Tài liệu Giải tích toán học. tập 1

Ch­¬ng 2 PhÐp tÝnh vi ph©n cña hµm sè mét biÕn sè 2.1 2.1.1 §¹o hµm C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n §Þnh nghÜa 2.1.1. Cho hµm sè r»ng hµm sè f (x) f (x) x¸c ®Þnh trong kho¶ng cã ®¹o hµm t¹i ®iÓm c ∈ (a, b) (a, b). Ta nãi nÕu tån t¹i giíi h¹n h÷u h¹n f (x) − f (c) . x→c x−c A = lim Khi ®ã sè A ®­îc gäi lµ ®¹o hµm cña hµm sè f (x) t¹i x = c vµ ký hiÖu A = f 0 (c). NÕu hµm sè f (x) cã ®¹o hµm t¹i mäi ®iÓm x ∈ (a, b) th× hµm f cã ®¹o hµm trªn kho¶ng (a, b). NhËn xÐt. (1) NÕu ®Æt x = c + 4x th× f (c + 4x) − f (c) . 4x→0 4x f 0 (c) = lim 58 PhÐp tÝnh vi ph©n cña hµm sè mét biÕn sè Trong ®ã, 4x gäi lµ sè gia cña ®èi sè, f (c + 4x) − f (c) lµ sè gia cña hµm sè t¹i x = c. (2) Ta cã thÓ viÕt c«ng thøc ®¹o hµm cña hµm sè d­íi d¹ng sau f (c + 4x) − f (c) = f 0 (c).4x + o(4x). VÝ dô. (1) f (x) = c, x ∈ (a, b) ⇒ f 0 (x) = 0 v× f (x + 4x) − f (x) = c − c = 0. (2) f (x) = xn , x ∈ (a, b)( víi n ∈ N \ {0}) ⇒ f 0 (x) = nxn−1 v× (x + 4x)n − xn 4x→0 4x 1 n−1 + Cn2 xn−2 (4x) + · · · + Cnn (4x)n−2 ) = lim (Cn x f 0 (x) = = lim 4x→0 Cn1 xn−1 = nxn−1 . (3) f (x) = sin x, x ∈ (a, b) ⇒ f 0 (x) = cos x. ThËt vËy, ta cã f (x + 4x) − f (x) = sin(x + 4x) − sin x = 2 sin 4x 4x cos(x + ) 2 2 4x 2 cos(x + 4x ) = cos x. ⇒ f 0 (x) = lim 4x 4x→0 2 2 1 (4) f (x) = ln x, x ∈ (a, b) ⊂ R+ ⇒ f 0 (x) = v× x sin ln(x + 4x) − ln x 1 = lim 4x→0 4x x 4x→0 f 0 (x) = lim ý 4x ) x = 1. 4x x x ln(1 + nghÜa h×nh häc cña ®¹o hµm §¹o hµm cña hµm sè f (x) t¹i ®iÓm x0 lµ hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn víi ®­êng cong y = f (x) t¹i ®iÓm M (x0 , f (x0 ). 59 2.1 §¹o hµm NhËn xÐt. (1) NÕu hµm sè f (x) cã ®¹o hµm t¹i ®iÓm x = c th× ®å thÞ cña hµm sè f (x) cã mét tiÕp tuyÕn duy nhÊt t¹i (c, f (c) kh«ng vu«ng gãc víi trôc Ox. (2) NÕu hµm sè f (x) cã ®¹o hµm t¹i ®iÓm x = c th× nã liªn tôc t¹i x = c (®iÒu ng­îc l¹i nãi chung kh«ng ®óng). f (x) §Þnh nghÜa 2.1.2. Gi¶ sö hµm sè x¸c ®Þnh trªn kho¶ng (a, b), x0 ∈ (a, b). NÕu tån t¹i giíi h¹n h÷u h¹n lim + 4x→0 th× f cã ®¹o hµm ph¶i t¹i x0 f (x0 + 4x) − f (x0 ) 4x vµ ký hiÖu f+0 (x0 ) = f 0 (x0 + 0) = lim + 4x→0 f (x0 + 4x) − f (x0 ) . 4x T­¬ng tù, nÕu tån t¹i giíi h¹n h÷u h¹n lim − 4x→0 th× f cã ®¹o hµm tr¸i t¹i x0 f (x0 + 4x) − f (x0 ) 4x vµ ký hiÖu f−0 (x0 ) = f 0 (x0 − 0) = lim − 4x→0 VÝ dô. f (x0 + 4x) − f (x0 ) . 4x XÐt hµm f (x) = |x|. Ta cã f+0 (0) = 1 vµ f−0 (0) = −1. NhËn xÐt. (1) §¹o hµm f 0 (x0 ) tån t¹i khi vµ chØ khi f+0 (x0 ), f−0 (x0 ) cïng tån t¹i vµ b»ng nhau. Khi ®ã ta cã f 0 (x0 ) = f+0 (x0 ) = f−0 (x0 ). f (x0 + 4x) − f (x0 ) = ±∞ th× ta nãi t¹i ®iÓm x = x0 4x→0 4x hµm sè f (x) cã ®¹o hµm v« cïng (khi ®ã tiÕp tuyÕn t¹i x0 vu«ng gãc víi trôc hoµnh). (2) NÕu lim 60 PhÐp tÝnh vi ph©n cña hµm sè mét biÕn sè 2.1.2 C¸c quy t¾c tÝnh ®¹o