Tài liệu Dạy học về cách ghi và đọc số tự nhiên trong hệ ghi số thập phân (2017)

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC ************ HOÀNG KHÁNH HUYỀN DẠY HỌC VỀ CÁCH GHI VÀ ĐỌC SỐ TỰ NHIÊN TRONG HỆ GHI SỐ THẬP PHÂN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán Tiểu học HÀ NỘI - 2017 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC ************ ************ HOÀNG KHÁNH HUYỀN HOÀNG KHÁNH HUYỀN DẠY HỌCVỀ CÁCH GHI DẠY HỌC VỀ CÁCH GHI VÀ ĐỌC SỐ TỰ NHIÊN VÀ ĐỌC SỐ TỰ NHIÊN TRONG HỆ GHI SỐ THẬP PHÂN TRONG HỆ GHI SỐ THẬP PHÂN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán Tiểu học KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán Tiểu học Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN NĂNG TÂM HÀ NỘI - 2017 HÀ NỘI - 2017 LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Giáo dục Tiểu học – Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2, các thầy cô giáo và các bạn sinh viên trong khoa Giáo dục Tiểu học đã tạo điều kiện thuận lợi nhất, giúp đỡ em trong quá trình thực hiện đề tài này. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy giáo PGS. TS Nguyễn Năng Tâm, ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn, chỉ bảo em trong suốt quá trình thực hiện đề tài. Mặc dù em đã cố gắng, nỗ lực để hoàn thành, song do thời gian và năng lực có hạn nên khóa luận còn những hạn chế và thiếu sót nhất định. Em kính mong nhận đƣợc sự chỉ bảo của quý thầy cô và các bạn để khóa luận này đƣợc hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 4 năm 2017 Sinh viên Hoàng Khánh Huyền LỜI CAM ĐOAN Kết quả nghiên cứu đề tài: “Dạy học về cách ghi và đọc số tự nhiên trong hệ ghi số thập phân” là thành quả của việc tự tìm hiểu, tự nghiên cứu dƣới sự chỉ bảo của giáo viên hƣớng dẫn và tham khảo những tài liệu có liên quan. Em xin cam đoan khóa luận “Dạy học về cách ghi và đọc số tự nhiên trong hệ ghi số thập phân” là kết quả nghiên cứu của riêng em, đề tài không trùng với đề tài của tác giả khác. Hà Nội, tháng 4 năm 2017 Sinh viên Hoàng Khánh Huyền MỤC LỤC MỞ ĐẦU ...............................................................................................................1 1. Lý do chọn đề tài ...........................................................................................1 2. Đối tƣợng nghiên cứu ....................................................................................2 3. Phạm vi nghiên cứu .......................................................................................2 4. Mục đích nghiên cứu .....................................................................................3 5. Phƣơng pháp nghiên cứu ...............................................................................3 6. Nhiệm vụ nghiên cứu ....................................................................................3 7. Cấu trúc đề tài ................................................................................................3 NỘI DUNG............................................................................................................4 CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN .........................................................................4 1.1. Lý luận dạy học ..........................................................................................4 1.1.1. Một số đặc điểm tâm lý học sinh tiểu học...........................................4 