Tài liệu Giải tích 12 ôn thi đại học

T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït LHQ CHUÛ ÑEÀ 1: HAØM SOÁ – ÑAÏO HAØM I. MIEÀN (TAÄP) XAÙC ÑÒNH CUÛA HAØM SOÁ: D = {x∈R | y = f(x)∈R} Haøm soá Taäp xaùc ñònh Haøm soá Taäp xaùc ñònh y = A(x ) A (x ) ≥ 0 y = tgx x≠ B(x ) ≠ 0 y = cot gx x ≠ kπ A(x ) ≥ 0 ⎡ arcsin x y=⎢ ⎣arccos x −1 ≤ x ≤ 1 y = [A(x )] A (x ) > 0 y= A (x ) B(x ) y = 2 n A(x ) (n ∈ Z ) + ∀x ∈ D y = 2 n +1 A(x ) II. B( x ) (n ∈ Z ) + π + kπ 2 f (D ) = (− ∞, a] 2. ⎧ B(x ) > 0 ⎨ ⎩0 < A(x ) ≠ 1 ⎡a x y=⎢ x ⎣e ⎡log x y=⎢ ⎣ ln x ∀x(a > 0) ∀x > 0 ⎡f (x ) ± g(x ) y=⎢ ⎣ f (x ) g(x ) D = D f ∩ Dg f(D): MGT f (D ) = [a, b] a ≤ f (x ) ≤ b f (D ) = [b,+∞ ) f (x ) ≥ b Taäp xaùc ñònh y = log A (x ) B(x ) MIEÀN (TAÄP) GIAÙ TRÒ CUÛA HAØM SOÁ: f(D) = {y∈R | y = f(x), ∀x∈D} 1. Söï toàn taïi nghieäm cuûa phöông trình f(x)-y = 0, ∀ x∈D Haøm f(x) f(D): MGT Haøm f(x) f (x ) ≤ a a < f (x ) < b f (D ) = (a, b ) Ñaùnh giaù bieåu thöùc baèng caùc BÑT: * [A(x )] + a ≥ a ∀a, ∀x laøm A(x ) xaùc ñònh. 2 (a * BÑT Coâsi : a + b ≥ 2 ab . Bunhiacoâp sky : ac + bd ≤ III. Haøm soá HAØM HÔÏP gof g o f laø haøm hôïp cuûa hai haøm f : D f * Tf ∩ D f = φ ⇒ ∃g o f : Dg o f Tf vaø g : D f 2 )( + b 2 c2 + d 2 ) Z Z * ∀x ∈ D g o f : [g o f ](x ) = g[f (x )] vaø fog ≠ g o f ⎡{x | x ∈ D f ∧ f (x ) ∈ Dg }; Tf ∩ D g * Dg o f = ⎢ ⎣ D f , {(Tf ≠ 0 ) ∧ (Tf ⊂ Dg )} IV. HAØM CHAÜN – LEÛ y=f(x) ÑOÁI XÖÙNG QUA O: V. GIÔÙI HAÏN HAØM SOÁ: f (− x ) = f (x ) ∀x ∈ D : f chaün ⎤ ⇒ f (− x ) ≠ ± f (x ) : Haøm khoâng chaün khoâng leõ ∀x ∈ D f (- x ) = −f (x ) ∀x ∈ D : f leõ ⎥⎦ 1. Phöông phaùp 1: Khöû daïng voâ ñònh 0 0 Cô sôû cuûa phöông phaùp laø laøm xuaát hieän daïng trong bieåu thöùc haøm caùc thöøa soá (x - x0), ñeå roài giaûn öôùc chính caùc thöøa soá ñoù cuûa töû soá vaø maãu soá trong • • lim x→ x 0 f (x ) g(x ) vôùi caùc chuù yù: Neáu töû vaø maãu laø caùc ña thöùc, söû duïng pheùp chia ña thöùc töû vaø maãu cho (x - x0). Rieâng ôû ñaây ta duøng thuû thuaät chia Hormer. Neáu chæ ôû töû hoaëc maãu coù chöùa caên thöùc, ta nhaân cho töû vaø maãu moät löôïng lieân hôïp cuûa caên thöùc ñoù. llh A + B ←⎯ → A− B 3 llh A ± 3 B ←⎯ → 3 A ± 3 AB + 3 B2 Neáu töû vaø maãu ñeàu coù chöùa caên thöùc, ta seõ nhaân vaøo töû vaø maãu cuøng hai löôïng lieân hôïp giao hoaùn töông öùng. • Khoâng loaïi tröø caùc khaû naêng söû duïng nhanh caùc haèng ñaúng thöùc: 1 Trích töø http://www.toanthpt.net - T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït LHQ a3 ± b 3 = ( a ± b ) ( a2 ± ab + b 2 ) a2 − b 2 = ( a − b )( a + b ) an − b n = ( a − b ) ( an −1 + an − 2 b + an − 3 b 2 + ... + ab n − 2 + b n −1 ) a4 − b 4 = ( a2 + b 2 ) ( a − b )( a + b ) • Ñeå yù raèng vieäc bieán ñoåi sô caáp coù theå laøm daïng voâ ñònh naøy trôû thaønh daïng voâ ñònh khaùc. Chaúng haïn: lim f (x )g(x ) (daïng 0 × ∞ theo thöù töï ñoù) x →0 2. • • Phöông phaùp 2: Khöû daïng voâ ñònh ∞ ∞ PP1: Ñaët soá muõ lôùn nhaát cuûa caùc ña thöùc thaønh phaàn ôû töû vaø maãu laøm nhaân töû chung ñeå khöû voâ ñònh. PP2: Duøng caùc ñònh lyù giôùi haïn töông ñöông: 1/ x → ∞ ⇒ Pn (x ) ~ an x n ⎧⎪ x → +∞ ⇒ ax 2 + bx + c ~ x a ; (a > 0) 2/ ⎨ ⎪⎩x → −∞ ⇒ ax 2 + bx + c ~ −x a ; (a > 0) b + ε(x ); ⎛⎜ vôùi a > 0 vaø lim ε(x ) = 0 ⎞⎟ 3 / ax 2 + bx + c ~ a x + 2a x →∞ ⎝ ⎠ 3. Phöông phaùp 3: Khöû daïng voâ ñònh ∞ − ∞ Cô sôû cuûa phöông phaùp tìm giôùi haïn naøy laø: 1/ Söû duïng löôïng lieân hôïp. 2/ 3/ 4/ • Söû duïng bieåu thöùc tieäm caän: ax 2 + bx + c ~ a x + Söû duïng caùc haèng ñaúng thöùc. Khoâng duøng haøm soá töông ñöông cho daïng toång. 4. Phöông phaùp 4: Giôùi haïn cuûa haøm löôïng giaùc TH1: Khi x → 0 (x tính baèng radian) sin u ( x ) lim u ( x) u( x )→ 0 lim = 1 hay sinu ( x ) ~ u ( x ) 1 − cos u ( x ) u( x )→ 0 ⎡⎣ u ( x ) ⎤⎦ 2 = llh → ( 1 − sin u ) ( 1 + sin u ) ←⎯ TH2: Khi * Ñaët: * Khi: tgu ( x ) u ( x) u( x ) → 0 = 1 hay tgu ( x ) ~ u ( x ) 2 1 1 hay 1-cos 2 u ( x ) ~ ⎡⎣ u ( x ) ⎤⎦ 2 2 Khoâng loaïi tröø nhaân caùc löôïng lieân hôïp löôïng giaùc. • lim b + ε(x ) trong ñoù: a > 0 vaø lim ε(x ) = 0 2a x →∞ llh → ( 1 − cos u ) ( 1 + cos u ) ←⎯ x → x 0 haøm löôïng giaùc coù daïng voâ ñònh (x tính baèng rañian) ⎧ x = x0 + t t = x − x0 ⇔ ⎨ ⎩x → x 0 ⇒ t → 0 x → x 0 ⇒ t ' = x 0 − x, t ' → 0 Ghi chuù: khoâng söû duïng haøm töông ñöông cho toång soá. 5. 6. 