Tài liệu Đề thi thử quốc gia lần 2 năm 2015 môn toán trường thpt nông cống 1, thanh hóa

TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG I TỔ TOÁN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 2 MÔN THI: TOÁN 12 Thời gian: 180 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1 ( 2 điểm ) Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 2 (1) a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (1) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( d ) : x + 9y −1 = 0 . Câu 2 ( 1 điểm ) Giải phương trình: log32 x − log Câu 3 ( 1 điểm ) Tìm nguyên hàm sau: F ( x ) = (9x ) −1 = 0 2 3 sin x ∫ 1+ cos x dx Câu 4 ( 1 điểm ) 1 2 3 a. Tìm n ∈ N biết Cn+1 + 3Cn+2 = Cn+1 b. Cho 100 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 100, chọn ngẫu nhiên 3 thẻ. Tính xác suất để tổng các số ghi trên 3 thẻ được chọn là một số chia hết cho 2. Câu 5 ( 1 điểm ) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho các điểm A ( 0;1;2) , B ( 0;2;1) , C (−2;2;3) . Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác và tính đường cao AH của nó. Câu 6 ( 1 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy là trung điểm H của AD , góc giữa SB và mặt phẳng đáy ( ABCD) là 450 . a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BH theo a Câu 7 ( 1 điểm ) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn (C ) tâm I ( xI > 0) , (C ) đi qua điểm A (−2;3) và tiếp xúc với đường thẳng ( d1 ) : x + y + 4 = 0 tại điểm B . (C ) cắt ( d2 ) : 3x + 4y −16 = 0 tại C và D sao cho ABCD là hình thang có hai đáy là AD và BC , hai đường chéo AC , BD vuông góc với nhau. Tìm toạ độ các điểm B , C , D " x 2 + xy + 2y 2 + y 2 + xy + 2x 2 = 2 x + y ( ) $ Câu 8 ( 1 điểm ) Giải hệ phương trình: # $%(8y − 6 ) x −1 = 2 + y − 2 y + 4 x − 2 + 3 ( )( ) Câu 9 ( 1 điểm ) Cho x , y là các số thực không âm thoả mãn: 2 2x 2 + 3xy + 4y 2 + 2y 2 + 3xy + 4x 2 − 3 ( x + y) ≤ 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của: P = 2 ( x 3 + y 3 ) + 2 ( x 2 + y 2 ) − xy + x 2 +1 + y 2 +1 ---------------- Hết ---------------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ........................................ Số báo danh: ..................................... 1 TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG I TỔ TOÁN ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 2 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 180 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1 2 điểm Đáp án a. Khảo sát đủ các bước, đồ thị vẽ dễ nhìn chấm điểm tối đa Điểm 1,0 b. Gọi M ( a;a 3 − 3a 2 + 2 ) là tiếp điểm, do tiếp tuyến vuông góc với ( d ) . Nên 0,25 có: y' ( a ) = 9 2 1 điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Hay 3a 2 − 6a − 9 = 0 ⇔ a = −1 hoặc a = 3 Với a = −1 PTTT là: y = 9x + 7 Với a = 3 PTTT là: y = 9x − 25 ĐK: x > 0 PT đã cho tương đương với: log32 x − 4 log3 x − 5 = 0 "log x = −1 Hay: $ 3 #log3 x = 5 1 Vậy PT có nghiệm: x = hoặc x = 35 3 3 1 điểm Ta có F ( x ) = 4 1 điểm a. 0.5 điểm ĐK: n ∈ N, n ≥ 2 sin x ∫ 1+ cos x dx = − ∫ Từ đề ra ta có: n +1+ 3 0,25 0,25 d (1+ cos x ) = − ln (1+ cos x ) + C 1+ cos x 0,25 (n + 2)! = (n +1)! 2!n! 3!