Tài liệu Giải tích số

N G U Y Ề N M IN H C HƯ ƠN G ( Chủ biên) - N G U Y Ễ N V Ả N KHAI K H U Ấ T V Ă N NINH - N G U Y Ễ N VĂ N T U Ấ N -N G U Y Ẻ N TƯ Ơ N G TT TT-TV * ĐHQGHN NGUYỄN MINH CHƯƠNG (chủ biên) - NGUYỄN VĂN KHẢI KHUẤT \/ĂN NINH - NGUYỄN VĂN TUẤN - NGUYỄN TƯỜNG G I A I T I C H S (T á i b ả n lần th ứ ba) N H À X U Ấ T B Ả N G IÁ O DỤC O c l '' r * Nhà xuất bản GỈằo dục tại TP. Hà Nội giữ quyền công bố tác phẩm. Mọi tổ chức, cá nhân muốn sử dụng tác phẩm dưới mọi hình thức phải dược sự đồng ý của chủ sở hữu quyền tác giả. 0 4 - 2 0 0 9 / C X B /3 4 2 - 2 1 1 7 /G D M ã số : 7 K 4 7 1 h 9 - DAI LỜI N ÓI ĐẨU Giúi tích sô dang phát triển mạnh, đặc biệt lủ mô phỏng số, phương pháp :ong song, xấp xỉ bằng spìine và sóng nhỏ (waveleí) dang phát triển rất mạnh cùng với sự phát triển cực kì nhanh của tin học, máy vi tính. Tr/ớc đây không lâu, dôi với một số ngành lí thuyết như đại số trừu tượng hình học vi phân, hình học đại số v.v... tưởng chừng như không thể có thvật toán, chương trình để đưa vào máy tính, nhưng bảy giờ các ngành ấy dã có thuật toán, chương trình tính toán trên máy vi tính rồi (xem [81,120, 88]). Đây là một trong các xu thế lớn của toán học hiện đại. Nhà bác học nổi tiếng S.L. Soholev mới 30 tuổi đã lủ viện s ĩ Viện hàn lảm khoa học Liên Xô (cũ), đã xây dựng dược một không gian phiếm hàm trừu tượng mang tên ông. Không gian này cực kì quan trọng và cân thiết cho gần hết các ngành khoa học và công nghệ, đã, đang và sẽ dược phát triển không ngừng. Ông đã dành nửa dời người cho toán học tính toán. Nhiêu nhà toán học có tên tuổi, trong dó có cá viện sĩ, cả những nhà bác học đã được giải thưởng Fieỉds, Noheỉ, cũng dã viết nhiều công trình với nhan đề tưởng chừng không thuộc ngành giải tích sô, nhưng rất gắn với ngành này, như o . v . Besov, G.H. Hardy với các không gian phiếm hàm mưng tên mình, H. Brezis(*), L. Nirenberg với bài báo “Lý thuyết bậc và dao động trung bình bị chặn”, B .p. Masỉov với sách “Các phương pháp tiệm cận cho phương trình giả vi phản”, P.J.Lious(**) với sách “Nghiệm suy rộng của phương trình Hamilton - Jacobi'\ L. V. Kantorovich (và G.p. Alcilov) với sách “Giải tích hàm” (1984) v.v ... Nhiều nhà toán học khác đã quan tâm đến rất nhiều lĩnh vực cũng đã (*) đang là Giám đốc Phòng Giải tích số, ĐHTH Marie Curie, Paris (**) Giải thưởng Fields đang cùng với bố, Viện sĩ J.J. Lions, trong Ban biên tập tạp chí “Mồ phỏng toán học và giải tích s ố ”, 1 trong 4 tạp chí lớn nhất về giải tích số trên thế giới. 3 đóng góp nhiều bài báo về các phương pháp tính toán như P.Lax với lược đồ mang tên ông, O.A. Ladyiheskaia [11], O.A. Oỉeinik /22, 102], S.Smale 1111],... Đương nhiên còn rất nhiều nhà toán học đã dành cả đời chỉ cho giải tích s ố mà chúng tôi không th ể liệt kê ỏ đây. Chúng tôi chỉ xin lưu ỷ rằng ngay trong lĩnh vực thị trường chứng khoán đang diễn biến gay gắt trong