7. ⎧⎪f (x ) ≤ g(x ) ≤ h(x ), ∀x ∈ Vx 0 | {x 0 } ⇒ lim g(x ) = L ⎨ lim f (x ) = lim h (x ) = L x→x 0 ⎪⎩ x→x 0 x→x 0 ⎧ lim f ( x ) = L ⇒ lim f ( x ) = L x → x0 ⎪ x→ x0 Haøm chöùa giaù trò tuyeät ñoái: ⎨ f ( x ) = 0 ⇒ lim f ( x ) = 0 ⎪ xlim x → x0 ⎩ → x0 ⎧⎪f (x 0 ) ∈ R, ∀x 0 ∈ D hay lim Δ y = 0 Haøm lieân tuïc: * ⎨ f (x ) = f (x 0 ) Δx 0 → 0 ⎪⎩ xlim →x 0 Haøm keïp: 2 Trích töø http://www.toanthpt.net - T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït * Lieân tuïc taïi x0: 8. ⎡ lim+ f (x ) = f (x 0 ) : lieân tuïc phaûi x→x lim+ f (x ) = lim− f (x ) = f (x 0 ) ⇒ ⎢ 0 x→x 0 x→x0 ⎢ lim− f (x ) = f (x 0 ) : lieân tuïc traùi ⎣ x→x 0 Coâng thöùc giôùi haïn: lim x→ 0 sin x x lim a x→+∞ =1 lim =1 x→ 0 x ( ) lim U x = 0 x→ 0 ( ) =1 U ( x) tgU ( x ) lim =1 x→ 0 U ( x ) lim x→ 0 sin U x 1 − cos x 1 = 2 2 x * Quy taéc Lopitan: VI. ÑAÏO HAØM: x lim log a x = +∞ ⎫ x →+∞ ⎪ = +∞ ⎫ ⎪ x + lim a = 0 ⎪ x→−∞ ⎪ x lim e = +∞ ⎪ x→+∞ ⎪ + x lim e = 0 ⎬ x→−∞ ⎪ x ⎪ e = +∞ ⎪ lim x→+∞ x ⎪ x lim x.e = 0 ⎪ ⎭ x→−∞ + x lim a = 0 ⎫ ⎪ x→+∞ ⎬ x lim a = +∞ ⎪ ⎭ x →−∞ tgx lim x→ 0 LHQ lim log a x = −∞ ⎪ x → 0+ ⎪ ⎪ ⎪ lim ln x = −∞ ⎬ + x→ 0 ⎪ ln x + ⎪ =0 lim ⎪ x →+∞ x − ⎪ lim x. ln x = 0 ⎪ ⎭ x → 0+ lim log a x = −∞ ⎫ ⎪ x →+∞ ⎬ lim log a x = +∞ ⎪⎭ − x→ 0 lim ln x = +∞ x →+∞ a>1 01 0 0 ) u' ⎞ ⎛ ⇒ y' = y(v ln u )' = u' ⎜ v' ln u + v ⎟ u⎠ ⎝ Haøm logarit: ) v (x ) Haøm soá f(x) Ñaïo haøm f’(x) sinx cosx C 0 cosx x 1 tgx 1 = 1 + tg 2 x cos 2 x ex ex ax axlna x; ( u) 1 x 1 ⎛ u' ⎞ ;⎜ ⎟ 2 x ⎝2 u ⎠ 1 − 2 x 4 -sinx Trích töø http://www.toanthpt.net - T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït 1 x 1 x ln a lnx − cotgx 1 = − 1 + cot g 2 x sin 2 x ( ) LHQ logax 5. Ñaïo haøm caáp cao: Khi caàn tính ñaïo haøm caáp (n): y(n) = f(n)(x), ngöôøi ta söû duïng phöông phaùp tính quy naïp baèng ba böôùc cô baûn nhö sau: • Tính y’, y”, y’”... ñeå döï ñoaùn coâng thöùc cuûa: y(n) = f(n)(x) (1) • Giaû söû (1) ñuùng ∀k ≥ 1 , töùc laø ta coù: y(k) = f(k)(x) (2) • Laáy ñaïo haøm hai veá bieåu thöùc (2) ñeå chöùng minh: y(k+1) = f(k+1)(x); ñuùng ∀k ≥ 1 Keát luaän: Coâng thöùc (1) laø ñaïo haøm caáp (n) caàn tìm. • 6. ÖÙng duïng cuûa ñaïo haøm: Ñaïo haøm cuûa haøm soá y = f(x) taïi moät ñieåm f’(x0) neáu toàn taïi heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C): y = f(x) taïi ñieåm ñoù: t k = tgϕ = f ' (x 0 ) (laø yù nghóa hình hoïc cuûa ñaïo haøm) • • • • (C): y = f(x) Neáu moät haøm f coù ñaïo haøm taïi x0 thì haøm f lieân tuïc taïi ñieåm x0. Nhöng moät haøm f lieân tuïc taïi x0 thì chöa chaéc coù ñaïo haøm taïi ñieåm x0. Moät haøm f khoâng lieân tuïc taïi x0 thì khoâng coù ñaïo haøm taïi ñieåm x0. Giaû söû haøm f : y = f(x) coù ñaïo haøm y’=f’(x) treân D, ta coù: ) f laø haøm haèng treân D ) f ñoàng bieán treân D ) f nghòch bieán treân D ⇔ f ' (x ) = 0; ⇔ f ' (x ) ≥ 0; ⇔ f ' (x ) ≤ 0; ∀x ∈ D ∀x ∈ D ∀x ∈ D ϕ x M(x0,y0) (h.1) (1) (2) (3) Ñeå yù trong (2) vaø (3), ñaïo haøm theå hieän moät haøm soá ñôn ñieäu nghieâm caùch (ñoàng bieán hay nghòch bieán) trong D coù theå baèng khoâng taïi nhöõng giaù trò rôøi raïc cuûa bieán soá (xem h.2) nhöng khoâng theå trieät tieâu trong moät khoaûng tuøy yù cuûa A y C f'(x0,1)=0 y A (α; β) ⊂ D (xem h.3). f'(x0,1)=0 ∀x0 ∈ (α;β) D C D f'(x0,2)=0 B B x x0,2 x0,1 a 0 x b a 0 α (h.2) x0 b β (h.3) • Neáu haøm f lieân tuïc treân [a;b] vaø f(a).f(b) < 0 thì phöông trình f(x) = 0 coù ít nhaát moät nghieäm: • ⎧ f lieân tuïc treân [ a;b] ⎧ phöông trình f ( x ) = 0 Neáu: ⎪ ⇒⎨ ⎨f ( a) f ( b ) < 0 ⎩ coù nghieäm duy nhaát x 0 ∈ [ a;b] ⎪ f ñôn ñieäu nghieäm caùch treân a;b [ ] ⎩ x 0 ∈ (a; b ) . y B f(b) a 0 x0 A f(a) (C) : y = f(x) x (C) : y = f(x) b x a 0 f(b) 5 x0 b B (h.6) Trích töø http://www.toanthpt.net - T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït • LHQ Giaû söû haøm f : y = f(x) xaùc ñònh treân ñoaïn [a;b] ) Haøm f ñaït moät cöïc ñaïi taïi ) Haøm f ñaït moät cöïc tieåu taïi x 0 ∈ (a; b ) , neáu toàn taïi moät laân caän V(x 0 ) ∈ (a; b ) sao cho: f (x ) < f (x 0 ); ∀x ≠ x 0 . x 0 ∈ (a; b ) , neáu toàn taïi moät laân caän V(x 0 ) ∈ (a; b ) sao cho: f (x ) > f (x 0 ); ∀x ≠ x 0 . * Ñònh lyù 1 Fermat: (Ñieàu kieän caàn ñeå haøm soá f coù cöïc trò) Neáu haøm f coù ñaïo haøm taïi V(x0) vaø ñaït moät cöïc trò taïi x0 ñoù thì ñieàu kieän caàn laø f’(x0) = 0. y f'(x0)=0 A f'(x0)>0 0 a x0 (h.9) (C):y=f(x) f'(x0)>0 B A f'(x0)=0 f'(x0)<0 (C):y=f(x) B f'(x0)<0 b x a x0 (h.10) b y 0 x YÙ nghóa hình hoïc: tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C) : y = f(x) taïi ñieåm cöïc trò thì song song truïc hoaønh. Heä quaû: Moïi ñieåm cöïc trò cuûa haøm soá y = f(x) ñeàu laø ñieåm tôùi haïn. * Ñònh lyù 2: (Ñieàu kieän ñuû thöù nhaát ñeå haøm f coù cöïc trò) Neáu haøm f coù ñaïo haøm taïi V(x0) vaø f’(x0) = 0 (*), ñoàng thôøi f’ ñoåi daáu khi x ñi qua x0 thì ñuû ñeå f ñaït moät cöïc trò taïi x0. • Khi f’(x0) = 0 vaø khi f’(x) ñi qua x0 maø khoâng ñoåi daáu, ta noùi (x0;f(x0)) laø moät ñieåm uoán vôùi tieáp tuyeán naèm ngang. Ñieàu kieän (*) coù theå thay theá baèng f’(x0) vaø f lieân tuïc taïi x0. • Tieáp ñieåm naèm treân ñöôøng cong (C) : y = f(x) laø ñieåm uoán ⇔ taïi ñoù ñöôøng cong vaën mình baêng qua tieáp ñieåm ñoù. * Ñònh lyù 3: (Toàn taïi ñieåm uoán) Neáu f coù ñaïo haøm baäc hai f” taïi V(x0) (**) vaø f”(x0) = 0; ñoàng thôøi f” ñoåi daáu khi ñi qua x0 thì M(x0;y0) laø ñieåm uoán cuûa (C) : y = f(x). Trong (**) neáu f” khoâng toàn taïi thì caàn coù theâm toàn taïi y A f"(x0)=0 I f"(x0)>0 0 a x 0 ∈ V(x 0 ) ñeå f lieân tuïc taïi x0; thì M vaãn laø ñieåm uoán. (C):y=f(x) B f"(x0)<0 x0 (h.10) b x • f”(x) < 0 treân (a;b) ⇔ Ñoà thò (C) : y = f(x) loài trong (a;b) veà phía y döông. • f”(x) > 0 treân (a;b) ⇔ Ñoà thò (C) : y = f(x) loõm trong (a;b) veà phía y döông. * Ñònh lyù 4: (Ñieàu kieän ñuû thöù hai ñeå moät haøm coù cöïc trò) Neáu f’(x0) = 0 trong V(x0) ñoàng thôøi f”(x0) # 0 thì haøm f coù cöïc trò taïi x0. Cuï theå: f'(x0)=0 f"(x0)>0 f"(x0)<0 f'(x0)=0 * Ñònh lyù 5: (Ñieàu kieän toàn taïi haøm ngöôïc - Ñieàu kieän ñuû) Neáu f laø moät haøm soá lieân tuïc, ñôn ñieäu ngaëc trong [a;b] thì f coù haøm soá f-1 xaùc ñònh treân [f(a);f(b)]. • Luùc ñoù f-1 cuõng lieân tuïc ñôn ñieäu ngaët treân [f(a);f(b)] vaø cuøng chieàu bieán thieân vôùi f. • Xeùt tính ñoái xöùng cuûa hai ñoà thò hai haøm ngöôïc nhau (C) : y = f(x) vaø (C-1) : y = f-1(x) qua ñöôøng phaân giaùc thöù nhaát. • Haøm f taêng nghieâm ngaët (neáu f giaûm ngaët ta seõ bieán ñoåi sô caáp chaúng haïn (-f) seõ laø haøm taêng ngaët). Luùc ñoù, ta coù: ⎧f taêng ngaët treân D ⇔ f (x ) = x; ∀x ∈ D ∩ f (D ) ⎨ −1 ⎩ f (x ) = f (x ) • Theâm moät öùng duïng cuûa ñaïo haøm vaø ñaïo haøm caáp cao laø quy taéc (ñònh lyù) L’ Hospitale nhö sau: (n 0 ) f (x ) ⎛ 0⎞ f ' (x ) f " (x ) f (x ) = lim = ... = lim (n 0 ) Daïng ⎟ = lim ⎜ x → x 0 g(x ) x→x0 g (x ) 0 ⎠ x → x 0 g' (x ) x → x 0 g" (x ) ⎝ lim 6 Trích töø http://www.toanthpt.net - T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït ⎛0⎞ ⎜ ⎟ 0 Trong ñoù n0 laø chæ soá döøng cuûa ñaïo haøm caáp n khi daïng voâ ñònh ⎝ ⎠ vöøa khöû. ⎛0⎞ ⎛∞⎞ Daïng ⎜ ⎟; (0 × ∞ ); (∞ − ∞ ) ... ñeàu coù theå bieán ñoåi veà daïng ⎜ ⎟ ñeå söû duïng ñöôïc quy taéc L’ Hospitale. ⎝0⎠ ⎝∞⎠ ) ) • LHQ Tính loài loõm cuûa haøm soá trong ñaúng thöùc Jensen. y y ⎛ x + x f⎜ 1 2 ⎝ 2 ⎞ ⎟ ⎠ f x1 + f x 2 2 f x1 + f x 2 2 ⎛ x + x2 ⎞ f⎜ 1 ⎟ 2 ⎝ ⎠ a x1 x + x x2 1 2 0 b a x x1 x1 + x 2 x 2 b 2 ⎧ ⎪⎪ ⎨f " < ⎪ ⎪⎩ 2 f lieân tuïc treân 0 treân ( a;b ) [ a;b ] ⎛ x + x 2 + ... + x n ⇒ f⎜ 1 n ⎝ [ ] ⎞ ⎟≥ ⎠ 0 x ( ) ( ) + ... + f ( x n ) f x1 + f x 2 n x 1 ; x 2 ; ...x n ∈ a; b Daáu ñaúng thöùc trong BÑT xaûy ra khi x1 = x2 = ... = xn. * Ñònh lyù Lagrance: ⎧ f lieân tuïc [a; b] ⇒ ∃ c ∈ (a; b ); f (b ) − f (a ) = (b − a)f (x ) ⎨ ⎩f khaû ñaïo (a; b ) YÙ nghóa hình hoïc: Moät haøm lieân tuïc vaø coù ñaïo haøm treân [a;b] thì toàn taïi treân ñoà thò (C) : y = f(x) caùc ñieåm maø tieáp tuyeán taïi ñoù song song vôùi ñoaïn noái hai ñaàu nuùt cuûa ñoà thò. Heä quaû: (Ñònh lyù Rolle) [ ] () f coù ñaïo haøm treân ( a;b ) ⎧giöõa 2 nghieäm x1 ;x 2 phaân bieät ⎪ ⎬ ⇒ ⎨ neáu coù cuûa f ( x ) = 0 phaûi coù ⎪⎭ ⎪ ⎩ ít nhaát 1 nghieäm x 0 cuûa f' ( x ) = 0 ( )⎫⎪ f lieân tuïc treân a;b vaø f a = f b CHUÛ ÑEÀÀ 2: TÍNH ÑÔN ÑIEÄU I. TÍNH TAÊNG - GIAÛM (ÑÔN ÑIEÄU) CUÛA HAØM SOÁ: ⎡ ∀x , x ∈ (a; b ) : x1 < x 2 ⇒ f (x1 ) < f (x 2 ) f taêng treân (a; b ) ⇔ ⎢ 1 2 ⎣f ' (x ) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b ) : Haøm soá ñoàng bieán ⎡ ∀x1 , x 2 ∈ (a; b ) : x1 < x 2 ⇒ f (x1 ) > f (x 2 ) f giaûm treân (a; b ) ⇔ ⎢ ⎣f ' (x ) ≤ 0, ∀x ∈ (a; b ) : Haøm soá nghòch bieán f(x) laø haøm baát kyø Tính chaát ñôn ñieäu (x ) ≥ 0 f luoân giaûm: f ' (x ) ≤ 0 (x ) ≥ 0 Neáu max f ' (x ) ≤ 0 Neáu min f ' II. f luoân taêng: f ' f(x) haøm baäc 3 a > 0 vaø Δ ≤ 0 a < 0 vaø Δ≤0 TAÊNG - GIAÛM TRONG KHOAÛNG: 1. Heä soá a=0 Haøm baäc 2: y = ax2 + bx + c ⇒ y' = 2ax + b . Taêng, giaûm trong (α;+∞ ) y' ≥ 0, ∀x ∈ (α;+∞ ) m = m 1 ⇒ y' = b > 0 : nhaän m1 y' ≤ 0, ∀x ∈ (α;+∞ ) m = m 1 ⇒ y' = b < 0 : nhaän m1 Haøm f taêng Haøm f giaûm 7 Trích töø http://www.toanthpt.net - T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït b − ≤α⇒m =? a>0 2a a<0 LHQ Khoâng xaûy ra − Khoâng xaûy ra y = ax3 + bx 2 + cx + d ⇒ y' = 3ax2 + 2 bx + c (α;+∞ ) hay [α;+∞ ) f taêng y' ≥ 0, ∀x ∈ (α;+∞ ) Heä soá 2. Haøm baäc 3: * TH1: Heä soá a=0 Xeùt daáu y’ ⎧a > 0 ⎨ ⎩Δ ≤ 0 Thoûa x −∞ x1 x2 y' + 0 − 0 + ⇔ x1 < x 2 ≤ α ⎧a > 0 ⎨ ⎩Δ > 0 a<0 ⎧a < 0 ⎨ ⎩Δ ≤ 0 [α;+∞ ) ⎧a < 0 ⎨ ⎩Δ > 0 Khoâng thoûa * TH2: x y' x y' 3. y' ≤ 0, ∀x ∈ (α;+∞ ) x −∞ x1 x2 y' − 0 + 0 − ⇔ x1 < x 2 ≤ α (− ∞; α ] hoaëc (- ∞; α ] (− ∞; α] x1 x2 0 − 0 ⎧ a>0 ⎨ ⎩α ≤ x1 ≤ x 2 + y' ≥ 0 +∞ (α; β) hoaëc [α; β] x −∞ x1 x2 y' − 0 + 0 x1 ≤ α < β ≤ x 2 + [α;+∞ ) Khoâng thoûa (− ∞; α] hoaëc (- ∞; α] vaø (α; β) hoaëc [α; β] Taêng y' ≤ 0, ∀x ∈ (α;+∞ ) Xeùt daáu y’ a>0 +∞ − ⇔ a.y' (α ) ≤ 0 vaø a.y' (β) ≤ 0 (− ∞; α ] hoaëc (- ∞; α ] (− ∞; α] x1 x2 Giaûm y' ≤ 0 +∞ (α; β) hoaëc [α; β] x −∞ x1 x2 y' + 0 − 0 x1 ≤ α < β ≤ x 2 0 + 0 − ⎧ a>0 ⎨ ⎩α ≤ x1 ≤ x 2 ax 2 + bx + c g(x ) Haøm höõu tyû: y = = a' x + b' a' x + b' − +∞ + ⇔ a.y' (α ) ≤ 0 vaø a.y' (β) ≤ 0 Caùch 1: Giaûi nhö phaàn II.2 Caùch 2: Phaàn II.2 cuõng coù theå laøm theo caùch naøy. (α;+∞ ) hoaëc x ≥ α y' ≥ 0, ∀x ∈ (α;+∞ ) thì g(x ) ≥ 0, ∀x ∈ (α;+∞ ) (α;+∞ ) hoaëc x ≥ α y' ≤ 0, ∀x ∈ (α;+∞ ) thì g(x ) ≤ 0, ∀x ∈ (α;+∞ ) ⎛ b ⎞ ⇔ min g(x ) ≥ 0 ⇒ g(x ) taêng trong ⎜ − ;+∞ ⎟ ⎝ 2a ⎠ ⇒ min g(x ) = g(α ) ⎛ b ⎞ ⇔ max g(x ) ≤ 0 ⇒ g(x ) giaûm trong ⎜ − ;+∞ ⎟ ⎝ 2a ⎠ ⇒ max g(x ) = g(α ) b x − α +∞ ⎧ a<0 2a ⎪ b g' (x ) 0 − ⇔ ⎨− ≤α ⎪ 2a CÑ g(x ) g(x ) ⎩ g(α ) ≤ 0 +∞ f giaûm f taêng x g' (x ) g(x ) III. f giaûm a=0 y' ≥ 0, ∀x ∈ (α;+∞ ) b ≤α⇒m =? 2a − b 2a 0 CT g(x ) α +∞ + +∞ ⎧ a>0 ⎪ b ⇔ ⎨− ≤α ⎪ 2a ⎩ g(α ) ≥ 0 DUØNG TÍNH ÑÔN ÑIEÄU ÑEÅ GIAÛI PT VAØ BPT: 1. Baát ñaúng thöùc: 8 Trích töø http://www.toanthpt.net - T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït ( ) ( ) LHQ ( ) f x ≤ 0 hoaëc f x ≥ 0, ∀x ∈ a; b ⎡ f ( x ) taêng thì x ≥ 0 ⇒ f ( x ) ≥ f ( 0 ) ⎢ f ( x ) giaûm thì x ≤ 0 ⇒ f ( x ) ≤ f ( 0 ) ⎣ Neáu BÑT coù 2 bieán thì: f (α ) < f (β ) vôùi a < α < β < b ⎧ f (x ) taêng ⇔ α < β ⇒ f (α ) < f (β ) Xeùt tính ñôn ñieäu cuûa f(x) trong khoaûng (α; β ) ⇒ ⎨ ⎩f (x ) giaûm ⇔ α < β ⇒ f (α ) > f (β ) ( ) ( ) f ' x ⇒ f x taêng hoaëc giaûm ⇒ • • 2. Phöông trình coù nghieäm duy nhaát: Chöùng minh phöông trình f(x) = 0 coù 1 nghieäm duy nhaát. ) Suy ñoaùn x = x0 laø nghieäm cuûa phöông trình. ) Chöùng minh x0 laø nghieäm duy nhaát ⇔ f(x) luoân luoân taêng (hoaëc giaûm). Chöùng minh phöông trình f(x) = g(x) coù 1 nghieäm duy nhaát. ) Suy ñoaùn x = x0 laø nghieäm cuûa phöông trình. ) Chöùng minh f(x) vaø g(x) laø 2 haøm soá ñoái ñôn nghieâm caùch (ñoàng - nghòch bieán). CHUÛ ÑEÀÀ 3: CÖÏC TRÒ HAØM SOÁ I. CÖÏC TRÒ: ( ) f ñaït cöïc trò taïi x 0 ⇒ f ' x 0 = 0 ⇒ ⎡ f ñaït CÑ ⇔ f' ( x 0 ) > 0 ñoåi daáu ( + ) sang (-) ⎢ ⎢⎣ f ñaït CT ⇔ f' ( x 0 ) < 0 ñoåi daáu (-) sang ( + ) () () ⎡ f' a = 0 f coù ñaït cöïc trò taïi x 0 ⇒ f ' x 0 = 0 : Haøm f x nhaän M a,b laøm cöïc trò ⇔ ⎢ ⎣f a = b ( ) ( ) ( ) f ñaït CÑ vaø CT ⇔ f' x = 0 ñoåi daáu 2 laàn ⇔ ( ) { ( ) a≠0 Δ>0 ⇒ f khoâng ñaït cöïc trò { ⎡ f' ( x ) = 0 Voâ nghieäm a≠0 ⎢ f' ( x ) = 0 Nghieäm keùp ⇔ Δ ≤ 0 ⎣ ⎧⎪ f ' ( x 0 ) = 0 ⎧⎪ f ' ( x 0 ) = 0 ⇔⎨ ⇒ f ñaït CT taïi x 0 ⇔ ⎨ ⎪⎩ f " ( x 0 ) < 0 ⎪⎩ f " ( x 0 ) > 0 ⇔ f ' x = 0 khoâng ñoåi daáu ⇔ f ñaït CÑ taïi x 0 Chuù yù: Haøm soá chæ coù theå ñaït cöïc trò taïi nhöõng ñieåm maø taïi ñoù f’(x) = 0 hoaëc ñaïo haøm khoâng toàn taïi. II. CÖÏC TRÒ HAØM HÖÕU TYÛ: 2 2 ax + bx + c aa ' x + 2ab ' x + bb '− a ' c ⇒ y' = f ' x = y= 2 a'x + b' a'x + b' ( ) ( 2 y ' = 0 ⇔ aa ' x + 2ab ' x + bb '− a ' c = 0 ) (1) ( aa ' ≠ 0 ) *f coù CÑ, CT thì (1) coù 2 nghieäm phaân bieät ⇔ Δy' > 0 ⎛ ⎝ *f khoâng coù CÑ, CT thì (1) voâ nghieäm ⇔ Δy' < 0 hay ag ⎜ - b' ⎞ ⎟<0 a' ⎠ ( ) ⇒ C caét Ox taïi 2 ñieåm ôû 2 beân TCÑ. ⎧ y' = 0 ( Δy' > 0;x1 ≠ x 2 ) ⎨ ⎩ y max .y min > 0 ⎧ y' = 0 ( Δy' > 0;x1 ≠ x 2 ) ⇔⎨ y max .y min < 0 ⎩ *f coù CÑ, CT vaø 2 giaù trò CÑ, CT cuøng daáu ⇔ ⎧⎪ 2 ñieåm cöïc trò cuøng 1 phía ñoái vôùi Ox ⇔ ⇔⎨ ⎪⎩ ñoà thò caét Ox taïi 2 ñieåm phaân bieät *f coù CÑ, CT vaø 2 giaù trò CÑ, CT traùi daáu ⇔ Ñoà thò khoâng caét Ox ⇔ ( ) *Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå toàn taïi 1 ñieåm maø töø ñoù keû ñeán C ⎛ ⎝ ñöôïc 2 tieáp tuyeán laø: ag ⎜ − 9 ⎧ y' = 0 ⎨y = 0 ⎩ ⎧y ' = 0 ⎨y=0 ⎩ ( Δy' > 0 ) ( Δy > 0 ) ( Δy' > 0 ) ( Δy < 0 ) b' ⎞ ⎟>0 a' ⎠ Trích töø http://www.toanthpt.net - T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït LHQ III. CÖÏC TRÒ HAØM TRUØNG PHÖÔNG: 1. Daïng 1: 4 2 2 y = ax + bx + c ⇒ y ' = 2x 2ax + b ( y' = 0 ⇔ ⎡ 2x = 0 ⎢ 2 ⎣ 2ax + b = 0 ) (1) ⎡ f coù 3 cöïc trò ⎡(1) coù hai nghieäm phaân bieät x ≠ 0 ⎢ f coù 2 ñieåm uoán ⇔ ⎢ ab < 0 ⎣ ⎣ ⎡ a = 0, b ≠ 0 ⎢ a ≠ 0, b = 0 ⎡ f coù moät cöïc trò ⇔ ⎢ f khoâng ñieåm uoán ⎢(1) voâ nghieäm ⎣ ⎢ ⎢⎣ ab ≥ 0 * * Daïng 2: 2 2 y = ax + bx + c + d ⇒ y ' = x 4ax + 3bx + c 4 2. ( 3 ) y' = 0 ⇔ ⎡x = 0 ⎢ 2 ⎣ 4ax + 3bx + c = 0 * ⎡Δ ≤ 0 ⎡ f chæ coù CT ⎡(2) voâ nghieäm hoaëc nghieäm keùp ⎢ maø khoâng coù CÑ ⇔ ⎢(2) coù nghieäm x = 0 hoaëc 1 nghieäm x ≠ 0 ⇔ ⎢g ( 0 ) = 0 ⎣ ⎣ ⎣ Daïng 3: 2 3 2 y = ax + bx + cx + dx + e ⇒ y ' = 4ax + 3bx + 2cx + d 4 ( 3. (2) y' = x − α 3 ) ( Ax 2 + Bx + C) = ( x − α ) g ( x ) = 0 y' coù nghieäm thöïc α ⎡g ( x ) = 0 voâ nghieäm hoaëc nghieäm keùp ⎡ Δ ≤ 0 ⇔⎢ ⎢ ⎢⎣g ( x ) = 0 coù nghieäm x = α hoaëc x ≠ α ⎣g ( α ) = 0 * f coù moät cöïc trò ⇔ Chuù yù: 1) f coù cöïc trò maø hoaønh ñoä lôùn hôn α ⇔ y' = 0 thoûa α < x1 < x 2 2) f coù cöïc trò maø hoaønh ñoä nhoû hôn α ⇔ x1 < α < x 2 hoaëc x1 < x 2 ≤ α 3) f coù cöïc trò trong α;β ⇔ y ' = 0 thoûa α < x1 < x 2 < β 4) IV. 1/ ( ) f ñaït CÑ taïi x ∈ [ α ,β ] , ñaït CT taïi ñieåm ngoaøi x 0 ∈ [ α;β ] ⇔ y ' = 0 thoûa α ≤ x1 ≤ β ≤ x 2 PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG QUA CAÙC ÑIEÅM ÑAËC BIEÄT TREÂN ÑOÀ THÒ: 1. Daïng 1: Ñöôøng thaúng qua 3 ñieåm coá ñònh cuûa (Cm) : y = fm(x) coù baäc ba: Goïi (x0;y0) laø ñieåm coá ñònh heä phöông trình ñaëc tröng cuûa caùc ñieåm coá ñònh töông öùng töø y0 = fm(x0) (I) laø: ⎧⎪fm (x 0 ) = a2 x 30 + b 2 x 20 + c2 x 0 + d 2 ⇔⎨ ⎪⎩g(x 0 ) = a1x 30 + b1x 20 + c1x 0 + d1 = 0 (I) (II ) Vôùi (II) laø phöông trình ñaëc tröng cho hoaønh ñoä ñieåm coá ñònh. 2/ Thöïc hieän pheùp chia ña thöùc fm(x0) : g(x0) ñeå ñöa (I) veà daïng: y 0 = f (x 0 ) = γg(x 0 ) + baèng khoâng αx 0 + β phöông trình heä quaû ⇒ (d ) : y = αx + β : laø ñöôøng thaúng ñi qua ba ñieåm coá ñònh cuûa (Cm); ∀m. Hay ba ñieåm coá ñònh cuûa (Cm) ñi qua ∀m thaúng haøng treân (d) (maëc duø ta khoâng caàn tìm roõ ba toïa ñoä cuï theå cuûa ba ñieåm coá ñònh ñoù). 1/ 2. Daïng 2: Ñöôøng thaúng ñi qua hai cöïc trò cuûa haøm baäc ba (Cm) : y=fm(x) Goïi (x0,y0) laø caùc ñieåm cöïc trò cuûa (Cm) thì noù thoûa heä: 10 Trích töø http://www.toanthpt.net - T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït ⎧ y 0 = fm ( x 0 ) = ax 30 + bx 02 + cx 0 + d ⎪⎪ 2 ⎨g ( x 0 ) = f ' ( x 0 ) = 3ax 0 + 2bx 0 + c = 0 ⎪ 2 ⎪⎩ vôùi: b -3ac > 0; ∀m ∈ Dm ( 2/ (I) (II) ) Thöïc hieän pheùp chia fm(x0) : g(x0) ñeå ñöa (I) veà daïng: y 0 = fm (x 0 ) = (αx 0 + β) g(x 0 ) + ⇒ (d ) : y = γx 0 + ξ; 3. 1/ LHQ baèng khoâng γx 0 + ξ phöông trình heä quaû ∀m ∈ D m : laø ñöôøng thaúng qua hai ñieåm cöïc trò . Daïng 3: Ñöôøng thaúng qua hai ñieåm cöïc trò cuûa haøm höõu tyû 2 1 (C m ) : y = fm (x ) = u(x ) v(x ) Goïi (x0;y0) laø ñieåm cöïc trò cuûa (Cm); thì noù thoûa heä: ⎧ u ( x0 ) ⎪y 0 = ( I) v ( x0 ) ⎪⎪ u ' ( x) ⇒ y0 = = αx + β ⎨ ′ v ' ( x) ⎪⎛ u ( x 0 ) ⎞ ⎟⎟ = 0 ( II ) phöông trình heä quaû ⎪⎜⎜ v x ( ) 0 ⎠ ⎩⎪⎝ 2/Ta coù: (d ) : y = αx + β laø ñöôøng thaúng qua hai cöïc trò cuûa (Cm) (maëc duø ta khoâng caàn tìm roõ toïa ñoä hai ñieåm cöïc trò cuûa noù). 4. 1/ Daïng 4: Ñöôøng thaúng ñi qua ba ñieåm uoán cuûa (Cm) : y = fm(x) Goïi (x0;y0) laø ñieåm uoán cuûa (Cm); thì noù thoûa heä: ⎧y 0 = fm (x 0 ) ⎨ " 3 2 ⎩y 0 = g(x 0 ) = a1x 0 + b1x 0 + c1x 0 + d 1 = 0 Vôùi g(x0)=0 laø phöông trình ñaëc tröng cho ñieåm uoán vaø ñaõ ñöôïc chöùng minh laø coù 3 nghieäm phaân bieät. 2/ Thöïc hieän phaân tích: Bieán ñoåi theâm bôùt ñeå ruùt ra: y 0 = γg(x 0 ) + baèng khoâng αx 0 + β phöông trình heä quaû 3/ ⇒ (d ) : y = αx + β; ∀m ∈ D m : laø ñöôøng thaúng qua ba ñieåm uoán. V. PHÖÔNG TRÌNH CHUØM PARABOL: Trong heä truïc Oxy; ñöôøng cong (P): y = ax2 + bx + c (a ≠ 0 ) laø moät Parabola coù truïc ñoái xöùng song song Oy. Khi (P) ñi qua ñoàng thôøi ba ñieåm A(xA;yA); B(xB;yB); C(xC;yC) coá ñònh thì ta luoân xaùc ñònh ñöôïc boä ba (a;b;c) duy nhaát trong heä truïc Oxy. Khi (P) chæ ñi qua hai ñieåm A, B hoaëc chæ ñi qua duy nhaát ñieåm A, thì ta seõ nhaän ñöôïc caùc Parabola löu ñoäng cuûa hoï Parabola vaø chuùng taïo thaønh chuøm (nhö chuøm ñöôøng thaúng, chuøm ñöôøng troøn... trong mp (Oxy) ñoù). y (d):y = αx + β y yB yA A xA 0 a yA B (PA) A (d):y = αx + β (PA) xB b x 0 (Pλ ) : y = λ(x − x A )(x − x B ) + αx + β xA x (Pλ ) : y = λ(x − x A )2 + αx + β 11 Trích töø http://www.toanthpt.net - T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït y (d):y = αx + β (Δ):x = xA yB B yA A xA 0 (PA) a LHQ y xB b (d):y = yA (PA) yA A S x xA 0 x (Pλ ) : y = λ(x − x A )(x − x 2A ) + β (Pλ ) : y = λ(x − x A )(x − x B ) + β Taäp hôïp caùc Parabola (Pλ) ñi qua nhieàu nhaát hai ñieåm coá ñònh A vaø B goïi laø chuøm Parabol (Pλ); vôùi λ ≠ 0 laø tham soá ñaëc tröng cuûa chuøm. Khi chuøm (Pλ) qua ñuùng hai ñieåm A, B phaân bieät ta ñöôïc chuøm coù hai ñieåm ñeá, ñöôøng thaúng (AB) ñöôïc goïi laø ñöôøng ñeá cuûa chuøm (Pλ) luùc ñoù. • • d ≡ (AB) : y = αx + q laøm ñöôøng ñeá, coù daïng: (Pλ ) : y = λ(x − x A )(x − x B ) + αx + β (λ ≠ 0) (*) Phöông trình cuûa chuøm (Pλ) ñi qua hai ñieåm ñeá A, B vaø nhaän • ) ) (y A ≠ y B vaø α ≠ 0 ) , laø tröôøng hôïp toång quaùt cuûa (*). Khi ñöôøng ñeá naèm ngang: (y A = y B hay α = 0 ) , ta coù tröôøng hôïp (P ) coù ñöôøng ñeá baèng (d ) : y = y A = β Khi ñöôøng ñeá xieân goùc: λ (vuoâng goùc vôùi caùc truïc ñoái xöùng cuûa (Pλ)). (Pλ ) : y = λ(x − x A )(x − x B ) + y A ⇒ ) Khi α ≠ 0, A ≡ B ta coù tröôøng hôïp (Pλ) laø chuøm töï tieáp xuùc (coù truïc ñoái xöùng cuûa (Pλ) song song (Oy)). (Pλ ) : y = λ(x − x A )2 + αx + β ⇒ ) Khi (2) α = 0, A ≡ B ta