Tài liệu Giải tích toán học. tập 2

PHẠM QUANG TRÌNH – NGUYỄN NGỌC ANH NGUYỄN XUÂN HUY gI¶I TÝCH TO¸N HäC TËP 2 NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Môc lôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lêi nãi ®Çu Ch­¬ng 1 1.1 1.3 1.4 9 Chuçi sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 1.2 Lý thuyÕt chuçi Kh¸i niÖm chuçi sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 PhÇn d­ cña mét chuçi sè 1.1.3 C¸c tÝnh chÊt cña chuçi héi tô 1.1.4 Tiªu chuÈn vµ dÊu hiÖu héi tô cña chuçi sè 1.1.5 Chuçi d­¬ng, c¸c dÊu hiÖu héi tô 1.1.6 Chuçi héi tô tuyÖt ®èi 1.1.7 Chuçi ®an dÊu, dÊu hiÖu Leibnitz 1.1.8 Mét sè tÝnh chÊt cña chuçi héi tô tuyÖt ®èi D·y hµm 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 10 10 . . . . . . . 11 . . . . . . . . . . . . 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 . . . . . . . . . . . . 17 . . . . . . . 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.1 Sù héi tô ®iÓm vµ sù héi tô ®Òu cña d·y hµm . . . . . . 19 1.2.2 §iÒu kiÖn héi tô ®Òu cña mét d·y hµm . . . . . . . . . . 20 1.2.3 C¸c tÝnh chÊt cña d·y hµm héi tô ®Òu . . . . . . . . . . 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.1 MiÒn héi tô cña chuçi hµm . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.2 §iÒu kiÖn héi tô ®Òu cña mét chuçi hµm . . . . . . . . . 25 1.3.3 TÝnh chÊt cña chuçi hµm héi tô ®Òu . . . . . . . . . . . 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.1 Kh¸i niÖm chuçi lòy thõa . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.2 B¸n kÝnh héi tô cña mét chuçi lòy thõa . . . . . . . . . 27 1.4.3 C¸c tÝnh chÊt cña chuçi lòy thõa . . . . . . . . . . . . . 29 Chuçi hµm Chuçi lòy thõa 3 4 MÔC LÔC 1.4.4 1.5 1.6 . . . . . . . . . 30 Chuçi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.5.1 Chuçi l­îng gi¸c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.5.2 Chuçi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.5.3 BiÓu diÔn hµm sè thµnh chuçi Fourier . . . . . . . . . . 34 Bµi tËp ch­¬ng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Ch­¬ng 2 2.1 2.3 3.2 41 Mét sè kh¸i niÖm c¬ b¶n 41 . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.1.2 Giíi h¹n cña hµm sè nhiÒu biÕn sè . . . . . . . . . . . . 43 2.1.3 TÝnh liªn tôc cña hµm sè nhiÒu biÕn sè . . . . . . . . . 44 . . . . . . . . . . . . . . . 47 §¹o hµm cña hµm sè nhiÒu biÕn sè 2.2.1 §Þnh nghÜa ®¹o hµm vµ vi ph©n cña hµm nhiÒu biÕn 2.2.2 §¹o hµm theo h­íng 2.2.3 §¹o hµm hµm hîp 2.2.4 §¹o hµm vµ vi ph©n cÊp cao . