 = 2(a2 + b2) suy ra
a2 + 2ab + b2 = 2a2 + 2b2 � a2 - 2ab + b2 = 0
� (a – b)2 = 0 � a – b = 0 � a = b
(®pcm)
c) Tõ : x + y + z = 0 � (x + y + z)2 = 0
� x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = 0
� x2 + y2 + z2 = 0 ( v× xy + yz + zx = 0)
1
Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8
c/m: a4 + b4 + c4 = 2
HD c¸ch gi¶i t¬ng tù
Bµi 5:
So s¸nh:
a) A = 1997 . 1999 vµ B = 19982
b)A = 4(32 + 1)(34 + 1)…(364 + 1)
vµ B = 3128 - 1
TÝnh 4 theo 32 – 1?
Khi ®ã A = ?
¸p dông h»ng ®¼ng thøc nµo liªn tiÕp ®Ó so
s¸nh A vµ B
Bµi 6:
a) Cho a = 11…1( co n ch÷ sè 1)
b = 100…05( cã n – 1 ch÷ sè 0)
Cmr: ab + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng
� x=y=z
d) Tõ a + b + c = 0 � (a + b + c )2 = 0
� a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0
� ab + bc + ca = -1 (1)
Ta l¹i cã:
(a2 + b2 + c2)2 = a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 +
c2a2) = 4 (2)
Tõ (1) � (ab + bc + ca)2 = 1
� a2b2 + b2c2 + c2a2 = 1 (3)
Tõ (2) vµ (3) suy ra a4 + b4 + c4 = 2
a) A = 1997 . 1999 = (1998 – 1)(1998 + 1)
= 19982 – 1 < 19982 � A < B
2
b) V× 4 = 3 1 nªn
2
A = 4(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1)
2
= 3 1 (32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1)
2
1 4
= (3 - 1) (34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1)
2
1
= (38 - 1)(38 + 1)…(364 + 1)
2
1
= (316 - 1)(316 + 1)(332 + 1)(364 + 1)
2
1
= (332 - 1)(332 + 1)(364 + 1)
2
1 64
1
1
= (3 - 1)(364 + 1) = (3128 - 1) = B
2
2
2
VËy: A < B
b) Cho Un = 11…155…5 (cã n ch÷ sè 1 vµ n
ch÷ sè 5)
Ta cã: b = 10n + 5 = 9….9 + 6
Cmr: Un + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng
= 9(1…1) + 6 = 9a + 6
� ab + 1 = a(9a + 6) + 1 = 9a2 + 6a +1
= (3a + 1)2 lµ mét sè chÝnh ph¬ng
Ta viÕt:
Un =
=
n sè 1
n sè 5
+
n sèn 1+ 5.n 11
sè …
0 1 n sè 5
= 11…1.10
§Æt: a = 11…1 th× 9a + 1 = 10n
Do ®ã : Un + 1 = 9a2 + 6a +1 =(3a + 1)2
III. Bài tập về nhà:
Bài 1:
cho x + y = 3. Tính giá trị biểu thức: x2 + y2 + 2xy – 4x – 4y + 1
Bài 2:
Chứng minh rằng: x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2
2
Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8
Bài 3:
Cho (a + b + c)2 = 3(a2 + b2 + c2). Cmr: a = b = c
Bài 4: Chứng minh rằng:
Nếu n là tổng của hai số chính phương thì 2n và n2 củng là tổng của hai số chính
phương
Bài 5: So sánh:
xy
x2 y2
A=
với B = 2
(Víi 0 < y < x )
xy
x y2
BUỔI 2 : HẰNG ĐẲNG THỨC ( Tiếp)
A. MỤC TIÊU:
* Củng cố và nâng cao kiến thức về hằng đẳng thức
* Tiếp tục rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về hằng đẳng thức
* Tạo hứng thú cho HS trong quá trình học nâng cao môn toán
B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
I. Nhắc lại nội dung bài học:
Những hằng đẳng thức đáng nhớ:
Bình phương một tổng: ( A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (1)
Bình phương một hiệu: ( A - B)2 = A2 - 2AB + B2 (2)
Hiệu hai bình phương: A2 – B2 = (A + B)(A – B) (3)
Lập phương một tổng: (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (4)
Lập phương một hiệu: (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 (5)
3
Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8
Tổng hai lập phương: A3 + B3 = ( A + B )( A2 – AB + B2 ) (6)
Hiệu hai lập phương: A3 – B3 = ( A – B )( A2 + AB + B2 ) (7)
B×nh ph¬ng tæng ba h¹ng tö: (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB + AC + BC)
II. Bµi tËp ¸p dông:
Ho¹t ®éng cña GV
Ho¹t ®éng cña HS
Bµi 1: Rót gän biÓu thøc:
HS ghi ®Ò, tiÕn hµnh bµi gi¶i
a) (x - 2)3 - x(x + 1)(x - 1) + 6x(x - 3)
1HS lªn gi¶i
Cho HS ghi ®Ò, tiÕn hµnh bµi gi¶i
a) (x - 2)3 - x(x + 1)(x - 1) + 6x(x - 3)
Ta thùc hiÖn phÐp tÝnh nh thÕ nµo?
= ...= 5x - 8
HS thùc hiÖn, 1HS lªn gi¶i
b) (x - 2)(x2 - 2x + 4)(x + 2)(x2 + 2x + 4)
b) (x - 2)(x2 - 2x + 4)(x + 2)(x2 + 2x + 4)
= (x - 2)(x2 + 2x + 4)(x + 2)(x2 - 2x + 4)
Ta nªn thùc hiÖn phÐp tÝnh nh thÕ nµo?
= (x3 - 8)(x3 + 8) = x6 - 64
Bµi 2: T×m x biÕt
(x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1
§Ó t×m x ta lµm thÕ nµo?
HS ghi ®Ò, tiÕn hµnh bµi gi¶i
Thùc hiÖn phÐp tÝnh, rót gän vÕ tr¸i
1HS lªn b¶ng gi¶i
(x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1
� x3 - 27 - x(x + 2)(x - 2) = 1
� x3 - 27 - x(x2 - 4) = 1
� x3 - 27 - x3 + 4x = 1 � 4x = 28 � x = 7
Bµi 3: ViÕt biÓu thøc sau díi d¹ng tæng
cña ba b×nh ph¬ng:
A = (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2
Cho HS suy nghÜ, t×m c¸ch gi¶i
NÕu HS cha gi¶i ®îc th× gîi ý:
H·y triÓn khai, t¸ch tæng trªn thµnh ba
tæng cã d¹ng: A2 + 2AB + B2
Bµi 4: TÝnh gi¸ trÞ Bt khi biÕt gi¸ tri Bt
kh¸c
a) Cho x + y = 2; x2 + y2 = 10. TÝnh gi¸ trÞ
cña Bt A = x3 + y3
Cho HS gi¶i
ViÕt A thµnh tÝch
§Ó tÝnh gi¸ trÞ cña A ta cÇn tÝnh xy.
