Tài liệu Skkn rèn kỹ năng tìm lời giải bài toán chứng minh hình học lớp 7

MỤC LỤC Trang A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. Lí do chọn đề tài. 2 II. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2 III. Đối tượng và phương pháp nghiên cứu. 3 IV. Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu B. NỘI DUNG 3 4 I. Cơ sở lí luận 4 II. Thực trạng của việc học Toán ở trường THCS An Dương. 4 III. Biện pháp thực hiện 6 1. Đối với học sinh 6 2. Đối với giáo viên 6 2.1. Các phương pháp chứng minh hình học 7. 2.2. Rèn kỹ năng chứng minh hình học cho học sinh . 6 8 2.3. Phương pháp chung để tìm lời giải bài toán. 9 2.4. Các ví dụ minh hoạ. 10 2.5. Vận dụng vào soạn và dạy một tiết luyện tập. 16 2.6. Bài tập áp dụng IV. Kết quả đạt được * Rút kinh nghiệm. C. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 23 24 25 A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: 1 Theo định hướng đổi mới phương pháp dạy học toán hiện nay ở trường THCS là tích cực hoá các hoạt động của học sinh, khơi dậy và phát triển năng lực tự học. Nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui và hứng thú học tập cho học sinh. Trong chương trình hình học THCS các bài tập yêu cầu chứng minh chiếm tỉ lệ lớn nên yêu cầu giáo viên giảng dạy cần hướng dẫn học sinh tìm cách chứng minh bài toán chứ không đơn thuần là giúp học sinh có được lời giải bài toán. Thông qua việc hướng dẫn của giáo viên giúp học sinh tự đúc kết được phương pháp chứng minh tiến tới có được phương pháp học tập bộ môn hình học. Với chương trình hình học lớp 6, học sinh mới chỉ làm quen với các khái niệm mở đầu về hình học. Học sinh được tiếp cận kiến thức bằng con đường qui nạp không hoàn toàn, từ quan sát, thử nghiệm, đo đạc, vẽ hình để đi dần đến kiến thức mới. Học sinh nhận thức các hình và mối quan hệ giữa chúng bằng mô tả trực quan với sụ hỗ trợ của trực giác, của tưởng tượng là chủ yếu. Lên lớp 7, học sinh bước đầu làm quen với các mối quan hệ vuông góc, song song, bằng nhau,...Với yêu cầu kỹ năng từ thấp đến cao đòi hỏi phải có sự suy luận lôgíc hợp lý, khả năng sử dụng ngôn ngữ chính xác thông qua các bài tập chứng minh. Việc làm quen và tiếp cận với bài toán chứng minh đối với học sinh lớp 7 còn mới mẻ nên đa số học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc học tập hình học, từ phần nắm bắt lý thuyết, các định nghĩa, các định lý, tiên đề,… đến việc hoàn thiện các chứng minh dạng toán, các lập luận, suy luận để đến điều phải chứng minh. Hầu hết học sinh chưa cảm nhận được cái hay, cái đẹp ở hình học, rất ngại khi học hình học vì nhiều nguyên nhân khác nhau dẫn tới kết quả học tập chưa cao, đặc biệt là việc tư duy chứng minh một bài toán hình học đối với các em còn nhiều khó khăn. Chính vì vậy việc rèn luyện cho học sinh hình thành và phát triển tư duy hình học và có kỹ 2 năng chứng minh thành thạo một số bài toán chứng minh hình học cơ bản từ đó có khả năng khám phá những bài toán nâng cao là một yêu cầu cần thiết đối với việc giảng dạy phân môn hình học ở bậc THCS đặc biệt đối với học sinh lớp 7. Với các lý do trên nên tôi chọn đề tài: “Rèn kỹ năng tìm lời giải bài toán chứng minh hình học lớp 7”. II. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU. 1. Mục đích: - Thông qua đề tài tôi muốn trao đổi thêm về phương pháp giảng dạy môn hình học 7 để có hiệu quả giảng dạy cao nhất. - Giúp cho học sinh có hướng suy nghĩ, tìm tòi lời giải cho một bài toán chứng minh hình học, nhằm dần hình thành kỹ năng phân tích, tổng hợp kiến thức, giúp phát triển tư duy và rèn khả năng tự học cho học sinh, đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục. 2. Nhiệm vụ: - Khảo sát chất lượng học tập của học sinh về môn Toán tại lớp mình giảng dạy. - Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả học tập chưa cao ở học sinh. - Phân loại đối tượng học sinh nhằm lựa chọn biện pháp thích hợp. - Thực hiện kế hoạch bồi dưỡng, phụ đạo cho học sinh. - Đúc rút kinh nghiệm cho bản thân từ thực tiễn giảng dạy. III. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. 1. Đối tượng nghiên cứu: - Học sinh lớp 7 trường THCS An Dương, quận Tây Hồ, thành phố Hà Nội. - Nội dung chương trình hình học 7. 2. Phương pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu lí luận: Đọc tài liệu. 3 - Tìm hiểu điều tra thực tiễn. - Thực nghiệm sư phạm. - Tổng kết kinh nghiệm. IV- PHẠM VI VÀ KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU - Thời gian thực hiện: 1 năm - Đề tài tập trung ở chương trình toán 7 – cụ thể, Tiết 29: “Luyện tập về trường hợp bằng nhau của tam giác góc - cạnh - góc”. B. NỘI DUNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN: 4 Trong trường THCS môn toán được coi là môn khoa học luôn được chú trọng nhất và cũng là môn có nhiều khái niệm trừu tượng. Đặc biệt phải khẳng định là phân môn hình học có nhiều khái niệm trừu tượng nhất, kiến thức trong bài tập lại phong phú rất nhiều so với nội dung lý thuyết mới học. Bên cạnh đó yêu cầu bài tập lại cao, nhiều bài toán ở dạng chứng minh đòi hỏi phải suy diễn chặt chẽ, lôgic và có trình tự. Các kiến thức trong sách giáo khoa hình học lớp 7, được trình bày theo con đường kết hợp trực quan và suy diễn, lập luận, bằng đo đạc, gấp hình, vẽ hình, quan sát,…học sinh dự đoán các kết luận hình học và tiếp cận các định lý. Nhờ đó giúp học sinh có hứng thú học tập, chịu khó tìm tòi, khám phá kiến thức. Sách giáo khoa hình học lớp 7 tiếp tục bổ sung kiến thức mở đầu của hình học phẳng lớp 6, làm quen với khái niệm mới như: hai đường thẳng vuông góc, hai đường thẳng song song, quan hệ bằng nhau của tam giác, tam giác cân, tam giác đều, định lý Pytago, quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác, các đường đồng qui trong tam giác. Chương trình hình học lớp 7 là bước chuyển tiếp quan trọng về tư duy để giúp học sinh học tập tốt được chương trình hình học lớp 8 và lớp 9. Hệ thống các bài tập đa dạng và phong phú được thể hiện dưới nhiều hình thức, phần lớn là các bài tập chứng minh, từ đó đòi hỏi học sinh phải có phương pháp phân tích hợp lý để tìm lời giải cho bài toán. Vì vậy việc hướng dẫn học sinh cách phân tích, rèn kỹ năng tìm tòi lời giải cho bài toán là hết sức quan trọng để khơi dậy hứng thú học tập, giúp học sinh học