Tài liệu đại số tuyến tính

NGUYỄN DUY THUẬN (Chủ biên) PHÍ MẠNH BAN - NÔNG QUỐC CHINH DẠI SOTUYENTINH ■ (Tái bản lần th ứ tư) NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC s ư PHẠM NHÀ XUÁT BÀN ĐẠI HỌC s ư PHẠM Địa Chỉ: 136 Xuân Thuỷ, cầu Giấy, Hà Nội Điện thoại: 04.37547735 I Fax: 04.37547911 Emaiỉ: [email protected] vn I VVebsite: www.nxbdhsp.edu.vn Chịu trách nhiệm xuất bản: Giảm đốc NGUYỄN BÁ CƯỜNG Chịu trách nhiệm nội dung: Tổng biên tập ĐINH VĂN VANG Người nhận xét: PGS.TS. TẠ MÂN TS. NGUYỄN DOÃN TUÁN Biên tập nội dung: NGUYỄN TI ÉN TRUNG K ĩ thuật vi tính: TRỊNH CAO KHẢI NGUYÊN NĂNG HƯNG Trình bày bìa: PHẠM VIỆT QUANG ĐẠI SÓ TUYÉN TÍNH ■ Mã SỐ 01.01.212/1001. ĐH 2013 In 500 cuốn, khổ 17 X 24cm, tại Công ty cồ phằn In và Truyền thông Hợp Phát. Đăng kí KHXB số: 74-2013/CXB/212-84/ĐHSP ngày 14/01/2013. Quyết định xuất bản số: 1400/QĐ-ĐHSP ngày 30/12/2013. In xong và nộp \ưu chiẻu Quý I năm 2014. MỤC LỤC ■ • Trang C ác k i h iê u 10 L à i nói d ầ u 13 CHƯ ONGI. ĐỊNH THỨC §1. P hép th ế 19 21 1.1. Định nghĩa phép th ế 21 1.2. Nghịch th ế 22 1.3. Đấu của phép thê 22 §2. K hái n iệ m m a t r ậ n 25 §3. Đ ịnh n g h ĩa và tín h c h ấ t củ a đ ịn h th ứ c 27 3.1 Định nghĩa 27 3.2. Tính chất 29 §4. Khai tr iể n d ịn h th ứ c 35 4.1. Định thức con - Phần bù đại sô’ 35 4.2. Khai triển định thức theo một dòng 36 4.3. Khai triển định thức theo r dòng 41 §5. Phương p háp tín h đ ịn h th ứ c 40 5.1. Tính định thức cấp 3 45 5.2. Áp dụng phép khai triển định thức theo một dòng hoặc một cột 46 5.3. Đưa định thức về dạng tam giác 47 5.4. Áp dụng các tính chất của định thức 51 5.5. Phương pháp quy nạp và phương pháp truy hồi 54 5.6. Tính định thức bằng máy tính bỏ túi và máy tính điện tử 57 3 §6. ứ ng dụng: Hệ p h ư ơ n g trìn h C ram er 61 6.1. Định nghĩa 61 6.2. Cách giải 61 6.3. Giải hệ C ram er bằng máy tính bỏ túi và m áy tín h điện tử 64 T ó m tắ t 67 B à i tả p 70 V à i n é t lịc h s ử 76 CHƯƠNG II. KHÔNG GIAN VECTƠ 79 §1. Đ ịn h n g h ĩa và cá c tín h c h ấ t đơn g iả n 81 1.1. Định nghĩa 81 1.2. Các tính chất đơn giản 82 1.3. Hiệu của hai vectơ 83 §2. K hông g ia n co n 2.1. Định nghĩa 84 2.2. Tính chất đặc trưng 85 2.3. Tổng của những không gian con 85 2.4. Giao của những không gian con 86 2.5. Không gian con sinh bỏi một hệ vectơ 86 §3. Sự đ ộ c lậ p tu y ế n tín h - S ự phụ th u ộ c tu y ế n tín h 90 3.1. Định nghĩa 90 3.2. Các tính chất 91 §4. Cơ sở củ a k h ô n g g ia n v e c tơ 4 84 95 4.1, Định nghĩa 95 4.2. Sự tồn tại của cơ sở 96 §5. s ỏ ch iểu củ a k h ô n g gian v ec tơ 99 5.1. Định nghĩa 99 5.2. Số chiều của không gian con 99 §6. Tọa độ củ a m ộ t v ectơ 102 6.1. Định nghĩa 102 6.2. Ma trậ n chuyến 103 6.3. Liên hệ giữa các toạ độ của một vectơ đối với hai cơ sở khác n h au 10 5 §7. H ạng củ a h ệ v e c tơ - H ạn g củ a m a trậ n 107 7.1. H ạng của hệ vectơ 107 7.2. H ạng của ma trậ n 108 7.3. Cách tìm hạng của ma trậ n 113 7.4. Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp 116 7.5. Tìm cơ sở, số chiểu của không gian vectơ sinh bởi một hệ vectơ bằng máy tính điện tử 118 T óm tắ t 121 lìà i tậ p 123 V ài n é t lic h s ử 132 CHƯƠNG 111. ÁNH XẠ TUYỂN TÍNH 135 §1. Đ ịn h n g h ĩa á n h xạ tu y ế n tín h - Sự xác đ ịn h m ộ t án h xạ tu y ế n tín h 137 1.1. Các định nghĩa 137 1.2. Sự xác định một ánh xạ tuyến tính 140 §2. Ảnh, h ạ t n h â n củ a m ộ t án h xạ tu y ế n tín h 143 2.1. Định nghĩa và tính chất 143 2.2. Liên hệ giữa số chiều của ảnh, h ạ t nhân và không gian nguồn 146 2.3. Sự đẳng cấu của hai không gian cùng sô'chiều 148 5 §3. C ác p h ép to á n tr ê n các án h xạ tu y ế n tín h 150 3.1. Phép cộng 150 3.2. Phép nhân một ánh xạ tuyến tính với một số 151 3.3. Không gian vectơ HomK(V, W) 152 3.4. Tích của hai ánh xạ t uyến tính 153 Tóm t ắ t 155 B à i tập 157 Vài nét lịch sử 162 CHƯƠNG IV. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYỂN TÍNH 163 §1. Hệ p hư ơ ng trìn h tu y ế n tín h - P h ư ơn g pháp G auss 165 1.1. Định nghĩa 165 1.2. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp G auss 166 1.3. Thực hiện phương pháp Gauss trên máy tính điện tử 173 §2. Đ iể u k iện đ ể h ệ p h ư ơ n g tr ìn h tu y ế n tín h có n g h iệm 177 2.1. Đ iều kiện có nghiệm 1177 2.2. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng định thức 1178 §3. H ệ p hư ơ ng tr ìn h tu y ế n tín h th u ầ n n h ấ t U84 3.1. Định nghĩa 1184 3.2. Không gian nghiệm của hệ tuyến tính thuần nhất 1185 3.3. Liên hệ giữa nghiệm của hệ phương trình tuyên tính và hệ thuần nhất liên kết 1189 3.4. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng máy tính điện tử 1L90 Tóm t ắ t 1193 B à i tâp 1194 Vài nét lịch sử 2Ì01 6 CHƯƠNG V. MA TRẬN 203 § 1. Ma trậ n củ a m ộ t á n h xạ tu y ế n tín h 204 1.1. Định nghĩa 204 1.2. Liên hệ giữa HomK(V. W) và M at(mn)(K) 206 §2, Các p h ép to á n trên các m a trận 208 2.1. Phép cộng 208 2.2. Phép nhân một ma trận vối một số 209 2.3. Phép trừ 210 2.4. Không gian vectơ Mat(mn)(K) 210 2 .5 . Tích của hai ma trận 211 2.6. Thực hiện các phép toán ma trận bằng máy tính bỏ túi và máy tính điện tử 216 §3í. Đại sô Mat,,(K) cá c m a trận v u ô n g cấp n 220 3.1. Định thức của tích hai ma trận 220 3.2. Ma trận nghịch đảo 223 3.3. Tìm ma trận nghịch đảo 225 3.4. Vài ứng dụng đầu tiên của ma trận nghịch đảo 231 3.5. Ma trận của một đẳng cấu 232 §4i. Ma tr ậ n củ a m ột án h xạ tu y ến tín h đ ối vớ i h a i cơ sở khiác n h a u - Ma trậ n đ ồ n g d ạn g 233 4.1. Ma trận của một ánh xạ tuyến tính đối với hai cơ sở khác nhau 233 4.2. Ma trận đồng dạng 234 §5í. V eotơ r iê n g - Giá trị r iê n g 236 5.1. Vectơ riêng - Giá trị riêng 236 5.2. Đa thức đặc trưng - Cách tìm vectơ riêng 238 5.3. Tìm vectơ riêng và giá trị riêng bằng máy tính điện tử 243 245 7 §6. C héo h oá m a trận 6.1. Định nghĩa 245 0.2. Điều kiện đề một ma trận chéo hoá được 245 6.3. Định lí 248 T óm tắ t 249 B à i tậ p 251 V ài n é t lịc h s ử 261 CHƯƠNG VI. DẠNG SONG TUYÊN TÍNH VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG 263 §1. D ạ n g tu y ế n tín h và d ạn g so n g tu y ế n tín h 265 1.1. Định nghĩa 265 1.2. Ma trậ n của dạng song tuyến tính 269 1.3. Liên hệ giữa hai ma trậ n của một dạng song tuyến tính đôi với hai cơ sở khác nhau 270 §2. D ạ n g to à n phư ơ ng 272 2.1. Định nghĩa 272 2.2. Ma trận của dạng toàn phương 273 2.3. Dạng toàn phương xác định 274 §3. Dưa d ạ n g toàn p hư ơ ng vể d ạn g c h ín h tắ c - 3.1. Định nghĩa 276 276 3.2. Định lí 276 3.3. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng máy tính điện tử 281 3.4. Định lí quán tính 283 §4. K hông g ia n v e c tơ ơ c lit 287 4.1. Định nghĩa 287 4.2. Cơ sở trực chuẩn 287 4.3. Không gian con trực giao 292 8 4.4. Hình chiếu của một vectơ lên không gian con 293 4.5. Phép biến đổi trực giao - Ma trận trực giao 293 4.6. Phép biến đổi đôi xứng 295 4.7. ứng dụng 296 T óm tắ t 304 S à i tậ p 313 Vài n é t lịc h s ử 317 CHƯƠNG VII. QUY HOẠCH TUYÊN TÍNH 319 §1. Bài to á n q u y h o ạ ch tu y ến tín h 320 1.1. Một vài bài toán thực tế 320 1.2. Bài toán quy hoạch tuyến tính 323 1.3. Ý nghĩa hình học và phương pháp đồ thị 328 §2. P h ư ơ n g p háp đơn h ìn h và cá c th u ậ t to á n củ a nó 331 2.1. Một sô' tính chất của bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc 331 2.2. Phương pháp đơn hình 338 2.3. Giải các bài toán quy hoạch bằng máy tính điện tử 360 T óm tắ t 364 Iìà i tậ p 365 V ài n é t lịc h s ử 371 Lời g iả i - h ư ớ n g d ẫ n - tr ả lời 372 B ả n g th u à t n g ữ 402 T à i liệ u th a m k h ả o 408 9 CÁC KÍ H IỆ U Tập hợp {1, 2, ... , n} gồm n sô'tự nhiên từ 1 đến n. 1 ơ ơ( 1) 2 ... n ơ(2) ... ơ(n) Phép th ế ơ biến phần tử i th à n h ơ(i). sn Tập hợp các phép thê trên tập Xn. sgn(ơ) Dấu của phép thê ơ. n ti-1> ' 5jeJ> , Tổng aì + a 2+...+ an. Tổng các số ãị, với j thuộc tập chỉ sô J. n ủi=l a' O j€j a ' Tích a!a2...an. Tích các thừa số aj; với j thuộc tập chỉ số J. A = (a,j) Ma trận A có m dòng, n cột,với các thành phần ajj ở dòng thứ i, cột th ứ j. A = (a„)n Ma trận vuông cấp n. M atn(K) Tập hợp các ma trận vuông cấp n với các thành phần thuộc trường K. 'A Ma trận chuyển vị của ma trậ n A. A-' Ma trận nghịch đảo của m a trậ n A. |A| Định thức của ma trận A. I Ma trận đơn vị. M i, P hần bù đại số của th àn h p h ầ n ay. A;i M Định thức con bù của th à n h p h ần ay trong * ma trậ n vuông (ay). I, . . . I r Định thức con xác định bởi các dòng i,,..., ir và các cột 10 jr. MLi, Định thức con bù của định thức con M ị"’ị . A ỉ::f P hần bù đại sô" của định thức con MỊ1'"1 ; . • J| hạng(A) Hạng của ma trận A. A+B Tổng của hai ma trậ n A và B. AB Tích của hai ma trậ n A và B. '1 ‘r ã Vectơ, là một phần tử của không gian vectơ. ~(ă Vectơ đối của à. ỏ Vectơ không. <#={ã ,, ã 2(. . . , à m} Hệ vectơ gồm các vectơ ă hạngír^) H ạng của hệ vectơ c4. (e))={ẽ ,, é 2 , . . . , ẽ „} u ă 2,..., d m. Cơ sở (e) của không gian vectơ. di:m KV Sô" chiều của K - không gian vectơ V. f: V->w Ánh xạ tuyến tính từ không gian V đến không gian w. f(X) Ảnh của tập X qua ánh xạ tuyến tính f. Innf Ảnh của không gian V hay ản h của ánh xạ tuyến tính f. f-“(Y) Ảnh ngược của tập Y. K(erf hay r^íO) H ạ t n hân của ánh xạ tuyến tín h