Đề cương ôn tập thi vào lớp 10
Chuyên đề : Căn thức bậc hai.
ÔN TẬP CHƯƠNG I.
A. Kiến thức cơ bản.
1/ Định nghĩa. Căn bậc hai của số a không âm là số x sao cho x2 = a.
2/ Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau : số dương kí hiệu là a , số âm kí
hiệu là - a . Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0. Như vậy 0 = 0.
3/ Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng được gọi là căn
bậc hai số học của 0.
Phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm gọi là phép khai phương.
4/ A xác định. A 0.
5/ Các phép biến đổi căn thức.
A khi A 0
2
.
a/ Hằng đẳng thức khai phương bình phương : A A
A
khi
A
0
b/ Khai phương tích, thương :
c/ Nhân, chia các căn bậc hai :
A.B A. B với A, B 0 ;
A. B A.B với A, B 0 ;
A
=
B
A
với A 0, B > 0.
B
A
=
B
A
với A 0, B > 0.
B
d/ Đưa thừa số ra ngoài dấu căn A2 B A B với A, B 0 ; A2 B A B với A < 0,
B 0.
e/ Đưa thừa số vào trong dấu căn A B A2 B với A, B 0 ; A B A2 B với A <
0, B 0.
A
AB
g/ Khử mẫu của biểu thức lấy căn
với AB 0, B 0.
B
B
h/ Trục căn thức ở mẫu
A B2 ;
A
B
C
C( A B )
A B
A B
A B
B
với A 0, B > 0 ;
C
A B
C ( A B )
A B2
với A 0,
với A, B 0 ; A B.
B. Bài tập.
Dạng 1. Điều kiện để căn thức bậc hai xác định.
a/ 2 x 7 ; b/ 5 x 8 ; c/
i/
p/
x 2 7 ; k/
x 2
; q/
x 3
7
; l/
x 19
2
4 x 8 ; d/
4
; m/
x2
x 2 4 2 x 2 ; r/
7 3x ; e/
( x 1)( x 3) ; n/
2x ; g/
8x ; h/
x 2
; o/ ( x 1)
x 3
1
;
5 x
( x 3) ;
x2 9 3 x 3 .
Dạng 2. So sánh các căn bậc hai.
a/ 3 và 8 ; b/ 3 và 1 ; c/ 8 và 63 ; d/ 5 và 2 ; e/ 3 và 11 ; g/ 6 và 41 ;
h/ -5 và - 24 .
Trường THCS TT Phước Long – Năm học 2021-2022
1
Đề cương ôn tập thi vào lớp 10
Chuyên đề : Căn thức bậc hai.
Dạng 3. Các phép biến đổi căn thức.
Bài 1. Biến đổi biểu thức dưới dấu căn thành bình phương của một tổng, hiệu rồi áp dụng
hằng đẳng thức khai phương bình phương một biểu thức.
a/ 3 2 2 ; b/ 4 2 3 ; c/ 5 2 6 ; d/ 8 2 15 ; e/ 11 4 7 ; g/ 14 6 5 ;
h/ 33 12 6 .
Bài 2. Rút gọn biểu thức.
a/ 20 45 ; b/ 3 18 72 ; c/ 27 12 5 24 4 54 ; d/ 2 3 x 5 27 x 7 75 x 80 với
x 0 ; e/ 4 7 x 28 x 5 63x x với x 0 ; g/ 0, 3 300 5 0, 27 0, 6 75 ;
h/
1
1 1
1,8 3, 2 ; i/ 6
24 6 ; k/ 7 y 5 x 36 xy 3 6 y 25 x 3 y 5 49 y với x, y 0 ;
5
6 2
l/ 8 y 100 x3 y 2 32 x3 y 3 2 xy 16 xy 7 x 121xy 3 với x, y 0 ;
m/
1
55
1
80 3 45
35
; n/
4
7
11
o/ 25 x 25 6 x 1
4 x 20 x 5
1 x 1
với x 1 ; p/
5
9
1
9 x 45 với x -5 ;
5
x +4 x - 4 -
x - 4 với x > 4 ;
q/ 15 6 6 + 33 12 6 6 ; r/ N = 6 20 - 6 20 ;
s/
a- 5 a
a- 5
a- 9
; t/
a +3
x
x1
2
2
; u/
x 1 x 1
1
4
1 x 2 x
:
;
x 1 x 1 x 1
2x 1
1 x x
x x 1 x x 1 2( x 2 x 1)
x
x ; x/
v/
.
.
:
x 1
x x 1 x x 1 1 x
x x x x
Dạng 4. Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến.
x4 x 4 4 x
với x > 0, x 4 ;
x 2
x 2
2 x
x 2 x x x x 1
.
b/ D =
với x > 0, x 1).
x
x 2 x 1 x 1
a/ C =
Dạng 5. Tính giá trị của biểu thức.
Bài 1. Tính :
a/ 652 162 ; b/ 52 122 ; c/ 25 9 25 9 34 ; d/ 25 16 25 16
9 4
36 16 169
24 17 1
1652 124 2
. .
; h/ 1 .5 .0, 01 ; i/
; k/ 1 .1 .6 .
16 9
49 25 196
25 64 4
164
x
x
y
Bài 2. Cho biểu thức : T = 2 2 (1 2 2 ) :
với x > y > 0.
x y
x y
x x2 y 2
e/
1492 76 2
; g/
457 2 384 2
a/ Rút gọn T. b/ Tính giá trị của T khi x = 5y.
Dạng 6. Toán tìm x.
Bài 1. Tìm x, biết :
a/ x 2 = 3 ; b/ x 2 = 9 ; c/ 9x 2 = 12 ; d/ 36( x 2) 2 = 18 ; e/ 16(2 x)2 - 8 = 0 ;
Trường THCS TT Phước Long – Năm học 2021-2022
2
Đề cương ôn tập thi vào lớp 10
Chuyên đề : Căn thức bậc hai.
g/ 9 x 2 6 x 1 = 7 ; h/
x 2 x 1 = 5 ; i/
16x = 12 ; k/ 25 x 7 ; l/ 25 x 4 x 3 ;
4
4 x 20 3 x 5
9 x 45 = 6 ; o/ 3 x 75 0 ;
3
5
1
15 x 15 x 2 15 x ; n/
3
3
x2
2
20 0 ; r/ 3x - 7 x + 4 = 0.
p/ 3 x 12 0 ; q/
5
m/
Bài 2. Cho biểu thức T =
1
3
x 1
x 1
9 x 9 24
với x 1.