hµm. §¹o hµm cña hµm sè hîp, ®¹o hµm cña hµm sè ng­îc f (x) vµ g(x) lµ hai hµm sè x¸c ®Þnh trong kho¶ng (a, b) vµ cã ®¹o hµm t¹i x ∈ (a, b). Khi ®ã 0 0 0 (1) (f (x) ± g(x)) = f (x) ± g (x) 0 0 (2) (Cf (x)) = Cf (x) 0 0 0 (3) (f (x)g(x)) = f (x)g(x) + f (x).g (x)  f (x) 0 f 0 (x)g(x) − g 0 (x)f (x) víi g(x) 6= 0. (4) = g(x) g 2 (x) §Þnh lÝ 2.1.3. Cho Chøng minh. C¸c c«ng thøc (1), (2) suy trùc tiÕp tõ tÝnh chÊt cña giíi h¹n vµ ®Þnh nghÜa ®¹o hµm. (3) Ta cã f (x + 4x)g(x + 4x) − f (x)g(x) 4x  (f (x + 4x)g(x + 4x) − f (x + 4x)g(x)) = lim 4x→0 4x (f (x + 4x)g(x) − f (x)g(x))  + 4x 0 0 = f (x)g (x) + f (x)g(x) (f (x)g(x))0 = lim 4x→0  1 0 −g 0 (x) (4) Tr­íc hÕt ta chøng minh = 2 g(x) g (x) ThËt vËy, 1 1 − g(x + 4x) g(x) lim 4x→0 4x 1 −(g(x + 4x) − g(x)) = lim . 4x→0 g(x)g(x + 4x) 4x 0 −g (x) = g 2 (x)  1 0 = g(x) Tõ kÕt qu¶ trªn kÕt hîp víi (3) ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. 61 2.1 §¹o hµm §Þnh lÝ 2.1.4. Gi¶ sö u = g(x) x¸c ®Þnh trong kho¶ng (a, b), lÊy gi¸ trÞ trong (c, d) vµ cã ®¹o hµm t¹i e ∈ (a, b). (2) Hµm y = f (x) x¸c ®Þnh trong kho¶ng (c, d) vµ cã ®¹o hµm t¹i u = g(e). Khi ®ã hµm hîp f◦ g cã ®¹o hµm t¹i e vµ (1) Hµm sè (f◦ g(e))0 = fu0 (g(e))g 0 (e). Chøng minh. Do f cã ®¹o hµm t¹i u nªn f (u + 4u) − f (u) = f 0 (u)4u + o(4u). MÆt kh¸c g cã ®¹o hµm t¹i e nªn 4u = g(e + 4x) − g(e) = g 0 (e)4x + o(4x). Thay 4u vµo c«ng thøc trªn ta cã f (u + 4u) − f (u) = fu0 (g(e)).g 0 (e)4x + fu0 (u)o(4x) + o(4u) Chia c¶ hai vÕ cho 4x vµ chó ý, o(4x) →0 4x vµ g(x) liªn tôc t¹i e 4x → 0 th× 4u → 0. Ta cã (f◦ g(e))0 = fu0 (g(e))g 0 (e). VÝ dô. (1) f (x) = sin(ln x) ⇒ f 0 (x) = cos(ln x) . ThËt vËy ta cã x f (x) = sin u víi u = ln x Theo quy t¾c lÊy ®¹o hµm cña hµm hîp, ta cã f 0 (x) = (sin u)0u .u0x = cos u. 1 cos(ln x) = . x x (2) f (x) = loga (x2 + 1)(a > 0, a 6= 1) ⇒ f 0 (x) = (x2 2 + 1) ln a nªn khi 62 PhÐp tÝnh vi ph©n cña hµm sè mét biÕn sè ThËt vËy, ta cã loga (x2 + 1) = loga e. ln(x2 + 1) = ln u , víi u = x2 + 1 ln a Do ®ã (ln u)0u .u0x 1 2x f (x) = = .2x = 2 ln a u. ln a (x + 1) ln a 0 (3) Tõ ®¹o hµm cña hµm sè y = sin x ta cã (cos x)0 = − sin x, (tan x)0 = 1 −1 , ( cot x)0 = . 2 cos x sin2 x §Þnh lÝ 2.1.5. (§¹o hµm cña hµm ng­îc). Gi¶ sö f : [a, b] −→ [c, d] lµ mét g = f −1 : [c, d] −→ [a, b] lµ hµm ng­îc cña nã. NÕu f 0 cã ®¹o hµm t¹i x0 ∈ [a, b] vµ f (x0 ) 6= 0 th× g cã ®¹o hµm t¹i y0 = f (x0 ) vµ 1 gy0 (y0 ) = 0 . f (x0 ) song ¸nh, liªn tôc vµ Chøng minh. NÕu y ∈ [c, d], y 6= y0 ta cã x = g(y) 6= g(y0 ) = x0 , hay x 6= x0 . Khi ®ã g(y) − g(y0 ) 1 x − x0 = = f (x) − f (x0 ) y − y0 f (x) − f (x0 ) x − x0 y → y0 th× g(y) → g(y0 ) do g liªn tôc. Do ®ã x → x0 ta cã f (x) − f (x0 ) → f 0 (x0 ), tõ ®ã suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. x − x0 π π VÝ dô. XÐt hai f (x) = sin x trªn [− , ] vµ g(y) = arcsin y trªn [−1, 1]. 