nén kinh t ế thị trường, cũng phải nghiên cứu nhiều phương trình vi tích phân ngẫu nhiên, trong đó có phương trình Black-Scholes, với các bài toán biên phi tuyến mà không sử dụng giải tích số và máy vi tính thì không th ể giải được. Như vậy giải tích số là cực kì quan trọng và cần thiết cho khoa học và công nghệ. Do đó dù trong nước đã có nhiêu sách viết bằng tiếng Việt, chúng tôi cũng được Nhà xuất bản Giáo dục cổ vũ, hối thúc viết quyển sách này. Quyển sách gồm hai phần. Phần M ột gồm sáu chương giới thiệu các kiến thức cơ bản về giải tích sọ cho sinh viên các trường Đại học trong những năm đầu cũng như ở những năm cuối. Các kiến thức trong phần này của quyển sách được chọn ì ọc đ ể thích hợp với tất cả các đối tượng ấy. Chúng tôi cố gắng viết để độc giả tiếp cận được với giải tích số hiện đại. Bên cạnh các biểu bảng, lược đổ, chúng tôi cũng đã sử dụng chươììg trình MAPLE V ở một số chỗ. Cuối mỗi chương của phần này đều có bài tập. Phán Hai gồm nám chương. Phẩn này nhằm đưa độc giả đến một số hướng hiện đại trong giải tích số, đặc biệt để độc giả làm quen với một số kết quả nghiên cứii gần đây của các tác giả và các đổng nghiệp. Phán này cùng với một sô' tài liệu được liệt kê trong mục tài liệu tham khảo ỏ cuối sách có thể giúp cho sinh viên chuẩn bị luận văn thạc sĩ, luận án tiến sĩ và xa hơn. Tiếp theo Chương XI là phẩn đáp số và hướng dẫn giài các bài tập. N hư ta đã thấy giải tích số là một ngành rất rộng, nên chúng tôi chì đê cập một s ố vấn đê như trên. Ngay cả đối với các vấn để được đề cập, vớ/ khuôn kh ổ quyển sách, chúng tôi cũng không th ể đi sâu và rộng hơn. Song đ ể khắc phục hạn chê ấy, chúng tôi cố gắng đưa vào những tài liệu gần đây vê giải tích s ố trong mục tài tiện tham khảo, dù rằng những tài liệu này còn xa mới đầy đủ. Chúng tôi trân trọng cám ơn Nhà xuất bản Giáo dục đã cổ vũ và tạo điều kiện đ ể quyển sách được ra đời phục vụ sớm, đặc biệt là T.s Nguyễn Huy Đoan dã giúp các tác giả rất nhiêu trong quá trình làm sách. Hà Nội, Xỉiân 2000 CÁC TÁC GIẢ 4 FOREWORDS Nmnericcil anaìysis is intensivcìy (ỉevelopimỊ, especiallv, mimerical tiìodellimị, pcnaìleỉ nietìiocis, spline and waveìe(Ị approxìmation are very rưpidh growing along wìth the e.xtremeỉy rưpid (levelopment o f informcỉtics, microcomputers. Few yeat s ligo it seemed that there were sonie tìieoi etica! areas SLich as abstract algebra, diỊỊerenùaì geometrỵ, algebrưic geometry etc., vvhich may have nothing to (lo witiì algorithms, programs fo r computeì s, hut nowudays fo r SIỈCÌ1 areas appear aìi eady the above mentioned materiaìs, too (see Ị 8J, 88, 120]. It is one o f greưt trends o f modern mathematics. The well kỉiown savant S.L.Sobolev ưt the tlììrty years old was aìready a niember o f the USSR (olcl). Academy o f sciences wìth an ahstract Ịunctiotiaỉ space beariỉìg his name. Tlìis space is extremeiy important whií h