Mô tả:
Sở Giáo dục & Đào tạo
Bình Thuận
Kỳ thi chọn HSG truyền thống 19/4
Năm học 2008-2009
Môn: Toán lớp 9
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (4 điểm)
Cho A =
1
1 x 2 . (1 x ) 3
2
(1 x ) 3
1 x2
1. Rút gọn A
2. Tìm x biết A
1
2
Bài 2: (4 điểm)
1. Giải hệ phương trình:
2. Giải phương trình: x4 + 9 = 5x(3 – x2)
3x y
5 yz
7 zx
4( x
6( y
8( z
y)
z)
x)
Bài 3: (4 điểm)
1. Cho a, b > 0. Chứng minh rằng:
a b
ab
2
2. Chia 10 số: 2; 3; 4; 5; 7; 8; 9; 10; 12; 14 làm thành hai nhóm rồi lấy
tích các số trong mỗi nhóm. Gọi M là tổng của hai tích số đó. Tìm giá trị nhỏ
nhất của M và chỉ ra ít nhất 4 cách chia sao cho M nhỏ nhất.
Bài 4: (5 điểm)
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi Ax, By là các tiếp tuyến
tại A và B của (O). Tiếp tuyến tại điểm M tuỳ ý của (O) cắt Ax và By lần
lượt tại C và D.
1. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp OCD.
2. Cho AB = 8cm. Tìm vị trí của C để chu vi tứ giác ABDC bằng
28cm, khi đó tính phần diện tích của tứ giác nằm ngoài (O).
Bài 5: (3 điểm)
Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là số nguyên và hai
lần số đo diện tích bằng ba lần số đo chu vi.
---------------------- HẾT-------------------------
HƯỚNG DẪN
Bài 1: (4 điểm)
1.
A xác định khi: –1 x 1
A
=
2
1 x 1 x
. 1 x 1 x 2 1 x 2
2
2 1 x2
=
2.
1 x
1 x . 1 x 1 x
2
A
=
2x
khi
2x
khi 1 x 0
0 x 1
1
2
1
Khi 0 x 1 thì 2x
2
x
1
Khi –1 x 0 thì 2x
Vậy A
1
2
2
1
1 x
2 2
1
2 2
x
hoặc
1
2 2
1
x 1
2 2
Bài 2: (4 điểm)
1. Nhận xét: x = y = z = 0 là 1 nghiệm của hệ
Nếu x 0 thì y và z 0, khi đó chia các vế của từng phương trình
cho xy; yz; zx, ta được:
3 xy
5 y z
7 zx
3
4
5
6
1
x
1
y
4( x
6 ( y
8( z
z)
x )
3
4
5
6
7
8
1
y
1
z
7
1
1
8
z
x
59
1
1
48
x
y
19
48
1 7
48
23
48
y)
1
x
1
y
1
z
1
z
x
y
z
48
19
48
17
48
23
1
x
1
y
1
z
1
y
1
z
1
x
2. Vì x = 0 không phải là nghiệm của nên chia 2 vế của phương trình
cho x , ta được:
2
x4 + 9 = 5x(3 – x2)
3
x x 2
x 3 3
x
2
3
3
x 5 x 6 0
x
x
2
x 2 x 3 0
x 2 3x 3 0
x 1
x 3
x 3
2
21
(có thể dùng PP nhẩm nghiệm để đưa về phương trình tích)
Bài 3: (4 điểm)
1. a, b > 0, ta có:
a
b
2 a b 2
ab 0
a b
ab
2
2. Gọi a và b là các tích số trong từng nhóm thì:
ab = 2.3.4.5.7.8.9.10.12.14 = 210.34.52.72
M = a + b 2 ab = 2.25.32.5.7 = 20160
MinM = 20160 a = b = 10080
Và có ít nhất 4 cách chia như sau:
Nhóm 1
Nhóm 2
2; 7; 8; 9; 10
3; 4; 5; 12; 14
8; 9; 10; 14
2; 3; 4; 5; 7; 12
2; 4; 9; 10; 14
3; 5; 7; 8; 12
2; 3; 10; 12; 14
4; 5; 7; 8; 9
Bài 4: (5 điểm)
1.
OCD vuông tại O (OC và OD là phân giác 2 góc kề bù)
I là trung điểm của CD thì IO = IC = ID và IO AB tại O
Nên AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp OCD
2.
Đặt AC = x (cm) và BD = y (cm)
CABDC = AB + 2(AC + BD) x + y = 10
Mặt khác : OM2 = MC.MD xy = 16
Giải hệ:
ta được
Vậy C cách A 1 đoạn AC = 2cm và BD = 8cm
hoặc AC = 8cm và BD = 2cm
Cả 2 trường hợp trên hình thang vuông ABDC có cùng diện tích:
S1 = 40 (cm2)
Diện tích nửa hình tròn (O):
S2 = 8 (cm2)
Vậy phần diện tích tứ giác ABDC nằm ngoài đường tròn:
S = S1 – S2 = 40 – 8 (cm2)
x y 10
xy 16
x 2
y 8
x 8
y 2
Bài 5: (3 điểm)
Gọi a, b, c lần lượt là cạnh huyền và 2 cạnh góc vuông của vuông.
Khi đó: a, b, c N và a 5; b, c 3
Ta có hệ phương trình:
(1): a2 = b2 + c2 = (b + c)2 – 2bc = (b + c)2 – 6(a + b + c)
a2 + 6a + 9 = (b + c)2 – 6(b + c) + 9
(a + 3)2 = (b + c – 3)2
a+3=b+c–3
a=b+c–6
(2): bc = 3(b + c – 6 + b + c) = 3(2b + 2c – 6)
(b – 6)(c – 6) = 18
Nên ta có các trường hợp sau:
1. b – 6 = 1 và c – 6 = 18 thì b = 7; c = 24 và a = 25
2. b – 6 = 2 và c – 6 = 9 thì b = 8; c = 15 và a = 17
3. b – 6 = 3 và c – 6 = 6 thì b = 9; c = 12 và a = 15
a 2 b 2 c 2
bc 3(a b c)
(1)
( 2)
----------------------------------------------
- Xem thêm -
.DOC 
4 
176 
100 