2
2
64
a/ Rút gọn T.
b/ Tìm x sao cho T có giá trị là -17.
Dạng 7. Tổng hợp.
2
x
1
x 2
Bài 1. Cho biểu thức A =
với x > 0, x 4.
:
x 2 x 4 x 4
x 2 x
a/ Rút gọn A.
b/ Hãy so sánh A với 1.
Bài 2. Cho biểu thức B =
3 x
x 9 3 x 1 1
:
với x > 0, x 9.
9 x x 3 x
x
a/ Rút gọn B.
b/ Tìm x để B bằng -1.
ÔN TẬP CHƯƠNG II.
I. Kiến thức cơ bản.
* Hàm số : định nghĩa hàm số, định nghĩa đồ thị của hàm số, giá trị của hàm số, tính đồng biến (nghịch biến).
*Hàm số bậc nhất : định nghĩa, tính đồng biến (nghịch biến), đồ thị.
II. BÀI TẬP.
BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI
Dạng 1. Vẽ đồ thị, xác định tọa độ giao điểm.
* Đồ thị của hàm số y = ax (a 0) là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ.
* Để vẽ đồ thị của y = ax, ta xác định một điểm thuộc đồ thị khác điểm O (bằng cách xác định một cặp giá trị tươn
ứng (x, y)), kẻ đường thẳng đi qua gốc tọa độ và qua điểm (x,y).
b
* Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0, b 0) là một đường thẳng đi qua điểm b trên trục tung, điểm
trên trục
a
hoành.
b
* Cách 1: Để vẽ đồ thị của y = ax + b(a 0, b 0), ta xác định b (thuộc Oy),
(thuộc Ox). Kẻ đường thẳng đi
a
b
qua b,
.
a
Bảng giá trị
x
0
b
a
y = ax + b b
0
* Cách 2 : Để vẽ đồ thị của y = ax + b(a 0, b 0), ta xác định hai điểm thuộc đồ thị (bằng cách xác định hai cặp
Trường THCS TT Phước Long – Năm học 2021-2022
3
Đề cương ôn tập thi vào lớp 10
Chuyên đề : Căn thức bậc hai.
giá trị tương ứng (x,y)), kẻ đường thẳng đi qua hai điểm vừa xác định.
Bảng giá trị
x
x1
x2
y = ax + b y1
y2
* Đồ thị của y = ax + b (a 0, b 0) luôn cắt trục tung tại điểm có tung độ là b, do đó b được gọi là tun
độ gốc.
Bài 1. Vẽ đồ thị của mỗi cặp hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
a/ y = 2x và y = -x
+3
y
y
y = 2x
Lập bảng giá trị
x
1
3
y = 2x
2
x
y = -x + 3
0
3
3
0
* Cách 2 : vẽ đồ thị y
= -x + 3
x
1
y = -x + 3
2
2
2
y = -x + 3
y = -x + 3
O
O
1
x
x
3
2
1
b/ y = 2x + 4 và y = 2x - 3
Lập bảng giá trị
x
0
-2
y = 2x + 4
4
0
y
y
y = 2x + 4
4
y = 2x - 3
y = 2x - 3
1
O
x
0
1,5
y = 2x - 3
-3
0
* Cách 2 : vẽ đồ thị y = 2x – 3
x
1
2
y = 2x - 3
-1
1
1
c/ y = x và y = 3x
2
Lập bảng giá trị
x
2
1
1
y= x
2
x
y = 3x
1
1,5
x
O
-2
1
x
2
-1
-3
y
y = 3x
3
y =
x
1
O
1
2
x
1
3
Bài 2. Hãy xác định tọa độ giao điểm của mỗi cặp đường thẳng sau :
a/ (d1) : y = 2x ; (d2) : y = -x + 6.
Bài làm
Trường THCS TT Phước Long – Năm học 2021-2022
4
Đề cương ôn tập thi vào lớp 10
Chuyên đề : Căn thức bậc hai.
Hoành độ giao điểm của (d1) và (d2) là nghiệm của phương trình :
2x = -x + 6 2x + x = 6 3x = 6 x = 2.
Thay x = 2 vào công thức y = 2x, ta được : y = 2.2 = 4.
Vậy tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là (2 ; 4).
b/ (d3) : y = 2x + 4 ; (d4) : y = 3x + 4.
Bài làm
Cách 1
Hoành độ giao điểm của (d3) và (d4) là nghiệm của phương trình :
2x + 4 = 3x + 4 2x – 3x = 4 – 4 -x = 0 x = 0
Thay x = 0 vào công thức y = 3x + 4, ta được: y = 3.0 + 4 = 4
-Vậy tọa độ giao điểm của (d3) và (d4) là (0 ; 4)
Cách 2 : Đồ thị của hai hàm số trên cùng cắt trục tung tại tung độ gốc là 4. Vậy tọa độ giao điểm của (d3) và
(d4)
là (0 ; 4).
Dạng 2 : Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng.
*Hai đường thẳng y = ax + b (a 0) và y = a,x + b, (a, 0)
+/ trùng nhau khi a = a,, b = b, ;
+/ song song khi a = a,, b b, ;
+/ cắt nhau khi a a,.
* Nếu a a,, b = b, thì hai đường thẳng y = ax + b (a 0) và y = a,x + b, (a, 0) cắt nhau tại tung độ gốc.
Bài 1. Với giá trị nào của m thì đồ thị của hai hàm số bậc nhất y = (m – 1)x + 2 và
y = (3 – m)x + 1
a/cắt nhau ;
b/song song.
