Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
(Ôn thi TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2015)
Biên soạn: Huỳnh Chí Hào - THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu
PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
2 y 3 12 y 2 25 y 18 2 x 9 x 4
Bài 1: Giải hệ phương trình
3 x 1 3x 2 14 x 8 6 4 y y 2
(1)
(2)
(Thi thử của THPT Nghi Sơn – Thanh Hóa)
Bài giải
1
x
♥ Điều kiện:
(*)
3
2
6 4 y y 0
♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y
(sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u f v )
♦ 2 y 3 12 y 2 25 y 18 2 x 9 x 4 2 y 2 y 2 2
3
3
x4 x4
(3)
[Tại sao ?]
♦ Xét hàm đặc trưng f t 2t 3 t trên ta có:
f ' t 6t 2 1 0, t f t đồng biến trên
Nên: 3 f y 2 f
y 2
y 2
x 4 y 2 x 4
2
y 2 x 4 x 4 y y 2
(4)
♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn
3x 1 6 x 3 x 2 14 x 8 0
(5)
♦ Phương trình (5) có một nghiệm là x 5 nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ thuật nhân
liên hợp.
5 3x 1 4 6 x 1 3x 2 14 x 5 0
3 x 5
3x 1 4
x5
x 53 x 1 0
6 x 1
(Tách thành các biểu thức liên hợp)
(Nhân liên hợp)
3
1
x 5
3 x 1 0 x 5
3x 1 4
6 x 1
0
♦ Với x 5 y 1 (thỏa điều kiện (*))
♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y 5;1
Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Bước 1: Tìm điều kiện cho các biến x, y của hệ phương trình (nếu có)
Bước 2: Tìm một hệ thức liên hệ đơn giản của x và y bằng phương pháp hàm số
+ Biến đổi một phương trình của hệ về dạng f(u) = f(v) (u, v là các biểu thức chứa x,y)
+ Xét hàm đặc trưng f(t), chứng minh f(t) đơn điệu, suy ra: u = v (đây là hệ thức đơn giản chứa x, y)
Bước 3: Thay hệ thức đơn giản tìm được vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình 1 ẩn
Bước 4: Giải phương trình 1 ẩn (cần ôn tập tốt các phương pháp giải phương trình 1 ẩn).
x3 y 3 17 x 32 y 6 x 2 9 y 2 24
Bài 2: Giải hệ phương trình
y 2 x 4 x 9 2 y x 9 x 2 9 y 1
(1)
(2)
(Thi thử của THPT Chuyên Vĩnh Phúc)
Bài giải
x 4
♥ Điều kiện:
(*)
2 y x 9 0
♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y
(sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u f v )
♦ x 3 y 3 17 x 32 y 6 x 2 9 y 2 24 x 3 6 x 2 17 x 18 y 3 9 y 2 32 y 42
x 2 5 x 2 y 2 5 y 2
3
3
[Tại sao ?]
(3)
♦ Xét hàm đặc trưng f t t 3 5t trên ta có:
f ' t 3t 2 5 0, t f t đồng biến trên
Nên:
3 f x 2 f y 3 x 2 y 3 y x 1
(4)
♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn
x 3 x 4 x 9 x 11 x 2 9 x 10
(5)
♦ Phương trình (5) có một nghiệm là x 5 nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ thuật nhân
liên hợp.
5 x 3 x 4 3 x 9 x 11 4 x 2 2 x 35 (Tách thành các biểu thức liên hợp)
x 3.
x 5
x5
x 9.
x 5 x 7 (Nhân liên hợp)
x 4 3
x 11 4
x3
x9
x 5
x 7 0
x4 3
x 11 4
Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp
x5 0
x3
x9
x 7 0
x 4 3
x 11 4
(6)
♦ Chứng minh (6) vô nghiệm
6
x 3
x 4 3
x5
x9
x 9
0
2
2
x 11 4
[Tại sao ?]
1
1
1
1
2
x 5
x 9
0 : phương trình VN
x 4 3 2
x 11 4 2
x
4
3
0
0
0
♦ Với x 5 y 6 (thỏa điều kiện (*))
♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y 5;6
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Giải các hệ phương trình
x3 y 3 3 x 2 6 x 3 y 4
1) 2
x y 2 6 x y 10 y 5 4 x y
53 5 x 10 x 5 y 48 9 y 0
2)
2 x y 6 x 2 2 x 66 2 x y 11
2012 3 x 4 x 6 y 2009 3 2 y 0
3)
2 7 x 8 y 3 14 x 18 y x 2 6 x 13
x 3 x y y 1 0
4)
4
x x 3 x 2 1 x y 13 1
Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp
x 3 4 x 2 y 4 5 y
Bài 3: Giải hệ phương trình
2
x 2 x y 2 y 2 8 y 4 0
(1)
(2)
(Phạm Trọng Thư GV THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp – THTT số 2)
Bài giải
♥ Điều kiện: x 2 (*)
♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y
♦
x 3 4 x 2 y4 5 y
4
x 2 x 2 5 y y 4 5
(3)
♦ Xét hàm đặc trưng f t t t 4 5 trên nữa khoảng 0; .