1.1.2. Một số khái niệm cơ bản ......................................................................8 1.2. Dạy học cách ghi và đọc số tự nhiên trong hệ ghi số thập phân............15 1.2.1. Vai trò của dạy học cách ghi và đọc số tự nhiên .............................15 1.2.2. Yêu cầu dạy học cách ghi và đọc số tự nhiên trong hệ ghi số thập phân ...............................................................................................................15 1.2.3. Các giai đoạn dạy học cách ghi và đọc số tự nhiên trong hệ ghi số thập phân............................................................................................16 1.2.4. Một số khó khăn trong dạy học cách ghi và đọc số tự nhiên trong hệ ghi số thập phân ............................................................................16 KẾT LUẬN CHƢƠNG 1 ...................................................................................17 CHƢƠNG 2. NỘI DUNG VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC CÁCH GHI VÀ ĐỌC SỐ TỰ NHIÊN TRONG HỆ GHI SỐ THẬP PHÂN ......................18 2.1. Mục tiêu dạy học cách ghi và đọc số tự nhiên trong hệ ghi số thập phân...................................................................................................................18 2.2. Nội dung dạy học cách ghi và đọc số tự nhiên trong hệ ghi số thập phân...................................................................................................................19 2.2.1. Dạy học phép đếm ..............................................................................19 2.2.2. Trình tự sắp xếp nội dung dạy học các số tự nhiên trong chương trình tiểu học ...................................................................................19 2.2.3. Giúp học sinh nắm được cách đọc các số tự nhiên trong hệ ghi số thập phân ..................................................................................................22 2.2.4. Giúp học sinh nắm vững cách viết số tự nhiên trong hệ ghi số thập phân.......................................................................................................24 2.3. Một số phƣơng pháp dạy học cách ghi và đọc số tự nhiên trong hệ ghi số thập phân trong môn Toán ở Tiểu học ................................................26 2.3.1. Phương pháp động não......................................................................27 2.3.2. Phương pháp thảo luận nhóm ...........................................................29 2.3.3. Phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề ...................................30 2.3.4. Phương pháp trò chơi ........................................................................31 2.4. Một số bài tập về cách ghi và đọc số tự nhiên trong hệ ghi số thập phân ở Tiểu học................................................................................................33 2.5. Một số lƣu ý khi dạy học cách ghi và đọc số tự nhiên trong hệ ghi số thập phân ở Tiểu học ...................................................................................35 KẾT LUẬN CHƢƠNG 2 ...................................................................................37 CHƢƠNG 3. ĐỀ XUẤT QUY TRÌNH DẠY HỌC CÁCH GHI VÀ ĐỌC SỐ TỰ NHIÊN TRONG HỆ GHI SỐ THẬP PHÂN Ở TIỂU HỌC ....38 3.1. Nguyên tắc đề xuất quy trình ...................................................................38 3.2. Đề xuất quy trình thiết kế hoạt động dạy học cách ghi và đọc số tự nhiên trong hệ ghi số thập phân ở Tiểu học ...................................................40 3.3. Giáo án về dạy học cách ghi và đọc số tự nhiên trong hệ ghi số thập phân ở chủ đề dạy học số tự nhiên ở Tiểu học ......................................44 KẾT LUẬN CHƢƠNG 3 ...................................................................................50 KẾT LUẬN .........................................................................................................51 TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................52 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Tiểu học đƣợc coi là cấp học nền tảng, đặt cơ sở ban đầu cho việc hình thành, phát triển toàn diện nhân cách con ngƣời, đặt nền tảng vững chắc cho giáo dục phổ thông và toàn bộ hệ thống giáo dục quốc dân. Giáo dục Tiểu học nhằm tạo cơ sở ban đầu cho sự phát triển đúng đắn và lâu dài về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản để học sinh tiếp tục học lớp trên. Học sinh tiểu học thuộc giai đoạn tuổi từ 6 đến 10 tuổi nên có những đặc điểm phát triển tâm lý, sinh lý riêng. Vì thế, dạy học ở tiểu học cần có cái nhìn khoa học về tâm lý của trẻ để lựa chọn phƣơng pháp giáo dục phù hợp. Trong trƣờng tiểu học cùng với các môn học khác, môn Toán có vị trí quan trọng bởi vì: + Toán học với tƣ cách là một môn khoa học nghiên cứu một số mặt của thế giới khách quan, có một hệ thống kiến thức cơ bản và phƣơng pháp nhận thức cơ bản rất cần thiết cho đời sống, sinh hoạt, lao động. + Khả năng giáo dục nhiều mặt của môn Toán rất to lớn, nó có nhiều khả năng để phát triển tƣ duy logic, biểu diễn và phát triển những thao tác trí tuệ cần thiết để nhận thức thế giới hiện thực. Nó có vai trò to lớn trong việc rèn luyện phƣơng pháp suy nghĩ, suy luận, giải quyết vấn đề có căn cứ khoa học, toàn diện, chính xác, phát triển trí thông minh, tƣ duy độc lập, linh hoạt sáng tạo trong việc hình thành và rèn luyện trong mọi lĩnh vực hoạt động của con ngƣời. Số tự nhiên là một thành tựu toán học lâu đời nhất của loài ngƣời. Ngày nay, số tự nhiên đƣợc sử dụng mọi lúc, mọi nơi của đời sống xã hội: Trong giao dịch, mua bán, thƣ tín, điện tử… khó có thể hình dung một xã hội không có số tự nhiên. Số tự nhiên ra đời do nhu cầu nhận biết số lƣợng của sự vật. Nhu cầu đó xuất hiện ngay trong cả một xã hội đơn sơ nhất; khi xã hội càng 1 phát triển nhu cầu đó ngày càng tăng lên. Do đó, việc dạy học số tự nhiên có vai trò rất quan trọng trong việc dạy học toán Tiểu học. Học sinh nắm đƣợc các kiến thức về số tự nhiên là cơ sở để tiếp thu các kiến thức khác và học sinh có thể vận dụng vào trong thực tế. Trong chƣơng trình Toán Tiểu học, việc dạy học cách ghi và đọc số tự nhiên trong hệ ghi số thập phân đƣợc đƣa chủ yếu vào lớp 4 và nền tảng của nội dung này đƣợc giáo viên dạy cho học sinh viết các số tự nhiên có 1, 2, 3 chữ số từ các lớp 1, 2, 3. Các số tự nhiên đƣợc trình bày theo từng số, bắt đầu từ số 1 và theo thứ tự phép đếm. Với mong muốn tìm tòi và nghiên cứu về vấn đề dạy học cách ghi và đọc số tự nhiên trong hệ ghi số thập phân trong chủ đề số tự nhiên để nắm vững đƣợc phƣơng pháp và quy trình dạy các bài học, trên cơ sở đó chuyển tải những kiến thức đó đến học sinh sao cho dễ hiểu và đảm bảo tính chính xác, đồng thời phát triển tƣ duy và tính tích cực học tập của học sinh, đƣa học sinh vào hoạt động học tập có chủ đích đƣợc tổ chức vừa sức với các em. Để đáp ứng yêu cầu và nhiệm vụ trên, để góp phần nâng cao chất lƣợng, hiệu quả của việc dạy họcToán ở Tiểu học, em đã quyết định chọn đề tài nghiên cứu: “Dạy học về cách ghi và đọc STN trong hệ ghi số thập phân”. 