TÝnh xy nh thÕ nµo?
Tõ : x + y = 2; x2 + y2 = 10. H·y t×m c¸ch
tÝnh xy
b) Cho a + b + c = 0 ; a2 + b2 + c2 = 1
TÝnh gi¸ trÞ cña Bt: B = a4 + b4 + c4 ?
§Ó cã a4 + b4 + c4 ta lµm thÕ nµo?
HS ghi ®Ò, t×m c¸ch gi¶i
§¹i diÖn HS lªn tr×nh bµy( NÕu kh«ng gi¶i ®îc
th× theo Hd cña GV)
NhiÖm vô b©y giê lµ lµm g×?
§Ó cã (a2b2 + b2c2 + c2a2) ta ph¶i lµm g×?
Khi ®ã ab + bc + ca = ?
A = a2+ b2+ c2 +2ab+2bc+ 2 ca+ a2+ b2+ c2
= (a2+ 2ab+ b2) + (a2 +2ac+ c2) + (b2+ 2bc+ c2)
= (a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2
HS gi¶i
A = (x + y)(x2 + y2 - xy) = 2( 10 - xy) (1)
HS suy nghÜ, t×m c¸ch tÝnh xy
Tõ x + y = 2 � x2 + y2 + 2xy = 4 � xy = - 3 (2)
Thay (2) vµo (1) ta cã : A = 2(10 + 3) = 26
HS ghi ®Ò
B×nh ph¬ng Bt: a2 + b2 + c2 = 1, ta cã
a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) = 1
� a4 + b4 + c4 = 1 - 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) (1)
TÝnh: 2(a2b2 + b2c2 + c2a2)
ta ph¶i b×nh ph¬ng Bt: (ab + bc + ca)
Ta b×nh ph¬ng Bt: a + b + c = 0, ta cã:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0
1
1
� (ab + bc + ca)2 =
2
4
1
� a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2(a + b + c) abc =
4
� ab + bc + ca =
4
Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8
a2b2 + b2c2 + c2a2 = ?
� a2b2 + b2c2 + c2a2 =
Tõ ®©y, lµm thÕ nµo ®Ó tÝnh gi¸ trÞ cña Bt
B
Bµi 5:
{ ; b = 1....1
{ vµ c = 6....6
{
Cho a = 1....1
2n
n 1
n
Chøng minh r»ng: A = a + b + c + 8 lµ
mét sè chÝnh ph¬ng
§Ó chøng minh mét tæng lµ mét sè chÝnh
ph¬ng, ta cÇn c/m g×?
A=a+b+c+8=?
9
9
Ta cã: 11...1
. ViÕt thµnh luü
{ (11...1)
{
thõa 10?
n
n
Thay (2) vµo (1) ta cã:
B = 1 - 2.
1
1
1
=1- =
4
2
2
HS ghi ®Ò, t×m c¸ch gi¶i
§Ó chøng minh mét tæng lµ mét sè chÝnh ph¬ng, ta cÇn c/m nã b»ng b×nh ph¬ng cña mét sè
{ + 1....1
{ + 6....6
{ +8
A = 1....1
n 1
2n
Cã nhËn xÐt g× vÒ hai vÕ cña ®¼ng thøc?
Ta cã kÕt luËn g×?
Ta cã thÓ nãi : BiÓu thøc
A = x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 cã
gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 2 khi x = 2 ; y =
z=4
n
9 1....1
9 {
{ )+8
( { ) + (1....1
) + 6( 1....1
2n
n
1
n
9
9
2n
n 1
n
= 10 1 + 10 1 + 6. 10 1 + 8
9
9
9
2n
n 1
n
2n
n
= 10 10 10 64 = 10 16.10 64
9
9
=
2
Bµi 6: Tån t¹i hay kh«ng c¸c sè x, y, z
tho· m·n ®¼ng thøc:
x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = 0
H·y biÕn ®æi vÕ tr¸i ®¼ng thøc thµnh d¹ng
tæng c¸c b×nh ph¬ng?
1
(2)
4
2
2
�
�
10n 8 � �
100...08 � �
=�
33...36
�
� �
� �
1
2
3
� 3 � � 3 � � n 1 �
x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = 0
� (x2- 4x+ 4)+(4y2+4y+1)+(z2- 8z +16)+ 2 = 0
� (x - 2)2 + (2y + 1)2 + (z - 4)2 + 2 = 0
Râ rµng, vÕ tr¸i cña ®¼ng thøc lµ mét sè d¬ng
víi mäi x, y, z; cßn vÕ ph¶i b»ng 0
VËy kh«ng tån t¹i c¸c sè x, y, z tho· m·n ®¼ng
thøc: x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = 0
1
vµ
2
Bài tập về nhà
Bài 1: Rút gọn biểu thức:
a) (y - 2)(y + 2)(y2 + 4) - (y + 3)(y - 3)(y2 + 9)
b) 2(x2 - xy + y2)(x - y)(x2 + xy + y2)(x + y) - 2(x6 - y6)
Bài 2:
a) Cho x - y = 1. Tính giá trị Bt: A = x3 - y3 - 3xy
b) Cho x + y = a + b; x2 + y2 = a2 + b2 . Tính x3 + y3 theo a và b
Bài 3: Chứng minh rằng
Nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3 abc
5
Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8
BUỔI 3 : ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, HÌNH THANG
A. MỤC TIÊU:
- Củng cố và nâng cao kiến thức về hình thang, đường trung bình của tam giác, đường
trung bình của hình thang
- Tiếp tục rèn luyện kỷ năng chứng minh hình học cho HS
- tạo niềm tin và hứng thú cho HS trong khi học nâng cao
B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
I. Nhắc lại một số kiến thức bài học:
1. Đường trung bình của tam giác
* Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác
gọi là đường trung bình của tam giác
- E là trung điểm AB, F là trung điểm AC thi EF là đường trung bình của ABC
- Nếu E là trung điểm AB và EF // BC thì F là trung
điểm AC
- EF là đường trung bình của ABC thì EF // BC và EF =
1
BC
2
4. Đường trung bình của hình thang:
* Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang gọi là đường trung bình của hình
thang
+ Hình thang ABCD (AB // CD) có M là trung điểm AD, N là trung điểm BC thì MN là
đường trung bình của hình thang ABCD
+ Nếu MA = MD, MN // CD // AB thì NB = NC
+ MN là đường trung bình của hình thang ABCD
6
Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8
1
A
thì MN // AB // CD và MN = (AB + CD)
2
II. Bµi tËp ¸p dông:
E
F
B
Bài 1:
Cho ABC đều cạnh a. Gọi M, N theo
thứ tự là trung điểm của AB và AC
a) Tứ giác BCMN là hình gì? vì sao?
b) Tính chu vi của tứ giác BCNM theo a
Cho HS tìm lời giải ít phút
Dự đoán dạng của tứ giác BCNM?
