Tài liệu đại số hiện đại (lưu hành nội bộ)

SZF.-TSEN HU BẠI Sớ HIỆN BAI I ■■x■ \. ■' ^ ỉ - ' •* .,ii?.:!.'•'?•'.•>^'•i” "V ' • 'V ; '-N-.í 7^ 1 S2E-TSEN ị HU V ; <^O AN ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI • *• THWíHỄjL.%0CTflnÌiO =sNA-N04- ' Vọ r»UHGj.;;.i i'it ó ii/( •.'..-••fu VIỆN T À I L IỆ U THAM KH ẪO ( L ư u hành n ội b ộ ) p » ,Ị|Ỉ ■ ^ ' V' K:^ ■ ' ■■ ■■ - '', • í^ ,•; ■• I ỉ- 'h-,. , í ■/ly-" ỂỂ''''• i;‘ „ i f ' / {M ỉ / ■. '‘■:ỳỊ -•-.V *■ ír r- i■'c. -r •" ■ '^■ '■ ^ , 'C' ’. ■,áí ' ■ ....í^Ịíí.•'C ■ •■ ■#' . í .ẳ' ,. i' : >-v '■r-. \ L \ 1 s TỰA ị Đại số trừu tượng ngày nay đã được đưa vào chương trinh chỉnh thức của đa a i số trường đại học. Nó đã trở thành một bộ phận chủ yếu trong việc đào tạo cácÌQc nhà toán học. Cuốn sách này nhằm cung cấp một tài liệu giảo khoa một học kỳ ỳ / hay hai quý đại s 6 trừu tượng cho năm cuối của bậc đại học cũng nhtt nătăắm đầu của bậc- trên đại học. Mục đích của nó là trình bày một cách cỏ hệ ,thốiỄổng và tương đối thong thả các vấn đề chủ yếu của đại số trừu tượng cho các họiọọc sinh cỏ ít nhất trình độ toán học vững chắc ở hai, ba năm đầu bậc đại học. Ngíggoài sổ học về các số thực ra, nó khổng đòi hỏi một sự hiếu biết đặc biệt nào v ề ề ì toán học. Bốn chương đàu có thế dùng làm tài liệu giáo khoa cho một giáo trình vè lÝ t thuyết nhổm dạy trong một quý, hoặc một học kỳ, nếu bô sung thêm một it. •ơ í ' đây chủng tôi nhẫn mạnh vào cảc nhỏm Aben hơn là các nhóm phép thế hữu bạiạin. Ngoài các tài liệu ít nhỉ^u cỏ tính chất tiêu Ỹbuần của lỷ thuyết nhóm, chúng tôiMi đâ trinh bày một cách sơ cấp cảc dãy khớp, cảc nbóm đòng điều, các Uch tertmxơ và cầc nhóm đòng cấu. Chương năm dành cho việc nghiên cứu một cách cồ đọng về vành, mièn ngtgỊuyên và trường. Chương sảu trình bày lý thuyết sơ cẩp về môđun vồ đại số dẫầin đỂỊi phép dựng đại sổ tenxơ, đại số ngoài, và đại số đối xứng của một mổđun đãâi cho. Trong chương cuối, chúng tôi đưa học sinh vào khái niệm tương đối mởcâri về phạm trù và hàm tử, là một khải niệm đă trở thành chủ ýếu troníỉ nhièu ngigiành toán học. Vi những lý do sư phạm, sau khi cân nhắc kỹ, chúng tôi đã trích bỏ đi một s 6 6 . vấn đề thông thường của đại sổ trừu tượìig, đáng chú ỷ nhất là đại sổ tuyến tlnmh và lý thuyết Galoa. Đại 8Ổ tuyến tính bị bỏ đi là vì hiện nay nó thường đuurợc dạy hoặc như một giáo trinh rỉêng biệt hoặc như một bộ phận của một gừiẩo trinh hai năm về tíỉih toán. Mặt khảc, lỷ thuyết Galoa cũng bị bỏ đi là vi thheo ỷ tác giả, do tính chất sâu sắc của iió, nỏ thuộc vào quỷ cuối của một giáo trìrình một năm hơn là thuộc vào hai quỷ đầu. Về nguyên tắc cbúng tôi đã không tránb những sự lặp lại. Trái lại, chúng tỏôì lặp lại một cách có cân nhắc những phảt biếu quan trọng về những đối tiíợng khhác nhau, chừng nào chúng cỏ liên quan mật thiết vởi nhau. Chẳng hạn, ý trrung tâm vê một đại số phố dụng nhờ một tam giác giao hoán đã được lặp lại trcong các định nghĩa của nửa nhỏm tự do, nhóm tự do, nhóm Aben tự do, mổđun tựự do, tích tenxơ, đại sổ tenxơ, đại số ngoài và đại sô đối xứng. Trong một sách gÌỊÌáo khoa- sơ cấp như sảch này, sự lặp lại các khái niệm cơ bản \ à các phép diỊựng cơ bẳn làm tăng thêm niềm tin và tỉnh chủ động của người học sinh. Gác bài tập & cuối mỗi mục đS được lựa chọn cần thận đề ngựời học*sinh. giỏi có tliẾ được thử thách nhiều, đặng tham gia xa hơn nữa vào sự_,phát triễn của lý thuyết, trong lúc các học sinh khác vẫn được thỏa mẵn về sự trinh bày dễ dàng, chi tiết trong bài học. Thư mục ở cuối sách liệt kê các sách tham lịhảo ở những' trỉnh độ khác ■nhau đế nghiên cửu xa