TÁC GIẢ: TERRY CHEW
NGƯỜI DỊCH: NGUYỄN THỊ HẠNH DUYÊN
NHÀ XUẤT BẢN THẾ GIỚI
LỜI TỰA
ĐÁNH THỨC TÀI NĂNG TOÁN HỌC - 3
MATHS OLYMPIAD - UNLEASH THE MATHS OLYMPIAN IN YOU
Begin
ALL RIGHTS RESERVED
Vietnam edition copyright © Online Education Game JSC, Lantabra, 2015
All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system or transmitted
in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording or otherwise, without the prior
permission of the publishers.
ISBN: 978-604-77-1492-6
Printed in Viet Nam
Bản quyền tiếng Việt thuộc về Công ty Cổ phần Trò chơi Giáo dục Trực tuyến, xuất bản theo hợp đồng chuyển
nhượng bản quyền giữa Singapore Asia Publishers Pte Ltd và Công ty Cổ phần Trò chơi Giáo dục Trực tuyến,
nhãn hiệu Lantabra 2015.
Bản quyền tác phẩm đã được bảo hộ, mọi hình thức xuất bản, sao chụp, phân phối dưới dạng in ấn, văn bản
Bộ sách Đánh thức Tài năng Toán học nhằm giúp những học
sinh say mê toán học có thể trau dồi kỹ năng giải những bài toán hóc búa.
Các bài toán trong sách đã được phân loại rõ ràng nhằm giúp các em có
thể hiểu và áp dụng một cách dễ dàng. Ngoài ra, trong mỗi chương lại có
rất nhiều ví dụ hướng dẫn các em cách giải toán. Những phân tích và diễn
giải dễ hiểu trong các ví dụ chắc chắn sẽ giúp các em hiểu rõ vấn đề hơn.
Sau khi hiểu bài, các em có thể áp dụng những kiến thức đó vào việc giải
các bài toán được đưa ra trong từng chương.
Chúng tôi hy vọng rằng cuốn sách sẽ cung cấp cho các em học
sinh những kiến thức hữu ích và giúp các em cảm thấy tự tin hơn trong
việc giải toán.
điện tử, đặc biệt là phát tán trên mạng internet mà không được sự cho phép của đơn vị nắm giữ bản quyền là
hành vi vi phạm bản quyền và làm tổn hại tới lợi ích của tác giả và đơn vị đang nắm giữ bản quyền. Không ủng
hộ những hành vi vi phạm bản quyền. Chỉ mua bán bản in hợp pháp.
XUẤT BẢN VÀ PHÁT HÀNH:
Công ty Cổ phần Trò chơi Giáo dục Trực tuyến
Tầng 10 - Tòa nhà Center Building
Số 01 - Nguyễn Huy Tưởng - P. Thanh Xuân Trung - Q. Thanh Xuân - TP. Hà Nội
Điện thoại: (04) 3782 4288
Website: http://egame.vn/
LANTABRA
149 Trung Kính - P. Yên Hòa - Q. Cầu Giấy - TP. Hà Nội
Điện thoại: (04) 3782 3782
Hotline: 0979 919 926
Email:
[email protected]
Website: http://www.hocgioitoan.vn
Terry Chew
MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU
“Những bản nhạc khó chơi thường rất tuyệt vời, nhưng nếu chia
bản nhạc thành từng phần đơn giản thì dù là những người mới học đàn
cũng có thể chơi được.
Toán học cũng như vậy.”
Giáo sư Sherman K. Stein
Bộ sách Đánh thức Tài năng Toán học đã được phổ biến rộng rãi
ở nhiều quốc gia bởi những đặc trưng sau:
• Chủ đề đa dạng, liên hệ toán học với các sự kiện hàng ngày;
• Sự dí dỏm và phức tạp của các bài toán giúp khơi dậy kỹ năng
tư duy và trí tưởng tượng đầy sáng tạo;
• Khuyến khích sử dụng nhiều phương pháp giải toán khác
nhau, kích thích lối tư duy đột phá.
• Cung cấp kiến thức giải toán dựa trên những hướng dẫn và
trình bày bao quát.
