Tài liệu đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 tp hcm 07 08

Nguyễn Kim Chung Sôû Giaùo duïc - Ñaøo taïo TP.Hoà Chí Minh KYØ THI HOÏC SINH GIOÛI LÔÙP 9-THCS CAÁP THAØNH PHOÁ Naêm hoïc 2007 – 2008 MOÂN TOAÙN Thôøi gian laøm baøi : 150 phuùt (khoâng keå thôøi gian phaùt ñeà) ÑEÀ CHÍNH THÖÙC Caâu 1: (4 ñieåm) Cho phöông trình : 2 x  (6m  3) x  3m  1 0 ( x laø aån soá) a) Ñònh m ñeå phöông trình treân coù hai ngieäm phaân bieät ñeàu aâm. b) Goïi x1 , x2 laø hai nghieäm cuûa phöông trình treân. 2 2 Ñònh m ñeå A= x1  x2 ñaït giaù trò nhoû nhaát. Caâu 2 : (4 ñieåm) a) Cho a, b, c, d laø caùc số dương. Chứng minh: 2 a b c d    2 a b  c b c  d c  d a d  a b b) Cho a 1 ; b 1 . Chöùng minh : a b  1  b a  1 ab 1 Caâu 3 : (4 ñieåm) Giaûi caùc phöông trình : 2 2 2 a) ( x  3x)  6( x  3 x)  7 0 b) 8  x  3  5  x  3 5 c) x  x 2  x  x 2  x  1 Caâu 4 : (2 ñieåm) Chöùng minh raèng vôùi moïi soá töï nhieân n thì n 2  n  1 khoâng chia heát cho 9. Caâu 5 : (4 ñieåm) Cho tam giaùc ABC coù ba goùc nhoïn noäi tieáp trong ñöôøng troøn (O) vaø coù tröïc taâm laø H. a) Xaùc ñònh vò trí cuûa ñieåm M thuộc cung BC không chứa điểm A sao cho töù giaùc BHCM laø moät hình bình haønh. b) Laáy M laø ñieåm baát kyø treân cung BC khoâng chöùa A. Goïi N vaø E laàn löôït laø caùc ñieåm ñoái xöùng cuûa M qua AB vaø AC. Chöùng minh ba ñieåm N , H , E thaúng haøng. Caâu 6 : (2 ñieåm) Cho töù giaùc ABCD coù O laø giao ñieåm hai ñöôøng cheùo vaø dieän tích tam giaùc AOB baèng 4 , dieän tích tam giaùc COD baèng 9. Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa dieän tích töù giaùc ABCD. HEÁT ÑAÙP AÙN Caâu 1: (4 ñieåm) Cho phöông trình : 2 x  (6m  3) x  3m  1 0 ( x laø aån soá) a) Ñònh m ñeå phöông trình treân coù hai ngieäm phaân bieät ñeàu aâm. b) Goïi x1 , x2 laø hai nghieäm cuûa phöông trình treân. 2 2 Ñònh m ñeå A= x1  x2 ñaït giaù trò nhoû nhaát. Giaûi: 2 a)  (6m  3) 2  8( 3m  1) (6m  1) 2 6m - 3 6m - 1  x1;2  4 1  x1 3m - 1 v x 2  2 Ñeå hai nghieäm phaân bieät ñeàu aâm thì 3m  1  0   1 3m  1  2 b)Ta coù A= 1  m  3  m  1  6 x12  x2 2 = (3m  1) 2  A ñaït GTNN laø  4 khi m 1 1  4 4 1 3 Caâu 2 : (4 ñieåm) a) Cho a, b, c, d laø caùc số dương. Chứng minh: a b c d    2 a b  c b c  d c  d a d  a b b) Cho a 1 ; b 1 . Chöùng minh : a b  1  b a  1 ab 1 Giaûi : a) Ta coù : ( vôùi a, b, c, d laø caùc soá döông) a a  a b c a b c  d b b  b c d a b c d c c  c d a a b c d d d  d a b a b c  d a b c d Coäng boán BÑT treân ta ñöôïc : 1  a  b  c  b  c  d  c  d  a  d  a  b Ta laïi coù : a a  a b c a c c c  c d a a c a c   1 a b c c d a vaø b b  bc d bd d d  d a b d b b d   1 b c d d a b Töø ñoù ta coù ñpcm. 1 a  1 a (a, b 1) a  1  1(a  1)   2 2 ba Suy ra : b a  1  2 ( 1) ab Töông töï : a b  1  2 (2) b)Ta coù Coäng (1) vaø (2) ta coù ñpcm. Caâu 3 : (4 ñieåm) Giaûi caùc phöông trình : 2 2 2 a) ( x  3x)  6( x  