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.2.5 Cùc trÞ cña hµm nhiÒu biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Bµi tËp ch­¬ng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Ch­¬ng 3 3.1 Hµm sè nhiÒu biÕn sè Hµm sè nhiÒu biÕn sè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 2.2 Khai triÓn hµm sè thµnh chuçi lòy thõa . . 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 TÝch ph©n béi 65 TÝch ph©n hai líp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.1.1 TÝch ph©n hai líp trªn h×nh ch÷ nhËt ®ãng . . . . . . . . 65 3.1.2 TÝch ph©n hai líp trªn mét tËp bÞ chÆn . . . . . . . . . . 68 3.1.3 C¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña tÝch ph©n hai líp . . . . . . . . 68 3.1.4 C¸ch tÝnh tÝch ph©n hai líp . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.1.5 §æi biÕn trong tÝch ph©n hai líp . . . . . . . . . . . . . 75 TÝch ph©n ba líp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.2.1 §Þnh nghÜa tÝch ph©n ba líp . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.2.2 C¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña tÝch ph©n ba líp . . . . . . . . 78 3.2.3 C¸ch tÝnh tÝch ph©n ba líp 79 3.2.4 §æi biÕn trong tÝch ph©n ba líp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5 Môc lôc 3.3 3.4 C¸c øng dông cña tÝch ph©n béi . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.3.1 TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ 84 3.3.2 TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng 3.3.3 TÝnh diÖn tÝch mÆt cong . . . . . . . . . . . . . . . . 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Bµi tËp ch­¬ng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Ch­¬ng 4 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TÝch ph©n ®­êng 91 TÝch ph©n ®­êng lo¹i 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C1 91 4.1.1 §­êng cong líp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.1.2 TÝch ph©n ®­êng lo¹i 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.1.3 Sù tån t¹i vµ c¸ch tÝnh tÝch ph©n ®­êng lo¹i 1 . . . . . . 92 TÝch ph©n ®­êng lo¹i 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.2.1 H­íng ®­êng cong vµ ®Þnh nghÜa tÝch ph©n ®­êng lo¹i 2 94 4.2.2 Sù tån t¹i vµ c¸ch tÝnh tÝch ph©n ®­êng lo¹i hai . . . . . 95 4.3 C«ng thøc Green. §Þnh lý 4 mÖnh ®Ò t­¬ng ®­¬ng . . . . . . . 