Bài làm
m 10
m 1
Û
(*).
3 m 0
m 3
Do hai hàm số đã cho là hàm số bậc nhất nên
a/
Hai đồ thị của hai hàm số đã cho song song.
a a '
.
'
b b
3 m m 1 . 3 - m = m - 1.
2 1
m + m = 3 + 1. 2m = 4.
m = 2 (thỏa mãn điều kiện (*)).
Vậy đồ thị của hai hàm số đã cho song song khi m = 2.
b/
Hai đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau.
3 – m m – 1. m 2
Vậy với m 2 ; 1 ; 3 thì đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau.
Bài 2. Với giá trị nào của m thì (d1) : y = 2x + (3 + m) và (d2) : y = 3x + (5 – m) cắt nhau tại một
điểm trên trục tung.
Bài làm
(d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
a a '
.
'
b
b
2 3
. 3 + m = 5 - m.
3 m 5 m
m + m = 5 – 3 2m = 2 m = 1
Vậy với m = 1 thì (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
Trường THCS TT Phước Long – Năm học 2021-2022
5
Đề cương ôn tập thi vào lớp 10
Chuyên đề : Căn thức bậc hai.
Bài 3. Xác định k và m để (d1) : y = kx + (m – 2) (với k 0) và (d2) : y = (5 – k)x + (4 – m) (với k
5) cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
Bài làm
(d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
a a '
k 5 k
.
.
'
m 2 4 m
b b
k 2,5
.
m 3
Kết hợp với điều kiện ta có : với k 0, k 5, k 2,5 và m = 3 thì (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm trên
trục tung.
Bài 4. Cho hai đường thẳng (d1) : y = (k + 1)x + 3 và (d2) : y = (3 – 2k)x + 1.
a/ Với giá trị nào của k thì (d1) và (d2) cắt nhau ?
b/ Với giá trị nào của k thì (d1) và (d2) song song ?
c/ Hai đường thẳng trên có trùng nhau hay không ? Vì sao ?
Bài làm
a/ (d1) và (d2) cắt nhau.
k + 1 3 – 2k k + 2k 3 – 1 3k 2
Cần phân biệt bài 1 và bài 4. Ở bài 1, đã cho hàm số
2
k
bậc nhất, còn bài 4 thì không. Như vậy, đường
3
thẳng đã cho ở bài 4 có thể không là đường thẳng
2
của hàm số bậc nhất.
- Vậy với k
thì (d1) và (d2) cắt nhau.
3
a a '
k 13 2k
.
.
b/ (d1) // (d2).
'
3 1
b b
k 13 2k . k =
Vậy với k =
2
.
3
2
thì (d1) và (d2) song song.
3
c/ Hai thẳng trên không trùng nhau. Vì b b’(1 3).
Dạng 3 : Xác định hàm số.
Bài 1. Cho hàm số bậc nhất: y = mx + 3. Hãy xác định m biết :
a/ đồ thị của hàm số song song với đồ thị của hàm số y = 2x ;
b/ khi x = 2 thì hàm số có giá trị bằng 5.
Bài làm
a/ Do đồ thị của hàm số song song với đồ thị của hàm số y = 2x nên m = 2 và ta có hàm số y = 2x + 3.
b/ Do khi x = 2 thì hàm số có giá trị bằng 5 nên x = 2, y = 5. Thay x = 2, y = 5 vào công thức y = mx + 3
ta được :
5 = m.2 + 3 2m = 5 – 3 2m = 2 m = 1.
-Vậy với x = 2, y = 5 thì m = 1 và ta có hàm số y = x + 3.
Bài 2. Cho hàm số: y = 3x + m. Hãy xác định hệ số m trong mỗi trường hợp sau :
a/ đồ thị của hàm số đã cho cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -3 ;
b/ đồ thị của hàm số đã cho đi qua B(2 ; 4).
Bài làm
a/ Do đồ thị của hàm số đã cho cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -3 nên m = -3 và ta có hàm số y = 3x –
3.
b/ Do đồ thị của hàm số đã cho đi qua B(2 ; 4) nên ta có :
4 = 3.2 + m m = 4 - 6 m = -2. Vậy m = -2 và ta có hàm số y = 3x – 2.
Bài 3. Cho hàm số bậc nhất y = mx – 6 . Hãy xác định m trong mỗi trường hợp sau :
Trường THCS TT Phước Long – Năm học 2021-2022
6
Đề cương ôn tập thi vào lớp 10
Chuyên đề : Căn thức bậc hai.
a/ đồ thị của cắt đường thẳng y = 2x – 1 tại điểm có hoành độ bằng 2 ;
b/ đồ thị của cắt đường thẳng y = -2x + 3 tại điểm có tung độ bằng 5.
Bài làm
a/ -Do đồ thị của cắt đường thẳng y = 2x – 1 tại điểm có hoành độ bằng 2, nên điểm có hoành độ bằng 2
thuộc đồ thị của y = 2x - 1. Khi đó, ta có x = 2. Thay x = 2 công thức y = 2x – 1 ta được
y = 2.2 - 6 y = -2
-Thay x = 2, y = -2 vào ta được :
-2 = m.2 – 6 2m = 6 – 2 2m = 4 m = 2
-Vậy khi đồ thị của cắt đường thẳng y = 2x – 1 tại điểm có hoành độ bằng 2 thì m = 2 và ta có hàm số
y = 2x – 6.
b/
Do đồ thị của cắt đường thẳng y = -2x + 3 tại điểm có tung độ bằng 5 nên điểm có tung độ bằng 5 thuộc
đồ thị hàm số y = -2x + 3. Khi đó, ta có y = 5. Thay y = 5 vào công thức y = -2x + 3, ta được :
5 = -2x + 3 2x = 3 – 5 2x = -2 x = -1.
Thay x = -1, y = 5 vào ta được :
5 = m.(-1) – 6 m = -5 – 6 m = -11.
Vậy m = -11 và hàm số có dạng y = -11x – 6.
