Tài liệu G khung chính xác trong không gian hilbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————————o0o—————————— ĐỖ THỊ HOA G-KHUNG CHÍNH XÁC TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. Nguyễn Quỳnh Nga HÀ NỘI, 2017 Lời cảm ơn Sau một thời gian cố gắng, nỗ lực học tập và nghiên cứu, đến nay tôi đã hoàn thành luận văn tốt nghiệp thạc sĩ của mình. Để có được kết quả này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và lời cảm ơn chân thành nhất đến cô giáo, TS. Nguyễn Quỳnh Nga, người đã định hướng nghiên cứu và truyền thụ kiến thức cho tôi trong suốt thời gian thực hiện luận văn của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô giáo trong bộ môn Toán Giải tích nói riêng và khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 nói chung. Xin cảm ơn những người thân trong gia đình và tất cả những người bạn thân yêu đã hết sức thông cảm, chia sẻ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi để tôi có thể học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn của mình. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn!. Hà Nội, tháng 7 năm 2017 Tác giả Đỗ Thị Hoa i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được thực hiện dưới sự hướng dẫn của cô giáo TS. Nguyễn Quỳnh Nga. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Các kết quả trích dẫn trong luận văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, tháng 7 năm 2017 Tác giả Đỗ Thị Hoa ii Mục lục Mở đầu iv 1 . . . . . 1 1 3 3 13 16 . . . . . 22 22 33 36 40 44 2 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Toán tử tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert 1.2 Khung và cơ sở Riesz trong không gian Hilbert . . . 1.2.1 Khung trong không gian Hilbert . . . . . . 1.2.2 Cơ sở Riesz trong không gian Hilbert . . . . 1.3 Tính ổn định của khung . . . . . . . . . . . . . . . G-khung chính xác trong không gian Hilbert 2.1 G-khung và g-cơ sở Riesz . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Đặc trưng của g-khung chính xác . . . . . . . . . . 2.3 Mối quan hệ giữa g-khung chính xác và g-cơ sở Riesz 2.4 Tính ổn định của g-khung . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Tính ổn định của g-khung chính xác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 51 iii Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Khái niệm khung lần đầu tiên được giới thiệu bởi Duffin và Schaeffer [4] để nghiên cứu một vài bài toán về chuỗi Fourier không điều hòa vào năm 1952, sau đó được giới thiệu lại vào năm 1986 bởi Daubechies, Grossmann, và Meyer [3] và từ đó trở đi được nghiên cứu rộng rãi. Khung là tập hợp các véctơ trong không gian Hilbert H với tính chất là mỗi véctơ trong không gian đều có thể biểu diễn thông qua các phần tử của khung và biểu diễn đó không nhất thiết duy nhất. Khung được sử dụng nhiều trong xử lý tín hiệu và hình ảnh, nén dữ liệu, lý thuyết