Tài liệu đạo hàm tiếp liên bậc hai và ứng dụng trong các bài toán tối ưu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 DƯƠNG THU HOÀI ĐẠO HÀM TIẾP LIÊN BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 DƯƠNG THU HOÀI ĐẠO HÀM TIẾP LIÊN BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN QUANG HUY HÀ NỘI, 2017 LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn Quang Huy, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình học tập để tôi hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, ngày 01 tháng 06 năm 2017 Tác giả Dương Thu Hoài LỜI CAM ĐOAN Dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Quang Huy, luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Đạo hàm tiếp liên bậc hai và ứng dụng trong các bài toán tối ưu” được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, ngày 01 tháng 06 năm 2017 Tác giả Dương Thu Hoài BẢNG KÝ HIỆU R tập số thực Rn không gian Euclide n− chiều Y∗ không gian tô pô đối ngẫu của Y C+ nón đối ngẫu không âm của nón C ∅ tập rỗng gph F đồ thị của F dom F miền hữu hiệu của F epi F trên đồ thị của F A×B tích Descartes của hai tập hợp A và B ∀x với mọi x A := B A được định nghĩa bằng B int S phần trong của S cl S bao đóng của S cone S bao nón của S x, y 0X tích vô hướng của x và y điểm gốc của X Mục lục Mở đầu 1 1 Đạo hàm tiếp liên bậc hai 6 1.1 Tập tiếp liên bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Đạo hàm tiếp liên bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Tính chất của đạo hàm tiếp liên bậc hai . . . . . . . . . . . 11 2 Điều kiện tối ưu Karush- Kuhn- Tucker bậc hai 15 2.1 Điều kiện cần tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Điều kiện đủ tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong nửa thế kỷ qua, bài toán tối ưu đa trị được quan tâm rộng rãi và các khái niệm khác nhau về đạo hàm đã được đề xuất và áp dụng để thiết lập các điều kiện tối ưu. Việc đưa ra điều kiện cần và đủ tối ưu FritzJohn cho bài toán tối ưu đa trị là một bước tiến lớn trong nghiên cứu đối với lớp bài toán này. Gần đây, điều kiện tối ưu bậc hai cho bài toán tối ưu véc tơ và vô hướng đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Trong các nghiên cứu về điều kiện tối ưu bậc hai cho bài toán tối ưu véc tơ và vô hướng, dễ nhận thấy rằng tập tiếp liên bậc hai được giới thiệu bởi Aubin [2] và nón tiếp liên tiệm cận bậc hai được giới thiệu bởi Penot [17] có vai trò quan trọng. Theo [7], Gutiérrez và đồng tác giả đã đề xuất khái niệm mới về đạo hàm bậc hai theo hướng, nó tách biệt được khái niệm đạo hàm tiệm cận Hadamard và đạo hàm tiệm cận Dini của hàm mục tiêu, từ đó thiết lập các điều kiện cần và đủ tối ưu thông qua tập tiếp liên bậc hai và nón tiếp liên tiệm cận bậc hai đối với tập chấp nhận được. Jiménez và Novo [13] đã nghiên cứu về điều kiện cần và đủ tối ưu bậc