has been developing endtessỉy in ưlmost all branches o f sciences, íechnologỵ. S.L.Sobolev devoted a half o f lìis life to computatỉonaì niatheniatics. There are several weU known niatlìematicians, among them members o f Academies o f sciences, wi/mers o f Fields, Nơbel priies, who lìíive vvritten severaì xvorks with titỉes seemed not he /ong to numerical analysis, hut essentiaỉly reỉated to it,fo r instance, o.v.B esov, G.H. Hardy with the /unctionaì spaces bearing tlieir names, H. Brezis and L. Nirenherg wìth the paper “Degree theory and BM O '\ B.p. Mưsìov with the book “Asymptotìcaì methods for pseudo-differential equations ” , P.J. Lions with the book “Generalized soỉutions o f Hamiỉton - Jacohi equutions”, L.v. Kưntoì ovich (and G.p. Akilov) with the book “Functionaỉ anaỊysis” (Nítuka, Moskva, Ỉ9H4) atưỊ so on. Many other mathemưticians, who (tre interested in many Ịieiíỉs, Itave contrihuted also many papers on ( onìpuíaíioììaỉ methods, such as P.Lax with his famous difference scheme, O.A. Laạyịenskaia [II], O.A Olừinik /22.102] S.Smaìe ị ì ì ì ] . . There are, o f course, a lot o f other matheniaticians \\’Ịì() Ịìtíve clevoted all their life to nunierical meỉhods that we cannot íist all o f them here. We would like to noíice tìiat even in the stock niarket W’hicìi is a heưrt o f the mocỉertì economy recỊiiires a study o f severaỉ random iníegral (lifferential ề 5 equations, among them, the Bìack-Schoìes equation, with nơrìinear boundary vaỉue problems that cannot be solved ỉip to day vithoui numerical analysis and computers. So numerical anaỉysis is extremely important and necessiry to sciences and technoỉogy. By this reason even though in Vietnamthere have been many books on this field we are encouraged and pỉished iy the Education Pubìishing House to write this book. The book consists o f two parts. Part one with six chapters contán the basic o f an Iindergraduate and graduate course otĩ numerỉcal anilysis. We arrange the materiaỉs so that this part o f the book is approprate to students o f coỉleges and ưniversitỉes. We try to xvrite so that readers can approach to modern nunericai anaìysis. Besides tables, schemes, we use the MAPLE V in some pìacĩs. Ai the end o f each chapter o f this part there are exercices and probìens. Part two consists o f five chapters aimed to lead readers to sonie rends o f modern compiitationaỉ methods, especially, to be /am iỉỉar wih the recent resuìts o f the authors and his associates. This part togethei with works cited in the biblỉography at the end o f the book could help stidents to prepare a Master, Ph. D. Thesis or Ịurther study. After the chaper XI, answers and hints to the exercices are given As already known that numerical anaìysis is a very large area, o we can cover only some probỉems as above. E venfor the discussed proHems, by the fram e o f the