mẫu, lý thuyết lượng tử. Trong những năm gần đây, đã có nhiều thành tựu trong việc ứng dụng cơ sở Riesz và rất nhiều nghiên cứu về đặc trưng và tính ổn định của cơ sở Riesz [2]. Cơ sở Riesz tương đương với khung chính xác trong không gian Hilbert, đã trở thành một công cụ lý thuyết hữu hiệu để nghiên cứu phân tích tín hiệu. Tuy nhiên, một số ứng dụng mới đã xuất hiện, mà không thể mô hình hóa được một cách tự nhiên bằng một khung hoặc một cơ sở Riesz, vì vậy một số tác giả đã đưa ra một số các khái niệm khung suy rộng như giả khung (pseudoframe) [5], khung của các không gian con (frame of subspaces) [1]. Tất cả các khái niệm khung suy rộng này đều hữu ích trong nhiều ứng dụng. Để nghiên cứu có hệ thống về các khung suy rộng ở trên, Sun [8] đã đưa ra khái niệm g-khung trong một không gian Hilbert phức, trong đó bao gồm các khung thông thường và cũng đã chứng minh rằng nhiều đặc tính cơ bản của khung vẫn còn đúng cho g-khung (xem[8,9]), nhưng cũng có một số khác biệt giữa khung và g-khung. Ví dụ, khung chính xác tương đương với cơ sở Riesz, nhưng g-khung chính xác không tương đương với g-cơ sở Riesz (xem [2] và [8]). Sau khi Sun giới thiệu khái niệm về g-khung ông cũng xem xét tính ổn định của g-khung trong không gian Hilbert. Những kết quả này tương tự với tính ổn định của khung với iv Luận Văn Thạc sĩ không gian Hilbert (xem [9]). Liệu tính ổn định của g-khung chính xác trong không gian Hilbert có tương tự như tính ổn định của g-khung hay không? Với mong muốn hiểu biết sâu sắc hơn về g-khung chính xác trong không gian Hilbert, nhờ sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của cô giáo TS. Nguyễn Quỳnh Nga, tôi đã mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu "g-khung chính xác trong không gian Hilbert" để thực hiện luận văn tốt nghiệp. 2. Mục đích và nghiên cứu Đề tài nhằm nghiên cứu, trình bày về các g-khung chính xác trong không gian Hilbert. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Các kiến thức cơ sở cần thiết: Một số khái niệm và kết quả về khung và cơ sở Riesz trong không gian Hilbert, tính ổn định của khung. Khái niệm và các ví dụ về g-khung trong không gian Hilbert, đặc trưng của g-khung chính xác, mối liên hệ giữa g-khung chính xác và g-cơ sở Riesz, tính ổn định của g-khung, tính ổn định của g-khung chính xác. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu :Nghiên cứu về khung, cơ sở Riesz, g-khung, g-cơ sở Riesz, g-khung chính xác trong không gian Hilbert. Phạm vi nghiên cứu : Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên quan đến g-khung và g-khung chính xác trong không gian Hilbert. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các kiến thức của giải tích hàm để nghiên cứu vấn đề. Thu thập tài liệu các bài báo về g-khung và g-khung chính xác trong không gian Hilbert. Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất. Đỗ Thị Hoa v K19 Toán Giải tích Luận Văn Thạc sĩ 6. Đóng góp của luận văn Luận văn trình bày tổng quan về g-khung chính xác trong không gian Hilbert. Đỗ Thị Hoa vi K19 Toán Giải tích Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng ta sẽ nhắc lại một số các khái niệm và kết quả cơ bản để chuẩn bị cho chương sau. Nội dung của chương này được tham khảo trong các tài liệu [2], [7]. 1.1 Toán tử tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert Toán tử tuyến tính T từ không gian Hilbert H vào không gian Hilbert K là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn, nghĩa là, tồn tại hằng số c > 0 sao cho ||T (x)|| ≤ c||x||, với mọi x ∈ H. Ký hiệu L(H, K) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ H vào K. Khi H = K thì L(H, K) được ký hiệu đơn giản là L(H). Chuẩn của T ∈ L(H, K) được định nghĩa là hằng số c nhỏ nhất thỏa mãn ||T (x)|| ≤ c||x||, với mọi x ∈ H. Nói một cách tương đương, ||T || = sup{||T (x)|| : x ∈ H, ||x|| ≤ 1} = sup{||T (x)|| : x ∈ H, ||x|| = 1}. Định lý 1.1.1 Cho T ∈ L(H) và ||I − T || < 1. Khi đó T là khả nghịch. Mệnh đề 1.1.1 Giả sử H, L, K là các không gian Hilbert. Nếu T ∈ L(H, K) thì tồn tại duy nhất một phần tử T ∗ ∈ L(K, H) sao cho T ∗ (x), y = x, T (y) , (x ∈ K, y ∈ H). 1 Luận Văn Thạc sĩ Hơn nữa, i)(aS + bT )∗ = aS ∗ + bT ∗ . ii)(RS)∗ = S ∗ R∗ . iii)(T ∗ )∗ = T. iv)I ∗ = I. v)Nếu T khả nghịch thì T ∗ cũng khả nghịch và (T −1 )∗ = (T ∗ )−1 , trong đó S, T ∈ L(H, K), R ∈ L(K, L) và a, b ∈ C. Toán tử T ∗ ở Mệnh đề 1.1.1 được gọi là toán tử liên hợp của toán tử T. Mệnh đề 1.1.2 Giả sử T ∈ L(H, K) và S ∈ L(K, L). Khi đó i)||T (x)|| ≤ ||T ||.||x||. ii)||ST || ≤ ||S||.||T ||. iii)||T || = ||T ∗ ||. iv)||T T ∗ || = ||T ||2 . Cho T ∈ L(H). T được gọi là toán tử tự liên hợp nếu T ∗ = T, là unita nếu T ∗ T = T T ∗ = I. T được gọi là dương (ký hiệu T ≥ 0) nếu T (x), x ≥ 0 với mọi x ∈ H. T, K ∈ L(H), T ≥ K nếu T − K ≥ 0. Chú ý rằng với mỗi T ∈ L(H) thì T ∗ T (x), x = T (x), T (x) ≥ 0 với mọi x ∈ H. Do đó T ∗ T là dương. Mệnh đề 1.1.3 Giả sử T ∈ L(H). Khi đó i) T là tự liên hợp nếu và chỉ nếu T (x), x là thực với mọi x ∈ H. Đặc biệt, toán tử dương là tự liên hợp. ii) T là unita nếu và chỉ nếu T là ánh xạ bảo toàn chuẩn (hay tương đương là bảo toàn tích vô hướng) từ H lên H. Mệnh đề 1.1.4 Nếu U ∈ L(H) là toán tử tự liên hợp thì ||U || = sup | U (f ), f |. ||f ||=1 Chúng ta thường mong muốn tìm một dạng nghịch đảo cho một toán tử mà không phải là khả nghịch theo nghĩa hẹp. Bổ đề dưới đây đưa ra một điều kiện để đảm bảo sự tồn tại của một nghịch đảo phải. Bổ đề 1.1.1 Cho H, K là các không gian Hilbert, và giả sử rằng U : K → H là một toán tử tuyến tính bị chặn với miền giá trị đóng RU . Khi đó tồn tại một toán tử bị chặn U + : H → K mà U U + (f ) = f, ∀f ∈ RU . Đỗ Thị Hoa 2 K19 Toán Giải tích Luận Văn Thạc sĩ Chứng minh. Xét hạn chế của U trên phần bù trực giao của hạt nhân của