2. Đối tƣợng nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu: Dạy học về cách ghi và đọc số tự nhiên trong hệ ghi số thập phân trong chƣơng trình môn Toán Tiểu học. Khách thể nghiên cứu: Hoạt động dạy học cách ghi và đọc số tự nhiên cho học sinh Tiểu học. 3. Phạm vi nghiên cứu - Giới hạn nội dung: Nghiên cứu trên cơ sở nội dung số học ở Đại học và vận dụng trong dạy học số học trong môn Toán ở Tiểu học. - Giới hạn địa bàn: Trƣờng Tiểu học Việt Hùng. 2 4. Mục đích nghiên cứu Nhằm góp phần nâng cao hiệu quả của việc dạy học môn Toán nói chung và xây dựng kế hoạch dạy học về cách ghi và đọc số tự nhiên trong hệ ghi số thập phân trong chƣơng trình môn Toán Tiểu học nói riêng. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phƣơng pháp nghiên cứu tài liệu - Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận - Phƣơng pháp thực nghiệm - Phƣơng pháp phân tích, tổng hợp, so sánh 6. Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu một số vấn đề lý luận về dạy học cách ghi và đọc số tự nhiên trong hệ ghi số thập phân ở Tiểu học và tính tích cực của học sinh. - Xây dựng kế hoạch dạy học. - Phân tích một số nội dung kiến thức có liên quan ở Đại học về số tự nhiên, phân tích các kiến thức, phƣơng pháp dạy học về số tự nhiên (cách ghi và đọc số tự nhiên trong hệ ghi số thập phân). 7. Cấu trúc đề tài Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và tài liệu tham khảo thì khóa luận gồm 3 chƣơng: Chương 1: Cơ sở lý luận về đề tài Chương 2: Nội dung và phương pháp dạy học về cách ghi và đọc số tự nhiên trong hệ ghi số thập phân Chương 3: Đề xuất quy trình dạy học cách ghi và đọc số tự nhiên trong hệ ghi số thập phân 3 NỘI DUNG CHƢƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1. Lý luận dạy học 1.1.1. Một số đặc điểm tâm lý học sinh tiểu học 1.1.1.1. Đặc điểm của quá trình nhận thức ở học sinh tiểu học a. Tri giác ở học sinh tiểu học - Cảm giác, tri giác là khâu đầu tiên của quá trình nhận thức cảm tính, nhƣng cảm giác chỉ đem lại những mặt tƣơng đối rời rạc, chỉ có tri giác mới đạt tới nhận thức toàn bộ của sự vật trực tiếp. Chính vì vậy các nhà tâm lý học đã đặc biệt chú ý tới khả năng tri giác của trẻ. Nhƣ vậy, tri giác rất quan trọng đối với hoạt động nhận thức của trẻ. - Tri giác là quá trình nhận thức tâm lý phản ánh một cách trọn vẹn các thuộc tính, hình ảnh của sự vật hiện tƣợng khi chúng đang trực tiếp tác động vào giác quan. - Ở các lớp đầu bậc tiểu học, do chƣa biết phân tích, tổng hợp nên tri giác của các em thƣờng gắn với hành động, với hoạt động thực tiễn của trẻ. Các em tri giác trên tổng thể, khó phân biệt những đối tƣợng gần giống nhau. Tri giác của trẻ gắn với hành động trên đồ vật và không có tính chủ động cao dẫn đến việc phân biệt các đối tƣợng, đặc biệt là các đối tƣợng na ná giống nhau thiếu chính xác, dễ mắc sai lầm có khi còn lẫn lộn. Tri giác về thời gian và không gian còn hạn chế, do kinh nghiệm sống ít ỏi. b. Sự chú ý của học sinh tiểu học - Chú ý của học sinh tiểu học là điều quan trọng để các em tiến hành hoạt động học tập. 4 - Chú ý là trạng thái tâm lý của học sinh giúp các em tập trung một hoặc một số đối tƣợng để tiếp thu các đối tƣợng này một cách tốt nhất. Ở học sinh tiểu học có hai loại chú ý: Chú ý không chủ định và chú ý có chủ định.  