coù tröôøng hôïp (Pλ) laø chuøm töï tieáp xuùc taïi ñænh (chung ñænh, ñöôøng ñeá vuoâng goùc vôùi truïc ñoái xöùng duy nhaát cuûa (Pλ)) (Pλ ) : y = λ(x − x A )2 + y A ⇒ Chuøm Parabola: • (1) (Pλ ) : y = λ(x − x A )(x − x B ) + Phaàn ñaëc tröng cho soá löôïng ñieåm coá ñònh maø ( Pλ )ñi qua ⎧ ⎪ Hoï ( Pλ ) ⎪ B1: Xaùc ñònh: ⎨ ⎪ Ñöôøng ñeá ⎪⎩ qua ( d) (3) αx + β Phaàn ñaëc tröng cho ñöôøng ñeá Hai ñieåm coá ñònh (I) Moät ñieåm coá ñònh (II) Xieân goùc (ñeá xieân) Ñeá baèng (III) (IV) B2: Hoï (Pλ) thoûa caùc caëp thöù töï (I, III); phöông trình (Pλ) coù daïng toång quaùt nhö ôû (*). ) Khi (Pλ) thoûa (I, IV): phöông trình (Pλ) coù daïng ñaëc bieät nhö ôû (1). ) Khi (Pλ) thoûa (II, III): phöông trình (Pλ) coù daïng ñaëc bieät nhö ôû (2). ) Khi (Pλ) thoûa (II, IV): phöông trình (Pλ) coù daïng ñaëc bieät nhö ôû (3). B B3: Ñöa caùc giaù trò cuï theå cuûa giaû thieát vaøo phöông trình cuûa (Pλ), ta seõ xaùc ñònh ñöôïc B λ = λ0 baèng caùc phöông trình ñaëc tröng. Laáy x0 thay vaøo caùc phöông trình (Pλ) ta coù ngay ycbt. VI. TÌM GIAÙ TRÒ CUÛA THAM SOÁ ÑEÅ CÖÏC TRÒ HAØM SOÁ: 1. Naèm cuøng phía vôùi truïc hoaønh 2. Naèm ôû hai goùc phaàn tö: ⎧Δy' > 0 ⇔⎨ ⎩y1 .y 2 < 0 12 Trích töø http://www.toanthpt.net - T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït LHQ (I) vaø (III) ⎧Δy' > 0 ⎪ ⎨x1 > 0; y1 > 0 hoaëc ⎪x < 0; y < 0 2 ⎩ 2 VII. (II) vaø (IV) ⎧Δy' > 0 ⎪ ⎨x 1 < 0 < x 2 ⎪a > 0 vaø y = 0 VN ⎩ y' ⎧Δy' > 0 ⎪ ⎨x1 < 0; y1 > 0 hoaëc ⎪x > 0; y < 0 2 ⎩ 2 ⎧Δy' > 0 ⎪ ⎨x1 < 0 < x 2 ⎪a < 0 vaø y = 0 VN ⎩ y' ÑÒNH THAM SOÁ ÑEÅ HAØM BAÄC 3 CAÉT TRUÏC HOAØNH TAÏI 1 HOAËC 3 ÑIEÅM: y = ax3 + bx 2 + cx + d ⇒ PTHÑ giao ñieåm : ax3 + bx 2 + cx + d = 0 (*) (*) coù nghieäm ñaëc bieät x0 (x − x 0 )(ax 2 + bx + c) = 0 Coù nghieäm keùp Coù 1 nghieäm ⎡ ⎧y = 0 coù nghieäm chung ⎢⎨ ⎢ ⎩ y' = 0 ⎢ ⎡ax 2 + bx + c = 0 nghieäm keùp ⎢⎢ ⎢⎣ ⎣⎢ax 2 + bx + c = 0 nghieäm x = α Coù 3 nghieäm ax 2 + bx + c = 0 voâ nghieäm hoaëc nghieäm keùp ⎧Δ ≤ 0 ⎪ ⇔⎨ b ⎪⎩x 0 = − 2a ax 2 + bx + c = 0 coù 2 nghieäm x ≠ x 0 ⎧Δ > 0 ⇔⎨ ⎩g(x 0 ) ≠ 0 (*) khoâng coù nghieäm ñaëc bieät y' = 3ax2 + 2 bx + c ⎡Δy' ≤ 0 ⎢ ⎢⎧Δy' > 0 ⎢⎣⎨⎩y max y min < 0 ⎡y max y min = 0 ⎢ ⎢⎧y = 0 nghieäm chung ⎢⎣⎨⎩y' = 0 Ghi chuù: PT baäc 3: y=0 khoâng theå coù 3 nghieäm phaân bieät VIII. ⎧Δy' > 0 ⎨ ⎩y max y min < 0 ⎧ Δy ' ≤ 0 ⇔⎨ ⎩y max y min > 0 ÑÒNH THAM SOÁ ÑEÅ HAØM BAÄC 3 CAÉT TRUÏC HOAØNH TAÏI 3 ÑIEÅM COÙ HOAØNH ÑOÄ DÖÔNG (HAY AÂM): Hoaønh ñoä Hoaønh ñoä döông Hoaønh ñoä aâm Lôùn hôn α Nhoû hôn α ⎧Δy' > 0 ⎪ ⎪⎪af (0 ) < 0 ⎨x CÑ > 0 ⎪x > 0 ⎪ CT ⎪⎩y max y min < 0 ⎧Δy' > 0 ⎪ ⎪⎪af (0 ) > 0 ⎨x CÑ < 0 ⎪x < 0 ⎪ CT ⎪⎩y max y min < 0 ⎧Δy' > 0 ⎪af (α ) < 0 ⎪ ⎨ ⎪α < x1 < x 2 ⎪⎩y max y min < 0 ⎧Δy' > 0 ⎪af (α ) > 0 ⎪ ⎨ ⎪ x1 < x 2 < α ⎪⎩y max y min < 0 CHUÛ ÑEÀÀ 4: GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT - NHOÛ NHAÁT I. • GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT - NHOÛ NHAÁT TREÂN ÑOAÏN [a;b]: f lieân tuïc treân [a;b] coù M[GTLN] vaø m[GTNN] cuûa f treân [a;b] ⇔ m ≤ f (x ) ≤ M ∀x ∈ [a; b] • Tìm giaù trò cöïc trò cuûa f(x) treân [a;b] ñeå tìm maxf vaø minf. Chuù yù 1: ∃ maxf, minf ⇔ f lieân tuïc treân [a; b] ⇒ 1. M = max {f (a), f (b ), fCÑ , fCT } x∈[a; b ] m = min {f (a), f (b ), fCÑ , fCT } x∈[a; b ] m ≤ y0 ≤ M . 2. Duøng MGT tìm max, min: 3. Duøng BÑT Coâsi, Bunhiacoâpsky. 13 Trích töø http://www.toanthpt.net - T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït LHQ Chuù yù 2: 1. x x1 −∞ y' + y 2. x2 − 0 max 0 x x0 ) a<0 ) ) III. y +∞ GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT - NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM BAÄC 2 TREÂN ) • y' + a>0 hoaønh ñoä ñænh x0 = − 0 x +∞ min y = f (a) x1 x2 + +∞ 0 − max min f(x) taêng hoaëc giaûm treân [a;b] y • y min y' II. x 0 ∈ (a; b ) . +∞ x −∞ y' + − Neáu f(x) lieân tuïc trong khoaûng (a;b) coù ñieåm cöïc trò x0 max y = f (b ) +∞ − −∞ [α; β] : b 2a [ ] { ( ) ( )} ( ) Neáu x 0 ∉ [ α; β ] : so saùnh f ( α ) vaø f ( β ) suy ra max y vaø min y. Neáu x 0 ∈ α; β : min y = f x 0 ; max y = max f α , f β [ ] { ( ) ( )} ( ) Neáu x 0 ∉ [ α; β ] : so saùnh f ( α ) vaø f ( β ) suy ra max y vaø min y. Neáu x 0 ∈ α; β : max y = f x 0 ; min y = max f α , f β TÌM GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT, NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM SOÁ: 1. ( ) ( ) ( ) Phöông phaùp 1: GTLN f x = max f x vaø GTNN f x x∈Df x∈Df x∈Df ( ) ⎧ ñn ⎪ f x ≥ m; ∀x ∈ D min f x = m ←⎯ →⎨ x∈Df ⎪⎩∃x 0 ∈ Df : f x 0 = m ( ) ( ) ( ) = min f x x∈Df ( ) ⎧ ñn ⎪ f x ≤ M; ∀x ∈ D max f x = M ←⎯ →⎨ x∈Df ⎪⎩∃x 0 ∈ Df : f x 0 = M ( ) y f a A = max f a≤ x ≤ b ( ) x B f(b) a b 0 y CT = min f a≤ x ≤ b 2. Phöông phaùp 2: B1: Kieåm tra tính lieân tuïc cuûa haøm f