Tài liệu Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ phương trình g navier stokes hai chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 TUẤN THÁI HUỆ ANH DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH g -NAVIER-STOKES HAI CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 TUẤN THÁI HUỆ ANH DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH g-NAVIER-STOKES HAI CHIỀU Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. ĐÀO TRỌNG QUYẾT HÀ NỘI, 2017 i Lời cảm ơn Tác giả xin chân thành cảm ơn TS. Đào Trọng Quyết, người đã chỉ bảo tận tình và cho tác giả những nhận xét quí báu để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này một cách tốt nhất. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo ở khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, những người đã tận tình giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học, giúp tác giả hoàn thành luận văn một cách thuận lợi. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, các bạn học viên, những người đã động viên và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả hoàn thành khóa học của mình. Do khả năng và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên bản luận văn có thể chưa đầy đủ và có những thiếu sót khó tránh khỏi. Tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để bản luận văn này được hoàn thiện hơn. Hà Nội, tháng 7 năm 2017 Tác giả Tuấn Thái Huệ Anh ii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn này không trùng lặp với các khóa luận, luận văn, luận án và các công trình nghiên cứu đã công bố. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn được ghi rõ nguồn gốc. Hà Nội, tháng 7 năm 2017 Tác giả Tuấn Thái Huệ Anh iii Mục lục MỞ ĐẦU 1 1 LÝ THUYẾT VỀ TẬP HÚT TOÀN CỤC 5 1.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Sự tồn tại của tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Cấu trúc của tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Xác định dáng điệu tiệm cận bởi tập hút toàn cục . . . . . . . . . 11 2 TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦA HỆ PHƯƠNG 5 TRÌNH g -NAVIER-STOKES HAI CHIỀU 13 2.1 Đặt bài toán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Sự tồn tại của tập hút toàn cục của hệ phương trình g -Navier-Stokes hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 KẾT LUẬN 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO 25 1 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Các phương trình và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng xuất hiện khi mô tả chuyển động của các chất lỏng và khí như nước, không khí, dầu mỏ, ..., dưới những điều kiện tương đối tổng quát, và chúng xuất hiện khi nghiên cứu nhiều hiện tượng quan trọng trong khoa học hàng không, khí tượng học, công nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma. Một trong những lớp hệ phương trình cơ bản quan trọng trong cơ học chất lỏng, miêu tả dòng chảy của chất lỏng lí tưởng, nhớt, không nén là hệ Navier-Stokes. Hệ phương trình Navier-Stokes được xây dựng từ các định luật bảo toàn khối lượng, động lượng và có dạng:   ∂u  − ν∆u + (u · )u + p = f (x, t) ∂t   · (u) (1) =0 ở đó u = u(x, t), p = p(x, t) tương ứng là hàm véctơ vận tốc và