Để c/m tứ giác BCNM là hình thang cân
ta cần c/m gì?
Vì sao MN // BC
�=C
�?
Vì sao B
Từ đó ta có KL gì?
C
A
HS ghi ®Ò bµi
ViÕt GT, KL, vÏ
h×nh
M
HS suy nghÜ, t×m lêi
gi¶i
HS dù ®o¸n
c/m: MN // BC vµ
�=C
�
B
N
B
Tõ GT � MN lµ ®êng trung b×nh cña ABC
1
� MN // BC (1) vµ MN =
BC (2)
2
0
�
�
ABC ®Òu nªn B = C 60 (3)
Tõ (1) vµ (3) suy ra tø gi¸c BCNM lµ h×nh
thang c©n
Chu vi h×nh thang c©n BCNM lµ
PBCNM = BC +BM + MN + NC (4)
1
1
1
AB = BC = a
2
2
2
1
1
BC = a, MN = BC = a
2
2
BM = NC =
Chu vi hình thang cân BCNM tính như
thế nào?
Hãy tính cạnh BM, NC theo a
BC = ? vì sao?
VËy : PBCNM = BC +BM + MN + NC
=a+
1
1
1
5
a+ a+ a= a
2
2
2
2
VÏ h×nh
Vậy: chu vi hình thang cân BCNM tinh
theo a là bao nhiêu?
A
M
Bài 2:
Cho ABC có ba góc đều nhọn; AB >
AC
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của
AB, AC, BC. Vẽ đường cao AH
C
B
N
P
H
C
Tø gi¸c MPHN lµ h×nh thang c©n hoÆc C/m:
MP vµ NH cïng b»ng mét ®o¹n nµo ®ã
MP lµ ®êng Tb cña ABC nªn MP // AC vµ
7
Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8
a) C/m: MP = NH
b) Giả sử: MH PN.
C/m: MN + PH = AH
Để C/m MP = NH ta cần C/m gì?
Từ GT suy ra MP có tính chất gì?
Ta cần C/m gì?
Gọi I = MN �AH thì ta có điều gì? Vì
sao?
Hoàn thành lời giải?
MP =
1
AC
2
Ta cÇn C/m NH =
1
AC
2
M lµ trung ®iÓm AB vµ MI // BH ( do MN lµ ®êng trung b×nh cña ABC) nªn I lµ trung ®iÓm
AH vµ AI MN (Do AH BC )
� ANH c©n t¹i N � NH = NA =
1
AC
2
VËy: MP = NH
HS hoµn thµnh lêi gi¶i c©u a
Khi MH PN th× MH AB v× NP // AB
AMH lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i M v× cã
�
AMH
900 vµ cã MI võa lµ trung tuyÕn võa lµ
�
�
®êng cao � MAH
= AHM
450
�
�
ABH cã AHB
900 mµ AHM
450 nªn
�
HBM
450 � ABH vu«ng c©n t¹i H.
Suy ra BH = AH
Mµ BH = BP + PH = MN + PH
VËy: MN + PH = AH
HS ghi ®Ò, VÏ h×nh,
Khi MH PN thì MH AB? Vì sao?
AMH là tam giác gì? vì sao?
A
D
ABH là tam giác gì? vì sao?
Q
P
M
I
Từ đó suy ra điều gì?
L
Bài 3:
Cho ABC. Gọi I là giao điểm của các
tia phân giác trong. kẻ IM AB; IN
BC và IK AC. Qua A vẽ đường thẳng a
// MN; đường thẳng b // NK. A cắt NK tại
E, b cắt NM tại D, ED lần lượt cắt AC,
AB tại P, Q. Cmr: PQ // BC
Gọi giao điểm của BC và AD là L, của
BC và AE là H
B
N
E
K
C
H
AMI = AKI (C. huyÒn – g. nhän)
� AM = AK (1)
BMI = BNI (C. huyÒn – g. nhän)
� BM = BN (2)
CNI = CKI (C. huyÒn – g. nhän)
� CN = CK (3)
Y MNHA lµ h×nh thang c©n( v× cã: MN//AH,
�
� = NHA
�
�
)
MAH
= BMN
= BNM
� NH = AM (4)
Y KNLA lµ h×nh thang c©n � NL = AK (5)
Tõ (1), (4), (5) � NL = NH (6)
NE, ND lµ ®êng trung b×nh cña ALH nªn:
EA = EH (7) vµ DA = DL (8)
Tõ (7) vµ (8) suy ra: DE lµ ®êng trung b×nh
cña ALH � DE // LH � PQ // BC
HS vÏ h×nh
8
Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8
Để c/m: AM = AK ta c/m gì?,
Tương tự hãy c/m: BN = BM, CN = CK
Y MNHA là hình gì? Vì sao
Ta suy ra điều gì?
Y KNLA là hình gì? Vì sao? Từ đó ta có
điều gì?
Ta có thể KL gì về Mqh giữa ND, NE
trong ALH
DE có tính chất gì?
Bài 4:
Cho ABC có AB = c, BC = a, AC = b
Qua A vẽ đường thẳng song song với BC
cắt các tia phân giác của góc B và góc C
tại D và E. Từ A vẽ AP BD; AQ CE.
PQ lần lượt cắt BE, CD tại M và N
Tính MN, PQ theo a, b, c
Dự đoán xem MN có tính chất gì?
E
A
D
1
1
M
Q
P
1
N
1
2
2
C
B
Dù ®o¸n: MN lµ ®êng trung b×nh cña h×nh
thang BCDE
Tõ gt � BCDE lµ h×nh thang v× cã DE // BC
� =B
� mµ B
� =D
� (so le trong – do BC //
B
1
2
2
1
� =D
� � BAD c©n t¹i A.