2 2 π π Víi x0 bÊt kú thuéc [− , ], y0 = sin x0 vµ f 0 (x0 ) = cos x0 = 2 2 p 1 − y02 1 1 Theo ®Þnh lý trªn, gy0 (y0 ) = 0 . =p f (x0 ) 1 − y02 Khi B¶ng ®¹o hµm cña mét sè hµm sè s¬ cÊp (1) y = c ⇒ y 0 = 0 (2) y = loga x ⇒ y 0 = loga e 1 . §Æc biÖt, nÕu y = ln x th× y 0 = x x 63 2.2 Vi ph©n (3) y = ax ⇒ y 0 = ax ln a (4) y = xα (α ∈ R, x 6= 0) ⇒ y 0 = αxα−1 (5) y = sin x ⇒ y 0 = cos x (6) y = cos x ⇒ y 0 = − sin x 1 (7) y = tan x ⇒ y 0 = cos2 x 1 (8) y = cot x ⇒ y 0 = − 2 sin x 1 0 (9) y = arcsin x ⇒ y = √ 1 − x2 1 (10) y = arccos x ⇒ y 0 = − √ 1 − x2 1 (11) y = arctan x ⇒ y 0 = 1 + x2 1 (12) y = arccotx ⇒ y 0 = − . 1 + x2 2.2 Vi ph©n 2.2.1 §Þnh nghÜa vi ph©n, hµm sè kh¶ vi §Þnh nghÜa 2.2.1. Gi¶ sö f lµ hµm sè x¸c ®Þnh trong (a, b). Khi ®ã hµm sè x0 ∈ (a, b) nÕu tån t¹i sè A ∈ R sao cho víi mäi sè gia 4x = x − x0 , sè gia 4f (x0 ) = f (x) − f (x0 ) cã thÓ f ®­îc gäi lµ kh¶ vi (cã vi ph©n) t¹i ®iÓm biÓu diÔn ®­îc d­íi d¹ng 4f (x0 ) = A4x + o(4x). BiÓu thøc A4x gäi lµ vÞ ph©n cña hµm sè f t¹i ®iÓm x0 vµ ký hiÖu d(f (x0 ). NÕu f kh¶ vi t¹i mäi ®iÓm x ∈ (a, b) th× ta nãi f kh¶ vi trong kho¶ng (a, b). §Þnh lÝ 2.2.2. Hµm sè hµm t¹i x0 . f (x) kh¶ vi t¹i x0 ∈ (a, b) khi vµ chØ khi f (x) cã ®¹o 64 PhÐp tÝnh vi ph©n cña hµm sè mét biÕn sè Chøng minh. +) NÕu f cã ®¹o hµm t¹i ®iÓm x0 ta cã f (x0 + 4x) − f (x0 ) = f 0 (x0 )4x + o(4x). A = f 0 (x0 ). +) Ng­îc l¹i, nÕu f kh¶ vi t¹i x0 , ta cã Do ®ã f kh¶ vi t¹i x0 víi 4f (x0 ) = f (x0 + 4x) − f (x0 ) = A4x + o(4x) do ®ã lim 4x = A, nghÜa lµ f 0 (x0 ) = A. 4f (x0 ) Tõ chøng minh trªn ta thÊy mèi liªn hÖ sau df (x) = f 0 (x)4x. §Æc biÖt nÕu f (x) = x, ta cã f 0 (x) = 1 ⇒ dx = 4x. Do ®ã df (x) = f 0 (x)dx hay f 0 (x) = 2.2.2 df (x) . dx C¸c quy t¾c lÊy vi ph©n, tÝnh bÊt biÕn cña vi ph©n cÊp 1 a) C¸c c«ng thøc quy t¾c lÊy vi ph©n. Nhê c¸c quy t¾c lÊy ®¹o hµm vµ c¸c c«ng thøc ®· nªu trªn ta cã c¸c c«ng thøc vµ quy t¾c lÊy vi ph©n sau (1) d(f ± g) = df ± dg . (2) d(kf ) = kdf (3) d(f g) = f dg + gdf  f  gdf − f dg (4) d = víi g(x0 ) 6= 0. g g2 b) TÝnh bÊt biÕn cña vi ph©n cÊp 1. NÕu hµm sè y = f (x), trong ®ã x lµ biÕn ®éc lËp, lµ hµm sè kh¶ vi t¹i ®iÓm x nµo ®ã th× dy = f 0 (x)dx. XÐt vi ph©n dy trong tr­êng hîp x lµ biÕn phô thuéc vµo t nghÜa lµ y = f (ϕ(t)). 65 2.2 Vi ph©n Gi¶ sö x = ϕ(t) kh¶ vi, ta cã dx = ϕ0 (t)dt. MÆt kh¸c dy = [f (ϕ(t)]0 = f 0 (x).ϕ0 (t) dt do ®ã dy = f 0 (x)ϕ0 (t)dt hay dy = f 0 (x)dx. Nh­ vËy, vi ph©n dy kh«ng thay ®æi khi x lµ biÕn ®éc lËp hay phô thuéc. TÝnh chÊt nµy gäi lµ tÝnh bÊt biÕn cña vi ph©n cÊp 1. 