hàm áp suất cần tìm, ν = const > 0 là hệ số nhớt và f là ngoại lực. Mặc dù được đưa ra lần đầu tiên vào năm 1822, cho đến nay đã có rất nhiều bài báo và sách chuyên khảo viết về hệ phương trình Navier-Stokes, tuy nhiên những hiểu biết của chúng ta về nghiệm của hệ phương trình này còn khá khiêm tốn. Nói riêng, cho đến nay vấn đề tồn tại nghiệm mạnh toàn cục và tính duy nhất của nghiệm yếu trong trường hợp ba chiều vẫn là thách thức lớn đối với các nhà toán học cũng như vật lý. Tuy nhiên, vì nhu cầu của Khoa học và Công nghệ mà việc nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes nói riêng và các 2 phương trình, hệ phương trình trong cơ học chất lỏng nói chung ngày càng trở nên thời sự và cấp thiết. Bên cạnh hệ phương trình Navier-Stokes, rất nhiều lớp phương trình và hệ phương trình khác trong cơ học chất lỏng cũng thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học bởi ý nghĩa và tầm quan trọng của chúng, cũng như những khó khăn thách thức về mặt toán học đặt ra khi nghiên cứu chúng. Một trong số đó là lớp hệ phương trình g -Navier-Stokes, được đưa ra lần đầu tiên bởi J. Roh năm 2001. Hệ phương trình g -Navier-Stokes có dạng:   ∂u  ∂t − ν∆u + (u · )u +   · (gu) p = f (x, t), (2) = 0. ở đó g = g(x) là một hàm số dương cho trước. Như được đề cập trong [16], có hai lí do chính dẫn đến việc nghiên cứu hệ phương trình g -Navier-Stokes, đặc biệt là trong trường hợp hai chiều: 1. Hệ phương trình g -Navier-Stokes hai chiều xuất hiện một cách tự nhiên khi nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes ba chiều trong miền mỏng Ωg = Ω × (0, g), ở đó Ω là miền hai chiều, và các tính chất tốt của hệ phương trình g -Navier-Stokes hai chiều sẽ giúp ích cho việc nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes trong miền mỏng ba chiều. 2. Về mặt toán học, hệ phương trình này là một dạng tổng quát của hệ phương trình Navier-Stokes, cụ thể khi g = const, ta thu lại được hệ phương trình Navier-Stokes cổ điển. Vì vậy nếu có một kết quả đối với lớp phương trình này, thì chỉ cần cho g = 1, ta sẽ nhận được kết quả tương ứng đối với hệ phương trình Navier-Stokes. Ngược lại, việc chuyển những kết quả đã biết đối với hệ phương trình Navier-Stokes cho hệ phương trình g -Navier-Stokes đặt ra những vấn đề toán học lí thú. Chính vì những lí do trên, lớp hệ phương trình g -Navier-Stokes này đã thu hút được sự quan tâm, nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước 3 trong những năm gần đây (xem, chẳng hạn, [2] - [6], [8] - [22]). Khi nghiên cứu các lớp phương trình trong cơ học chất lỏng nói chung và hệ phương trình g -Navier-Stokes nói riêng, chúng ta thường bắt đầu với câu hỏi chứng minh sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm (nghiệm ở đây có thể là nghiệm yếu hoặc nghiệm mạnh). Sau đó chúng ta nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian dần ra vô cùng bằng cách chứng minh sự tồn tại tập hút. Nếu biết được dáng điệu tiệm cận của nghiệm thì chúng ta sẽ biết được xu hướng phát triển của hệ và từ đó có các điều chỉnh hợp lí theo mong muốn. Với ý nghĩa như vậy nên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là: “Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ phương trình