thêm cuág như lấy thêm những thí dụ và bài tập, Một vài chỉ dẫn vè thư mục này đã được nêu lên trong bài học bằng tên và số trong cảc dẩu mỏc. Các chú dẫn thông thừờng được cho dưới dạng (IV, 5.1) trong đó IV thay cho chương IV và 5.1 cho số hiệu của mệnh đề trong chương đó. Một danh sách ohững ký hiệu đặc biệt và cácb viết tẳt được dùng trong sácit này đi kèm ngay sau lời tựa. Trong sách này chúng tôi đã thừa nhận một sổ kỷ hiệu khác vởi kỷ hiệu thồng thường của lỷ thuyết tập hợp, chẳng hạn □ dùng đế chỉ tập rỗng và A \ B đẽ chĩ hiệu tập hợp, thường vẫn được ký hiệu lả A — B. Chúng tôi đã dùng ký hiệu II đê chỉ sự chấm dứt một phép chửng m inh... Sze —Tsen Hu V CÃC KÝ HIỆU VÀ CẢCH VIỂT TẲT ĐẶC BIỆT kéo theo bị kẻo theo bỏri chấm dứt một phép chửng minh 11 tập bợp sao cho là một phần tử của € không phải là một phần tử của tập rỗng 0 bị chứa trong c chứa / > hợp r\ giao hiện tập hựp \ khoẳng đan vỊ đóng ĩ phần bù của A đối vởi X C x(A ) Y hàm f từ X tởi Y f(A ) ảnh của tập hợp A dưởi f ảnh ngược của tập hợp B f-»(B) các hợp thành của f và g fog sự thu hẹp của f trên A f 1A aSlb a nẳm trong quan hệ 91. với b a~b a tưưug đương vởi b tập thương của X trên ~ X /~ X đẳng cẩu vởi Ý X*«Y X/A nhóm thương. của X trên A tồng trực tiếp của A và B A©B A(8 )B tích tenxơ của A và B tích tenxơ trên R A,(8 )rB đại số ngoài của M trên R E r (M) S r (M) đại sổ đối xứag của M trẻn R T r (M) đại sổ tenxơ của M trên R Coim đối ảnh Cokerđối hạt nbân bậc ,deg dim số chiều Hom nhỏm các đòng cấn ỉm ảnh Ker hạt nhâu ì^-: 'ì ị CHƯƠNG I T Ậ P H Ợ P , HÀM VÀ QUAN H Ệ -4 Trong chương mỏr đầu này của cuổn sảch, ckúng tôi trình bày một cảch sa lược vè tập bợp, hàm và quan hệ, nbẳm mục đich ữ ư ởc hết đê đưậ vào cách ký hiệu về sau này sẽ được sử dụng. Đẽ tránh cho độc giả một sự cố gắng khôug cần thiết, n ội dung của vấn đề sẽ được trình bày ở mức độ thấp nhầt có thê được và trong một phạm vi giới hạn đến tối thiêu. Nỏi riêng ra, chúng tổi sẽ không thảo luận về cảc dạng khác nhau của tiên đề chọn và về sự tương đương của chúng. Trên* thực tế, tiên đề này được sử dụng trong sách chỉ dưới dạng ngây thơ củà nỏ nhằm cho phép làm một sổ khỏng hạn chế những sự lựa chọn. 1. TẬP HỢP Ta sẽ trinh bày lý thuyết sơ cấp về tập hợp theo một quan điễm ngây thơ. Một tập hợ p được quan niệm một cách trực quan như là một sự tụ tập những vật hoặc là được liệt kê ra hoặc là được xác định nhờ có một Unh chẩt chung nào đỏ. Đây không phải là một định nghĩa, vi danh từ a tụ tập í đồng nghĩa với dauh từ « tập bợp ». Trong sách này, có khi ta cũng dùng những danh từ đồng nghĩa khác nhự « họ », « hệ », v.v... Các thí dụ sau đây sẽ giúp cho hiêu rõ hơn y nghla trực quan của danh từ khổ&g đinh nghĩa í y . (a) Tập hợp cảc học sinh trong một lởp. (b) Tập hợp cảc lớp trong một trường. (c) Tập hợp N tất cồ các sổ tự nbiên, tức là các số nguyên dường. (d) Tập hợp z tất cả cảc số nguyên dương, âm hoặc bẳng 0. (e) Tập hợp R tất cả các s5^ thực. Các kỷ hiệu dùng cho các tập hợp đặc biệt nêu lên trong ba thí dụ cuổi sẽ được sử dụng trong suốt giảo trình này. Các vật trong một tập hợp X gọi là các phần tử, hoặc là các điềm của X. Chủng có thế là các vật cụ thê hoặc các khái niệm trừu tượng ta sẽ dùng ký hiệu 6 đẽ thay cho câu nói « là một phần tử của ». Vậy ký hiệu X€ X đọc là « X là một phần tử của X ì> hoặc c z thuộc X ì>. Phủ định của X ^ X sS được ký hiệu bỏi Xảc định một tập. hợp là xác định các phần tử của nó. Nỏi cách khác, một tập hợp X là xác định nếu và chỉ nếu ta có th^ nói một vật bất kỳ X đã cho có thuộc X hay không. Thttờng thường các phần tử