DE) � B
1
1
�
mµ AP BD
PB = PD; AB = AD = c
T¬ng tù CAE c©n t¹i A Vµ AQ CE
� QC = QE vµ AC = AE = b
PQ lµ ®o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm cña hai ®êng
chÐo h×nh thang BCDE nªn PQ // AB
� MN lµ ®êng trung b×nh cña h×nh thang
BCDE nªn:
BC + DE BC + AE + AD a + b + c
=
2
2
2
BC + DE
PQ = MN–(MQ + NP) =
- BC
2
AD + AE - BC
b+c-a
=
2
2
MN =
Hãy C/m BCDE là hình thang
Dự đoán và c/m dạng của BAD
Tõ ®ã ta cã ®iÒu g×?
PQ cã tÝnh chÊt g×?
Suy ra tÝnh chÊt cña MN
H·y tÝnh MN vµ PQ theo a, b, c
III. Bµi tËp vÒ nhµ:
Bµi 1:
1
� = 900); AB = CD = AB
Cho h×nh thang vu«ng ABCD (AB // CD, A
2
kÎ CH AB, Gäi giao ®iÓm cña AC vµ DH lµ E, giao ®iÓm cña BD vµ CH lµ F
a) Tø gi¸c ADCH lµ h×nh g×?
b) C/m : AC BC
9
Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8
c) EF =
1
1
DC = AB
2
4
Bµi 2:
Chøng minh r»ng: §o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm hai ®êng chÐo cña h×nh thang th× song
song víi hai ®¸y vµ b»ng nöa hiÖu hai ®¸y
BUỔI 4 – PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
A. MỤC TIÊU:
* Củng cố, khắc sâu và nâng cao kiến thức về phân tích đa thức thành nhân tử
* HS sử dụng thành thạo các phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử
* Vận dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử vào các bài toán chứng minh, tìm giá trị
của biểu thức, của biến
B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
I. Nh¾c l¹i kiÕn thøc bµi häc:
C¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
* Ph¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung: AB + AC + AD = A(B + C + D)
* Ph¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc: Sö dông H®t ®Ó viÕt ®a thøc thµnh tÝch
* Ph¬ng ph¸p nhãm c¸c h¹ng tö: Nhãm c¸c h¹ng tö nµo ®ã víi nhau ®Ó lµm xuÊt hiÖn nh©n
tö chung hoÆc xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc
* Ph¬ng ph¸p t¸ch h¹ng tö :
Víi ®a thøc d¹ng: a x2 + bx + c ta lµm nh sau:
ViÕt tÝch ac = b1b2 = b3b4 = sau ®ã chän ra 2 thõa sè cã tæng b»ng b.
T¸ch bx = (b1x + b2x) nÕu b = b1 + b2
Khi ®ã a x2 + bx + c = (b1 x2 + b1x) + ( b2x + b2) =
* Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô: §Æt Èn phô ®Ó ®a biÓu thøc cÇn ph©n tÝch thµnh mét biÓu thøc dÔ
ph©n tÝch h¬n
* Ph¬ng ph¸p Thªm bít cïng mét h¹ng tö : Thªm hoÆc bít cïng mét h¹ng tö ®Ó lµm xuÊt
hiÖn nh©n tö chung hoÆc mét h»ng ®¼ng thøc
* Phèi hîp nhiÒu ph¬ng ph¸p: sö dông ®ång thêi nhiÒu ph¬ng ph¸p ®Ó ph©n tÝch
II. Bµi tËp vËn dông:
10
Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8
Ho¹t ®éng cña Gi¸o viªn
Bµi 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö:
a) 25x4 – 10x2y + y2
¸p dông ph¬ng ph¸p nµo ®Ó ph©n tÝch ®a
thøc nµy
b) 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3
c) (4x2 – 3x -18)2 – (4x2 + 3x)2
Bµi 2: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö
a) x4 + 2x3 – 4x - 4
Ta ¸p dông ph¬ng ph¸p nµo ®Ó ph©n tÝch
Ho¹t ®éng cña häc sinh
HS: ¸p dông PP dïng H®t
25x4 – 10x2y + y2 = (5x2)2 – 2. 5x2.y + y2
= (5x2 – y)2
b) 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3
= (2m)3 + 3.(2m)2.3n + 3.2m.(3n)2 + (3n)3
= (2m + 3n)3
c) (4x2 – 3x -18)2 – (4x2 + 3x)2
= [(4x2 – 3x -18) – (4x2 + 3x)][(4x2 – 3x -18)
+ (4x2 + 3x)] = (8x2 – 18) (- 6x – 18)
= 2(4x2 – 9)[- 6(x + 3)]
= -12(2x + 3)(2x – 3)(x + 3)
¸p dông ph¬ng ph¸p nhãm h¹ng tö
a) x4 + 2x3 – 4x – 4 = (x4 – 4 ) + (2x3 – 4x)
= (x2 + 2)(x2 – 2) + 2x(x2 – 2)
3
2
= (x2 – 2)(x2 + 2x + 2)
b) x +2x y – x – 2y
b) x3 +2x2y – x – 2y = x2 (x + 2y) – (x + 2y)
2
2
3
c) ac x – adx – bc x + cdx +bdx – c x = (x + 2y)(x2 – 1) = (x + 2y)(x – 1)(x + 1)
c) ac2x – adx – bc2x + cdx + bdx – c3x
= (– adx + bdx + cdx) + (ac2x – bc2x – c3x)
= dx( -a + b + c) + c2x(a – b – c)
= x[(b + c – a)d – c2(b + c – a)]
= x(b + c – a) (d - c2)
3. Bµi 3: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö
2
a) x – 6x + 8
HS ghi ®Ò
¸p dông ph¬ng ph¸p nµo ®Ó ph©n tÝch?
C¸ch 1:
Ph©n tÝch b»ng c¸ch t¸ch h¹ng tö nµo?
V× 1.8 = 2.4 = (-4)(-2); -6 = (-2) + (-4)
t¸ch nh thÕ nµo?
Cã thÓ t¸ch nh thÕ nµo kh¸c n÷a ®Ó xuÊt nªn ta cã: x2 – 6x + 8 = (x2 - 2x) – (4x – 8)
= x(x – 2) – 4(x – 2) = (x – 2)(x - 4)
hiÖn h»ng ®¼ng thøc råi tiÕp tôc ph©n
C¸ch 2: x2 – 6x + 8 = (x2 – 6x + 9) – 1 = …?
tÝch
C¸ch 3: x2 – 6x + 8 = (x2 – 4) – 6x + 12 =…?
C¸ch 4: x2 – 6x + 8 = (x2 – 16) – 6x + 24 =..?