Bài 4. Biết với x = 5 thì hàm số y = 7x + m có giá trị là 40. Tìm m.
Bài làm
Do khi x = 5 thì của hàm số y = 7x + m có giá trị là 40 nên ta có x = 5, y = 40. Thay x = 5, y = 40 vào công
thức
y = 7x + m, ta được : 40 = 7.5 + m m = 40 – 35 m = 5.
Vậy khi x = 5, y = 40 thì m = 5 và hàm số có dạng y = 7x + 5.
Bài 5. Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ và
a/ đi qua A(-3 ; 1) ; b/ có hệ số góc bằng -2 ; c/ song song với đường thẳng y = 2x – 1.
Bài làm
* Do đường thẳng đi qua gốc tọa độ, nên phương trình đường thẳng có dạng y = ax.
a/
Do đường thẳng có phương trình y = ax đi qua A(-3 ; 1) nên x = -3, y =1. Thay x = -3, y = 1 vào công thức y
1
= ax, ta được : 1 = a.(-3) a =
. Vậy phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua A(-3 ; 1) là y
3
1
=
x
3
b/ -Do đường thẳng có phương trình y = ax, có hệ số góc là -2 nên a = -2.
- Vậy phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ và có hệ số góc bằng 2 là y = -2x.
c/ -Do đường thẳng có phương trình y = ax song song với đường thẳng y = 2x – 1 nên a = 2.
- Vậy phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng y = 2x – 1 là y = 2x.
Dạng 4:Tính đồng biến, nghịch biến.
* Cho hàm số y = f(x) xác định trên R.
- Nếu các cặp giá trị tương ứng (x,y) cùng tính tăng, giảm thì y = f(x) đồng biến trên R.
- Nếu các cặp giá trị tương ứng (x,y) khác tính tăng, giảm thì y = f(x) nghịch biến trên R.
* Cho hàm số y = f(x) xác định trên R.
- Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) thì y = f(x) đồng biến trên R
- Nếu x1 < x2 mà f(x1) > f(x2) y = f(x) nghịch biến trên R
* Hàm số y = ax + b (a 0) xác định trên R
- đồng biến nếu a > 0,
- nghịch biến nếu a < 0.
Trường THCS TT Phước Long – Năm học 2021-2022
7
Đề cương ôn tập thi vào lớp 10
Chuyên đề : Căn thức bậc hai.
Bài 1. Trong các hàm số bậc nhất sau, hàm số nào là nghịch biến, đồng biến ?
1
a/ y 5 x 3
b/ y 2 5 x c/ y 6 x 7 d/ y 5 7 x
* Trả lời: Hàm số đồng biến : y 2 5 x ( a = 5 > 0), y 6 x 7 ( a = 6 > 0)
1
1
Hàm số nghịch biến : y x 3 ( a =
< 0), y 5 7 x ( a = 7 < 0)
5
5
Bài 2. Tìm điều kiện của m để mỗi hàm số bậc nhất sau nghịch biến :
a/ y = (m – 1)x + 5
b/ y = (7 – m)x - 2
Bài làm
a/ Hàm số y = (m – 1)x + 5 nghịch biến.
m – 1 < 0. m < 1.
Vậy với m < 1 thì hàm số y = (m – 1)x + 5 nghịch biến.
b/ Hàm số y = (7 – m)x – 2 nghịch biến.
7 – m < 0. m > 7.
Vậy với m > 7 thì hàm số y = (7 – m)x – 2 nghịch biến.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Vẽ đồ thị, xác định tọa độ giao điểm.
Bài 1. Vẽ đồ thị của mỗi cặp hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
a/ y = 3x và y = -x + 4 ;
b/ y = -3x + 4 và y = -3x ;
c/ y = -2x - 5 và y = -2x ;
5
2
d/ y = x - 5 và y = x.
2
5
Bài 2. Hãy xác định tọa độ giao điểm của mỗi cặp đường thẳng sau.
a/ (d1) : y = 3x ; (d2) : y = -x + 4.
b/ (d3) : y = 2x + 9 ; (d4) : y = -3x + 4.
Trường THCS TT Phước Long – Năm học 2021-2022
8
Đề cương ôn tập thi vào lớp 10
Chuyên đề : Căn thức bậc hai.
Dạng 2. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Bài 1. Với giá trị nào của m thì đồ thị của hai hàm số bậc nhất y = (m – 5)x + 8 và
y = (3 – m)x + 2
a/ song song ;
b/ cắt nhau.
Bài 2. Với giá trị nào của m thì (d1) : y = 2x + (2m - 3) và (d2) : y = 3x + (6 – m) cắt nhau tại
một điểm trên trục tung.
Bài 3. Xác định k và m để (d1) : y = (k – 3)x + (m – 8) (với k 3) và (d2) : y = (5 + 2k)x + (6
– m) (với k -2,5) cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
Bài 4. Cho hai đường thẳng (d1) : y = (k + 2)x + 3 và (d2) : y = (12 – 4k)x + 1.
a/ Với giá trị nào của k thì (d1) và (d2) cắt nhau ?
b/ Với giá trị nào của k thì (d1) và (d2) song song ?
c/ Hai thẳng trên có trùng nhau hay không ? Vì sao ?
Dạng 3. Xác định hàm số.
Bài 1. Cho hàm số bậc nhất : y = mx + 5. Hãy xác định m biết :
a/ đồ thị của hàm số song song với đồ thị của hàm số y = -6x ;
b/ khi x = 4 thì hàm số có giá trị bằng 9.
Bài 2. Cho hàm số : y = 3x + m. Hãy xác định hệ số m trong mỗi trường hợp sau :
a/ đồ thị của hàm số đã cho cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -8 ;
b/ đồ thị của hàm số đã cho đi qua M(-4 ; -17).
Bài 3. Cho hàm số bậc nhất y = mx – 7 . Hãy xác định m trong mỗi trường hợp sau :
a/ đồ thị của cắt đường thẳng y = 4x – 2 tại điểm có hoành độ bằng 5 ;
b/ đồ thị của cắt đường thẳng y = -2x + 3 tại điểm có tung độ bằng -7.