book, we cannot go deeper and vvider. To over ome, however, this limitation, we try to introduce a ỉist o f recent referencs, on numericaì anaĩysis even though, there is stilì not a complete one. We are gratefuỉ to the Education Publishing House which encouages us and mak.es it possible fo r the book to see the light in a short perod oj time, especially. Dr.Nguyên Huy Doan fo r great heỉp in preparing f(r the publishing. Hanoiy Spring 200C AUTHORS 6 Phần m ộ t c ơ sở C Ủ A G IẢ I T ÍC H SỐ C hương I MỘT SỐ KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU • ■ §1. K H Ô N G G I A N M E T R I C 1. Một vài định nghĩa Ta kí hiệu R là tập các số thực, Q là tập các số hữu tỉ, z là tập các số nguyên, N là tập các số tự nhiên. Đ ịnh n g h ĩa / . / . / . Xét một tập hợp X cùng với ánh xạ d : X X X —> R thỏa mãn các điều kiện : a) d(x, y) > 0, Vx, y e X b) d(x, y) = 0 <=> X = y c) d(x, y) = d(y, x), Vx, yG X d) d(x, y) < d(x, z) + d(z, y), Vx, y , z c - X . Khi đó tập hợp X cùng với d là một không gian metric và ánh xạ d được gọi là hàm khoảng cách. Xét tập con M của X, khi đó M cùng với d không gian m etric con của không gian metric X. hạn c h ế trên Đ ịn h n g h ĩa 1 .1.2. Cho dãy các phần tử x n 6 X, Vn M là G N và phần tử X e X. Khi đó X được gọi là giới hạn của d ã y {xn }nG^ nếu lim d(xn , X*) = 0 và kí hiệu n —»co lim x n = X . n —»co 7 Tập hợp B(a, r) = {X E X I d(x, a) < r} (r > 0) được gọi là hình cầu m ỏ tâm a, bân kính r trong không gian metric X. Tương tự, tập hợp B(a, r) = |x G X I d(x, a) < r) được gọi là hình cẩu cỉóniỊ tâm a, bán kính r trong không gian metric X. Mỗi hình cầu m ở B(a, r) được gọi là một lân cận của phẩn tử a trong X. Cho một tập hợp con M của X, điểm a e X được gọi là điểm giới hạn của M nếu tồn tại một dãy {xn }n với xn e M, x n * a, Vn e N, sao cho lim xn = a . n -»00 Dễ thấy rằng X là điểm giới hạn của dãy {xn }n khi và chỉ khi với * * môi lân cận B(x , r), tồn tại một số N 0 sao cho xn G B(x , r), Vn > N0. Với mỗi tập hợp M c X , xét một tập hợp mói bao gồm M và tất cả các điểm giới hạn của M. Tập hợp mới đó được gọi là bao đóng của M và kí hiệu là M . Có thể thấy rằng phép lấy bao đóng có một vài tính chất sau : a) M u N = M u N b) M c M c) 0 = 0 Tập hợp M có tính chất M = M được gọi là một tập hợp đóng. Tập hợp M có tính chất M = X thì được gọi là trù m ật khắp nơi trong X. Một tập hợp con M của X được gọi là m ở nếu với mỗi a e M luôn tồn tại một hình cầu mở S(a, r) c M. Dãy {xn Ị c X được gọi là dãy C auchy nếu Ve > 0, 3 N 0 sao cho Vn, m > Nơ thì d(xn, xm) < 8. Đ ịnh nghĩa 1.1.3. Không gian metric X thỏa mãn điều kiện mồi dãy Cauchy đều có một điểm giới hạn a e X được gọi là không gian m etric đủ. 8 Giả sử X, Y là hai không gian metric và M là một không gian con của X, một ánh xạ f : M —» Y được gọi là liên tục tại xơ e M nếu như Ve > 0, 30 > 0 sao cho Vx G M thỏa