của một tập hợp X được xác định bằng một tính chất cbung nào đó. Chẳng hạn, nếu p(x) là một mệnh đề đă cho về vật X, thi ta viết _ x = íx | p(x)} đê nói rẳng X là lập hợp tất cả cảc vật X sao cho Inệnh đề p(x) là đúng. Một tập hợp gọi là rỗng nếu và chỉ nếu nỏ không có phần tử nào. Tập hợp rỗng sẽ được kỷ hiệu bởi □ . Vậy X =5, 0 đọc là X là rỗng. Một tập hợp X gọi là một đơn tử nếu và chỉ nếu nỏ cỏ một và chỉ một phàn tử. Nếu phần tử duy nhấí của một đơn tử X là X, thi ta viết x = w . Vi những lý do lôgích, ta cần phân biệt giữa một vật X và tập hợp Tuy nhiên, đê cho tiện, ta sẽ thường dùng cùng một ký hiệu X cho mọi vật X và một đơn tử -Ịx} gằn đúng vật ấy. Một cách tổng quát hơn, nếu Xi, Xj, Xn là những vật đã cho, tỊiì X = '{xi, X2» •••» Xn}’ là ký hiệu của tập hợp X gòm các vật Xi, X2. •••» làm phần tử, Giả sử A và B là hai tập hợp đã cho. Nếu mọi phần tử ộủa A đèu thuộc B, thì ta nói rằng A bị chửa trong B, hoặc B chứa A và ta viết A c B, B :) A, trong đó kỷ hiệu c gọi ỉà bao hàm. Trong trường hợp này, A gọi là một tập con của B. Trong cảc tập hợp ở các thí dụ (c) — (e) trôn đây, ta cỏ N c z c R. Nếu A c B và B c A thì ta nói rằng A và B bẳng nhau, và ta viết A = B. Nỏi cảch khác, hai tập hợp là bằng nhau nếu và chỉ nếu chúng có cùng các phan tử. Nếu Á c B và A ^ B, thì A gọi là một tập con thực sự cua B. Các tập con của một tập hợp X đã cho thường được xảc định bẳng cách ẩn định thêm những điều kiện cho cảc phàn tử của X. Chẳng hạn, nếu p(x) lả một inệnh đê đã cho về phàn tử X của X, thi {x € X I p(x)f ^ là tập c o a của X gồm tất cả các phần tử X của X sao cho p(x) là đúng. Theo cách này, ta cố thê xác định /choảng đóng đơn vị I các số thực bởi cống thức I = {t€R ! Cỏ nhiêu cách đê lập cảc tập mởi từ cảc tập cũ, Ba phép sau đây là cơ bản. H ợp A w B được định nghĩa là tập hợp gồm các vật X thuộc ít nhẫt một trong các lập A và B. Giao A A B được định ngỈỊĨa là tập hợp gòm các vật X thuộc cả A lẫn B. Hiệu A \ B được định nghĩa là tập hợp gốm các vật X thuộc A nhưng không thuộc B. Cảc định ngbĩa đỏ có thễ phát biêu dưới dạng các đẳng thức sa u ; r ■' Av/B = {x I X ^ A hoặc X ^ Ar\B = 1 X 6 A và X c B}, A \ B = |x I X ^ A và xẹỀ Bf. Định lý 1.1. Với các tập hợp tùy ỷ A ,B ,C vá X, các luật sau đ ág có hiệu l ạ c r (1.1.1) Cảc luật giao hoán: A u B = B u A, A r\ B = B A A. (1.1.2) Các ỉuột kết h ợ p: A V (B V/C) = jfẠ V B) wC. A A (B A C) = (A A B) a C. (1.1.3) Các luật phân phôi; A (B V C) = (A A B) V (A A C), A U(B n C) = (A u B) A (AV C). (1.1.4) Cảc công thức Đờ Moócgâng: X \ (A w B) = (X \ A) A (X \ B), X \ (A A B) = (X \ A) V (X \ B). Các phẻp chửng minh của các luật trên là tức khắc và do đỏ sẽ dành c h o độc giả, xem như những bài tập. 'Đế nêu lên một thi dụ minh họa, ta sẽ c h ử n g minh đẳng thức cuối của công thức Đờ Moỏcgăng như sau. Phép chứng minh một đẳng thức về tập hợp thường tách ra làm hai phần, (ỉ) Phép chứng minh bao hám thức 1 X \ (A A B ),c (X \ A) w (X \ B): Giả sử X là một phần tử tùy ý của X \ (A B). Thế thi, theo định nghĩa c ủ a hiệu, ta cỏX ^ X và X ^ A A B. Điều cuối này kéo theo rằngX ^ A hoặc X ^ BVỉ X € X,X ^ Akéo theo x ^ X \ A v à x ^ B kéo theo X ^ X \ B. Do đỏ ta c 6 X c X \ A hoặc X ^ X \ B ; nỏĩ cách khác, Xphảilà một pbần tử của tập họrp (X \ A) V (X \ B). Ị| (ii) Phép chứng minh bao hàm thức (X \ A) w (X \ B) c X \ (A A B ): Giả sử X là một phàn tử tùy ỷ của (X \ Ạ) v ( X X ^ X \ B. Nếu X ệ X \ A, thi X ^ và X cp A. nên ta suy ra từ đỏ rằng X ^ X \ (A B). Tương tự, ta có thẽ chứng minh rằng X^ X X € X \ (A A H). II Hai tập hợp A và B gọi là rờ i rọc nếu và chĩ hợp trải lại chúng gợi là gặp nhau. Khải niệm hợp và giao cỏ Ihê mở rộng cho bhư sau. Nếu o ỉà một bọ tập hợp, thi \ B). Th€ thì X ^ X \ A h o ặ c Vi X ^ A kẻo theo X gỀ A r\ B , \ B cũng kéo theo nếu A n B = □ ; trong trư ờ n g một số bất kỳ những tập hgrp w X = {x I X ^ X vởi một X nào đỏ 6 A X = /x I X ^ X với mỗi X ^ ị. Ta cỏ thề thử nghiệm rằng các luật trong định lý 1 .1 cũng cỏ hiệu ỉực cho một sổ bất kỳ «ảc tập hợp. Nếu A là một tẬp con của một lập X, thì hiệu X \ A gọi là phăn bù của A đổi với X. Ta viết CxA = X \ A . Nếu A cũng là một tập cou của một tập hợp khác Y, thi CxA và CyA là những tập hợp khảc nhau. Nếu trong một tinh hỉnh uào đỏ, ta chỉ xét các tập con của m ộl tập hợp c 6 định X, thi ta viết CA Ihay cho CxA. * BÀI TẬP IA. Chửng minh tất cả các công thức trong định lý 1. 1 (kê cả các công thức Đờ Mòócgăng). IB. Thử (a) (b) (c) (d) nghiệm các quan hệ sau cho các tập hợp tùy ý A vệ B : □ c A, A c A, A w □ = A, A A □ = □, (e) A n A = A = A w A, (f) IC. Thiết (a) (b> , (c) A n B c A c A w B. lập Nếu Nếu Nếu ID. Chứng tùy ý A và B : (a) A (b) A (c) A các mệnh đề sau A c B và B c c, A c c và B c c , A :> c và B :> c , cho cảc thì A c thì A w thì A A tập hợp lùy ý A, B, c : c, B c c, B D c. minh rằng ba mệnh đề sau là tương đương, đổi với các tập họp c B, w B = B, n B = A. IE. Chứng minh các tinh chất sau của các tập cou của một tập hợp cố định X : (a) cx- = □ , (b) C ũ = X, (c) A w ỌA = X, (d) A n CA = □ , (e) CCA = A. _ . (f) C(A w B) = CA A CB, (g) C(A A B) = CA w CB. , • (h) C (A \B ) = B u C A , (i) Nều A Ú B = X và A a B = D, thì B = CA, (j) Nếu A c B thi CB c CA. I F. Thử nghiệm các đẳng thức sau vởi các tập hợp tùy ý A, B, G : (ạ) A \(Ã \B ) = AĂR, (b) A A ( B \C ) = (A A B) \ (A A C), mer^ '<■ '■ •------ -------- ------- ^------------ 7-------- t (d) ( A \ C ) u ( B \ C ) = ( A v B ) \ C , (e) ( A \ B ) w ( B \ A ) = (A w B ) \ ( A n B ) . (f) A w ( B \ A ) = AwB, (g) A r ^ (B \A ) = a . . . 2. HÀM iị > Giả sử X và Y là hai tập hợp đã cho. Ta gọi là một hám f : X -> Ytừ X vào Y một quy tắc cho ứng vởi mỗi phân tử X của X một phần tử duynhất f(x ) của Y. Thi dụ í . Xét tập hợp N tất cả các số tự nhiên và tập hợp Zp tất cả các síS nguyên không âm nhô hơn một số nguyên dương đã cho p. Với niọj X ^ N , ta hãy chia X cho p, và được m ột dư f(x). Sổ f(x) này nằm trong Zp. Tương ứng X f(x) xác địph một hàm f : N -> Zp. Thi dạ 2. Xét phương trình y = x 2. Với mỗi sổ thực X ^ R, y = X® cững là một số thực. Do đó, tương ứng X -v X® xác định một hàm f : R -»■ Rtừ R vào ^ A gọi là ảnh của A dướỉ hàm f và được ký hiệu là f(A ): ^ h . f(A) = { f(x) ^ Y. I X ^ A Nói riêng ra, ảnh f(X) của toàn thê nguồn X của f gọi tắt là ảnh của f và được kỷ hiệu là Im(f). Định lỹ 2 . 1 . Với bất kỳ hai tập con A và B nào cảa nguòn X cảù m ột hàm Ị: y , t a đầu có {2.1.1) (2.Í.2) f(A = f (A) V f (B), f { A r . B ) c f { A ) r ^ f{ D ). Các phép chửng m inh của (2.14) và (2.1.2), xin dànb cho độc giả, x«m n h ư những bài tập^ Độc giả cũng có thẽ dễ dàng mở rộng cảc điẽm trên cho m ột số bất kỳ những tập con của nguồn X. Hai vế của bao hàm thức (2.1.2) không phải bao giờ cũng bẳng nhau, đ ièn này cỏ thế thông qua thí dụ sau. Giả sử X = { a, b [, A = j a B = { b Y = { y ^ và giả sử f : X ->■ Y là hàm duy nhẩt. Thế thì ta có f(A A B) = f (□ ) = □ , f ( A ) A f ( B ) = Y. Nếu f(X) = Y, thì ta nói rẳng f : X -*■ Y là. niột hàm từ Xlẻn Ỵ ; ta cũ n g sẽ thường nói rằng hàm f : X -*• Y là tơán ánh. Vậy f : X -> Y làtoàn ảnh n ế n 10 ■Ĩ-' vả chỉ nếu, với mọi điêm y trong Y,. có It nhất một