Bài 4. Biết với x = 6 thì hàm số y = 6x + m có giá trị là 20. Tìm m.
Bài 5. Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ và
a/ đi qua A(-8 ; 2) ; b/ có hệ số góc bằng -7 ; c/ song song với đường thẳng y = -3x + 5.
Dạng 4. Tính đồng biến, nghịch biến.
Bài 1. Trong các hàm số bậc nhất sau, hàm số nào là nghịch biến, đồng biến ?
3
a/ y x 9 ;
b/ y 7 9 x ; c/ y 8 x 5 ; d/ y (8 63) x 7 .
7
Bài 2. Tìm điều kiện của m để mỗi hàm số bậc nhất sau đồng biến :
a/ y = (m – 7)x + 5 ;
b/ y = (8 – m)x – 2.
ÔN TẬP CHƯƠNG III
Bài 1.
a/ Viết dạng tổng quát phương trình bậc nhất hai ẩn. Lấy 5 ví dụ phương trình bậc nhất
hai ẩn.
1
b/ Trong các phương trình sau : -x + 10y = 92 ; 0x - 0y = -18 ; 6 x - 7 y =
;
3
1 4 1
8,3x + 0y = 13 ; 0x -0,5y = 7 ; phương trình nào là phương trình bậc nhất hai ẩn ?
x y 2
Bài 2.
a/ Cặp số (-4 ; 10) là nghiệm của phương trình nào sau đây : 2x + 10y = 92 ; -12x + 8y
= 52 ; x - 3y = -34 ?
1
b/ Trong các cặp số sau : (-1 ; 3), (1 ; -3), 3 ; thì cặp số nào là nghiệm của
2
phương trình 7x - 4y = -19 ?
Trường THCS TT Phước Long – Năm học 2021-2022
9
Đề cương ôn tập thi vào lớp 10
Chuyên đề : Căn thức bậc hai.
c/ Cặp số (4 ; -4) có là nghiệm của phương trình (m - 1)x + (m + 1)y = 8 ?
Bài 3.
a/ Viết dạng tổng quát hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Lấy 5 ví dụ hệ phương trình
bậc nhất hai ẩn.
1
b/ Trong các cặp số sau : (-1 ; 3), (-2 ; 2), 3 ; thì cặp số nào là nghiệm của hệ
2
5 x 2 y 14
phương trình
?
7
x
4
y
19
Bài 4.
ax by c
,
,
,
0 có
a/ Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y ,
,
, với a, b, c, a , b , c
a
x
b
y
c
nghiệm vô số nghiệm, vô nghiệm, nghiệm duy nhất khi nào ?
ïì mx + 8y =16
b/ Hãy tìm điều kiện của m để hệ phương trình bậc nhất ïí
vô nghiệm ;
ïïî 2x + my = 6
mx y 5
có nghiệm duy nhất.
x
y
1
Bài 5. Giải các hệ phương trình sau :
ïì x - 2y = 5
ïì - x + 8y = 16
2x - 2y 0
ïì - 2 x + y =5
a/ ïí
;
b/ ïí
;
c/
;
d/ ïí
;
ïïî 2x + y =1
ïïî 2x - y = 6
ïïî x +3 y =1
-2x + y 0
ìï 3x + y = 1
ìï 6 x - 9 y =24
ìï - 2 x + y =5
e/ ïí
; g/ ïí
;
h/ ïí
;
ïïî x +2 y =- 3
ïïî - 2 x +3 y =8
ïïî 4 x - 2 y =- 10
1 1
x y 1
i/
;
3 4 5
x y
1 1 5
x y 24
k/
;
51 6 1
5 x 5 y
1 1 1
3 1
x y 80
x y 7
l/
; m/
10 12 2
2 1 8
x y 15
x y
xyt 24
x y 5
x y t 10
1
1
2
xyt
24
x
y
t
y t m 15
x 2 y 1
n/
; o/ 4 3 9
; p/ y t 7 ; q/
.
2
3
t
m
x
14
7 x 3 y 2t 37
xyt
1
x 2 y 1
m x y 12
4
x
t
Bài 6. Hãy tìm các giá trị của m và n để đa thức A(x) = (2m - 3n + 4)x + (2m + 5n - 12) bằng
đa thức 0.
Bài 7.
Trường THCS TT Phước Long – Năm học 2021-2022
10
Đề cương ôn tập thi vào lớp 10
Chuyên đề : Căn thức bậc hai.
a/ Xác định hàm số y = ax + b biết đường thẳng y = ax + b đi qua A(3 ; 1) và B(-3 ; 2).
b/ Tìm hai số a và b, biết 4a + 2b = 6 và đường thẳng ax + by = 5 đi qua điểm D(3 ; 2).
Bài 8. Hãy giải các bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình :
a/ Tìm hai số biết rằng tổng của chúng là 80, hiệu của chúng là 14.
b/ Trong một buổi lao động, lớp 9A chia thành hai tốp : tốp thứ nhất trồng cây, tốp thứ
hai làm vệ sinh. Tốp trồng cây đông hơn tốp làm vệ sinh là 8 em. Hai lần tốp trồng cây hơn
tốp làm vệ sinh là 28 em. Hỏi tốp trồng cây có bao nhiêu em ?
c/ Một ô tô đi từ Hà Nội đến Thanh Hóa với vận tốc 40 km/h. Sau 2 h nghỉ lại ở Thanh
Hóa ô tô là từ Thanh Hóa về Hà Nội với vận tốc 30 km/h. Tổng thời gian cả đi và về (kể cả
thời gian nghỉ lại ở Thanh Hóa) là 10 h 45 phút. Tính quãng đường Hà Nội - Thanh Hóa.
d/ Lúc 7 h một xe máy khởi hành từ A đến B, sau đó 1 h một ô tô khởi hành từ B đến
A với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe máy là 15 km/h, hai xe gặp nhau tại một địa điểm trên
quãng đường AB lúc 10 h. Tính quãng đường đi được của mỗi xe cho đến khi gặp nhau biết
quãng đường AB dài 250 km.
e/ Hai ô tô cùng khởi hành từ hai địa điểm A và B cách nhau 420 km, đi ngược chiều
nhau, sau 4 giờ chúng gặp nhau. Tìm vận tốc mỗi ô tô , biết rằng vận tốc ô tô đi từ A lớn hơn
vận tốc ô tô đi từ B là 15 km/h.
g/ Hai đội xây dựng làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong 12 ngày.