treân B x x D f = [a; b ] B2: Tìm caùc soá cöïc ñaïi, soá cöïc tieåu (giaù trò y0=f(x0) cuûa caùc cöïc trò ñòa phöông taïi caùc ñieåm B x 0 ∈ (a; b ) ). Tìm f(a), f(b): laø caùc soá trò bieân cuûa haøm f. B3: So saùnh f(a), f(b) vaø caùc y0, ta coù: M = max{f (a); f (b ); (caùc y 0 )} = max f (x ) B a≤ x ≤ b a≤ x ≤ b m = min {f (a ); f (b ); (caùc y 0 )} = min f (x ) a≤ x ≤ b Ghi chuù: Khi vieát a≤ x ≤ b m ≤ f (x ) ≤ M , ta coù taäp giaù trò cuûa haøm f laø: f(Df) = [m;M] 14 Trích töø http://www.toanthpt.net - T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït CHUÛ ÑEÀÀ 5: LOÀI, LOÕM, ÑIEÅM UOÁN, TIEÄM CAÄN I. LOÀI, LOÕM, ÑIEÅM UOÁN I(x0,f(x0)): x −∞ y" + y Loõm x 01 0 − Uoán Loài Daáu hieäu ñieåm uoán: Daáu hieäu 1: f ′′ Daáu hieäu 2: II. LHQ ( x0 ) = 0 x 02 +∞ x 0 + y" − Uoán Loõm y Loài +∞ 0 + Uoán Loõm f ′′ ( x 0 ) ñoåi daáu ( -∞ ,x 0 ) ; ( x 0 , +∞ ) ; ⎧⎪ f ′′ ( x ) = 0 0 ⎨ ⎪⎩ f ′ ( x 0 ) ≥ 0 x0 −∞ hoaëc ⎧⎪ f ′′ ( x ) = 0 0 ⎨ ⎪⎩ f ′ ( x 0 ) ≤ 0 CAÙC DAÏNG ÑIEÅM UOÁN: HÌNH DAÏNG ÑIEÅM UOÁN DAÁU HIEÄU NHAÄN BIEÁT ÑIEÅM UOÁN (T) ⎧⎪∃x ∈ ( a; b ) : f ′′ ( x ) = 0; ∃f ′ ( x ) ≠ 0 0 0 0 ⎨ ⎪⎩ f ′′ ( x ) ñoåi daáu khi x ñi qua x 0 ( i) f"<0 I (C) ( f">0 ( ) ) : laø ñieåm uoán cuûa ( C) : y = f ( x ) ⇒ I x0 ; f x0 f">0 (T) I ⎧⎪∃x ∈ ( a; b ) : f ′ ( x ) = 0 0 0 ⎨ ⎪⎩ f ′ ( x ) khoâng ñoåi daáu khi x ñi qua x 0 ( ) i (C) 2 ( ( ) ) : laø ñieåm uoán cuûa ( C) : y = f ( x ) ⇒ I x0 ; f x0 f"<0 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ (C) f"<0 I f">0 (T) ⎧∃x ∈ a; b :gt môû roäng f ′′ x = ∞ ( i3 ) : ⎪⎨f′′ (0x) (ñoåi daá) u khi x ñi qua x( 0 ) ( i4 ) ( ⎪⎩ 0 ⎧giaù trò môû roäng f ′ ( x 0 ) = ∞ ⎪ : ⎨ f ′ ( x ) khoâng ñoåi daáu khi x baêng qua x 0 ⎪ f ′′ x ñoåi daáu khi x ñi qua x 0 ⎩ ( ) hoaëc ( ) ) : laø ñieåm uoán cuûa ( C) : y = f ( x ) ⇒ I x0 , f x0 III. TIEÄM CAÄN: Tieäm caän ñöùng x = x0 lim y = ∞ x→x 0 Tieäm caän ngang y = y0 Tieäm caän xieân y = ax+b lim y = y 0 ⎡⎧ y ⎢⎪a = lim x →∞ x ⎢⎨ [y − (ax + b )] ⎢⎪⎩b = lim x →∞ ⎢ ⎢⎧⎪lim = ∞ ⎢ ⎨ x →∞ [y − (ax + b )] = 0 ⎢⎪⎩lim ⎣ x →∞ x →∞ Chuù yù: y = ax + b + ε(x ) vôùi lim ε(x ) = 0 thì y = ax + b laø tieäm caän xieân x →∞ 15 Trích töø http://www.toanthpt.net - T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït P (x ) 1. Haøm phaân thöùc y = : Q (x ) TCÑ: x = x0 Tìm nghieäm x0 cuûa Q(x) = 0 LHQ TCN TCX TC cong laø Parabola Baäc P(x) ≤ Baäc Q(x) Baäc P(x) > Baäc Q(x) 1 baäc Baäc P(x) > Baäc Q(x) 2 baäc ⎛ b' ⎞ P⎜ − ⎟ ax + bx + c P (x ) a a' b − ab' a' ⎠ = = x+ + ⎝ y= 2 a' x + b' Q (x ) a' a' a' x + b' 2 2. Haøm höõu tyû: ⎛ b' ⎞ P⎜ − ⎟ a a' b − ab' a' ⎠ =0⇒y= x+ lim ⎝ : TCX x →∞ a' x + b' a' a'2 • 3. Neáu ( ) f x = Haøm voâ tyû (haøm caên thöùc): y = f(x) 2 ax + bx + c = a x+ b 2a ( ) ( ) + ε x . Vôùi lim ε x = 0 x→∞ ⎡ b ⎞ ⎛ Nhaùnh traùi : y = - a ⎜ x + ⎢ ⎟ b 2a ⎠ ⎝ ⎢ ⇒ TCX : y = a x + = 2a ⎢ b ⎞ ⎛ ⎢ Nhaùnh phaûi : y = a ⎜ x + 2a ⎟ ⎝ ⎠ ⎣ p 2 Neáu f (x ) = ax + b + x + px + q = ax + b + x + + ε(x ) • 2 ⎡ ⎛ p⎞ Nhaùnh traùi : y = ax + b- ⎜ x + ⎟ ⎢ p ⎝ 2⎠ ⇒ TCX : y = ax + b + x + =⎢ 2 ⎢ ⎛ p⎞ ⎢ Nhaùnh phaûi : y = ax + b + ⎜ x + 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎣ 4. ( C) Ñaëc bieät: ( ) ( ) ( ) y= f x =g x +ε x maø ⎧ lim f ( x ) = ∞ ⎪ x→∞ ⎨ ⎡ f ( x ) − g ( x ) ⎤⎦ = lim ε ( x ) = 0 ⎪⎩ xlim x→∞ →∞ ⎣ ( ) ⇒ T ( ) y = g x laø tieäm caän cong. CHUÛ ÑEÀÀ 6: KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ I. • Goïi (P ) : y = f (x ) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 2 (a ≠ 0) Tam thöùc baäc hai coù daïng: (P ) : y = f (x ) = ax + bx + c HAØM BAÄC HAI: Δ = b 2 − 4ac; khi Δ ≥ 0, ñaët x1,2 = -b± Δ 2a , ta coù f(x1) = f(x2) = 0 thì x1, x2 laø hai nghieäm cuûa tam thöùc baäc hai (cuõng laø hai nghieäm cuûa phöông trình baäc hai: ax2+bx+c = 0). Tính chaát cuûa caùc nghieäm soá x1; x2 (quy öôùc x1 < x2) • b ⎧ ⎪⎪S = x1 + x 2 = − a (Ñònh lyù Viete thuaän) ⎨ ⎪P = x x = c 1 2 ⎪⎩ a 16 Trích töø http://www.toanthpt.net - T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït LHQ (⇒ ) Meänh ñeà : x1 - x 2 = Δ a ) (⇒) Heä quaû (Ñònh lyù Viete ñaûo): Neáu hai soá thöïc coù toång laø S, coù tích laø P; thì hai soá ñoù laø nghieäm cuûa phöông trình: f (x ) = x 2 − Sx + P = 0 (Vôùi : S2 - 4P ≥ 0 ) ) c < 0 ⇔ x1 < 0 < x 2 (hai nghieäm traùi daáu) a b ⎡ ⎢S = − a < 0 ⇒ x1 > x 2 Ta coù hai tröôøng hôïp nhoû: ⎢ ⎢S = − b > 0 ⇒ x < x 1 2 a ⎣⎢ c ⎧ ⎪⎪P = a > 0 ⇔ x1 < x 2 < 0 (hai nghieäm ñeàu aâm) ) Neáu ⎨ b ⎪S = − < 0 ⎪⎩ a c ⎧ ⎪⎪P = a > 0 ⇔ 0 < x1 < x 2 (hai nghieäm ñeàu döông) ) Neáu ⎨ ⎪S = − b > 0 ⎪⎩ a 2 • Tính chaát ñoà thò (P ) : y = f (x ) = ax + bx + c ⎛ b Δ⎞ ; ⎟ laø moät Parabola (ñöùng) coù ñænh S⎜ − ⎝ 2a 4a ⎠ b b ) Ñeå yù x S = − ; laø nghieäm keùp cuûa tam thöùc baäc