Tài liệu Giải tích toán học. tập 3

PHẠM QUANG TRÌNH – NGUYỄN NGỌC ANH NGUYỄN XUÂN HUY gI¶I TÝCH TO¸N HäC TËP 3 NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI PHẠM QUANG TRÌNH – NGUYỄN NGỌC ANH NGUYỄN XUÂN HUY gI¶I TÝCH TO¸N HäC TËP 3 NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Môc lôc Môc lôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Lêi nãi ®Çu Ch­¬ng 1 1.1 1.2 1.3 Ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1 Ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2 NghiÖm 9 1.1.3 Bµi to¸n Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Sù tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 §iÒu kiÖn Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 D·y xÊp xØ Picar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.3 §Þnh lý tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm (Cauchy-Picar) . . . 12 1.2.4 Sù th¸c triÓn nghiÖm 16 1.2.5 C¸c lo¹i nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ph­¬ng ph¸p gi¶i mét sè ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 . . . . . . 17 1.3.1 Ph­¬ng tr×nh ph©n li biÕn sè . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.2 Ph­¬ng tr×nh thuÇn nhÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.3 Ph­¬ng tr×nh quy ®­îc vÒ ph­¬ng tr×nh thuÇn nhÊt . . . 21 1.3.4 Ph­¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn. Thõa sè tÝch ph©n . . . 24 1.3.5 Ph­¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh, ph­¬ng tr×nh Bernoulli vµ ph­¬ng tr×nh Ricati 1.4 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Bµi tËp ch­¬ng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3 4 MÔC LÔC Ch­¬ng 2 2.1 2.2 Ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp cao C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.1.1 NghiÖm 2.1.2 Bµi to¸n Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Sù tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.1 §iÒu kiÖn Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.2 §Þnh lý tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm 41 2.2.3 C¸c lo¹i nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp n . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3 Ph­¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp n . . . . . . . . . . . . . . 43 2.4 Ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt cÊp n . . . . . . . . . . . . 44 2.4.1 Mét sè tÝnh chÊt cña nghiÖm ph­¬ng tr×nh . . . . . . . . 45 2.4.2 Sù phô thuéc tuyÕn tÝnh vµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh cña hÖ hµm 45 2.4.3 §Þnh thøc Vronski 2.4.4 C«ng thøc Ostrogradski - Liuvil 2.4.5 HÖ nghiÖm c¬ b¶n, nghiÖm tæng qu¸t 2.5 2.6 . . . . . . . . . . 47 50 53 . . . . . . . . 56 2.5.1 NghiÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.5.2 Ph­¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè (Lagrange) . . . . . . . 58 Ph­¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 2 hÖ sè h»ng . . . . . . . . 