hai cho bài toán tối ưu véc tơ theo quan điểm của tập tiếp liên bậc hai và nón tiếp liên tiệm cận bậc hai. Họ cũng thảo luận về điều kiện cần tối ưu bậc hai Firtz- John với ưu điểm của điều kiện chính quy mê tric có hướng và điều kiện hạn chế ràng buộc bậc hai. Như vậy, đạo hàm tiếp liên cho ánh xạ đa trị lần đầu tiên được giới thiệu bởi Aubin trong [1] và thường được sử dụng để biểu thị điều kiện tối 2 ưu bậc nhất cho bài toán tối ưu đa trị. Tuy nhiên, điều kiện cần và điều kiện đủ cho bài toán tối ưu đa trị với tập chấp nhận được (xem [5, 16]) là không thống nhất dưới điều kiện chuẩn. Để giải quyết bài toán này, Jahn và Rauh [12] đã đề xuất khái niệm trên đạo hàm tiếp liên cho ánh xạ đa trị và ứng dụng nó để thiết lập sự thống nhất giữa điều kiện cần và đủ nhưng sự tồn tại của trên đạo hàm tiếp liên cho ánh xạ đa trị vẫn là một câu hỏi mở. Theo quan điểm của Chen và Jahn [4] khái niệm trên đạo hàm tiếp liên suy rộng cho ánh xạ đa trị đã thiết lập được sự thống nhất giữa điều kiện cần và đủ tối ưu. Đối với các bài toán tối ưu đa trị mà tập chấp nhận được được định nghĩa bởi bất đẳng thức, điều kiện tối ưu bậc nhất luôn được thiết lập bằng việc sử dụng quy tắc toán tử Lagrange tổng quát dưới điều kiện chính quy thích hợp. Trong [5], Corley thiết lập điều kiện cần tối ưu bậc nhất Fritz- John bằng cách sử dụng khái niệm đạo hàm được định nghĩa trong điều kiện của nón tiếp tuyến. G¨tz và Jahn [6] mở rộng o khái niệm quy tắc toán tử Lagrange cho bài toán tối ưu đa trị ràng buộc bằng cách sử dụng khái niệm trên đạo hàm tiếp liên. Đồng thời, họ nhận được điều kiện cần tối ưu Karush- Kuhn- Tucker, đó cũng là điều kiện đủ dưới giả thiết tính lồi suy rộng. Trong [10], Jahn và Khan mở rộng quy tắc toán tử Lagrange và gọi là điều kiện chính quy Kurcyusz- RobinsonZowe bằng cách sử dụng khái niệm của trên đạo hàm tiếp liên suy rộng và trên đạo hàm tiếp liên yếu của ánh xạ đa mục tiêu. Họ cũng thiết lập điều kiện cần và đủ tối ưu cho các khái niệm tối ưu khác nhau trong bài toán tối ưu đa trị. Tuy nhiên, điều kiện tối ưu bậc hai cho bài toán tối ưu đa trị vẫn cần phải được giải quyết. Trong [11], Jahn và đồng tác giả đề xuất khái niệm trên đạo hàm tiếp liên bậc hai và trên đạo hàm tiếp liên bậc hai suy rộng cho ánh xạ đa trị đồng thời ứng dụng các khái niệm này để thiết lập điều kiện tối ưu bậc hai. Li và đồng tác giả [15] tìm hiểu một vài tính chất của tập tiếp tuyến bậc cao và đạo hàm bậc cao được giới thiệu trong [2], từ đó thu được điều kiện cần và đủ tối ưu bậc cao cho bài toán tối ưu đa trị với 3 tập chấp nhận được tổng quát. Họ cũng thiết lập điều kiện cần và đủ tối ưu Fritz- John bậc cao cho bài toán tối ưu đa trị với tập chấp nhận được được xác định bởi ánh xạ đa trị. Sau đó, Li và Chen [14] giới thiệu trên đạo hàm tiếp liên suy rộng bậc cao và trên đạo hàm liền kề suy rộng bậc cao của ánh xạ đa trị, thiết lập điều kiện cần và đủ tối ưu Fritz- John bậc cao cho nghiệm hữu hiệu Henig của bài toán tối ưu đa trị ràng buộc. Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát đạo hàm bậc hai được định nghĩa theo tập tiếp liên bậc hai chỉ là tập đóng và không là nón. Thậm chí tập tiếp liên bậc hai là không lồi mặc dù tập mà chúng ta xem xét là tập lồi. Do đó so sánh với đạo hàm bậc nhất đã biết, cấu trúc của đạo hàm bậc hai là chưa đầy đủ. Trên cơ sở các nghiên cứu của mình thì Zhu và đồng tác giả [18] giới thiệu về đạo hàm tiếp liên bậc hai cho ánh xạ đa trị, mối liên hệ của nó với đạo hàm tiếp liên bậc hai đã được biết đến bởi Aubin [2] và thu được một số tính chất đặc biệt. Ưu điểm của đạo hàm tiếp liên bậc hai theo nghĩa của Zhu và đồng tác giả là mở rộng được quy tắc toán tử Lagrange đã biết và điều kiện chính quy Kurcyusz- Robinson- Zowe bậc hai cho bài toán tối ưu đa trị có ràng buộc, đồng thời cũng thu được điều kiện cần và đủ tối ưu Karush- Kuhn- Tucker bậc hai cho bài toán tối ưu đa trị với tập chấp nhận được được xác định bởi ánh xạ đa trị dưới điều kiện chính quy Kurcyusz- Robinson- Zowe bậc hai suy rộng. Hơn nữa, điều kiện tối ưu Karush- Kuhn- Tucker bậc hai được khái quát và cải tiến kết quả tương ứng cho trên đạo hàm tiếp liên trong [6]. Đề tài luận văn “Đạo hàm tiếp liên bậc hai và ứng dụng trong các bài toán tối ưu” với mục đích nghiên cứu về các khái niệm và các kết quả đã đạt được của bài báo trên. 4 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu đạo hàm tiếp liên bậc hai cho hàm đa trị trong không gian tuyến tính định chuẩn thực. Nghiên cứu ứng dụng của đạo hàm tiếp liên bậc hai đó đối với sự tồn tại cực tiểu (yếu) của bài toán giá trị tối ưu. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu khái niệm và tính chất của đạo hàm tiếp liên bậc hai cho hàm đa trị trong không gian tuyến tính định chuẩn thực. Nghiên cứu sự tồn tại cực tiểu (yếu) của bài toán giá trị tối ưu. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: đạo hàm tiếp liên bậc hai. + Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu trong không gian tuyến tính định chuẩn thực: khái niệm, tính chất, ứng dụng. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các phương pháp nghiên cứu trong đại số tuyến tính, giải tích đa trị, giải tích lồi và lý thuyết tối ưu. 6. Đóng góp của luận văn Hệ thống hóa các tính chất, kết quả về đạo hàm tiếp liên bậc hai cho hàm đa trị trong không gian tuyến tính định chuẩn thực và khả năng ứng dụng của chúng đối với sự tồn tại cực tiểu (yếu) của bài toán giá trị tối 5 ưu. Minh họa các khái niệm, tính chất trong trường hợp có thể thông qua các ví dụ cụ thể. 6 Chương 1 Đạo hàm tiếp liên bậc hai Trong chương này ta sẽ trình bày về tập tiếp liên bậc hai, đạo hàm tiếp liên bậc hai và