97 4.4 Bµi tËp ch­¬ng 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.2 Ch­¬ng 5 5.1 5.2 TÝch ph©n mÆt 109 TÝch ph©n mÆt lo¹i 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.1.1 MÆt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.1.2 §Þnh nghÜa tÝch ph©n mÆt lo¹i 1 5.1.3 Sù tån t¹i vµ c¸ch tÝnh tÝch ph©n mÆt lo¹i 1 . . . . . . . 110 5.1.4 C«ng thøc Stokes vµ Ostrogradsky - Gauss . . . . . . . 112 . . . . . . . . . . . . . 110 Bµi tËp ch­¬ng 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6 Gi¶i tÝch to¸n häc Lêi nãi ®Çu Bé Gi¸o tr×nh Gi¶i tÝch To¸n häc nÇy gåm 3 tËp, ®­îc biªn so¹n bëi tËp thÓ t¸c gi¶: TS. Ph¹m Quang Tr×nh, Ths. NguyÔn Xu©n Huy, Ts. NguyÔn Ngäc Anh, dùa theo ch­¬ng tr×nh khung m«n Gi¶i tÝch To¸n häc ®· ®­îc héi ®ång bé m«n cña bé Gi¸o dôc ®µo t¹o thÈm ®Þnh dïng cho c¸c tr­êng §¹i häc, nh»m ®¸p øng yªu cÇu ®¶m b¶o chÊt l­îng - hiÖu qu¶ ®µo t¹o sinh viªn c¸c tr­êng c«ng nghÖ vµ kÜ thuËt ®¹i häc. Bé gi¸o tr×nh nµy ®­îc biªn so¹n theo ®Þnh h­íng: Tinh gi¶n, chän läc phï hîp víi khung thêi gian t­¬ng øng dµnh cho m«n häc; phï hîp víi ®èi t­îng sinh viªn ngµnh c«ng nghÖ - kÜ thuËt; ­u tiªn mét c¸ch râ nÐt viÖc vËn dông c¸c kÕt qu¶ lý thuyÕt, ®ång thêi ®¶m b¶o mét c¸ch tèt nhÊt tÝnh khoa häc cña hÖ thèng kiÕn thøc trong ch­¬ng tr×nh. TËp 1 cña bé gi¸o tr×nh cung cÊp hÖ thèng kiÕn thøc c¬ b¶n cña phÐp tÝnh vi ph©n vµ phÐp tÝnh tÝch ph©n cña hµm sè mét biÕn sè ®­îc giíi thiÖu trong 5 ch­¬ng Ch­¬ng 1 - Lý thuyÕt chuçi. Ch­¬ng 2 - Hµm sè nhiÒu biÕn. Ch­¬ng 3 - TÝch ph©n béi. Ch­¬ng 4 - TÝch ph©n ®­êng. Ch­¬ng 5 - TÝch ph©n mÆt. C¸c t¸c gi¶ rÊt mong muèn nhËn ®­îc sù gãp ý quý b¸u cña c¸c ®ång nghiÖp vµ b¹n ®äc gÇn xa ®Ó bé s¸ch ®­îc hoµn thiÖn h¬n. Xin ch©n thµnh c¶m ¬n vµ giíi thiÖu bé s¸ch tíi b¹n ®äc. 8 Gi¶i tÝch To¸n häc Ch­¬ng 1 Lý thuyÕt chuçi 1.1 Chuçi sè 1.1.1 Kh¸i niÖm chuçi sè §Þnh nghÜa 1.1.1. Cho d·y sè thùc ∞ X {un }∞ n=1 . BiÓu thøc tæng v« h¹n un = u1 + u2 + · · · + un + · · · (1.1) n=1 ®­îc gäi lµ mét chuçi sè vµ un lµ sè h¹ng tæng qu¸t thø n cña chuçi. Tæng Sn = n X uk = u1 + u2 + · · · + un . (1.2) k=1 n cña chuçi sè. tæng riªng {Sn }∞ n=1 gäi lµ tæng riªng thø NÕu d·y n→∞ héi tô vµ cã giíi h¹n lµ th× chuçi sè (1.1) ®­îc gäi lµ chuçi héi tô, S S khi gäi lµ tæng cña chuçi, trong tr­êng hîp nµy ta viÕt S= ∞ X un = u1 + u2 + · · · + un + · · · n=1 Ng­îc l¹i nÕu d·y {Sn }∞ n=1 kh«ng héi tô th× chuçi sè ∞ P n=0 gäi lµ chuçi ph©n kú. un ®­îc 10 Lý thuyÕt chuçi VÝ dô. XÐt chuçi sè ∞ X aq n , n=1 trong ®ã a lµ sè kh¸c 0. Ta cã aq(1 − q n ) , Sn = 1−q + NÕu |q| < 1 lim q n = 0 th× n→∞ vµ cã tæng lµ S= + NÕu |q| > 1 th× nªn q 6= 1. khi lim Sn = n→∞ aq . 