59 NghiÖm cña ph­¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt cÊp hai hÖ sè h»ng 2.6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 NghiÖm cña ph­¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt cÊp hai hÖ sè h»ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Bµi tËp ch­¬ng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Ch­¬ng 3 HÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n 3.1 C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n 3.2 Bµi to¸n Cauchy 3.2.1 3.3 . . . . . . . . . . . . . Ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt cÊp n 2.6.1 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Bµi to¸n Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp cao vµ hÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp mét 72 3.3.1 §­a ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp n vÒ hÖ n ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp mét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Môc lôc 5 3.3.2 §­a hÖ n ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp mét vÒ mét ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp n 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 §Þnh lý tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm 3.3.4 Sù th¸c triÓn nghiÖm 3.3.5 C¸c lo¹i nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n . . . . . . . . . . . 73 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 HÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh . . . . . . 80 . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.4.1 HÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt 3.4.2 C¸c tÝnh chÊt cña hÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh . . . . . thuÇn nhÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 83 3.4.4 HÖ nghiÖm c¬ b¶n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.4.5 HÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt . . 88 3.4.6 C¸c tÝnh chÊt nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.4.7 NghiÖm tæng qu¸t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.4.8 Ph­¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè (Lagrange) . . . . . . . 90 HÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh hÖ sè h»ng . . . . . . . . . 93 3.5.1 HÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt hÖ sè h»ng 93 3.5.2 NghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt hÖ sè h»ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.3 94 HÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt hÖ sè h»ng 3.6 82 Sù phô thuéc tuyÕn vµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh cña hÖ vÐct¬ hµm 3.5 73 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Bµi tËp ch­¬ng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6 Gi¶i tÝch To¸n häc Lêi nãi ®Çu Bé Gi¸o tr×nh Gi¶i tÝch To¸n häc nÇy gåm 3 tËp, ®­îc biªn so¹n bëi tËp thÓ t¸c gi¶: TS. Ph¹m Quang Tr×nh, Ths. NguyÔn Xu©n Huy, Ts. NguyÔn Ngäc Anh, dùa theo ch­¬ng tr×nh