mãn d(x, xơ) < ỗ thì d(f(x), f(xơ)) < 8. Như vậy nếu : lim x n = x0 và f(x) là ánh xạ liên n ->00 tục thì : lim f(x n ) = f ( x 0 ) . n-»co Xét dãy hình cầu {Sn(an, rn)}n trong k h ô n g gian m e tric X, khi đ ó , n ế u n h ư Sn+1 (an+1, rn+1) c Sn(an, rn), Vn, thì ta nói dãy lim rn = 0 thì ta nói dãy hình cầ u đ ó lồ n g nhau ; ngoài ra, n ếu n —>00 hìn h cầ u đ ó là thắt. 2. Một vài định lí và ví dụ : Đ ịn h lí 1 .1 .1 . (N g u y ê n lí án h xạ co). G iả sử X là k h ô n g gian m e tric đ ủ và ánh xạ T : X - » X thỏa m ã n điều kiện : d(T x, Ty) < a d ( x , y) (1) * với hằng số a < 1 và Vx, y G X. Khi đó tồn tại duy nhất phần tử X G X * * sao cho X = Tx , hơn nữa với xơ e X thì dãy fx n Ịn6N xác định bởi * Xk+1 = Txk, Vk E N, là hội tụ đến X , đồng thời ta có ưóe lượng : * an d(xn, X ) < y - — d ( x , , x0 ) (2) ChứĩềiỊ minh. Dễ thấy d ( x k+|, xk) = d(Txk, Txk_ị) < a d(xk, xk_j) < ... < a k d(Xị, x0), Vk e N. Từ đó Vn e N, V pe N ta có : ^ ( Xn+P’ x n) — *^(x n+p’ x n+p—l ) "■^ ( x n + l ’x n) < ( a n+p ' + ... + a n) d(X |, x0), 9 do đ ó : ct d(xn+p, xn) < ^ — d ( x , , x 0 ). (3) ƯỚC lượng (3) chứng tỏ dãy {xn }neN là dãy Cauchy, nên tổn tại , * * duy nhất X e X sao cho lim x n = X . n —>00 Cho p trong bất đẳng thức (3), ta thu được ước lượng (2) * * cần chứng minh. Vì Xn+Ị = Txn nên cho n —» 00, ta có X = Tx , vậy * •> * * X là điếm mà Tx = X . - > 00 Giả sử ngoài ra còn có X cũng có tính chất Tx = X , khi đó ta X , vậy X là duy nhất. □ Chú ỷ. a) Phần tử x 0 nói trên là tùy ý. b) Ánh xạ T thỏa mãn điều kiện (1) được gọi là ánh xạ co. Trong nhiều trường hợp, định lí sau đây được áp dụng : Đ ịnh lí 1.1.2 : Giả sử s = {x I d(a, x) < r} là một hình cầu đóng trong không gian metric X và T là một ánh xạ xác định trên s, lấy giá trị trong X thỏa mãn các điều kiện sau : a) d(Tx, Ty) < ad(x, y), Vx, y G s và a < 1 là hằng số b) d(Ta, a) < (1 - oc)r. * * Khi đó tồn tại phần tử X e s sao cho Tx = X. * , hơn nữa X = lim xn , với dãy {xn } được xây dựng bởi x k+1 = Txk , Vk e N n— >00 và xơ là một phần tử bất kì trong s. Chứnạ minh. Thật vậy : d(Tx, a) < d(Tx, Ta) + d(Ta, a) < ad(x, a) + (1 - ot)r. 10 Từ Jó rút ra rằng Vx G s thì d(Tx, a) < r, nên Tx e s. Áp dụng định lí 1 . 1.1 ta có điều phải chứng minh. □ Vi Jụ 1. Xét X = R với khoảng cách thống thường d(x, y) = Ix-yl. Khi đó X là không gian metric, hơn nữa nó còn là không gian metric đủ. Ví dụ 2. Xét X = Q là tập hợp số hữu tỉ với khoảng cách d(x * y) = lx - yl, khi đó X là không gian metric. Ví dụ 3. Xét X = N = {0, 1 , 2 , . . . } là tập hợp số tự nhiên với khoảng cách d(x, y) = Ix - yl. Khi đó có thể thấy X là khồng gian metric đủ. V í dụ 4. Xét X = c [0, 1] gồm các hàm liên tục trên [0, 1] với khoảng cách d(x, y) = max I x(t) —y(t) I. Có thể chứng minh được 0 0 b) d(x, y) = 0 <=> X = y c) d(x, y) = d(y, x) d) Vt e [0, 1] : [x(t) - y(t)] = [x(t) - z(t)] + [z(t) - y(t)], do