1−q Chuçi héi tô aq . 1−q lim q n = ∞ n→∞ nªn lim Sn = ∞. n→∞ Chuçi ®· cho ph©n kú. + DÔ thÊy víi q = ±1 th× chuçi trªn ph©n kú. VËy chuçi ®· cho héi tô khi vµ chØ khi lµ ∞ X aq n = n=1 1.1.2 q < 1. Khi ®ã tæng cña nã aq . 1−q PhÇn d­ cña mét chuçi sè Gi¶ sö chuçi {un }∞ n=1 héi tô. Ta ®Þnh nghÜa phÇn d­ thø chuçi ®ã nh­ sau Rn = S − Sn = ∞ X n cña uk . k=n+1 HiÓn nhiªn víi chuçi héi tô, 1.1.3 lim Rn = 0. n→∞ C¸c tÝnh chÊt cña chuçi héi tô a. NÕu chuçi ∞ P n=1 vµ cã tæng lµ αS . un vµ cã tæng lµ S th× chuçi ∞ P n=1 αun còng héi tô 1.1 11 Chuçi sè b. NÕu chuçi S1 , S2 ∞ P un n=1 ∞ P th× chuçi ∞ P vµ vn cïng héi tô vµ cã tæng t­¬ng øng lµ n=1 (un + vn ) còng héi tô vµ cã tæng lµ S1 + S2 . n=1 c. TÝnh chÊt héi tô hay ph©n kú cña mét chuçi kh«ng thay ®æi khi ta bít ®i mét sè h÷u h¹n sè h¹ng ®Çu tiªn cña chuçi ®ã. 1.1.4 Tiªu chuÈn vµ dÊu hiÖu héi tô cña chuçi sè §Þnh lÝ 1.1.2. NÕu chuçi ∞ P un héi tô th× n=1 Chøng minh. lim un = 0. n→∞ un = Sn − Sn−1 . DÔ thÊy Theo gi¶ thiÕt, ∞ P un héi tô n=1 nªn tån t¹i S = lim Sn . n→∞ Do ®ã lim un = 0, n→∞ ®Þnh lý ®­îc chøng minh. Chó ý. ChiÒu ng­îc l¹i cña ®Þnh lý trªn kh«ng ®óng, xem vÝ dô. VÝ dô. XÐt chuçi ∞ P un , víi n=1 Râ rµng, lim un = 0. n→∞ un = 1 . n Gi¶ sö chuçi ®· cho héi tô, khi ®ã lim (S2n − Sn ) = 0. n→∞ MÆt kh¸c 1 1 1 + + ··· + n+1 n+2 2n 1 1 1 > + + ··· + 2n 2n 2n 1 = 6= 0. 2 ∞ P tá chuçi un ph©n kú. S2n − Sn = M©u thuÉn nµy chøng n=1 §Þnh lÝ 1.1.3. (Tiªu chuÈn Cauchy). §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó chuçi ∞ P n=1 tô lµ víi ∀ε > 0, tån t¹i sè N0 ∈ N sao cho khi p > q ≥ N0 p X |Sp − Sq | = | un | < ε. n=q+1 th× un héi 12 Lý thuyÕt chuçi ∞ P un héi tô khi vµ chØ khi d·y {Sn }∞ n=1 n=1 ∞ héi tô. Tõ tiªu chuÈn Cauchy ®èi víi d·y sè, {Sn }n=1 héi tô khi vµ chØ khi Theo ®Þnh nghÜa, chuçi Chøng minh. víi ∀ε > 0, tån t¹i sè N0 ∈ N sao cho khi p > q ≥ N0 th× p |Sp − Sq | = | X un | < ε. n=q+1 §Þnh lý ®­îc chøng minh. 1.1.5 Chuçi d­¬ng, c¸c dÊu hiÖu héi tô §Þnh nghÜa 1.1.4. Chuçi ∞ P un n=1 NhËn xÐt. Cho chuçi d­¬ng ®­îc gäi lµ chuçi d­¬ng nÕu ∞ P un . un ≥ 0, ∀n. Khi ®ã dÔ thÊy, d·y tæng riªng n=1 {Sn }∞ n=1 lµ d·y d­¬ng kh«ng gi¶m, do ®ã a. NÕu {Sn }∞ n=1 bÞ chÆn trªn th× {Sn }∞ n=1 héi tô hay chuçi ∞ P un n=1 héi tô. b. NÕu chuçi ∞ P {Sn }∞ n=1 un kh«ng bÞ chÆn trªn th× {Sn }∞ n=1 ph©n kú, hay ph©n kú. n=1 §Þnh lÝ 1.1.5. (§Þnh lý so s¸nh). Cho hai chuçi d­¬ng ∞ P un vµ n=1 vn , ∀n. Khi ®ã a. NÕu chuçi b. NÕu chuçi ∞ P n=1 ∞ P un vn ph©n kú th× chuçi héi tô th× chuçi