g -Navier-Stokes hai chiều.” Ngoài lời cảm ơn, mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành hai chương: Chương 1: Lý thuyết về tập hút toàn cục. Trong chương này, chúng tôi trình bày lí thuyết cơ bản về tập hút toàn cục, đây là công cụ được sử dụng nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của bài toán được xét trong chương 2. Chương 2: Tập hút toàn cục của hệ phương trình g -Navier-Stokes hai chiều. Trong chương này chúng tôi chứng minh sự tồn tại tập hút toàn cục đối với hệ phương trình g -Navier-Stokes hai chiều trong miền đa liên bị chặn. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu các kết quả tổng quát về sự tồn tại tập hút toàn cục. Áp dụng kết quả tổng quát này để chứng minh sự tồn tại tập hút toàn cục của nửa nhóm sinh bởi hệ phương trình g -Navier-Stokes hai chiều. 4 3. Nhiệm vụ nghiên cứu a) Nghiên cứu sự tồn tại của tập hút toàn cục. b) Áp dụng chứng minh sự tồn tại tập hút toàn cục của nửa nhóm sinh bởi hệ phương trình g -Navier-Stokes hai chiều. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu a) Đối tượng nghiên cứu: Tập hút toàn cục của hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều. b) Phạm vi nghiên cứu: Tập hút toàn cục của hệ phương trình g -Navier-Stokes hai chiều. 5. Giả thuyết khoa học Thiết lập được kết quả tổng quát về tập hút toàn cục. Áp dụng được kết quả tổng quát này để chứng minh sự tồn tại của tập hút toàn cục của hệ phương trình g -Navier-Stokes hai chiều. 6. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu sự tồn tại của tập hút: Các phương pháp của lí thuyết hệ động lực. 5 Chương 1 LÝ THUYẾT VỀ TẬP HÚT TOÀN CỤC Trong chương này, theo tài liệu tham khảo [1], chúng tôi trình bày lý thuyết cơ bản về tập hút toàn cục, đây là công cụ được sử dụng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ phương trình g -Navier-Stokes xét trong chương 2. 1.1 1.1.1 Các khái niệm cơ bản Khái niệm hệ động lực Định nghĩa 1.1.1. Hệ động lực là một cặp (X; S(t)) gồm một không gian metric đủ X và một họ các ánh xạ S(t), t ≥ 0, từ X vào X thỏa mãn: a) S(0) = I; b) S(t + s) = S(t).S(s), ∀t, s ≥ 0; c) với mọi t ≥ 0, S(t) ∈ C 0 (X, X); d) với mọi u ∈ X, t → S(t)u ∈ C 0 ((0; +∞), X). Họ các ánh xạ S(t), t ≥ 0, gọi là một nửa nhóm liên tục trên X . Khi đó X gọi là không gian pha (hay không gian trạng thái). Nếu khái niệm số chiều có thể định nghĩa cho không gian pha X (chẳng hạn, khi X là không gian tuyến tính) thì giá trị dim X gọi là số chiều của hệ động lực. 6 1.1.2 Quỹ đạo và tập bất biến Định nghĩa 1.1.2. Giả sử (X; S(t)) là một hệ động lực. a) Quỹ đạo dương của x ∈ X là tập hợp γ + (x) = {S(t)x | t ≥ 0}. Nếu E ⊂ X , quỹ đạo dương của E là tập hợp γ + (E) = γ + (z). S(t)E = t≥0 z∈E Tổng quát hơn, với τ ≥ 0, ta định nghĩa quỹ đạo sau thời điểm τ của E bởi + γτ (E) = γ + (S(τ )E). b) Quỹ đạo của S(t) trên khoảng I ⊂ R là một ánh xạ u : I → X thỏa mãn: u(t + s) = S(t)u(s), với mọi s ∈ I, t ≥ 0 sao cho t + s ∈ I . Đặc biệt, nếu I = (−∞, 0] và u(0) = z ∈ X , thì u gọi là quỹ đạo âm xuyên qua z và kí hiệu là γ − (z). Nếu I = R và u(0) = z , thì u gọi là quỹ đạo đầy đủ xuyên qua z và kí hiệu là γ(z). c) Quỹ đạo đầy đủ γ = {u(t) : t ∈ R} gọi là quỹ đạo tuần hoàn nếu có số τ > 0 sao cho: u(t + τ ) = u(t), ∀t ∈ R. Định nghĩa 1.1.3. Giả sử (X, S(t)) là một hệ động lực. Tập con Y của không gian pha X được gọi là a) bất biến dương nếu S(t)Y ⊂ Y với mọi t ≥ 0; b) bất biến âm nếu S(t)Y ⊃ Y với mọi t ≥ 0; 7 c) bất biến nếu nó vừa bất biến dương vừa bất biến âm, tức là S(t)Y = Y với mọi t ≥ 0. 