Cuốn sách bao gồm những tài liệu đã được tôi sử dụng trong nhiều
năm giảng dạy. Dù các bài toán đều thuộc dạng bài thi Olympic Toán học,
song tôi nhận thấy tất cả các học sinh đều thu được nhiều lợi ích khi luyện
tập chúng. Trong việc học toán dạng này, việc bổ sung và làm những bài
tập nâng cao cùng với tinh thần và niềm say mê còn quan trọng hơn năng
lực bẩm sinh.
Rất nhiều học sinh mà tôi hướng dẫn, thậm chí cả cha mẹ các em
cũng đều bị thu hút bởi những kiến thức được giới thiệu trong bộ sách này.
Hy vọng rằng bạn và con bạn cũng sẽ có niềm say mê như vậy!
Terry Chew
ĐÁNH THỨC TÀI NĂNG TOÁN HỌC - 3
Chương 1: .......................................................................................................... 2
Chapter 1:........................................................................................................... 3
Chương 2:......................................................................................................... 26
Chapter 2:......................................................................................................... 27
Chương 3:......................................................................................................... 42
Chapter 3:......................................................................................................... 43
Chương 4:......................................................................................................... 54
Chapter 4:......................................................................................................... 55
Chương 5:......................................................................................................... 68
Chapter 5:......................................................................................................... 69
Chương 6:......................................................................................................... 86
Chapter 6:......................................................................................................... 87
Chương 7:....................................................................................................... 102
Chapter 7:....................................................................................................... 103
Chương 8:....................................................................................................... 120
Chapter 8:....................................................................................................... 121
Chương 9:....................................................................................................... 136
Chapter 9:....................................................................................................... 137
Chương 10:..................................................................................................... 160
Chapter 10:..................................................................................................... 161
Chương 11:...................................................................................................... 188
Chapter 11:..................................................................................................... 189
Chương 12:..................................................................................................... 204
Chapter 12:..................................................................................................... 205
Chương 13:..................................................................................................... 222
Chapter 13:..................................................................................................... 223
Chương 14:..................................................................................................... 242
Chapter 14:..................................................................................................... 243
Chương 15:..................................................................................................... 264
Chapter 15:..................................................................................................... 265
Chương 16:..................................................................................................... 282
Chapter 16:..................................................................................................... 283
Chương 17:..................................................................................................... 302
Chapter 17:..................................................................................................... 303
Chương 18:..................................................................................................... 324
Chapter 18:..................................................................................................... 325
Chương 19:..................................................................................................... 346
Chapter 19:..................................................................................................... 347
Chương 20:..................................................................................................... 370
Chapter 20:..................................................................................................... 371
Chương 21:..................................................................................................... 420
Chapter 21:..................................................................................................... 421
Chương 22:..................................................................................................... 440
Chapter 22:..................................................................................................... 441
Chương 23:..................................................................................................... 460
Chapter 23:..................................................................................................... 461
Chương 24:..................................................................................................... 482
Chapter 24:..................................................................................................... 483
ĐÁP ÁN.......................................................................................................... 506
1
TÌM QUY LUAÄT CUÛA
DAÕY SOÁ
Trong toán học, có nhiều quy luật khác nhau: một số tương đối dễ hiểu và một số
khác phức tạp hơn. Do đó, ta phải suy nghĩ độc đáo và linh hoạt để tìm ra đáp án.
Không kể đến việc thêm hay bớt số hạng của dãy số theo quy luật, việc áp dụng
phép nhân, phép chia hay thậm chí sử dụng cả hai kỹ năng số học cũng có thể giúp
ích trong việc giải toán.
Trong dãy số Fibonacci, số hạng thứ ba của dãy số theo quy luật bằng tổng của
số hạng thứ nhất và số hạng thứ hai; số hạng thứ tư bằng tổng của số hạng thứ hai
và thứ ba; số hạng thứ năm bằng tổng của số hạng thứ ba và thứ tư, và cứ tiếp tục
như thế. Về bản chất, kể từ sau số hạng đầu tiên hai số, mỗi số hạng là tổng của
hai số hạng liền trước nó.