U, tức là ⊥ ˜ ⊥ U = U |NU : NU → H. ˜ ˜ ˜ Rõ ràng U là tuyến tính và bị chặn. U cũng là đơn ánh: nếu U (x) = 0, ⊥ theo đó x ∈ NU ∩ NU = {0}. Bây giờ ta chứng minh rằng miền giá trị ˜ của U bằng với miền giá trị của U. Cho y ∈ RU , tồn tại x ∈ K sao cho ⊥ U (x) = y. Bởi x = x1 + x2 , trong đó x1 ∈ NU , x2 ∈ NU , ta có được ˜ U (x1 ) = U (x1 ) = U (x1 + x2 ) = U (x) = y. ˜ Mà U có một nghịch đảo bị chặn ⊥ ˜ (U )−1 : RU → NU . ˜ Thác triển (U )−1 bằng cách cho bằng 0 trên phần bù trực giao của RU ta có được một toán tử bị chặn U + : H → K mà U U + (f ) = f với mọi f ∈ RU . Toán tử U + được xây dựng trong chứng minh Bổ đề 1.1.1 được gọi là giả nghịch đảo của U. Trong các tài liệu ta thường thấy giả nghịch đảo của một toán tử U với miền giá trị đóng RU được định nghĩa là toán tử duy ⊥ ⊥ nhất thỏa mãn NU + = RU , RU + = NU và U U + (f ) = f, ∀f ∈ RU . Định nghĩa này tương đương với việc xây dựng trên. 1.2 1.2.1 Khung và cơ sở Riesz trong không gian Hilbert Khung trong không gian Hilbert Trong nghiên cứu không gian véctơ, một trong những khái niệm quan trọng nhất là cơ sở, cho phép biểu diễn mỗi phần tử ở trong không gian như một tổ hợp tuyến tính của các thành phần trong cơ sở. Tuy nhiên điều kiện là cơ sở rất hạn chế - không cho phép sự phụ thuộc tuyến tính giữa các thành phần và đôi khi chúng ta yêu cầu các thành phần trực giao tương ứng với một tích vô hướng. Điều này làm cho khó tìm hoặc thậm chí không thể tìm thấy cơ sở đáp ứng điều kiện bổ sung và đây là lý do người ta muốn tìm một công cụ linh hoạt hơn. Khung là công cụ như vậy. Một khung cho một không gian vectơ được trang bị một tích vô hướng cũng cho phép mỗi phần tử trong không gian Đỗ Thị Hoa 3 K19 Toán Giải tích Luận Văn Thạc sĩ được viết như là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong khung, nhưng tính độc lập tuyến tính giữa các phần tử của khung là không cần thiết. Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản trong lý thuyết khung cần đến cho chương 2. Các kết quả ở mục này có thể tham khảo ở tài liệu [2]. Cho H là một không gian Hilbert khả ly, với tích vô hướng ·, · tuyến tính theo thành phần thứ nhất, tuyến tính liên hợp theo thành phần thứ hai. Định nghĩa 1.2.1 Dãy {fi }∞ trong H được gọi là dãy Bessel nếu i=1 ∞ | f, fi |2 ≤ B||f ||2 , ∀f ∈ H. ∃B > 0 : (1.1) i=1 B được gọi là cận Bessel của {fi }∞ . i=1 Định nghĩa 1.2.2 Một dãy {fi }∞ trong H được gọi là một khung nếu i=1 tồn tại hai hằng số 0 < A ≤ B < ∞ sao cho ∞ 2 | f, fi |2 ≤ B||f ||2 , ∀f ∈ H. A||f || ≤ (1.2) i=1 Các số A, B được gọi là các cận của khung. Chúng không là duy nhất. Cận khung dưới tối ưu là superemum trên tất cả các cận khung dưới và cận khung trên tối ưu là infimum trên tất cả các cận khung trên. Chú ý rằng, các cận khung tối ưu là các cận khung thực sự. Khung {fi }∞ được gọi là chặt nếu A = B và được gọi là khung Parseval i=1 nếu A = B = 