Tài liệu Dáng điệu tiệm cận nghiệm của một lớp phương trình parabolic suy biến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN HẢI DƯƠNG DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN HẢI DƯƠNG DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. ĐÀO TRỌNG QUYẾT HÀ NỘI, 2017 i Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Đào Trọng Quyết, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô phòng Sau đại học, cùng các thầy cô giáo dạy lớp thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 7 năm 2017 Tác giả Nguyễn Hải Dương ii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Đào Trọng Quyết, luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài "Dáng điệu tiệm cận nghiệm của một lớp phương trình Parabolic suy biến" được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 7 năm 2017 Tác giả Nguyễn Hải Dương iii Mục lục MỞ ĐẦU 1 1 LÝ THUYẾT VỀ TẬP HÚT TOÀN CỤC 4 1.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Sự tồn tại của tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Cấu trúc của tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Xác định dáng điệu tiệm cận bởi tập hút toàn cục . . . . . . . . . 10 1.5 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Dáng điệu tiệm cận nghiệm của một lớp phương trình Parabolic suy biến 14 2.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Sự tồn tại của tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 KẾT LUẬN 29 Tài liệu tham khảo 30 1 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Trong những năm gần đây, các phương trình phi tuyến với toán tử đạo hàm riêng suy biến đã được nghiên cứu rộng rãi bởi nhiều nhà toán học trong nước cũng như quốc tế. Có thể kể đến loại đầu tiên là lớp phương trình với hạng tử phi tuyến thỏa mãn điều kiện liên tục Lipschitz địa phương và điều kiện tăng trưởng Sobolev: |f (u) − f (v)| ≤ C(1 + |u|ρ + |v|ρ )|u − v|, 0≤ρ< 4 , Q−2 và một số điều kiện khuếch tán phù hợp; xem [3], [18]-[21], [12]. Loại thứ hai là lớp phương trình với hạng tử phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng đa thức C1 |u|ρ − C0 ≤ f (u)u ≤ C2 |u|ρ + C0 với mỗi ρ ≥ 2, f (u) ≥ −l, xem [4], [7], [10], [12]. Lưu ý rằng đối với cả hai lớp phương trình kể trên, hạng tử phi tuyến có hạn chế về tốc độ tăng trưởng, chẳng hạn, với hạng tử phi tuyến kiểu hàm mũ. Một số kết quả được công bố gần đây đã giải quyết được hạn chế này của hạng tử phi tuyến, vì vậy trong luận văn này, dựa trên kết quả của bài báo [8], chúng tôi trình bày kết quả về sự tồn tại, tính duy nhất và dáng điệu tiệm cận nghiệm của một lớp phương trình Parabolic suy biến với hạng tử phi tuyến tăng trưởng kiểu mũ có dạng sau: 2    ut −    λ u + f (u) = g(x), x ∈ Ω, t > 0, x ∈ ∂Ω, t > 0, u(x, t) = 0,      u(x, 0) = u0 (x), (1) x ∈ Ω, trong đó Ω là miền bị chặn trong RN (N ≥ 2) có biên trơn ∂Ω, u0 , g ∈ L2 (Ω), hạng tử phi tuyến f (u), và là toán tử suy biến