khung m«n Gi¶i tÝch To¸n häc ®· ®­îc héi ®ång bé m«n cña bé Gi¸o dôc ®µo t¹o thÈm ®Þnh dïng cho c¸c tr­êng §¹i häc, nh»m ®¸p øng yªu cÇu ®¶m b¶o chÊt l­îng - hiÖu qu¶ ®µo t¹o sinh viªn c¸c tr­êng c«ng nghÖ vµ kÜ thuËt ®¹i häc. Bé gi¸o tr×nh nµy ®­îc biªn so¹n theo ®Þnh h­íng: Tinh gi¶n, chän läc phï hîp víi khung thêi gian t­¬ng øng dµnh cho m«n häc; phï hîp víi ®èi t­îng sinh viªn ngµnh c«ng nghÖ - kÜ thuËt; ­u tiªn mét c¸ch râ nÐt viÖc vËn dông c¸c kÕt qu¶ lý thuyÕt, ®ång thêi ®¶m b¶o mét c¸ch tèt nhÊt tÝnh khoa häc cña hÖ thèng kiÕn thøc trong ch­¬ng tr×nh. TËp 3 cña bé gi¸o tr×nh cung cÊp hÖ thèng kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ ph­¬ng tr×nh vi ph©n vµ hÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n, ®­îc giíi thiÖu trong 3 ch­¬ng Ch­¬ng 1 - Ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1. Ch­¬ng 2 - Ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp cao. Ch­¬ng 3 - HÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n. Hi väng c¸c gi¸o tr×nh nµy còng lµ tµi liÖu tham kh¶o tèt cho c¸c b¹n sinh viªn. C¸c t¸c gi¶ rÊt mong muèn nhËn ®­îc sù gãp ý quý b¸u cña c¸c ®ång nghiÖp vµ b¹n ®äc gÇn xa ®Ó bé s¸ch ®­îc hoµn thiÖn h¬n. Xin ch©n thµnh c¶m ¬n vµ giíi thiÖu bé s¸ch tíi b¹n ®äc. 8 Gi¶i tÝch to¸n häc Ch­¬ng 1 Ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 1.1 C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n 1.1.1 Ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 Ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 d¹ng tæng qu¸t F (x, y, y 0 ) = 0 (1.1) F x¸c ®Þnh trong miÒn G ⊂ R3 . 0 NÕu trong miÒn G, tõ ph­¬ng tr×nh (1.1) ta cã thÓ gi¶i ®­îc y Trong ®ã hµm y 0 = f (x, y) (1.2) th× ta ®­îc ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 ®· gi¶i ra ®¹o hµm. VÝ dô. 1.1.2 yy 0 = x2 + y 2 , y 0 = xy + y 2 , dy = 2y . dx NghiÖm Hµm sè y = ϕ(x) x¸c ®Þnh vµ kh¶ vi trªn kho¶ng gäi lµ nghiÖm tæng qu¸t cña ph­¬ng tr×nh (1.1) nÕu a) (x, ϕ(x), ϕ0 (x)) ∈ G víi mäi x ∈ I. I = (a, b) ®­îc 10 Ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 b) F (x, ϕ(x), ϕ0 (x)) ≡ 0 trªn I . dy VÝ dô. XÐt ph­¬ng tr×nh = 2y dx x¸c ®Þnh trªn kho¶ng (−∞, +∞) cã thÓ kiÓm tra trùc tiÕp víi y = ce2x lµ h»ng sè tuú ý lµ nghiÖm c cña ph­¬ng tr×nh vi ph©n ®· cho. 1.1.3 Bµi to¸n Cauchy Qua vÝ dô trªn ta thÊy NghiÖm cña ph­¬ng tr×nh vi ph©n lµ v« sè (do h»ng sè c cã thÓ lÊy tuú ý). Trong thùc tÕ ta th­êng quan t©m ®Õn nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh vi ph©n tho¶ m·n nh÷ng ®iÒu kiÖn nµo ®ã, ch¼ng h¹n y(x0 ) = y0 . (1.3) §iÒu kiÖn trªn ®­îc gäi lµ ®iÒu kiÖn ban ®Çu. Bµi to¸n t×m nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1.1) hoÆc (1.2) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ban ®Çu (1.3) gäi lµ bµi to¸n Cauchy. Ta sÏ t×m c¸c ®iÒu kiÖn ®Ó bµi to¸n Cauchy cã nghiÖm duy nhÊt. 1.2 Sù tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm XÐt ph­¬ng tr×nh vi ph©n y 0 = f (x, y), trong ®ã cña f f x¸c ®Þnh trong miÒn G ⊂ R2 . (1.4) Ta sÏ chØ ra c¸c ®iÒu kiÖn ®Ó bµi to¸n Cauchy øng víi ph­¬ng tr×nh (1.4) cã nghiÖm duy nhÊt. 1.2.1 §iÒu kiÖn Lipschitz Hµm f x¸c ®Þnh trong miÒn chitz theo biÕn y G gäi lµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Lips- nÕu tån t¹i h»ng sè L>0 sao cho víi hai ®iÓm 1.2 Sù tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm (x, y), (x, y ∗ ) ∈ G 11 bÊt kú ta cã bÊt ®¼ng thøc |f (x, y) − f (x, y ∗ )| ≤ L|y − y ∗ |. Chó ý. NÕu hµm G f cã ®¹o hµm riªng theo y (1.5) bÞ chÆn trong miÒn th× tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Lipschitz (§éc gi¶ tù chøng minh, dïng ®Þnh lÝ Lagrange). 1.2.2 D·y xÊp xØ Picar Gi¶ sö cña G. f (x, y) lµ hµm liªn tôc trªn miÒn Chän c¸c sè d­¬ng a, b G, (x0 , y0 ) lµ ®iÓm trong sao cho h×nh ch÷ nhËt Q = {|x − x0 | ≤ a, |y − y0 | ≤ b} chøa trong G. §Æt M = max{|f (x, y)| : (x, y) ∈ Q} vµ h = min{a, b }. M Ta x©y dùng d·y nghiÖm xÊp xØ cña ph­¬ng tr×nh vi ph©n (1.4) nh­ sau y0 (x) = y0 Zx y1 (x) = y0 + f (τ, y0 (τ )dτ, x ∈ [x0 − h, x0 + h] x0 ··· Zx yn (x) = y0 + f (τ, yn−1 (τ )dτ, x ∈ [x0 − h, x0 + h]. x0 D·y yn (x) x¸c ®Þnh nh­ trªn ®­îc gäi lµ d·y xÊp xØ Picar. Ta [x0 − h, x0 + h] th× (x, yn (x)) ∈ Q, ∀n = 0, 1, 2, · · · ThËt vËy, ®iÒu nµy ®óng víi n = 0. Gi¶ sö ta cã (x, yn−1 (x)) ∈ Q khi x ∈ [x0 − h, x0 + h]. Khi ®ã ta cã chøng minh khi x biÕn thiªn trong thÓ x©y dùng Zx yn (x) = y0 + f (τ, yn−1 (τ )dτ. x0 12 Ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 Víi |x − x0 | ≤ h ≤ a ta cã Zx f (τ, yn−1 (τ )dτ | |yn (x) − y0 | = | x0 Zx |f (τ, yn−1 (τ )|dτ | ≤ | x0 Zx dτ | = M |x − x0 | ≤ M| x0 ≤ Mh ≤ M tøc lµ (x, yn (x)) ∈ Q 1.2.3 khi b =b M x ∈ [x0 − h, x0 + h]. §Þnh lý tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm (Cauchy-Picar) §Þnh lÝ 1.2.1. Gi¶ sö hµm f tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau a) f liªn tôc trong miÒn G. b) f tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Lipschitz theo biÕn y trong G. (x0 , y0 ) ∈ G tån t¹i duy nhÊt mét nghiÖm y = y(x) cña ph­¬ng tr×nh (1.4) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ban ®Çu y(x0 ) = y0 . NghiÖm nµy x¸c ®Þnh trªn mét l©n cËn ®ãng [x0 − h, x0 + h] cña x0 , trong ®ã h lµ h»ng sè x¸c ®Þnh phô thuéc vµo hµm f , ®iÓm (x0 , y0 ) vµ miÒn G. Khi ®ã øng víi mçi ®iÓm Chøng minh. Ta xÐt d·y xÊp xØ Picar {yn (x)} ®· x©y dùng ë trªn. (x, yn (x)) ∈ Q, ∀n vµ f liªn tôc nªn c¸c hµm yn (x) liªn tôc, kh¶ vi trªn [x0 − h, x0 + h]. DÔ thÊy yn (x0 ) = y0 , ∀n. B©y giê ta chøng minh yn (x) héi tô ®Òu trªn [x0 − h, x0 + h]. Trªn ®o¹n [x0 − h, x0 + h] V× 1.2 Sù tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm 13 ta cã   Zx   |y1 (x) − y0 (x)| =  f (τ, y0 )dτ  ≤ M |x − x0 |,   |y2 (x) − y1 (x)| =    ≤  x0 Zx x0 Zx   [f (τ, y1 (τ )) − f (τ, y0 (τ ))]dτ    |f (τ, y1 (τ )) − f (τ, y0 (τ ))|dτ  x0   Zx   ≤ L |y1 (τ ) − y0 (τ )|dτ  x0  Zx  ML   ≤ M L |τ − x0 |dτ  = |x − x0 |2 . 