Chú ý không chủ định là loại chú ý không có mục đích đặt ra từ trƣớc, không có sự nỗ lực của ý chí.  Chú ý có chủ định là loại chú ý có mục đích đặt ra từ trƣớc và có sự nỗ lực của ý chí. - Cả hai loại chú ý đều hình thành và phát triển ở học sinh tiểu học. Sự chú ý không chủ định chiếm ƣu thế ở học sinh đầu bậc tiểu học, khả năng tập trung của các em còn hạn chế. Các em còn chú ý đến những cái mới, lạ, hấp dẫn, trực quan đập vào mắt hơn là những cái cần quan sát. Vì thế giáo viên tiểu học cần chú ý khi sử dụng đồ dùng trực quan. - Về cuối bậc tiểu học cấp độ chú ý của học sinh tiểu học ngày càng hoàn thiện hơn. c. Trí nhớ của học sinh tiểu học - Trí nhớ là quá trình các em ghi lại thông tin và cần thiết có thể tái hiện lại. Ở học sinh tiểu học có hai loại trí nhớ: Trí nhớ không chủ định và trí nhớ có chủ định.  Trí nhớ không chủ định là loại trí nhớ không có mục đích đặt ra từ trƣớc, không cần sự nỗ lực của ý chí.  Trí nhớ có chủ định là loại trí nhớ có mục đích đặt ra từ trƣớc và sử dụng biện pháp để ghi nhớ. - Ở học sinh tiểu học trí nhớ trực quan hình ảnh phát triển tốt hơn trí nhớ từ ngữ trừu tƣợng, hình tƣợng và trí nhớ máy móc đƣợc phát triển hơn trí nhớ từ ngữ logic. 5 d. Tƣởng tƣợng của học sinh tiểu học - Tƣởng tƣợng là quá trình học sinh tạo ra hình ảnh mới dựa vào các biểu tƣợng đã biết. Ở học sinh tiểu học có hai loại tƣởng tƣợng: Tƣởng tƣợng tái tạo và tƣởng tƣợng sáng tạo.  Tƣởng tƣợng tái tạo là học sinh hình dung ra những gì đã nhìn thấy, đã cảm nhận, đã trải qua trong quá khứ.  Tƣởng tƣợng sáng tạo là quá trình tạo ra hình ảnh hoàn toàn mới. Tƣởng tƣợng của học sinh tiểu học phát triển ngày càng phong phú hơn, song nhìn chung tƣởng tƣợng của các em còn tản mạn, ít có tổ chức mà còn chịu tác động nhiều của hứng thú, kinh nghiệm sống và các mẫu hình đã biết. e. Tƣ duy của học sinh tiểu học - Tƣ duy của học sinh là một quá trình nhận thức giúp các em phản ánh đƣợc bản chất của đối tƣợng nghĩa là giúp các em tiếp thu đƣợc các khái niệm ở các môn học. Để tiếp thu khái niệm học sinh phải tiến hành thao tác tƣ duy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tƣợng hóa, khái quát hóa. Tƣ duy của học sinh tiểu học chia làm 2 giai đoạn:  Giai đoạn đầu tiểu học (lớp 1, 2, 3) Tƣ duy của học sinh ở giai đoạn này chủ yếu là tƣ duy cụ thể (tƣ duy trực quan hình ảnh và trực quan hành động). Học sinh tiếp thu tri thức các môn học bằng cách tiến hành các thao tác tƣ duy với các đối tƣợng cụ thể hoặc là hình ảnh trực quan. Ví dụ: Khi học phép tính học sinh phải sử dụng que tính để tính toán. Phân tích và tổng hợp phát triển không đồng đều khi các em học các môn: Ví dụ: Khi học sinh làm bài tập toán, các em bị lôi cuốn vào các từ “thêm vào”, “bớt đi” hoặc “kém”, tách khỏi điều kiện chung của bài tập từ đó dẫn đến kết quả sai lầm. 6 Các thao tác tƣ duy đã liên kết với nhau thành tổng thể bằng tính thuận nghịch giúp học sinh tiếp thu đƣợc nguyên lý bảo toàn. Từ đó, trong tƣ duy của học sinh có một bƣớc tiến quan trọng đó là phân biệt đƣợc định tính và định lƣợng. Đó cũng là điều kiện ban đầu để hoàn thành khái niệm số ở học sinh đầu tiểu học và học sinh nhận thức đƣợc tính quy luật. Ví dụ: Nếu a > b thì b < a Sau đó, nếu a > b, b > c thì a > c Từ đó nhận thức đƣợc quan hệ thứ tự bằng quan hệ “>”, “<” đƣa đến khả năng phân biệt hệ thống này với hệ thống kia. Suy luận của các em còn mang tính chủ quan và gắn liền với kinh nghiệm thực tế, khó chấp nhận giả thiết không thực. Khái quát hóa còn mang tính trực tiếp dựa vào sự tri giác những thuộc tính bề mặt của đối tƣợng.  