1.1.3 Tập ω-giới hạn và tập α−giới hạn Định nghĩa 1.1.4. Giả sử A ⊂ X . a) Tập ω -giới hạn của A được định nghĩa bởi ω(A) = , S(t)A s≥0 t≥s X ở đó S(t)A = {ν = S(t)u : u ∈ A} và [Y ]X là bao đóng của Y trong X . b) Tập α−giới hạn của A được định nghĩa bởi S(t)−1 A α(A) = s≥0 , X t≥s ở đó S −1 (t)A = {ν : S(t)ν ∈ A}. Bổ đề sau đây đưa ra đặc trưng của các tập ω -giới hạn và tập α−giới hạn theo giới hạn của dãy. Bổ đề 1.1.5. Giả sử A là một tập con khác ∅ của X . Khi đó n→+∞ n→+∞ ω(A) = y ∈ X|∃tn ≥ 0, yn ∈ A sao cho tn − − → +∞ và S(tn )yn − − → y , −− −− α(A) = y ∈ X|∃tn ≥ 0, xn ∈ A sao cho tn → +∞, xn → y với xn = uzn (−tn ) và uzn là một quỹ đạo âm xuyên qua z . 1.1.4 Tập hút toàn cục Tập hút toàn cục là đối tượng trung tâm của lý thuyết các hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều. Định nghĩa 1.1.6. Một tập con khác rỗng A của X gọi là một tập hút toàn cục đối với hệ động lực (X, S(t)) nếu: a) A là một tập đóng và bị chặn; 8 b) A là bất biến, tức là S(t)A = A với mọi t > 0; c) A hút mọi tập con bị chặn B của X , tức là lim dist(S(t)B, A) = 0, t→+∞ ở đó dist(E, F ) = sup inf d(a, b) là nửa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập a∈E b∈F con E và F của X . Các tính chất sau đây của tập hút toàn cục là hệ quả trực tiếp của định nghĩa. Mệnh đề 1.1.7. Giả sử hệ động lực (X, S(t)) có tập hút toàn cục A. Khi đó: a) Nếu B là một tập con bị chặn bất biến của X thì B ⊂ A (tính cực đại); b) Nếu B là một tập con đóng hút các tập bị chặn của X thì B ⊃ A (tính cực tiểu); c) A là duy nhất. 1.1.5 Tính tiêu hao Định nghĩa 1.1.8. Hệ động lực (X, S(t)) gọi là tiêu hao điểm (tương ứng, tiêu hao bị chặn) nếu tồn tại một tập bị chặn B0 ⊂ X hút các điểm (tương ứng, hút các tập bị chặn) của X . Nếu hệ động lực (X, S(t)) là tiêu hao bị chặn thì tồn tại một tập B0 ⊂ X sao cho với mọi tập bị chặn B ⊂ X , tồn tại T = T (B) ≥ 0 sao cho S(t)B ⊂ B0 , ∀t ≥ T . Tập B0 như vậy gọi là một tập hấp thụ đối với hệ động lực (X, S(t)). Một hệ động lực tiêu hao bị chặn thường được gọi tắt là hệ động lực tiêu hao. Dễ thấy một hệ động lực tiêu hao bị chặn thì tiêu hao điểm. Điều ngược lại nói chung không đúng, nhưng nó đúng đối với các hệ động lực hữu hạn chiều. 1.1.6 Tính compact tiệm cận Định nghĩa 1.1.9. Giả sử X là một không gian Banach. Hệ động lực (X, S(t)) gọi là compact tiệm cận nếu với mọi t > 0, S(t) có thể biểu diễn dưới dạng 9 S(t) = S (1) (t) + S (2) (t), (1.1) ở đó S (1) (t) và S (2) (t) thỏa mãn các tính chất sau đây: a) với bất kì tập bị chặn B ⊂ X , rB (t) = sup S (1) (t)y X→ 0, t → +∞; y∈B b) với bất kì tập bị chặn B trong X , tồn tại t0 sao cho tập hợp γ (2) (t0 )B = S (2) (t)B (1.2) t≥t0 là compact trong X , ở đây [γ] là bao đóng của γ . Một hệ động lực là compact nếu nó là compact tiệm cận và ta có thể lấy S (1) (t) ≡ 0 trong biểu diễn (1.1). Rõ ràng bất kì một hệ động lực tiêu hao hữu hạn chiều cũng