1. Mệnh đề 1.2.1 Cho một dãy {fj }m trong không gian Hilbert H. Khi đó j=1 m {fj }j=1 là một khung cho span {fj }m . j=1 Chứng minh. Ta có thể giả sử rằng không phải tất cả các fi đều bằng m m 2 | f, fj | ≤ không. Do j=1 m 2 2 ||fj ||2 )||f ||2 nên điều ||f || ||fj || = ( j=1 j=1 m ||fj ||2 . Bây giờ lấy kiện khung trên là thỏa mãn với B = j=1 Đỗ Thị Hoa 4 K19 Toán Giải tích Luận Văn Thạc sĩ W := span{fj }m và xem xét ánh xạ liên tục j=1 m | f, fj |2 . Φ : W → R, Φ(f ) := j=1 Mặt cầu đơn vị trong W là compact, vì vậy ta có thể tìm g ∈ W với ||g|| = 1 sao cho   m  m  2 2 A := | g, fj | = inf | f, fj | : f ∈ W, ||f || = 1 .   j=1 j=1 Rõ ràng là A > 0. Bây giờ ta lấy f ∈ W, f = 0, ta có m m 2 | f, fj | = j=1 | j=1 f , fj |2 ||f ||2 ≥ A||f ||2 . ||f || Mệnh đề được chứng minh. Ví dụ 1.2.1. Lấy H = R2 , e1 = (0, 1)T , e2 = √ 3 1 2 ,2 √ T , e3 = 3 Khi đó {e1 , e2 , e3 } là một khung chặt với cận khung là . 2 Thật vậy, với x = (x1 , x2 )T ∈ R2 bất kì, ta có √ √ 2 3 3 3 1 1 2 2 | x, ej | = x2 + x1 + x2 + x1 − x2 2 2 2 2 j=1 3 1 2 , −2 T 2 3 2 [x1 + x2 ] 2 2 3 = ||x||2 . 2 = Ví dụ 1.2.2. Giả sử {ek }∞ là một cơ sở trực chuẩn của H. Khi đó k=1 (i) {ek }∞ là khung Parseval. Thật vậy, do {ek }∞ là cơ sở trực chuẩn k=1 k=1 m | f, ek |2 = ||f ||2 với mọi f ∈ H. Từ đó theo định nghĩa của H nên k=1 {ek }∞ k=1 là khung Parseval của H. (ii) Bằng cách lặp mỗi phần tử trong dãy {ek }∞ hai lần ta thu được k=1 ∞ ∞ {fk }k=1 = {e1 , e1 , e2 , e2 , ...} khi đó {fk }k=1 là khung chặt với cận khung A = 2. Đỗ Thị Hoa 5 K19 Toán Giải tích . Luận Văn Thạc sĩ ∞ ∞ 2 | f, ek |2 = 2||f ||2 , với mọi f ∈ H. | f, fk | = 2 Thật vậy, ta có j=1 k=1 Nếu chỉ e1 được lặp lại ta thu được {fk }∞ = {e1 , e1 , e2 , e3 , ...} khi đó k=1 ∞ {fk }k=1 là khung với cận A = 1, B = 2. Thật vậy, ta có ∞ ∞ 2 | f, ek |2 2 | f, fk | = | f, e1 | + k=1 k=1 ∞ ∞ | f, ek |2 2 | f, ek | + ≤ k=1 k=1 ∞ | f, ek |2 = 2 k=1 = 2||f ||2 . ∞ ∞ 2 2 Mặt khác | f, e1 | + | f, ek |2 = ||f ||2 . | f, ek | ≥ k=1 Do đó k=1 ∞ | f, fk |2 ≤ 2||f ||2 , ∀f ∈ H. 2 ||f || ≤ k=1 Vì vậy {fk }∞ là một khung với một cận khung dưới là 1 và một cận k=1 khung trên là 2. Định nghĩa 1.2.3 Dãy {fk }∞ được gọi là đầy đủ trong H nếu k=1 span{fk }∞ = H. k=1 Bổ đề 1.2.1 Nếu {fk }∞ là một khung của H thì {fk }∞ là một dãy đầy k=1 k=1 đủ trong H. Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử g = 0 thuộc H sao cho g ⊥ span{fk }∞ . Suy ra g, fk = 0, ∀k . k=1 ∞ | g, fk |2 = 0. Mặt khác, do {fk } là một khung nên tồn tại Khi đó k=1 ∞ | f, fk |2 , ∀f ∈ H. Cho f = g ta 2 0 < A < +∞ sao cho A||f || ≤ k=1 Đỗ Thị Hoa 6 K19 Toán Giải tích Luận Văn Thạc sĩ ∞ được A||g||2 ≤ chứng tỏ | g, fk |2 = 0. Do g = 0 nên A = 0. Mâu thuẫn trên k=1 span{fk }∞ k=1 = H. Định lý 1.2.1 Giả sử {fk }∞ là một dãy trong H. Khi đó {fk }∞ là một k=1 k=1 dãy Bessel với cận Bessel B khi và chỉ khi ∞ T : {ck }∞ k=1 → ck fk (1.3) k=1 là toán tử hoàn toàn xác định bị chặn từ l2 (N) vào H và ||T || ≤ √ B. Chứng minh. Trước hết, giả thiết {fk }∞ là dãy Bessel với cận Bessel B. k=1 ∞ 2 Giả sử {ck }k=1 ∈ l (N). Ta phải chỉ ra T ({ck }∞ ) là hoàn toàn xác định, k=1 ∞ ck fk hội tụ. Xét m, n ∈ N, n > m. Khi đó tức là k=1 n m ck fk − k=1 n ck fk = ck fk k=1 k=m+1 n ck fk , g | = sup | ||g||=1 k=m+1 n ≤ sup |ck fk , g | ||g||=1 k=m+1 n n 2 ≤ ( | fk , g |2 ) 2 |ck | ) sup ( ||g||=1 k=m+1 k=m+1 ≤ 1 1 2 n √ 1 |ck |2 ) 2 . B( k=m+1 n |ck |2 }∞ là dãy Cauchy trong C. n=1 Do {ck }∞ ∈ l2 (N), ta biết rằng { k=1 k=1 n ∞ k=1 ck fk }n=1 Tính toán trên chỉ ra rằng { là một dãy Cauchy trong H và do đó hội tụ. Vậy T ({ck }∞ ) là hoàn toàn xác định. Từ k=1 ||T ({ck }∞ )|| = sup | T ({ck }∞ ), g | k=1 k=1 ||g||=1 Đỗ Thị Hoa 7 K19 Toán Giải tích Luận Văn Thạc sĩ ∞ = sup | ||g||=1 ck fk , g | k=1 ∞ |ck fk , g | ||g||=1 k=1 ∞ ∞ 1 2 2 |ck | ) sup ( ( ||g||=1 k=1 k=1 ∞ √ 1 |ck |2 ) 2 . B( k=1 ≤ sup ≤ ≤ 1 | fk , g |2 ) 2 √ Từ đó T bị chặn và ||T || ≤ B. Để chứng minh điều ngược lại, giả sử√ : l2 (N) → H được xác định bởi T (1.3) là hoàn toàn xác định và ||T || ≤ B. Gọi T ∗ : H → l2 (N) là toán tử liên hợp của T . Gọi {ej }∞ là cơ sở trực chuẩn chính tắc của l2 (N), tức j=1 là hệ gồm các véctơ ej , bằng 1 ở vị trí thứ j , bằng 0 ở các vị trí còn lại. Từ (1.3) ta suy ra T (ek ) = fk . Khi đó T ∗ (f ), ek = f, T (ek ) = f, fk . Từ đó T ∗ (f ) = { f, fk }∞ k=1 (1.4) và ∞ | f, fk |2 = ||T ∗ (f )||2 ≤ ||T ∗ ||2 ||f ||2 = ||T ||2 ||f ||2 ≤ B||f ||2 . k=1 Do đó {fk }∞ là dãy Bessel với cận Bessel B. k=1 ∞ Hệ quả 1.2.1 Nếu {fk }∞ k=1 {ck }∞ k=1 {fk }∞ k=1 là một dãy trong H và ck fk hội tụ với mọi k=1 2 ∈ l (N) thì là một dãy Bessel. ∞ gk trong không gian Banach X được gọi là Định nghĩa 1.2.4 Chuỗi k=1 ∞ gσ(k) hội tụ tới cùng một phần tử với mọi hội tụ không điều kiện nếu k=1 hoán vị σ. Đỗ Thị Hoa 8 K19 Toán Giải tích Luận Văn Thạc sĩ ∞ Hệ quả 1.2.2 Nếu {fk }∞ là một dãy Bessel trong H thì k=1 ck fk hội tụ k=1 không điều kiện với mọi {ck }∞ k=1 2 ∈ l (N). Do một khung {fk }∞ là một dãy Bessel nên toán tử k=1 ∞ 2 T : l (N) → H, T ({ck }∞ ) k=1 ck fk = k=1 hoàn toàn xác định và bị chặn theo Định lý 1.2.1. T thường được gọi là toán tử tổng hợp. Định lý sau đây cho ta một đặc trưng của khung thông qua toán tử tổng hợp T của nó. Định lý 1.2.2 Một dãy {fk }∞ trong H là một khung của H nếu và chỉ k=1 nếu ∞ T : {ck }∞ → k=1 ck fk . k=1 là toán tử hoàn toàn xác định tuyến tính, bị chặn từ l2 (N) lên H, trong đó 1 các cận của khung là và ||T 2 || và T + là toán tử giả nghịch đảo của ||T + || T. Toán tử liên hợp T ∗ thường được gọi là toán tử phân tích. Hợp thành của T và T ∗ được gọi là toán tử khung ∞ ∗ S : H → H, S(f ) = T T (f ) = f, fk fk . k=1 Mệnh đề sau cho ta các tính chất của toán tử khung và mối liên hệ giữa các cận khung và toán tử khung của khung {S −1 (fk )}∞ với các cận khung k=1 và toán tử khung của khung {fk }∞ . k=1 Mệnh đề 1.2.2 Giả sử {fk }∞ là một khung với toán tử khung S và các k=1 cận khung A, B . Khi đó ta có các khẳng định sau. (i) S tuyến tính bị chặn, khả nghịch, tự liên hợp và là toán tử dương; (ii) {S −1 (fk )}∞ là khung với các cận B −1 , A−1 , nếu A, B là các cận tối k=1 ∞ ưu của {fk }k=1 thì các cận B −1 , A−1 là tối ưu của {S −1 (fk )}∞ . Toán tử k=1 khung của {S −1 (fk )}∞ là S −1 . k=1 Đỗ Thị Hoa 9 K19 Toán Giải tích Luận Văn Thạc sĩ Chứng minh. (i) S bị chặn như một sự hợp thành của hai toán tử bị chặn. Ta có ||S|| = ||T T ∗ || ≤ ||T ||.||T ∗ || = ||T ||2 ≤ B. Do S ∗ = (T T ∗ )∗ = T T ∗ = S, toán tử S là tự liên hợp. Bất đẳng thức A||f ||2 ≤ | f, fk |2 ≤ B||f ||2 có thể viết thông qua toán tử S là A||f ||2 ≤ S(f ), f ≤ B||f ||2 , ∀f ∈ H. Từ đó AI ≤ S ≤ BI, do đó S dương. B−A Ngoài ra, 0 ≤ I − B −1 S ≤ I và do đó B ||I − B −1 S|| = sup | (I − B −1 S)(f ), f | ≤ ||f ||=1 B−A < 1. B Do đó, theo Định lý 1.1.1 ta có S là khả nghịch. (ii) Chú ý rằng với mọi f ∈ H, ta có ∞ ∞ −1 2 | f, S (fk ) | | S −1 (f ), fk |2 = k=1 k=1 ≤ B||S −1 (f )||2 ≤ B||S −1 ||2 ||f ||2 . Nghĩa là, {S −1 (fk )}∞ là một dãy Bessel. Từ đó kéo theo toán tử khung k=1 của {S −1 (fk )}∞ hoàn toàn xác định. Theo định nghĩa nó tác động lên k=1 f ∈ H bởi ∞ ∞ −1 −1 f, S (fk ) S (fk ) = S −1 k=1 −1 S −1 (f ), fk fk k=1 −1 ≤ S SS (f ) = S −1 (f ). Điều này chỉ ra rằng toán tử khung của {S −1 (fk )}∞ bằng S −1 . Toán k=1 −1 tử S giao hoán với cả S và I . Vì thế ta có thể nhân bất đẳng thức AI ≤ S ≤ BI với S −1 , điều này cho ta B −1 I ≤ S −1 ≤ A−1 I. Đỗ Thị Hoa 10 K19 Toán Giải tích Luận Văn Thạc sĩ Tức là B −1 ||f ||2 ≤ S −1 (f ), f ≤ A−1 ||f ||2 , ∀f ∈ H. Ta có ∞ −1 | f, S −1 (fk ) |2 ≤ A−1 ||f ||2 , ∀f ∈ H. 2 B ||f || ≤ k=1 Vì vậy, {S −1 (fk )}∞ là một khung với các cận khung B −1 , A−1 . k=1 Để chứng minh tính tối ưu của các cận (trong trường hợp A, B là các cận tối ưu của {fk }∞ ), giả sử A là cận dưới tối ưu của {fk }∞ và giả k=1 k=1 1 thiết rằng cận trên tối ưu của {S −1 (fk )}∞ là C < . k=1 A Bằng cách áp dụng điều ta vừa chứng minh cho khung {S −1 (fk )}∞ có k=1 −1 ∞ −1 −1 −1 ∞ toán tử khung S , ta thu được {fk }k=1 = {(S ) S (fk )}k=1 có cận 1 dưới là > A, nhưng điều này là mâu thuẫn. C 1 Vì vậy, {S −1 (fk )}∞ có cận trên tối ưu là . Lập luận tương tự cho cận k=1 A dưới tối ưu. Khung {S −1 (fk )}∞ được gọi là khung đối ngẫu chính tắc của {fk }. k=1 Khai triển khung dưới đây là một trong những kết quả về khung quan trọng nhất. Nó chỉ ra rằng nếu {fk }∞ là một khung của H thì mọi phần k=1 tử trong H có thể biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính (vô hạn) của các phần tử khung. Do đó ta có thể xem khung như một dạng cơ sở suy rộng. Định lý 1.2.3 Giả sử {fk }∞ là một khung với toán tử khung là S . Khi k=1 đó ∞ f, S −1 (fk ) fk , ∀f ∈ H. f= (1.5) k=1 