hai, thì d : x = − 2a 2a Neáu ) • P= Daáu tam thöùc baäc hai: Vieát tam thöùc döôùi daïng: 4af (x ) = 4a2 x 2 + 4abx + 4ac ⇔ 4af (x ) = (2ax + b ) + 4ac − b2 laø truïc ñoái xöùng cuûa (P). (a ≠ 0) 2 ⇔ 4af (x ) = (2ax + b ) − Δ 2 (*); vôùi Δ = b2 - 4ac Töø (*) ta coù ñònh lyù thuaän veà daáu tam thöùc baäc hai nhö sau: Tam thöùc baäc hai luoân coù daáu cuûa heä soá a; vôùi moïi giaù trò cuûa x vaø chæ loaïi tröø hai tröôøng hôïp: ) Neáu ) Neáu Δ>0 • • • Δ=0 • ⎛ b ⎞ Δ = 0 ⇒ af ⎜ − ⎟ = 0 ⎝ 2a ⎠ Δ < 0 ⇒ af (x ) < 0; ∀x ∈ (x1; x 2 ) −∞ Toàn taïi (x1;x2) maø trong ñoù f(x) traùi daáu a 2 f x = ax + bx + c ( ) [x1; x 2 ] ≠ φ;{0} x Khoâng toàn taïi (x1;x2) maø trong ñoù f(x) traùi daáu a [x1; x 2 ] = {0} ⇒ Söï traùi daáu bò suy bieán 2 f x = ax + bx + c ( ) 17 x1 x2 +∞ Cuøng daáu | 0 Traùi daáu | 0 Cuøng daáu a | a | a x1 = x 2 = − −∞ b +∞ 2a Cuøng daáu | 0 Cuøng daáu a | a Trích töø http://www.toanthpt.net - T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït x Khoâng toàn taïi (x1;x2) maø trong ñoù f(x) traùi daáu a • Δ<0 LHQ [x1; x 2 ] = φ • −∞ +∞ Cuøng 2 f x = ax + bx + c ( ) daáu a ⇒ Söï traùi daáu bò bieán maát • Giaù trò lôùn nhaát, giaù trò nhoû nhaát cuûa tam thöùc baäc hai: Daáu a a>0 Daáu Δ a<0 y y (P) Δ 4a x1 S − Δ>0 b − 2a x1 0 0 x2 Δ − 4a x2 x b 2a − x (P) S y y − b 2a 0 (P) Δ<0 − − (P) x b 2a y y (P) − x∈R − Δ 4a − b 2a x (P) x b 2a b Δ ; khi x = − 4a 2a GTNN f (x ) = − x∈R b Δ ; khi x = − 4a 2a Ñònh lyù ñaûo veà daáu cuûa tam thöùc baäc hai: Neáu toàn taïi soá thöïc ) S 0 S 0 − GTNN f (x ) = − max min ) Δ 4a S S Δ 4a 0 Δ=0 x Δ − 4a α thoûa af (α ) < 0 , thì tam thöùc B2 coù hai nghieäm phaân bieät x1, x2 vaø x1 < α < x 2 . Heä quaû: α vaø β sao cho f (α )f (β ) < 0 thì tam thöùc B2 coù hai nghieäm phaân bieät x1; x2 vaø coù moät nghieäm naèm trong khoaûng (α; β )(vôùi α < β ) . Chaúng haïn: x1 < α < x 2 < β hay α < x1 < β < x 2 Neáu toàn taïi hai soá • Töø ñònh lyù ñaûo ôû treân ta coù söï so saùnh moät soá thöïc α vôùi hai nghieäm x1, x2 cuûa tam thöùc nhö sau: af (x ) < 0 ⇔ x1 < α < x 2 ) TH1: ) TH2: Δ < 0: vieäc so saùnh khoâng ñaët ra. f (x ) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) (khoâng caàn xeùt daáu Δ, vì luoân luoân coù Δ > 0). 18 Trích töø http://www.toanthpt.net - T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït ⎧ ⎪Δ > 0 ⎪ ) TH3: ⎨ af ( α ) > 0 ⇔ α < x1 ⎪S ⎪ −α> 0 ⎩2 LHQ < x2 TH4: x1 α (hình 1) ) ( xem hình 1) // // S x1 + x2 = 2 2 x2 x ⎧ ⎪Δ > 0 ⎪ ⎨af (α ) > 0 ⇔ x1 < x 2 < α (xem hình 2 ) ⎪S ⎪ −α<0 ⎩2 x1 (hình 2) f (x ) = ax2 + bx + c x2 // // S x1 + x2 = 2 2 coù ít nhaát ba thöïc nghieäm α x ⇔a=b=c=0 • Tam thöùc • Hai tieáp tuyeán phaùt xuaát töø moät ñieåm baát kyø M ñeán treân ñöôøng chuaån (d) ñeán Parabola ñeàu vuoâng goùc vôùi nhau vaø ñoàng thôøi ñoaïn noái caùc tieáp ñieåm T1T2 luoân luoân ñi qua tieâu ñieåm F cuûa (P). (P) (t1) (t2) T1 T2 (d) M (C) : y = f (x ) = ax3 + bx 2 + cx + d (C) : y = f (x ) = ax3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) MXÑ: D = (− ∞;+∞ ) • II. HAØM BAÄC BA: (a ≠ 0) Hoïc sinh xem phaàn naøy trong Sgk y′ = 3ax2 + 2 bx + c vaø y′′ = 6ax + 2b • Caùc ñaïo haøm: • Taâm ñoái xöùng laø ñieåm uoán: • Xeùt ⎛ b ⎛ b ⎞⎞ I⎜⎜ − ; f ⎜ − ⎟ ⎟⎟ ⎝ 3a ⎝ 3a ⎠ ⎠ Δ′ = Δ′y ' = b2 − 3ac . Ta ñöôïc baûng toång keát. a>0 Δ′ < 0 x −∞ +∞ y′ + +∞ y −∞ 19 y (C) I 0 − b 3a x Trích töø http://www.toanthpt.net - T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït x −∞ +∞ y′ − +∞ y −∞ a<0 Δ′ < 0 x a>0 Δ′ = 0 −∞ y' y x a<0 Δ′ = 0 y' y b 3a + I 0 I +∞ 0 −∞ +∞ − (C) +∞ + − y (C) +∞ 0 −∞ x1 < x 2 ) x −∞ y' + y x1 0 − CÑ x2 0 − + I +∞ 0 x1 < x 2 ) x −∞ y' − +∞ y x1 0 x2 +∞ + 0 − CÑ CT −∞ x b − 3a y a<0 Δ′ < 0 (y′ = 0 coù 2 nghieäm x b 3a (C) +∞ CT −∞ x b 3a I − y a>0 Δ′ < 0 (y′ = 0 coù 2 nghieäm x b − 3a y −∞ b 3a LHQ y (C) I (C) 0 b − 3a x Chuù yù: Xem theâm phaàn 7 CHUÛ ÑEÀà 3 1. Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå ñoà thò (C) ôû treân coù ñieåm cöïc tieåu vaø ñieåm cöïc ñaïi (haøm soá coù cöïc trò) laø: y' = f ' (x ) = g(x ) = 3ax2 + 2 bx + c coù Δ′g = b2 − 3ac > 0 2. Phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 ñieåm cöïc trò. Ba ñieåm A, I, B thaúng haøng. ⎧⎪y 0 = f (x 0 ) = ax 30 + bx 20 + cx 0 + d ⎨ ⎪⎩g(x 0 ) = 3x 20 + 2 bx 0 + c = 0 • Goïi (x0;y0) laø toïa ñoä caùc ñieåm cöïc trò ôû treân noù thoûa: • Thöïc hieän pheùp chia hai ña thöùc ñaõ saép xeáp f(x0) : f(x0), ta coù: • Vaäy, y 0 = f ( x 0 ) = ( Ax 0 + B) g ( x 0 ) + αx 0 + β 0 ⇔ y 0 = αx 0 + β 0 vì g ( x 0 ) = 0 (d ) : y = αx + β laø ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu cuûa (C). Ñieåm uoán cuûa (C) laø I ∈ (d ) hay A, I, B thaúng haøng. 20 Trích töø http://www.toanthpt.net -