2.2.3 C¸c ®Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh §Þnh nghÜa 2.2.3. Cho hµm sè f (x) ®¹t δ > 0 sao cho r»ng f (x) (a, b). x = c ∈ (a, b) nÕu x¸c ®Þnh trong kho¶ng cùc ®¹i (hoÆc cùc tiÓu) tt¹i ®iÓm Ta nãi tån t¹i f (x) − f (c) < 0(hoÆc > 0) víi ∀x ∈ (c − δ, c + δ) ∩ (a, b), x 6= c. Bæ ®Ò 2.2.4. (§Þnh lý Fermat). NÕu hµm sè c ∈ (a, b) vµ f kh¶ vi t¹i f : (a, b) −→ R c th× f 0 (c) = 0. c lµ ®iÓm cùc ®¹i cña f . x = c nªn tån t¹i f (c). Ta cã Chøng minh. ®¹t cùc trÞ t¹i Gi¶ sö Theo gi¶ thiÕt, do f kh¶ vi t¹i 0 f (c + h) − f (c) . h→0 h f 0 (c) = lim f ®¹t cùc ®¹i t¹i c nªn cãf (c + h) − f (c) < 0. Do ®ã Do víi h 6= 0 cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi ®ñ nhá ta f (c + h) − f (c) > 0 khi h < 0, h f (c + h) − f (c) > 0 khi h < 0. h 0 0 ChuyÓn qua giíi h¹n khi h → 0 ta cã f+ (c) ≤ 0 vµ f− (c) ≥ 0. MÆt kh¸c, 0 0 0 0 0 do tån t¹i f (c) nªn f+ (c) = f− (c) = f (c) hay f (c) = 0. T­¬ng tù nÕu c lµ ®iÓm cùc ®¹i cña f , bæ ®Ò ®­îc chøng minh. 66 PhÐp tÝnh vi ph©n cña hµm sè mét biÕn sè f (x) x¸c ®Þnh, liªn tôc trong ®o¹n [a, b] vµ kh¶ vi trong (a, b) Gi¶ sö f (a) = f (b). Khi ®ã tån t¹i c ∈ (a, b) sao 0 cho f (c) = 0. HÖ qu¶ 2.2.5. (§Þnh lý Rolle) Cho hµm sè Chøng minh. nhá nhÊt NÕu V× f liªn tôc trªn ®o¹n [a, b] nªn nã ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt vµ m trªn ®o¹n ®ã. Ta cã M = m th× f (x) =const trªn [a, b] hay f 0 (x) = 0, ∀x ∈ (a, b) M > m. Khi ®ã, do f (a) = f (b) nªn gi¸ trÞ M 0 ®iÓm c ∈ (a, b). Theo ®Þnh lý Fermat ta cã f (c) = 0. NÕu §Þnh lÝ 2.2.6. (§Þnh lý Lagrange) NÕu hµm sè ®o¹n M f (x) hoÆc m ®¹t t¹i mét x¸c ®Þnh, liªn tôc trªn [a, b] vµ kh¶ vi trong kho¶ng (a, b) th× tån t¹i Ýt nhÊt mét ®iÓm c ∈ (a, b) sao cho f (b) − f (a) = f 0 (c). b−a Chøng minh. XÐt hµm sè g(x) = f (x) − f (a) − f (b) − f (a) (x − a). b−a g tháa m·n tÊt c¶ c¸c ®iÒu kiÖn cña c ∈ (a, b) sao cho g 0 (c) = 0. Tõ ®ã suy ra DÔ thÊy ®Þnh lý Rolle nªn tån t¹i ®iÓm f (b) − f (a) = f 0 (c). b−a §Þnh lý ®­îc chøng minh. Chó ý. NÕu ®Æt x = a, x + 4x = b th× c«ng thøc trªn ®­îc viÕt d¹ng f (x + 4x) − f (x) = f 0 (x + θ4x)4x víi 0 < θ < 1 hay 4y = f 0 (x + θ4x)4x víi 0 < θ < 1. C«ng thøc trªn ®­îc gäi lµ c«ng thøc sè gia giíi néi. HÖ qu¶ 2.2.7. NÕu f 0 (x) = 0 víi ∀x ∈ (a, b) th× f (x) =const trªn (a, b). 67 2.2 Vi ph©n [a, b] vµ kh¶ vi trong (a, b), g (x) 6= 0, ∀x ∈ (a, b) th× tån t¹i Ýt nhÊt mét ®iÓm c ∈ (a, b) sao §Þnh lÝ 2.2.8. (Cauchy). NÕu c¸c hµm sè f, g liªn tôc trªn 0 cho f (b) − f (a) f 0 (c) = 0 . g(b) − g(a) g (c) Chøng minh. XÐt hµm sè ϕ(x) = f (x) − f (a) − DÔ thÊy ϕ(x) f (b) − f (a) (g(x) − g(a)). g(b) − g(a) tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn cña ®Þnh lý Rolle do ®ã tån t¹i c ∈ (a, b) sao cho ϕ0 (0) = 0, ta cã f 0 (c) − Do f (b) − f (a) 0 g (c) = 0 g(b) − g(a) g 0 (x) 6= 0, ∀x ∈ (a, b) nªn f 0 (c) f (b) − f (a) = 0 . g(b) − g(a) g (c) Mét sè vÝ dô. VÝ dô 1. KiÓm tra tÝnh ®óng ®¾n cña ®Þnh lý Rolle ®èi víi hµm f (x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3). Do