Looking for a Pattern
In mathematics, there are various patterns: some are relatively straightforward and
others are more challenging. We, therefore, have to think outside the box and be
flexible in our search for answers.
Besides adding or subtracting the terms in a number pattern, applying multiplication,
division or even the use of any two arithmetic skills may help in the solving of
the problems.
In Fibonacci numbers, the third term in the number pattern is the sum of the first
and second terms; the fourth term is the sum of the second and third terms; the
fifth term is the sum of the third and fourth terms, and so on. In essence, each term,
after the first two terms, is the sum of the two preceding terms.
EXAMPLES
VÍ DỤ
Điền các số còn thiếu trong dãy số sau:
(a) 4, 7, 10, 13, (
), ...
Phân tích: Hiệu của hai số hạng liền kề nhau trong dãy số trên là 3, nên số
hạng tiếp theo phải là: 13 + 3 = 16.
(b) 2, 6, 12, 20, (
), ...
Phân tích: Dãy số này thú vị hơn dãy số ở câu (a). Số hạng thứ hai hơn số
hạng thứ nhất 4 đơn vị. Sau đó, hiệu của hai số hạng liền kề sẽ
tăng thêm 2.
2+4=6
6 + 4 + 2 = 12
12 + 4 + 2 + 2 = 20
Do đó, số hạng tiếp theo là: 20 + 4 + 2 + 2 + 2 = 30.
(c) 2, 6, 18, (
), ...
Phân tích: Trong dãy số trên, thật khó tìm được hiệu số giữa bất cứ hai số
liên tiếp nào. Hiệu của số hạng thứ nhất và số hạng thứ hai là 4.
Hiệu của số hạng thứ hai và số hạng thứ ba là 12. Quan sát hai
hiệu này sẽ nhận ra rằng 12 gấp ba lần 4. Do đó, số hạng thứ hai
gấp 3 lần số hạng thứ nhất; số hạng thứ ba gấp 3 lần số hạng thứ hai,
... và cứ thế.
Đánh thức tài năng Toán học - 3
1
2
Chương 1
Complete each number pattern.
(a) 4, 7, 10, 13, (
), ...
Analysis: The difference between any two consecutive terms in the above
number pattern is 3, so the next term must be 13 + 3 = 16.
(b) 2, 6, 12, 20, (
), ...
Analysis: This is more interesting than the number pattern shown in (a). The
second term is 4 more than the first one. Thereafter, the difference
between any two consecutive terms increases by 2.
2+4=6
6 + 4 + 2 = 12
12 + 4 + 2 + 2 = 20
The next term is, therefore, 20 + 4 + 2 + 2 + 2 = 30.
(c) 2, 6, 18, (
), ...
Analysis: In the above number pattern, it is difficult to make sense of the
difference between any two consecutive numbers. The difference
between the first and second terms is 4. The difference between
the second and third terms is 12. Observing the two differences
will reveal that 12 is three times of 4. Hence the second term is
three times the first term; the third term is three times the second
term and so on.
3
Chapter 1
Terry Chew
6÷2=3
18 ÷ 6 = 3
18 × 3 = 54
Số hạng tiếp theo là 54.
(d) 44, 22, 20, 10, 8, (
), (
Hai số hạng tiếp theo lần lượt là 4 và 2.
), (
), 55, 89, ...
Analysis: Dãy số trên là một ví dụ của dãy Fibonacci.
44 ÷ 2 = 22
20 ÷ 2 = 10
8÷2=4
Hai số hạng lần lượt là 21 và 34.
Đánh thức tài năng Toán học - 3
4
Chương 1
)
22 – 2 = 20
10 – 2 = 8
4–2=2
The next two terms are 4 and 2 respectively.
(e) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, (
), (
), 55, 89, ...
Analysis: This number pattern is an example of Fibonacci numbers.
13 + 8 = 21
21 + 13 = 34
), (
Analysis: The above number pattern uses two arithmetic skills: division and
subtraction. The first term is divided by 2 and the second term is
subtracted by 2.
22 – 2 = 20
10 – 2 = 8
4–2=2
(e) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, (
The next term is 54.