các tính chất của đạo hàm tiếp liên bậc hai. Gọi X, Y và Z là các không gian định chuẩn thực, S và E là các tập con khác rỗng của X. 0X , 0Y và 0Z tương ứng là các điểm gốc của X, Y và Z. Kí hiệu int S , cl S và cone S lần lượt là phần trong của S , bao đóng của S và bao nón của S . Lấy C ⊂ Y là một nón lồi, đóng và nhọn với int C khác rỗng và Y là tập được sắp thứ tự bộ phận trong C . Cho F :X Y là ánh xạ đa trị. Các khái niệm miền, đồ thị và trên đồ thị của F lần lượt được định nghĩa là dom F := {x ∈ X | F (x) = ∅} , gph F := {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x)} , epi F := {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x) + C}. Ánh xạ đa trị F + C : X Y được xác định bởi (F + C) (x) := F (x) + C, ∀x ∈ dom F . Khi đó trên đồ thị của F là đồ thị của F + C , tức là, epi F = gph(F + C). Kí hiệu F (S) = 1.1 {F (x) | x ∈ S}. Tập tiếp liên bậc hai Bây giờ ta định nghĩa nón tiếp liên và nón tiếp liên bậc hai. Định nghĩa 1.1. [2] Cho S là một tập con khác rỗng của X , x ∈ cl S và ω ∈ X. 7 (i) Nón tiếp liên của S tại x là T (S, x) := {v ∈ X | ∃tn ↓ 0, ∃vn → v sao cho x + tn vn ∈ S, ∀n ∈ N}, hay tương đương, T (S, x) := {v ∈ X | ∃λn → +∞, ∃xn ∈ S sao cho xn → x và λn (xn − x) → v}. (ii) Tập tiếp liên bậc hai của S tại x theo hướng ω ∈ X là T 2 (S, x, ω) := 1 {v ∈ X | ∃tn ↓ 0, ∃vn → v sao cho x + tn ω + 2 t2 vn ∈ S, ∀n ∈ N}. n Mệnh đề 1.1. [13] Cho S ⊂ X là một tập lồi, x ∈ S và ω ∈ T (S, x). Khi đó T (T (S, x) , ω) = cl (cone (cone (S − x) − ω)) và T 2 (S, x, ω) ⊂ T (T (S, x) , ω) . Hơn nữa trong [3], nếu 0X ∈ T 2 (S, x, ω) thì T 2 (S, x, ω) = T (T (S, x) , ω) . Nhận xét 1.1. Cho S ⊂ X là một tập khác rỗng, x ∈ S và ω ∈ X . Khi đó (i) T 2 (S, x, 0X ) = T (S, x) và T (T (S, x) , 0X ) = T (S, x). (ii) T 2 (S, x, ω) và T (T (S, x) , ω) có thể khác rỗng chỉ nếu ω ∈ T (S, x). (iii) T (S, x) và T (T (S, x) , ω) luôn là nón đóng, và đặc biệt là lồi khi S là tập lồi. Hơn nữa, từ [3] ta suy ra rằng T 2 (S, x, ω) chỉ là tập đóng và không nhất thiết là nón, T 2 (S, x, ω) là tập con thực sự của T (T (S, x) , ω) và không lồi mặc dù S là lồi. Mệnh đề 1.2. Với λ > 0 tùy ý, ta có (i) T 2 (S, x, λω) = λ2 T 2 (S, x, ω); (ii) T (T (S, x) , λω) = T (T (S, x) , ω). Định nghĩa 1.2. [9] Cho F : X Y là ánh xạ đa trị và tập lồi S ⊂ X . F được gọi là C- lồi nếu và chỉ nếu với mọi x1 , x2 ∈ S và λ ∈ [0, 1] , λF (x1 )+ (1 − λ) F (x2 ) ⊂ F (λx1 + (1 − λ) x2 ) + C . Rõ ràng rằng F là C- lồi khi và chỉ khi epi F là tập lồi. 8 1.2 Đạo hàm tiếp liên bậc hai Sau đây ta nhắc lại một vài khái niệm về đạo hàm tiếp liên bậc nhất và bậc hai cho ánh xạ đa trị. Định nghĩa 1.3. [2] Cho F : X Y là ánh xạ đa trị, (x, y) ∈ gph F. Đạo hàm tiếp liên của F tại (x, y) là ánh xạ đa trị DF (x, y) : X Y được xác định bởi gph DF (x, y) = T (gph F, (x, y)) . Định nghĩa 1.4. [12] Cho F : X Y