f liên tục trên 0; và f ' t 1
Do
4
2t 3
t4 5
0, t 0; f t đồng biến trên 0;
x 2 0 và 4 y x y 2 y 0 nên
2
3 f 4 x 2 f y 4 x 2 y x y 4 2
(4)
♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn
y 0
2
4 y y 4 y y y 7 2 y 4 y 4 0 7
y 2 y4 y 4 0
(5)
♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số
Xét hàm số g y y 7 2 y 4 y 4 trên nữa khoảng 0; .
Do g liên tục trên 0; và g' y 7 y 6 8 y 3 1 0, y 0; g y đồng biến trên 0;
Nên:
5 g y g 1 y 1
♣ Với y 0 x 2 [thỏa (*)]
♣ Với y 1 x 3 [thỏa (*)]
♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x; y là 2; 0 và 3;1
Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp
3
x 1
3
2
0
x 3x y 6 y 9 y 2 ln
y 1
y log x 3 log y x 1
3
2
Bài 4: Giải hệ phương trình:
1 .
2
(Thi thử của THPT Chuyên Vĩnh Phúc)
Bài giải
x 1
y 1 0
x 3
♥ Điều kiện: x 3 0
y 0
y 0
(*)
♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y
♦ 1
x 13 3 x 12 ln x 1 y 13 3 y 12 ln x 1
(3)
♦ Xét hàm đặc trưng f t t 3 3t 2 ln t trên khoảng 0;
1
f t 3t 2 6t 0 t 0 f t đồng biến trên khoảng 0;
t
Do x 1 0 và y 1 0 nên
3 f x 1 f y 1 x 1 y 1 y x 2
(4)
♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn
x 2 log 2 x 3 log3 x 2 x 1
(5)
♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số
5 log 2 x 3 log3 x 2
x 1
x 1
log 2 x 3 log3 x 2
0 6
x2
x2
♣ Xét hàm số g x log 2 x 3 log 3 x 2
g x
1
1
3
0 x 3
x 3 ln 2 x 2 ln 3 x 2 2
g x đồng biến trên khoảng
Nên
x 1
trên khoảng 3;
x2
3;
.
4
y 3
6 g x g 5 x 5
♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y 5;3
[thỏa mãn (*)]
Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp
3 x 2 3y 2 8 y x y 2 xy x 2 6
Bài 5: Giải hệ phương trình:.
x y 13 3y 14 x 1 5
1
2
(Thi thử của THPT Chuyên Vĩnh Phúc)
Bài giải
x 1
x 1 0
14
3
y
14
0
y 3
*
♥ Điều kiện:
♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y
3
3
♦ 1 x 1 3 x 1 y 1 3 y 1
(3)
♦ Xét hàm đặc trưng f t t 3 3t , t
f t 3t 2 3 0, t f t đồng biến trên .
Do x 1 0 và y 1 0 nên
3
f x 1 f y 1 x 1 y 1 x 2 y
(4)
♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn
2 x 11
5
3x 8 x 1 5
♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số
Ta nhận thấy x
11
không là nghiệm của phương trình 5 nên
2
5
3x 8 x 1
5
0.