(d) 44, 22, 20, 10, 8, (
)
Phân tích: Dãy số trên sử dụng hai kỹ năng tính toán: phép chia và phép trừ.
Số hạng thứ nhất chia cho 2 và số hạng thứ hai trừ đi 2.
44 ÷ 2 = 22
20 ÷ 2 = 10
8÷2=4
6÷2=3
18 ÷ 6 = 3
18 × 3 = 54
13 + 8 = 21
21 + 13 = 34
The two terms are 21 and 34 respectively.
5
Chapter 1
Terry Chew
LUYEÄN TAÄP
1
PRACTICE
Điền số theo quy luật sau:
1
Complete each number pattern below.
(a)
1,
1,
2,
3,
5,
(
),
(
),
...
(a)
1,
1,
2,
3,
5,
(
),
(
),
...
(b)
1,
1,
1,
1,
4,
7,
13,
(
),
...
(b)
1,
1,
1,
1,
4,
7,
13,
(
),
...
(c)
3,
5,
9,
15,
23,
33,
(d)
1,
3,
6,
10,
(
),
(e)
0,
3,
8,
15,
24,
(
(f)
1,
2,
6,
24,
120,
(g)
0,
1,
3,
8,
(h)
1,
3,
7,
15,
(i)
1,
1,
3,
7,
(j)
1,
2,
5,
13,
2
À, trò ảo thuật của số 9!
Quan sát quy luật và điền câu trả cách đúng vào dấu ngoặc đơn.
21,
45,
31,
13,
(
(
34,
...
(c)
3,
5,
9,
15,
23,
33,
...
(d)
1,
3,
6,
10,
(
),
),
48,
63,
...
(e)
0,
3,
8,
15,
24,
(
(f)
1,
2,
6,
24,
120,
(g)
0,
1,
3,
8,
(h)
1,
3,
7,
15,
(i)
1,
1,
3,
7,
(j)
1,
2,
5,
13,
2
Ah, the magical trick of 9!
Observe the pattern and write the correct answers in the brackets provided.
),
(
5040,
),
),
...
(
),
127,
31,
(
...
...
...
),
(
),
...
21,
55,
31,
13,
(
(
34,
321 × 9 = 2 889
321 × 9 = 2 889
4 321 × 9 = 38 889
4 321 × 9 = 38 889
54 321 × 9 = (
54 321 × 9 = (
654 321 × 9 = (
654 321 × 9 = (
7 654 321 × 9 = (
7 654 321 × 9 = (
87 654 321 × 9 = (
87 654 321 × 9 = (
987 654 321 × 9 = (
987 654 321 × 9 = (
)
)
)
)
)
21,
28,
36,
...
),
48,
63,
...
(
21 × 9 = 189
6
),
...
Chương 1
(
36,
21 × 9 = 189
Đánh thức tài năng Toán học - 3
45,
28,
),
89,
),
21,
(
55,
(
),
(
),
),
),
89,
5040,
...
(
),
127,
31,
(
...
...
...
),
(
),
...
)
7
Chapter 1
)
)
)
)
Terry Chew
3
3
Hoàn thành tam giác Pascal và điền câu trả cách đúng vào dấu ngoặc đơn.
1
4
omplete the Pascal Triangle and write the correct answers in the brackets
C
provided.
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Sự kỳ diệu của phép nhân với 101!
Quan sát quy luật và điền câu trả cách đúng vào dấu ngoặc đơn.
1
4
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
101 × 11 = 1111
101 × 11 = 1111
101 × 22 = 2222
101 × 22 = 2222
101 × 33 = 3333
101 × 33 = 3333
101 × 44 = (
)
101 × 44 = (
)
101 × 55 = (
)
101 × 55 = (
)
101 × 66 = (
)
101 × 66 = (
)
101 × 77 = (
)
101 × 77 = (
)
101 × 88 = (
)
101 × 88 = (
)
101 × 99 = (
)
101 × 99 = (
)
8
Chương 1
1
The marvel of multiplication of 101!
Observe the pattern and write the correct answers in the brackets provided.