2! x0 x ∈ [x0 − h, x0 + h] Ta sÏ chøng minh r»ng khi |yn (x) − yn−1 (x)| ≤ ThËt vËy, víi víi n. n = 1, 2, · · · , th× M Ln−1 |x − x0 |n . n! (1.6) ta ®· kiÓm tra ë trªn. Gi¶ sö (1.6) ®óng Khi ®ã  Zx    |yn+1 (x) − yn (x)| =  [f (τ, yn (τ )) − f (τ, yn−1 (τ ))]dτ  x0  Zx    ≤ L |yn (τ ) − yn−1 (τ )|dτ  x0 M Ln ≤ n! Zx |τ − x0 |n dτ = M Ln |x − x0 |n+1 n! x0 tøc lµ bÊt ®¼ng thøc (1.6) ®óng víi Tõ ®ã, víi n + 1. ∀x ∈ [x0 − h, x0 + h], ∀n = 1, 2, · · · |yn (x) − yn−1 (x)| ≤ ta cã M Ln−1 n h . n! (1.7) 14 Ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 XÐt chuçi hµm

y0 (x) + y1 (x) − y0 (x) + · · · + yn (x) − yn−1 (x) + · · · (1.8) Do (1.7) gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña sè h¹ng tæng qu¸t chuçi trªn kh«ng v­ît qu¸ sè h¹ng tæng qu¸t cña chuçi sè d­¬ng héi tô ∞ M Ln−1 P hn . Theo tiªu chuÈn Weierstrass, chuçi (1.8) héi tô ®Òu n! n=1 trªn [x0 − h, x0 + h] ®Õn mét hµm y(x) nµo ®ã. DÔ thÊy r»ng tæng riªng thø n cña chuçi (1.8) lµ yn (x) nªn ta ®· chøng minh ®­îc trªn yn (x) ⇒ y(x) [x0 − h, x0 + h]. V× Zx yn (x) = y0 + f (τ, yn−1 (τ )dτ (1.9) x0 vµ f lµ hµm liªn tôc trªn G nªn chuyÓn qua giíi h¹n khi n→∞ d­íi dÊu tÝch ph©n ®¼ng thøc trªn ta cã Zx y(x) = y0 + f (τ, y(τ )dτ. (1.10) x0 Do sù héi tô cña d·y {yn (x)} lµ ®Òu trªn ®o¹n [x0 − h, x0 + h] nªn [x0 − h, x0 + h]. §¼ng thøc (1.10) vµ sù liªn tôc cña hµm f cho ta tÝnh kh¶ vi cña y(x) trªn [x0 − h, x0 + h]. hµm giíi h¹n y(x) liªn tôc trªn LÊy ®¹o hµm hai vÕ cña (1.10) ta cã y 0 (x) = f (x, y(x)), HiÓn nhiªn ®Þnh trªn y(x0 ) = y0 nªn y(x) [x0 − h, x0 + h]. ∀x ∈ [x0 − h, x0 + h]. lµ nghiÖm cña bµi to¸n Cauchy x¸c B©y giê ta chøng minh nghiÖm nµy lµ duy nhÊt. Gi¶ sö ph­¬ng tr×nh (1.4) cßn cã nghiÖm y(x) vµ tháa m·n ®iÒu kiÖn ban ®Çu y 0 (x) = f (x, y(x), x¸c ®Þnh trªn ®o¹n y(x0 ) = y0 . [x0 − h0 , x0 + h0 ] Khi ®ã ∀x ∈ [x0 − h0 , x0 + h0 ]. 1.2 Sù tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm 15 TÝch ph©n ®¼ng thøc nµy trªn ®o¹n [x0 , x] víi x ∈ [x0 − h0 , x0 + h0 ] ta cã Zx f (τ, y n−1 (τ ))dτ. y n (x) = y0 + (1.11) x0 δ = min{h, h0 } [x0 − δ, x0 + δ] ta cã §Æt vµ xÐt ®¼ng thøc (1.9), (1.11) trªn ®o¹n Zx y(x) − yn (x) = [f (τ, y(τ )) − f (τ, yn−1 (τ ))]dτ. x0 Ta sÏ chøng minh |y(x) − yn (x)| ≤ ThËt vËy, víi n=0 M Ln n+1 δ , (n + 1)! ∀n. ta cã  |y(x) − y0 (x)| = |y(x) − y0 | =  Zx  [f (τ, y(τ )) x0 ≤ M |x − x0 | ≤ M δ. Gi¶ sö (1.12) ®óng víi n tøc lµ |y(x) − yn (x)| ≤ M Ln n+1 δ . (n + 1)! Ta chøng minh nã ®óng víi (n + 1). DÔ thÊy  Zx    |yn+1 (x) − y(x)| =  [f (τ, yn (τ )) − f (τ, y(τ ))]dτ  x0 M Ln+1 ≤ (n + 1)! Zx |τ − x0 |n+1 dτ x0 n+1 ML |x − x0 |n+2 (n + 1)! M Ln+1 n+2 ≤ δ . (n + 2)! = (1.12) 16 Ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 hay (1.12) ®­îc chøng minh. Do M Ln n+1 δ =0 n→∞ (n + 1)! lim nªn lim yn (x) = y(x), n→∞ x ∈ [x0 − δ, x0 + δ] Do tÝnh duy nhÊt cña giíi h¹n nªn y(x) ≡ y(x) trªn [x0 − δ, x0 + δ], ®Þnh lÝ ®­îc chøng minh hoµn toµn. 1.2.4 Sù th¸c triÓn nghiÖm §Þnh lý trªn cho ta nghiÖm y = y(x) cña ph­¬ng