đó Jx(t) - y(t)l < lx(t) - z(t)l + lz(t) - y(t)l. Vậy : max I x(t) - y(t) I < max I x(t) - z(t) I + max I z(t) - y(t) I , 0oo 0 0, 3n„(e) sao cho max l x n(t) - x(t)l < £, Vn > 0 1). Giả sử X làtập hợp các dãy sô' X = (Xj, x 2, * 00 xn) với Xj e R, Vi e N và : X lxj ip < + 00, p > 1. i=l Ta định ngh ĩa m ột hàm khoảng cách như sau : giả sử X = (Xj) N* , y = ( y ; ). N* là hai phần tử trong X thì : 00 d(x, y) = y /p S l X ị - y i lp i=l N h ận xét : d(x, y) > 0 ; d(x, y) = 0 o X = y ; d(x, y) = d(y, x), Vx, y G X. Bây giờ với z = (z,)je N Ễ X thì bất đẳng thức d(x, y) < d(x, z) + d(z, y) tương đương v ớ i : Ap dung bất đ ẳ n g thức Minkovski d ạ n g tổng : r OCì ^ 1/p ^ /p ^00 Nl/p ^00 < z l a , lp + 1 1Pi Ip Ẽ l a i + p, lp ụ =l l*=' J 1 »= ' ) * Ú , - Zị) và pị = (zi - Yi), Vi E N , thì có ng (5) d(x, y) < d(x, z) + d(z, y),-Vx, y, z e X. Từ đó d là hàm khoảng cách và X cùng với hàm khoảng cách này là một không gian metric. Người ta kí hiệu khồng gian này là /p. V í dụ 7. (K h ô n g gian Lp [0, 1], p > 1). G iả sử X là tập hợp các hàm số x(t) xác định trên đoạn [ 0 , 1 ] sao cho tồn tại tích 1 phân J l x ( t ) l pdt < + c o ^ . Hai phần tử x(t), y(t) e X được coi là 0 trù n g nhau nếu chúng chỉ khác nhau trên m ột tập hợp có độ đo 0 . / Ị Với X, y e X, đặt : d(x, y) = \t/p . Khi đó ta thấy jì x(t) - y(t) lp dt 0 rằng d(x, y) > 0 ; d(x, y) = 0 <=> X = y ;d(x, y) = d(y, x). Đồng thời, với X, y, z 6 X thì bất đẳng thức : d(x, y) < d(x, z) +d(z, y) tương đương với \l/p 1 v /p |l x(t) - y(t) lp dt < 0 J ị\ x(t) - z(t) lp dt + vơ lo \ l/p '\ Jl z(t) “ y(t) lpdt (6) VO ( * ) C h í n h x ác và đ ầ y đủ hơn, x e m §3 c h ư ơ n g V II , h o ặ c | 9 | , 15 5 1. 13 Ap dụng bất đắng thức Minkovski dạng tích phân : 1 fi f ( t ) + g(t) Ipdt 0 f X y /p < ) y /p fif(t)ip dt lo J /J |ìg(t)ip dt + \l / p (7) lo với f(t) = (x(t) - z ( t» , g(t) = (z(t) - y(t)) thì có ngay ( 6 ). Vậy : d(x, y) < d(x, z) + d(z, y), Vx, y 6 X. Từ đó d là hàm khoảng cách và X cùng với hàm khoảng cách này là một không gian metric. Người ta kí hiệu không gian này là Lp [0, 1]. §2. K H Ô N G G I A N B A N A C H 1. Không gian tuyến tính Đ ịn h n g h ĩa 1.2.1. Cho tập hợp X í 0 cùng với một phép toán hai ngôi viết theo lối cộng (+) và một án h xạ ọ : R X X —> X. Với mỗi k 6 R và mỗi X e X thì phần tử (p(k, x) được gọi là tích ngoài của số k với phần tử X và được kí hiệu là kx. Giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa mãn : 1) (X, +) là một nhóm Abel với phần tử trung hòa 0, nghĩa là : a) X + ( y + z) = ( x + y ) + z, V x , y, z e X b) X + y = y + X, Vx, y e X c) Trong X tồn tại phần tử 9 sao cho x + 0 = 0 + x = x, V x e X d) Với mỗi phần tử X e X, tồn tại phần tử đối ( - x) sao cho X + ( - X) = 0. 