điễm X trong X sao cho f ( x ) = y. Hàm trong thí dụ 1 là toàn ánh, còn trong thí dụ 2 thi không phải là toàn ảnh. Nếu f(X) chỉ gồm có một điếm y của Y, thi ta nói rẳng f : X -> Y là một hàm không đbi từ X vào Y. Nếu X là không rỗng thỉ, với mọi y ^ Y, có một hàm không đôi duy nhất fy : X -> Y sao cho fy(X) = y. Với mọi tập con B của Y, tập con của X gồm các điêm X ^ X sao cho f(x )^ B gọi là ảnh ngược của B dưởi hàm f : X ->■ Y và được kỷ hiệu là (B). ngược vào ản„ _____ ^___________ _________ _____ „ ____ Định lý 2.2 Y ởi bẫl kỳ hai tập con A và B nào câa đích Y của một hàm f : X-^Y, ta đều có (2.2.Í) f-i(A w w (2.2.2) f-^ (A r^ B ) = f - i ( A ) A (2.2.3) f - i ( A \ B ) = f-^ (A ) \ r X B ) . Các phép chửng minh của (2.2.1) — (2.2.3) xin dành cho độc giả, xem như những bài tập. Độc giả cũng c/ỏ thễ dễ dàng mỏr rộng hai đẳng thức đàu cho một s 6 bất kỳ những tập con của đích Y. So sảnh các mệnh đê (2.1) và (2.2), ta nhận thẩy rằng các ảnh ngược cỏ phàn dễ sử dụng hơn các ảnh. Điều này giải thích tại sa o ‘khải niệm ảnh ngược lại được sử dụng nhiều hơn khái niệm ảnh. Nếu A và B là những tập con rời rạc của Y, thi từ (2.2.2) suy ra rẫmg các ảnh ngược f~*CA) và cũng là rời rạc. Nói riêng ra, các ảnh ngược của các điêm khác nhau của Y là rời rạc. Một hàm f : X -> Y gọi là mội đổi một hoặc là đơ n ánh nếu và chỉ nếu, vởi mọi điêm y 6 Y, ảnh ngược f“ *(y) hoặc là rỗng hoặc là một đơn tử. Vậy f là đ ư i i á u h u ế u vồ c b l u ế u c á c â u l i c ủ u củ c điêiH k h á c u h u u c ủ a X là k h á c u ỉ i a u . Đ è . nêu lên một thỉ dụ vỉ hàm đơn ảnh, ta hãy xét trường hợp X c Y. Thế thi hàm i: X ->Y xảc định bởi i(x) = X ^ Y với mọi X gọi lầ hàm bao của X vào Y. Đề chi rằng i : X ^ Y là hàm b a i, ta viết i : X c Y. D ĩ nhién rằng mọi hàm bao đều là đơn ảnh. Một hàm í: X Y vừa là toàn ánh vừa là đơn ảnh gọi là một hàm song ánh. Nếu f : X -» Y là song ánh, thi, với mọi y ^ Y ảnh ngự ạc f~*(y) bao giờ cũng là một đcm tử, tức là một điẽm của X; tương ứng y -> f~*(y) x^c định một hàm g : Y —>• X, gọi là hàm ngược của f và có thẽ ký hiệu bởi f - i : Y -> X. Ta có thễ dễ dàng nhận thẩy rẳng cũng là song ánh. Đẽ nêu lên một thí dụ về hàm song ánh, ta xét hàm bao i: X c X của X vào chinh nó. Hàm bao đặc biệt > gọi là hàm đồng nhất trên X. Với trường hợp đặc biệt nàỵ, ta có i~* = i. 11 1 'ị Hai hàm f và g gọi là khả hợp nếu và chĩ nếu đich của í' bẵng nguòu của g, tức là X i Y Ẵz. Trong trường hợp này, tá xác định một hàm o : X -> z bẳug cách cho ứng với mỗi điếm X của X điẽm d)(x) = g [f(x)] của tập hợp z. Hàm 0 đỏ gọi là cải h ợ p thành của f và g và được ký hiệu là 0 = 'g o f:X -> Z . Định lý 2.3. NếuCp = gof là cải h ợp thành của các hàm f : X->Y và g : Y - * Z , thì ta có (2.3.1) = 9 ư (^ )] mọi A c X , (2.3.2) ị - Ý C ) = H [9 )] vói mọi C C Y . Các phép chửng m inh của (2.3.1) và (2.3.2) đều dành cho độc giả, xem n h ư những bài tập. Từ (2.3) suy ra rẳng cái hợp thành của những hàm toàn ảnh là toàn ánh và cải hợp thành của các hàm đ on ánh là đơn ánh. Đảo đề một phần của định lý trèn là định lý sau, mà sau này ta sẽ thường sử dụng. Định lỹ 2.4. Nếu ( p = - g o f lá cái h ợ p thành của các hàm f : X ->y và g : Y -^ Z , ihì các mệnh đề sau là đ ú n g ; (2A.1) (2.4.2) > Nếu ộ là toàn ánh, thi g cũng vậy. Nếu ộ là đơ n áiứi, thì f cũng vậy. Chứng minh. Giả s(r rằng (ị) là toàn ánh. Thè' thì (ị)(X )= z theo địuh ngh ĩa. Theo (2.3.1), ta có z = cb(X) = g [Í(X)] c g(Y) c z. Từ đó suy ra rằug g(Y) = z và do đỏ g là toàn ánh. Điều này chứng m inh (2.4.1). Giả aử bây giờ cp là đơn,ánh. Giả sử a và b là hai điêm trong X sao cbo ĩ(a) i'(b). ThẾ Ihì ta c6 cí,(a) = g[f(a)] = g[f(b)] = ộ (b ). . Vì ộ là đơn ảnh, nên ta suy ra được a = b. Đi^u này chứng minh (2.