2 x 11
6
Xét hàm số
g x 3x 8 x 1
g x
3
2 3x 8
5
8 11 11
, x ; ;
2 x 11
3 2 2
1
2 x 1
10
2 x 11
2
3 x 1 3x 8
2
10
3x 8 x 1 2 x 11
2
8 11 11
0 x ; & ;
3 2 2
8 11 11
g x đồng biến trên các khoảng ; & ;
3 2 2
8 11
8 11
♣ Trên khoảng ; thì g x đồng biến, 3 ; , g 3 0 nên
3 2
3 2
6
11
4
g x g 3 x 3 y 5 [thoả mãn (*)]
11
♣ Trên khoảng ; thì g x đồng biến, 8 ; , g 8 0 nên
2
2
4
y 10 [thoả mãn (*)]
6 g x g 8 x 8
♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x, y 3;5 , x, y 8;10
Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Giải các hệ phương trình
4 x 2 1 x y 3 5 2 y 0
1)
4 x 2 y 2 2 3 4 x 7
x3 y 3 3 y 2 4 y x 2
2)
x y 3 x 3 y 19 105 y 3 xy
4 x 2 2 y 4 6
3)
2 2 x 13 2 x 1 2 y 3 y 2
Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp
2 y 3 y 2 x 1 x 3 1 x
Bài 6: Giải hệ phương trình
9 4 y 2 2 x 2 6 y 2 7
(1)
(2)
(Thi thử của THPT Trần Phú – Thanh Hóa)
Bài giải
x 1
♥ Điều kiện: 3
(*)
y 3
2
2
♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y
(sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u f v )
♦ 2 y 3 y 2 x 1 x 3 1 x 2 y 3 y 2 1 x 2 x 1 x 1 x
2 y 3 y 21 x 1 x 1 x
(3)
♦ Xét hàm đặc trưng f t 2t 3 t trên ta có:
f ' t 6t 2 1 0, t f đồng biến trên
y 0
y 2 1 x
3 f y f 1 x y 1 x
Nên:
(4)
♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn
4 x 5 2 x 2 6 x 1
(5)
♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp đặt ẩn phụ chuyển về hệ đối xứng loại II
Phương trình (5) viết lại thành:
2 x 3 2 4 x 5 11
2
Điều kiện
Đặt
3
4 x 5 2t 3 t , ta được hệ phương trình:
2
2 x 32 4t 5
2t 32 4 x 5
(6)
(7)
Trừ theo từng vế của (6) và (7) ta được:
4 x t 3 x t 4t 4 x x t x t 2 0
+ Khi x t , thay vào (7) ta được:
4 x 2 12 x 9 4 x 5 x 2 4 x 1 0 x 2 3
So với điều kiện của x và t ta chọn x 2 3 . [không thỏa mãn (*)]
+ Khi x t 2 0 t 2 x , thay vào (7) ta được:
[Tại sao ?]
Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp
1 2 x 4 x 5 x 2 2 x 1 0 x 1 2 (loại)
2
So với điều kiện của x và t ta chọn x 1 2 .
♦ Với x 1 2 y 4 2 . [thỏa mãn (*)]
♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x; y là 1 2; 4 2 và 1 2; 4 2
2 x 3 4 x 2 3x 1 2 x 3 2 y 3 2 y
Bài 7: Giải hệ phương trình
x 2 3 14 x 3 2 y +1
(1)
(2)
(Thi thử của THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Đà Nẵng)
Bài giải
y 3
♥ Điều kiện:
2
x 2
(*)
♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y
(sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u f v )
♦ Do x 0 không thỏa hệ nên ta có:
4
x
1 2
3
1
3 22 y 3 2 y
2
x
x
1 1
1 1 3 2 y 3 2 y 3 2 y
x x
3
(3)
♦ Xét hàm đặc trưng f t t 3 t trên ta có:
f ' t 3t 2 1 0, t f đồng biến trên
Nên:
1
3 f 1 f 3 2 y 1 3 2 y
x
x
1
(4)
♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn
x 2 3 15 x 1
(5)
♦ Phương trình (5) có một nghiệm là x 7 nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ thuật
nhân liên hợp.
5
x 2 3 2 3 15 x 0
1
1
0
x 7
2
x 2 3
3
3
4 2 x 15 x 15
0
x7
Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp
♦ Với x 7 y
111
98
[thỏa mãn (*)]
111
♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y là 7;
98
1 3x 4
2
x 3 y 1 y y +
x 1
Bài 8: Giải hệ phương trình
9 y 2 3 7 x 2 y 2 2 y 3
(1)
(2)
(Thi thử của THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Đà Nẵng)
Bài giải
x 1
♥ Điều kiện:
y 2
9
(*)
♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y
(sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u f v )
♦ Ta có
1
y
1 y 2 3 y x 1
1
x 1
3 x 1
(3)
1
♦ Xét hàm đặc trưng f t t 2 3t trên 0; ta có:
t
2t 1t 1
2
f ' t
t2
0, t 0; f đồng biến trên 0;
3 f y f x 1 y x 1 x y 2 1
Nên:
(4)
♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn
9 y 1 3 7 y 2 2 y 5 2 y 3
(5)
♦ Phương trình (5) có hai nghiệm là y 2 y 3 và nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ
thuật nhân liên hợp. Định hướng biến đổi về dạng y 2 y 3.h x 0 hay y 2 5 y 6.h x 0
5
9 y 2 y 2 3 7 y 2 2 y 5 y 1 0
y2 5 y 6
9y2 y 2
y 1 y 2 5 y 6
y 1 y 1 7 y 2 y 5 7 y 2 y 5
2
3
2
3
2
2
0
1
y 1
0
2
y 5 y 6
2
9 y 2 y 2
2
y 1 y 1 3 7 y 2 2 y 5 3 7 y 2 2 y 5
0
Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp
y 2
y2 5 y 6 0
y 3
♦ Với y 2 x 3
[thỏa mãn (*)]
♦ Với y 3 x 8
[thỏa mãn (*)]
♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y là 3; 2 ; 8;3
x 2 y 2 y 2 x 1 y 2
Bài 9: Giải hệ phương trình:.