là ánh xạ đa trị, (x, y) ∈ gph F. Trên đạo hàm tiếp liên của F tại (x, y) là ánh xạ giá trị véc tơ D↑ F (x, y) : X → Y được xác định bởi epi D↑ F (x, y) = T (epiF, (x, y)). Nhận xét 1.2. Từ Định nghĩa 1.4 ta suy ra rằng với mọi x ∈ dom D↑ F (x, y) thì (x, D↑ F (x, y) (x)) ∈ gph D↑ F (x, y) ⊂ epi D↑ F (x, y) = T (epi F, (x, y)) . Mặt khác, theo Định nghĩa 1.3 có T (epi F, (x, y)) = gph D (F + C) (x, y). Do đó, ta kết luận được rằng (x, D↑ F (x, y) (x)) ∈ gph D (F + C) (x, y), hay D↑ F (x, y) (x) ∈ D (F + C) (x, y) (x) với mọi x ∈ dom D↑ F (x, y). Định nghĩa 1.5. [2] Cho F : X Y là ánh xạ đa trị, (x, y) ∈ gph F và (u, v) ∈ X × Y . Đạo hàm tiếp liên bậc hai của F tại (x, y) theo hướng (u, v) là ánh xạ đa trị D2 F (x, y, u, v) : X Y được xác định bởi gph D2 F (x, y, u, v) = T 2 (gph F, (x, y) , (u, v)). Rõ ràng rằng, từ T 2 (S, x, 0X ) = T (S, x) ta có D2 F (x, y, 0X , 0Y ) (x) = DF (x, y) (x) , ∀x ∈ X. Như vậy, từ Mệnh đề 1.1 và Nhận xét 1.1, ta thấy tập tiếp liên bậc hai T 2 (S, x, ω) được đề xuất bởi Aubin [2] chỉ là tập đóng mà không nhất thiết là nón. Hơn nữa, T 2 (S, x, ω) có thể không lồi mặc dù S là lồi. Mặt khác, T (T (S, x) , ω) luôn là nón đóng, tương thích, và lồi khi S là tập lồi. Dựa vào nhận xét này và các Định nghĩa 1.3, 1.4, 1.5 , Zhu và đồng tác giả đề xuất khái niệm đạo hàm tiếp liên bậc hai cho ánh xạ đa trị như sau. 9 Định nghĩa 1.6. Cho F : X Y là ánh xạ đa trị, (x, y) ∈ gph F và (u, v) ∈ X × Y . Đạo hàm tiếp liên bậc hai của F tại (x, y) theo hướng (u, v) là ánh xạ đa trị D F (x, y, u, v) : X Y được xác định bởi gph D F (x, y, u, v) = T (T (gph F, (x, y)) , (u, v)) . Nhận xét 1.3. Chú ý rằng, nếu F là C - lồi thì epi F là lồi, tức là gph (F + C) là lồi. Từ Mệnh đề 1.1 ta có T 2 (gph (F + C) , (x, y) , (u, v)) ⊂ T (T (gph (F + C) , (x, y)) , (u, v)) . Khi đó, theo Định nghĩa 1.5 và 1.6 ta suy ra rằng gph D2 (F + C) (x, y, u, v) ⊂ gph D (F + C) (x, y, u, v) . Do đó, với mọi x ∈ dom D2 (F + C) (x, y, u, v), ta có D2 (F + C) (x, y, u, v) (x) ⊂ D (F + C) (x, y, u, v) (x) . Hơn nữa, nếu (0X , 0Y ) ∈ gph D2 (F + C) (x, y, u, v) thì T 2 (gph (F + C) , (x, y) , (u, v)) = T (T (gph (F + C) , (x, y)) , (u, v)) , tức là, với mọi x ∈ X , D2 (F + C) (x, y, u, v) (x) = D (F + C) (x, y, u, v) (x) . Đặc biệt, nếu (u, v) = (0X , 0Y ) thì T (T (gph F, (x, y)) , (0X , 0Y )) = T (gph F, (x, y)). Từ Định nghĩa 1.3 và 1.6 ta kết luận được gph D F (x, y, 0X , 0Y ) = gph DF (x, y) , tức là, với mọi x ∈ X , D F (x, y, 0X , 0Y ) (x) = DF (x, y) (x) = D2 F (x, y, 0X , 0Y ) (x) . Ví dụ sau sẽ minh họa cho Nhận xét 1.3. 