*4.2). Giả sử f : X-í-Y là một hàm đã cho và A là một tập con của X. righĩa một hàm g : A-í-Y bẫng cách đặt g(x) = f(x) vởi mọi X^A. Hàm g là Cái thu hẹp của hàm f đă cho vào tập con A, và được ký hiệu là g = f I A. , Nếu g = f I A, thì hàm f : X->Y gọi là cải m ở rộng cùa hàm g : hợp X. Trong trường hợp này, ta được một tam giác 12 II Tađịiỉh đó gọi A-»-Y trên tập các taàm, trong đỏ h : A c X là hàm bao. Quan chât giao hoán của tam giác, tức là hệ g = f IA tương đương với tính g = foh. Trong lúc chỉ có một cái thu hẹp của một hàm đã cho f : X—vY vào.ưiột tập con đã cho Ả của X, thì các mỏf rộng của một hàm đã cho g : A—Í-Y trên một tập X chửa A thường là cỏ nhiều. Chẳng hạn, giả sử y là một điêm tùy ỷ trong Y, thế thì hàm Cy: X-^Y xác định bỏfi ^ / \ _ ị ey(x)=Jy; (nếu*x ^ A) (nếux€X\A) là một mở rộng của hàm đỏ cho g ; A—>Y trên tập hợp X, Bịnh nghĩa của hàm 0y : X—>-Y cho trên đây là m ột trường hợp đặc biệt của phép dựng .các hàm tb hợp. Giả sử F là một họ đã cho những tập con của một tập hợp' X. Ta giả thiết, rằng p" phả X, tửc là, X bằng hợp của các tập trong F, và giả thiết rẳng, với mỗi A ^ F , ta đã cho một hàm : A->Y. Vậy, ta được một họ (t> = { f ^ ị Ấ e F \ những hàm chỉ số hóa bởi cảc phàn tử của họ F. Họ F các hàm gọi là khỗ hợp nếu va chỉ nếu, với’ bất kỳ hai tập A, B nào é các hàm : A -> Y và fu: Ý đều phù hợp trèn giao A A B, tửc l à , f A I A A B = f B I A n B. 1 p Nếu họ (Ị) cảc hàm là khả hợp, thi o xác định một cách duy nhất một hàm f : X ^ Y cho bằng cách lấy f(x) = fA(x) nếu X^ A ^ F. Hàm f đó gọi là hàm tò hợp của họ (B)] c B. (c). f O í\A ) :> f (X )\f(A ) (d) f-i< Y \B ) = X \ f - i ( B ) (e) f[A A = f(A) n B. 2 C. Chứng minh 1’ẳng một hàm f ; X -»■ Y là song ánh nếu và chí hàm g, h: Y -^ X sao cho các cải hợp thành gof và foh là các hàm thẹo thử tự trên X và Y. Trong trường hợp ấy g = f - i h. 2 D. Chứng m inh'rẳng phép hợp thành là kết hợp, tức là với các f :X Y, g : Y ^ và h : z w , ta cỏ với A c X nếu cỏ hai đòng nhất hàm tùy ý ho(gof) = (hog)of. Do đó ta có thẽ kỷ hiệu hàm hợp thành bồi hogof. 2 E. Thử nghiệm các đẳng thức sau \ ề các hàm đặc trưng của cảc tập co n của X tại một điễm X của X : (® ) ^ A V /b W (c) = X a ( x )X = X a ( x ) b + ( ). x X b ( x ) - X a ( x ) Z b ( x ), ~ ^ b( x)]. 2 F. Nếu f : X -* Y là một hàm và {Ea I a ^ M} là một họ chỉ sổ hỏa n h ữ n g tập con của Y, thi hai đẳng thức sau ỉà đ ú n g: 3. TÍCH ĐẾCẢC " * Xét một họ chĩ số hỏa tùy ỷ những tập hợp , V = -{Xi* I ^ M\ và gọi X là hợp của các tập horp X (1 vởi tất cả các (X ^ M. Ta gọi là tich Đècác của họ ' ĩ cảc tập hợp Xp, tập hợp X sao cho f(i*) 6 Xịí. Tích Đềcảc của họ "¥ được kỷ hiệu là > 14 - r ---------------- ---------------------- • • -—^ ■ '1 n L rièng ra, nếu M gòm a số tự nhiên đàu, thi một điềm ỉ' trong o chủ yếu là một^bộ n sắp thứ tự (xi, Xg, X n ) , vởi Xị = f(i) với mọi i = 1, 2, .... n. Trong trường hợp này, tích Đềcác của họ '¥ được ký hiệu là • o = Xi X X^-X ... X x„. Nếu Xu = □ vởi một |1 nào đỏ ^ M, thi ta có thê dễ dàng nhận thấy rằng tích Đềcảc o là rỗng; trong trường hợp trảilại tacỏ o □ . Sau đây, ta sẽ luôn luôn giả thiết rằng X [1 □ với mọi ịX ^ M. Với m ỗi n ^ M, xét hàm Pi.: 4) — X xác định bỏi P[j.