T¬ng tù, GV cïng HS t×m ra c¸c c¸ch
HS vÒ nhµ t×m thªm c¸ch kh¸c
ph©n tÝch kh¸c trong ph¬ng ph¸p t¸ch
h¹ng tö
b) a4 + a2 + 1
H·y t¸ch a2 thµnh 2 h¹ng tö ®Ó ph©n tÝch b) a4 + a2 + 1 = (a4 + 2a2 + 1 ) – a2
= (a2 + 1)2 – a2 = (a2 – a + 1)(a2 + a + 1)
c) x3 – 19x – 30
H·y t¸ch h¹ng tö -19x ®Ó ph©n tÝch
c) x3 – 19x – 30 = (x3 – 9x) – (10x + 30)
= x(x2 – 9) – 10 (x + 3)
= (x + 3)[x(x – 3) – 10] = (x + 3)(x2 – 3x –
10)
= (x + 3) [(x2 – 5x) + (2x – 10)]
= (x + 3)[x(x – 5) + 2(x – 5)]
Bµi 4: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö
= (x + 3)(x – 5)(x + 2)
a) a4 + 64
D¹ng a2 + b2 nªn ta thªm vµ bít h¹ng tö
thªm vµ bít 2ab ta cã;
nµo ®Ó xuÊt hiÖn mét h»ng ®¼ng thøc
a4 + 64 = (a2)2 + 2.8a2 + 64 – 2.8a2
= (a2 + 8)2 – (4a)2 = (a2 + 4a + 8)(a2 - 4a + 8)
b) x5 – x4 - 1
b) x5 – x4 – 1
= (x5 - x4 + x3) - (x3- x2 + x) - (x2 - x + 1)
= x3 (x2 - x + 1) - x (x2 - x + 1) - (x2 - x + 1)
11
Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8
c) a3 + b3 + c3 - 3abc
Ta ®· cã a3 + b3, vËy nªn thªm bít c¸c
h¹ng tö nµo ®Ó xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc
H·y ph©n tÝch ®a thøc trªn thµnh nh©n tö
Bµi 5: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö
a) (x2 + x )2 + 4x2 + 4x - 12
Ta sö dông ph¬ng ph¸p nµo ®Ó ph©n tÝch
b) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15
Yc HS lµm t¬ng tù nh c©u a
Bµi 6:
a) Cho a + b + c = 0 c/m r»ng:
a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 + c2a2)
Tõ a + b + c = 0 � ?
b) cho xy �0; (a2+b2)(x2+y2) = (ax + by)2
C/m:
a b
x y
= (x2 - x + 1)(x3 - x - 1)
HS suy nghÜ, tr¶ lêi
c) a3 + b3 + c3 - 3abc
= (a3+ b3+ 3a2b+ 3ab2)+ c3- (3a2b+ 3ab2+3abc)
= (a + b)3+ c3- 3ab(a+ b+ c)
= (a+ b+ c)[(a+ b)2- (a+ b)c + c2] - 3ab(a+b+c)
= (a+ b+ c)(a2+ b2+ c2 - ab - ac - bc)
a) (x2 + x )2 + 4x2 + 4x - 12
= (x2 + x )2 + 4(x2 + x ) – 12 (*)
§Æt (x2 + x ) = y ta cã
(*) = y2 + 4y – 12 = (y2 + 4y + 4) – 16
= (y + 2)2 – 42 = (y + 6)(y – 2)
= (x2 + x +6 )(x2 + x - 2)
= (x2 + x +6 )[(x2 – x) + (2x – 2)]
= (x2 + x +6 )[x(x – 1) + 2(x – 1)]
= (x2 + x +6 )(x – 1)(x + 2)
b) §Æt y = x2 + 8x + 7 th× x2 + 8x + 15 = y + 8
ta cã: (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15
= y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15
= y2 + 8y +16 – 1 = (y + 4)2 – 1
= (y + 3)(y + 5) =(x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12)
a) Tõ a + b + c = 0 � (a + b + c )2 = 0
� a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0
� (a2 + b2 + c2)2 = [ - 2(ab + bc + ca)]2
� a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2)
= 4[a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc(a + b + c)
� a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2)
= 4(a2b2 + b2c2 + c2a2). V× a + b + c = 0
� a4 + b4 + c4 = 2( a2b2 + b2c2 + c2a2)
b) Tõ (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2
� (a2 + b2)(x2 + y2) - (ax + by)2 = 0
� a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 - a2x2 - 2abxy - b2y2
= 0 � a2y2 - 2abxy + b2x2 = 0
� (ay – bx)2 = 0 � ay – bx = 0
� ay = bx �
a b
(®pcm)
x y
III. Bài tập về nhà:
Bài 1: Phân tích thành nhân tử
a) 25x2 – 20xy + 4y2
b) x3 – 4x2 – 9x + 36
c) x2 – 7xy + 10y2
d) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12
Bài 2: Chứng minh rằng
a) Hiệu các bình phương của hai số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 8
b) A = (n + 1)4 + n4 + 1 chia hết cho một số chính phương khác 1 với n �N
12
Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8
BÀI 5: HÌNH BÌNH HÀNH – HÌNH CHỮ NHẬT
A. MUÏC TIEÂU:
* Cuûng coá vaø naâng cao kieán thöùc veà hình bình haønh vaø hình chöõ nhaät
* Vaän duïng thaønh thaïo kieán thöùc vaøo caùc baøi taäp veà Hbh vaø hcn
* HS coù höùng thuù vaø nghieâm tuùc trong hoïc taäp
B. HOAÏT ÑOÄNG DAÏY HOÏC:
I. Nhaéc laïi kieán thöùc baøi hoïc:
Hình bình hành
Hình chữ nhật
ABCD
là Hcn
�=B
�=C
�=D
� 900
�A
Kiến
thức
2. Tính
chấtAB
CD là
Hbh
ABCD là Hbh , AC �BD = O
ABCD là Hcn , AC �BD = O
AB = CD, AD = BC
�
�� � � �
A=C,B=D
�
��
OA = OC, OD = OB
�
�
AC = BD
�
AB = CD, AD = BC
�
�� � � �
��
A=C,B=D
�
OA = OC, OD = OB
AB // CD �
�
��
AD // BC
�
1. Định
nghĩa
3. Dấu
hiệu
nhận
biết
AB // CD, AD // BC �
AB = CD, AD = BC �
�
�
�
�
�
�
A=B,C=D
��
OA = OC, OB = OD �
�
( O = AC � BD) �
�
+
+ ABCD có AB // CD
Và
+ ABCD là Hbh có:
- AC = BD
ABCD
là Hbh
II. Bài
tập vận
dụng:
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS1. Bài 1:
� = 1200 . Đường phân HS ghi đề, vẽ hình
Cho Hbh ABCD có A
giác của góc D đi qua trung điểm của AB
a) C/m: AB = 2AD
b) Gọi F là trung điểm của CD.