tr×nh vi ph©n (1.4) víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu y(x0 ) = y0 trªn mét l©n cËn cña ®iÓm x0 , nghÜa lµ tËp {(x, y(x))|x ∈ [x0 − h, x0 + h]} lµ mét tËp con cña G. Ng­êi ta chøng minh ®­îc cã thÓ th¸c triÓn (kÐo dµi) nghiÖm y = y(x) ®ã sao cho tËp {(x, y(x))} cã giao víi l©n cËn bÐ tuú ý cña biªn miÒn G. Khi ®ã bµi to¸n Cauchy víi ph­¬ng tr×nh (1.4) ®­îc gi¶i hoµn chØnh trong miÒn G. 1.2.5 C¸c lo¹i nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 XÐt ph­¬ng tr×nh vi ph©n y 0 = f (x, y). a. NghiÖm tæng qu¸t. NghiÖm tæng qu¸t cña ph­¬ng tr×nh lµ hµm y = ϕ(x, C) tho¶ m·n 1. Tõ hÖ thøc y0 = ϕ(x0 , C) cã thÓ gi¶i ra C = ψ(x0 , y0 ) víi mçi (x0 , y0 ) ∈ G. y = ϕ(x, C) lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh y 0 = f (x, y) víi mçi gi¸ trÞ cña C ®­îc x¸c ®Þnh nh­ trªn. VÝ dô. DÔ dµng kiÓm tra ®­îc ph­¬ng tr×nh y 0 = y cã nghiÖm tæng qu¸t lµ y = Cex . 2. HÖ thøc b. TÝch ph©n tæng qu¸t. NhiÒu khi gi¶i ph­¬ng tr×nh vi ph©n ta ®i ®Õn hÖ thøc d¹ng Φ(x, y, C) = 0. HÖ thøc nµy ®­îc gäi lµ tÝch ph©n 1.3 Ph­¬ng ph¸p gi¶i mét sè ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 tæng qu¸t cña ph­¬ng tr×nh ®· cho trong miÒn G 17 nÕu trong ®ã x¸c ®Þnh nghiÖm tæng qu¸t VÝ dô. Ph­¬ng tr×nh y = ϕ(x, C) cña ph­¬ng tr×nh ban ®Çu. y = −x/y, (y 6= 0) cã tÝch ph©n tæng qu¸t lµ 0 x2 + y 2 = C, C > 0 v× trong nöa mÆt ph¼ng phÝa trªn nã x¸c ®Þnh nghiÖm tæng qu¸t √ C − x2 , trong nöa mÆt √ tæng qu¸t y = − C − x2 . y= ph¼ng phÝa d­íi nã x¸c ®Þnh nghiÖm c. NghiÖm riªng. NghiÖm riªng cña ph­¬ng tr×nh lµ nghiÖm mµ t¹i mçi ®iÓm, tÝnh duy nhÊt nghiÖm cña bµi to¸n Cauchy ®­îc b¶o ®¶m. NghiÖm riªng nhËn ®­îc tõ nghiÖm tæng qu¸t b»ng c¸ch x¸c ®Þnh h»ng sè C theo c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu. d. NghiÖm k× dÞ. NghiÖm k× dÞ lµ nghiÖm mµ t¹i mçi ®iÓm cña nã, tÝnh duy nhÊt nghiÖm cña bµi to¸n Cauchy bÞ ph¸ vì. 1.3 Ph­¬ng ph¸p gi¶i mét sè ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 1.3.1 Ph­¬ng tr×nh ph©n li biÕn sè a. D¹ng tæng qu¸t f (x)dx = g(y)dy. (1.13) Ph­¬ng ph¸p gi¶i. LÊy tÝch ph©n 2 vÕ ta ®­îc Z Z f (x)dx = g(y)dy. §¼ng thøc nµy cho ta tÝch ph©n tæng qu¸t cña ph­¬ng tr×nh (1.13). Víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu y0 = y(x0 ), d­íi d¹ng Zy Zx f (τ )dτ = x0 tÝch ph©n tæng qu¸t ®­îc viÕt g(η)dη. y0 18 Ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 2x 2y dx + dy = 0 cã tÝch 2 1+x 1 + y2 Z Z 2x 2y dx + dy = C 2 1+x 1 + y2 VÝ dô. Ph­¬ng tr×nh lµ ph©n tæng qu¸t hay ln(1 + x2 ) + ln(1 + y 2 ) = C, C > 0. Ta còng cã thÓ viÕt cho tr­íc th× h»ng (1 + x2 )(1 + y 2 ) = C 0 , C 0 = eC . sè C, C 0 trong c¸c c«ng thøc Víi ®iÒu kiÖn ®Çu trªn x¸c ®Þnh. Chó ý. Sau nµy khi gi¶i ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 thùc chÊt lµ t×m c¸ch ®­a ph­¬ng tr×nh ®ang xÐt vÒ d¹ng ph­¬ng tr×nh ph©n li biÕn sè. Mét ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 xem nh­ ®· gi¶i xong nÕu ta ph©n li ®­îc biÕn