(f) = f( JX) với mọi f ^ o . Theo tiên đễ chọn, Pi» là toàn ảnh vởi mọi fX ^ M. Ta sẽ gọi Pn là phép chiếu của tích Đềcác lên tập hợp tọa độ thử ụ. X(1. Nếu mỗi phần tử của họ đều bẳng một tập X đã cho, thỉ tích Đècảc o của họ 'ĩ. sẽ gọi là /ũ// thừa Đècác bậc M của tập hợp X, và được kỷ hiệu là d> = x « . Do đỏ, X** là tập hạp tẵt cả các hàm từ M vào X. Nói riêng ra, nếu M gồm n s ố tự nhiên đầu 1 ,.... n, thi 0 gọi là ỈŨỊ/ thừa Đềcác bậc n của tập hợp X và được ký hiệu là X“ X ị^ X v ở i mọi i = 1, xảc định bẳng cách lấy d(x) ^ X“ là hàm không đôi [d(x)](M) = X vởi mọi X ^ X. Dĩ nhiên rẳng hàm d là đơn ánh. Nỏ gọi là phép nhúng chéo của tập hợp X vào iũy thừa ĐẾcác X“. Bây giờ ta hãy xét một họ chỉ s5 hóa cho một cảch tùy ý hàm = Yp I n 6 M}. , Ta ký hiệu ^ Ta định nghĩa một hàm , 'ỉ' = H: 'P đó gọi là tích Đècác của họ Ọẽ các hàm và được ký hiệu là Nỏi riêng ra, nếu M gồm n số tự nhiên đầu, thi tích Đềcác của h ọ ^ được ký hiệu bởi H = b i X h í X ' . . . X h„. 15 FT Nếu X|* = X vởi mọi |X ^ M, thi o = X“ và phép nbủng chẻo được x á i địnỉi, Hàm hạp thành h = Hod : X -> của cảc hàm d và H trong sơ đồ sau <1 H ■ sẽ gọi là iich Đềcảc thu hẹp của họ gg = {ht*: X -> Yt. I n 6 M}. . Khi không có điều hàm hò nào đáng ngại, thì hàm h đó cũng gọi là tích Đềcảc của họ ^ và cũng được ký hiệu là BÀI TẬP 3A. Chửng minh rằng nếu A c X và B c Y thì (a) A X B c X X Y. (b) (XX Y) \ (A X 13) = [(X\A) XY] V [X X (Y\B)]. 3B. Chửng minh rẳng nếu A c X , B c Y , C c X , v ^ D c Y , tbì (a) (A X B) A (C X D) = (A a C) X (B a D). (b)(A X B )w (C X D) c (AwC) X (BwD). Cho một thí dụ chứng tồ rằng hai vế của (t>) là khỏng bằng nhau. 3C. Xét hàm 6 : X* -> xác định bỏfi e(a,b) = (b,a) với mọiđiêm (a,b) của bình phugơng Đềcác X*. Thử nghiệm rằng 6od = d, trong đó d í X->X* là phẻp nhúng chẻo. Mở rộng sự kiện này cho một lũy thừ a Đềcảc tùy ý X“ . • 3 D. Xét tỉch Đềcác X “ và các phép chiếu P n : X“ X của một lũy thừa Đècảc X“. Chứng minh rằng hàm hợp thành Ppod: x - > x là hàm đòng nhẫt trên X với mọi n ^ M. 3 F. Giả thiết rẳng tập hợp X gòm các sổ nguyên 0 và 1. Định nghĩa một hàm p. 2m_^X“ từ tập hợp 2“ tẩt cả các tập con của tập hợp M vào lữy thừa Đècác X” như sau : vởi mỗi tập con s của M, lấy |ì(S) là hàm đặQ trưng của tập hợp s , tức là P(S) = Xs í M —»■ X. Chứng minh rẳng hàm p là song ánh. Điều này giải thích ý nghĩa của ký h iệu cô điẽn 2“ cho tập hợp tất cả các tậỊỈ con của một tập M đã cho. 16 3C. Định ugbĩạ một bàm e: x« X M X bằng cách lăy ẹ (f, [1 ) = f(ji) với mỗi ịi.^ M và mỗi f ^ X“ . Hàm e nàv gọi là sự định giá của lữy thừa ĐỄcảc X“ . Vởi mọi M đã cho thử nghiệm rẳng ^ Pi.(f) = e (f,n ) YỞi mọi f ^ X^*. Do đó, e cỏ thê xem như cảc phép chiếu cùng tụ tập lại. 4.QỤAN HỆ Ta gọi là một quan hệ trong một tập hợp đã cho X, một tập con 91 của bình phương Đềcác X* của X. Giả sử 91 là một quan hệ tùy ý cho trong một tập hợp X và xét bất kj’ hai điếm a và b nào của X. Nếu phần tử (a, b) của X'-* nẳm trong 91, thi ta nói rằng a nằm trong quan hệ 9Ị với b, và ta viết a9lb. Quan hệ 51 gọi là phẩn xạ nếu và chỉ nếu ta cỏ a9la với mọi a ^ X. Quan hệ 91 gọi là đối xứng nếu và chĩ nếu, với bất kỳ hai điêm a và b nào trong X, a9lb kéo theo b9la. Quan hệ 91 gọi là bắc cầu nếu và chỉ nếu, với các điẽni tù}’ ý a, b, c trong X, a®,b và b9lc kéo theo a 6lc , Một quan hệ tương đư ơ n g trong một tập hợp X là một quan hệ 91 trong X có ba tính chất phản xạ, đối xứng vá bắc cầu. Các quan hệ tương đương, theo thường lệ, được ký hiệu là Giả sử ~ là một quan hệ tương đương tùy ý cho trong một tập hợp X. Vởi bất kỳ hai điềm' a và b nào, ta nói rằng a là íirơng ^ương với b nếu và chỉ nếu a ~ b . Với mọi a ế X, giả sử C(a) là tập con của X gồm tát cả các điếm X ^ x sao cho a ~ X: C(a) = -Ịx ^ X I a ~ x }. Vì ~ là phân xạ, nên