f. HJ.omK(V,W) Tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ V đến w . f* g Tổng của hai ánh xạ tuyến tính f và g. gỉ' Tích của hai ánh xạ tuyến tính f và g. â ..p Tích vô hưống của hai vectơ. d xp à H 1G Không gian H trực giao với không gian G. 1*1 hch\v ă trực giao vối p . ẩC huẩn của à. H ình chiếu của á lên không gian w. lz tl Môđun của sô" phức z. z Sô" phức liên hợp của số phức z. 11 Chứng minh điều kiện cần. Chứng minh điều kiện đủ. Phương án tôi ưu. Tập phương án tối ưu. Vectơ dòng thứ i của m a trận A. Vectơ cột thứ j của ma trậ n A. LỜI NÓ I Đ ẦU ở thòi đại của chúng ta, khoa học và kĩ th u ậ t p h á t triển n h ư vũ bão. C húng đòi hỏi ngành Giáo dục phải luôn luôn đổi mới kịp thời để đáp ứng mọi n h u cầu về tri thức khoa học của th a n h th iế u niên, giúp họ có khả n ăng lao động và sáng tạo trong cuộc sống sôi động. H iện nay chương trìn h và sách giáo khoa bậc Phổ thông ở nước ta đã b ắ t đ ầu và đang th ay đổi để phù hợp với đòi hỏi ấy. Trường Cao đ ẳng Sư phạm , cái nôi đào tạo giáo viên THCS, cần phải có nhữ ng đổi mới tương ứng về chương trìn h và sách giáo khoa. Vì mục đích đó, bộ sách giáo khoa mới ra đời, th ay t h ế cho bộ sách giáo khoa cũ. Cuôn sách "Đ ai sô tu y ế n t í n h ” biên soạn lần này, nằm trong khuôn khố của cuộc đối mới ấy. Nó nhằm làm một giáo trìn h tiêu chuẩn chung cho các trường Cao đẳng Sư phạm trong cả nước theo chương trình mới (chương trình 2002), đòi hỏi không n h ữ n g phải đổi mới những nội dung kiến thức (nếu cần) và cả phương pháp giảng dạy của giảng viên cũng n h ư phương pháp học tập của sinh viên. M ặt khác, qua một thòi gian dài thực hiện chương trình và sách giáo khoa cũ, đến nay đã có thể đ án h giá nhữ ng ưu, khuyết điểm của nó, sự p h ù hợp của nó với trìn h độ đầu vào của sinh viên các trường Cao đẳng Sư phạm . Do đó cuốn sách biên soạn lần này cũng thừ a hưởng những ưu điểm và khắc phục những thiếu sót của những cuốn sách cũ. Đổi tượng sử dụng cuốn sách này là sinh viên và giảng viên các trường Cao đẳng Sư phạm trong cả nước, các giáo viên THCS cần được bồi dưỡng đế đ ạt trìn h độ chuẩn hoá. Cuốn sách cũng có th ể được dùng cho các trường Đại học và Cao đẳng khác và cho tấ t cả n h ữ n g ai muốn tự học môn học này. Cơ sỏ để lựa chọn nội dung của giáo trìn h này là yêu cầu đ ầ u ra và trình độ đầu vào của sinh viên Cao đẳng Sư p h ạm hiện nay, đồng thời cũng cần tín h đến vai trò của môn học đối với các môn khoa học khác 13 như Giải tích, Hình học, Vật lí, Hoá học, v.v.., và tạo điều kiện cho người học có thể học lên cao hơn. Cụ thể, giáo trình này phải tran g bị được cho ngưòi giáo viên toán tương lai ở trường THCS những kiến thức cần thiết, đầy đủ, vững vàng về Đại sô" tuyến tính đề giảng dạy tốt những phần liên quan trong Chương trình Toán THCS. Tuy nhiên, nội dung và phương pháp trìn h bày những nội dung ấy lại phải phu hợp với trìn h độ nhận thức và khả năng tiếp nhận của sinh viên. M ặt khác, giáo trình này cũng phải cung cấp đầy đủ kiến thức giúp người đọc có thể học được những môn khoa học khác như đã nói trên; đồng thời đáp ứng