n=1 ∞ P n=1 ∞ P vn un ∞ P vn , un ≤ n=1 còng ph©n kú. còng héi tô. n=1 ∞ ∞ Gi¶ sö {Sn }n=1 , {Tn }n=1 lÇn l­ît lµ d·y tæng riªng cña hai ∞ P chuçi un vµ vn ,. Khi ®ã dÔ thÊy n=1 n=1 Chøng minh. ∞ P Sn ≤ Tn , ∀n. a. Gi¶ sö chuçi ∞ P un ph©n kú. Khi ®ã d·y {Sn }∞ n=1 kh«ng bÞ chÆn trªn. Do n=1 bÊt ®¼ng thøc trªn nªn {Tn }∞ n=1 còng kh«ng bÞ chÆn trªn. Tõ ®ã chuçi ∞ P n=1 vn 1.1 13 Chuçi sè ph©n kú. b. NÕu chuçi ∞ P vn {Tn }∞ n=1 héi tô th× d·y n=1 {Sn }∞ n=1 ∞ P còng bÞ chÆn trªn, hay chuçi un bÞ chÆn trªn. Tõ ®ã suy ra d·y héi tô. n=1 ∞ P §Þnh lÝ 1.1.6. Cho hai chuçi d­¬ng un ∞ P vµ n=1 vn . NÕu giíi h¹n h÷u h¹n n=1 un =k>0 n→∞ vn lim th× hai chuçi ∞ P un vµ n=1 ∞ P vn cïng héi tô hoÆc cïng ph©n kú. n=1 k 3k < k < . 2 2 un lim = k > 0 nªn tån t¹i N0 ®ñ lín ®Ó víi mäi n ≥ N0 , n→∞ vn Chøng minh. Do k ∈ (0, +∞) nªn Theo gi¶ thiÕt, 3k k un < < hay 2 vn 2   un > k vn 2 3k  un < vn 2 Tõ c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn vµ kÕt qu¶ cña ®Þnh lý 1.1.5 suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. ∞ P VÝ dô. XÐt tÝnh héi tô cña chuçi XÐt chuçi ∞ P 1 vn , vn = . n n=1 un , un = ln(1 + n=1 Ta ®· chØ ra vn ph©n kú. MÆt kh¸c, n=1 lim n→∞ Theo ®Þnh lý 1.1.6, chuçi ∞ P 1 ). n ∞ P un un = 1. vn ph©n kú. n=1 §Þnh lÝ 1.1.7. (Quy t¾c D'Alembert). un+1 = l, ta cã n→∞ un lim Cho chuçi sè d­¬ng ∞ P n=1 un . Gi¶ sö 14 Lý thuyÕt chuçi a. b. l < 1 th× chuçi l > 1 th× chuçi ∞ P n=1 ∞ P un héi tô. un ph©n kú. n=1 (Víi l = 1, kh«ng cã kÕt luËn chung cho tr­êng hîp tæng qu¸t). a. Tr­êng hîp l < 1. Gi¶ sö q ∈ (l, 1). un+1 lim = l, nªn tån t¹i sè nguyªn N > 1 sao cho n→∞ un Chøng minh. Do gi¶ thiÕt un+1 < q, ∀n ≥ N un Khi ®ã víi ∀n ≥ N ta cã un < qun−1 < · · · < q n−N uN Ta cã ∞ X un < n=1 N −1 X uk + uN (1 + q + q 2 + · · · ) k=1 q < 1 nªn râ rµng chuçi trªn héi tô. b. Trong tr­êng hîp l > 1, hoµn toµn t­¬ng tù, chän sè q ∈ (1, l). Do gi¶ thiÕt, tån t¹i sè nguyªn N > 1 sao cho Do un+1 > q, ∀n ≥ N. un Tõ ®ã, víi ∀n ≥ N ta cã un > qun−1 > · · · > q n−N uN Ta cã ∞ X un > n=1 N −1 X uk + uN (1 + q + q 2 + · · · ) k=1 q > 1 nªn chuçi ®· cho ph©n kú. §Þnh lý ®­îc chøng minh. ∞ P 2n VÝ dô 1. XÐt chuçi un , un = . DÔ thÊy n! n=1 Do un+1 2 = lim =0<1 n→∞ un n→∞ n + 1 lim 1.1 15 Chuçi sè nªn chuçi ®· cho héi tô. 2. XÐt chuçi ∞ P un , un = n=1 (n!)