C/m ADF đều, AFC cân
c) C/m AC AD
13
�
ABCD
Là hcn
Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8
Giải
Gọi E là trung điểm của AB.
Ta có ADE là tam giác gì? Vì sao?
Hãy C/m điều đó
Hãy C/m ADF cân tại A có một góc
600
Hãy C/m AFC cân tại F
Từ AFC cân tại F ta suy ra điều gì?
Góc DFA bằng hai lần góc nào của AFC
�
=?
DAC
2. Bài 2:
Cho ABC và O là điểm thuộc miền
trong của tam giác đó. Gọi D, E, F lần
lượt là trung điểm của AB, BC, CA và L,
M, N lần lượt là trung điểm của OA, OB,
OC
Chứng minh rằng các đoạn thẳng EL, FM,
DN đồng quy
Giải
Để C/m ba đoạn thẳng EL, FM, DN đồng
quy ta C/m gì?
Ta C/m các đoạn thẳng đó là đường chéo
của hai hbh có chung một đường chéo
Để C/m tứ giác EFLM là Hbh ta c/m như
thế nào?
Tương tự ta có tứ giác NLDE là hình gì?
Hai Hbh này có chung đường chéo nào?
Từ đó ta có kết luận gì?
Những Hbh nào có tâm trùng nhau?
E
A
B
C
F
D
a) ADE là tam giác cân
� = 1200 , mà ABCD là Hbh nên
Ta có A
� = 600 � ADE
� = AED
� = 300 � ADE cân tại A
D
� AD = AE mà AB = 2 AE
Nên AB = 2AD
b) AB = CD (do ABCD là Hbh)
1
1
CD, AD = AB. Suy ra
2
2
� = 600
AD = DF � ADF cân trại D có D
vậy: ADF là tam giác đều
Ta có AF = DF (do ADF đều)
mà DF =
Mà DF = FC (F là trung điểm của BC)
Suy ra AF = FC � AFC cân tại F
� = 2FAC
�
c) AFC cân tại F � DFA
(Góc ngoài
tại đỉnh của tam giác cân)
� = 600 (do ADF đều). Suy ra
Mà FDA
� = 300 � DAC
� = 900 hay AC AD
FAC
HS ghi đề, vẽ hình
A
L
D
F
O
M
B
N
E
C
HS suy nghĩ , phát biểu
HS ghi nhớ phương pháp c/m
E, F là trung điểm của BC, CA � EF là đường
trung bình của ABC suy ra
3. Bài 3:
14
Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8
Cho hìn chữ nhật ABCD; kẻ BH AC.
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AH,
CD. Chứng minh BE EF
Giải
Gọi K là trung điểm của AB ta có điều gì?
Vì sao?
Tứ giác BCFK là hình gì? Vì sao?
EI có tính chất gì? Vì sao?
EF // AB, EF =
1
AB (1)
2
Tương tự LM là đường trung bình của OAB
1
2
suy ra LM // AB, LM = AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EFLM là Hbh
C/m tương tự ta có tứ giác NLDE là Hbh
(Vì có NE //= LD)
Hai Hbh EFLM và NLDE có chung đường
chéo LE hay ba đoạn thẳng EL, FM, DN đồng
quy tại trung điểm của LE
Hay ba Hbh EFLM , NFDM và NLDE có tâm
trùng nhau
F
D
C
HS ghi đề, vẽ hình
H
E
BFE là tam giác gì? Vìa sao?
4. Bài 4:
Cho ABC cân tại A. Từ điểm D trên BC
kẻ đường vuông góc với BC cắt AB, AC
lần lượt tại E, F. Dựng các hình chữ nhật
BDEH và CDFK
a) C/m: ba điểm A, H, K thẳng hàng
b) C/m: A là trung điểm của HK
c) Goi I, J theo thứ tự là tâm của các hình
chữ nhật BDEH và CDFK. Tìm tập hợp
trung điểm M của đoạn thẳng IJ khi D di
động trên BC
Để C/m A, H, K thẳng hàng ta c/m gì?
Hãy C/m AH, AK cùng song song với một
đường thẳng nào ?
Hãy c/m tứ giác AIDJ là Hbh? Như thế
nào?
Từ I, J là tâm của các hình chữ nhật
BDEH và CDFK và M là trung điểm của
IJ ta suy ra điều gì?
� EI =
1
1
CK = BF
2
2
BFE có trung tuyến EI =
1
BF nên là tam
2
giác vuông tại E � BE EF
HS ghi đề , vẽ
hình
H
F
A
I
P
Từ MI // AH và MJ // AK ta suy ra điều
gì
Có cách C/m nào khác?
I
Gọi K là trung
điểm của AB ta có
A
K
B
EK // HB (Vì EK
là đường trung
bình của AHB) mà BH AC � EK AC
� = 900
suy ra CEK
� CEK vuông tại E
Tứ giác BCFK có BK //= CF và có
� = 900 nên là hình chữ nhật nên hai đường
B
chéo BF và CK cắt nhau tại I và BF = CK
� I là trung điểm của BF , CK � EI là trung
tuyến thuộc cạnh huyền CK của CEK
E
M
K
Q
J
HS phát biểu
15
B
G N D
C
Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8
Ta đã có A, H, K thẳng hàng nên để c/m A C/m AH, AK cùng song song với IJ
là trung điểm của HK ta C/m gì?
Hãy C/m AB // DK và kết hợp với I là
HS nêu cách c/m
�
trung điểm của DH để
AH = AK
Từ I, J là tâm của các hình chữ nhật BDEH và
Kẻ MN BC và đường cao AG thì MN
CDFK và M là trung điểm của IJ ta suy ra MI
có tính chất gì?
và MJ lần lượt là đường trung bình của các tam
giác AHD và AKD
M cách BC một khoảng không đổi thì m
Nên MI // AH và MJ // AK hay AH và AK
nằm trên đường nào?
cùng song song với IJ nên A, H, K thẳng hàng
(theo tiên đề Ơclít)
HS nêu cách C/m khác
� = ACB
�
ABC cân tại A nên ABC
(1)
I là tâm của hcn BDEH nên suy ra BID cân
� = DBI
� hay ABD
� = BDI
� (2)
tại I � BDI
Từ (1) và (2) suy ra AB // DK mà IH = ID nên
AH = AK mà A, H, K thẳng hàng nên A là
trung điểm của HK
c) Kẻ MN BC (N � BC); đường cao AG ta
có MN =
1
AH (vì MN là đường trung bình
2
của ADG )không đổi, nên M nằm trên đường
thẳng song song với BC và cách BC một
1
AH không đổi chính là đường
2
trung bình PQ của ABC (PQ // BC)
khoảng bằng
III. Bài tập về nhà:
1. Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH
vuông góc với AC. Gọi M, K theo thứ tự
là trung điểm của AH và CD. Chứng
minh BM vuông góc với MK
2. cho hình bình hành ABCD. Vẽ ra
phía ngoài hình bình hành các tam giác
đều ABM, AND. Gọi E, F, Q theo thứ tự
là trung điểm của BD, AN, AM
a) tam giác MNC là tam giác gì? Vì sao?