2) Tích ngoài có tính c h ấ t : a) l x = X, Vx 6 X b) kỤx) = (Jt./)x, \/k, l e R, Vx e X. c) Giữa tích ngoài và phép toán hai ngôi viết theo lối cộng có luật phân phối : 14 (i) {k + /)x = kx + /x, VA', l e R, Vx e X (ii) k ( \ + y) = kx + ky, VẢ' e R, Vx, y G X. Khi đó người ta nói rằng X là một không gian tuyến tính trên R và mỗi phần tử X e X dược gọi là một vectơ ;còn các điều kiện trên được gọi là các tiên đề về không gian tuyến tính. Người ta cũng nói X là không gian tuyến tính thực. Bằng cách tương tự, ta có định nghĩa không gian tuyến tính phức. Trong nhiều trường hợp người ta cũng nói "kliông gian vectơ trên R" thay cho thuật ngữ "không gian tuyến tính trên R". Chú ỷ : R cũng là một không gian tuyến tính trên chính nó. Dễ thấy rằng với một không gian tuyến tính X thì các khẳng định sau là đúng : a) Phần tử trung hòa 0 là duy nhất. b) Phần tử đối ( - x) của phần tử X G X là duy nhất. c) Vx e X thì o.x = 0 d) Vx e X thì ( - l ) . x = - X e) VJfc 6 R thì k.Q = 0 f) Nếu k.x = 0 thì hoặc k - 0 hoặc X = 0. Đ ịn h ng h ĩa 1.2.2. Cho hệ n vectơ Xj, x n trong không gian tuyến tính X. Xét đẳng thức vectơ : a]Xị + a 2x 2 + ... + a nx n = 0 Nếu đẳng thức trên chỉ xảy ra với (Xị = a 2 = ... = a n = 0 thì ta nói hệ n vectơ đó độc lập tuyến tính. Nếu tồn tại một bộ số 0 sao cho đẳng thức trên được thỏa mãn thì ta nói rằng hệ n vectơ trên là phụ thuộc tuyến tính. 15 Đ ịnh nghĩa 1.2.3. Giả sử X là một không gian tuyến tính trên R. Xét Xị, x 2 là hai phần tử thuộc X, khi đó tập hợp các phần tử trong X có dạng : y = (1 - t)Xj + tx2, Vt G |0, 1] được gọi là đoạn thẳng nối hai điểm Xị và x 2Tập hợp K trong X là lồi nếu Vxị, Xọ e K thì đoạn thẳng A nối Xị, x 2 nằm trọn trong K. Đ ịn h nghĩa 1.2.4. p i ả sử X là một không gian tuyến tính trên R. Tập con Xị của X được gọi là một không gian tuyến tính con của không gian X nếu X] cùng hai phép toán cảm sinh của X trên X ị tạo thành một không gian tuyến tính. Đ ịn h nghĩa 1.2.5. Giả sử X và Y là hai khồng gian tuyến tính trên R. Khi đó ánh xạ T : X —> Y được gọi là tuyến tính nếu : a ) T(-Xj + x 2 ) = T ( X j ) + T ( x 2 ) , V x j , x 2 € X . b) T(*x) = *T(X), VẤ: g R , V x 6 X. Chú ỷ. Người ta có thể dùng thuật ngữ : ánh xạ tuyến tính hoặc toán tử tuyến tính. Đ ịnh nghĩa 1.2.6. Giả sử X là một không gian tuyến tính trên R. Một ánh xạ T : X —> R thỏa mãn điều kiện : a ) T ( X ị + x 2 ) = T ( X j ) + T ( x 2 ), V X ị , x 2 e X . b) T(Jfcx) = Ẩ:T(x), VẢ' € R, Vx e X. gọi là một phiếm hàm tuyến tính. 2. Không gian Banach Đ ịnh nghĩa 1.2.7. Giả sử X là một không gian tuyến tính trên R. Ánh xạ II . II : X -> R xác định trên X, lấy giá trị trên tập số thực : llxll e R, Vx E X, thỏa mãn các điều kiện : a) llxll > 0 , Vx G X 16 b) llxll = 0 <=> X = 0 c) llx + yll < llxll + llyII, Vx, y e X d) IIẰ.XII = IA,l.llxll, \/X E R, Vx G X được gọi là một chuẩn trên X. Không gian tuyến tính X cùng với chuẩn 11.11 được gọi là một không qian tuyến tính định chuẩn. Trong không gian tuyến tính định