α , (α nn lµ sè thùc bÊt kú). Ta cã 1 un+1 = (n + 1)α−1 (1 + )−n ∼ (n + 1)α−1 e−1 . un n Tõ ®ã un+1 = e−1 < 1, chuçi ®· cho héi tô. n→∞ un un+1 = +∞ > 1, chuçi ®· cho ph©n kú. b. NÕu α > 1, lim n→∞ un un+1 c. NÕu α < 1, lim = 0 < 1, chuçi ®· cho héi tô. n→∞ un ∞ P VËy chuçi un héi tô khi α ≤ 1 vµ ph©n kú khi α > 1. a. NÕu α = 1, lim n=1 §Þnh lÝ 1.1.8. (Quy t¾c Cauchy). Cho chuçi sè d­¬ng √ lim n un = l, ta cã n→∞ a. b. l < 1 th× chuçi l > 1 th× chuçi ∞ P un . Gi¶ sö n=1 ∞ P n=1 ∞ P un héi tô. un ph©n kú. n=1 (Víi l = 1, kh«ng cã kÕt luËn chung cho tr­êng hîp tæng qu¸t). Chøng minh. nguyªn a. NÕu l < 1. Chän sè √ n un < q, ∀n ≥ N. lim un < q n , ∀n ≥ N. Ta cã ∞ X n=1 Do Theo gi¶ thiÕt tån t¹i sè N > 1 sao cho n→∞ Tõ ®ã q ∈ (l, 1). un = N −1 X uk + q N (1 + q + q 2 + · · · ) k=1 q < 1 nªn chuçi trªn héi tô. §Þnh lÝ 1.1.9. (Quy t¾c so s¸nh víi tÝch ph©n). Gi¶ sö tôc d­¬ng, gi¶m trªn +∞ R 1 f (x)dx vµ ∞ P n=1 [1, +∞) vµ lim f (x) = 0. x→∞ f (x) lµ hµm sè liªn Khi ®ã tÝch ph©n suy réng un , (un = f (n)) cïng héi tô hoÆc cïng ph©n kú. 16 Lý thuyÕt chuçi Chøng minh. Do f (x) ≥ 0 trªn [1, +∞) nªn hµm sè Zy F (y) = f (x)dx 1 t¨ng trªn [1, +∞). Do ®ã tån t¹i giíi h¹n ©m h÷n h¹n hoÆc b»ng MÆt kh¸c, víi ∀k lim F (y). y→+∞ §ã lµ mét sè kh«ng +∞. nguyªn d­¬ng th× hµm sè f gi¶m trªn ®o¹n [k, k + 1]. Do ®ã trªn ®o¹n nµy ta cã f (k + 1) ≤ f (x) ≤ f (k), LÊy tÝch ph©n trªn ®o¹n hay uk+1 ≤ f (x) ≤ uk [k, k + 1] Zk+1 Zk+1 Zk+1 uk+1 dx ≤ f (x)dx ≤ uk dx k k Tõ ®ã uk+1 k Zk+1 ≤ f (x)dx ≤ uk k Céng c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn víi n−1 X k = 1, 2, · · · , n − 1 ta cã Zn uk+1 ≤ k=1 Do ®ã, lim Ry y→inf ty 1 +∞ R nÕu chuçi ∞ P f (x)dx ≤ uk k=1 1 un n−1 X héi tô th× tõ bÊt ®¼ng thøc thø 2 suy ra n=1 f (x)dx f (x)dx lµ mét sè h÷u h¹n. Ng­îc l¹i nÕu tÝch ph©n suy réng héi tô th× tõ bÊt ®¼ng thøc thø nhÊt suy ra chuçi sè VÝ dô. Trong phÇn tÝch ph©n suy réng ta ®· chØ ra, +∞ R 1 α > 1 vµ ∞ 1 P chuçi α n=1 n ph©n kú khi héi tô khi un héi n=1 1 tô. §Þnh lý ®­îc chøng minh. khi ∞ P α≤1 α>1 1 dx xα héi tô nªn tõ ®Þnh lý trªn dÔ dµng suy ra vµ ph©n kú khi α ≤ 1. 1.1 17 Chuçi sè 1.1.6 Chuçi héi tô tuyÖt ®èi §Þnh nghÜa 1.1.10. Gi¶ sö chuçi lµ héi tô tuyÖt ®èi nÕu ∞ P un cã dÊu bÊt kú. Chuçi trªn ®­îc gäi n=1 ∞ P |un | héi tô. n=1 ∞ P §Þnh lÝ 1.1.11. NÕu chuçi un héi tô tuyÖt ®èi th× nã héi tô. n=1 Chøng minh. Cauchy, ∞ P un héi tô tuyÖt ®èi. Khi ®ã theo tiªu chuÈn n=1 sao cho ∀p > q > N0 ta cã Gi¶ sö chuçi ∀ε > 0, ∃N0 > 0     |uq+1 | + |uq+2 | + · · · + |up | < ε Tõ ®ã suy ra |uq+1 + uq+2 ∞ P ra chuçi un héi tô. n=1 + · · · + up | < ε . VÝ dô. XÐt tÝnh héi tô cña chuçi XÐt chuçi ∞ P ∞ P Còng theo dÊu hiÖu Cauchy suy un , un = n=1 |un |, cos n . n2 