Giai đoạn cuối tiểu học (lớp 4, 5)  Ở giai đoạn này tƣ duy trừu tƣợng chiếm ƣu thế hơn. Học sinh tiếp thu tri thức các môn học bằng cách tiến hành các thao tác tƣ duy với các ký hiệu.  Các thao tác tƣ duy đã liên kết với nhau: Thao tác thuận và ngƣợc. Tính kết hợp nhiều thao tác, các thao tác đồng nhất.  Khái quát hóa: Học sinh biết dựa vào các dấu hiệu bản chất của đối tƣợng để khái quát hóa.  Học sinh xác lập mối quan hệ từ nguyên nhân đến kết quả tốt hơn từ kết quả đến nguyên nhân. 1.1.1.2. Hoạt động học của học sinh tiểu học - Hoạt động học là hoạt động chủ đạo của học sinh tiểu học. Đây là hoạt động có đối tƣợng mới là tri thức khoa học của các lĩnh vực khoa học tƣng ứng. Hoạt động học quyết định sự hình thành cấu tạo tâm lý đặc trƣng của lứa tuổi học sinh tiểu học đó là sự phát triển trí tuệ. 7 - Hoạt động học là hoạt động do học sinh thực hiện nhằm tiếp thu tri thức, kỹ năng, kỹ xảo của các môn học để hình thành và phát triển nhân cách ngƣời học theo mục tiêu giáo dục của nhà trƣờng. - Hoạt động học bao giờ cũng có chủ thể và đối tƣợng. Đối tƣợng của hoạt động học là tri thức khoa học mà loài ngƣời đã phát hiện ra. Chủ thể của hoạt động học là mỗi học sinh đang tiến hành hoạt động học. Học sinh trở thành chủ thể đích thực khi tác động vào tri thức và tiếp thu nó. Hoạt động học không chỉ hƣớng vào tiếp thu tri thức, kỹ năng, kỹ xảo mà còn hƣớng vào tiếp thu tri thức của hoạt động học. 1.1.2. Một số khái niệm cơ bản 1.1.2.1. Số tự nhiên a. Lịch sử của số tự nhiên và vị trí của số 0 - Số tự nhiên có lẽ xuất hiện nhằm mục đích đếm các vật trong tự nhiên, bắt đầu từ số 1. Thành tựu lớn nhất chính là việc trừu tƣợng hóa, dùng các chữ số để chỉ lƣợng. Từ đây hình thành hệ thống để đếm đƣợc với số lƣợng lớn. Ví dụ, ngƣời Babylon phát triển một hệ đếm cơ bản với các số từ 1 đến 10. Ngƣời Ai Cập cổ có một hệ đếm riêng với các ký hiệu dành cho 1, 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000. Một hòn đá có niên đại từ những năm 1500 trƣớc công nguyên đƣợc tìm thấy ở Karnak, nay đƣợc lƣu giữ tại Louvre, Pháp, mô tả số 276 nhƣ 2 trăm, 7 chục và 6 đơn vị; và tƣơng tự cho số 4.622. - Thành tựu sau đó là việc phát minh ra số 0. Chữ số 0 đƣợc ngƣời Babylon sử dụng vào khoảng đầu những năm 700 trƣớc công nguyên, nhƣng không là phần tử quyết định. Theo một bản ghi tìm thấy ở Kirsh, vào khoảng những năm 700 trƣớc công nguyên, ngƣời ta dùng 3 cái móc để ghi chú cho một nơi chẳng có gì. Một bản ghi khác lại cho rằng cũng ở thời điểm trên, chỉ một móc đƣợc dùng. 8 - Ƣớc chừng phát minh một cách độc lập, ngƣời Olmec và Maya dùng số 0 làm số ngăn cách vào thế kỷ 1 trƣớc công nguyên, nhƣng họ chƣa bao giờ đƣa số 0 ra ngoài vùng Mesoamerica. Số 0 với ý nghĩa nhƣ ngày nay xuất hiện vào năm 628 (sau công nguyên), gắn liền với tên tuổi của nhà toán học Ấn Độ Brahmagupta. Tuy nhiên, số 0 đã đƣợc dùng nhƣ một số bởi các nhà làm tính thời trung cổ, mà khởi đầu là Dionysius Exiguus năm 525; nhƣng nhìn chung là không có chữ số La Mã để biểu diễn số 0. Để thay thế cho “không có gì”, chữ Latinh “nullea” đƣợc sử dụng. - Nghiên cứu đầu tiên, có hệ thống về các số một cách trừu tƣợng (nghĩa là thay thế cho số lƣợng các thực thể) đƣợc ghi công cho các nhà triết học, toán học Hy Lạp, Pitago và Ác-si-mét. Tuy nhiên, vào thời điểm ấy, những nghiên cứu tƣơng tự cũng đƣợc tiến hành một cách độc lập ở Ấn Độ, Trung Quốc và vùng Mesoamerica. - Vào thế kỷ 19, ngƣời ta đã định nghĩa các số tự nhiên bằng lý thuyết tập hợp. Với định nghĩa này, để thuận tiện hơn, ngƣời ta xem số 0 (tƣơng ứng với tập rỗng) là một số tự nhiên. Và ở đây, chúng ta theo quan điểm “tập số tự nhiên có chứa số 0” này, nhƣ các nhà nghiên cứu về lý thuyết tập hợp, logic và khoa học máy tính. Còn nhiều nhà toán học khác nghiên cứu về lý thuyết số cơ bản lại thích theo truyền thống và loại bỏ số 0 khỏi tập số tự nhiên. b. Cách ghi, ký hiệu - Chúng ta dùng chữ cái N viết hoa để chỉ tập hợp tất cả các số tự nhiên. Đây là tập vô hạn và đếm đƣợc. - Để không bị nhầm lẫn về việc tập hợp số tự nhiên có số 0 hay không, đôi khi ngƣời ta dùng thêm chỉ số dƣới “0” để ám chỉ là có chứa số 0 và chỉ số trên “*” để ám chỉ không chứa số 0. N0 = { 0, 1, 2, … }; N* = { 1, 2, 3, … }. 9 c. Định nghĩa  Khái niệm về số tự nhiên Bản số của một tập hợp hữu hạn là một số tự nhiên.(Xem [4], tr. 65)  Xây dựng tập hợp số tự nhiên Cách xây dựng tập hợp số tự nhiên ở Đại học - Cách 1: Xây dựng số tự nhiên theo quan điểm của lý thuyết tập hợp và ánh xạ. * Định nghĩa 1: Cho A và B là hai tập tùy ý, ta nói tập A tƣơng đƣơng với tập B, kí hiệu A  B, nếu có một song ánh f từ A lên B. A  B   f: A  B là song ánh * Định nghĩa 2: Khi hai tập hợp A và B tƣơng đƣơng với nhau, ta nói chúng có cùng lực lƣợng hay cùng bản số. Bản số của tập A kí hiệu là Card A A  B  Card A = Card B * Định nghĩa 3: Bản số của một tập hữu hạn gọi là một số tự nhiên. (Xem [4], tr. 65) Tập hợp các số tự nhiên kí hiệu là ℕ. Ta nói: n là một số tự nhiên, điều đó có nghĩa là tồn tại một tập A hữu hạn sao cho Card A = n. - Cách 2: Xây dựng tập hợp số tự nhiên theo hệ tiên đề Peano (Xem [3], tr. 18) Việc cho một định nghĩa toán học về các số tự nhiên là khá phức tạp. Theo định nghĩa của Peano thì:  0 là số tự nhiên.  Với mỗi số tự nhiên a, có 1 số tự nhiên liền sau nó, ký hiệu là S(a) (hay ta còn nói a là số tự nhiên liền trƣớc của S(a)).  0 là số tự nhiên duy nhất không có số tự nhiên liền trƣớc. 10  Các số liền sau của các số tự nhiên khác nhau thì khác nhau, nghĩa là nếu... thì…  Nếu một tính chất thỏa tại 0 và tính chất ấy còn thỏa với số liền nhau của mọi số mà nó thỏa, thì khi ấy tính chất ấy đƣợc thỏa với mọi số tự nhiên. (Diễn đạt bằng công thức thì với tính chất P, nếu P(0) đúng, P(k) đúng dẫn đến P(S(k)) đúng thì khi ấy P(k) đúng với mọi k là số tự nhiên. Đây chính là tiên đề làm cơ sở cho phép chứng minh quy nạp). - Cần chú ý rằng “0” trong định nghĩa ở trên không nhất thiết là số 0 nhƣ ta thƣờng hiểu. “0” chỉ là một ký hiệu hình thức, chỉ “đối tƣợng” khởi đầu để xác định các số tự nhiên khác (bằng cách xây dựng các số liền sau) thỏa các tiên đề Peano. Chẳng hạn, ta hoàn toàn có thể dùng ký hiệu “5” là đối tƣợng khởi đầu. “1” là chữ số liền sau “5”, rồi “b” là chữ số liền sau “1”,… để có đƣợc tập số tự nhiên với các số theo thứ tự là {5, 1, b, …}, tuy nhiên điều đó là không nên. Cách trình bày khái niệm số tự nhiên trong sách giáo khoa Toán tiểu học - Sách giáo khoa Toán 1 đã vận dụng tƣ tƣởng của cách 1 khi trình bày khái niệm số tự nhiên theo cách hiểu là số phần tử của một tập hữu hạn. Ví dụ 1: Khi hình thành số 2, sách Toán 1 sử dụng các mô hình biểu diễn đƣờng cong khép kín (chỉ biểu đồ Ven minh họa cho 1 tập hợp), bên trong gồm 2 đồ vật (giống nhau) gần gũi với cuộc sống hằng ngày của học sinh (chỉ phần tử của tập hợp đó). 