chuẩn X ta có thể định nghĩa hàm k hoảng cách d như sau : d(x, y) = l l x - y l l Khi đó dễ thấy X là một không gian metric với khoảng cách d nêu trên. N ếu với metric đó, X là không gian đủ thì X được gọi là không gian B anach. Đ ịn h n g h ĩa 1.2.8. Giả sử X là một không gian tuyến tính trên R và II.IIị, II.II2 là hai chuẩn cùng xác định trên X. Khi đó hai chuẩn này được gọi là tương đươnq nếu như tồn tại hai số m, M > 0 sao cho : mllxilI < llxll2 ^ MIIxIIị, Vx e X. Đ ịn h n g h ĩa 1.2.9. Giả sử X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn và T : X -> Y là một toán tử tuyến tính. Nếu tồn tại giá trị hữu hạn : IITII= II Tx II sup —— < +CO 0 * x e X 11x11 thì to án tử X được gọi là bi chận (hay giới nội) và số 11X11 được gọi là ch u ẩ n của toán tử T. 3. M ột sô định lí và ví dụ Đ in h lí 1.2.1. Nếu X là một khồng gian tuyến tính hữu hạn chiều thì m ọ i chuẩn trên X là tương đương---------- ------- -------------------ĐAi HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRUNG TÂM THÕNG ĨIN THƯ VIÊN 17 2 - GTS A -------------------- — ----------------------- — - \ -GAJ 61219 • Chứng minh. Thật vậy, giả sử trên X có IMI| và Ikll 2 là hai chuẩn cho trước. Gọi s = Ịx e X I llxllị = 1}. Vì s đóng và X có số chiều hữu hạn nên IMI2 đạt max và min trên s kí hiệu là M và m tương ứng. Xét X * 0 là phần tử bất kì trong X, khi đó : XỈI2 = llxllị. = = 1 nên m < Vì rằng x IIị II X IIX lli IIị 11x 11< M, do đó m l l x l l ] < 11x112 ^ M II x IIị , v ậ y h a i c h u ẩ n l à t ư ơ n g đ ư ơ n g . □ Ta có thể thấy rằng các khẳng định sau là đúng : Đ ịnh lí 1.2.2 : Toán tử tuyến tính T : X —> Y là giới nội khi và chỉ khi T là toán tử liên tục. Định lí 1.2.3 : IITII = sup II Tx II = sup IITxll llxll 1, xét không gian /p = {X I x = (xj)j: SI Xjlp< + oo}. Với X = (Xị) G /p và y = (Ỵị) G /p, Vk e R, ta định nghĩa : 18 2-GTS B (X + y)ị = (Xị + yj), Vi e N (kx)j = k.Xị, Vi G N Khi đó, /p là một không gian tuyến tính trên R. /p 00 Với X e /D, ta đặt : llxll = I lx; lp , CÓ thể thấy IMI là một 1= chuẩn trên /p và /p cùng với chuẩn nêu trên là một không gian Banach. V í dụ 3. Với số p > 1, xét Lp[0, 1]. Với X = x(t) e Lp[0, 1] và y = y(t) G Lp[0, 1], Vk e R, ta định nghĩa : (x + y)(t) = x(tj + y(t), Vt e [0, 1] (k.x)(t) = k.x(t), Vt G [0, 1] Không gian Lp[0, 1] với hai phép toán trên là một không gian tuyến tính trên R. 1/p Vói X € Lp[0, 1], xét : llxll dt . Khi đó 11*11 là một chuẩn trên Lp[0, 1] và Lp[0, 1] cùng với chuẩn nêu trên là một không gian Banach. V í dụ 4. Xét R n = {x = (Xj, xn), Xj G R Ị. Với X = (Xj), y = (y,), k G R, ta định nghĩa : (X + y)ị = (Xj + Ỵị), Vi = 1,..., n (kx)j = kXj, Vi = 1, n Khi đó R n với hai phép toán nêu trên là mồt không gian tuyến tính trên R. Với X € R n, đặt Ilxll2 = ( £ x f ) ^ 2 thì ta có ll*IỈ2 làmột chuẩn trên R n và R n cùng với chuẩn nêu trên là một không gian Banach. 19