Nhưng khi làm chung được 8 ngày thì đội I được điều động đi làm công việc khác. Tuy chỉ
còn một mình đội II làm việc nhưng do cải tiến kĩ thuật nên năng suất của đội II tăng gấp đôi,
dẫn đến họ làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi với năng suất ban đầu, mỗi đội
làm một mình thì hoàn thành công việc trong bao nhiêu ngày ?
ÔN TẬP CHƯƠNG IV PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI-HÀM SỐ y =
ax2.
A. Kiến thức cơ bản.
1/ Công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn.
a/ Công thức nghiệm.
D = b2 – 4ac.
- b+ D
- b- D
, x2 =
.
D > 0. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt : x1 =
2a
2a
-b
.
D > 0. Phương trình có nghiệm kép : x1 = x2 =
2a
D < 0. Phương trình vô nghiệm.
Lưu ý : Phương trình bậc hai có nghiệm. D 0.
b/ Công thức nghiệm thu gọn.
D ' = b’2 – ac.
- b' + D '
- b' - D '
'
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt : x1 =
, x2 =
.
D > 0.
a
a
- b'
'
.
D > 0. Phương trình có nghiệm kép : x1 = x2 =
a
Trường THCS TT Phước Long – Năm học 2021-2022
11
Đề cương ôn tập thi vào lớp 10
Chuyên đề : Căn thức bậc hai.
D < 0. Phương trình vô nghiệm.
2/ Hệ thức Vi-ét.
a/ Định lí Vi-ét. Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có nghiệm x1, x2 thì
-b
c
x1 + x2 =
, x1.x2 = .
a
a
Lưu ý : Phải chắc chắn phương trình có nghiệm mới sử dụng được định lí Vi-ét. Để khẳng
định phương trình có nghiệm ta cần có D 0 hoặc trường hợp đực biệt là a và c trái dấu.
b/ Hệ quả.
b1/ Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có a + b + c = 0 thì phương trình có
nghiệm
c
x1 = 1, x2 = .
a
b2/ Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có a – b + c = 0 thì phương trình có
nghiệm
-c
x1 = -1, x2 =
.
a
b3/ Nếu tam thức bậc hai ax2 + bx + c có nghiệm x1, x2 thì ax2 + bx + c = a(x – x1)(x –
x2).
Lưu ý : Hai nghiệm có thể là phân biệt hoặc kép.
c/ Định lí Vi-ét đảo. Nếu 2 số có tổng bằng S, tích bằng P thì 2 số đó là nghiệm của
phương trình x2 – Sx + P = 0.
Lưu ý : Điều kiện để có hai số : S2 – 4P ³ 0.
3/ Hằng đẳng thức.
(A + B)2 = A2 + B2 + 2AB. Þ A2 + B2 = (A + B)2 - 2AB.
(A - B)2 = A2 + B2 - 2AB. Þ (A - B)2 = (A + B)2 - 4AB.
(A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B). Þ A3 + B3 = (A + B)3 - 3AB(A + B).
4/ Phương trình trùng phương. Dạng tổng quát ax4 + bx2 + c = 0 với a ¹ 0.
'
5/ Hàm số y = ax2.
a/ Giá trị.
Khi x = 0 thì y = 0.
Nếu a > 0 (dương) thì y = 0 là giá trị nhỏ nhất.
Nếu a < 0 (âm) thì y = 0 là giá trị lớn nhất.
x đối nhau thì y bằng nhau.
b/ Đồ thị (P) : y = ax2.
Là một đường cong đi qua gốc tọa độ.
Nếu a > 0 (dương) thì đồ thị nằm trên trục hoành Ox, gốc tọa độ O(0 ; 0) là điểm thấp nhất
của đồ thị.
Nếu a < 0 (âm) thì đồ thị nằm dưới trục hoành Ox, gốc tọa độ O(0 ; 0) là điểm cao nhất của
đồ thị.
Trường THCS TT Phước Long – Năm học 2021-2022
12
Đề cương ôn tập thi vào lớp 10
Chuyên đề : Căn thức bậc hai.
Hai điểm (x ; y) và (-x ; y) thuộc (P) thì đối xứng nhau qua trục tung Oy. Có nghĩa là đồ thị
hàm số y = ax2 nhận trục tung Oy là trục đối xứng.
c/ Tính đồng biến, nghịch biến.
Nếu a > 0 thì hàm số y = ax2 nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0.
Nếu a < 0 thì hàm số y = ax2 đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0.
Lưu ý : Có thể dùng đồ thị để kết luận về tính đồng biến, nghịch biến.
B. Bài tập.
Dạng 1. Giải phương trình.
Bài 1. Giải phương trình (dùng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn).
a/ 7x2 – 8x – 15 = 0.
b/ 7x2 + 8x – 15 = 0.
c/ x2 – 5x + 6 = 0.
d/ x2 + 5x + 6 = 0.
e/ 6x2 – 7x + 2 = 0.
g/ 5x2 + 6x – 12 = 0.
h/ x2 + 10x + 25 = 0.
i/ 16x2 – 24x + 9 = 0.
k/ 3x2 + 8x + 12 = 0.
l/ -7x2 + 8x – 15 = 0.
m/ -5x2 + x – 1 = 0.
n/ -x2 – 12x – 36 = 0.
1 2 7
o/
x +
x – 19 = 0. p/ 4x2 + 2 3 x + 3 – 1 = 0.
q/ -x2 – 12x – 36 = 0.