�
b) Tính FEQ
16
Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8
BUỔI 6 – PHÉP CHIA ĐA THỨC
A. MỤC TIÊU:
* Củng cố và nâng cao về phép chia đa thức
* Tiếp tục rèn luyện, nâng cao kỹ năng vận dụng phép chia đa thức vào các bài toán khác
* Tạo hứng thú cho HS trong quá trình học tập và vận dụng vào thực tiễ
B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
I. Nhắc lại một số kiến thức:
1. Đa thức A chia hết cho đa thức B khi luỹ thừa của biến trong A chia hết cho luỹ thừa
cùng biến đó trong B
2. Đa thức A chia hết cho đa thức B khi: A = B.Q
3. Nếu A = B.Q + R thì: A chia hết cho B khi R = 0 ; A không chia hết cho b khi R � 0
II. Xaùc ñònh heä soá ñeå ña thöùc A chia heát cho ña thöùc B:
1. Phöông phaùp:
1.1- Caùch 1: + Chia A cho B ñöôïc thöông laø Q, dö laø R
+ Cho R = 0, tìm heä soá töông öùng baèng ñoàng nhaát thöùc
2.1- Caùch 2: Duøng heä soá baát ñònh
Ña thöùc bò chia coù baäc laø m, ña thöùc chia coù baäc laø n thìo thöông coù baäc laø m – n
Neáu goïi thöông laø xm – n + C (C laø moät ña thöùc chöa xaùc ñònh) Thì A = (xm – n + C ). B
A chia heát cho B khi heä soá cuûa cuøng moät luyõ thöøa ôû hai veá phaûi baèng nhau
3.1 - Caùch 3: duøng giaù trò rieâng (chæ aùp duïng khi ña thöùc bò chia coù nghieäm)
Goïi thöông cuûa pheùp chia A cho B laø C thì A = B.C
Tìm moät giaù trò cuûa bieán ñeå C = 0 roài duøng heä soá baát ñònh ñeå xaùc ñònh heä soá
III. Baøi taäp aùp duïng:
Hoaït ñoäng cuûa GV
Hoaït ñoäng cuûa HS
III.1 - Daïng 1:
HS ghi ñeà , tìm caùch giaûi
Baøi 1: xaùc ñònh a, b ñeå A(x) = x3 + ax + b
2
chia heát cho B(x) = x + x – 2
HS thöïc hieän pheùp chia:
Haõy thöïc hieän pheùp chia A(x) cho B(x)
x3+ ax +b = (x2+ x- 2)(x- 1)+ (a + 3)x + b
-2
Ñeå A(x) chia heát cho B(x) thì phaûi coù Ñk gì
Ñeå A(x) MB(x) � (a + 3)x + b - 2 = 0
Haõy duøng heä soá baát dònh ñeå tìm a vaø b
a+3=0
a=-3
�
�
��
��
b-2=0
b= 2
�
�
Thöû laïi xem coù ñuùng khoâng
17
Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8
Baøi 2: Tìm a, b � Q ñeå A = x4 + ax + b chia
heát cho B = x2 – 4
Goïi thöông laø x2 + c ta coù ñaúng thöùc naøo?
HS thöû laïi:
HS ghi ñeà vaø tìm caùch giaûi
Goïi thöông laø x2 + c ta coù ñaúng thöùc
x4 + ax + b = (x2 – 4)(x2 + c )
� x4 + ax + b = x4 + (c – 4)x2 – 4c
Ñaúng thöùc xaåy ra vôùi x � Q neân
Ñaúng thöùc xaåy ra vôùi x � Q neân ta coù ñieàu
gì?
Haõy tìm a, b, c töông öùng
a0
a0
�
�
�
�
c40� �
c4
�
�
�
b 4c
b 16
�
�
III.2 – Daïng 2: Caùc baøi toaùn chöùng minh
1. Baøi 1: Chöùng minh ñònh lí Bô-du
“ Soá dö trong pheùp chia f(x) cho nhò thöùc
x – a baèng giaù trò ña thöùc aáy taïi x = a”
Neáu goïi thöông laø q(x) dö laø r thì f(x) = ?
Khi x = a thì f(x) = ?
HS tieáp caän yeâu caàu
Ta coù f(x) = (x – a). q(x) + r
Khi x = a thì f(x) = (a – a). q(x) + r
� f(x) = r (soá dö cuûa f(x) : (x – a))
2. Baøi 2: chöùng minh raèng:
(x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 - 2 Mx – 1
Aùp duïng ñònh lí Bô- du ta coù ñieàu gì?
HS tieáp caän ñeà baøi
Ta coù: (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 - 2
= (x – 1). Q(x) + r (ñònh lí Bô-du)
f(1) = (1 + 1 – 1)10 + (1 – 1 + 1)10 – 2 = 0
� (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 - 2 Mx – 1
3. Baøi 3: Chöùng minh raèng
Vôùi m, n �Z thì: A = (x3m + 1 + x3n + 2 + 1) chia
HS tieáp caän ñeà baøi
heát cho B = x2 + x + 1
Ñeå C/m : A = (x3m + 1 + x3n + 2 + 1) chia heát
HS phaùt bieåu:
cho B = x2 + x + 1 ta C/m A M(x3 – 1)
Vì x3 – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1) M(x2 + x +
Vì sao? Ñeå C/m ñieàu naøy ta laøm theá naøo?
1)
3m
3
3m – 1
3m – 2
A = (x3m + 1 – x) + (x3n + 2 – x2) + (x2 + x +
x – 1 = (x – 1)(x
+x
+ … + 1) coù
1)
chia heát cho x3 – 1?
= x(x3m – 1) + x2 (x3n – 1) + (x2 + x + 1)
x3m – 1 = (x3 – 1)(x3m – 1 + x3m – 2 + … + 1)
Töông töï ta coù keát luaän gì?
chia heát cho x3 – 1 neân chia heát cho
x2 + x + 1 � x(x3m – 1) Mx2 + x + 1 (1)
Töông töï: x2 (x3n – 1) M x2 + x + 1 (2)
III. 3- Daïng 3: Caùc baøi toaùn khaùc
Vaø x2 + x + 1 M x2 + x + 1 (3)
Töø (1), (2), (3) suy ra ñpcm
18
Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8
1. Baøi 1: Tìm soá dö cuûa pheùp chia
A(x) = x50 + x49 + ... + x + 1 cho
B(x) = x2 – 1
Goïi thöông laø Q(x) , dö laø R(x) = ?