là compact. Dễ dàng thấy rằng điều kiện (1.2) được thỏa mãn nếu tồn tại một tập compact K trong X sao cho với bất kì tập bị chặn B ⊂ X , tồn tại t0 (B) sao cho S (2) (t)B ⊂ K, ∀t ≥ t0 (B). Nói riêng, một hệ tiêu hao là compact nếu nó có một tập hấp thụ compact. Bổ để sau đây rất hữu ích khi chứng minh tính compact tiệm cận. Bổ đề 1.1.10. Hệ động lực (X, S(t)) là compact tiệm cận nếu tồn tại một tập compact K sao cho lim dist(S(t)B, K) = 0, t→+∞ với mọi tập B bị chặn trong X. 10 1.2 Sự tồn tại của tập hút toàn cục Để đơn giản trong mục này ta giả sử không gian pha X là một không gian Banach, mặc dù các kết quả chính vẫn đúng với một lớp rộng hơn các không gian pha. Định lý sau đây là kết quả chính của mục này. Định lý 1.2.1. Giả sử hệ động lực (X, S(t)) là tiêu hao và compact tiệm cận. Nếu B là một tập hấp thụ bị chặn của hệ (X, S(t)) thì A = ω(B) là một tập compact khác rỗng và là tập hút toàn cục đối với hệ động lực (X, S(t)). Hơn nữa, tập hút toàn cục A là liên thông trong X . Bổ đề 1.2.2. Giả sử hệ động lực (X, S(t)) là compact tiệm cận. Khi đó với mọi tập bị chặn B của X , tập ω -giới hạn ω(B) là một tập compact bất biến khác rỗng. Do tập hút toàn cục A có dạng A = ω(B), ở đó B là một tập hấp thụ bị chặn bất kì của hệ đông lực, ta có thể thấy rằng tập hợp S(t)B không chỉ dần đến tập hút A, mà còn phân bố đều trên A khi t → ∞. Cụ thể ta có định lý sau đây. Định lý 1.2.3. Giả sử hệ động lực tiêu hao (X, S(t)) có một tập hút toàn cục A và B là một tập hấp thụ bị chặn của (X, S(t)). Khi đó lim dist(A, S(t)B) = 0. t→+∞ Hệ quả 1.2.4. Giả sử (X, S(t)) là một hệ động lực tiêu hao compact tiệm cận. Khi đó tập hút toàn cục A của nó có tính chất lim Hdist(S(t)B, A) = 0, t→+∞ với mọi tập hấp thụ bị chặn B của hệ (X, S(t)). Ở đây Hdist(., .) là khoảng cách Hausdorff giữa hai tập, tức là Hdist(A, B) = max{dist(A, B), dist(B, A)}. 11 1.3 Cấu trúc của tập hút toàn cục Định lý 1.3.1. Giả sử hệ động lực (X, S(t)) có tập hút toàn cục A. Khi đó mọi quỹ đạo đầy đủ bị chặn (nói riêng là các điểm dừng và các quỹ đạo tuần hoàn, nếu có) đều nằm trên A. Hơn nữa, nếu S(t) là đơn ánh trên A thì A là hợp của tất cả các quỹ đạo đẩy đủ bị chặn. Để khảo sát kĩ hơn cấu trúc của tập hút toàn cục, ta cần các khái niệm đa tạp ổn định và đa tạp không ổn định. Định nghĩa 1.3.2. a) Giả sử z là một điểm dừng của hệ động lực (X, S(t)). Ta định nghĩa: • Đa tạp không ổn định của z là tập hợp W u (z) = {u0 ∈ X : S(t)u0 xác định với mọi t, S(−t)u0 → z khi t → +∞}. • Đa tạp ổn định của z là tập hợp W s (z) = {u0 ∈ X : S(t)u0 → z khi t → +∞}. b) Giả sử Y là một tập bất biến của hệ động lực (X, S(t)). Ta định nghĩa • Đa tạp không ổn định của Y là tập W u (Y ) ={u0 ∈ X : S(t)u0 xác định với mọi t, dist(S(−t)u0 , Y ) → 0 khi t → +∞}. Định lý 1.3.3. Nếu Y là một tập compact bất biến của hệ động lực (X, S(t)) thì W u (Y ) ⊂ A. 1.4 Xác định dáng điệu tiệm cận bởi tập hút toàn cục Trong mục này ta sẽ chỉ ra rằng quỹ đạo trên tập hút toàn cục sẽ quyết định các dáng điệu tiệm cận có thể có của các quỹ đạo riêng lẻ, nghĩa là sau một thời điểm đủ lớn, bất kì một quỹ đạo nào của phương trình gốc trông sẽ giống như một quỹ đạo nào đó trên tập hút toàn cục trong một khoảng thời gian