ta cã n=1  1 | cos n|   ≤ 2 2 n n ∞ 1 P   héi tô 2 n=1 n Theo dÊu hiÖu so s¸nh, chuçi ®· cho héi tô tuyÖt ®èi nªn nã héi tô. Chó ý. ChiÒu ng­îc l¹i cña ®Þnh lý trªn kh«ng ®óng. §Þnh nghÜa 1.1.12. NÕu chuçi ∞ P ∞ P un héi tô nh­ng n=1 un ∞ P n=1 ®­îc gäi lµ b¸n héi tô. n=1 1.1.7 Chuçi ®an dÊu, dÊu hiÖu Leibnitz §Þnh nghÜa 1.1.13. Chuçi ®an dÊu lµ chuçi cã d¹ng ±(u1 − u2 + u3 − u4 + · · · ) |un | kh«ng héi tô th× 18 Lý thuyÕt chuçi trong ®ã un ≥ 0, ∀n. §Ó ®¬n gi¶n ta chØ xÐt chuçi ®an dÊu d¹ng ®ã u1 − u2 + u3 − u4 + · · · trong un ≥ 0, ∀n. u1 , u2 , u3 , · · · gi¶m dÇn tíi 0 th× chuçi ®an dÊu u1 − u2 + u3 − u4 + · · · héi tô vµ cã tæng kh«ng v­ît qu¸ u1 . §Þnh lÝ 1.1.14. (Leibnitz). NÕu d·y sè d­¬ng Chøng minh. XÐt d·y tæng riªng {Sn }∞ n=1 . Chuçi ®· cho héi tô khi vµ chØ khi d·y tæng riªng héi tô. NÕu n ch½n: n = 2m, Sn = S2m = (u1 − u2 ) + (u3 − u4 ) + · · · + (u2m−1 − u2m ). NÕu n lÎ: n = 2m + 1, Sn = S2m+1 = (u1 − u2 ) + (u3 − u4 ) + · · · + (u2m−1 − u2m ) + u2m+1 . {S2m }m , {S2m+1 }m lµ hai d·y con cña {Sn }∞ n=1 . XÐt d·y {S2m }m , dÔ thÊy d·y trªn t¨ng. MÆt kh¸c, Râ rµng S2m = u1 − (u2 − u3 ) − (u4 − u5 ) − · · · − u2m ≤ u1 . Do ®ã tån t¹i XÐt d·y lim S2m = S ≤ u1 . m→+∞ {S2m+1 }m , ta cã S2m+1 = S2m + u2m+1 . ChuyÓn qua giíi h¹n ta ®­îc lim S2m+1 = lim S2m = S. m→+∞ VËy m→+∞ lim Sn = S ≤ u1 , ®Þnh lý ®­îc chøng minh. n→∞ 1.1.8 Mét sè tÝnh chÊt cña chuçi héi tô tuyÖt ®èi ∞ P un héi tô tuyÖt ®èi vµ cã tæng lµ S th× chuçi suy tõ nã n=1 b»ng c¸ch thay ®æi thø tù c¸c sè h¹ng vµ b»ng c¸ch nhãm tïy ý mét sè sè a. NÕu chuçi h¹ng l¹i còng héi tô tuyÖt ®èi vµ cã tæng lµ S . ∞ P b. NÕu chuçi un b¸n héi tô th× cã thÓ thay ®æi thø tù c¸c sè h¹ng cña n=1 nã ®Ó chuçi nhËn ®­îc lµ chuçi sè héi tô cã tæng lµ mét sè bÊt kú hoÆc chuçi 19 1.2 D·y hµm nhËn ®­îc lµ chuçi sè ph©n kú. Chó ý. Kh«ng thay ®æi thø tù hoÆc nhãm c¸c sè h¹ng cña mét chuçi bÊt kú. §Þnh nghÜa 1.1.15. Cho hai chuçi héi tô chóng lµ mét chuçi sè ∞ P ∞ P un vµ n=0 wn ∞ P vn . Khi ®ã tÝch cña n=0 x¸c ®Þnh nh­ sau n=0 wn = n X uk vn−k . k=0 c. NÕu hai chuçi ∞ P un vµ n=0 S, S 0 th× lµ SS 0 . l­ît lµ tæng 1.2 1.2.1 ∞ P vn héi tô tuyÖt ®èi, cã tæng lÇn n=0 tÝch cña chóng còng lµ chuçi héi tô tuyÖt ®èi vµ cã D·y hµm Sù héi tô ®iÓm vµ sù héi tô ®Òu cña d·y hµm f1 , f2 , · · · , fn , · · · x¸c ®Þnh trªn tËp X ⊂ R. §iÓm x0 ∈ X gäi lµ ®iÓm héi tô cña d·y hµm trªn nÕu d·y sè {fn (x0 )}n §Þnh nghÜa 1.2.1. Cho d·y hµm sè héi tô. TËp tÊt c¶ c¸c ®iÓm héi tô cña d·y hµm {fn }n gäi lµ tËp hîp héi tô