toán nhẹ nhàng, hào hứng, đạt kết quả tốt hơn. II. THỰC TRẠNG HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG THCS AN DƯƠNG 1. Đối với học sinh: Qua công tác giảng dạy toán lớp 7 ở trường THCS An Dương hiện nay, tôi nhận thấy rằng một bộ phận học sinh rất tích cực học tập, rèn luyện, có động cơ học 5 tập đúng đắn nên đã đạt kết quả tốt, thực hiện được mục tiêu học tập đã đề ra. Bên cạnh đó, đa số học sinh: - Không chú ý nghe giảng hoặc chỉ tập trung được trong thời gian ngắn, lười ghi chép bài. - Không chịu học lý thuyết nên lúng túng trong quá trình áp dụng làm bài tập. - Không biết vận dụng hoặc vận dụng chưa thành thạo các phương pháp suy luận trong giải toán, không biết sử dụng các bài toán đã giải hoặc áp dụng phương pháp giải một cách thụ động. - Không chịu suy nghĩ tìm cách giải khác nhau cho một bài toán hay mở rộng tìm lời giải cho các bài toán khác, do đó hạn chế trong việc rèn luyện năng lực giải toán. Từ đó, đa số các em cảm thấy học môn toán khô khan, khó hiểu, không có hứng thú cao đó với môn toán, điều đó đã ảnh hưởng không nhỏ tới việc học tập của các em. Kết quả khảo sát các em học sinh ở khối lớp 7 năm học 2012 - 2013 về mức độ hứng thú và kết quả học tập bộ môn toán khi chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy: - Mức độ hứng thú. Lớp Tổng số 7A2 24 Hứng thú Thái độ Bình thường Không hứng thú 6 10 8 - Chất lượng học tập. Lớp Tổng số Giỏi SL TL Khá SL TL % Trung bình SL TL % 6 Yếu SL TL % Kém SL TL % % 7A2 24 2 8,3 5 20,9 9 37,5 6 25 2 8,3 - Nguyên nhân là do ngay từ đầu cấp THCS học sinh bị lúng túng vì bước đầu đã có sự chuyển đổi về phương pháp học tập. Một bộ phận không nhỏ học sinh trên lớp không tiếp thu được bài học do các em chưa nắm chắc được kiến thức hoặc quên kiến thức. Bên cạnh đó, do trong quá trình học các thầy cô giáo chưa hướng dẫn học sinh phương pháp học tập đúng đắn, các hình thức tổ chức các hoạt động dạy học chưa phong phú nên chưa kích thích được hứng thú học tập cho học sinh. b. Đối với giáo viên. Hiện nay đa số giáo viên có tinh thần tự bồi dưỡng thường xuyên, liên tục để nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ, có trách nhiệm đối với học sinh, đối với trường lớp. Phần lớn, phương pháp giảng dạy của giáo viên đã có sự đổi mới hơn theo hướng tích cực hoá của người học, đã áp dụng công nghệ thông tin vào giảng dạy và ngày càng sử dụng có hiệu quả công cụ hữu ích này. Tuy nhiên, một bộ phận không nhỏ giáo viên còn lúng túng trong việc phân tích, hướng dẫn cho học sinh tìm ra lời giải của bài toán. Giáo viên thường phân tích xuôi chiều từ giả thiết đến kết luận, khiến học sinh không hiểu tại sao và nguyên nhân nào đưa đến lời giải của bài toán vì thế không vận dụng được vào giải các bài toán khác, do đó học sinh không biết cách học toán, cụ thể là cách suy nghĩ để tìm lời giải cho một bài toán. Đặc biệt là các bài toán chứng minh trong môn hình học, khiến học sinh tiếp thu một cách thụ động, thiếu tự tin, thiếu tính sáng tạo, dẫn đến kết quả học tập chưa cao. III. BIỆN PHÁP THỰC HIỆN: 1. Đối với học sinh: + Mỗi học sinh cần nắm chắc lý thuyết trên cơ sở tự đọc, tự