hµm f (x) kh¶ vi trªn ®o¹n [1, 3] vµ triÖt tiªu t¹i c¸c ®iÓm x = 1, x = 2 vµ x = 3 cña ®o¹n ®ã. Do ®ã trªn c¸c ®o¹n [1, 2] vµ [2.3] ®èi víi hµm f (x) tháa m·n ®Þnh lý Rolle, tån t¹i Ýt nhÊt hai ®iÓm cña kho¶ng (1, 3) ®Ó ®¹o hµm t¹i ®ã triÖt tiªu. KiÓm tra trùc tiÕp ta thÊy ®¹o hµm cña f (x) lµ f 0 (x) = 3x2 − 12x + 11 = 0 râ rµng triÖt tiªu t¹i hai ®iÓm. VÝ dô 2. Víi mäi x, y, p tháa m·n x > y > 0, p > 1 ta cã py p−1 (x − y) ≤ xp − y p ≤ pxp−1 (x − y). ThËt vËy, cã thÓ thÊy hµm sè f (t) = tp kh¶ vi liªn tôc trªn mäi ®o¹n [y, x] Theo ®Þnh lý Lagrange tån t¹i ®iÓm c ∈ [y, x] sao cho f (x) − f (y) xp − y p = f 0 (c) hay = pcp−1 x−y x−y 68 PhÐp tÝnh vi ph©n cña hµm sè mét biÕn sè Do c ∈ [y, x], p > 1 nªn py p−1 (x − y) ≤ pcp−1 ≤ pxp−1 (x − y). Tõ ®ã py p−1 (x − y) ≤ xp − y p ≤ pxp−1 (x − y). 2.2.4 §¹o hµm vµ vi ph©n cÊp cao, c«ng thøc Newton - Leibnitz, khai triÓn Taylor a) §¹o hµm vµ vi ph©n cÊp cao f (x) x¸c ®Þnh trong kho¶ng (a, b), f (x) ®­îc gäi lµ kh¶ vi cÊp n trong kho¶ng (a, b) nÕu f kh¶ vi cÊp (n − 1) trong kho¶ng (a, b) vµ ®¹o hµm cÊp (n − 1) cña f còng kh¶ vi. Khi ®ã ®¹o hµm cÊp n cña f ®­îc ®Þnh nghÜa nh­ sau §Þnh nghÜa 2.2.9. Cho hµm sè f (n) (x) = [f (n−1) ]0 . VÝ dô. (1) Hµm f (x) = xk (víi k nguyªn d­¬ng) cã ®¹o hµm cÊp n víi ∀n. f 0 (x) = kxk−1 f 00 (x) = k(k − 1)xk−2 ······ f (n) (x) = k(k − 1) · · · (k − n + 1)xk−n nÕu n ≤ k NÕu n = k, f (k) (x) = k!. Ngoµi ra, nÕu n > k th× f (n) (x) = 0. (2) Hµm sè f (x) = ex cã f (n) (x) = ex víi ∀n. π (3) Hµm sè f (x) = sin x th× f (n) = sin(x + n ) 2 π (n) (4) Hµm sè f (x) = cos x th× f = cos(x + n ). 2 1 (5) Hµm sè f (x) = cã ®¹o hµm cÊp n lµ x−1 f (n) (−1)n n! (x) = (x − 1)n+1 69 2.2 Vi ph©n ThËt vËy, víi n = 1 c«ng thøc trªn hiÓn nhiªn ®óng. Gi¶ sö c«ng thøc trªn ®óng víi n = k tøc lµ f (k) (x) = (−1)k k! (x − 1)k+1 Ta ph¶i chøng minh nã ®óng víi n = k + 1 hay f (k+1) (x) = (−1)k+1 (k + 1)! . (x − 1)k+2 ThËt vËy, theo ®Þnh nghÜa f (k+1) (x) = [f (k) (x)]0 h (−1)k k! i0 = (x − 1)k+1 (−1)k k!(k + 1) = − (x − 1)k+2 (−1)k+1 (k + 1)! = . (x − 1)k+2 C¸c phÐp to¸n vÒ ®¹o hµm cÊp cao Gi¶ sö f, g cã ®¹o hµm cÊp n t¹i ®iÓm x ta cã (f (x) ± g(x))(n) = f (n) (x) ± g (n) (x) (αf (x))(n) = αf (n) (x), (α ∈ R) n P Cnk f (k) (x)g (n−k) (x) (f (x).g(x))(n) = k=0 (C«ng thøc Leibnitz). VÝ dô. TÝnh ®¹o hµm cÊp n cña hµm sè y = x2 sin ax. Theo c«ng thøc Leibnitz, ta cã y (n) = [x2 sin ax]n) n X = Cnk (x2 )(k) (sin ax)(n−k) k=0 70 PhÐp tÝnh vi ph©n cña hµm sè mét biÕn sè = n X Cnk (x2 )(k) an sin(ax + k=0 (n − k)π ) 2 nπ nπ ) − x2 an−1 cos(ax + )− 2 2 nπ −n(n − 1)an−2 sin(ax + ). 