11 Ví dụ 2: Hình thành số 3   Số 3 33  - Đồng thời sách giáo khoa Toán ở Tiểu học cũng đã vận dụng tƣ tƣởng của cách 2 khi trình bày hình thành quan hệ thứ tự, khái niệm số liền trƣớc, số liền sau và khái niệm dãy số tự nhiên. 1.1.2.2. Ghi số và cấu tạo thập phân của số tự nhiên - Ngƣời ta thƣờng dùng các ký hiệu để ghi số. Việc ghi số nhằm giúp cho việc biểu thị các số một cách thuận tiện và đơn trị, giúp cho việc tiến hành so sánh các số một cách nhanh chóng và trực tiếp, giúp cho việc thực hiện các phép tính một cách dễ dàng, đơn giản.(Xem [1], tr.82) - Có hai hệ ghi số: Hệ ghi số theo vị trí và hệ ghi số không theo vị trí. Ở Tiểu học, học sinh đƣợc học hệ ghi số theo vị trí, với mƣời chữ số theo cơ số 10 (còn gọi là hệ thập phân). Ngoài ra ở lớp 4 còn giới thiệu các chữ số La Mã, nhằm nêu lên cách ghi số không theo vị trí.(Xem [1], tr 83) - Dạy học về cấu tạo thập phân của số tự nhiên thƣờng đƣợc tiến hành nhƣ sau:  Phân biệt số và chữ số (Xem [1], tr. 83) Từ vòng số 20 đến vòng 100, học sinh biết dùng 10 chữ số để viết các số có hai chữ số. Từ vòng 100 đến vòng 1000 học sinh biết dùng vẫn 10 chữ số đó để viết các số có ba chữ số…  Hàng và lớp (Xem [1], tr. 83) + Trong vòng số 20 và số 100, học sinh đã phân biệt chữ số ở vị trí hàng đơn vị, chữ số đứng ở vị trí hàng chục và mối quan hệ giữa hai hàng đó: 12 1 chục = 10 đơn vị. Học sinh còn phân biệt đƣợc số chỉ chục và số chỉ đơn vị; chẳng hạn số 13 gồm có 1 chục và 3 đơn vị, chữ số 1 ở hàng chục, chữ số 3 ở hàng đơn vị. + Trong vòng 1000, học sinh đƣợc học thêm đơn vị mới là “trăm”. Số có ba chữ số là chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng chục, chữ số hàng trăm (tính từ phải sang trái). Quan hệ giữa hàng chục và hàng trăm là 1 trăm = 10 chục; do đó 1 trăm = 100 đơn vị. + Trong vòng lớp triệu, học sinh đƣợc học về “hàng” và “lớp”. Kể từ phải sang trái là lớp đơn vị, lớp nghìn, lớp triệu. Mỗi lớp gồm 3 hàng: lớp đơn vị gồm hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm; lớp nghìn gồm hàng nghìn, hàng chục nghìn, hàng trăm nghìn; lớp triệu gồm hàng triệu, chục triệu, hàng trăm triệu. (Ở lớp 4 đƣợc học thêm hàng tỉ). Hai hàng kề liền nhau thì gấp hoặc kém nhau 10 lần hay nói cách khác: mỗi đơn vị ở một hàng gấp 10 lần đơn vị ở hàng liền sau và bằng (1/10) lần đơn vị ở hàng liền trƣớc nó. + Những điều đƣợc học về số và chữ số, chữ số chỉ hàng, hàng và lớp đƣợc thể hiện dƣới dạng phân tích một số thành tổng các số chỉ hàng. Chẳng hạn: 45 = 40 + 5 hoặc 45 = 4 × 10 + 5 × 1 237 = 200 + 30 + 7 hoặc 237 = 2 × 100 + 3 × 10 + 7 × 1 1234 = 1000 + 200 + 30 + 4 hoặc 1234 = 1 × 1000 + 2 × 100 + 3 × 10 + 4 × 1. Cũng có khi ngƣời ta viết dƣới dạng sau: 45 = 4 chục 5 đơn vị, hoặc 45 = 4 chục + 5 đơn vị. 237 = 2 trăm 3 chục 7 đơn vị, hoặc 237 = 2 trăm + 3 chục + 7 đơn vị. Cách viết dƣới dạng này thƣờng dùng để ghi số đo đại lƣợng. Chẳng hạn: 3m 25cm; 5 giờ 25 phút … - Trong cách viết số tự nhiên:  Ở mỗi hàng có thể viết đƣợc chữ số. Cứ mƣời đơn vị ở một hàng lại hợp thành một đơn vị ở hàng trên liên tiếp nó. 13