học. Từ đó, với sự hướng dẫn của giáo viên, học sinh tích cực, chủ động, sáng tạo trong việc lĩnh 7 hội kiến thức mới; duy trì liên tục “học đi đôi với hành”, học lý thuyết đến đâu áp dụng vào làm bài tập luôn đến đấy, tránh tình trạng học trước quên sau; thường xuyên rèn luyện các kỹ năng giải toán để hình thành phương pháp học tập bộ môn, tạo hứng thú trong suốt quá trình học tập. + Thành lập tổ nhóm học tập toán cho HS: Chia lớp thành 5- 6 nhóm (mỗi nhóm từ 4 - 6 HS). - Đồng đều về nam và nữ. - Đồng đều về bàn học. - Trong nhóm xen lẫn những em HS khá, giỏi, trung bình, yếu và kém. 2. Đối với Giáo viên: Muốn đạt được kết quả giảng dạy tốt thì người giáo viên phải không ngừng tìm tòi, học hỏi, mạnh dạn áp dụng các phương pháp dạy học hiện đại vào giảng dạy. Tích cực tham gia các buổi sinh hoạt chuyên đề để trau dồi, nắm bắt được một số phương pháp dạy học có hiệu quả, từ đó đúc rút kinh nghiệm cho bản thân. Người giáo viên cần soạn kỹ bài trước khi lên lớp, có hệ thống các câu hỏi rõ ràng, lôgíc giúp học sinh dễ hiểu, dễ tiếp thu đồng thời giúp giáo viên tự tin hơn trong quá trình tổ chức các hoạt động dạy học. Để rèn kỹ năng chứng minh hình học cho học sinh, trước hết giáo viên cần giúp học sinh nắm vững các phương pháp chứng minh cơ bản của hình học 7 đó là: 2.1. Các phương pháp chứng minh hình học 7 . 2.1.1. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau: Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta có thể sử dụng một trong những cách sau: - Chứng minh hai đoạn thẳng có cùng số đo (hoặc biểu thị bởi cùng một biểu thức). - Chứng minh dựa vào định nghĩa tam giác cân, tam giác đều. - Chứng minh dựa vào việc chứng minh hai tam giác bằng nhau. 8 - Chứng minh dựa vào định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng, đường trung tuyến của tam giác, đường trung trực của đoạn thẳng. - Chứng minh dựa vào đường trung trực của đoạn thẳng, tính chất đường trung trực của tam giác. - Chứng minh dựa vào tính chất tia phân giác của góc, tính chất ba đường phân giác của tam giác. - Chứng minh dựa vào tính chất đường trung tuyến của tam giác. - Chứng minh dựa vào quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu. 2.1.2. Chứng minh đoạn thẳng lớn hơn trong hai đoạn thẳng: - Chứng minh dựa vào quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác (cạnh đối diện với góc lớn hơn trong một tam giác). - Chứng minh dựa vào quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên (đường vuông góc ngắn hơn mọi đường xiên). - Chứng minh dựa vào quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu (đường xiên có hình chiếu lớn hơn hoặc hình chiếu có đường xiên lớn hơn). 2.1.3. Chứng minh hai góc bằng nhau: Để chứng minh hai góc bằng nhau chúng ta có thể sử dụng một trong những cách sau: - Chứng minh dựa vào tính chất của tam giác cân, tam giác đều. - Chứng minh dựa vào tính chất của hai đường thẳng song song. - Chứng minh dựa vào tính chất của tia phân giác một góc, đường phân giác của tam giác. - Chứng minh dựa vào việc chứng minh hai tam giác bằng nhau. - Chứng minh hai góc cùng bù hoặc cùng phụ với một góc thứ ba. 2.1.4. Chứng minh góc lớn hơn trong hai góc: - Sử dụng quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong một tam giác: góc đối diện với cạnh lớn hơn trong một tam giác là góc lớn hơn. 2.1.5. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau. 9 Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc ta có thể: - Dựa vào định nghĩa chứng minh một trong các góc tạo thành bởi hai đường thẳng cắt nhau có số đo là 900 . - Dựa vào quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song. - Dựa vào tính chất của đường trung tuyến của tam giác vuông ứng với cạnh huyền thì bằng nửa độ dài cạnh huyền. - Dựa vào tính chất ba đường cao của tam giác. - Dựa vào tính chất đường trung trực của đoạn thẳng, của tam giác. - Dựa vào định lí Pytago. - Dựa vào định lý về tổng 3 góc trong một tam giác áp dụng vào tam giác vuông. - Dựa vào tính chất tia phân giác của hai góc kề bù. 2.1.6. Chứng minh hai đường thẳng song song với nhau. Để chứng minh hai đường thẳng song song với nhau ta có thể: - Chứng minh cặp góc đồng vị hoặc cặp góc so le trong bằng nhau. - Chứng minh cặp góc trong cùng phía bù nhau. - Chứng minh hai đường thẳng cùng song song hoặc cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba. 2.1.7. Chứng minh ba điểm thẳng hàng. Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có thể: - Dựa vào tính chất điểm nằm giữa hai điểm. (AM + MB = AB  M nằm giữa A và B). - Dựa vào tính chất : Nếu A, B, C tạo thành một góc có số đo bằng 180 0 thì A, B, C thẳng hàng. - Dựa vào tính chất: Nếu hai đường thẳng cùng song song hoặc cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba và có một điểm chung thì hai đường thẳng đó trùng nhau. - Dựa vào tính chất tia phân giác của hai góc đối đỉnh. 10 - Chứng minh ba điểm đó cùng thuộc một tập hợp đường như: đường trung trực, đường cao, đường phân giác... ). 2.1.8. Chứng minh ba đường thẳng đồng quy. Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta có thể chứng minh: - Hai đường thẳng cắt nhau và đường thẳng còn lại đi qua giao điểm đó. - Dựa vào tính chất các đường đồng quy trong tam giác. - Chỉ ra một điểm thuộc cả ba đường thẳng. 2.1.9. Chứng minh tính chất của một hình. Trong hình học 7 ta bắt gặp nhiều bài yêu cầu chứng minh một tam giác là tam giác cân, đều vuông... các đoạn thẳng là đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác. Về phương pháp chung ta có thế chứng minh các bài toán trên thông qua các phương pháp chứng minh trên. Muốn học sinh thành thạo giải một bài toán chứng minh hình học thì trước hết các em phải nắm được các phương pháp chứng minh cơ bản trên. 2.2. Rèn kỹ năng chứng minh hình học cho học sinh. Việc học sinh được rèn luyện kỹ năng chứng minh hình là vô cùng quan trọng. Muốn rèn luyện cho học sinh có khả năng phân tích, tư duy một bài toán hình học sau khi các em đã được trang bị những kiến thức cơ bản và phương pháp chứng minh trên thì giáo viên phải: 2.2. 1. Rèn kĩ năng vẽ hình: - Vẽ hình cần chính xác, rõ ràng, để tìm ra hướng giải toán. - Không nên vẽ hình rơi vào trường hợp đặc biệt có khi khó chứng minh (Ví dụ yêu cầu vẽ tam giác thì ta chỉ vẽ tam giác thường). - Nhiều bài giáo viên yêu cầu học sinh cần vẽ hình theo kết luận. 2.2. 