2 §Þnh nghÜa 2.2.10. Gi¶ sö hµm sè f (x) kh¶ vi trong kho¶ng (a, b). Khi ®ã nÕu tån t¹i vi ph©n cña df t¹i ®iÓm x th× vi ph©n nµy ®­îc gäi lµ vi ph©n cÊp 2 2 cña f vµ ký hiÖu d f (x). Víi x lµ biÕn sè ®éc lËp ta cã. = x2 an sin(ax + d2 f (x) = d(df (x)) = d(f 0 (x)dx) = d(f 0 (x))dx = f 00 (x)dx2 . Tæng qu¸t, vi ph©n cÊp n cña hµm sè f t¹i ®iÓm x ký hiÖu dn f (x) lµ vi ph©n cña vi ph©n cÊp (n − 1) cña f t¹i x, nghÜa lµ dn (f (x)) = d(dn−1 f (x)) = f (n) (x)dxn hay f (n) (x) = dn f (x) . dxn (C«ng thøc nµy chØ ®óng víi x lµ biÕn sè ®éc lËp). Chó ý. Vi ph©n cÊp cao kh«ng cã tÝnh bÊt biÕn, vÝ dô XÐt f (x) = x2 ta cã df = 2xdx ⇒ d2 f = 2dx2 Gi¶ sö x = t2 , ta cã f (x) = t4 nªn df = 4t3 dt ⇒ d2 f = 12t2 dt2 MÆt kh¸c, d2 f = 2dx2 = 2(2tdt)2 = 8t2 dt2 6= 12t2 dt2 . b) Khai triÓn Taylor. Gi¶ sö hµm sè f (x) liªn tôc, kh¶ vi ®Õn cÊp (n + 1) trong kho¶ng (a, b). Ta sÏ t×m c¸ch xÊp xØ hµm f (x) bëi mét hµm ®¬n gi¶n h¬n, cô thÓ lµ t×m mét ®a thøc Pn (x) cã bËc kh«ng qu¸ n sao cho víi mét ®iÓm c nµo ®ã trong (a, b), f (c) = Pn (c), f 0 (c) = Pn0 (c), · · · , f (n) (c) = Pn(n) (c). 71 2.2 Vi ph©n §Þnh lÝ 2.2.11. (Taylor). Gi¶ sö hµm sè hµm cÊp f (x) liªn tôc trªn [a, b] vµ cã ®¹o (n + 1) trong kho¶ng (a, b). Khi ®ã víi ∀c ∈ (a, b) ta cã f (x) = f (c) + f (n) (c) f (n+1) (c) f 0 (c) (x − c) + · · · + (x − c)n + (x − c)n+1 1! n! (n + 1)! c lµ sè thùc n»m gi÷a x vµ c. C«ng thøc trªn ®­îc gäi lµ c«ng thøc Taylor, biÓu diÔn cña hµm f (x) d­íi d¹ng trªn ®­îc gäi lµ khai triÓn Taylor cña hµm f (x) t¹i ®iÓm x = c. Trong khu«n khæ ch­¬ng tr×nh ta kh«ng chøng minh ®Þnh lý nµy. NhËn xÐt. §Þnh lý trªn cho phÐp xÊp xØ hµm sè f (x) bëi ®a thøc d¹ng Trong ®ã Pn (x) = a0 + a1 (x − c) + a2 (x − c)2 + · · · + an (x − c)n f (n) (c) . n! §Æc biÖt nÕu c = 0 ∈ (a, b) th× c«ng thøc trªn ®­îc gäi lµ c«ng thøc Maclaurin víi a0 = f (c), an = f (x) = f (0) + f 0 (0) f (n) (0) n f (n+1) (θx) n+1 x+···+ x + x víi 0 < θ < 1. 1! n! (n + 1)! NÕu ®Æt h = x − c th× c«ng thøc Taylor ®­îc viÕt d­íi d¹ng sau f (c+h) = f (c)+ f 0 (c) f (n) (c) n f (n+1) (c + θh) n+1 h+· · ·+ h + h víi 0 < θ < 1. 1! n! (n + 1)! Tõ c¸c c«ng thøc trªn cã thÓ thÊy xÊp xØ cña f t¹i l©n cËn cña c cµng chÝnh x¸c nÕu biÕt cµng nhiÒu ®¹o hµm cÊp cao cña f t¹i f (n+1) (c + θh) n+1 x = c. §¹i l­îng Rn = h gäi lµ sai sè khi tÝnh gi¸ (n + 1)! trÞ cña hµm f (x) t¹i c. VÝ dô. (1) Khai triÓn Maclaurin hµm sè f (x) = (1 + x)m víi m nguyªn d­¬ng. 72 PhÐp tÝnh vi ph©n cña hµm sè mét biÕn sè Ta cã f (0) = 1, f (k) (0) = m(m − 1) · · · (m − k + 1) nÕu k ≤ m vµ f (k) (0) = 0 nÕu k > m. Tõ ®ã ta cã c«ng thøc f (x) = (1 + x)m = 1 + m(m − 1) · · · (m − k + 1) k m x+· · ·+ x + · · · + xm . 1! k! (2) Khai triÓn Maclaurin cña hµm sè f (x) = x 6= 1, f (n) (x) = (−1)n 1 . DÔ thÊy víi 1+x n! . (1 + x)n+1 Tõ ®ã ta cã c«ng thøc f (x) = 1 − x + x2 − · · · + (−1)n xn + 1 víi 0 < θ < 1. (1 + θx)n+1 (3) Khai triÓn Maclaurin cña hµm sè f (x) = ln(1 + x). Ta cã f (0) = 0, f 0 (x) = 1 n! , · · · , f (n+1) (x) = (−1)n . 