12
12
2
r/ 9x – 36 = 0.
s/ -4x2 + 12 = 0. t/ 3x2 + 12 = 0.
u/ -x2 – 2 = 0.
v/ 9x2 + x = 0.
x/ 4x2 – 12x = 0.
Lưu ý :
b
Nếu phương trình khuyết b (b = 0, cũng có nghĩa là
= 0) thì phương trình có hai nghiệm
a
đối nhau khi a và c trái dấu ; phương trình vô nghiệm khi a và c cùng dấu.
Nếu phương trình khuyết c (c = 0) thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt trong đó
một nghiệm bằng 0.
Bài 2. Giải phương trình (nhẩm nghiệm dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0).
a/ 17x2 – 8x – 9 = 0.
b/ 7x2 + 8x – 15 = 0.
c/ 11x2 + 5x – 6 = 0.
d/ 11x2 + 15x + 4 = 0.
e/ x2 + 15x – 16 = 0.
g/ x2 + 5x + 4 = 0.
h/ x2 + (m + 5)x + m + 4 = 0. i/ (m – 1)x2 + (2m + 3)x – 3m + 2 = 0 với m khác 1.
Bài 3. Giải phương trình (phương trình trùng phương).
Phương pháp : Đặt m = x2 (m ³ 0), thì phương trình ax4 + bx2 + c = 0 (1) trở thành am2 + bm
+ c = 0 (2). Đi giải phương trình (2) rồi so sánh với điều kiện m ³ 0.
a/ x4 – 10x2 + 9 = 0. b/ 3x4 – 8x2 – 3 = 0. c/ 4x4 + 17x2 + 4 = 0. d/ x4 – 8x2 + 16 =
0.
Bài 4. Giải phương trình (phương trình chứa ẩn ở mẫu)
2x
5
5
2x 5
3x
4x
x 1
a/
. b/
. c/
.
x 2 x 3 ( x 2)( x 3)
x 1 x 2
x 1 x 2
Trường THCS TT Phước Long – Năm học 2021-2022
13
Đề cương ôn tập thi vào lớp 10
Chuyên đề : Căn thức bậc hai.
1
3
1
14
1
x
5 2x
1
1
.
e/
.
g/
. h/
3 x 2 27 4
x 3
x2 4
2 x
x 3 x 2 3x
x 0,5 7 x 2
.
3x 1 9 x 2 1
Bài 5. Giải phương trình (phương trình tích).
a/ (2 x 2 - 3x – 1)(x2 – 9) = 0.
b/ (2 x 2 + x – 4)2 – (2x – 1)2 = 0.
c/ 1,2 x3 - x2 – 0,2x = 0.
d/ 5x3 – x2 – 5x + 1 = 0.
Dạng 2. Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai.
1/ Tìm GTNN.
a/ A = x2 + 2x + 3. b/ B = x2 + 4x – 3. c/ C = 9x2 + 12x + 4. d/ C = 4x2 – 20x + 27.
e/ E = 3x2 + 12x + 17. g/ G = 5x2 – 40x – 2. h/ H = 2x2 – 6x + 1. i/ M = 3x2 – 5x + 1.
2/ Tìm GTLN.
a/ A = -x2 + 2x – 3.
b/ B = -x2 + 4x – 3. c/ C = -9x2 + 12x – 4. d/ C = -4x2 – 20x
+ 27.
e/ E = -3x2 + 12x – 17. g/ G = -5x2 – 40x – 2. h/ H = -2x2 – 6x + 1. i/ M = -3x2 – 5x +
1.
Dạng 3. Điều kiện tồn tại nghiệm.
*Phương pháp : Xét các khả năng sau :
+/ D > 0 ; có hai nghiệm phân biệt
+/ Nên sử dụng D , (nếu được)
+/ D = 0 ; có nghiệm kép
cho đơn giản.
D
<
0
+/
; vô nghiệm
D
³
0
+/
; có nghiệm
d/
Bài 1. Tìm điều kiện của m để mỗi phương trình bậc hai ẩn x sau có hai nghiệm phân
biệt.
1/ x2 – 2(m + 1)x - m2 = 0 2/ x2 – 2(m + 3)x + m2 = 0 3/ (m + 1)x2 – 4mx + 4m – 1 = 0
4/ mx2 – 4x – 1 = 0.
Bài 2. Tìm điều kiện của m để mỗi phương trình bậc hai ẩn x sau có nghiệm kép .
2
1/ 3x + (m + 1)x + 4 = 0 ; 2/ mx2 – 2(m - 1)x + 2 = 0; 3/ (m – 1)x2 – 4(m + 1)x + 4m + 3 =
0;
4/ x2 – 4mx +4m2 = 0
Bài 3. Tìm điều kiện của m để mỗi phương trình bậc hai ẩn x sau có nghiệm.
2
1/ mx – (2m - 1)x + m - 2 = 0
2/ 2x2 – (4m + 3)x + 2m2 - 1 = 0
Bài 4. Tìm điều kiện của m để mỗi phương trình bậc hai ẩn x sau vô nghiệm.
2
1/ 3x - 2x + m = 0
2/ 3x2 – 2mx + m2 = 0
Dạng 3. Tìm tổng và tích của hai nghiệm (nếu có) mà không giải phương trình.
1/ 2x2 + 3x – 6 = 0 2/ x2 – 6x + 9 = 0 3/ 3x2 + 5x + 5 = 0.
Dạng 4.Tìm hai số khi biết tổng và tích.
1/ u + v = 26 ; uv = 165. 2/ u + v = -11 ; uv = -60. 3/ u + v =3 ; uv = 7. 4/ u + v =14 ; uv =
49.
5/ u - v = 7 ; uv = 144.
Trường THCS TT Phước Long – Năm học 2021-2022
14
Đề cương ôn tập thi vào lớp 10
Chuyên đề : Căn thức bậc hai.