( n − 2 )! ⇔ n 2 −10n − 24 = 0 0,25 0,25 + Trong 3 số có một số chẵn, hai số lẽ số cách chọn là: C C 0,25 Vậy xác suất tính được là: 6 2 điểm 0,25 Giải ra ta được: n = 12 hoặc n = −2 Đối chiếu ĐK ta được n = 12 b. 0.5 điểm 3 Số phần tử của không gian mẫu là: C100 . Do tổng 3 số được chọn chia hết cho 2 nên ta có các trường hợp sau: 3 + Cả 3 số đều chẵn, số cách chọn là: C50 1 50 5 1 điểm 1,00 2 50 3 1 2 C50 + C50 C50 1 = 3 C100 2 0,25 0,25 0,25 !!!" !!!" !!!" !!!" Ta có AB ( 0;1;−1) , AC (−2;1;1) . Do AB ≠ k AC nên ABC là một tam giác !!!" !!!" Nhận thấy AB.AC = 0 nên ΔABC vuông tại A . 3 1 1 1 2 Vậy = + = . Hay AH = 2 2 2 2 AH AB AC 3 0,5 0,5 a. 0.5 điểm Do SH ⊥ ( ABCD ) nên góc giữa SB và mặt phẳng đáy ( ABCD) ∠SBH = 450 . Ta có ΔSBH vuông cân tại H vậy SH = BH = a 2 là góc 0,25 2 1 2a 3 2 Ta có VS. ABCD = SH.dt ( ABCD ) = (đvtt) 3 3 a. 0.5 điểm Gọi K là trung điểm cử BC , ta có BH / /DK ⇒ BH / / ( SDK ) suy ra 0,25 0,25 d ( BH;SD ) = d ( BH; ( SDK )) = d ( H; ( SDK )) Tứ diện SHDK vuông tại H nên 1 1 1 1 5 = + + = 2 2 2 2 d ( H; ( SDK )) HS HK HD 2a 2 2 Vậy d ( BH;SD ) = d ( H; ( SDK )) = a 5 7 1 điểm Do ABCD là hình thang nội tiếp đường tròn nên ABCD là hình thang cân. Do hai đường chéo vuông góc với nhau tại K nên ΔBKC vuông cân tại K, suy ra ∠ACB = 450 ⇒ ∠AIB = 90 0 (góc ở tâm cùng chắn cung AB) hay IB ⊥ AI (1) Lại do ( d1 ) tiếp xúc IB = d ( A / d1 ) = (C ) tại B nên IB ⊥ ( d1 ) (2). Từ (1), (2) suy ta 0,25 5 , ( AI / / ( d1 ) ) 2 # 1 a= % 5 2 Ta có PT AI : x + y −1 = 0 , do I ∈ AI ⇒ I ( a;1− a ) , IA = ⇔% 2 %a = − 9 %$ 2 !1 1$ Vậy I # ; & do ( x I > 0 ) "2 2% 2 8 1 điểm 0,25 0,25 2 " 1 % " 1 % 25 PT đường tròn (C ) : $ x − ' + $ y − ' = # 2& # 2& 2 2 2 (" 1 % " 1 % 25 *$ x − ' + $ y − ' = Xét hệ )# 2& # 2& 2 ⇔ ( x; y) = ( 0; 4) hoặc ( x; y ) = ( 4;1) * +3x + 4y −16 = 0 B là hình chiếu của I lên ( d1 ) tính được B (−2;−2 ) 0,25 Do AD / /BC nên B (−2;−2 ) , C ( 4;1) , D ( 0; 4) 0,25 ĐK: x; y ≥ 2 0,25 2 PT(1) ⇔ PT 2 !x$ x !x$ x !x $ x # & + + 2 + 2 # & + +1 = 2 # +1& , đặt = t;t > 0 ta được y " y% y " y% y "y % 0,25 t 2 + t + 2 + 2t 2 + t +1 = 2 (t +1) (3) với t > 0 Bình phương hai vế của (3) giải ra ta được x = y 0,25 ( )( ) Thay x = y vào (2) ta được (8x − 6 ) x −1 = 2 + x − 2 x + 4 x − 2 + 3 ⇔ " 4x − 4 $ # ( 2 2 % % " 4x − 4 +1' = 2 + x − 2 $ 2 + x − 2 +1' (4); & & # ) ( )( ) Xét hàm số f (t ) = t 3 + t luôn đồng biến trên R nên (4) ⇔ 4x − 4 = 2 + x − 2 (5) 3 Giải (5) ta được x = 2 hoặc x = 34 . Vậy hệ có 2 nghiệm 9 0,25 ! 34 34 $ ( x; y) = (2;2) hoặc #" ; &% 9 9 Ta có 9 1 điểm 2x 2 + 3xy + 4y 2 + 2y 2 + 3xy + 4x 2 = 2 2 2 2 ! ! ! ! 3 $$ ! 23 $ 3 $$ ! 23 $ y & + # 2 # y + x && + # x & ≥ 3 x + y = 3( x + y) # 2 # x + y && + # 4 %% " 8 % " " " " 4 %% " 8 % #t 2 − t ≥ 0 't = 0 dấu bằng xảy ra khi x = y ≥ 0 . Đặt x + y = t ta có $ (*) ⇔) (t ≥ 1 %t ≥ 0 0,25 Ta có P = 2t 3 + 2t 2 − xy ( 6t + 5) + x 2 +1 + y 2 +1 , 0,25 t2 P ≥ 2t + 2t − ( 6t + 5) + t 2 + 4 ⇔ 4P ≥ 2t 3 + 3t 2 + 4 t 2 + 4 = f (t ) 4 3 2 Xét hàm số f (t ) = 2t 3 + 3t 2 + 4 t 2 + 4 trên (*), f ' (t ) = 6t 2 + 6t + 4t t2 + 4 ≥0 0,25 với mọi t thoả mãn (*). Suy ra f (t ) ≥ { f ( 0 ); f (1)} = f ( 0 ) = 8 "x = y ≥ 0 Vậy 4P ≥ f (t ) ≥ f ( 0 ) = 8 . Hay min P = 2 đạt được khi # ⇔x=y=0 $x + y = 0 0,25 4