xác định bởi: λ n ∂xi (λ2 (x)∂xi ). i λ := i=1 Ngoài lời cảm ơn, mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành hai chương: Chương 1: Lý thuyết về tập hút toàn cục. Trong chương này, chúng tôi trình bày lí thuyết cơ bản về tập hút toàn cục, đây là công cụ được sử dụng nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của bài toán được xét trong chương 2. Chương 2: Dáng điệu tiệm cận nghiệm của một lớp phương trình Parabolic suy biến. Trong chương này chúng tôi nghiên cứu một lớp phương trình Parabolic suy biến với hạng tử phi tuyến tăng trưởng kiểu mũ. Sự tồn tại tập hút toàn cục của lớp phương trình này được chứng minh sau khi đã chứng minh được sự tồn tại, duy nhất nghiệm yếu của bài toán. 2. Mục đích nghiên cứu Chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu và tập hút toàn cục cho bài toán (1). 3 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 1. Tìm hiểu về phương trình parabolic suy biến nửa tuyến tính; 2. Chứng minh sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu bài toán (1); 3. Chứng minh sự tồn tại và duy nhất của tập hút toàn cục cho bài toán (1). 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiêu cứu: phương trình parabolic suy biến nửa tuyến tính. • Phạm vi nghiên cứu: Sự tồn tại, duy nhất nghiệm yếu và tập hút toàn cục. 5. Phương pháp nghiên cứu Luận văn sử dụng một số công cụ của giải tích và lý thuyết định tính phương trình vi phân bao gồm: • Lý thuyết hệ động lực học; • Lý thuyết về tập hút toàn cục. 6. Dự kiến đóng góp mới Chứng minh chi tiết các kết quả trong công trình [8]. 4 Chương 1 LÝ THUYẾT VỀ TẬP HÚT TOÀN CỤC Trong chương này, theo tài liệu tham khảo [1], chúng tôi trình bày lý thuyết cơ bản về tập hút toàn cục, đây là công cụ được sử dụng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của một lớp phương trình parabolic suy biến xét trong chương 2. 1.1 1.1.1 Các khái niệm cơ bản Khái niệm hệ động lực Định nghĩa 1.1.1. Hệ động lực là một cặp (X; S(t)) gồm một không gian metric đủ X và một họ các ánh xạ S(t), t ≥ 0, từ X vào X thỏa mãn: a) S(0) = I; b) S(t + s) = S(t).S(s), ∀t, s ≥ 0; c) với mọi t ≥ 0, S(t) ∈ C 0 (X, X); d) với mọi u ∈ X, t → S(t)u ∈ C 0 ((0; +∞), X). Họ các ánh xạ S(t), t ≥ 0, gọi là một nửa nhóm liên tục trên X . Khi đó X gọi là không gian pha (hay không gian trạng thái). Nếu khái niệm số chiều có thể 5 định nghĩa cho không gian pha X (chẳng hạn, khi X là không gian tuyến tính) thì giá trị dim X gọi là số chiều của hệ động lực. 1.1.2 Quỹ đạo và tập bất biến Định nghĩa 1.1.2. Giả sử (X; S(t)) là một hệ động lực. a) Quỹ đạo dương của x ∈ X là tập hợp γ + (x) = {S(t)x | t ≥ 0}. Nếu E ⊂ X , quỹ đạo dương của E là tập hợp γ + (E) = γ + (z). S(t)E = t≥0 z∈E Tổng quát hơn, với τ ≥ 0, ta định nghĩa quỹ đạo sau thời điểm τ của E bởi + γτ (E) = γ + (S(τ )E). b) Quỹ đạo của S(t) trên khoảng I ⊂ R là một ánh xạ u : I → X thỏa mãn: u(t + s) = S(t)u(s), với