Đánh thức tài năng Toán học - 3
)
9
Chapter 1
Terry Chew
5
(a)
30
40
24
20
(b)
14
11
18
12
15
8
30
20
(b)
17
c)
24
Đánh thức tài năng Toán học - 3
8
7
(d)
15
8
44
Chương 1
20
(e)
20
14
11
17
9
54
7
32
20
38
12
24
10
19
48
3
25
20
32
32
10
12
23
54
28
14
11
18
38
12
24
22
11
9
40
14
19
48
3
(a)
20
10
14
32
(e)
25
20
23
(d)
28
What are the missing numbers in the number patterns below?
14
22
c)
5
Tìm số còn thiếu theo quy luật của dãy số sau:
8
44
11
Chapter 1
Terry Chew
6
Điền vào chỗ trống các chữ số từ 1 đến 9. Mỗi chữ số chỉ được sử dụng
một lần. Số ở phía bên trái mũi tên cộng thêm 12 sẽ được số ở phía
bên phải.
→
1
0
2
→ 1
7
→ 3
1
5 → 2
8
→ 97
→ 6
1
→
30 → 1
9
→
→ 22
4
1
→ 3
7 → 5
Đánh thức tài năng Toán học - 3
1
→ 31
6 → 4
1
12
Chương 1
→ 3
3
→ 41
4 → 5
→ 3
1
→ 6
1
→ 6
→ 97
8
Fill in each blank with digits from 1 to 9. Each digit may be used only once.
The number on the left-hand-side of the arrow is divided by 2 before
subtracting 1 from it to reach the number on the right-hand-side.
5 →
2
→ 24
5 → 2
Điền vào chỗ trống các chữ số từ 1 đến 9. Mỗi số chỉ được sử dụng
một lần. Số ở phía bên trái mũi tên nhân với 2 rồi cộng thêm 3 sẽ được số
ở phía bên phải.
0
7
Fill in each blank with digits from 1 to 9. Each digit may be used only once.
The number on the left-hand-side of the arrow is multiplied by 4 before
adding 5 to reach the number on the right-hand-side.
Điền vào chỗ trống các chữ số từ 1 đến 9. Mỗi số chỉ được sử dụng
một lần. Số ở phía bên trái mũi tên chia cho 2 rồi trừ đi 1 sẽ được số ở phía
bên phải.
→ 6
→
1
→ 1
4 → 5
Điền vào chỗ trống các chữ số từ 1 đến 9. Mỗi chữ số chỉ được sử dụng
một lần. Số ở phía bên trái mũi tên nhân với 4 rồi cộng thêm 5 sẽ được số
ở phía bên phải.
→ 41
→ 24
6
Fill in each blank with digits from 1 to 9. Each digit may be used only once.
The number on the left-hand-side of the arrow is added to 12 to reach the
number on the right-hand-side.
→
→
30 → 1
→ 22
4
6 → 4
9
Fill in each blank with digits from 1 to 9. Each digit may be used only once.
The number on the left-hand-side of the arrow is multiplied by 2 before
adding 3 to reach the number on the right-hand-side.
1
→ 3
7 → 5
1
→ 31
1
13
Chapter 1
5 →
3
→ 3
Terry Chew
10 Em có thể đặt 32 quả bóng vào
những chiếc hộp sau sao cho tổng
số bóng ở mỗi hàng bằng nhau được
không?
10
Can you put 32 balls in the boxes
below so that there are equal number
of balls in every line?
11
11
Find the 8th term of the sequence.
Tìm số hạng thứ tám của dãy số
3,
12
45,
(
),
...
4,
11,
29,
76,
4,
9,
16,
199,
25,
2,
4,
7,
11,
4,
8,
14,
521,
(
),
...
),
49,
64,
...
16,
(
),
(
),
...
32,
(
),
(
),
...
4,
9,
10,
15,
(
),
(
),
(
),
...
1,
3,
6,
8,
Đánh thức tài năng Toán học - 3
16,
18,
(
14
Chương 1
),
(
),
76,
78,
...
33,
45,
(
),
...
4,
11,
29,
76,
199,
521,
(
),
...
4,
9,
16,
25,
(
),
49,
64,
...
2,
4,
7,
11,
16,
(
),
(
),
...