và chuỗi hội tụ không điều kiện với mọi f ∈ H. Chứng minh. Giả sử f ∈ H. Sử dụng các tính chất của toán tử khung trong Mệnh đề 1.2.2 ta có ∞ −1 ∞ −1 f = SS (f ) = S (f ), fi fi = i=1 Do ∞ {fk }∞ k=1 là một dãy Bessel và { −1 ∞ k=1 i=1 −1 f, S (fk ) }∞ ∈ l2 (N) k=1 | S −1 (f ), fk |2 ≤ B||S −1 (f )||2 < ∞), theo Hệ 2 | f, S (fk ) | = ( f, S −1 (fi ) fi , ∀f ∈ H. k=1 quả 1.2.2 chuỗi hội tụ không điều kiện. Đỗ Thị Hoa 11 K19 Toán Giải tích Luận Văn Thạc sĩ Bổ đề sau chỉ ra rằng trong các dãy {ck }∞ biểu diễn f = k=1 −1 ∞ 2 { f, S (fk ) }k=1 có chuẩn l nhỏ nhất. ck fk thì dãy Bổ đề 1.2.2 [2] Giả sử {fk }∞ là một khung của H và f ∈ H. Nếu f có k=1 ∞ ck fk với các hệ số {ck }∞ nào đó thì k=1 biểu diễn f = k=1 ∞ ∞ ∞ −1 2 | f, S (fk ) | + |ck | = (1.6) k=1 k=1 k=1 |ck − f, S −1 (fk ) |2 . 2 Định lý 1.2.4 Việc loại bỏ véc tơ fj ra khỏi một khung {fk }∞ của H sẽ k=1 tạo thành một khung khác hoặc một dãy không đầy đủ. Cụ thể hơn, nếu fj , S −1 (fj ) = 1 thì {fk }k=j là một khung của H, nếu fj , S −1 (fj ) = 1 thì {fk }k=j là một dãy không đầy đủ. Chứng minh. Chọn bất kỳ j ∈ N. Do (1.5) ta có ∞ fj , S −1 (fk ) fk . fj = k=1 ∞ Đặt ak = fj , S −1 (fk ) vì thế fj = ak fk . Rõ ràng, ta cũng có k=1 ∞ fj = δj,k fk vì thế Bổ đề 1.2.2 mang lại quan hệ sau giữa δj,k và ak . k=j ∞ ∞ 2 |δj,k | 1= k=1 ∞ 2 |ak − δj,k |2 |ak | + = k=1 k=1 2 |ak |2 + |aj − 1|2 + = |aj | + k=j |ak |2 . k=j Ta xét từng trường hợp aj = 1 và aj = 1. Đầu tiên, cho aj = 1, từ công thức trên k=j |ak |2 = 0, vì vậy mà ak = S −1 (fj ), fk = 0, ∀k = j. Từ aj = S −1 (fj ), fk = 1, ta biết S −1 (fj ) = 0. Vì vậy, ta tìm được phần tử khác không S −1 (fj ) mà trực giao với {fk }k=j , vì thế {fk }k=j là không đầy đủ. Đỗ Thị Hoa 12 K19 Toán Giải tích Luận Văn Thạc sĩ 1 1 − aj đẳng thức Cauchy-Schwarz cho ta Bây giờ cho aj = 1, thì fj = | f, fj |2 = | ≤ 1 1 − aj k=j ak fk . Với bất kỳ f ∈ H, Bất ak f, fk |2 k=j 1 |1 − aj |2 | f, fk |2 |ak |2 k=j k=j | f, fk |2 , = C k=j trong đó C = {fk }∞ k=1 1 |1 − aj |2 |ak |2 . Giả sử A kí hiệu cận khung dưới của k=j thì ∞ 2 | f, fk |2 = A||f || ≤ k=1 | f, fk |2 + | f, fk |2 ≤ (1 + C) k=j | f, fk |2 k=j suy ra rằng {fk }k=j thỏa mãn điều kiện khung dưới với cận dưới A , 1+C rõ ràng {fk }k=j cũng thỏa mãn điều kiện khung trên. Định nghĩa 1.2.5 Khung {fk }∞ được gọi là khung chính xác nếu nó k=1 không còn là khung nữa khi bất kỳ một phần tử nào của nó bị loại bỏ. 1.2.2 Cơ sở Riesz trong không gian Hilbert Định nghĩa 1.2.6 Một cơ sở Riesz trong H là một họ có dạng {U (ek )}∞ , k=1 ∞ trong đó {ek }k=1 là một cơ sở trực chuẩn của H và U :H→H là một toán tử tuyến tính song ánh bị chặn. Định lý sau cho ta các điều kiện tương đương để {fk }∞ là một cơ sở k=1 Riesz. Định lý 1.2.5 [2] Cho một dãy {fk }∞ trong H. Khi đó các điều kiện k=1 sau là tương đương. (i) {fk }∞ là một cơ sở Riesz của H; k=1 Đỗ Thị Hoa 13 K19 Toán Giải tích