1+x (1 + x)n+1 Do ®ã f (x) = x − x2 n! xn 1 + · · · + (−1)n−1 + (−1)n . 2 n n + 1 (1 + x)n+1 (4) Khai triÓn Maclaurin cña hµm sè f (x) = ex . Do f (n) = ex nªn ta cã f (x) = 1 + 2.2.5 x2 xn eθ x x + + ··· + víi 0 < θ < 1. 1! 2! n! (n + 1)!xn+1 øng dông cña phÐp tÝnh vi ph©n a) Quy t¾c L'Hospital §Þnh lÝ 2.2.12. (Quy t¾c De L'Hospital). Gi¶ sö c¸c hµm sè ®Þnh, kh¶ vi t¹i l©n cËn nµo ®ã cña l©n cËn cña a∈R (cã thÓ trõ ®iÓm a, lim f (x) = lim g(x) = 0, g 0 (x) 6= 0 x→a x→a f (x), g(x) a), x¸c vµ nÕu trong 73 2.2 Vi ph©n vµ nÕu f (x) f 0 (x) = A th× lim = A. 0 x→a g(x) x→a g (x) lim Chøng minh. Theo gi¶ thiÕt, f (x), g(x) kh¶ vi trong mét l©n cËn cña a nªn a ta cã f (x), g(x) chóng liªn tôc trong l©n cËn ®ã. NÕu hai hµm sè kh«ng x¸c ®Þnh t¹i f (a) = g(a) = 0. Khi liªn tôc trªn l©n cËn cña a vµ t¹i ®iÓm a. Theo ®Þnh lý Cauchy, tån t¹i c n»m gi÷a a vµ x sao cho thÓ bæ sung gi¸ trÞ t¹i a b»ng c¸ch ®Æt ®ã f (x) f (x) − f (a) f 0 (c) = = 0 g(x) g(x) − g(a) g (c) Cho x → a th× c → a do ®ã nÕu f 0 (x) f (x) = A. = A th× lim 0 x→a g (x) x→a g(x) lim §Þnh lý ®­îc chøng minh. NhËn xÐt. §Þnh lý trªn vÉn ®óng trong c¸c tr­êng hîp f 0 (x) a) lim 0 =∞ x→a g (x) b) a = ±∞ c) lim f (x) = lim g(x) = ∞. x→a x→a 0 ∞ Trong thùc hµnh, ®Þnh lý nµy dïng ®Ó khö d¹ng v« ®Þnh vµ . 0 ∞ tan x − x VÝ dô. T×m c¸c giíi h¹n sau (1) lim . x→0 x − sin x Ta cã (tan x − x)0 1 − cos2 x = lim x→0 (x − sin x)0 x→0 cos2 x(1 − cos x) lim 1 + cos x =2 x→0 cos2 x = lim VËy tan x − x = 2. x→0 x − sin x lim 74 PhÐp tÝnh vi ph©n cña hµm sè mét biÕn sè xn víi a, n > 0. Ta cã x→+∞ eax (2) lim (xn )0 lim = x→+∞ (eax )0 = = = = (xn−1 )0 nxn−1 n lim lim = x→+∞ aeax α x→+∞ (eax )0 n(n − 1) xn−2 lim x→+∞ eax α2 ············ 1 n! lim ax (Sau n b­íc ¸p dông quy t¾c L'Hpspital) n α x→+∞ e 0 Do ®ã ln x = 0. x→+∞ xα lim √ 3 (3) limπ x→ 4 tan x − 1 . Ta cã 2 sin2 x − 1 1 1 1 .√ . 2 3 ( tan x − 1) 3 tan2 x cos x limπ = limπ 2 0 x→ 4 (2 sin x − 1) x→ 4 4 sin x cos x 1 = . 3 1
1 0 − (4) lim . Ta ®­a vÒ d¹ng . x→1 ln x x−1 0 1 1 1 − 2 x − ln x − 1 1 x lim = lim = . = lim x 1 x→1 (x − 1) ln x x→1 x − 1 x→1 1 2 + ln x + x x2 x √ 3 0 b) T×m cùc trÞ cña hµm sè f (x) lµ hµm sè x¸c ®Þnh vµ liªn tôc trªn ®o¹n [a, b] vµ kh¶ vi trªn kho¶ng (a, b). Khi ®ã 0 (1) §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó f (x) t¨ng (hoÆc gi¶m) trªn [a, b] lµ f (x) ≥ 0 0 (hoÆc f (x) ≤ 0) víi ∀x ∈ (a, b). 0 0 (2) NÕu f (x) ≥ 0 (hoÆc f (x) ≤ 0) víi ∀x ∈ (a, b) vµ tån t¹i Ýt nhÊt 0 0 mét ®iÓm x tháa m·n f (x) > 0 (hoÆc f (x) < 0) th× f (b) > f (a) (hoÆc f (b) < f (a)). §Þnh lÝ 2.2.13. Cho 75 2.2 Vi ph©n Chøng minh. Ta sÏ chøng minh cho tr­êng hîp f t¨ng (tr­êng hîp f gi¶m chøng minh t­¬ng tù). (1) Gi¶ sö f (x) t¨ng trªn ®o¹n [a, b]. Khi ®ã, f (x + h) ≥ f (x)( víi h > 0), Do ®ã víi vµ f (x + h) ≤ f (x)( víi h < 0). h 6= 0, ta cã f (x + h) − f (x) ≥ 0. h h → 0 ta cã f 0 (x) ≥ 0. 