Dạng 6. Đã biết một nghiệm, tìm nghiệm còn lại.
x1 + x2 =
- b
- b
Þ x2 =
- x1 ;
a
a
1/ x2 – x – 6 = 0 ; x1 = 3
x1.x2 =
c
c
Þ x2 =
: x1 (x1 ¹ 0).
a
a
2/ x2 – 2mx + m + 2 = 0 ; x1 = 5.
Dạng 7. Điều kiện có nghiệm thỏa mãn hệ thức đối xứng.
(A + B)2 = A2 + B2 + 2AB Þ A2 + B2 = (A + B)2 - 2AB.
(A - B)2 = A2 + B2 - 2AB Þ (A - B)2 = (A + B)2 - 4AB.
(A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) Þ A3 + B3 = (A + B)3 - 3AB(A + B).
Bài 1. Không giải phương trình x2 – 3x – 4 = 0, hãy tính :
1
1
1/ x12 + x22 ; 2/ x 2 x 2 ;
3/ x13 + x23.
1
2
Bài 2. Xác định k để phương trình x2 + 2x + k = 0 có hai nghiệm thỏa mãn : x12 + x22 =
12
Bài 3. Cho phương trình : x2 – 2mx + 2m – 1 = 0
1/ Giải phương trình khi m = 2 ;
2/ Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m ;
3/ Gọi x1, x2 là nghiệm, hãy tìm m sao cho : 2(x12 + x22) – 5x1x2 = 27.
Dạng 8. Điều kiện có nghiệm thỏa mãn hệ thức không đối xứng.
Bài 1. Tìm m để phương trình x2 + 2x + m = 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 3x1 + 2x2
= 1.
Bài 2. Tìm m để phương trình x2 - 2(k - 2)x - 2k - 5 = 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn
2x1 - x2 = 7.
Dạng 10. Tổng hợp.
Bài 1. Cho phương trình 4 x 2 - 3x - 1 = 0
a/ Không tính D hay D , , hãy giải thích vì sao phương trình luôn có hai
nghiệm phân biệt ?
b/ Tìm tổng và tích hai nghiệm mà không giải
phương trình.
Bài 2. Cho phương trình x 2 + 5x - 6 = 0 .
a/ Không tính D hay D , , hãy giải thích vì sao phương trình luôn có hai
nghiệm phân biệt ?
b/Hãy dùng định lí Vi – ét để tính x1 + x2, x1.x2, x12 +
x22.
Bài 3. Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m : m x 2 + 4x + 3 = 0 .
a/ Giải phương trình với m = -7. b/ Tìm m để luôn có hai nghiệm phân
biệt.
Bài 4. Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m : 7 x 2 + 2(m – 1)x - m2 = 0 .
a/ Giải phương trình với m = 3.
b/ Tìm m để phương trình có
nghiệm.
c/ Tính tổng và tích hai nghiệm.
Trường THCS TT Phước Long – Năm học 2021-2022
15
Đề cương ôn tập thi vào lớp 10
Chuyên đề : Căn thức bậc hai.
Bài 5. Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m : x + 2(m – 1)x + m2 + 5 = 0 .
a/ Giải phương trình với m = -2.
b/ Xác định hệ số a, b, b’, c. Tìm m để phương trình hai nghiệm phân biệt.
c/ Tính tổng và tích hai nghiệm.
Bài 6. Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: x 2 + 7x + m = 0 .
a/ Giải phương trình với m = 10.
b/ Tìm m để phương trình
vônghiệm.
c/ Tính tổng và tích hai nghiệm trong trường hợp phương trình có nghiệm.
2
Dạng 11. Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
1/ Toán chuyển động (Bài tập trong SGK 43 ; 47 ; 52; 65).
2/ Toán về quan hệ giữa các số (Bài tập trong SGK 41 ; 44 ; 45 ; 64).
3/ Toán năng suất (Bài tập trong SGK 49).
4/ Toán có nội dung hình học (Bài tập trong SGK 46 ; 48 ; 66).
5/ Các dạng khác (Bài tập trong SGK 42 ; 50 ; 51; 63).
Chuyên đề : Hàm số y = ax2.
A. Kiến thức cơ bản.
- Dạng tổng quát.
- Đồ thị.
- Tính đồng biến, nghịch biến.
B. Bài tập.
Dạng 1. Đồ thị.
Bài 1. Vẽ đồ thị.
1/ y =
;
1 2
1
3
3 2
x ; 2/ y = x 2 ; 3/ y = x 2 ; 4/ y =
x ; 5/ y = 2x 2 ; 6/ y = 2x 2
2
2
4
4
1
1
7/ y = x 2 ; 8/ y = x 2 ; 9/ (P) : y = x 2 và (d) : y = 3x – 2.
4
4
Bài 2. Vẽ đồ thị của mỗi cặp hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
3 2
3
x và y = x 2 ; 2/ (P) : y = x 2 và (d) : y = 3x – 2 ;
2
2
3/ (P) : y = x 2 và (d) : y = -4x + 4 ; 4/ (P) : y = x 2 và (d) : y = 2x – 3.
1/ y=
Bài 3. Tìm điều kiện của m để đồ thị hàm số y = (m + 1)x2 có điểm cao nhất.
Dạng 2.Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d) (không dùng đồ thị).
1/ (P) : y = x 2 và (d) : y = 3x – 2 ; 2/ (P) : y = x 2 và (d) : y = -4x + 4 ;
3/ (P) : y = x 2 và (d) : y = 2x – 3.
Dạng 3. Xác định hàm số. Xác định hệ số a của hàm số y = ax2 biết đồ thị của hàm số
đi qua điểm A(2 ; -2).
Dạng 4. Tính đồng biến, nghịch biến của y = ax2.
Nếu a > 0 thì hàm số y = ax2 nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0.
Nếu a < 0 thì hàm số y = ax2 đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0.
1 2
x .
4
Trường THCS TT Phước Long – Năm học 2021-2022
1/ y = 2x 2 ; 2/ y =
16
Đề cương ôn tập thi vào lớp 10
Chuyên đề : Căn thức bậc hai.
Trường THCS TT Phước Long – Năm học 2021-2022
17
- Xem thêm -
.DOC 
17 
1 
101 