ta có a ^ c (a). Bò dè 4.1. Với bất kỳ hai điềm a và b nào, ta đèu có hoặc là C(a) r\ C(b) — □ hoặc là C(a) = C(b). Chứng minh. Giả thiết rẳng C(a) C(b) =h Ta sẽ chứng minh rẳníí C(a) = = C(b). Gọi c là một điếm chung cho C(a) và C(b). Đề chửng minh C(a) c C(b), giả sử X là một phần tử tùy ý trong C(a). Thế Ihi theo định nghĩa của C(a), ta có a ~ X, vi c là một điêm chung của C(a) và C(b), nên ta cỏ a ~ c, b ~ c. Vi ~ là đối xứng, nên ta được X. Vi ~ là bắc cầu, nên đièu này kéo theo b ~ X và do đó X ^ C(b). Điều đó chửng minh rằng C(a) c C(b). Tương tự, ta có thê chứng minh rầng C(b) c C(a). Vậy, ta cỏ C(a) = C(b). II Vậy các tập hợp {C(a) I a ^ khác nhau là rời rạc. Chúng gọi là các lớp tương đương củạ ~ trong tập hợp X, và tập hạp C(a^ gọi là lớp iương đươhg của a c X đối với quan hệ tương đư(mg y !■!' 'í n tio c G^HÀ NỘI 'I* 2»s ŨHGĨẦMTH&iGĩlH.THƯVlầN ^ ir -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------T” 7V7 / ■ ................................................. .......................................................... ........ ( _ Một sự chia lớp của một tập hợp X là một họ ÍP những tập con không rông rời rạc của X sao. cho hợp của tất cả các phàn tử của 9 là tập hợp X. Vi a ^ C(a) vởi mọi a ^ X nên ta suy ra rằng họ Q tất cả các lớp tương đươD^ của ~ trong X là một sự chia lớp cùa X. Tập hợp Q đó gọi là lộp thương của N X trên quan hệ tương đương ~ và được kỷ kiệu là ^ Q= X/~. Thi dụ í . Giả sử p là một aố nguyên dương đã cho, địnb -ngbĩa một quan hệ ~ trong tập hợp z tất cả các sổ nguyên bằng cách đặt a ~ b nếu và chi nếu b — a chia hết cho p. Ta có thê dễ dàng thử nghiệm rằng quan hệ ~ đỏ trong z là phản xạ, đối xứng và bắc cầu và do đó nó là một quan hệ tương đương, quau bệ này thứờng được gọi là đồng dư m od p. Tập thương z/-^ gÒm p lOrp tinrng đương khác nhau, cụ thế là , C(0). C (l).......C(p - 1). Thí dụ 2. Định nghĩa m ột quan hệ ~ trong tập hợp R tất cả c^c số thực bằng cách lấv a ~ b nếu và chĩ nếu b — a là một số nguyên. Ta có thê dễ dàng thử nghiệm rằng ~ là phản xạ, đổi xứng và bắc cằu và do đó nỏ là một quan hệ tơơng đương trong R. Các lởp tương đương R / ~ gọi là các sổ thực mod í. Một thứ tự bộ phận trong một tập hợp X là một quan hệ bắc càu trong X. Thí dạ 3. Xét tập hợp X = 2“ tất cả các tập con của một tập hợp đă cho M. Giả sử A và B là hai phần tử bất kỳ của X. Vì đó là những tập con của M nên câu hỏi A c B hay khổng là có nghĩa. Bao hàm thứ c rõ ràiỊg là một quan hộ bắc cầu trong X và do đó nó là một thứ tự bộ. phận. Thì dụ 4. Xét tập hạp N tất câ các số tự nhiên và định nghĩa một quan hệ < bằng cách đặt a < b Hếu và chĩ nếu b — a nẳm trong N. Ta cỏ thê dễ dàng thử nghiệm rằng ■<; là bắc cầu và do đỏ nó là một thứ tir bộ phận trong N. Thứ tự bộ phận < gọi là thứ tự thông thường trong N. Một thứ tự tuyến tinh trong một tập hợp^ X là một thứ tự bộ phận < trong X, thỏa mãn hai điỄu kiện s a u : ( 1) Vởi băt kỳ hai phàn tử a và b nảo của X, a trong X = 2^, nó cũng là một quan hệ thứ tự bộ phận. Cái đảo ngược của quan hệ < troiig thí dạ 4 là cái > . thôug thường, nó cũug là một quan hệ thứ tự luyến tính Irong N ; nhưng N khòng được sắp thứ tự t6 t bởi Chứng minh các mệnh đẾ sa u : (a) (b) % là đối xứng nếu và chỉ nếu = 91. 4D. Hợp thành %oé của hai quan hệ 91 và c5 đã cho trong một tập hợp X được định nghĩa như s a u : Yới bất kỳ hai điếm a và b nào của X, (a, b) ệ X‘'^ nẳm trong 9locí nếu và chỉ nếu có một X trong X sao cho (a, x) c và (x, b) ^ cí. Chửng minh các đẳng thức sa u : (a) (% oé)-^= c5-» a - i . (b) a o ( J o 7 ) -■= ( 9l o c í ) o J . 1»