10 2 Ví dụ 1.1. Xét ánh xạ đa trị F : R+ → 2R với F (x) := {y = (y1 , y2 ) ∈ R2 | y1 ≥ x2 , y1 + y2 ≥ x} , ∀x ∈ R+ , và C = R2 . Dễ dàng kiểm tra được + F là C - lồi. Lấy (x, y) = (0, (0, 0)) ∈ gph F. Khi đó, từ Định nghĩa 1.1 ta có T (gph (F + C) , (x, y)) = (x, y) ∈ R × R2 | x ≥ 0, y1 ≥ 0, y1 + y2 ≥ x . Sau đây ta xét hai trường hợp chọn (u, v). Trường hợp 1: Nếu lấy (u, v) = (1, (0, 1)) ∈ T (gph (F + C) , (x, y)), bằng Định nghĩa 1.1 và tính trực tiếp, ta được T 2 (gph (F + C) , (x, y) , (u, v)) = (x, y) ∈ R × R2 | x ∈ R, y1 ≥ 2, y1 + y2 ≥ x và T (T (gph (F + C) , (x, y)) , (u, v)) = (x, y) ∈ R × R2 | x ∈ R, y1 ≥ 0, y1 + y2 ≥ x . Từ Định nghĩa 1.5 và 1.6 ta suy ra rằng D2 (F + C) (x, y, u, v) (x) = y ∈ R2 | y1 ≥ 2, y1 + y2 ≥ x , ∀x ∈ R, và D (F + C) (x, y, u, v) (x) = y ∈ R2 | y1 ≥ 0, y1 + y2 ≥ x , ∀x ∈ R. Như vậy D2 (F + C) (x, y, u, v) (x) ⊂ D (F + C) (x, y, u, v) (x) , ∀x ∈ R. Trường hợp 2: Nếu lấy (u, v) = (1, (1, 0)) ∈ T (gph (F + C) , (x, y)), bằng cách làm tương tự như trường hợp 1 ta được T (T (gph (F + C) , (x, y)) , (u, v)) = T 2 (gph (F + C) , (x, y) , (u, v)) = (x, y) ∈ R × R2 | x ∈ R, y1 + y2 ≥ x . Hiển nhiên, (0, (0, 0)) ∈ T 2 (gph (F + C) , (x, y) , (u, v)) và D2 (F + C) (x, y, u, v) (x) = D (F + C) (x, y, u, v) (x) , ∀x ∈ R. 11 1.3 Tính chất của đạo hàm tiếp liên bậc hai Trong phần này, chúng ta sẽ tìm hiểu một số tính chất của đạo hàm tiếp liên bậc hai theo nghĩa của Zhu và đồng tác giả. Định lý 1.1. Cho F : S Y là ánh xạ đa trị, (x, y) ∈ gph F và (u, v) ∈ X × Y . Nếu đạo hàm tiếp liên bậc hai D F (x, y, u, v) tồn tại thì nó có tính chất thuần nhất dương nghiêm ngặt, tức là, với mọi α > 0 và với mọi x ∈ X , ta có D F (x, y, u, v) (αx) = αD F (x, y, u, v) (x) . Chứng minh. Từ Định nghĩa 1.6, với mọi α > 0 và với mọi x ∈ X , ta có D F (x, y, u, v) (αx) = {y ∈ Y | (αx, y) ∈ T (T (gph F, (x, y)) , (u, v))} = {αu ∈ Y | (αx, αu) ∈ T (T (gph F, (x, y)) , (u, v))} = α {u ∈ Y | (x, u) ∈ T (T (gph F, (x, y)) , (u, v))} = αD F (x, y, u, v) (x) . Định lý 1.2. Cho F : S Y là ánh xạ đa trị, (x, y) ∈ gph F và (u, v) ∈ X × Y .Khi đó, với mọi x ∈ dom (D F (x, y, u, v)), ta có D F (x, y, u, v) (x) + C ⊂ D (F + C) (x, y, u, v) (x) . Chứng minh. Giả sử rằng lấy tùy ý y ∈ D F (x, y, u, v) (x) và c ∈ C . Theo Định nghĩa 1.6 thì (x, y) ∈ T (T (gph F, (x, y)) , (u, v)). Do đó, từ Định nghĩa 1.1, có dãy (xn , yn ) → (x, y) và tn ↓ 0 sao cho (u, v) + tn (xn , yn ) ∈ k T (gph F, (x, y)) , ∀n ∈ N. Hơn nữa, ∀n ∈ N, tồn tại dãy xk , yn n → k (u, v) + tn (xn , yn ) và tk ↓ 0 sao cho (x, y) + tk xk , yn ∈ gph F, ∀k ∈ N. n n n Khi đó ta có k k y + tk yn ∈ F x + tk yn , n n ∀n, k ∈ N. (1.1) 12 Do C là nón và c ∈ C , cùng với (1.1), ta được k y + tk yn + tn c n k = y + tk yn + tk tn c n n ∈ F x + tk xk + C, n n ∀n, k ∈ N, k k tức là, (x, y) + tk xk , yn + tn c ∈ gph (F + C) , ∀n, k ∈ N. Từ xk , yn → n n n k (u, v) + tn (xn , yn ) , ta có xk , yn + tn c → (u, v) + tn (xn , yn + c) khi k → n +∞. Vì vậy (u, v) + tn (xn , yn + c) ∈ T (gph (F + C) , (x, y)) , ∀n ∈ N. Đồng thời (xn , yn + c) → (x, y + c) vì (xn , yn ) → (x, y) khi n → +∞, do đó (x, y + c) ∈ T (T (gph (F + C) , (x, y)) , (u, v)). Từ Định nghĩa 1.6, ta có y + c ∈ D (F + C) (x, y, u, v) (x) và định lí được chứng minh. Hệ quả 1.1. Cho F : S Y là ánh xạ đa trị, (x, y) ∈ gph F và (u, v) ∈ X × Y .Khi đó, với mọi x ∈ dom D (F + C) (x, y, u, v) ta có D (F + C) (x, y, u, v) (x) + C = D (F + C) (x, y, u, v) (x) . Chứng minh. Rõ ràng rằng D (F + C) (x, y, u, v) (x) ⊂ D (F + C) (x, y, u, v) (x) + C. Ngược lại, từ Định lí 1.2 và C+C=C ta suy ra rằng D (F + C) (x, y, u, v) (x) + C ⊂ D (F + C + C) (x, y, u, v) (x) = D (F + C) (x, y, u, v) (x) . Do đó hệ quả được chứng minh. Tiếp theo, từ Định lý 4.1 trong [15] ta có tính chất quan trọng cho đạo hàm tiếp liên bậc hai và đạo hàm tiếp liên bậc hai theo nghĩa của Zhu và đồng tác giả trong trường hợp C - lồi. Định lý 1.3. Cho F : S Y là ánh xạ đa trị, (x, y) ∈ gph F trong đó S là lồi và F là C- lồi. Khi đó, với mọi x ∈ S , ta có (i) F (x) − {y} ⊂ D2 (F + C) (x, y, u − x, v − y) (x − x), 13 (ii) F (x) − {y} ⊂ D (F + C) (x, y, u − x, v − y) (x − x), với u ∈ S và v ∈ F (u) + C . Chứng minh. Lấy tùy ý x ∈ S và y ∈ F (x). Vì S là lồi và F là C - lồi nên 1 1 1 (x − x) = x + 1 − 2 x ∈ S, ∀n ∈ N, 4n2 4n2 4n 1 1 1 x + (u − x) = u + 1 − x ∈ S, ∀n ∈ N, n n n x+ (1.2) (1.3) và 1 1 1 (y − y) = y+ 1− 2 y 4n2 4n2 4n 1 1 x+ 1− 2 x +C ∈ F 4n2 4n 1 = F x + 2 (x − x) + C, ∀n ∈ N, 4n 1 1 1 y + (v − y) = v + 1 − y n n n 1 1 ∈ F x +C u+ 1− n n 1 = F x + (u − x) + C, ∀n ∈ N. n y+ (1.4) (1.5) Hơn nữa, do S lồi nên từ (1.2) và (1.3) ta có x+ 1 1 (u − x) + 2 (x − x) ∈ S, 2n 8n ∀n ∈ N, (1.6) và từ (1.4), (1.5) với C là nón lồi, với mọi n ∈ N thì y+ 1 1 1 (v − y) + 2 (y − y) ∈ F 2n 8n 2 ⊂ F Kí hiệu xn := x + 1 1 1 (x − x) + F x + (u − x) + C 2 4n 2 n 1 1 x+ (u − x) + 2 (x − x) + C. (1.7) 2n 8n x+ 1 1 (u − x) + 2 (x − x) , 2n 8n ∀n ∈ N, 14 và 1 1 (v − y) + 2 (y − y) , 2n 8n Khi đó, từ (1.6) và (1.7) ta được yn := y + (xn , yn ) = (x, y)+ 1 1 (u − x, v − y)+ 2n 2 1 2n ∀n ∈ N. 2 (x − x, y − y) ∈ gph (F + C) , ∀n ∈ N. Từ Định nghĩa 1.1 ta suy ra rằng (x − x, y − y) ∈ T 2 (gph (F + C) , (x, y) , (u − x, v − y)) = gph D2 (F + C) (x, y, u − x, v − y) , với y − y ∈ D2 (F + C) (x, y, u − x, v − y) (x − x) . Mục (i) được chứng minh. Để chứng minh mục (ii), từ Nhận xét 1.3 ta có D2 (F + C) (x, y, u − x, v − y) (x − x) ⊂ D (F + C) (x, y, u − x, v − y) (x − x) . Cùng với kết luận của (i), kết luận của (ii) được khẳng định và Định lí 1.3 được chứng minh. Như vậy, đạo hàm tiếp liên bậc hai theo nghĩa của Zhu và đồng tác giả là ánh xạ đa trị mà đồ thị của nó luôn là nón đóng và lồi khi đồ thị của ánh xạ đa trị là tập lồi. Đồng thời ta cũng nhận được một số tính chất quan trọng của đạo hàm tiếp liên bậc hai theo nghĩa của Zhu và đồng tác giả như tính chất thuần nhất dương nghiêm ngặt; tính chất trong trường hợp C - lồi.