0 Ng­îc l¹i, nÕu f (x) ≥ 0víi ∀x ∈ (a, b). LÊy u, v ∈ [a, b], u < v . ®Þnh lý Lagrange, tån t¹i w ∈ (u, v) sao cho ChuyÓn qua giíi h¹n bÊt ®¼ng thøc trªn khi Theo f (v) − f (u) = (v − u)f 0 (w). f (v) ≥ f (u) hay f (x) lµ hµm t¨ng. (2) NÕu f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b) th× theo chøng minh trªn, f (x) lµ hµm t¨ng trªn [a, b]. Do ®ã víi ∀x ∈ [a, b] ta cã f (a) ≤ f (x) ≤ f (b). Gi¶ sö f (x) = f (a), ∀x ∈ [a, b] th× f 0 (x) = 0, ∀x ∈ (a, b). M©u thuÉn nµy chøng tá tån t¹i x ∈ [a, b] ®Ó f (a) < f (x). Tõ ®ã suy ra f (a) < f (b), ®Þnh lý ®­îc chøng minh. Tõ ®ã ta cã f (x), g(x) lµ hai hµm sè x¸c ®Þnh, liªn tôc trªn ®o¹n [a, b] vµ kh¶ vi trªn kho¶ng (a, b). 0 0 (1) NÕu f (a) ≤ g(a) vµ f (x) ≤ g (x)∀x ∈ (a, b) th× f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b]. 0 0 (2) NÕu f (a) ≤ g(a) vµ f (x) < g (x), ∀x ∈ (a, b) th× f (x) < g(x), ∀x ∈ (a, b). HÖ qu¶ 2.2.14. Cho Chøng minh. §Æt h = g − f. h x¸c ®Þnh vµ liªn tôc trªn ®o¹n [a, b] vµ kh¶ vi trªn kho¶ng (a, b). H¬n n÷a h0 (x) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b). Theo ®Þnh lý trªn, h t¨ng trong [a, b] nªn h(x) ≥ h(a) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] hay f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b]. (1) DÔ thÊy 76 PhÐp tÝnh vi ph©n cña hµm sè mét biÕn sè x ∈ (a, b). Theo gi¶ thiÕt, h0 (t) > 0, ∀t ∈ (a, x). 2.2.13, h(x) > h(a) ≥ 0 hay g(x) > f (x). Do x lÊy bÊt kú trªn (a, b) nªn f (x) < g(x), ∀x ∈ (a, b). VÝ dô. Chøng minh r»ng (2) LÊy x− Theo ®Þnh lý x2 < ln(1 + x) < x, ∀x > 0. 2 ThËt vËy, víi x ≥ 0, hµm f (t) = t − ln(1 + t) liªn tôc trªn ®o¹n 1 [0, x], kh¶ vi trªn (0, x) vµ f 0 (t) = 1 − > 0, ∀t > 0. 1+t Do ®ã theo ®Þnh lý 2.2.13, f (x) > f (0) = 0 hay x > ln(1 + x), ∀x > 0. T­¬ng tù, ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc cßn l¹i ta xÐt hµm g(t) = t − t2 − ln(1 + t) 2 Víi x ≥ 0, hµm sè g(t) liªn tôc trªn ®o¹n [0, x], kh¶ vi trªn (0, x) 1 −t2 vµ g 0 (t) = 1 − t − = < 0, ∀t > 0. Do ®ã 1+t 1+t g(x) < g(0) = 0 hay x − x2 < ln(1 + x), ∀x > 0. 2 f (x) x¸c ®Þnh, liªn tôc trªn ®o¹n [a, b] vµ kh¶ vi trªn kho¶ng (a, b) (cã thÓ trõ ra mét sè h÷u h¹n ®iÓm). Gi¶ sö c lµ ®iÓm tháa m·n a < c < b (t¹i x = c, hµm sè f (x) cã thÓ kh«ng kh¶ vi). Khi ®ã 0 (1) NÕu khi x ®i qua c mµ f (x) ®æi dÊu tõ d­¬ng sang ©m th× f (x) ®¹t cùc ®¹i t¹i x = c. 0 (2) NÕu khi x ®i qua c mµ f (x) ®æi dÊu tõ ©m sang d­¬ng th× f (x) ®¹t cùc tiÓu t¹i x = c. 0 (3) NÕu khi x ®i qua c mµ f (x) kh«ng ®æi dÊu th× f (x) kh«ng ®¹t cùc trÞ t¹i x = c. §Þnh lÝ 2.2.15. Cho hµm sè x thuéc l©n cËn ®ñ nhá cña ®iÓm c vµ x < c. Khi ®ã, do f (t) > 0, ∀t ∈ (x, c) nªn f (c) > f (x). MÆt kh¸c, lÊy x > c trong l©n Chøng minh. 0 (1) Gi¶ sö