cña d·y hµm ®ã (miÒn héi tô). {fn }n ®­îc gäi lµ héi tô ®Õn hµm f trªn tËp X nÕu víi ∀x ∈ X, ∀ε > 0, tån t¹i N0 = N0 (x, ε) > 0 sao cho víi mäi n > N0 §Þnh nghÜa 1.2.2. D·y hµm th× |fn (x) − f (x)| < ε. Ký hiÖu fn → f ( lim fn = f ). n→∞ 20 Lý thuyÕt chuçi {fn }n ®­îc gäi lµ héi tô ®Òu ®Õn hµm f trªn tËp X nÕu víi ∀ε > 0, tån t¹i N0 = N0 (ε) > 0 sao cho víi mäi n > N0 th× §Þnh nghÜa 1.2.3. D·y hµm |fn (x) − f (x)| < ε, ∀x ∈ X, (sup |fn (x) − f (x)| ≤ ε). x∈X Ký hiÖu fn ⇒ f . Chó ý. D·y hµm X. {fn }n héi tô ®Òu trªn VÝ dô. XÐt d·y hµm sè |x| > 1 th× xn → ∞. x = 1 th× xn → 1. x = −1, kh«ng cã giíi |x| < 1 th× xn → 0. {fn }n , X th× nã fn : R −→ R x 7−→ xn . h¹n. VËy miÒn héi tô cña d·y hµm ®· cho lµ XÐt trªn nöa ®o¹n héi tô ®iÓm trªn [0, 1), fn → 0 (−1, 1]. nh­ng sù héi tô nµy lµ kh«ng ®Òu trªn ®o¹n ®ã. ThËt vËy, |fn (x) − 0| = |xn |. r LÊy ε = 1/2, xÐt n0 bÊt kú vµ lÊy x ∈ ( n0 1 , 1) 2 ta cã |fn (x) − 0| > ε. Do ®ã d·y hµm ®· cho héi tô ®iÓm nh­ng kh«ng héi tô ®Òu trªn [0, 1). Víi sè a ∈ (0, 1) bÊt kú, d·y {fn }n héi tô ®Òu trªn [0, a]. ThËt vËy, sup |fn (x) − 0| = sup |xn | ≤ an → 0, (n → ∞). x∈[0,a] 1.2.2 x∈[0,a] §iÒu kiÖn héi tô ®Òu cña mét d·y hµm §Þnh lÝ 1.2.4. (Tiªu chuÈn Cauchy vÒ sù héi tô ®Òu cña d·y hµm). §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó d·y hµm víi {fn }n x¸c ®Þnh trªn tËp hîp ∀ε > 0, ∃N0 ∈ N sao cho ∀m, n ≥ N0 X ta cã |fm (x) − fn (x)| < ε, ∀x ∈ X. héi tô ®Òu trªn X lµ 21 1.2 D·y hµm Chøng minh. a. §iÒu kiÖn cÇn. Víi gi¶ thiÕt fn ⇒ f , víi ∀ε > 0, ∃N0 ∈ N sao cho ∀n ≥ N0 th× |fn (x) − f (x)| < ε/2, ∀x ∈ X. LÊy m, n ≥ N0 ta cã  |f (x) − f (x)| < ε/2, ∀x ∈ X n |fm (x) − f (x)| < ε/2, ∀x ∈ X Tõ ®ã |fm (x) − fn (x)| ≤ |fn (x) − f (x)| + |fm (x) − f (x)| < ε, ∀x ∈ X. b. §iÒu kiÖn ®ñ. {fn (x0 )}n lµ d·y Cauchy. Theo tiªu chuÈn Cauchy ®èi víi d·y sè th× {fn (x0 )}n héi tô. §Æt f (x0 ) = lim fn (x0 ). Khi ®ã x¸c ®Þnh mét hµm f : X −→ R. Ta chøng n→∞ minh fn ⇒ f . ThËt vËy, theo gi¶ thiÕt, ∀ε > 0, ∃N0 ∈ N sao cho ∀m, n ≥ N0 Víi mçi x0 ∈ X cè ®Þnh, theo gi¶ thiÕt, d·y sè ta cã |fm (x) − fn (x)| < ε, ∀x ∈ X. Cho m → ∞ ta cã |fn (x) − f (x)| < ε, ∀x ∈ X, tõ ®ã suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. 1.2.3 C¸c tÝnh chÊt cña d·y hµm héi tô ®Òu §Þnh lÝ 1.2.5. Cho d·y tôc trªn {fn }n liªn tôc trªn kho¶ng I . NÕu fn ⇒ f th× f liªn I. x0 ∈ I , ta chøng minh f x0 . Theo ®Þnh nghÜa liªn tôc ta cÇn chøng minh ∀ε > 0, ∃δ > 0, víi ∀x tháa m·n |x − x0 | < δ th× Chøng minh. LÊy liªn tôc t¹i |f (x) − f (x0 )| < ε.