mọi s ∈ I, t ≥ 0 sao cho t + s ∈ I . Đặc biệt, nếu I = (−∞, 0] và u(0) = z ∈ X , thì u gọi là quỹ đạo âm xuyên qua z và kí hiệu là γ − (z). Nếu I = R và u(0) = z , thì u gọi là quỹ đạo đầy đủ xuyên qua z và kí hiệu là γ(z). c) Quỹ đạo đầy đủ γ = {u(t) : t ∈ R} gọi là quỹ đạo tuần hoàn nếu có số τ > 0 sao cho: u(t + τ ) = u(t), ∀t ∈ R. Định nghĩa 1.1.3. Giả sử (X, S(t)) là một hệ động lực. Tập con Y của không gian pha X được gọi là 6 a) bất biến dương nếu S(t)Y ⊂ Y với mọi t ≥ 0; b) bất biến âm nếu S(t)Y ⊃ Y với mọi t ≥ 0; c) bất biến nếu nó vừa bất biến dương vừa bất biến âm, tức là S(t)Y = Y với mọi t ≥ 0. 1.1.3 Tập ω-giới hạn và tập α−giới hạn Định nghĩa 1.1.4. Giả sử A ⊂ X . a) Tập ω -giới hạn của A được định nghĩa bởi ω(A) = S(t)A s≥0 t≥s , X ở đó S(t)A = {ν = S(t)u : u ∈ A} và [Y ]X là bao đóng của Y trong X . b) Tập α−giới hạn của A được định nghĩa bởi S(t)−1 A α(A) = s≥0 , X t≥s ở đó S −1 (t)A = {ν : S(t)ν ∈ A}. Bổ đề sau đây đưa ra đặc trưng của các tập ω -giới hạn và tập α−giới hạn theo giới hạn của dãy. Bổ đề 1.1.5. Giả sử A là một tập con khác ∅ của X . Khi đó n→+∞ n→+∞ ω(A) = y ∈ X|∃tn ≥ 0, yn ∈ A sao cho tn − − → +∞ và S(tn )yn − − → y , −− −− α(A) = y ∈ X|∃tn ≥ 0, xn ∈ A sao cho tn → +∞, xn → y, với xn = uzn (−tn ) và uzn là một quỹ đạo âm xuyên qua z . 1.1.4 Tập hút toàn cục Tập hút toàn cục là đối tượng trung tâm của lý thuyết các hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều. 7 Định nghĩa 1.1.6. Một tập con khác rỗng A của X gọi là một tập hút toàn cục đối với hệ động lực (X, S(t)) nếu: a) A là một tập đóng và bị chặn; b) A là bất biến, tức là S(t)A = A với mọi t > 0; c) A hút mọi tập con bị chặn B của X , tức là lim dist(S(t)B, A) = 0, t→+∞ ở đó dist(E, F ) = sup inf d(a, b) là nửa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập a∈E b∈F con E và F của X . Các tính chất sau đây của tập hút toàn cục là hệ quả trực tiếp của định nghĩa. Mệnh đề 1.1.7. Giả sử hệ động lực (X, S(t)) có tập hút toàn cục A. Khi đó: a) Nếu B là một tập con bị chặn bất biến của X thì B ⊂ A (tính cực đại); b) Nếu B là một tập con đóng hút các tập bị chặn của X thì B ⊃ A (tính cực tiểu); c) A là duy nhất. 1.1.5 Tính tiêu hao Định nghĩa 1.1.8. Hệ động lực (X, S(t)) gọi là tiêu hao điểm (tương ứng, tiêu hao bị chặn) nếu tồn tại một tập bị chặn B0 ⊂ X hút các điểm (tương ứng, hút các tập bị chặn) của X . Nếu hệ động lực (X, S(t)) là tiêu hao bị chặn thì tồn tại một tập B0 ⊂ X sao cho với mọi tập bị chặn B ⊂ X , tồn tại T = T (B) ≥ 0 sao cho S(t)B ⊂ B0 , ∀t ≥ T . Tập B0 như vậy gọi là một tập hấp thụ đối với hệ động lực (X, S(t)). Một hệ động lực tiêu hao bị chặn thường được gọi tắt là hệ động lực tiêu hao. Dễ thấy một hệ động lực tiêu hao bị chặn thì tiêu hao điểm. Điều ngược lại nói chung không đúng, nhưng nó đúng đối với các hệ động lực hữu hạn chiều. 