5
3x 8 y
x y2
1
2
Bài giải
8
x 3
♥ Điều kiện: y 0
x y 12 0
*
♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y
2
♦ 1 y x 1 0 y x 1
(3)
♥ Thế (3) vào (2) để được phương trình một ẩn
3x 8 x 1
5
2 x 11
5
♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số
5
3x 8 x 1
5
0.
2 x 11
6
Xét hàm số
f x 3x 8 x 1
f ' x
5
8 11 11
, x ; ;
2 x 11
3 2 2
3
1
10
3 x 1 3x 8
10
8 11 11
0 x ; & ;
2
2
3
2
2
2 3 x 8 2 x 1 2 x 11
2 3 x 8 x 1 2 x 11
8 11 11
f x đồng biến trên các khoảng ; & ;
3
2
2
8 11
8 11
♣ Trên khoảng ; thì f x đồng biến, 3 ; , f 3 0 nên
3 2
3 2
6
11
4
f x f 3 x 3 y 4 [thoả mãn (*)]
11
♣ Trên khoảng ; thì f x đồng biến, 8 ; , f 8 0 nên
2
2
6
4
f x f 8 x 8 y 9 [thoả mãn (*)]
♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x, y 3;5 , x, y 8;10
Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp
XEM THÊM PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ DẠNG TRÊN
CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG
n
ax b p n a ' x b ' qx r
( x là ẩn số; p, q, r , a, b, a ', b ' là các hằng số; paa ' 0 ; n 2;3
Dạng thường gặp: ax b p a ' x b ' qx r
2
1. Phương pháp giải
Đặt ẩn phụ:
+ Đặt
n
a ' x b ' ay b nếu pa ' 0
+ Đặt
n
a ' x b ' ay b nếu pa ' 0
Bài toán dẫn đến giải hệ phương trình hai ẩn đối với x và y :
h( x) Ay Bx C
(*)
h( y) A ' B x C '
(*) thường là hệ đối xứng loại 2 đối với x và y .
Chú ý: Có thể sử dụng phương pháp nâng lũy thừa để đưa về phương trình bậc bốn.
2. Các ví dụ
Ví dụ 1: Giải phương trình
2 x 15 32 x 2 32 x 20
(1)
Lời giải
Điều kiện: 2 x 15 0 x
15
2
Phương trình (1) viết lại thành: 2 4 x 2 2 x 15 28
2
Đặt
1
2 x 15 4 y 2 y , ta được hệ phương trình:
2
4 y 22 2 x 15
4 x 22 2 y 15
Trừ theo từng vế của (2) và (3) ta được:
(2)
(3)
Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp
4 y 4 x 44 y 4 x 2 x y x y 1 8 x y 1 0
+ Khi x y , thay vào (3) ta được:
1
x
2
2
4 x 2 2 x 15 16 x 2 14 x 11 0
11
x
8
So với điều kiện của x và y ta chọn x
1
.
2
9
+ Khi 1 8 x y 1 0 y x , thay vào (3) ta được:
8
9
4
2
4 x 2 2 x 15 64 x 2 72 x 35 0 x
So với điều kiện của x và y ta chọn x
9 221
16
9 221
.
16
1 9 221
Tập nghiệm của (1) là S
;
2
16
Ví dụ 2: Giải phương trình 4 x 2 3 x 1 5 13 x
(1)
Lời giải
Điều kiện: 3 x 1 0 x
1
3
Phương trình (1) viết lại thành:
Đặt
2
2 x 3 3x 1 x 4
3
3 x 1 2 y 3 y , ta được hệ phương trình:
2
2 x 32 2 y x 1
2 y 32 3 x 1
(2)
(3)
Trừ theo từng vế của (2) và (3) ta được:
2 2 x 2 y 6 x y 2 y 2 x x y 2 x 2 y 5 0
+ Khi x y , thay vào (3) ta được:
4 x 2 12 x 9 3 x 1 4 x 2 15 x 8 0 x
So với điều kiện của x và y ta chọn x
15 97
.
8
15 97
8
Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp
+ Khi 2 x 2 y 5 0 2 y 5 2 x , thay vào (3) ta được:
2 2 x 3x 1 4 x 2 11x 3 0 x
2
So với điều kiện của x và y ta chọn x
11 73
8
11 73
.
8
11 73 15 97
Tập nghiệm của (1) là S
;
8
8
3. Một số bài toán tự luyện
Giải các phương trình
1)
x 6 x2 4 x
4) 4 x 2 14 x 11 4 6 x 10
2) x 2 4 x 3 x 5
3)
2 x 1 x 2 3x 1 0
5) 9 x 2 12 x 2 3 x 8 7)
6) 9 x 2 6 x 5 3 x 5
---------------------------------Hết----------------------------------
- Xem thêm -