2. Rèn kĩ năng suy luận và chứng minh: Để chứng minh được một bài toán hình bất kì nào thì học sinh phải được: a, Rèn kỹ năng vận dụng định lí: 11 Học sinh phải được rèn kỹ năng nhận dạng yêu cầu chứng minh nào đó trong bài có khả năng vận dụng những định lí nào? Xuất phát từ kết luận của bài toán, học sinh sẽ tư duy và kết hợp các giả thiết của bài cùng các kiến thức đã học để tìm cách chứng minh bài toán. b, Rèn cách trình bày một bài toán chứng minh: Sau khi học sinh đã tìm được lời giải cho bài toán nhiều học sinh sẽ lúng túng không biết trình bày như thế nào? Nhiều học sinh trình bày chưa khoa học, sắp xếp chưa đúng trình tự dẫn đến việc chứng minh các ý tiếp theo gặp nhiều khó khăn. Vì vậy giáo viên phải yêu cầu học sinh trình bày tuần tự xuất phát từ giả thiết. Các kết luận sử dụng nhiều hoặc nhiều kết luận sử dụng để phục vụ cho kết luận chung thì cần ký hiệu, đánh dấu. . . 2.2. 3. Rèn kĩ năng sử dụng phương pháp phân tích và tổng hợp: Để hướng dẫn học sinh tìm ra lời giải, ta thường dùng phương pháp phân tích (từ kết luận đi đến giả thiết) và lúc trình bày lời giải thì theo phương pháp tổng hợp (từ giả thiết đến kết luận). Vậy khi trình bày một lời giải thường sử dụng phương pháp phân tích để tìm cách chứng minh, rồi dùng phương pháp tổng hợp để viết phần chứng minh. Khi hướng dẫn học sinh tìm lời giải một bài tập thì giáo viên cần chú ý hướng dẫn cho học sinh các quy tắc suy luận. Trong quá trình giải toán, ta thường gặp hai quy tắc suy luận là quy tắc quy nạp và quy tắc diễn dịch. - Quy nạp là suy luận đi từ cái riêng đến cái chung, từ cụ thể đến tổng quát, quy nạp thường là quy nạp hoàn toàn, ta phải xét hết các trường hợp có thể xảy ra. - Diễn dịch là đi từ cái chung đến cái riêng, từ tổng quát đến cụ thể. 2.2. 4. Rèn kĩ năng đặc biệt hóa: Trong nhiều bài toán học giáo viên cần hướng dẫn học sinh có thể đưa giả thiết của bài toán về những trường hợp đặc biệt để tìm kết quả và phương pháp giải quyết bài toán. 2.2. 5. Rèn kĩ năng tổng quát hóa: 12 Trong nhiều bài toán sau khi giải quyết xong thì giáo viên có thể tổng quát hoá bài toán nhằm nâng cao tư duy hình học cho học sinh như: - Thay hằng số bởi biến. - Thay điều kiện trong bài toán bằng điều kiện rộng hơn. - Thay vị trí đặc biệt của một điểm, của một hình bởi vị trí bất kì của nó, ví dụ thay trọng tâm tam giác bởi một điểm bất kì nằm trong tam giác. - Bỏ bớt một điều kiện của giả thiết để có bài toán tổng quát hơn. Trên đây là một số kỹ năng mà giáo vên cần rèn luyện cho học sinh trong quá trình giảng dạy nhằm nâng cao chất lượng dạy và học phân môn hình học. 2.3. Phương pháp chung để tìm lời giải bài toán. Chứng minh một bài toán hình học là dựa vào những điều đã biết (gồm giả thiết của bài toán, các định nghĩa, tiên đề, định lý đã học) và bằng cách suy luận đúng đắn để chứng tỏ rằng kết luận của bài toán là đúng. Dạng chung của bài toán chứng minh là A  B, trong đó A là giả thiết của bài toán, B là kết luận của bài toán. Để tìm cách chứng minh một bài toán hình học, ta thường làm các