đủ dài. Định lý 1.4.1. Giả sử hệ động lực (X, S(t)) có tập hút toàn cục A. Cho trước 12 một quỹ đạo u(t) = S(t)u0 , một sai số > 0 và một khoảng thời gian T > 0. Khi đó tồn tại một thời điểm τ = τ ( , T ) và một phần tử ν0 ∈ A sao cho u(τ + t) − S(t)ν0 ≤ với mọi 0 ≤ t ≤ T. Hệ quả 1.4.2. Cho trước một quỹ đạo u(t), tồn tại một dãy các sai số { n }∞ n=1 với n → 0, một dãy tăng các thời điểm {tn }∞ với n=1 tn+1 − tn → ∞ khi n → ∞, và một dãy các phần tử {νn }∞ với νn ∈ A sao cho n=1 u(t) − S(t − tn )νn ≤ n với mọi tn ≤ t ≤ tn+1 . Hơn nữa, bước nhảy νn+1 − S(tn+1 − tn )νn dần tới 0 khi n → ∞. 13 Chương 2 TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH g-NAVIER-STOKES HAI CHIỀU Trong chương này, chúng tôi xét hệ g -Navier-Stokes hai chiều trong miền liên thông bị chặn. Đầu tiên, sử dụng các kết quả tổng quát về sự tồn tại tập hút toàn cục, chúng tôi chứng minh sự tồn tại của tập hút toàn cục của nửa nhóm sinh bởi hệ phương trình g -Navier-Stokes hai chiều. Nội dung của chương này dựa trên bài báo [11] trong Tài liệu tham khảo. 2.1 Đặt bài toán. Giả sử Ω ⊂ R2 là miền đa liên bị chặn. Ta nghiên cứu sự tồn tại của tập hút toàn cục của hệ phương trình g -Navier-Stokes hai chiều có dạng sau:   ∂u − ν∆u + (u · )u + p = f (x) trong Ω × (0, ∞),    ∂t  = 0 trong Ω × (0, ∞),  · (gu)    u(x, t) = u∗ trên ∂Ω, (2.1) 14 trong đó u = u(x, t) = (u1 , u2 ) là hàm véctơ vận tốc, p = p(x, t) là hàm áp suất, ν = const > 0, và f = f (x) ∈ (L2 (Ω))2 là ngoại lực không phụ thuộc thời gian. 0 < m0 ≤ g = g(x1 , x2 ) ≤ M0 . Khi g = 1, hệ (2.1) trở thành hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều thông thường. Với Ω ⊂ R2 là miền đa liên, bị chặn, trơn Lipschitz, ∂Ω = Γ1 ∪ ... ∪ Γm ∪ Γm+1 , ở đây Γi (1 ≤ i ≤ m) là các biên trong, Γm+1 là các biên ngoài. Điều kiện cần để một hàm là nghiệm của (2.1) trên Ω là u∗ .ndΓ = u∗ .ndΓ + ... + Γ1 ∂Ω u∗ .ndΓ + Γm u∗ .ndΓ = 0, Γm+1 trong đó n là vectơ pháp tuyến ngoài. Ta kí hiệu φi = u∗ .ndΓ, i = 1, 2, ..., m, m + 1. Γ1 Chúng ta giả sử bất đẳng thức Poincare đúng trên miền Ω, hay tồn tại λ > 0 sao cho φ2 gdx ≤ 1 λ φ 2 gdx, ∀φ ∈ H1 (Ω). 0 Ω Ω Để nghiên cứu bài toán (2.1), chúng ta xét các không gian hàm sau: Đặt L2 (g) = (L2 (Ω))2 với tích vô hướng và chuẩn xác định bởi 1 u.vgdx, | . | = (., .) 2 , (u, v) = Ω Đặt H1 (g) 0 = (H1 (Ω))2 0 với tích vô hướng u, v ∈ L2 (g). (2.2) 15 2 uj . vj gdx ((u, v)) = Ω j=1 cùng với chuẩn 1 . = ((., .)) 2 .u = (u1 , u2 ), v = (v1 , v2 ) ∈ H1 (g). 0 Từ (2.2), chuẩn . tương đương với chuẩn thông thường trong H1 (Ω). Đặt D(Ω) 0 là không gian các hàm thuộc C ∞ có giá compact trên Ω và ta kí hiệu ℵ = {v ∈ (D(Ω))2 : .gv = 0 trong Ω}, Hg là bao đóng của ℵ trong L2 (g), Vg là bao đóng của ℵ trong H1 (g), 0 Trong đó, Hg và Vg được trang bị tích vô hướng và chuẩn của L2 (g) và H1 (g). Từ 0 (2.2) ta có: 1 u 2 , ∀u ∈ Vg . λ1 Bây giờ chúng ta định nghĩa toán tử g -Laplacian như sau: | u |2 ≤ 1 1 −∆gu = − ( .g )u = −∆u − g. u. g g Chúng ta sử dụng toán tử g -Laplacain viết lại phương trình đầu của (2.1) như sau: ∂u −ν ∂t gu + g . u + (u. )u + g p=f Chúng ta định nghĩa một phép chiếu g - trực giao Pg : L2 (g) → Hg và toán tử g - Stokes Ag u = −Pg thỏa mãn mệnh đề sau 1 g .(g u) , (2.3)