8 1.1.6 Tính compact tiệm cận Định nghĩa 1.1.9. Giả sử X là một không gian Banach. Hệ động lực (X, S(t)) gọi là compact tiệm cận nếu với mọi t > 0, S(t) có thể biểu diễn dưới dạng S(t) = S (1) (t) + S (2) (t), (1.1) ở đó S (1) (t) và S (2) (t) thỏa mãn các tính chất sau đây: a) với bất kì tập bị chặn B ⊂ X , rB (t) = sup S (1) (t)y X→ 0, t → +∞; y∈B b) với bất kì tập bị chặn B trong X , tồn tại t0 sao cho tập hợp γ (2) (t0 )B = S (2) (t)B (1.2) t≥t0 là compact trong X , ở đây [γ] là bao đóng của γ . Một hệ động lực là compact nếu nó là compact tiệm cận và ta có thể lấy S (1) (t) ≡ 0 trong biểu diễn (1.1). Rõ ràng bất kì một hệ động lực tiêu hao hữu hạn chiều cũng là compact. Dễ dàng thấy rằng điều kiện (1.2) được thỏa mãn nếu tồn tại một tập compact K trong X sao cho với bất kì tập bị chặn B ⊂ X , tồn tại t0 (B) sao cho S (2) (t)B ⊂ K, ∀t ≥ t0 (B). Nói riêng, một hệ tiêu hao là compact nếu nó có một tập hấp thụ compact. Bổ để sau đây rất hữu ích khi chứng minh tính compact tiệm cận. Bổ đề 1.1.10. Hệ động lực (X, S(t)) là compact tiệm cận nếu tồn tại một tập compact K sao cho lim dist(S(t)B, K) = 0, t→+∞ 9 với mọi tập B bị chặn trong X. 1.2 Sự tồn tại của tập hút toàn cục Để đơn giản trong mục này ta giả sử không gian pha X là một không gian Banach, mặc dù các kết quả chính vẫn đúng với một lớp rộng hơn các không gian pha. Định lý sau đây là kết quả chính của mục này. Định lý 1.2.1. Giả sử hệ động lực (X, S(t)) là tiêu hao và compact tiệm cận. Nếu B là một tập hấp thụ bị chặn của hệ (X, S(t)) thì A = ω(B) là một tập compact khác rỗng và là tập hút toàn cục đối với hệ động lực (X, S(t)). Hơn nữa, tập hút toàn cục A là liên thông trong X . Bổ đề 1.2.2. Giả sử hệ động lực (X, S(t)) là compact tiệm cận. Khi đó với mọi tập bị chặn B của X , tập ω -giới hạn ω(B) là một tập compact bất biến khác rỗng. Do tập hút toàn cục A có dạng A = ω(B), ở đó B là một tập hấp thụ bị chặn bất kì của hệ đông lực, ta có thể thấy rằng tập hợp S(t)B không chỉ dần đến tập hút A, mà còn phân bố đều trên A khi t → ∞. Cụ thể ta có định lý sau đây. Định lý 1.2.3. Giả sử hệ động lực tiêu hao (X, S(t)) có một tập hút toàn cục A và B là một tập hấp thụ bị chặn của (X, S(t)). Khi đó lim dist(A, S(t)B) = 0. t→+∞ Hệ quả 1.2.4. Giả sử (X, S(t)) là một hệ động lực tiêu hao compact tiệm cận. Khi đó tập hút toàn cục A của nó có tính chất lim Hdist(S(t)B, A) = 0, t→+∞ với mọi tập hấp thụ bị chặn B của hệ (X, S(t)). Ở đây Hdist(., .) là khoảng cách Hausdorff giữa hai tập, tức là Hdist(A, B) = max{dist(A, B), dist(B, A)}. 