Khi ñoù A(x) =?
Ñaúng thöùc ñuùng vôùi moïi x neân ta coù ñieàu gì?
Goïi thöông laø Q(x), dö laø R(x) = ax + b ta
coù: A(x) = B(x). Q(x) + ax + b
Ñaúng thöùc ñuùng vôùi moïi x neân x2 – 1 = 0
� x = 1 hoaëc x = -1
A(1) = a + b
51 a + b
�
�
�a = 25
��
��
�
A(-1) = - a + b
�
�1 = - a + b
�b = 26
Vaäy R(x) = 25x + 26
2. Baøi 2: Tìm ña thöùc f(x) bieát raèng f(x) chia
x – 3 thì dö 2; chia x + 4 thì dö 9 vaø chia cho
x2 + x – 12 ñöôïc thöông laø x2 + 3 coøn dö
* So saùnh x2 + x – 12 vôùi (x + 3)(x + 4) ?
Goïi dö cuûa f(x) : (x2 + x – 12 ) laø ax + b
Thöông cuûa f(x) chia cho x + 3; x + 4 laàn
löôït laø p(x), q(x) ta coù ñieàu gì?
HS ghi ñeà baøi
x2 + x – 12 = (x + 3)(x + 4)
HS phaùt bieåu
�
f(x) = (x - 3).p(x) + 2
(1)
�
f(x) = (x + 4).q(x) + 9
(2)
�
�
f(x) = (x - 3)(x + 4)(x 2 + 3) + ax + b (3)
�
Töø (1) � f(3) = 2 ; töø (3) � f(3) = 3a + b
� 3a + b = 2 (4)
Töø (2) vaø (3) sy ra : -4a + b = 9 (5)
Töø (4) vaø (5) suy ra: a = -1; b = 5
Vaäy: f(x) = (x – 3)(x + 4)(x2 + 3) – x + 5
= x4 +x3 – 9x2 + 2x – 31
Töø (1) vaø (3) suy ra ñieàu gì?
Töø (2) vaø (3) suy ra ñieàu gì?
Töø (4) vaø (5) ta coù a =?; b = ?
Vaäy ña thöùc caàn tìm laø ña thöùc naøo?
III. Bài tập về nhà:
Bài 1: Xác định a; b để
a) A = x4 + a x2 + b chia hết cho B = x2 + x + 1
b) C = x4 – x3 – 3x2 + ax + b chia cho D = x2 – x – 2 có dư là R = 2x – 3
c) P = 2x3 + a x + b chia Q = x + 1 dư - 6 và chia R = x – 2 dư 21
d)
Bài 2: Chưng minh rằng
e) a) mn(m2 – n2) chia hết cho 6 với mọi số nguyên m, n
f)
b) n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n
g)
Bài 3:
h)
a)Tìm số dư trong phép chia A = (x+1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 2009 cho B = x2 + 8x +
11
i)
b) Tìm số nguyên x để giá trị biểu thức A = x3 – 3x2 – 3x – 1 chia hết cho giá trị biểu
thức B = x2 + x + 1
19
Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8
BUỔI 7 – CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH THOI, HÌNH VUÔNG
Ngaøy soaïn: 28 – 11 - 2010
Ngaøy daïy:
- 11 - 2010
A. MUÏC TIEÂU:
* Cuûng coá vaø naâng cao kieán thöùc veà hình thoi, hình vuoâng: tính chaát vaø daáu hieäu nhaän
bieát
* Vaän duïng tính chaát cuûa hình thoi vaø hình vuoâng vaøo caùc baøi toaùn chöùng minh caùc
ñoaïn thaúng, goùc baèng nhau, ñöôøng thaúng vuoâng goùc, song song,…
* Naâng cao kyõ naêng chöùng minh hình hoïc cho HS
B. HOAÏT ÑOÄNG DAÏY HOÏC:
I. Heä thoáng kieán thöùc:
Hình thoi
Hình vuoâng
Töù giaùc coù 4 caïnh baèng nhau vaø 4 goùc
Ñònh Töù giaùc coù 4 caïnh baèng nhau
baèng nhau
nghóa
- Caùc caïnh ñoái song somg, baèng nhau - Caùc caïnh ñoái song somg, baèng nhau
- caùc goùc ñoái baèng nhau
- caùc goùc ñoái baèng nhau
Tính - Hai ñöôøng cheùo vuoâng goùc vôùi nhau - Hai ñöôøng cheùo baèng nhau, vuoâng goùc
chaát taïi trung ñieåm moãi ñöôøng, laø truïc ñoùi vôùi nhau taïi trung ñieåm moãi ñöôøng, laø
xöùng cuûa hình thoi
truïc ñoùi xöùng cuûa hình vuoâng
- moãi ñöôøng cheùo laø phaân giaùc cuûa
- moãi ñöôøng cheùo laø phaân giaùc cuûa hai
hai goùc ñoái nhau
goùc ñoái nhau
- Taâm ñoái xöùng laø giao ñieåm hai
- Taâm ñoái xöùng laø giao ñieåm hai ñöôøng
ñöôøng cheùo
cheùo
- Ñöôøng trung bình laø truïc ñoái xöùng
- Töù giaùc coù 4 caïnh baèng nhau
- Töù giaùc coù 4 caïnh vaø 4 goùc baèng nhau
- Hbh coù 2 caïnh keà baèng nhau
- hình thoi coù 1 goùc vuoâng
Daáu - Hbh coù 2 ñöôøng cheùo vuoâng goùc vôùi - hình thoi coù 2 ñöôøng cheùo baèng nhau
- hình chöõ nhaät coù 2 caïnh keà baèng nhau
hieäu nhau
nhaän - hbh coù ñöôøng cheùo laø tia phaân giaùc - hình chöõ nhaät coù 2 ñöôøng cheùo vuoâng
cuûa 1 goùc
goùc vôùi nhau
bieát
- Hình chöõ nhaät coù ñöôøng cheùo laø tia
phaân giaùc cuûa 1 goùc
II. Heä thoáng Baøi taäp
HS ghi ñeà vaø veõ hình
Baøi 1:
Cho hình thang caân ABCD AB // CD,
AB < CD. Goïi M, N, P , Q laàn löôït laø
trung ñieåm cuûa CD, AB, DB, CA
20
- Xem thêm -
.DOC 
40 
316 
64 