sè. b. Ph­¬ng tr×nh víi biÕn sè ph©n li ®­îc. §ã lµ ph­¬ng tr×nh d¹ng m1 (x)n1 (y)dx = m2 (x)n2 (y)dy. Gi¶ sö n1 (y)m2 (x) 6= 0. (1.14) Chia hai vÕ cho biÓu thøc nµy ta ®­îc ph­¬ng tr×nh ph©n li biÕn sè, bµi to¸n ®­îc gi¶i xong. C¸c gi¸ trÞ cña x, y lµm cho n1 (y)m2 (x) = 0 còng lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1.14). VÝ dô. XÐt ph­¬ng tr×nh p √ x 1 − y 2 dx + y 1 − x2 dy = 0. Gi¶ sö p √ 1 − x2 1 − y 2 6= 0. Chia 2 vÕ cña ph­¬ng tr×nh cho biÓu thøc nµy ta ®­îc ph­¬ng tr×nh ph©n li biÕn sè vµ cã thÓ x¸c ®Þnh ®­îc tÝch ph©n tæng qu¸t lµ p √ 1 − y 2 + 1 − x2 = C, √ C > 0. p 1 − x2 . 1 − y 2 = 0 cho c¸c (−1 ≤ x ≤ 1) vµ x(y) ≡ ±1, (−1 ≤ y ≤ 1). HÖ thøc nghiÖm y(x) ≡ ±1, 1.3 Ph­¬ng ph¸p gi¶i mét sè ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 1.3.2 19 Ph­¬ng tr×nh thuÇn nhÊt a. Hµm f (x, y) gäi f (tx, ty) = tk f (x, y). §Þnh nghÜa 1.3.1. lµ hµm thuÇn nhÊt bËc k nÕu víi t bÊt kú th× Ph­¬ng tr×nh M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 ®­îc gäi lµ ph­¬ng tr×nh thuÇn nhÊt nÕu (1.15) M (x, y), N (x, y) lµ nh÷ng hµm thuÇn nhÊt cïng bËc Tõ ®Þnh nghÜa suy ra ph­¬ng tr×nh thuÇn nhÊt nÕu b. f (x, y) dy = f (x, y) dx lµ ph­¬ng tr×nh lµ hµm thuÇn nhÊt bËc 0. Ph­¬ng ph¸p gi¶i. Ph­¬ng tr×nh thuÇn nhÊt cã thÓ ®­a vÒ ph­¬ng tr×nh ph©n li biÕn sè b»ng c¸ch ®Æt y = xz . ThËt vËy, ta cã thÓ viÕt M (x, y) = xk M (1, y/x); Do y = xz nªn dy = xdz + zdx, N (x, y) = xk N (1, y/x). ta ®­a ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng xk M (1, z)dx + xk N (1, z)(xdz + zdx) = 0 hay (gi¶ thiÕt x 6= 0) (M (1, z) + zN (1, z))dx + xN (1, z)dz = 0. Gi¶ sö M (1, z) + zN (1, z) 6= 0. Chia hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh cho biÓu thøc nµy ta ®­îc ph­¬ng tr×nh ph©n li biÕn sè dx N (1, z) + dz = 0. x M (1, z) + zN (1, z) TÝch ph©n tæng qu¸t cã d¹ng Z ln |x| + (1.16) N (1, z) dz = ln C1 , (C1 > 0) M (1, z) + zN (1, z) 20 Ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 hay x = Ce− R N (1,z) dz M (1,z)+zN (1,z) , C = ±C1 . KÝ hiÖu Z ψ(z) = − Thay z = y/x N (1, z) dz, M (1, z) + zN (1, z) ta cã x = Ceψ(z) . ta cã tÝch ph©n tæng qu¸t cña ph­¬ng tr×nh thuÇn nhÊt cã d¹ng y x = Ceψ( x ) . XÐt tr­êng hîp M (1, z) + zN (1, z) = 0. Gi¶ sö nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh nµy. Khi ®ã dÔ thÊy z=a z = a lµ mét lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1.16), do ®ã hµm tr×nh thuÇn nhÊt ban ®Çu. y = ax lµ mét nghiÖm cña ph­¬ng Ngoµi ra x = 0 còng lµ mét nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1.15). VÝ dô 1. XÐt ph­¬ng tr×nh 0 y = r y . x Tr­íc hÕt nhËn thÊy x, y ph¶i cïng dÊu. §Æt y = xz ta ®­a √ √ xz 0 + z = z . Víi gi¶ thiÕt x 6= 0, z − z 6= 0, ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng ph­¬ng tr×nh ®­îc ®­a vÒ d¹ng ph©n li biÕn sè dx dz √ = 0. + x z− z Tõ ®ã ta cã Trë l¹i biÕn √ ( z − 1)2 |x| = C1 . y suy ra r y ( − 1)2 |x| = C1 . x Sau khi gi¶n ­íc ta ®­îc √ y− √ x=C nÕu x > 0, y > 0.