4,
8,
14,
22,
32,
(
),
(
),
...
Find the sixth, seventh and eighth terms of the sequence.
3,
17
Tìm số hạng thứ bảy và thứ tám của dãy.
23,
Find the seventh and eighth terms of the sequence.
2,
16
15,
Find the seventh and eighth terms of the sequence.
1,
15
9,
Find the sixth term of the sequence.
1,
14
5,
Find the 8th term of the sequence.
1,
13
(
22,
3,
12
Tìm số hạng thứ sáu, thứ bảy và thứ tám của dãy.
3,
17
33,
Tìm số hạng thứ bảy và thứ tám của dãy.
2,
16
23,
Tìm số hạng thứ bảy và thứ tám của dãy.
1,
15
15,
Tìm số hạng thứ sáu của dãy số.
1,
14
9,
Tìm số hạng thứ tám của dãy số.
1,
13
5,
4,
9,
10,
15,
(
),
(
),
(
),
...
76,
78,
Find the seventh and eighth terms of the sequence.
1,
3,
6,
8,
16,
18,
(
15
Chapter 1
),
(
),
...
Terry Chew
18
18
Dãy số nào sau đây khác biệt với các dãy còn lại?
Which of the following sequences is different from the rest?
(a)
1,
1,
2,
3,
5,
8,
13,
...
(a)
1,
1,
2,
3,
5,
8,
13,
...
(b)
0,
2,
2,
4,
6,
10,
16,
...
(b)
0,
2,
2,
4,
6,
10,
16,
...
(c)
1,
3,
4,
7,
11,
18,
29,
...
(c)
1,
3,
4,
7,
11,
18,
29,
...
(d)
1,
2,
3,
6,
11,
20,
37,
...
(d)
1,
2,
3,
6,
11,
20,
37,
...
19
(a)
3
4
5
3
(b)
3
(c)
6
4
5
Đánh thức tài năng Toán học - 3
8
6
16
Chương 1
3
4
(b)
?
6
10
?
36
2
(c)
?
6
5
3
6
4
7
7
12
9
4
7
7
3
10
36
4
(a)
7
7
3
27
Find the missing number in each number pattern.
9
9
4
3
4
7
6
6
12
4
?
6
7
19
Điền số còn thiếu theo quy luật của dãy số sau:
6
4
8
?
6
6
9
10
4
3
10
3
27
36
4
5
6
17
Chapter 1
?
36
2
Terry Chew
20
20
Felicia tiết kiệm được 10 đô-la trong tháng Giêng. Bạn ấy tiết kiệm được
20 đô-la trong tháng Hai. Số tiền Felicia tiết kiệm trong tháng Ba bằng
money she saved in March was the total amount of money she had saved
tổng số tiền bạn ấy đã tiết kiệm được trong tháng Giêng và tháng Hai. Số
in January and February. The amount of money she saved in April was the
tiền Felicia tiết kiệm trong tháng Tư bằng tổng số tiền bạn ấy tiết kiệm
total amount of money she had saved in February and March. If she had
được trong tháng Hai và tháng Ba. Nếu Felicia tiếp tục tiết kiệm theo quy
saved in this pattern up to October,
luật đó cho đến tháng Mười thì:
(a)
Vào tháng nào bạn ấy sẽ tiết kiệm được 210 đô-la?
(b)
Tháng Mười bạn ấy tiết kiệm được bao nhiêu tiền?
21
Felicia saved $10 in January. She saved $20 in February. The amount of
(a)
in which month did she save $210?
(b)
how much did she save in October?
21
Điền số còn thiếu vào dấu ngoặc đơn.
Write the missing numbers in the brackets provided.
1
1
2
3
6
4
5
6
12
8
(
(
Đánh thức tài năng Toán học - 3
)
)
)
)
18
Chương 1
(
)
)
(
(
6
4
16
(
4
3
9
12
(
(
2
4
5
)
)
(
)
6
12
8
(
(
9
)
)
12
(
(
)
)
16
(
(
19
Chapter 1
)
)
(
(
)
)
(
)
Terry Chew
.PDF 
13 
1587 
140 