10 1.3 Cấu trúc của tập hút toàn cục Định lý 1.3.1. Giả sử hệ động lực (X, S(t)) có tập hút toàn cục A. Khi đó mọi quỹ đạo đầy đủ bị chặn (nói riêng là các điểm dừng và các quỹ đạo tuần hoàn, nếu có) đều nằm trên A. Hơn nữa, nếu S(t) là đơn ánh trên A thì A là hợp của tất cả các quỹ đạo đẩy đủ bị chặn. Để khảo sát kĩ hơn cấu trúc của tập hút toàn cục, ta cần các khái niệm đa tạp ổn định và đa tạp không ổn định. Định nghĩa 1.3.2. a) Giả sử z là một điểm dừng của hệ động lực (X, S(t)). Ta định nghĩa: • Đa tạp không ổn định của z là tập hợp W u (z) = {u0 ∈ X : S(t)u0 xác định với mọi t, S(−t)u0 → z khi t → +∞}. • Đa tạp ổn định của z là tập hợp W s (z) = {u0 ∈ X : S(t)u0 → z khi t → +∞}. b) Giả sử Y là một tập bất biến của hệ động lực (X, S(t)). Ta định nghĩa • Đa tạp không ổn định của Y là tập W u (Y ) ={u0 ∈ X : S(t)u0 xác định với mọi t, dist(S(−t)u0 , Y ) → 0 khi t → +∞}. Định lý 1.3.3. Nếu Y là một tập compact bất biến của hệ động lực (X, S(t)) thì W u (Y ) ⊂ A. 1.4 Xác định dáng điệu tiệm cận bởi tập hút toàn cục Trong mục này ta sẽ chỉ ra rằng quỹ đạo trên tập hút toàn cục sẽ quyết định các dáng điệu tiệm cận có thể có của các quỹ đạo riêng lẻ, nghĩa là sau một thời điểm đủ lớn, bất kì một quỹ đạo nào của phương trình gốc trông sẽ giống như một quỹ đạo nào đó trên tập hút toàn cục trong một khoảng thời gian đủ dài. Định lý 1.4.1. Giả sử hệ động lực (X, S(t)) có tập hút toàn cục A. Cho trước 11 một quỹ đạo u(t) = S(t)u0 , một sai số > 0 và một khoảng thời gian T > 0. Khi đó tồn tại một thời điểm τ = τ ( , T ) và một phần tử ν0 ∈ A sao cho u(τ + t) − S(t)ν0 ≤ với mọi 0 ≤ t ≤ T. Hệ quả 1.4.2. Cho trước một quỹ đạo u(t), tồn tại một dãy các sai số { n }∞ n=1 với n → 0, một dãy tăng các thời điểm {tn }∞ với n=1 tn+1 − tn → ∞ khi n → ∞, và một dãy các phần tử {νn }∞ với νn ∈ A sao cho n=1 u(t) − S(t − tn )νn ≤ n với mọi tn ≤ t ≤ tn+1 . Hơn nữa, bước nhảy νn+1 − S(tn+1 − tn )νn dần tới 0 khi n → ∞. 1.5 Các ví dụ Sau đây chúng tôi trình bày một số ví dụ cụ thể minh họa cho các lí thuyết được trình bày ở trên. Ví dụ 1.5.1. Xét phương trình vi phân thường có trễ x(t) + αx(t) = f (x(t − 1)), ˙ t > 0, (1.3) ở đó f là một hàm liên tục trên R, α > 0. Hiển nhiên một điều kiện ban đầu đối với (1.3) nên cho dưới dạng: x(t)|t∈[−1,0] = ϕ(t). (1.4) Giả sử ϕ ∈ C[−1, 0], không gian các hàm số thực liên tục trên đoạn [−1, 0]. Trong trường hợp này nghiệm của bài toán (1.3)-(1.4) có thể xây dựng trên từng đoạn. Chẳng hạn, nếu 0 ≤ t ≤ 1, nghiệm x(t) cho bởi t x(t) = e −αt e−α(t−τ ) f (ϕ(τ − 1))dτ, ϕ(0) + 0 và nếu t ∈ [1, 2] thì nghiệm biểu diễn bằng công thức tương tự theo giá trị của hàm x(t) với t ∈ [0, 1], và cứ tiếp tục như vậy trên các đoạn khác. Rõ ràng rằng 12 nghiệm được xác định một cách duy nhất bởi hàm ban đầu ϕ(t). Nếu bây giờ ta định nghĩa một toán tử S(t) trong không gian X = C[−1, 0] bởi công thức: (S(t)ϕ)(τ ) = x(t + τ ), τ ∈ [−1, 0], ở đó x(t) là nghiệm của bài toán (1.3)-(1.4), thì ta nhận được một hệ động lực vô hạn chiều (C[−1, 0], S(t)). Ví dụ 1.5.2. Xét hệ Lorenz   dx = −σx + σy   dt        dy = rx − y − xz dt dz = xy − bz, dt ở đó σ, r và b là các hằng số dương. Vì hệ động lực sinh bởi phương trình này là hữu hạn chiều và mọi tập đóng bị chặn trong không gian hữu hạn chiều là compact nên ta chỉ cần chứng minh hệ động lực này có một tập hấp thụ bị chặn. Xét hàm V (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 + (z − r − σ)2 . Đạo hàm dọc theo quỹ đạo, ta có dV = −2σx2 − 2y 2 − 2bx2 + 2b(r + σ)z dt = −2σx2 − 2y 2 − b(z − r − σ)2 − bz 2 + b(r + σ) ≤ −αV + b(r + σ)2 , ở đó α = min{2σ, 2, b}. Sử dụng bất đẳng thức Gronwall ta có V (t) ≤ b(r + σ)2 , α Ví dụ 1.5.3. Ví dụ về hệ động lực và tìm tập hút toàn cục của hệ đó Xét hệ phương trình:    x (t) = −x,  x(0) = x là giá trị ban đầu cho trước.  0 13 Hệ này có nghiệm x(t) = x0 e−t . Hệ động lực: (S(t); R) xác định bởi: S(t)x0 = x(t) = x0 e−t . Khi t → +∞ thì x(t) = x0 e−t → 0. Vậy tập hút A = {0}. 14 Chương 2 Dáng điệu tiệm cận nghiệm của một lớp phương trình Parabolic suy biến Trong chương này, theo tài liệu tham khảo [8], chúng tôi xét một lớp phương trình Parabolic suy biến với hạng tử phi tuyến tăng trưởng kiểu mũ. Sự tồn tại tập hút toàn cục được chứng minh sau khi đã trình bày chứng minh về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm yếu của bài toán. 2.1 Đặt bài toán Xét phương trình Parabolic suy biến nửa tuyến tính có dạng:    ut −    λ u + f (u) = g(x), x ∈ Ω, t > 0, x ∈ ∂Ω, t > 0, u(x, t) = 0,      u(x, 0) = u0 (x), (1) x ∈ Ω, trong đó Ω là miền bị chặn trong RN (N ≥ 2) có biên trơn ∂Ω, u0 , g ∈ L2 (Ω), hạng tử phi tuyến f (u), và λ là toán tử suy biến xác định bởi: n ∂xi (λ2 (x)∂xi ), i λ := i=1 15 ở đó λ = (λ1 , . . . , λN ) : RN → RN . Toán tử này được đưa ra bởi bởi Franchi và Lanconelli trong [15] và gần đây được xét tới trong [16] với giả thiết các toán tử là thuần nhất bậc hai đối với một nhóm giãn trong RN . Ở đây, hàm λi : RN → R là liên tục, dương ngặt và thuộc C 1 , không nằm trong siêu phẳng tọa độ, tức là, λi > 0, i = 1, . . . , N trong RN \ Π ở đó Π = {(x1 , . . . , xN ) ∈ RN ; ΠN xi = 0}. Như i=1 trong [18], ta giả thiết λi thỏa mãn các tính chất sau: 1. λ1 (x) ≡ 1, λi (x) = λi (x1 , . . . , xi−1 ), i = 2, . . . , N ; 2. Với mọi x ∈ RN , λi (x) = λi (x∗ ), i = 1, . . . , N , ở đó: x∗ = (|x1 |, . . . , |xN |) nếu x = (x1 , . . . , xN ); 3. Tồn tại hằng số ρ ≥ 0 sao cho 0 ≤ xk ∂xk λi (x) ≤ ρλi (x), ∀k ∈ {1, . . . , i − 1}, i = 2, . . . , N, với mọi x ∈ RN := {(x1 , . . . , xN ) ∈ RN : xi ≥ 0, + ∀i = 1, . . . , N }; 4. Tồn tại nhóm giãn {δt }t>0 δt : RN → RN , δt (x) = δt (x1 , . . . , xN ) = (t 1 x1 , . . . , t N xN ), ở đó 1 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 3 ≤ ... N sao cho λi là δt -thuần nhất bậc λi (δt (x)) = tεi −1 λi (x), i − 1, tức là, ∀x ∈ RN , t > 0, i = 1, . . . , N. Ta dễ dàng thấy rằng ∆λ là δt − thuần nhất bậc 2 , tức là, ∆λ (u(δt (x))) = t2 (∆λ u)(δt (x)), ∀u ∈ C ∞ (RN ). Ta kí hiệu Q là số chiều trong RN đối với nhóm {δt }t≥0 , tức là, Q := 1 + ... + N. Số chiều thuần nhất Q có một vai trò quan trọng trong cả hình học và giải tích hàm liên quan đến toán tử ∆λ . Toán tử ∆λ −Laplace chứa nhiều lớp toán tử eliptic suy biến, ví dụ như toán tử dạng Grushin