bước sau: Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán Đọc kỹ đề toán để hiểu rõ: Đề bài cho những gì? Đề bài yêu cầu chứng minh điều gì? Từ đó viết tóm tắt đề bài dưới dạng giả thiết và kết luận. + Từ nội dung của giả thiết, ta có thể suy ra các tính chất gì, các quan hệ gì? + Để đi đến kết luận ta cần phải chứng minh điều gì? Trong các điều ấy, điều nào đã biết, điều nào còn phải chứng minh. +Vẽ hình minh hoạ ra sao? Sử dụng ký hiệu như thế nào? + Phát biểu bài toán dưới những dạng khác nhau để hiểu rõ bài toán. + Dạng toán nào? Kiến thức cơ bản cần có là gì? Bước 2. Xây dựng chương trình giải toán: Cần chỉ rõ các bước theo một trình tự thích hợp. + Bài toán yêu cầu phải chứng minh điều gì? (Kết luận A) 13 + Để chứng minh được kết luận A ta phải chứng minh điều gì? (Kết luận X) + Để chứng minh được kết luận X ta dựa vào dấu hiệu nào? Cần phải chứng minh điều gì? (Kết luận Y) + Quá trình phân tích trên dừng lại khi đã sử dụng hết giả thiết của bài toán và các kiến thức đã học trước đó. Sơ đồ phân tích bài toán như sau: Để chứng minh A Phải cm X Phải cm Y Phải cm .... Phải cm Z, (chứng minh được từ giả thiết). Bước 3. Thực hiện chương trình giải: Sau khi vẽ hình, ghi kí hiệu, ghi giả thiết và kết luận, ta trình bày chứng minh theo trình tự ngược lại của bước phân tích đi lên, tức là ta trình bày lời giải theo phương pháp tổng hợp. Chú ý các sai lầm thường gặp trong tính toán, biến đổi. Bước 4. Kiểm tra và nghiên cứu lời giải: + Xem xét có sai lầm không, có phải biện luận kết quả không. + Nghiên cứu bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề,… 2.4. Một số ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Cho hình vẽ bên. A Hãy chứng minh BIC là tam giác cân. Hướng dẫn giải: Bước 1: D + Từ hình vẽ ta có thể suy ra: AB = AC; ABC B cân tại A; ABC  ACB ;… + Đề bài toán yêu cầu chứng minh BIC cân, dự đoán cân tại I, tức là chứng minh B 2 C 2 (hoặc IB = ABC , minh IC), đã có ABC  ACB , thế thì ta còn phảichứng GT(*) AD = AE  C  . B 1 1 BD = CE + Ghi giả thiết, kết luận. BIC cân KL 14 1 2 I E 2 1 C (*): Để cho gọn, các yếu tố thẳng hàng, nằm giữa, các giao điểm đã được thể hiện trên hình, ta có thể không ghi vào phần giả thiết. Bước 2: Phân tích đi lên: + Để chứng tỏ BIC cân, ta chứng minh B 2 C 2 + Ta đã biết ABC  ACB nên để chứng minh B 2 C 2 , ta cần chứng minh  C  , muốn vậy ta cần chứng minh ABE ACD. B 1 1 ABE và ACD bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh. Bước 3: Ta có thể trình bày lời giải của ví dụ trên như sau: Xét ABE và ACD có: AE = AD (giả thiết) A là góc chung AB = AC (tổng của hai đoạn thẳng bằng nhau) Do đó ABE ACD. (c-g-c), suy ra B 1 C 1 . ABC có AB = AC nên là tam giác cân tại A, suy ra ABC  ACB .   ACB  C   B  C  .  ABC  B 1 1 2 2 BIC có hai góc bằng nhau nên là tam giác cân. Bước 4: Xét bài toán tương tự, cũng giả thiết như trên nhưng yêu cầu chứng minh IDE cân. 15 Ví dụ 2: Cho góc xOy, trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Vẽ các cung tròn tâm A và tâm B có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại C. Chứng minh OC là tia phân giác của góc xOy. Hướng dẫn giải: Bước 1: + Vẽ hình và ghi giả thiết, kết luận. x A  xOy , A  Ox, B  Oy GT KL O OA = OB (A;r) cắt (B;r) tại C C B y AC = BC OC là tia phân giác của  xOy + Từ giả thiết ta có: OA = OB, CA = CB.  + Ta phải chứng minh: AOC BOC Bước 2: Phân tích đi lên:   + Để chứng tỏ OC là tia phân giác của xOy , ta chứng minh AOC BOC  + Muốn chứng minh AOC BOC , ta phải chứng minh AOC BOC + Ta đã biết OA = OB; CA = CB; OC chung nên ta dễ dàng suy ra AOC BOC , theo trường hợp cạnh – cạnh –cạnh. + Sơ đồ phân tích: AOC BOC   AOC BOC  OA = OB; CA = CB; OC chung (GT) 16  Bước 3: Chứng minh OC là tia phân giác của xOy . Xét  AOC và  BOC có: OA = OB ( giả thiết ) CA = CB ( giả thiết ) OC: cạnh chung Do đó :  AOC =  BOC (c – c – c)  Suy ra : AOC BOC  Hay OC là tia phân giác của xOy Bước 4: Kiểm tra lại lời giải xem có sai sót gì không để sửa lại bài làm. Ví dụ 3: Cho tam giác DEF vuông tại D, phân giác EB. Kẻ BI vuông góc với EF tại I. Gọi H là giao điểm của ED và IB .Chứng minh : a) EDB EIB b) HB = BF c) So sánh DB và BF. d) Gọi K là trung điểm của HF. Chứng minh 3 điểm E, B, K thẳng hàng. Hướng dẫn giải: - Đọc kỹ đề bài. E I - Vẽ hình và ghi giả thiết, kết luận.  = 900  DEF , D  (B  EB là tia phân giác của E GT DF) BI  EF (I  EF). ED cắt IB tại H KH = KF (K  HF) a) EDB EIB b) HB = BF KL c) So sánh DB và BF. d) E, B, K thẳng hàng. D F B K H - Hướng dẫn tìm lời giải. Sơ đồ phân tích đi lên: a) EDB EIB (ch-gn) 17     (EB là tia phân giác của DEF ) DEB IEB EB chung   EDB EIB 900 (giả thiết) b) HB = BF (hai cạnh tương ứng)  DBH IBF (g-c-g)    BDH BIF 900 (GT) BD = BI (theo câu a)   (đối đỉnh) DBH IBF c) So sánh DB và BF  So sánh DB và BH (vì BF = BH)  DB < BH (đường vuông góc ngắn hơn mọi đường xiên) Tương tự, thay vì so sánh DB và BH, ta so sánh IB và BF (vì DB = BI). Ta có thể chứng minh bằng các cách khác, chẳng hạn, xét DBH . Sử dụng tính chất trong tam giác vuông cạnh huyền là cạnh lớn nhất hoặc cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn. d) E, B, K thẳng hàng  EB là đường phân giác EHF EK là đường trung tuyến EHF  18 EHF cân tại E  EH = EF  EH = ED + DH EF = EI + IF ED = EI; DH = IF Sau khi phân tích xong, ta trình bày lời giải bài toán trên theo hướng ngược lại. Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có A < 900. Vẽ ngoài tam giác ABC tam giác vuông cân đỉnh A là MAB, NAC. Chứng minh rằng: a) MC = NB b) MC  NB Hướng dẫn giải: - Hướng dẫn sử dụng dụng cụ vẽ hình. - Cho biết giả thiết, kết luận của bài toán. GT B ABC , A < 900, AM  AB, AM  AB AN  AC , AN  AC M a) BN MC KL b) BN  MC K A N 19 I C - Hướng dẫn tìm lời giải. Sơ đồ phân tích đi lên: a) BN = MC  AMC =ABN    AM = AB(gt) ; MAC ; BAN AN = AC (gt)    MAB CAN ( 900 )    MAC MAB  BAC    BAN CAN  BAC b) Gọi I, K lần lượt là giao điểm của BN, BA với MC. MC  NB   BIK 900     BIK MAB ,( MAB 900 )  AMC  ABN (theo câu a) AKM BKI  (đối đỉnh) Lưu ý: AMK và IBK có ba góc tương ứng bằng nhau nhưng hai tam giác này không bằng nhau. Sau khi phân tích xong, ta trình bày lời giải bài toán trên theo hướng ngược lại. - Xét trường hợp đặc biệt: c) Giả sử tam giác ABC đều cạnh 4cm. + Tính: MB; NC 20