mong muôn của những sinh viên có hoài bão nâng cao hơn nữa trình độ của mình. Vì thế, nội dung cuốn sách chứa đựng những điều rấ t cơ bản mà mọi sinh viên cần nắm vững, nhưng cũng có những phần không đòi hỏi mọi sinh viên đều phải hiếu. Môn Quy hoạch tuyến tính có sử dụng nhiều kiến thức Đại sô" tuyến tính. Nhiều sách Đại sỗ> tuyến tính trên th ế giới xếp nó như một chương của mình dưới để mục "Bất phương trình tuyến tín h ”. Trong chương trình Cao đẳng Sư phạm mới của hệ đào tạo giáo viên dạy hai môn, nội dung của môn Quy hoạch tuyến tính có giảm bớt. Nó cũng dược xếp vào một chương trong giáo trình Đại sô" tuyến tính này. Cuốn sách này gồm 7 chương: C h ư ơ n g I trình bày định nghĩa, các tính chất của định thức và các phương pháp cơ bản tính định thức. Đó là một phương tiện để nghiên cứu không gian vectd và lí thuyết hệ phương trình tuyến tính. C hư ơ ng I I và ch ư ơ n g I I I nghiên cứu không gian vectơ và các ánh xạ giữa các không gian ấy - ánh xạ tuyến tính. Nó là cơ sở của Đại số tuyên tính. Nó giúp cho việc hoàn thiện lí thuyết hệ phương trình tuyến tính. C h ư ơ n g I V nghiên cứu về hệ phương trìn h tuyến tín h . Đó là một tro n g n h ữ n g hướng mở rộng của phương trìn h được học ở trường Phổ thông. Với chương này, lí th u y ế t hệ phương trìn h tuyến tín h được coi là hoàn thiện. C h ư ơ n g V nghiên cứu ma trận và mối liên hệ giữa ma trận với 'không gian vectơ. Nhờ nó mà các ánh xạ tuyến tín h được nghiên cứu sâu sắc hơn. 14 C hương V I nghiên cứu dạng song tuyến tính và dạng toàn phương, một p hần của lí thuyết dạng trong Đại số tuyến tính nhưng lại có ả n t hưởng sâu sắc đến Hình học, Phương trình vi phân và Phương trìn h dạo hàm riêng. Chương V II nghiên cứu một sô'bài toán của Quy hoạch tuyến tính. Phần Đại số tuyến tính của cuốn sách này được dùng chung cho cả hai hệ cào tạo giáo viên toán (hệ đào tạo giáo viên dạy môn Toán cùr.'g với món thứ hai, và hệ đào tạo giáo viên dạy chỉ một môn Toán). Yêu cầu đối với mỗi hệ có khác nhau. Đối với hệ đào tạo giáo viên dạy hai môn, chương trìn h chỉ yêu cầu sinh viên nắm được những điều r ấ t cơ bản. Ching hạn, đôì với chương Định thức yêu cầu chỉ là hiểu được định nghĩa d n h thức, nắm vững các tính chất đê tính được các định thức thông thường, không cần hiểu kĩ chứng minh của các tính chất này. Song dôi với hệ đào tạo giáo viên chỉ dạy môn Toán thì đòi hỏi cao hơn cả về nói dung và cả về rèn luyện và p h át triển tư duy toán học. Tuy nhiên n iữ ng đòi hỏi này được thực hiện đến đâu còn tuỳ thuộc vào trình độ sinh viên ở từng địa phương. Đó là phần mềm dẻo mà các trường vận dụng lirh hoạt. P hần Quy hoạch tuyến tính ở đây chỉ dùng cho hệ đào tạo giáo viên dạy hai môn. Moi chương đều có phần mở đầu nêu lên những yêu cầu và cách học tập của chương ấy. Cuối mỗi chương có phần tóm tắ t đôi nét chính nội dun£ của chương để bạn đọc có dịp ôn tập lại. P hần bài tập có một số lượng C( thể vượt quá yêu cầu chung đôi chút vì các tác giả cuốn sách mong rruốn giúp cho những bạn đọc ham thích môn học này có thêm cơ hội rèn uyện