Tài liệu Đề thi olympic lớp 7 môn toán trường xuân dương năm 2014 - 2015

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH OAI TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH OLIMPIC LỚP 7 NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đềʚ) Bài 1: (6đ) a) Tính: A = 1 + 3 4 5 100  4  5  ...  100 3 2 2 2 2 b) Tìm x biết: 3x - 2 x  1 = 2 c) Chứng minh rằng: 1 1 1 1    ....   10 . 1 2 3 100 Bài 2: (4đ) a)Tính giá trị của đa thức sau: A = x2 + x4 + x6 + x8 + …+ x100 tại x = -1. b)Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo 2 3 1 : : . Biết rằng tổng các bình phương của 5 4 6 ba số đó bằng 24309. Tìm số A. Bài 3: (4đ) a) Tìm số nguyên x sao cho: (x2 -1)( x2 -4)( x2 -7)(x2 -10) < 0. b) Tìm x, y để C = -18- 2 x  6  3 y  9 đạt giá trị lớn nhất. Bài 4: (5đ ) Cho ABC có Â > 900. Gọi I là trung điểm của cạch AC. Trên tia đối của tia IB lấy điểm D sao cho IB = ID. Nối C với D. a. Chứng minh AIB  CID b. Gọi M là trung điểm của BC; N là trung điểm của AD. Chứng minh rằng I là trung điểm của MN  c. Chứng minh  AIB  BIC d. Tìm điều kiện của ABC để AC  CD . Bài 5: (1 đ) 2 2 Tìm x, y   biết: 25  y  8( x  2009) ĐÁP ÁN CHẤM THI OLIMPIC TOÁN 7 Năm học: 2014 – 2015 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH OAI TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG Bài 1(6đ) 1 100 102  100  2  100 99 2 2 2 1 b) Nếu x  thì : 3x - 2x - 1 = 2 => x = 3 ( thoả mãn ) 2 1 Nếu x < thì : 3x + 2x + 1 = 2 => x = 1/5 ( loại ) 2 a) A = 2 - Vậy: x = 3 c)Có 1 1 ; 1 10 Vậy: 1 1 ; 2 10  1 1  1 2   1 3 1 1 ; …..; 3 10   ....  1 100  100. 1 1 . 100 10  1  10 10 Bài 2(4đ) a)A = x2 + x4 + x6 + x8 + …+ x100 tại x = - 1 A = (-1)2 + (-1)4 + (-1)6 +…+ (-1)100 = 1 + 1 + 1 +…+ 1 = 50 (có 50 số hạng) b)Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A. Theo đề bài ta có: a : b : c = 2 3 1 : : (1) 5 4 6 và a2 +b2 +c2 = 24309 (2) a b c 2 3 k   = k  a  k;b  k; c  2 3 1 5 4 6 5 4 6 4 9 1 Do đó (2)  k 2 (   )  24309 25 16 36  k = 180 và k = 180 (2đ ) (1đ) (1đ) (1đ) (1đ) ( 2đ) (0.5đ) Từ (1)  + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30. Khi đó ta có số A = a + b + c = 237. + Với k = 180 , ta được: a = 72 ; b = 135 ; c = 30 Khi đó ta có só A = 72 +( 135 ) + ( 30 ) = 237 . Bài 3(4đ) a)Vì tích của 4 số : x2 – 1 ; x2 – 4; x2 – 7; x2 – 10 là số âm nên phải có 1 số âm hoặc 3 số âm. Ta có : x2 – 10< x2 – 7< x2 – 4< x2 – 1. Xét 2 trường hợp: (0.25đ) (0.25đ ) (0.5đ) ( 0.5đ) (1đ) + Có1 số âm : x2 – 10 < x2 – 7  x2 – 10 < 0 < x2 – 7  7< x2 < 10  x2 =9 ( do x  Z )  x =  3. + Có 3 số âm, 1 số dương. x2 – 4< 0< x2 – 1  1 < x2 < 4 do x Z nên không tồn tại x Vậy x =  3 b)Ta có C = -18 - ( 2 x  6  3 y  9 )  -18 Vì 2 x  6 0; 3 y  9 0 2 x  6  0 x = 3 vµ y = -3 3 y  9  0 Max C = -18   Bài 4(5đ) Vẽ hình a. AIB  CID (c.g.c) b. AID  CIB (c.g.c)  MIB  NID (c.g.c) M, I, N thẳng hàng và IM = IN Do vậy: I là trung điểm của MN   900     900    AIB  900  BIC AIB  BIC c. AIB có BAI d. Nếu AC vuông góc vớii DC thì AB vuông góc với AC do vậy tam giác ABC vuông tại A Bài 5: (1 đ) 25  y2  8(x  2009)2 Ta có 8(x-2009)2 = 25- y2 8(x-2009)2+y2=25(*) Vì y2  0 nên (x-2009)2  25 , suy ra (x-2009)2 = 0 hoặc (x-2009)2 =1 8 (0,5đ) (0.5đ) (0,5 đ) (1đ) (1đ) (1đ ) (1đ ) (0,5đ ) (0,5đ ) (1đ ) (1đ ) (0.25đ) (0.25đ) Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta có y2 = 17 (loại) Với (x- 2009)2 = 0 thay vào (*) (0.25đ) 2 ta có y =25 suy ra y = 5 (do y   ) Từ đó tìm được (x=2009; y=5) Người ra đề: Đặng thị Tám Người soát đề: Quách Thị Hồng Ánh (0.25đ )