3 x)  7 0 b) 8  x  3  5  x  3 5 c) x  x 2  x  x 2  x  1 Giaûi: a) ( x 2  3 x) 2  6( x 2  3 x)  7 0 2 Ñaët t x 2  3x , ta coù phöông trình : t  6t  7 0  t  1 v t 7 3 5 2 3  37 2 2 Vôùi t 7, x  3x 7  x  3 x  7 0  x  2 Vôùi t  1, x 2  3x  1  x 2  3x 1 0  x  b) 8  x  3  5  x  3 5 Ñaët u  8  x  3  u 0, u 2 8  x  3 Ñaët v  5  x  3  v 0, v 2 5  x  3 u  v 5 u 2 u 3  v   2 2 v 2 u  v 13 v 3 Ta coù heä phöông trình:  Töø ñoù ta tìm ñöôïc nghieäm x = 4 c) x  x 2  x  x 2  x  1 ( Ñieàu kieän : 0  x 1 Ta thaáy x 0 khoâng thoûa neân ta chia hai veá cho x: x  x2 x  x2 1 1   x  1 x  1 x  x  x x x x 1 Xeùt veá phaûi : x  x 2 vaø daáu baèng xaûy ra khi x Ta coù : = 1. ( 1  x  1  x )2 ( 1  x ) 2  ( 1  x )2 2 2 veá traøi : 1  x  1  x 2 vaø daáu baèng Suy ra xaûy ra khi x = 0. Vaäy hai veá khoâng baèng nhau. Phöông trình ñaõ cho voâ nghieäm. Caâu 4 : (2 ñieåm) Chöùng minh raèng vôùi moïi soá töï nhieân n thì Giaûi: n 2  n  1 khoâng chia heát cho 9. Giaû söû n 2  n  1 chia heát cho 9 thì ta coù : n 2  n  1 k .9 (k  N ) n 2  n  1  k .9 0 ( 1)  1  4(1  k .9) 36k  3 3(12k  1) Ta thaáy  chia heát cho 3 vaø khoâng chia heát cho 9 neân khoâng laø soá chính phöông, do vaäy phöông trình (1) treân khoâng theå coù nghieäm nguyeân. Vaäy n 2  n  1 khoâng chia heát cho 9. ( ñpcm) Caâu 5 : Cho tam giaùc ABC coù ba goùc nhoïn noäi tieáp trong ñöôøng troøn (O) vaø coù tröïc taâm laø H. a)Xaùc ñònh vò trí cuûa ñieåm M thuộc cung BC không chứa điểm A sao cho töù giaùc BHCM laø moät hình bình haønh. b)Laáy M laø ñieåm baát kyø treân cung BC khoâng chöùa A. Goïi N vaø E laàn löôït laø caùc ñieåm ñoái xöùng cuûa M qua AB vaø AC. Chöùng minh ba ñieåm N , H , E thaúng haøng. a) Goïi Mo laø ñieåm ñoái xöùng cuûa A qua taâm O cuûa ñöôøng troøn. Ta coù CMo song song vôùi BH vì cuøng vuoâng goùc vôùi AC. BMo song song vôùi CH vì cuøng vuoâng goùc vôùi AB. Vaäy töù giaùc BHCMo laø moät hình bình haønh. Ñieåm Mo chính laø vò trí cuûa M maø ta caàn xaùc ñònh. b) Ta coù N vaø M ñoái xöùng qua AB neân : ANB=AMB= ACB. H laø tröïc taâm tam giaùc ABC neân AHB + ACB = 180o Suy ra : ANB + AHB = 180o. Töù giaùc AHBN noäi tieáp ñöôïc cho ta : NHB = NAB. Maø NAB = MAB neân NHB = MAB. ( 1) Töông töï ta cuõng coù : EHC = MAC ( 2 ) Coäng (1 ) vaø (2 ) ta coù : NHB + EHC = BAC. Maø ta laïi coù : BAC + BHC = 180o Neân : NHB + EHC + BHC = 180o Vaäy N, H , E thaúng haøng. Caâu 6 : (2 ñieåm) Cho töù giaùc ABCD coù O laø giao ñieåm hai ñöôøng cheùo vaø dieän tích tam giaùc AOB baèng 4 , dieän tích tam giaùc COD baèng 9. Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa dieän tích töù giaùc ABCD. Giaûi : Ñaët S BOC x , S AOD  y S AOB OB S BOC   S AOD OD SCOD 4 x ra : y  9  xy 36 Ta coù Suy Ta laïi coù S ABCD 4  9  x  y 13  2 Daáu baèng xaûy ra khi x = y = 6. xy 13  2.6 25. Vaäy dieän tích töù giaùc ABCD ñaït giaù trò nhoû nhaát laø 25.