kĩ năng. Vì vậy, đối với số đông sinh viên thì giảng viên cần chỉ dẫn cho họ những bài cụ thể. Tuy nhiên bạn đọc cố gắng giải càng n h ể u bài tập càng t<ất. Các phần in chữ nhỏ không đòi hỏi sinh viên p h a đọc. Chúng chỉ dành cho những ai thích th ú tìm hiểu. Đt học được giáo trìn h này, người học cần được bổ sung kiến thức về sô' phíc khi m à chương trìn h Toán ồ THPT chưa đề cập tới; hơn nữa cũng cầi có khái niệm về các cấu trúc đại sô' như nhóm, vành, trường để 15 tiện diễn đạt và bắt nhịp được với cách trình bày giáo trình; cần củng cô' vững vàng kiến thức toán học bậc THPT. Giáo trình này được học vào năm thứ nhât sau phần cấu trúc đại số của giáo trình Nhập môn Toán học cao cấp. Khi giảng dạy giáo trình này, có thể kết hợp nhiều hình thức như thuyết trình của giảng viên, hưống dẫn sinh viên tự đọc sách, tổ chức xêmina, V.V.... Chẳng hạn, có thể tổ chức xêmina ở các mục: Các phương pháp tính định thức; Giải hệ phương trình tuyến tính; Các phép tính vể ma trận. Một điều mà các tác giả muốn lưu ý thêm đối với các giảng viên là: vì giáo trình còn được sử dụng để tự học nên có nhiều chỗ phải đặt vấn để dẫn dắt người học, có nhiều ví dụ. Do đó khi giảng bài ở lớp, các giảng viên nên lựa chọn những điều cần thiết nhất để có đủ thòi gian truyền đạt những kiến thức cơ bản, những phần còn lại dành cho sinh viên tự học. Cũng như đã nói trên, Đại sô" tuyến tính có nhiều ứng dụng, do đó sinh viên cần có kĩ năng vận dụng kiến thức và kĩ năng tính toán. Muốn th ế việc thực hành của sinh viên cần được coi trọng. Nên cố gắng giảm bớt thòi gian học lí thuyết ở lóp để dành thêm thời gian cho việc giải bài tập của sinh viên, và nếu có thể thu xếp được một tỉ lệ giữa thòi gian dạy lí thuyết và thòi gian làm bài tập là 1/1 thì càng tốt. Đối vổi người học, khi học giáo trình này luôn luôn có giấy và bút trong tay để tự mình mô tả các khái niệm dựa theo những định nghĩa; tự mình chứng minh các định lí sau khi đã tìm hiểu kĩ giả thiết và kết luận; vận dụng các khái niệm, các định lí để tự mình trình bày các ví dụ cho trong sách. Cuối mỗi chương có phần tóm tắt, bạn đọc nên tận dụng nó để củng cố và hệ thống lại kiến thức đã học được ở chương ấy. Cũng cần nói thêm rằng Đại số tuyến tính là một ngành khoa học cô nhất nhưng cũng rất hiện đại. Những điểu được trình bày ỏ đây chỉ là những điều cơ bản nhất, mở đầu của Đại số tuyến tính trên trường số (mà chủ yếu là trường số thực). Còn nhiều vấn để nội dung chưa thể đê cập tới. Trong cuốn sách này chữ K được kí hiệu chung cho cả ba trường sô': trường số hữu tỉ Q, trường sô' thực R và trường số" phức c , mỗi khi muốn nói một điều gì chung cho cả ba trường sô ấy. 16 Cuối cùng, các tác giả hi vọng rằng cuốn sách đáp ứng được những đòi hỏi của chương trình, những mong muốn của bạn đọc. Tuy nhiên, cuốn sách chưa trá n h khỏi hết mọi khiếm khuyết. Vì thế, các tác giả mong n h ận được nhiều ý kiến của bạn đọc để có thế sửa chữa những sai sót làm cho cuốn sách ngày càng hoàn thiện và ngày càng hữu ích hơn. Xin chân th à n h cảm ơn! Các tác giả 2- ĐSTTÍnh 17